微观金融学及其数学基础10
西安交通大学专业课程设置
西安交通大学现代远程教育学院对于切削刀具生产商来说，最神圣的成就莫过于能满足客户在更高生产效率、更长切方面的要求，重要因素之一就是涂层技术和制造工艺上现代涂层技术已经使将不同材料一层层地加在硬质合金刀片上成为可能。
只要适当调配序，以及选用合适的涂层制造技术，就能大幅度改进性能，并可显著提高金属切削的生产何让步。
目前有两种基本涂层技术可供选择：一种是化学气相沉积法（简称CVD），另一种是物理良好的耐磨性时使用CVD；而需要获得最大限度的切削刃边缘韧性时则采用PVD。
现代刀片用作不同的涂层，并与几种中间体薄层作时效处理，以达到良好的附着力及其所需晶体和具有不同属性的晶粒结构存在。
CVD工艺在880～l000℃的温度中进行。
涂层在反应器中形成，做法是严格控制几种活性气应器中暴露于这些气体中。
不同的涂层就这样逐个原子地慢慢形成。
在如此高温下，所形料和硬质合金刀片的热膨胀系数不同，因此便开始形成扩张应力，当反应器冷却时逐步在层材料断裂韧性的水平时，涂层便开始龟裂，于是便形成冷却裂纹。
达到室温后，涂层也干旱的冷却裂纹。
裂纹和扩张应力降低了CVD涂层刀片的韧性。
但是，如果用适当的后处应力并使表面光滑。
另外，通过在靠近涂层表面将冷却裂纹闭合，也可另一种新的后处理技术是让涂层表面接受强烈的材料冲击，所产生的冲击波穿过涂层，改应力状态，这样就产生厚实的防磨涂层，其刀口边缘韧性可以达到与目前应用较多的CVD涂层是两层TiCN涂层加上Al2O3，较厚的TiCN涂层有助于改善两侧抗低月牙洼磨损，并可作为一道热屏障，保护热敏感的硬质合金材料。
如果Al2O3的厚度和并进一步改善耐磨性。
以前，增加Al2O3涂层厚度意味着降低其韧性，并增加出现涂层分是说，不同属性之间总要作出某种程度的牺牲）。
应用后处理技术，就有可能在切削刃升到能与PVD涂层媲美的水平，使其更适合于断续切削和更高速度的应用场合。
另外，在降低其它方面的属性。
此外使用超细晶粒硬质合金新材料也是新的突破，新的硬质合金材料带有一定含量的铬，独特的切削刃边缘韧性和安全性水平都显著高于普通更长切削时间，以及在多种切削条件下具有更佳性能等要因素之一就是涂层技术和制造工艺上的突破。
微观经济学 数学基础 第9章 随机过程I
有了前面的准备工作，我们现在就可以着手学习，研究现代金融理论所必须也是最重要 的数学工具——随机过程理论了。为什么金融理论研究中一定要使用随机过程理论呢？这是 因为在金融现象中一些主要价格指标例如利率、汇率、股票指数、价格等等都表现出一定的 随机性(randomness)。股票价格明天会是多少，一直吸引和困惑了最富有头脑的理论家和实 践者，早期金融思考就是试图对这个问题作出令人信服的回答1，越来越多的证据显示：人 们倾向认识到，试图超越市场去预测价格走势，总体上是徒劳的，只有通过使用随机过程理
这三种形式的效率构造出整个可获得信息的嵌套结构。但是很不幸，迄今为止它还不 能被经验检验所证实。这是因为市场效率必须和一个市场均衡模型同时被联合检验，研 究者无法分辨究竟哪一个因素对结论更有说服力或者反面作用。在经验研究产生任何有 决定性的结论之前，市场效率与其说是作为一种理论，还不如说是作为一个信念而存在。
6 也可以称之为一次实现(realization)或者轨迹(trajectory)。它实际上是随机过程的一个历史记录，是现代模 拟(simulation)技术的基础。
7 这时的时间参数集为 T = {tk : k = 0,1,2......}，有时就直接简化为 T = {k : k = 0,1,2......} 。
微观金融学中使用上述随机微积分技术来研究诸如衍生金融产品定价、动态消费/投资 决策等问题。以随机过程为基础的最优化方法归属于动态随机规划方法之下，以 Samuelson、 Merton、Black、Scholes 等人的研究成果为最杰出的代表。本章中就提供它们的最重要两种 应用——为欧式看涨期权定价和求解动态消费/投资问题。
