空间分析Voronoi图构建方法与应用.ppt
浅析平面Voronoi图的构造及应用.ppt
编写容易 分治法构造Delaunay三角剖分法 易于理解
Voronoi图的构造
用分治法构造角最优三角剖分，首先要对点集依照X坐 标排序。如果点集内点的个数小于等于三，那么可以直接构 造，否则将点集拆分成为两个含点数目近似的点集进行构造， 最后合并这两个点集。
点集内含点 个数为2的
情况
点集内含点 个数为3的
新增点
Voronoi图拓宽解题思路 原来障碍点
接下来，由于人还可以从走廊边与障碍物之间通过，那么对于每一个障 碍点(x,y)我们可以在走廊壁上增加障碍点(x,0),(x,W),一共增加2n个障碍 点 。 另外 在走 廊开 始和尽 头增 加四个 障碍 点（ -W,0），（-W,W）， （L+W,0），（L+W,W）这四个点与其它点之间距离不小与W，这样就 不影响结果。然后对于这3n+4个点求Voronoi图。
Ta
c
a
Tb b
Voronoi图与平面MST问题
根据这个条件，我们可以得到一个新的方案，构造角 最优三角剖分，然后计算最小生成树，总的时间复杂度是 O(n log n)。
可能大家会问这样一个问题：
除了距离问题,Voronoi图还有什么用呢?
我想告诉大家！Voronoi图不仅能快速解决距离问题
Voronoi图还可以扩宽我们的解题思路
的
交
点
D C
B
所求点
A
Voronoi图的在信息学中的应用
根据刚才分析的两种情况，我们可以构造两种方 案。第一种方案针对所求点为过三个点的圆的圆心的 状态，我们枚举三个点，求出它们组成的三角形的外 心和半径，然后枚举其它的点，看它们是不是在这个 圆中。第二种方案是枚举两个点的中垂线，求出中垂 线与矩形的交点，然后根据这三个点来计算最远位置， 进行判断。
Voronoi图
对于光滑、不光滑组合曲线及相应组合成的封闭面域，尽 管可用折线逼近，但折线毕竟不是曲线，在曲线光滑处， 每一点都是转折点，而化为折线，折线交接处的点就成为 唯一转折点，性质突变处。
义G的Voronoi图V（G）为
V（G）={V(g1)，V(g2)，…，V(gn)} 一般V图特性在广义V图中类似存在。
5.2 V图生成方法
V图有着按距离划分邻近区域的普遍特性，应 用范围广。
生成V图的方法很多，一般分为两种： 矢量方法 栅格方法
一、生成V图的矢量方法
矢量方法生成V图大多是对点实体。 方法分为：对偶生成法
义G的Voronoi图V（G）为
V（G）={V（g1），V（g2），…，V（gn）}
V图是与距离紧密相关的，而距离值是由尺度所 基本定义的。不同尺度，距离的概念不一样， 数值往往也不一样，因此不同的尺度空间，有 不同的V图。上述定义同样可推广到3维。
（二）广义Voronoi图
拓展Voronoi图为广义Voronoi图具有广泛意义。
（二）性质
假设平面上有n个离散点，其对应的Voronoi多边
形分别为V1，V2…Vn， Voronoi多边形之间除边
界外，其交集为空集，所有Voronoi多边形的并集 为二维平面R2，即
Vi Vj
PV1 V2 ...Vn R2 （假定到Pi为0的点不算在Vi内）
V1 V2 ...Vn R2
V图、障碍V图、广义V图的多边形边界提供了点、 线、面全形态，障碍、非障碍完备空间，广义加 权距离的等距线、等比线、等势线等，是具有严 密数学意义且极广泛使用价值的轨迹线。
基于Voronoi图的奥林匹克森林公园风景游憩林空间结构分析
基于Voronoi图的奥林匹克森林公园风景游憩林空间结构分析朱俐娜;彭祚登;俞琳锋【摘要】探究林匹克森林公园的林木竞争指数的空间格局,为合理经营森林提供依据.利用GIS的Voronoi图空间分析功能,确定空间结构单元;运用地统计学分析了林木竞争指数分布的空间变异特征,计算了竞争指数的变异函数,并用Kriging方法对竞争指数进行了插值.结果表明:在试验区内,林分存在7种空间结构单元,其中以1株对象木和5株最近邻木的空间结构单元最为常见;竞争指数的半方差函数可拟合成线性模型,呈随机分布;竞争指数的空间异质性较大.建议采取间伐和补植措施,以优化林分空间结构.【期刊名称】《中南林业科技大学学报》【年(卷),期】2015(035)007【总页数】5页(P57-61)【关键词】竞争指数;地统计学;Voronoi图;空间分布格局图;奥林匹克森林公园【作者】朱俐娜;彭祚登;俞琳锋【作者单位】北京林业大学省部共建森林培育与保护教育部重点实验室,北京100083;北京林业大学省部共建森林培育与保护教育部重点实验室,北京100083;北京林业大学省部共建森林培育与保护教育部重点实验室,北京100083【正文语种】中文【中图分类】S727.5竞争，是指两个或多个植物体对同一环境资源和能量的争夺中所发生的相互作用[1]。
竞争指数反映的林木所承受的竞争压力，取决于林木本身的状态(如胸径、树高、冠幅等)和林木所处的局部环境(邻近树木的状态)。
研究林木间的竞争关系，选择合适的指数十分重要，不同的竞争指数具有不同的生态意义和功能[2]。
