2-8闭区间上连续函数的性质
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闭区间上连续函数的性质
F(a)F(b) [ f (a) C][ f (b) C] 0 ，由零点定理知，至少在一点 (a ，b) ，使点 F() 0 ，即 f () C ．
1.2 零点定理与介值定理
介值定理的几何意义是连续曲线 y f (x) 与水平直线 y C 在 (a ，b) 内至少有 一个交点，如图所示．
推论 若函数 f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续， m 和 M 分别为 f (x) 在[a ，b] 上的最 小值与最大值，则对介于 m 和 M 之间的任一实数 C ，至少存在一点 (a ，b) ，使得 f () C ．
设 m f (x1) ， M f (x2 ) ， m M ，在闭区间[x1 ，x2 ]（或[x2 ，x1] ）上应用介值 定理，即得上述推论．
f (a) 与 f (b) 之间的任意一个常数 C ，至少存在一点 (a ，b) ，使得 f () C ．
定理 4 的证明，仅需设一个新的辅助函数 F(x) f (x) C ．由 f (x) 在[a ，b] 上连续， 且 C 介 于 f (a) 与 f (b) 之 间 ， 可 知 F(x) 在 [a ，b] 上 连 续 ，
x 1， 在闭区间[0，2] 上不连续
x 3， 1 x 2
（有跳跃间断点 x 1），虽有界但无最值，如图所示．
1.2 零点定理与介值定理
如果 f (x0 ) 0 ，则称 x0 点为函数 f (x) 的零点． 定理 3（零点定理） 设函数 f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续，且 f (a) f (b) 0 ，则
至少存在一点 (a ，b) ，使得 f ( ) 0 ．
证明从略．从几何上看，定理 3 表示：如果连续曲线弧 y f (x) 的两个端点位于 x 轴的不同侧，那么这段曲线弧与 x 轴至少有一个交点，如图所示．
1.2 零点定理与介值定理
介值定理的几何意义是连续曲线 y f (x) 与水平直线 y C 在 (a ，b) 内至少有 一个交点，如图所示．
推论 若函数 f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续， m 和 M 分别为 f (x) 在[a ，b] 上的最 小值与最大值，则对介于 m 和 M 之间的任一实数 C ，至少存在一点 (a ，b) ，使得 f () C ．
设 m f (x1) ， M f (x2 ) ， m M ，在闭区间[x1 ，x2 ]（或[x2 ，x1] ）上应用介值 定理，即得上述推论．
f (a) 与 f (b) 之间的任意一个常数 C ，至少存在一点 (a ，b) ，使得 f () C ．
定理 4 的证明，仅需设一个新的辅助函数 F(x) f (x) C ．由 f (x) 在[a ，b] 上连续， 且 C 介 于 f (a) 与 f (b) 之 间 ， 可 知 F(x) 在 [a ，b] 上 连 续 ，
x 1， 在闭区间[0，2] 上不连续
x 3， 1 x 2
（有跳跃间断点 x 1），虽有界但无最值，如图所示．
1.2 零点定理与介值定理
如果 f (x0 ) 0 ，则称 x0 点为函数 f (x) 的零点． 定理 3（零点定理） 设函数 f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续，且 f (a) f (b) 0 ，则
至少存在一点 (a ，b) ，使得 f ( ) 0 ．
证明从略．从几何上看，定理 3 表示：如果连续曲线弧 y f (x) 的两个端点位于 x 轴的不同侧，那么这段曲线弧与 x 轴至少有一个交点，如图所示．
2.8 闭区间上连续函数的性质
(0,a b), 使 F( ) 0, 即 f ( ) .
例3 设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续, 且f (a) a,
f (b) b. 证明 (a, b), 使得 f ( ) .
证 令 F( x) f ( x) x, 则F( x)在[a, b]上连续, 而 F (a) f (a) a 0, F (b) f (b) b 0, 由零点定理,
其他(如振荡间断点)
例8
f
(
x)
1 x2
x
x2 4 x
x2
1且x 1且x
0 ,求间断点及类型。
2
解 函数的图形如图
y
-1 0 1 2
x
图2-19
在x 0处，f ( x)无定义，且lim f ( x) x0
所以x 0是第二类无穷间断点；
在x 1处，f ( x) 1，但f (1 ) f (1 ) lim x1
(1)可去间断点：f ( x0 ) f ( x0 )
例3 讨论函数 y x2 1 在x 1处的连续性 .
