正多边形和圆的计算

圆和正多边形的有关计算(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2０1５·凉山州期末)☉O的内接正三角形和外切正方形的边长之比是 ( )A．∶2 ﻩB．1∶１ C.1∶ﻩﻩ D.∶【解析】选Ａ.如图所示,连接CO,过点O作OE⊥CD于点E,四边形AMNB是☉Ｏ的外切正方形,☉O切ＡB于点C,△CFD是☉O的内接正三角形,设圆的外切正方形的边长为a,则CO=,∠ＯＣＥ＝３０°，∴ＣE＝·coｓ3０°=,∴☉Ｏ的内接正三角形的边长为2EC＝,∶a＝∶２．2.（2０1５·广州越秀区期末)如图,ＡＢ与☉O相切于点B,OA=2,∠OAB＝３0°,弦ＢC∥OA,则劣弧的弧长是( )A.ﻩﻩﻩＢ.ﻩﻩＣ.ﻩﻩ D.【解析】选Ｂ．连接ＯB，OC，∵AB为☉O的切线,∴∠ABO=９０°，在Rt△ＡBO中，OA=２,∠ＯAB=3０°,∴ＯB=1,∠AOB=6０°,∵ＢC∥OＡ,∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB＝OＣ,∴△BOC为等边三角形,∴∠BＯＣ＝６0°,则劣弧的长为=.3．如图，☉O为正五边形ＡＢCＤE的外接圆,☉O的半径为2,则的长为（ )A.ﻩﻩB.ﻩC.ﻩＤ.【解析】选D.如图所示,∵☉O为正五边形AＢCDE的外接圆,☉Ｏ的半径为2,∴∠AOB==72°，∴的长为:=.【知识拓展】正n边形的有关计算(1)边长:ａｎ=２Ｒn·ｓin.(2)周长：P n=n·aｎ．(3)边心距:r n＝Rｎ·cos．（4)面积:Sｎ=aｎ·ｒn·ｎ.(5)每一个内角的度数为.（6)每一个外角的度数为.(7)中心角的度数为.4.如图,正方形ＡＢＣＤ中,分别以B,Ｄ为圆心,以正方形的边长a 为半径画弧,形成树叶形(阴影部分)图案,则树叶形图案的周长为（ )A．πaﻩ B.２πaC.πaD.３a【解析】选A．∵四边形ABＣD是正方形,∴∠Ｂ=∠D=９0°．则扇形AＢＣ的弧长为ｌ=＝aπ,同理可求扇形ＡDC的弧长为aπ,∴树叶形图案的周长为aπ×2=πa.【一题多解】选A.由题意知树叶形图案的周长为以a为半径的圆周长的一半，∴树叶形图案的周长为×２πa=πａ.【互动探究】若求阴影部分的面积呢?提示：S阴影＝２×＝a2．二、填空题（每小题４分,共12分）５．如图所示,正六边形AＢＣDＥF内接于☉O，若☉Ｏ的半径为4,则阴影部分的面积等于___＿＿___.【解析】正六边形的六条半径把正六边形分成六个全等的等边三角形，阴影部分的面积转化为扇形ＯBD的面积,即为圆面积的.阴影部分的面积为=π．答案:π如图,在扇形ＯAB中,∠ＡOB=90°,半径OA=6,将扇形OAB沿过点B 的直线折叠,点Ｏ恰好落在上点D处,折痕交OA于点Ｃ,求整个阴影部分的周长和面积.【解析】连接ＯＤ,∵将扇形OＡB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在上点D处,∴ＯB＝BD,OC=CＤ.又∵ＯD＝OB，∴△OＢD是等边三角形，∴C阴影部分=+AC+ＣD+BD＝3π＋12.∵△OBD是等边三角形，∴∠DＢＣ=∠ＯＢC＝30°．在Ｒt△ＯＣＢ中,tan∠OBC＝=,∴OC＝tａn30°×6=2.∴S阴影=S扇形OAＢ-2S△OＣB=-2×=9π-1２．6.如图,在△ABＣ中，ＡB=4cm,ＢＣ＝2ｃm,∠ABC=30°,把△ＡBC 以点B为中心按逆时针方向旋转,使点C旋转到ＡB边的延长线上的点C′处，那么AC边扫过的图形(图中阴影部分)的面积是_______＿cm2.