研究林木个体之间的竞争是研究森林生态系统的基础，同时林木个体的特点又是确定营林措施的重要基础[3]。
地统计学主要是以区域化变量理论为基础，可以定量描述生命有机体(个体、种群和群落)在同环境中的空间相关性和依赖性；还可以利用半变异函数结合样点的空间位置和方向，对样点中稀疏的或无规律的数据进行最优估值，有利于深刻了解生命有机体的空间分布情况和空间异质的机制[4-5]。
7-1-Voronoi图矢量算法
第七章Voronoi图构建算法（based on Vector）2011.6GIS原理与算法Voronoi图Voronoi图是计算几何中最重要的几何结构之一（紧次于凸壳），它描述了对于一系实体集的邻近性问题。
邮局问题；观测台问题；学校（医院）问题；Voronoi图Voronoi图的概念是由Dirichlet在1850年首先提出； 俄国数学家Voronoi于1907年在文章中做了进一步阐述，并提出高次方程化简；气象学家Thiessen在1911年为了提高大面积气象预报结果，应用Voronoi图对观测站进行划分观测区域（多边形）；为了纪念这些科学家的成就，这种结构被称为Dirichlet剖分或Voronoi图或Thiessen多边形。
主要内容Definitions & Properties (定义和性质) Vector Algorithm (矢量算法)Order-k VD (多阶VD)Line and area VD (线和面的VD)Minkowski metric VD (M度量VD)Other Voronoi diagram (其他VD)Applications (应用)}iProperties（1）假设：集合S中，没有四点是共圆的。
Voronoi图是度数为三的正则图（图论），即：Voronoi图的每一个顶点恰好是图解的三条边的交点。
在S中，pi的每一个最邻近点确定一条Voronoi图多边形的一条边。
多边形V（i）是无界的当且仅当pi是集合S的凸壳的边界上的一个点。
对于S的Voronoi图的每一个顶点v，圆C（v）不包含S 的其它的点（最大空圆）。
Properties of D(p)& V(p)Each Voronoi region2、Vector Algorithm•自Shamos和Hoey[1975]把Voronoi图作为一种有效的数据结构引入计算机领域，并成为计算几何领域的主要研究热点之一。
(5)空间分析--TIN
4.1泰森多边形概念
根据上述定义可得到Thissen多边形的如下性质： (1) 在空间 E 上给定的 n 个离散点，将空间 E 分成 n 个 Thissen多边形的分法是惟一的。 (2) Thissen 多边形是凸多边形，位于 Thissen 多边 形边上的点到其两边的离散点的距离相等，Thissen 多边形内的点到相应离散点的距离最近。 (3)Thissen 多边形的每个顶点是每个三角形的外接 圆圆心。 (4)任意两个Thissen多边形不存在公共区域。 (5) 由 Thissen 多边形获得的三角形在数据点均匀分 布的情况下，可以避免产生狭长和小角度三角形。
4.3 基于栅格方式构建TIN
给定的各种点线
由离散点生成的泰森多边形
由离散点生成的Delaunay三角形
等高线补影象的骨架化
4.4 约束条件的TIN生成
1 基于矢量方式约束条件下TIN的构建 Delaunay 三角网建立起来，便可加入预先给定 的约束线段以完成带约束条件的 Delaunay 三角网 的构建。当新的约束线段加入时，通过搜索约束 线段的相交三角网及相交点，现有的 Delaunay 三 角网在局部范围内被更新与加密。
空间分析
第四章 泰森多边形分析
授课单位：天津师范大学城市与环境科学学院 授课人：崔铁军
授课内容
4.1 概念
4.2 基于矢量方式构建TIN
4.3 基于栅格方式构建TIN 4.4 约束条件的TIN生成
4.1泰森多边形概念
1. Voronoi图
给 定 一 个 二 维 Euclidean 空 间 E 和一个 n 点 mi 集 M ，那么，关 联的 Voronoi 图为覆盖的一个 凸多边形序列(V(m1)，V(m2)，…， V(mn)) ，其中， V(mi) 包括 E 中所 有以 M 为中心的 mi 为近点的点， 即 V(mi)=｛p∈E，Vj，1≤j≤n，d(p，mi)≤d(p，mj)｝
数字地面模型 第五章 不规则三角网(TIN)的生成 Voronoi图与Delaunay三角形
2.5 Delaunay三角网生成的算法
经过30多年的研究，自动生成Delaunay三角网的算法已趋于成熟：它们基本 上可分为分治算法、逐点插入法、三角网生长法等3类。其中前两类较第3类在应 用上更加广泛；但即使这两类算法也分别存在着时间和空间效率上的缺陷，使它 们的应用受到了一定的限制。 Shamos和Hoey首次提出了一个用分治算法的思想实现的生成V-图的算法。它 后来被Lewis和Robinson加以改进并应用于生成D-三角网。该算法是不断地将数 据分割为两个近似相等的子集，直至子集中的点数不大于4而生成子三角网，然 后逐级合并生成最终的三角网。分治算法是通过递归地执行同一源代码而实现的