x1
y
解 y x2 1 在 x 1无意义，
2
x1
x 1为间断点。但是 lim x2 1 2， 1
x1 x 1
y x2 1 x1
即 lim f ( x) 2，极限存在 x1
若 f ( x) C[a, b],
则 1 ,2 [a, b],
使得 x [a, b],
有 f (1 ) f ( x), f (2 ) f ( x).
y
y f (x)
oa
2
1 b x
注意:
(1)把“闭区间”换成“开区间”，定理不真。如: f ( x)在(0,1)内无最值，f ( x) 1 在(0,1)无界。
例3 设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续, 且f (a) a,
f (b) b. 证明 (a, b), 使得 f ( ) .
证 令 F( x) f ( x) x, 则F( x)在[a, b]上连续, 而 F (a) f (a) a 0, F (b) f (b) b 0, 由零点定理,
其他(如振荡间断点)
例8
f
(
x)
1 x2
x
x2 4 x
x2
1且x 1且x
0 ,求间断点及类型。
2
解 函数的图形如图
y
-1 0 1 2
x
图2-19
在x 0处，f ( x)无定义，且lim f ( x) x0
所以x 0是第二类无穷间断点；
在x 1处，f ( x) 1，但f (1 ) f (1 ) lim x1
(1)可去间断点：f ( x0 ) f ( x0 )
例3 讨论函数 y x2 1 在x 1处的连续性 .
x1
y
解 y x2 1 在 x 1无意义，
2
x1
x 1为间断点。但是 lim x2 1 2， 1
x1 x 1
y x2 1 x1
即 lim f ( x) 2，极限存在 x1
若 f ( x) C[a, b],
则 1 ,2 [a, b],
使得 x [a, b],
有 f (1 ) f ( x), f (2 ) f ( x).
y
y f (x)
oa
2
1 b x
注意:
(1)把“闭区间”换成“开区间”，定理不真。如: f ( x)在(0,1)内无最值，f ( x) 1 在(0,1)无界。
微积分2-8闭区间上连续函数的性质
微
积
分
推论: 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最
大值之间的任何值 .
例2. 证明方程 一个根 . 证: 显然
在区间 又 使
内至少有
故据零点定理, 至少存在一点
即
方程x 3 4 x 2 1 0在(0,1)内至少有一根 .
微
积
分
内容小结
作业：P66第1、2题 在 在 在 4. 当 注意 上有界; 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 时, 必存在 1．闭区间； 2．连续函数． 使
证 令 F ( x ) f ( x ) x, 则F ( x )在[a, b]上连续,
而 F ( a ) f ( a ) a 0,
F ( b ) f ( b ) b 0,
由零点定理,
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0,
即 f ( ) .
不正确.
0 x1 x0 f (0) (1) 2e 0.
f ( x ) 在(0,1) 内连续,
但 f ( x ) 在(0,1) 内无零点.
微
积
分
例3 设函数 f ( Байду номын сангаас )在区间[a , b] 上连续, 且f (a ) a ,
f (b) b. 证明 (a , b), 使得 f ( ) .
a x b
f ( 2 ) max f ( x)
a x b
o a 1 2
b
x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
微
积
分
例如, 无最大值和最小值 又如,
连续函数的性质
y
Oa
bx
定理（介值性定理） 设函数 f ( x)在闭区间 [a ,b]
上连续,且 f (a) f (b) . 若是介于 f (a) 与 f (b) 之 间的任一数( f (a) f (b) 或 f (b) f (a)),
则(至少)存在一点 x0 (a ,b) ,使得
f ( x0 ) .
证 由于 g(u) 在点 u0 连续 , 因此对于任意的 0 ,
存在1 0 , 当 | u u0 | 1 时, 有 | g(u) g(u0 ) | ,
又因为 f ( x) 在点 x0 连续, 故对上述 1 0 , 存在 0, 当 | x x0 | 时, 有
于是
| f ( x) f ( x0 ) || u u0 | 1,
x0 x0 x0
bx
②对应
③任给
对于任意的正数 , a x0 x0 b, 设
y1 f ( x0 ) , y2 f ( x0 ) , 令 min{ y2 y0 , y0 y1} 0, 当 ( y1 ) y0 y y0 ( y2 ) 时，
f 1( y1 ) f 1( y) f 1( y2 ),
二、闭区间上连续函数的性质
一、最大(小)值的定义 定义 设 f ( x)为定义在数集 D上的一个函数 . 若 存在 x0 D ,使得对一切 x D, 均有
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 ) ), 则称 f ( x) 在D上有最大(小)值, x0 称为最大(小)值 点, f ( x0 ) 称为 f ( x)在D上的最大(小)值.