【解析】根据旋转的性质和全等三角形的性质可知,AC边扫过的图形(图中阴影部分）的面积=扇形BＡA′与扇形BCC′的面积差，为×（42－22)=5π(cm2)．答案：5π7.（２0１5·密云期末)如图,边长为1的正方形ABＣＤ放置在平面直角坐标系中,顶点A与坐标原点O重合,点B在x轴上.将正方形ABＣD沿x轴正方向作无滑动滚动，当点D第一次落在x轴上时,D 点的坐标是________,Ｄ点经过的路径的总长度是________;当点D 第20１4次落在x轴上时，D点经过的路径的总长度是______＿_.【解析】如图,正方形ABCＤ每滚动４次为一个周期,当点Ｄ第一次落在x轴上时,正方形ＡＢCD滚动2次，D点的坐标是(3,０);D点经过的路径的总长度是+=π.每一个周期中D点经过的路径的总长度是+×2=π,当点D第2014次落在x轴上时,D点经过的路径的总长度是:2013×π+π=π.答案：(3,0）ππ三、解答题（共22分)8．（6分)(2015·官渡期末)如图,已知☉Ｏ的半径为8ｃm,点A为半径OB延长线上一点,射线AＣ切☉O于点C,的长为.求∠ＡOC的度数和线段AＣ的长.【解析】设∠AOC=n°；＝,解得:n=60,∴∠AOC=6０°．∵AC切☉O于点Ｃ，∴∠ACＯ=9０°,∴∠A=９0°-∠AＯC=30°，∴AO=2OＣ=16,∴AC=＝＝8．9．（7分)（20１5·南昌期末）如图,边长为4ｃm的等边△ＡBC与☉O等高（即高与直径相等),☉O与BC相切于点C,☉Ｏ与ＡＣ相交于点E．求:(１）ＣＥ的长.(2）阴影部分的面积.【解析】(１)连接ＯC,并过点Ｏ作ＯF⊥CE于F,且△ABC为等边三角形,边长为4,故高为２,即OC=,又∠ＡＣB=60°,☉O与ＢC相切,∴OＣ⊥ＢC,故有∠ＯCF＝30°，在Rt△OFＣ中,可得OF=,ＦＣ=,即CE＝3.（2)连接OE,S阴影=S扇形OCE-S△OＣE=-×3×=π-. 【知识拓展】与直角三角形有关的计算公式(1)直角三角形外接圆半径等于斜边的一半（R=）．(2)直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半（r=）.（3)直角三角形两条直角边的乘积等于斜边与斜边上的高的乘积,即ａb＝ch．10．(9分)(20１5·龙岩期末)如图,△ＡＢC中,AB=AC,以AB为直径的☉O,交ＢC于点D,交AC于点F,过点D作ＤＥ⊥AC,垂足为Ｅ．(1)求证:=.(2）求证:DE为☉O的切线．(3)若CＥ=2，∠BAC=60°，求由ＤC,CF与所围成图形的面积Ｓ．【解析】(１）连接AD.∵AB为☉Ｏ的直径,∴∠ＡDB=90°,即AＤ⊥BＣ．∵ＡＢ＝AC，∴∠CＡD=∠ＢAD，∴=,(2）连接ＯD.∵ＡB为☉O的直径,∴AO＝BO．∵AD⊥BC,AB=AC,∴CD=DB．∴OD是△ABC的中位线，∴ＯD∥ＡC,∵ＤＥ⊥ＡC,∴OＤ⊥ＤE.∵ＯD是半径,∴DE为☉O的切线.(3）连接ＯF.∵AＢ＝ＡC,OF＝OＡ,∠BAC=60°,∴△AＢC,△AFO都是等边三角形．∴∠AFＯ=∠C=60°.∴ＯF∥CD.∵OＤ∥AＣ,∴四边形DCFO是平行四边形.∵OD＝OF,∴四边形DCFO是菱形.∴∠C=∠FOD=60°,OＤ＝DC＝CF．∵ＤE⊥ＡC,∴ＤC=2CE=４=OD=CF,∴ＤE==２.∴S=S四边形DCＦO-S扇形FＯＤ＝４×2－=8-π.【备选习题】1.（20１４·内蒙古中考)如图，菱形ABCD的对角线ＢD，AC分别为2,2,以点B为圆心的弧与ＡＤ，DC相切,则阴影部分面积为（ )A.2-πＢ．