9．1．1 定义 假设 Ω = {ω} 是随机试验的样本空间， T 是一个参数集(往往是时间)，如果对于每一个 t ∈T ，都有随机变量 X (ω, t) 与之对应，则称依赖于 t 的一族随机变量 X (ω,t) 为随机过程， 也可以称为随机函数。 我们可以把一个随机过程看成两个自变量，即状态和时间的函数。ω 的定义域是整个样 本空间， t 的定义域是整个时间轴 [0, ∞) 或者其中的一个时间段 [0,T ] ，即：
政治经济学专业硕士研究生培养方案(020101)
政治经济学专业硕士研究生培养方案（020101）一、培养目标本专业主要培养德、智、体全面发展，适应社会主义市场经济要求和现代化建设需要的高层次经济学研究人才、高校师资及经济实务部门的高级应用人才。
要求研究生作到：1、掌握马克思主义、毛泽东思想、邓小平理论的基本理论，坚持四项基本原则，拥护党的路线、方针、政策，热爱祖国，明礼诚信，遵纪守法，品德良好。
2、掌握本学科系统而坚实的基础理论和专门知识，有从事科学研究和担负某项专门工作的能力。
3、熟练掌握一门外语，对第二外语有一定了解。
4、身体健康，心理素质良好。
二、研究方向1、马克思主义经济理论研究2、社会主义市场经济研究3、企业制度的理论与实践三、学制学制3年，至少修满35学分。
其中课程学习1年半，毕业论文写作时间为一年。
四、课程设置公共课研究生课程分为必修课和选修课，必修课包括公共必修课和专业课1、公共课马克思主义与社会科学方法论（2学分）英语（5学分）中国特色社会主义理论与实践研究（2学分）2、学科基础课中级微观经济学（3学分）中级宏观经济学（3学分）计量经济学（3学分）3、专业主干课政治经济学研究（3学分）社会主义市场经济研究（3学分）制度经济学（3学分）宏观经济运行分析（3学分）4、选修课（至少选12学分）发展经济学（2学分）博弈论与信息经济学（2学分）金融经济学（2学分）当代经济学流派（2学分）规制经济学（2学分）《资本论》研究（2学分）公共经济学（2学分）经济数学方法（2学分）当代资本主义研究（2学分）五、教学实践研究生参加教学实践的教学工作量相当于助教一个月的工作量。
教学实践经考核合格者计2-学分，效果不好的，不给学分，但允许重新安排一次教学实践。
六、业务实习和社会实践社会实践活动时间一个月，一般在第二学年进行，业务实习和社会实践不计学分。
七、学位论文研究生学完规定的课程并取得相应的学分后，方可进行毕业及学位论文的写作，论文写作时间不得少于1年，不计学分。
金融学的微观基础
金融学的微观基础全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：金融学是一门研究货币和金融市场的学科，其微观基础是指通过对个人、家庭和企业在金融决策中的行为进行分析，来揭示金融市场的运行规律和特性。
金融学的微观基础研究对了解金融市场的运作机制和金融决策的影响至关重要，它构成了金融学理论的基础框架，为实践提供了理论指导。
金融学的微观基础主要包括行为金融学、信息不对称、市场假说、资产定价理论等内容。
行为金融学是金融学中的一个重要分支，它研究人们在金融决策中的心理和行为偏差，揭示人们在金融市场上的错误决策和偏差行为，从而影响金融市场的有效性和效率。
信息不对称是指在金融市场中，不同参与方拥有不同的信息，造成市场信息不对称，进而影响市场的效率和资源分配。
市场假说则认为市场是理性的，价格反映了市场参与者所有的信息，市场价格是市场上所有信息的集成和反映，而投资者根据市场价格做出决策。
资产定价理论则是研究资产价格形成的规律和原因，通过量化分析资产的风险和回报之间的关系，为投资者提供权衡利益和风险的依据。