解 因为 x 0 是 f ( x) 的定义区间上的点, 而
lim f ( x) 1 0 f (0),
x0
所以 f ( x) 在 x 0 处不连续. 因此函数 f ( x)不是初
Oa
bx
定理（介值性定理） 设函数 f ( x)在闭区间 [a ,b]
上连续,且 f (a) f (b) . 若是介于 f (a) 与 f (b) 之 间的任一数( f (a) f (b) 或 f (b) f (a)),
则(至少)存在一点 x0 (a ,b) ,使得
f ( x0 ) .
证 由于 g(u) 在点 u0 连续 , 因此对于任意的 0 ,
存在1 0 , 当 | u u0 | 1 时, 有 | g(u) g(u0 ) | ,
又因为 f ( x) 在点 x0 连续, 故对上述 1 0 , 存在 0, 当 | x x0 | 时, 有
于是
| f ( x) f ( x0 ) || u u0 | 1,
x0 x0 x0
bx
②对应
③任给
对于任意的正数 , a x0 x0 b, 设
y1 f ( x0 ) , y2 f ( x0 ) , 令 min{ y2 y0 , y0 y1} 0, 当 ( y1 ) y0 y y0 ( y2 ) 时，
f 1( y1 ) f 1( y) f 1( y2 ),
二、闭区间上连续函数的性质
一、最大(小)值的定义 定义 设 f ( x)为定义在数集 D上的一个函数 . 若 存在 x0 D ,使得对一切 x D, 均有
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 ) ), 则称 f ( x) 在D上有最大(小)值, x0 称为最大(小)值 点, f ( x0 ) 称为 f ( x)在D上的最大(小)值.
解 因为 x 0 是 f ( x) 的定义区间上的点, 而
lim f ( x) 1 0 f (0),
x0
所以 f ( x) 在 x 0 处不连续. 因此函数 f ( x)不是初
第08讲 闭区间上连续函数的性质
取
a
,则对于 x1 , x2 (,) ,
总有 f ( x1 ) f ( x 2 ) ， 故 f ( x) ax b在(,) 上一致连续．
1 例4 f ( x) 在(0,1]上连续 , 却不一致连续 x 1 证明 因为 f x 在 (0,1] 上为初等函数,故连续 x
从而二者矛盾 f ( x)在(0,1]上不一致 连续．
一致连续定理
a, b 上连续， 若 f x 在闭区间 则它在该区间上
必定一致连续．
证明(略)
小结：
理解应用最值定理,有界性定理
熟练应用介值定理,零点定理
了解一致连续的概念和有关定理
作业：
第91页习题1-11： 1，2，3，4
设 f ( x)在[a, b]上c.t.且f (a) f (b) 0 （即两端
点函数值异号）：则在(a, b) 内至少存在一点 ，
使得 f 0 （至少有一个零点）．
★注意：
条件为闭区间，结论为开区 间．
几何解释：
x 若曲线 y f ( x) 的两个端点位于 轴有两侧， x 轴至少有一交点 则该曲线与 （或者说方程f ( x) 0
结论： ●最值点不唯一 ●最大值与最小值可以相等 ●最值点可以是边界点，间断点等
如：
1． f ( x) 1 sin x 有最大值 2，最小值 0；
2． y sgn x 有最大值 1，最小值 1 ； （不唯一）
3 y x 3． 在区间 [0,2] 上有最大值 8，最小值 0；
（边界点） 1 sin 4． y x 2
则 F 0 f 0 f a ，
F a f a f 2a f a f 0
a
,则对于 x1 , x2 (,) ,
总有 f ( x1 ) f ( x 2 ) ， 故 f ( x) ax b在(,) 上一致连续．
1 例4 f ( x) 在(0,1]上连续 , 却不一致连续 x 1 证明 因为 f x 在 (0,1] 上为初等函数,故连续 x
从而二者矛盾 f ( x)在(0,1]上不一致 连续．
一致连续定理
a, b 上连续， 若 f x 在闭区间 则它在该区间上
必定一致连续．
证明(略)
小结：
理解应用最值定理,有界性定理
熟练应用介值定理,零点定理
了解一致连续的概念和有关定理
作业：
第91页习题1-11： 1，2，3，4
设 f ( x)在[a, b]上c.t.且f (a) f (b) 0 （即两端
点函数值异号）：则在(a, b) 内至少存在一点 ，
使得 f 0 （至少有一个零点）．
★注意：
条件为闭区间，结论为开区 间．
几何解释：
x 若曲线 y f ( x) 的两个端点位于 轴有两侧， x 轴至少有一交点 则该曲线与 （或者说方程f ( x) 0
结论： ●最值点不唯一 ●最大值与最小值可以相等 ●最值点可以是边界点，间断点等
如：
1． f ( x) 1 sin x 有最大值 2，最小值 0；
2． y sgn x 有最大值 1，最小值 1 ； （不唯一）
3 y x 3． 在区间 [0,2] 上有最大值 8，最小值 0；
（边界点） 1 sin 4． y x 2
则 F 0 f 0 f a ，
F a f a f 2a f a f 0
连续函数的性质
x x0
x x0
lim g ( f ( x )) g ( u0 ) g ( lim f ( x )).