成开放的区域外，其余每个点都形成一个凸多边 形。
2.3 Delaunay三角网
Delaunay三角网是V-图的伴生图形，它是相互邻接且互不重叠的三角形集合。 D-三角网的定义是：有公共边的V-多边形称为相邻的V-多边形。连接所有相邻 的Ｖ-多边形的生长中心所形成的三角网称为D-三角网。
D-三角网的外边界是一个凸多边形，它由连接V中的凸集形成，通常称为凸壳。 D-三角网具有两个非常重要的性质。
2.4 Delaunay三角网产生的基本准则
空圆法则：任何一个 Delaunay 三角形 的外接圆的内部不能包含其他任何点， 也称狄洛尼法则。 Lawson 的“最大化最小角原则”：每 两个相邻的三角形构成的凸四边形的 对角线，在相互交换后，六个内角的 最小角不再增大。 Lawson 的“局部最优方法 (LOP)” ：交 换凸四边形的对角线，可获得等角性 较好的三角网。
• 不规则三角网是通过从不规则分布的数据点生成的连续三角面来逼 近地形表面。
1.2
不规则三角网的基本要求
TIN模型根据不规则分布于区域的离散点集P(实测高程点)，将区域 划分为相连的三角面网络，它要求：
基于 Voronoi 图的空间最近邻近查询
硕士研究生学位论文基于 Voronoi Diagram的空间最近邻近查询 Spatial Nearest-neighbor QueryBased on Voronoi Diagram硕士 研究生胡 勇指 导 教 师陈 军教授、唐治锋讲师专 业 名 称摄影测量与遥感研 究 方 向地理信息系统完成日期一九九六年四月武汉测绘科技大学一九九六年摘要本文以 GIS 邻近操作的局部化为突破点和指导思想，在 Gold 教授实现的VORDLL 基础上对基于 V.D. 的空间最近邻近查询的理论和方法进行了研究和实验，初步推出了一个特定于空间最近邻近查询操作的工具箱原型。
其主要研究和实验内容有：⑴ 按 Voronoi 准则分析相关 GIS 典型应用事例（包括立即邻近、侧向邻近和穿越邻近三个原型），收集有关 NNQ 数据库所需的元数据信息。
在此基础上，初步建立起 Voronoi 空间数据模型；⑵ 严格定义 Voronoi 邻域和立即邻近两个基本概念，提出用 V.D. 方法形式化表达立即邻近、侧向邻近和穿越邻近三种空间最近邻近关系，将 VORDLL 描述的点、半线级的最近邻近关系扩展到简单点、线、面空间数据类型。
为简化空间目标最近邻近操作符的设计，对空间目标所拥有的点、半线集的分类性质进行讨论；⑶ 以点、线、面状地理目标空间最近邻近关系的形式定义和诸性质为实现规则，经 Voronoi 邻域查询和立即邻近查询规定出一个最近邻近查询操作符集（支持空间、属性联合查询），体现了操作局部化的特色。
使应用趋向理论化；⑷ 实验程序基本能展示基于 Voronoi 图进行空间最近邻近查询的基本概念。
具有空间、属性双向查询能力。
主题词：地理信息系统、Voronoi 空间数据模型、Voronoi 图、最近邻近关系、最近邻近查询武汉测绘科技大学 硕士学位论文Spatial Nearest-neighbor QueryBased on Voronoi DiagramAbstractGeographic Information System has a nearest-neighbor operation set, and this operation set is used to be the tool relevant to spatial nearest-neighbor analyses. In this paper, we establish two fundamental concepts -- nearest-neighbor and Voronoi neighborhood, and discuss a set of technical routes, theories and methods which are applicable to spatial nearest-neighbor queries. The following is our main works:1. Following the sketching technique of designing database schema and defining data structures, we analyze several related typical instances and collect meta-data for NNQ database;2. Establish Voronoi spatial data model that regards Point, Line and Area as its entities;3. Formally express three fundamental nearest-neighbor relations among simple