金融学的微观基础研究对金融市场的运行和发展有着重要的影响。
通过对人们金融决策行为的研究，可以了解人们在金融市场中的行为模式和规律，为投资者提供更科学的投资建议和决策依据。
通过对市场信息不对称和资产定价理论的研究，可以帮助投资者更好地理解市场的变化和风险，从而更好地把握投资机会和规避风险。
通过对市场假说的研究，可以促进市场的透明度和公平性，提高市场的效率和资源分配的合理性，有利于金融市场的稳定和发展。
第二篇示例：在金融市场方面，微观基础理论帮助我们理解金融市场的运作机制和行为规律。
金融市场是金融活动的载体和场所，它通过买卖资产、证券等方式实现资源配置和风险分散。
在金融市场中，个体投资者和机构会根据自身的信息、偏好、预期和限制进行投资和交易活动，从而影响市场价格和交易量。
微观基础理论通过对投资者行为和市场情况的分析，揭示了市场价格形成的内在机制和市场波动的原因，为投资者提供了更准确的信息和决策依据。
微观经济学课后习题答案(高鸿业)
微观经济学课后习题答案<高鸿业版>第1章课后习题详解1．回想你看到过或接触过的西方经济学著作.它们各自属于本章所说的三种类别中的哪一种?答：第一类，企事业的经营管理方法和经验。
如行情研究、存货管理、产品质量控制、车间生产流程布局等内容。
著作有《现代企业财务管理》等.第二类，对一个经济部门或经济问题的集中研究成果.如资源经济学、商业经济学、农业经济学、石油经济学，对税收、财政和通货膨胀等问题的论述。
著作有《资源经济学》、《农业经济学》.第三类,经济理论的研究和考察。
如微观经济学、数理经济学、福利经济学、经济思想史等.著作有《宏观经济学》、《微观经济学》、《经济思想史》等。
2．为什么我国学员学习西方经济学的目的不同于西方？答：由于西方经济学具有双重性质,它既是资本主义的意识形态，由是资本主义市场经济的经验总结，这就决定了我国学员学习它所应持有的态度：在整个的理论体系上或整体倾向上对它持否定的态度，而在具体的内容上应该看到它的有用之处,是否真正有用还需要考虑到国情的差别，应结合我国的国情加以借鉴吸收，做到“弃其糟粕、取其精华、洋为中用”。
（1)我国学习下岗经济学的主要目的在于从中得到对我国有用的知识,即“学以致用”.对西方经济学而言,“为艺术而艺术”的学习目标是不适用的。
因为，如果不是为了“实用”而学习,那么还不如去从事其它的活动.“经济学”这一名词的英文来源是希腊文的名词“家庭管理”。
由此也可以看出西方经济学的“致用"的性质.（2)既然学习西方经济学的目的是为了“致用"，那么就必须注意到它涉及对西方“致用”的两个特点：其一，它宣扬西方国家的意识形态，以便巩固西方社会的共识或凝聚力，即增加西方学者所说的“社会无形资本"；其二，它总结西方市场运行的经验，以便为改善其运行提供对策。
西方经济学之所以能够存在于西方，其原因即在于此；这就是说：它存在于西方的原因正是由于他对西方国家有用。
(2024版)中级微观经济学教学大纲
可编辑修改精选全文完整版《中级微观经济学》课程教学大纲课程代码：50140035课程名称：中级微观经济学课程基本情况：1．学分：3学分学时：48学时2．课程性质：必修3．适用专业：经济学适用对象：本科4．先修课程：经济学原理、高等数学5．首选教材：范里安著，费方域译，《微观经济学：现代观点》第六版，上海：上海人民出版社。
二选教材：平新乔著，《微观经济学十八讲》，北京：北京大学出版社，2001。
参考书目：[1]、高山晟著，刘振亚译，《经济学中的分析方法》，北京：中国人民大学出版社，2001；[2]、张维迎著，《博弈论与信息经济学》，上海：上海三联出版社、上海人民出版社，1999；[3]、Hal Varian, Intermediate Microeconomics: A Modern Approach, sixth edition,W.W.Norton & Co., 2005；[4]、曼昆著，梁小民译，《经济学原理》（第3版·上、下册），北京：机械工业出版社，2003。