x x0
(* )
事实上,只要补充定义（或者重新定义）f ( x0 ) u0
使得 f ( x ) 在点 x0 连续 . 应用定理4.5,就得到所
需要的结论. 若将 lim f ( x ) u0 改为
x x0
x
lim f ( x ) u0 , lim f ( x ) u0 或 lim f ( x ) u0 ,
x x
(*)式相应的结论仍旧是成立的.
上述(1)和(2)究竟有什么本质的区别呢? 请读者作 出进一步的讨论. 例1 求 lim sin(1 x 2 ).
质有着根本的区别.
设函数 f ( x )在闭区间 [a , b] 定理4.7（介值性定理）
上连续,且 f (a ) f (b) . 若是介于 f (a ) 与 f (b) 之
间的任一数 ( f (a ) f (b) 或 f (b) f (a )),
则(至少)存在一点 x0 (a , b) , 使得
函数极限的相关性质 1 . 局部有界性 若 lim f ( x ) 存在，则 f 在 x0 x x 的某空心邻域 U ( x0 ) 内有界。
0
2 .保不等式性 设 lim f ( x ) 与 lim g( x ) x x x x 都存在，且在某邻域 U ( x0 ; ) 内有 f ( x ) g( x )
存在 0, 当 | x x0 | 时, 有
| f ( x ) f ( x0 ) | | u u0 | 1 ,
于是
| g( f ( x )) g( f ( x0 )) | | g( u) g( u0 ) | ,
x x0
lim g ( f ( x )) g ( u0 ) g ( lim f ( x )).
x x0
(* )
事实上,只要补充定义（或者重新定义）f ( x0 ) u0
使得 f ( x ) 在点 x0 连续 . 应用定理4.5,就得到所
需要的结论. 若将 lim f ( x ) u0 改为
x x0
x
lim f ( x ) u0 , lim f ( x ) u0 或 lim f ( x ) u0 ,
x x
(*)式相应的结论仍旧是成立的.
上述(1)和(2)究竟有什么本质的区别呢? 请读者作 出进一步的讨论. 例1 求 lim sin(1 x 2 ).
质有着根本的区别.
设函数 f ( x )在闭区间 [a , b] 定理4.7（介值性定理）
上连续,且 f (a ) f (b) . 若是介于 f (a ) 与 f (b) 之
间的任一数 ( f (a ) f (b) 或 f (b) f (a )),
则(至少)存在一点 x0 (a , b) , 使得
函数极限的相关性质 1 . 局部有界性 若 lim f ( x ) 存在，则 f 在 x0 x x 的某空心邻域 U ( x0 ) 内有界。
0
2 .保不等式性 设 lim f ( x ) 与 lim g( x ) x x x x 都存在，且在某邻域 U ( x0 ; ) 内有 f ( x ) g( x )
存在 0, 当 | x x0 | 时, 有
| f ( x ) f ( x0 ) | | u u0 | 1 ,
于是
| g( f ( x )) g( f ( x0 )) | | g( u) g( u0 ) | ,
连续函数的性质
x
n
在[ 0
, )
上亦为连续且
y x 在 R内 续 取 连 ，
2
x x 0 1, x x 0 1
x0
( 2 x 0 1), 0 , 取 min(
2
2 x0 1
,1)，
得 当
x x0 , 有 x
x0
2
.