Point, Line and Area-like objects, and reveal a series of properties between Point, Half line model and simple Point, Line, Area model, and extend Point, Half line-level nearest neighbor relations to spatial data types;4. Based on above properties and formal definitions of nearest-neighbor relations, we develop nine nearest-neighbor query operators that fully support union queries including both spatial and attribute conditions. They form a nearest-neighbor operating set with purely local meanings;5. At last, we work out a prototyping system that shows fundamental concepts about spatial nearest-neighbor query based on Voronoi diagram.In a word, we explore a new idea of realizing spatial nearest-neighbor operations under the uniform framework of Voronoi concepts.Key Words:Geographic Information System (GIS),Voronoi Spatial Data Model, Voronoi Diagram,Nearest-neighbor Relation, Nearest-neighbor Query目录第一章 绪论 (1)§1－1问题的提出 (1)§1－2空间邻近问题研究概况 (3)§1－3研究目标和内容 (6)第二章 Voronoi 图与最近邻近的概念 (8)§2－1Voronoi 图与 Delaunay 三角网 (8)§2－2VORDLL 介绍 (9)§2－3邻域与最近邻近 (13)第三章 V.D. 用于空间最近邻近查询的理论和方法 (17)§3－1典型事例分析 (17)§3－2NNQ 空间数据模型 (20)§3－3基于 V.D. 的空间最近邻近关系表达 (24)§3－4基于 V.D. 的空间最近邻近查询 (27)§3－5用 V.D. 方法进行简单推理 (33)第四章 实验研究 (36)§4－1实验系统 (36)§4－2若干研究实例——以武测校园总平面图为例 (40)第五章 结论与问题探讨 (48)§5－1结论 (48)§5－2问题探讨 (49)附录一 VORDLL 功能一览 (51)附录二 对照表示例 (53)参考文献 (54)致谢 (56)第一章 绪论人类自产生以来就进行着各种各样的活动。
空间统计分析课件
平均数也分简单调和平均数和加权调和平均数，
其公式分别为
X t
n n1
i1 x i
n
Pi
X
tp
i1
n P i
i1 x i
几何平均数(geometric mean )：是n个数据连乘的 积开n次方根，计算公式为
n
X g n xi i 1
ห้องสมุดไป่ตู้•空间统计分析课件
(3)中位数(Median ) 一组数据按从小到大（或从大到小）的顺 序依次排列，处在中间位置的一个数（或 最中间两个数据的平均数，注意：和众数 不同，中位数不一定在这组数据中）。 中位数的定义可知，所研究的数据中有一 半小于中位数，一半大于中位数
•空间统计分析课件
9.2.2 代表数据离散程度的统计量
有时虽然两个数据集的平均数相等，但各数据分 布在平均数左右的疏密程度却不相同，也就是它 们的离散程度不一样，为了把一个数据集的离散 程度表现出来，就需要研究离散度。
离散程度越大，数据波动性越大，以小样本数据 代表数据总体的可靠性越低；离散程度越小，则 数据波动性小，以小样本数据代表数据总体的可 靠性越高。
标准差是方差的平方根，记为
1 n
n i1
(xi
x)2
•空间统计分析课件
（8）变差系数(coefficient of variation) 变差系数也称为离差系数或变异系数，是 标准差与均值的比值，以C v 表示
Cv x 10000
变差系数用来衡量数据相对变化的程度
•空间统计分析课件
9.2.3 代表数据分布形态的统计量
•空间统计分析课件
基本统计量
描述数据特征的统计量
集中趋势
平均数 中位数 众数 分位数
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湖北大学资源环境学院 王新生 2019/3/23
Voronoi图应用