[5].平狄克、鲁宾费尔德著张军译，《微观经济学》第四版，北京：中国人民大学出版社，2002；[6].曼斯费尔德著，黄险峰等译，《微观经济学》（第九版），北京：中国人民大学出版社，2003；6．考核形式：闭卷考试+平时表现（期末闭卷考试占70%；平时表现占30%）7．教学环境：要具备必要的现代化教学工具，如多媒体教室。
课程教学目的及要求：微观经济学是学习和掌握现代主流经济学的基础课程，是迈进经济学殿堂的重要阶梯。
现代经济学已经发展出一整套可经证伪的理论体系，与其他社会科学相比，它更趋近于自然科学，因而是一门更为“科学”的社会科学。
本课程旨在讲述两百年来经济学关于资源配置的解释性逻辑框架，演绎新古典经济学的理论架构，培养学生经济学的思维方式，使得他们能够像经济学家那样去思考现实中的各类经济问题。
学生通过学习，一方面需要把握微观经济理论的框架体系，弄清微观经济理论的基本内容，掌握其分析方法，了解其最新发展；另一方面，也是极为重要的，需要学会如何用所学到的理论分析工具，解释和分析现实中的经济问题。
微观金融
交易成本或信号理论，和随后重视公司的制度安排的代理理论，这个以资本成本为基础的
研究体系完整地反映在公司金融学教科书中。三、微观金融学和其他学科的交叉学科。微
观金融和数学形成的数理金融学和金融计量学；微观金融和心理学、生理学和组织行为学
提供资金和资本 (To Raise or Provide Funds or Capital)。如何筹集、谁愿意提供、供
求关系到底由什么来决定是其定义的侧重点。Steven Ross概括了现代Finance的四大课题
：收益和风险(Arrow-Debru均衡和无套利假设)、效率市场（理性人与等价鞅测度）、金融
使一国资本成本的最小化，也体现了金融学的终极目标，而且宏观金融涉及的变量更多更
复杂，研究起来丝毫不比微观金融难，而微观金融则是将宏观环境变量作为外生变量，相
对而言问题简单。关于宏观金融研究问题，我们另文讨论。下面重点讨论微观金融的研究
问题。
微观金融学作为一个学科有其基础研究和应用研究，而国内将金融学划归为应用经济
而金融工程（就是《连续时间金融》里的内容）用数学比较多，建议楼主往这方面发展。
网上流传很广的一篇文章《一个CCER研究生的学习感悟》，里面有段是讲金融学的学习方法的
金融学学习经验
主要阐述偏研究和偏实务的不同学习策略，可能适用的书籍、网址和其他资源，强调不能,只关注直接融资，忽视其他融资方式，割裂的分析金融市场。
（二）一些促进思考的途径
1．找一个bbs经常灌水，最好是当版主，关注每日动态，而且应该尝试对消息做一个分析和评论，写作能强迫你认真的分析，加深对现象的理解。
金融工程参考书目
金融工程参考书目一、数学与统计学知识1．《概率论与数理统计》教材自选2．掌握一至两个统分析软件，如SAS、TSP、SPSS、Eviews、Gauss等二、经济学类1．《经济学》（上、下）；斯蒂格利茨著；中国人民大学出版社。
F091.3/H12 浦2．《微观经济学：现代的观点》；H•范里安著；上海三联出版社。
3．《当代资产阶级经济学主要流派》；胡代光、厉以宁编著；商务印书馆。
4．《当代西方经济学说》；刘涤源、谭崇台主编；武汉大学出版社。
5．《宏观经济学》；多恩不什著；中国人民大学出版社。
6．《发展经济学》；吉利斯、波金斯等著；中国人民大学出版社。
7．《计量经济模型与经济预测》；罗伯特S•平荻克等著；机械工业出版社。
F224.0/H64浦8．《应用经济学研究方法论》；唐•埃思里奇著；经济科学出版社。
9．《新制度经济学》；思拉恩•埃格特森；商务印书馆。
10．《微观经济学新论》；梁东黎；南京大学出版社。
