机器学习-03-梯度降维法
梯度下降法的定义和基本思想
梯度下降法的定义和基本思想随着人工智能的兴起和深度学习的广泛应用，梯度下降法（Gradient Descent）成为了最常用的优化算法之一。
本文将从定义和基本思想两个方面介绍梯度下降法。
一、梯度下降法的定义梯度下降法是一种在机器学习和深度学习中常用的优化算法，其用于最小化损失函数（Loss Function）或最大化效用函数（Utility Function）。
在深度学习中，损失函数通常是一个高维多元函数，梯度下降法可以求出这个函数的最小值点。
具体来讲，梯度下降法是一种迭代的优化算法，每次迭代通过计算梯度来更新模型的参数，以使得损失函数不断减小，直到达到收敛条件为止。
在每个迭代步骤中，算法会沿着梯度负方向更新模型参数，使得下一步的预测结果更接近真实值，同时不断减小损失函数的值，以达到最优化的目标。
二、梯度下降法的基本思想梯度下降法的基本思想可以用一个简单的例子来描述。
假设有一个人想要从山上走到山下的村庄，但他不知道具体的路线，只能通过场地的坡度来判断行走的方向。
在初始位置时，他不知道应该向哪边走才能到达山下，但他可以判断出自己脚下的坡度高低。
假设他能根据现在所在的位置和坡度来确定下一步的走向，他可以通过下山的过程不断向着更低的点走去，最终到达山下村庄。
其实，梯度下降法的基本思想就是利用梯度信息确定优化方向，在目标函数上不断移动，以达到最优化的目的。
在机器学习中，我们通常会将损失函数视为目标函数，利用梯度下降法来求解最小化这个函数的模型参数。
对于一个函数f(x)，梯度下降法的基本思想是从一个初始点x0开始，计算函数在该点处的梯度g(x)，并将其乘以一个学习率α，得到一个新的点x1 = x0 - αg(x0)。
然后，重复这个过程，更新x2、x3...，一直迭代到目标函数的收敛点。
需要注意的是，梯度下降法的更新过程是一步一步进行的，每一步都只考虑梯度的负方向，并沿着这个方向更新模型参数。
此外，学习率α是一个非常重要的参数，它控制着更新步长的大小，过大会导致震荡，过小会导致收敛速度慢。
《梯度下降法》课件
随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）
总结词
计算量最小，收敛速度最快，适用于小数据集
详细描述
由于每次迭代只使用一个样本计算梯度，计算量最小，因 此随机梯度下降法的收敛速度最快。
详细描述
停止条件
迭代更新会一直进行直到满足某个停止条件，如达到预设的最大迭代次数、达到预设的精度要求或者梯度值足够 小等。
03
梯度下降法的分类
批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）
总结词
计算量大，收敛速度慢，适用于大数据集
详细描述
由于每次迭代都需要使用整个数据集，计算量大，导致收 敛速度较慢。
发展方向：
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结合其他优化算法： 研究如何将梯度下降法与其他优化 算法（如牛顿法、拟牛顿法等）结合，以提高搜索效率。
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自适应学习率： 研究如何设计自适应学习率策略，以更 好地处理不同阶段的优化问题。
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挑战：
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高维优化： 在高维参数空间中，梯度下降法可能会遇到 维度诅咒问题，需要研究有效的降维或正则化策略。
利用前一次的梯度方向来指导当前步的搜索方向 ，加速收敛并减少震荡。
公式表达
v = μ * v - lr * gradient
参数解释