点集密度分析 点集分布分析 地理实体的影响区域分析
湖北大学资源环境学院
王新生 2019/3/23
点集密度分析
如果我们已经产生了点集的Voronoi 图，每个Voronoi多边形的面积用表示， 那么可以将Voronoi多边形面积的倒数作 为一个评价点局部密度的一个指标。
湖北大学资源环境学院 王新生 2019/3/23
END
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王新生 2019/3/23
湖北大学资源环境学院
王新生 2019/3/23
点集分布分析
点集的泊松分布是指点集的随机分布，不同于泊 松分布的两种情况是空间规则分布和集群分布。 Voronoi分割可以帮助我们判断点集的空间分布属 于那一种形式。当点集在平面上呈现泊松分布时， Voronoi多边形面积是有变化的，有些是面积大的 Voronoi多边形，有些是面积小的Voronoi多边形。 Voronoi多边形面积的变化性是很容易通过其方差来估 计的。变异系数（the coefficient of variation, CV）是 Voronoi多边形面积的标准差与平均值的比值，它可以 衡量现象在空间上的相对变化程度。 n 标准差计算公式： 2
( si s ) n s
湖北大学资源环境学院
i 1
王新生 2019/3/23
点集分布的判别标准
当某个点集的空间分布为规则分布时，CV是 低的。当为集群分布时，在集群（“类”）内的 Voronoi多边形面积较小，而在集群间的面积较大， CV是高的。但是，应该注意的是，规则的周期结 构也会导致较高的CV值；周期性重复出现的集群 分布也会形成高的CV值。 Duyckaerts and Godefroy （2000）提出了三 个建议值，当点集为随机分布时，CV值为57% （包括从33%到64%）；当点集为集群分布时， CV值为92%（包括大于64%）；当点集为规则分 布时，CV值为29%（包括小于33%）
建立一个图层，图层中要素即是要生成Voronoi图的 原始发生元，可以包括点、线、面或者它们的组合； 采用DENSIFYARC命令给图层中各要素的弧段上增 加顶点(vertex) 。顶点的间隔设置得越小，增加顶点 的数量越多。间隔大小可以根据实际对Voronoi图精 度的需要来确定； 对已增加顶点的图层进行CLEAN或BUILD以形成正 确的弧段—节点拓扑关系； 使用ARCPOINT命令将图层中弧段上的点(顶点、节 点)转换到另一个仅含有点的图层中，有时还需要复 制原图层中的点目标；
湖北大学资源环境学院
王新生 2019/3/23
湖北大学资源环境学院
王新生 2019/3/23
任意形状发生元Voronoi图构建的栅格方法
1 d ( p ,p d ( p ,p w , w i) i) i 2 w i 1
wi1>0、wi2是加权Voronoi图的权重。 当 wi2=0 时 产 生 倍 增 的 加 权 Voronoi 图
湖北大学资源环境学院 王新生 2019/3/23
Hale Waihona Puke 对点层中的点的用户标识码进行修改，使其 与原发生元的用户标识码保持一致； 使用 THIESSEN 命令构建点目标的 Voronoi 图； 用 DISSOLVE 命令对形成的 Voronoi 图进行 溶合，溶合项(dissolve_item)是点目标的用户 标识码，溶合完的图层即是我们需要的任意 形状发生元的未加权的Voronoi图，完毕。
湖北大学资源环境学院 王新生 2019/3/23
加权Voronoi图的栅格构建方法
用gridpoint命令将包含有空间点位坐标的矢量图层 数据转换为栅格数据，并把栅格数据放置在一个文 本文件中。 利用方程计算每一个栅格单元与各发生点的加权距 离，以距离最短的发生点栅格的代码作为该栅格单 元的隶属代码，如此下去，直至所有栅格单元的归 属都被确定为止。 把新的栅格单元代码数据写入到一个新的文本文件 中，再用gridpoly命令将该代码数据转变为一个点的 加权Voronoi图图层（在该方法的实现中，注意数据 转换中所需要的文件头的内容） ，完毕。
（multiplicatively weighted Voronoi diagram）， 是在发生点集的扩散速度与权重成比例情况下 形成的； 当 wi1=1 时 产 生 相 加 的 加 权 Voronoi 图 （additively weighted Voronoi diagram）； 当 wi1≠1, wi2 ≠ 0 时产生复合的加权 Voronoi 图（compoundly weighted Voronoi diagram）。
Voronoi图构建及应用
Voronoi图构建方法 Voronoi图应用
湖北大学资源环境学院
王新生 2019/3/23
Voronoi图构建
Voronoi图的构建方法 矢量方法（基于GIS软件） 栅格方法（基于GIS软件和编程）
湖北大学资源环境学院
王新生 2019/3/23
基于GIS的任意发生元Voronoi图矢量 逼近方法