三、管理学类1．《管理学》；斯蒂芬•P•罗宾斯；中国人民出版社。
C93/H31 总馆2．《战略管理》；弗雷德•R•戴维；经济科学出版社。
3．《人力资源管理》；加里•德斯勒；中国人民出版社。
4．《竞争优势》；迈克尔•波特。
5．《竞争战略》；迈克尔•波特。
四、财务与会计类1．《公司理财〉；斯蒂芬•A•罗斯；机械工业出版社。
2．《财务成本管理》；CPA考试指定教材。
3．《管理会计——规划、控制与决策观念》；Ray H•Garrison著、4．《应用公司理财》；阿里瓦斯•达摩达兰著；机械工业出版社。
F275/H144 浦5．《公司财务管理》（上、下）；D•R•埃莫瑞；中国人民大学出版社。
F275/H144/v.1-2 文6．《投资估价——评估任何资产价值的工具和技术》；Aswath Damodaran著；清华大学出版社。
7．《价值评估——公司价值的衡量与管理》；T•Copeland；中国大百科出版社。
F276.6/H58 （商院图书馆）8．《经营透视：企业分析与评价》；K•帕利普；东北财经大学出版社。
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第10章随机过程II：鞅本章的学习目标Ø 了解信息结构和信息一致性的数学表述方式和经济含义；Ø 明确鞅的定义（离散和连续），以及连续时间情形下的一些技术性要求；Ø 熟悉二项过程和布朗运动等常见鞅和它们的轨道特征；Ø 了解鞅的几个重要子类：一致可积鞅和平方可积鞅；Ø 了解停时概念和最优停止定理；Ø 了解由停止一个鞅产生的局部鞅以及其他鞅型随机过程；Ø 了解多布-迈耶分解定理，以及二次变差和协变差过程的概念；Ø 了解各种被积函数和积分算子情况下，定义随机积分的方法；Ø 掌握随机伊藤积分的定义和主要性质；Ø 掌握拉登-尼科迪姆导数的各种形式和性质；Ø 掌握凯麦隆-马丁-哥萨诺夫定理，并熟练应用该定理进行测度变换；Ø 掌握鞅表示定理，并理解该定理在分析交易策略的可行性和构造完备市场模型中的作用。
鞅这个术语早在二十世纪30年代首先由威勒（Ville，1939）引进，但是其基本概念来自于法国概率学家列维（Levy，1934）。
真正把鞅理论发扬光大的则是美国数学家多布（Doob），他在1953年的名著《随机过程》一书中介绍了（包括上鞅分解问题在内的）他对于鞅理论的系统研究成果。
它随即引起了概率学家们对一般随机过程理论研究的兴趣，并逐渐使得鞅成为现代概率和随机过程理论的基石。
鞅在微观金融分析中的应用是随着哈里森（Harrison J.M）同克里普斯（Kreps D.M.）1979年，以及哈里森和帕里斯卡（Pliska S.R.）1981年两篇经典论文的发表开始的。
他们第10章随机过程II：鞅证明了所谓的资产定价基本定理：当而仅当金融市场上不存在“免费午餐”（free lunch），所有金融资产的贴现价格都是一个鞅①。
这就使得鞅就成为了研习现代金融资产定价技术所必须的主流数学工具。
相对于上一章的随机微积分而言，由于较多地借助测度理论，鞅显得更加抽象，但令人惊奇的是，它的引入不仅使得微观金融理论分析（例如期权定价）变得更加简洁和优雅；并且由于可以借助现代数值计算技术，它还提供了更为强大的运算能力，而这对于实际工作又是至关重要的。
因此今天，鞅方法及其辅助它的强大数值（模拟）技术成为了当今金融理论研究者和实践工作者必不可缺的基本装备②。
本章中，我们首先在离散时间下，使用在概率基础一章中接触到的分割、条件数学期望等概念来严格地给出离散鞅的定义。
在澄清一些技术性要求的基础上，随后给出连续时间鞅的概念，并提供一些金融分析中常见的鞅的例子来加深理解。
接下来我们会考察停时（stopping time）概念，借助它把鞅的性质拓展到其他鞅型序列上去并获得最优停止定理。