v是动量，μ是动量系数，lr是学习率，gradient是 当前点的梯度。
Adagrad、RMSprop和Adam优化算法
Adagrad
针对不同参数自适应调整学习率，对稀疏数据有较好 的效果。
梯度下降法详解
梯度下降法详解梯度下降是机器学习中的常用算法，通过不断迭代计算函数的梯度，判断该点的某一方向和目标之间的距离，最终求得最小的损失函数和相关参数，为建立线性模型提供支持。
梯度下降是一种广泛用于求解线性和非线性模型最优解的迭代算法，它的中心思想在于通过迭代次数的递增，调整使得损失函数最小化的权重。
它的作用是用于优化一个目标函数，如果要最小化一个损失函数，使用的就是梯度下降法，如果要最大化一个效用函数，使用的是梯度上升法。
简而言之：1. 梯度下降就是用来求某个函数最小值时自变量对应取值。
2. 损失函数就是一个自变量为算法的参数，函数值为误差值的函数。
所以梯度下降就是找让误差值最小时候算法取的参数。
梯度下降算法最开始的一点就是需要确定下降的方向，即：梯度。
我们常常用来表示梯度。
对于一个二维空间的曲线来说，梯度就是其切线的方向。
如下图所示：而对于更高维空间的函数来说，梯度由所有变量的偏导数决定。
在机器学习中，我们主要是用梯度下降算法来最小化代价函数。
梯度下降算法的主体逻辑很简单，就是沿着梯度的方向一直下降，直到参数收敛为止。
这里有几点需要说明：1.收敛是指函数的变化率很小。
具体选择多少合适需要根据具体的项目来确定。
在演示项目中我们可以选择0.01或者0.001这样的值。
不同的值将影响算法的迭代次数，因为在梯度下降的最后，我们会越来越接近平坦的地方，这个时候函数的变化率也越来越小。
如果选择一个很小的值，将可能导致算法迭代次数暴增。
2.公式中的称作步长，也称作学习率（learning rate）。
它决定了每一步往前走多远，关于这个值我们会在下文中详细讲解。
你可以暂时人为它是一个类似0.01或0.001的固定值。
3.在具体的项目，我们不会让算法无休止的运行下去，所以通常会设置一个迭代次数的最大上限。
梯度下降家族BGD在上面的内容中我们看到，算法的每一次迭代都需要把所有样本进行遍历处理。
这种做法称为之Batch Gradient Descent，简称BGD。
steepest-descent method
梯度下降法是一种常用的优化算法，它在机器学习领域得到了广泛的应用。
本文将从梯度下降法的定义、原理、算法流程、优化技巧和应用案例等方面进行介绍，希望能够为读者对梯度下降法有一个全面的了解。
一、梯度下降法的定义梯度下降法（Gradient Descent）是一种用于求解最优化问题的迭代算法。
在机器学习中，梯度下降法被广泛应用于训练各种模型，如线性回归、逻辑回归、神经网络等。
其核心思想是通过不断更新参数的数值，使得目标函数（损失函数）的值不断减小，从而找到最优解。
二、梯度下降法的原理梯度下降法的原理基于多元函数微分的概念，即通过对目标函数的导数进行计算，找到目标函数在当前点的梯度方向，然后沿着梯度的负方向进行参数的调整，从而使目标函数的值逐渐减小。
这一过程可以理解为在参数空间中寻找一条能够使得目标函数值最小化的路径。
三、梯度下降法的算法流程梯度下降法的算法流程可以简单描述为以下几个步骤：1. 初始化参数：对模型的参数进行初始化，可以采用随机初始化或者其他合适的方法。
2. 计算梯度：根据当前的参数值，计算目标函数的梯度方向，即目标函数对参数的偏导数。
3. 更新参数：沿着梯度的负方向对参数进行调整，使得目标函数的值减小。
参数的更新通常按照如下公式进行： \[ \theta = \theta -\alpha \cdot \nabla J(\theta) \] 其中，\(\theta\)为参数向量，\(\alpha\)为学习率，\(\nabla J(\theta)\)为目标函数的梯度。
4. 判断停止条件：重复步骤2和步骤3，直到达到某个停止条件，比如目标函数的值收敛到某个阈值，或者参数的更新变化小于某个阈值。