指 函 的 续 数 数 连 性
且严格增. 关于其它的反三角函数
sin( x tanx
2
) cos x 复 函 连 性 合 数 续 , cot x . cos x sin x , sec x
R上 续 . 连 1 cosx , csc x 1 sin x
sinx cosx
在 义 内 续 定 域 连
由 函 的 续 知 反 数 连 性 所 域 连 内 续 .
到, 具体过程请读者自行给出.
我们知道,常函数 y = c 与线性函数 y = x 都是 R 上 的连续函数, 故由四则运算性质, 易知多项式函数
P ( x ) a 0 a1 x a n x
n
也是连续函数.
同理,有理函数
P(x) Q(x) a 0 a1 x a n x b 0 b1 x b m x
x 0的 离 于 距小
.
y 1 f ( x1 ) , y 2 f ( x 2 ) ,
令
min{ y 2 y 0 , y 0 y 1 } 0 ,
x f
1
1
当 y U ( y0 ; ) 时 对 ， 应
( y )的 都 在 值 落
x1与 x 2 之 ， 间
怎么理解函数在闭区间上连续
怎么理解函数在闭区间上连续一个函数在闭区间上连续，意味着该函数在这个区间上没有任何跳跃或间断，并且能够实现平滑的过渡。
具体而言，函数在闭区间上连续意味着函数在区间内的每个点都存在定义，在区间的任意两点之间，函数值之间的差异也十分微小。
一个函数的连续性可通过以下几个方面来理解。
首先，函数在闭区间上连续，要求函数在区间内没有任何断点。
即在闭区间内，函数可以在所有点上被定义。
这意味着函数不能有任何未定义的点，也就是说函数在闭区间内的每个点上都有意义。
其次，函数在闭区间上连续，要求函数在该区间内没有任何跳跃。
具体来说，对于任意给定的x值，在闭区间内对应着一个函数值，那么在其附近只要有足够小的x值，对应的函数值也会十分接近。
这意味着函数的图像在闭区间内是连续平滑的，没有任何明显的断点或突变。
如果函数在某个点上存在跳跃或突变，那么它就不是在该点上连续的。
此外，如果一个函数在闭区间上是连续的，那么在该区间内的变化是连贯的。
这意味着函数变化不会突然地从一个值跳到另一个值，而是通过一个平滑的过渡实现变化。
换句话说，函数值的变化是相对平稳的，没有剧烈的波动。
一个函数在闭区间上连续的概念可以通过实际例子来进一步理解。
例如，考虑一个线性函数f(x) = 2x，在闭区间[0, 5]上连续。
这意味着在闭区间的任何点上都能够计算该函数的值，并且在区间内的任何两点之间，函数值之间的差异也很小。
综上所述，一个函数在闭区间上连续意味着函数在该区间内没有断点或跳跃，并且函数值的变化是连贯的。
这种连续性的概念在数学和实际应用中都具有重要的意义，它使我们能够更好地理解和描述函数的性质和行为。
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(a, b), 使 F( ) f ( ) 0, 即 f ( ) .
注意 构造辅助函数F( x)的一种方法
(1)从结论中将改写为x后，将它变为方程；
(2)则方程的一边即为F (x).
9
例4 设f ( x)在[0,2a]上连续，且f (0) f (2a)
证明 [0,a)使f ( ) f ( a)
2-8 闭区间上连续函数的性质
1
复习
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
f
( x)在x0处连续
lim
x x0
f (x)
f
(
x0
)
lim
x0
y
0
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
2.间断点的分类与判别;
间断点 第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型.
x[ x1 , xn ]
则m f ( x) M , i 1,2,, n
从而 m f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) M n
12
由介值定理的推论,至少存在一点x0∈[x1,xn],使
2
第九节 闭区间上连续函数的性质 一、最大值和最小值定理
最大(小)值定义: 对于在区间I上有定义的函数 f(x)
如果有 x0 I， 使得对于任一x I， 都有 f (x) f (x0) (或
f (x) f (x0)),则称f (x0) 是函数f (x)在区间I上的最大 (小) 值.
例如, y 1 sin x, 在[0,2]上,
，3 2
无最大值有最小值0
又如： x 1, x 0,1
f ( x) 1 , x 1
x 3, x 1,2
无最大值也无最小值.
y
y f(x)
1
o
12
x
5
定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.