然后将学习两个重要的鞅分解定理——多布-迈耶分解（Doob-Meyer decomposition）定理和国田③-渡边分解（Kunita-Watanabe decomposition）定理。
基于这些知识，第四节再次详细的讨论了随机积分，从最简单的鞅变换开始到对简单过程的随机积分，再到对一般过程的积分，我们将对伊藤随机积分有进一步的认识。
接下来讨论对于现代金融分析至关重要的——等鞅测度变换（equivalent martingale transformation）和凯麦隆-马丁-哥萨诺夫定理（Cameron-Martin-Girsanov theorem）。
只有熟练掌握并且能够灵活运用这一方法，才能真正领略到现代金融理论的精髓。
最后我们也会接触到鞅表示定理，并了解它们在微观金融分析中的运用。
10．1 概述“鞅”一词来源于法文martingale的意译，原意是指马的笼套或者船的索具，同时也指一种逢输就加倍赌注，直到赢为止的恶性赌博方法（double strategy）。
为了理解它的原意，不妨来玩一种纸牌游戏。
在52张牌中任意抽取一张，如果抽到一张红色的方块或者红心就赢一笔钱，否则就输掉这笔钱。
采用以下的赌博方法：从一块钱开始，如果抽到的是黑色纸牌就加倍赌注，如果抽到的是红色纸牌就此收手。
假定一个赌徒已经连续输了4次，他就失去了1＋2＋4＋8＝15块钱。
在第5次赌的时候，他把赌注加倍到了16。
这次很幸运，出现的确实是红色纸牌。
他赢得了16元抵去输掉的15元，他还净赚1元。
这种赌博方法的优点在于：只要你有足够的资本来不断加倍赌注的话，你总是会赢的。
事实是：如果不幸所有26张黑色纸牌全让①根据这一原则，金融市场上的任何资产的价格就可以被合理地决定。
因而他们的工作得到积极的响应并开启了现代金融研究的新时代。
②数值（模拟）技术见11.4.3节。
·485·微观金融学及其数学基础·486·你抽到了，为了赢1元钱，你需要6700万元来下最后一注。
很可能在此之前，你已经破产了。
这种赌博方式在理论和实际中含义都十分隽永，它就被称为鞅①。
但是这种已经在现代赌场中被严格禁止的赌博方式本身还没有说明鞅在金融学理论研究中的确切含义。
鞅究竟是什么呢？简单的说，鞅是“公平”赌博（fair game ）的数学模型。
那么什么又是公平的赌博呢？仍然假设一个人在参加赌博，他已经赌了n 次，正准备参加第n ＋1次赌博。
如果不做什么手脚，他的运气应当是同他以前的赌博经历无关的。
用n X 表示他在赌完第n 次后拥有的赌本数，如果对于任何n 都有11)|(−−=n n n X X X E成立，即赌博的期望收获为0，仅能维持原有财富水平不变，就可以认为这种赌博在统计上是公平的②。
在金融分析中，投资者通常会根据过去发生的事件来指导未来的投资决策，我们可以把X 设想为由于信息发布而产生波动的金融资产价格（过程），而)(n X E 就是对这种价格运动的预测，而恰好鞅就是用条件数学期望来定义的，这种相似性就激发了使用鞅和与之相关的数学概念来描述金融资产价格运动过程特征的热情，因此鞅在20世纪80年代以后迅速成为主流金融经济学研究中标准的时髦。
10．1．1 离散时间 简单地说，一个随机变量的时间序列没有表现出任何的趋势性（trend ），就可以称之为鞅；而如果它一直趋向上升，则称之为下鞅（submartingale ）；反之，如果该过程总是在减少，则称之为上鞅（supermartingale ）。
因此实际上鞅是一种用条件数学期望定义的随机运动形式，或者说是具有某种可以用条件数学期望来进行特征描述的随机过程。
以下我们循序渐进地分成四个步骤来正式定义鞅：（1）首先，描述概率空间。
存在一概率空间},,{P F Ω，要求σ－代数F 是P －完备的，即对于任何F ∈A 且0)(=A P ，对一切A N ⊂都有F ∈N 成立③。
（2）描述滤波（filtration ）。