四、梯度下降法的优化技巧梯度下降法在实际应用中存在一些问题，比如学习率的选择、局部最小值的问题、收敛速度等。
为了解决这些问题，研究者提出了许多优化技巧，包括但不限于：1. 学习率衰减：随着迭代次数的增加，逐渐减小学习率，可以使得参数更新幅度逐渐减小，有利于收敛。
梯度下降原理
梯度下降原理
梯度下降是机器学习领域中评估和最小化目标函数时采用的一种优化算法，它通过计算目标函数偏导数，使得参数值在迭代中到达最小值，以达到最小化目标函数的目的。
梯度下降法由参数空间中的曲面表示。
给定一个目标函数，从起点出发，根据目标函数的方向导数及步长等参数，逐步降低目标函数的值，最终达到最小值的位置，即算法的最优解。
由于梯度下降法可以迅速找到局部最小值，它已成为机器学习领域最常用的优化算法之一，非常适用于简单和非线性模型。
机器学习任务通常以损失函数表示，梯度下降法可以处理一系列损失函数，比如交叉熵损失、SVM损失和线性回归损
失等等。
通常，梯度下降法的过拟合问题（overfitting）可以通过使用权重衰减（weight decay）或正则化（regularization）的方法来解决，其中减少权重衰减的正则项的程度取决于模型的复杂度，以及模型训练集和测试集上的超参数，像学习速率和步长。
此外，梯度下降法还可以整合其他优化算法，比如Adam，Nesterov动量梯度，RMSprop等，它们都可以提高梯度下降算法的收敛速度和精度，使得模型更加准
确和稳定，提高模型训练效果。
综上所述，梯度下降法是一种有效的机器学习优化算法，它能够快速地搜索最低点，使参数值更加精确，而且可以通过与其他优化算法的结合，从而更好地提高模型性能和改善模型训练效果。
数据分析知识：数据挖掘中的梯度下降法
数据分析知识：数据挖掘中的梯度下降法梯度下降法是机器学习中一个非常重要的优化算法，也是数据挖掘过程中经常会用到的一种方法。
在大规模数据处理和模型训练中，梯度下降法可以提高算法的效率和精度。
本文将详细介绍梯度下降法的原理、应用及其在数据挖掘中的重要性。
一、梯度下降法的原理梯度下降法是一种迭代优化算法，它主要通过不断调整参数以减少误差来逼近最优解。
梯度是一个多元函数在某一点的导数向量，其方向与函数值下降最快，也就是负梯度方向为函数下降最快的方向。
因此，梯度下降法也被称为“最速下降法”。
具体来说，梯度下降法从任意初始值开始，通过逐步迭代更新参数的值，将函数的值最小化。
在每一次迭代中，梯度下降法计算函数的导数，然后沿着负梯度的方向调整参数，直到误差达到一定阈值或者达到最大迭代次数为止。
梯度下降法有两种变体：批梯度下降法和随机梯度下降法。
批梯度下降法需要同时计算全部数据的梯度，然后更新参数；而随机梯度下降法仅使用一小部分样本点来更新参数，因此可以处理大规模数据集。
二、梯度下降法的应用梯度下降法广泛应用于各类机器学习算法中，如线性回归、逻辑回归、神经网络等。
下面分别介绍这些算法中梯度下降法的应用。
1.线性回归线性回归是一种基本的机器学习算法，它通过寻找一条直线来对数据进行拟合。
线性回归的目标是最小化样本点的误差平方和，即使得损失函数最小化。
在使用梯度下降法更新参数的过程中，每一次迭代需要计算所有样本点的梯度，因此在处理大规模数据时会耗费较多计算资源。
为了提高效率，我们可以使用随机梯度下降法。
在随机梯度下降法中，每一次迭代仅使用一个样本点来更新参数，因此可以快速收敛，但由于只使用一个样本点，可能会导致收敛方向不稳定和幅度不一致。
2.逻辑回归逻辑回归是一种二分类问题的算法，它通过学习一组参数来对样本点进行分类。
逻辑回归通常使用sigmoid函数将样本点的输出值转换为概率值。
在使用梯度下降法更新参数的过程中，每一次迭代需要计算所有样本点的梯度，同样也会耗费较多计算资源。
机器学习中的降维算法
机器学习中的降维算法在机器学习中，数据的维度是一个关键因素，对于大规模数据集和高维数据而言，维度的影响会更加显著。