证 设函数f ( x)在[a, b]上连续, x [a, b],
有 m f ( x) M , 取 K max{ m , M }, 则有 f ( x) K . 函数f ( x)在[a, b]上有界. 二、介值定理
y
ymax 2, ymin 0;
y sgn x, 在(,)上 )上，ymax ymin 1.
3
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.
说明：从图形上看成立. y
即 1,2 [a, b],
y f (x)
对于 x [a,b],
证 记F ( x) f ( x) f ( x a)则 F ( x)在[0,a]上连续([0,a]即F ( x)的定义域) 且F (0) f (0) f (a) F(a) f (a) f (2a) f (a) f (0)
若f (0) f (a) 则 0即为所求
若f (0) f (a) 则F (0) F (a) 0
8
例3 设函数 f (x) 在闭区间 a,b上连续，且 f (a) a,
f (b) b. 证明 (a,b), 使得 f ( ) .
证 令 F(x) f (x) x, 则F(x)在[a, b]上连续, 而 F (a) f (a) a 0, F(b) f (b) b 0, 由零点定理,
零点定义:如果 x0满足 f (x0 ) 0，则x0称为函数 f (x) 的零点.
定理3(零点定理)设函数 f ( x)在闭区间a,b 上连续，
且 f (a)，f (b) 异号，则在开区间(a,b)内，至少存在一
点 (a b)， 使得 f ( ) 0. (又叫根的存在定理).
即:方程 f (x) 0 在(a,b) 内至少存在一个实根.
有 f (1 ) f ( x), o a
2 1 b x
f (2 ) f ( x).
注意 1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
4
y
2 1
o 12 x
如：y x 在(0,2)内
无最大值无最小值.
又如： f ( x) x x
y
1
o 12 345x
在
1 2
由零点定理知 (0,a)使F ( ) 0
即f ( ) f ( a) 总之 [0,a)使f ( ) f ( a)
10
定理4(介值定理)
设函数 f (x)在闭区间a,b 上连续，且在该区间的
端点取不同的函数值f (a) A 及 f (b) B，那么，
对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a, b)内，
至少有一点，使得 f ( ) C (a b). （证略）
几何解释:
y
M
连续曲线弧 y f (x)与 B y f ( x)
C
水平直线 y=C 至少有
a
一个交点.
o
A
x1 1 2 3 x2 b x
m
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大
值M与最小值m 之间的任何值.
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例5 设f ( x) C([a, b]),a x1 x2 xn b,
6
几何解释:
y
连续曲线弧 y f (x) 的两
个端点位于x轴的不同侧， a o
y f(x)
b 1 2 3
x
则曲线弧与x轴至少有一个
交点.
例1 证明方程x3 4x2 1 0在(0,1)内至少有一个实根.
证 令 f (x) x3 4x2 1, 则f ( x)在闭区间[0,1]上连续, 又f (0) 1 0, 又f (1) 2 0, 由零点定理知,
证 明 至 少 存 在 一 点x0 [ x1, xn ]使 得
f ( x0 )
f ( x1 )
f (x2) n
f (xn ) .
证 因为f(x)∈C([x1,xn])，所以f(x)在[x1,xn]上有最大
值和最小值存在．
设M max f ( x), m min f ( x),
x[ x1 , xn ]
(0,1),使得 f ( ) 0, 即 3 4 2 1 0,
所以方程x3 4x2 1 0在(0,1)内至少有一个实根.
7
例2 证明方程x5 3x 1在x 1与x 2之间至少有一根. 证 令f(x)=x5-3x-1, x∈[1,2],则f(x)∈C([1,2]),
且f(1)=-3,f(2)=25, 故由零点存在定理,至少存在一点x0∈(1,2), 使得f(x0)=0, 即方程x5-3x=1在x=1与x=2之间至少有一根．
注意 构造辅助函数F( x)的一种方法
(1)从结论中将改写为x后，将它变为方程；
(2)则方程的一边即为F (x).
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例4 设f ( x)在[0,2a]上连续，且f (0) f (2a)
证明 [0,a)使f ( ) f ( a)
2-8 闭区间上连续函数的性质
1
复习
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
f
( x)在x0处连续
lim
x x0
f (x)
f
(
x0
)
lim
x0
y
0
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
2.间断点的分类与判别;
间断点 第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型.
x[ x1 , xn ]
则m f ( x) M , i 1,2,, n
从而 m f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) M n
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由介值定理的推论,至少存在一点x0∈[x1,xn],使
2
第九节 闭区间上连续函数的性质 一、最大值和最小值定理
最大(小)值定义: 对于在区间I上有定义的函数 f(x)
如果有 x0 I， 使得对于任一x I， 都有 f (x) f (x0) (或
f (x) f (x0)),则称f (x0) 是函数f (x)在区间I上的最大 (小) 值.