设想我们在一些时点上观察一种股票的价格+∈Z n n S )(随时间的波动情况④。
令+∈Z n n )(F 代表在不同时点上投资者获得的有关股票价格的历史信息，随着时间的推移，越来越多的数据被追加到这个信息集合中，它会越来越丰富。
当o n m <<时，这一族信息集合必然满足：L o n m F F F ⊆⊆ （10-1） ① 这还启发我们去考虑这样一些问题：最优停止时刻是什么，有限财富的赌徒必定输光等，现代随机概率理论中的重要概念和定理。
在实际中，现代赌场中明确禁止这种赌博方式，但是金融中却常常存在这样的情况，例如利森的豪赌。
此外加倍策略将干扰资产定价基本定理的成立。
② 期望收益等于参加费用的赌博也可以被认为是统计上公平的。
③ 我们会经常看到这一类技术性的要求，它是保证数学上严密性的需要，在经济分析则往往找不到合适的对应物。
幸运的是，经济分析中大多数问题具有良好的性质。
④ 我们用Z +表示正整数。
第10章 随机过程II ：鞅·487·实际上n F 就是n 时刻的分割产生的σ－代数，这样的σ－增族记为：+∈=Z F n n )(F我们称它为滤子（filter ）或者滤波①。
给定一个滤波就决定了在给定概率空间中的历史演化和信息传播过程（见金融相关点10-1）。
四位一体的},,,{F P F O 被称为滤过（filtered ）的概率空间或者随机基（stochastic basis ）。
① 实际上+∈=Z F n n )(F 可以作更为广泛的理解，它也可以是无限维向量，如果仅仅解释为价格或者收益就和法马（Fama E ．）定义的弱的市场效率的基础相吻合，这也是我们这里的定义。
这样假定时，我们说滤波是由价格过程生成的（generated ）。
② 这里的描述主要来自于Dothan （1990）和Rebonato （1998）。
微观金融学及其数学基础 ·488·}}{},{},,{},{{dd du ud uu uu d =F}}{},{},{{du ud uu e =F根据在概率论一章中学习过的知识，容易知道a F 、b F 和c F 都是对样本空间O 的一种分割。
这是因为按照分割的定义，它们各自包含的所有元素的并集构成了整个状态空间，而它们所包含的元素两两相交的结果是空集。
d F 和e F 则不是分割，因为d F 中前两个元素的交集不是空集，而是}{uu ；而e f 的所有元素的并也没有构成整个状态空间，缺少了}{dd 。
b F 集合表示股票价格两次变动以后所有可能发生的情况，它仅仅说明了事物发展的未来潜在可能性，它相当于位于二项树上的0点。
在0时刻信息结构是最平凡的，即：}O ,{0∅=F 。
而a F 则刚好相反，它完全揭示出所有的世界状态，正是在最终的2时刻，究竟哪种状态会发生已经成为了事实。
c F 则代表了一种中间状态，好比在1时刻，我们知道如果状态},{ud uu 发生，即前进到]1[d 点后，}{dd 或者}{ud 之一必定会发生，到底是谁，仍然不能够确定；而]1[u 点以后的发生的情况则不清楚或者不重要了。
因此这些分割就适当地代表了一个动态系统中的0、完全和部分的信息。
我们知道a F 比c F 精细，而b F 是最粗糙的分割，把它们串联起来就有：a cb F F F <<因此从粗到细排列这些分割，还代表了信息的传递过程。
正式一些，假定同一状态空间中存在1+N 个分割，它们满足下列3个条件：（1）第一个分割是最粗糙的，即：}},,,{{},O {210n ωωωL =∅=F ；（2）最后一个分割是最精细的，即：}}{,},{},{{21n N ωωωL =F ；（3）对于任何t s <，t F 分割比s F 要精细。
这样定义的分割序列，就是一个“过目不忘”的学习过程。
在最初的0时刻，未来世界视野一片模糊，惟一可知的是O 中的某种状态会发生。