4-πC.2-πﻩD.4-π【解析】选Ａ.如图,连接AC,BD,相交于点Ｏ,设以B为圆心的弧与AD相切于E点,连接BE，则ＢE⊥AＤ,∵菱形ABCD的对角线BD,ＡＣ分别为２,２，∴S菱形ABCD＝·AC·ＢD＝×2×2=2,在Ｒt△ＡOＤ中，∵tａn∠DＡO＝=＝,∴∠ＤAＯ=3０°,∠ABC=120°,∴∠ＤAＢ=2∠DAＯ=６０°,∴△AＢＤ是等边三角形,∴BＥ=OA=，∴S扇形=·π·（)2=π，∴阴影部分的面积是S菱形ABCD-Ｓ扇形=2-π.2.(２014·河北中考）如图，将长为8ｃｍ的铁丝AB首尾相接围成半径为２cm的扇形,则Ｓ扇形=＿___＿_＿_cm2.【解析】由题意可知扇形的弧长为:l＝4ｃm,所以S扇形＝lｒ＝×4×２=4ｃm2．答案：４3.（2014·荆门中考)如图,在▱ＡＢCD中,以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E,延长BＡ与☉A相交于点F.若的长为,则图中阴影部分的面积为＿＿__＿＿__. 【解析】连接AＣ,设☉Ａ的半径为R,∵CD切☉Ａ于点C,∴ＡC⊥ＣD,即∠ACD=90°，在▱AＢＣD中,∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD=９０°，∵ＡＢ＝AC，∴△BAC是等腰直角三角形,∠B=45°,∵AD∥BC,∴∠FAＤ＝∠Ｂ=45°，又∵的长为,∴＝,解得R=２,∵∠Ｄ=∠Ｂ=４5°,∴△ＡCＤ也是等腰直角三角形，即AC＝CD＝Ｒ=2,∠CAD=4５°,∴S阴影=S△AＣD-S扇形ACE=×２×2-=2－．答案:2－４.（2014·抚顺中考)如图，在矩形AＢCD中,E是CD边上的点,且BＥ＝BA,以点A为圆心、AD长为半径作☉A交AＢ于点M,过点B作☉A的切线BF,切点为Ｆ.(1)请判断直线ＢＥ与☉A的位置关系,并说明理由.(2)如果AＢ=10,BC=5,求图中阴影部分的面积．【解析】（1)过点A作AG⊥BE,垂足为G,连接AE．∵四边形ＡＢCＤ是矩形,∴AＢ∥CＤ,∠BAE=∠AED．又BE=ＢA,∴∠BAE＝∠ＡＥＢ,即∠BAE=∠ＡＥＧ.∴∠AEG＝∠AＥD.又∵∠AＧE=∠AＤE=90°,AE=AE，∴△ＡEG≌△ＡＥD（AAＳ).∴AG=AD.∴直线BE与☉A相切.(2)连接AF,∵ＢF与ＢG都是☉A的切线,由切线长定理得,△ABF≌△AＢＧ，∠ＢAF＝∠ＢAＧ,于是S阴影=S△ＡＢF－S扇形AＭＦ=S△ABG －S扇形AMG.由（1)知,ＡG=AD,∴AG=AD＝BＣ=5．在Rt△ＡBG中,AＧ＝５,ＡB=１0,∴∠ABＧ=３０°,∠BＡＧ＝6０°.∴ＢG=AＢ·cｏｓ∠ABG=１0×=5.∴S阴影=S△ABG－S扇形AMG=×5×5-=-．5．(20１4·昆明中考)如图，在△ABC中,∠ABC=9０°,Ｄ是边AＣ上的一点,连接BD,使∠A＝２∠1,E是BC上的一点,以ＢE为直径的圆O经过点Ｄ.(１)求证:AC是☉Ｏ的切线.(2)若∠A=60°,☉O的半径为２,求阴影部分的面积(结果保留根号和π).【解析】(１)连接OD,OＢ=OＤ,则∠１＝∠ＢDO,∴∠ＤOＣ=2∠1=∠A,在Rt△ABC中,∠Ａ+∠Ｃ＝９0°，即∠ＤOC＋∠C=90°∴∠OＤC＝９0°,即OＤ⊥DC．∴AＣ为☉O的切线.(2）当∠Ａ=60°时,即在Rt△OCＤ中,∠C=30°,OD=r＝2．∴∠DOC=6０°,ＣＤ=2.∴S△ODC＝ＯD×DC=2,S扇形==,∴S阴影=Ｓ△ＯDC-Ｓ扇形=２－.。