例如, y 1 sin x, 在[0,2]上,
，3 2
无最大值有最小值0
又如： x 1, x 0,1
f ( x) 1 , x 1
x 3, x 1,2
无最大值也无最小值.
y
y f(x)
1
o
12
x
5
定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.
证 设函数f ( x)在[a, b]上连续, x [a, b],
有 m f ( x) M , 取 K max{ m , M }, 则有 f ( x) K . 函数f ( x)在[a, b]上有界. 二、介值定理
y
ymax 2, ymin 0;
y sgn x, 在(,)上 )上，ymax ymin 1.
3
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.
说明：从图形上看成立. y
即 1,2 [a, b],
y f (x)
对于 x [a,b],
证 记F ( x) f ( x) f ( x a)则 F ( x)在[0,a]上连续([0,a]即F ( x)的定义域) 且F (0) f (0) f (a) F(a) f (a) f (2a) f (a) f (0)
若f (0) f (a) 则 0即为所求
若f (0) f (a) 则F (0) F (a) 0
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例3 设函数 f (x) 在闭区间 a,b上连续，且 f (a) a,
f (b) b. 证明 (a,b), 使得 f ( ) .
证 令 F(x) f (x) x, 则F(x)在[a, b]上连续, 而 F (a) f (a) a 0, F(b) f (b) b 0, 由零点定理,
零点定义:如果 x0满足 f (x0 ) 0，则x0称为函数 f (x) 的零点.
定理3(零点定理)设函数 f ( x)在闭区间a,b 上连续，
且 f (a)，f (b) 异号，则在开区间(a,b)内，至少存在一
点 (a b)， 使得 f ( ) 0. (又叫根的存在定理).
即:方程 f (x) 0 在(a,b) 内至少存在一个实根.
有 f (1 ) f ( x), o a
2 1 b x
f (2 ) f ( x).
注意 1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
4
y
2 1
o 12 x
如：y x 在(0,2)内
无最大值无最小值.
又如： f ( x) x x
y
1
o 12 345x
在
1 2
由零点定理知 (0,a)使F ( ) 0
即f ( ) f ( a) 总之 [0,a)使f ( ) f ( a)
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定理4(介值定理)
设函数 f (x)在闭区间a,b 上连续，且在该区间的
端点取不同的函数值f (a) A 及 f (b) B，那么，
对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a, b)内，
至少有一点，使得 f ( ) C (a b). （证略）
几何解释:
y
M
连续曲线弧 y f (x)与 B y f ( x)
C
水平直线 y=C 至少有
a
一个交点.
o
A
x1 1 2 3 x2 b x
m
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大
值M与最小值m 之间的任何值.
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例5 设f ( x) C([a, b]),a x1 x2 xn b,
6
几何解释:
y
连续曲线弧 y f (x) 的两
个端点位于x轴的不同侧， a o
y f(x)
b 1 2 3
x
则曲线弧与x轴至少有一个
交点.
例1 证明方程x3 4x2 1 0在(0,1)内至少有一个实根.
证 令 f (x) x3 4x2 1, 则f ( x)在闭区间[0,1]上连续, 又f (0) 1 0, 又f (1) 2 0, 由零点定理知,
证 明 至 少 存 在 一 点x0 [ x1, xn ]使 得
f ( x0 )
f ( x1 )
f (x2) n
f (xn ) .
证 因为f(x)∈C([x1,xn])，所以f(x)在[x1,xn]上有最大
值和最小值存在．
设M max f ( x), m min f ( x),
x[ x1 , xn ]
(0,1),使得 f ( ) 0, 即 3 4 2 1 0,
所以方程x3 4x2 1 0在(0,1)内至少有一个实根.
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例2 证明方程x5 3x 1在x 1与x 2之间至少有一根. 证 令f(x)=x5-3x-1, x∈[1,2],则f(x)∈C([1,2]),
且f(1)=-3,f(2)=25, 故由零点存在定理,至少存在一点x0∈(1,2), 使得f(x0)=0, 即方程x5-3x=1在x=1与x=2之间至少有一根．