例如，在高维空间中，数据的密度会逐渐变得稀疏，并且数据点之间的距离也会逐渐增加，这种现象被称为“维度灾难”。
为了解决这个问题，降维算法应运而生。
降维算法可以将高维数据映射到低维空间中，从而减少数据集的维度。
降维算法的核心思想是，在保留原始数据尽可能多的信息的前提下，通过数据的一些特征或者属性来描述数据，这样就可以将原始数据映射到低维空间中。
降维算法广泛应用于数据挖掘、模式识别、图像处理等领域。
降维算法的类别在机器学习中，常见的降维算法有两类：线性降维和非线性降维。
线性降维线性降维算法是将原始数据映射到低维线性空间中。
主成分分析（PCA）是一个经典的线性降维算法，它通过对数据进行特征值分解，找到数据中最主要的成分，并用这些成分来重新表示数据。
PCA算法可以应用于信号处理、图像处理、网络分析等领域。
另一个常见的线性降维算法是线性判别分析（LDA），它可以在分类任务中使用。
非线性降维非线性降维算法是将原始数据映射到低维非线性空间中。
核主成分分析（Kernel PCA）是一个常见的非线性降维算法，它使用核函数来将数据映射到高维空间中，然后再使用PCA算法来对数据进行降维。
Isomap和局部线性嵌入（Locally Linear Embedding）是另外两个常见的非线性降维算法，它们是基于图形的方法，可以用于处理非线性数据集。
降维算法的应用机器学习中的降维算法在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在图像识别任务中，使用PCA算法可以将高维的图像数据集映射到低维空间中，从而提高图像分类的性能。
在推荐系统中，使用非线性降维算法可以将用户和项目映射到低维空间中，从而实现推荐。
另外一个关键应用是数据可视化。
数据的可视化可以帮助用户更好地理解数据结构和特征。
通过将高维数据映射到二维或三维空间中，可以使数据更加易于理解和处理。
机器学习技术中的梯度下降与随机梯度下降算法性能比较与应用案例
机器学习技术中的梯度下降与随机梯度下降算法性能比较与应用案例梯度下降（Gradient Descent）和随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）是在机器学习中常用的优化算法。
它们被广泛应用于各种机器学习任务中，如线性回归、逻辑回归、深度神经网络等。
本文将比较这两种算法的性能，并介绍它们在实际应用中的案例。
首先，我们来了解梯度下降算法。
梯度下降是一种迭代优化算法，旨在找到一个函数的最小值，通过迭代更新参数，使目标函数逐渐收敛。
在每次迭代中，梯度下降算法计算函数在当前点的梯度，并以负梯度方向调整参数值。
这样，算法将逐步朝着最优解的方向迭代，直到收敛于最优解。
相比之下，随机梯度下降算法则是一种更加高效的优化算法。
随机梯度下降在每次迭代时，不再计算全部样本的梯度，而是仅仅选取一个随机样本计算梯度并更新参数。
因此，随机梯度下降的计算开销相对较小，迭代速度更快。
尽管每次迭代的方向可能会有一些波动，但在长时间的迭代过程中，随机梯度下降也能找到接近最优解的解。
梯度下降和随机梯度下降算法的选择取决于数据集的规模和问题的复杂性。
对于小数据集和参数较少的情况，梯度下降算法常常可以很好地工作。
而对于大规模数据集和高维参数的情况，随机梯度下降算法则更具优势。
此外，随机梯度下降也适用于在线学习场景，在每次迭代中，可以及时处理新的样本并更新模型。
在实际应用中，梯度下降和随机梯度下降算法都有广泛的案例。
以线性回归为例，这是一个求解最小二乘问题的经典机器学习任务。
梯度下降算法可以通过最小化损失函数，求得线性回归模型的最优参数。
而随机梯度下降算法也能应用于线性回归任务中，通过在每次迭代中随机选择一个样本计算梯度，并更新参数。
实际上，随机梯度下降算法对于大规模线性回归问题的求解更加高效。
另一个应用案例是深度神经网络的训练。
深度神经网络通常包含大量的参数和复杂的计算图结构。
对于这种复杂模型，梯度下降算法会面临较大的计算负担，而随机梯度下降算法则能够更快地逼近最优解。
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temp1=
a0 = temp0 a1 = temp1 用新的a0和a1计算一下代价函数值 }
直到代价函数值不再变化或是变化很小，可以忽略不计的时候，就说明我们已经找到了需要的a0和a1
a α J(a , a ) a 看到上面的结论，是不是有点晕？没关系，我们慢慢来，上面的一大串结论里面，对于没有学习过高等数学的人 来说，最麻烦的也许就是那个求偏导，完全搞不懂是什么，没关系，那个值我之后会给出，会求偏导的，可以自 己算一下。
A
B C
导数的含义
之前的例子，为了便于理解，我用的是只有一个参数的J（a1），当有两个参数的时候，图像是三维的，所以在 确定下山方向的时候，要分别对a1和a2求偏导，得到两个方向上的增量，这样才可以确定出下一步的位置。你们 看，是不是和经典物理里面求合力的情况有点像？
实际上，梯度降维法可以用在更一般的情况，有n个参数的时候也是一样的求法，只不过为了让大家可以尽量不去 理解超过三维的内容，所以我用了一个参数和两个参数的情况作为例题讲解
导数的含义
我们再来看看，如果我的上一个点不在最低点的左边，而在最低点的右边，会是什么情况呢？ J(a1) 假设上一个点在A 我们利用梯度降维法，就需要做下面这件事来找到点B
A
B
这种情况下，A的斜率变为了负值，我们新的点依然会朝着 最小点的方向前进，这就是导数（斜率）的神奇之处。它保 障了我们的算法永远向着目标前进 a1 到目前为止，我们看到了斜率可以在方向上保证我们永远向 着最低点前进，下面，我们看看这个斜率对我们步子的大小 有什么作用。
0 0 1 0
梯度降维法实现
下面，我就介绍一下那个结论中的几个概念 学习速率（下山的步子有多大） 方向（朝什么方向走）
刚才的例子中，不断的循环过程，就是在不断的寻找下一步往哪走，而这“下一步”就是由方向和步子大小决定的， 学习速率就好比下山时的步子大小，而那个偏导就是我们下山的方向，就这样，我们会一步一步走到最低点。
谢谢！
导数的含义
实际上，随着我们的计算越来越接近最低点，斜率可以保证我们的步子越来越小，尽量不越过最低点 J(a1) 假设我们从A点出发，到了B点，经过几轮循环以后，我们 的数值已经到达了C点 C点的斜率已经明显发生了变化，我们可以看到，C点切线 的斜率与之前相比，已经变得更小了，这时，对于相同的学 习速率α来说，每次的变化都更小了 所以，越接近最低点，步子的变化会越来越小，是我们尽量 不会越过最低点。 a1 注意，这里说的是尽量不越过，如果你的α选择得很大，还 是会越过，还会出现一只无法到达最低点的情况，不过我们 可以先不要关心这一点，在后面我会讲到如何选择合适的α
这是你可能会问，为什么方向会是两个？一个对a0求偏导，一个对a1求偏导。下面我们来说说导数的含义
导数的含义
我们先把代价函数简化一下，看看一个变量的代价函数图像。在上一节中我们知道了，J(a1)的函数图像如下 J(a1) 假设我们的初始点在A 我们利用梯度降维法，就需要做下面这件事来找到点B
A B
我们可以看到，新的a1实际上是原来的值减去一个值 减去的这个值由学习速率和一个导数组成 这个导数的意义，实际上是点A的斜率 a1 我们沿着斜率的方向，就可以保证下一步的值肯定比这一步 要小，我们可以看到，我们沿着斜率前进了α，得到了一个 新的a1，从而得到了新的点，这个点离我们的最低点更近了 这个时候你可能会想明明是减去一个值，为什么a1会向右跑 了呢？别忘了斜率的含义，你看看这条直线的方向，此时的 斜率是负数，减去一个负数，所以值增加了。
梯度降维法工作原理
思考： 你可以把代价函数的图像，想想为群山 而你在这群山中的任意一点
你需要下到更低的地方，你会怎么做？
梯度降维法工作原理
思路： A 假设，我在点A，我会环顾一下四周 看看哪个方向的高度比我所在点更低 然后朝那个方向前进一小步，到点B
B
到了B点以后，继续刚才的操作，一 步一步，慢慢的，我会发现我到了某 个点，这个点四周的高度都比现在的 高度要高，这个时候就可以停止了 这就是梯度降维法的基本思路
偏导的结果
之前的公式，我们复习一下
这里一直有一个问题困扰着不会求偏导的同学，那就是这个偏导该怎么求，我不打算在这里将数学分析的内容重新 讲一遍，所以我决定直接给出求偏导的答案，大家可以放心使用。
求出偏导以后的梯度降维法如下： 然后循环下面这一段{
注意：这里的xi和yi就是我们做回归分析时， 事先知道的点的实际值，m则是这些已知值 的个数。 补充说明：对于这种根据已知的值，进行学 习的过程，我们叫做监督学习。而这些已知 的值，我们叫做训练集。就如字面意思，我 们的目的，是根据已知的数据，将算法训练 成更优秀的算法。从而达到计算机的智能学 习。
回归分析
梯度降维法
梯度降维法解决什么问题
假设y的值与n个因素有关，他们分别是x1、x2、x3......xn，且经过调研，我们已经掌握了m组实际值
我们可以将他们的关系用函数y=a0+a1*x1+a2*x2+a3*x3......+anxn进行拟合 根据之前的结论，代价函数J(a0,a1,a2......an)=1/2m*∑( f(xi) - yi )² 那么我们就需要根据已知的m组值，找出一组（a0,a1,a2......an），让代价函数的值最小 上面所说的梯度降维法，就是专门求解minJ(a0,a1,a2......an)问题的一种有效方法 为了更直观地看到梯度降维法是如何工作的，我们接下来只看两个因素的问题，即J(a0,a1)问题
a0 = temp0
a1 = temp1 用新的a0和a1计算一下代价函数值 }
直到代价函数值不再变化或是变化很小，可以忽略不计的时候，就说明我们已经找到了需要的a0和a1
关于一点说明
前面为了讨论梯度降维法如何工作，所以我用的函数图并不真实，对于那种“崇山峻岭”的图，你会发现，用 梯度降维法，你可能只到达了一个局部最低点，而不是真正的最低点，那我们用梯度降维法的时候，是不是 会有这种局限性呢？ 很幸运的，不会！因为线性回归问题的代价函数，不可能有局部最低点，他们的图像，都是弓形图，这一点 我之前提到过，所以不用担心这一点。 J(a0,a1)
a1 a0
本章节结束语
这一节，我们学习了如何使用梯度降维法解决两个参数的线性回归问题，如果你顺利看到这里，并且掌握了 请先“沾沾自喜”一下，因为你已经踏入了机器学习的大门，不过这只是开始，后面的路还长。 不过也不用害怕，到目前为止，你也看到了，即使不懂高等数学，你也是可以看明白我说了什么，下面的课时 我们也会以这种方式进行。 在接下来的课时里，我们会讨论更一般的情况，多元的线性回归问题，以及如何用梯度降维法去解决这些问题 你可能会问，那非线性的问题怎么办呢？这个不用担心，我也会讲清楚非线性的回归问题怎么解决，所以请保 持你的耐心，胜利必会到达。
temp
1
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Байду номын сангаас
(f(x i ) y ) * x i i i
1
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梯度降维法实现
在这里，我要先给出结论，梯度降维法的实现方式如下（伪代码） 针对代价函数J(a0,a1)，我们要找到一个任意的初始点（a0,a1） 设置两个变量temp0=0;temp1=0;这两个变量我们接下来会用到 然后循环下面这一段{ temp0= 注意： 有一点很容易出错，a0和a1一定要同 时更新，否则，如果先更新a0，再对 a1求偏导的时候，此时的a0是已经更 新过的，偏导求的就不对了，所以一 定要同时更新，切记。