2019年全国高考理科数学试题分类汇编1:集合,推荐文档
2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)-含详细答案

2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)含详细答案一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知集合M={x|−4<x<2},N={x|x2−x−6<0},则M∩N=()A. {x|−4<x<3}B. {x|−4<x<−2}C. {x|−2<x<2}D. {x|2<x<3}2.设复数z满足|z−i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A. (x+1)2+y2=1B. (x−1)2+y2=1C. x2+(y−1)2=1D. x2+(y+1)2=13.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12(√5−12≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5−12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是()A. 165cmB. 175cmC. 185cmD. 190cm5.函数f(x)=sinx+xcosx+x2在[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A. 516B. 1132C. 2132D.11167.已知非零向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=2|b⃗ |,且(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ,则a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68.下图是求12+12+12的程序框图,图中空白框中应填入()A. A=12+AB. A=2+1AC. A=11+2AD. A=1+12A9.记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A. a n=2n−5B. a n=3n−10C. S n=2n2−8nD. S n=12n2−2n 10.已知椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A. x22+y2=1 B. x23+y22=1 C. x24+y23=1 D. x25+y24=111.关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论:①f(x)是偶函数②f(x)在区间(π2,π)单调递增③f(x)在[−π,π]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③12.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为()A. 8√6πB. 4√6πC. 2√6πD. √6π二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为________.14. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13,a 42=a 6,则S 5=________.15. 甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4:1获胜的概率是 .16. 已知双曲线C :x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则C 的离心率为三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)17. △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.设(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC . (1)求A ;(2)若√2a +b =2c ,求sin C .18. 如图,直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,AA 1=4,AB =2,∠BAD =60°,E ,M ,N 分别是BC ,BB 1,A 1D 的中点. (1)证明:MN//平面C 1DE ;(2)求二面角A −MA 1−N 的正弦值.19. 已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x轴的交点为P .(1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程;(2)若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求|AB|.20.已知函数f(x)=sinx−ln(1+x),f′(x)为f(x)的导数.证明:)存在唯一极大值点;(1)f′(x)在区间(−1,π2(2)f(x)有且仅有2个零点.21.为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得−1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得−1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,p i(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,p i=ap i−1+bp i+cp i+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=−1),b=P(X=0),c= P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(i)证明:{p i+1−p i}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为{x=1−t21+t2y=4t1+t2(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.23.已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1a +1b+1c≤a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算,属基础题.利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出.【解答】解:∵M={x|−4<x<2},N={x|x2−x−6<0}={x|−2<x<3},∴M∩N={x|−2<x<2}.故选C.2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的模、复数的几何意义,属基础题.由z在复平面内对应的点为(x,y),可得z=x+yi,然后根据|z−i|=1即可得解.【解答】解:∵z在复平面内对应的点为(x,y),∴z=x+yi,∴z−i=x+(y−1)i,∴|z−i|=√x2+(y−1)2=1,∴x2+(y−1)2=1,故选C.3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了指数函数和对数函数的单调性运用,属基础题.由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2<0,20.2>1,0<0.20.3<1,从而得出a,b,c的大小关系.【解答】解:a=log20.2<log21=0,b=20.2>20=1,∵0<0.20.3<0.20=1,∴c=0.20.3∈(0,1),∴a<c<b,故选B.4.【答案】B【解析】【分析】本题考查简单的推理和估算,考查运算能力和推理能力,属于中档题.充分运用黄金分割比例,计算可估计身高.【解答】解:头顶至脖子下端的长度为26cm,说明头顶到咽喉的长度小于26cm,,由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是√5−12可得咽喉至肚脐的长度小于√5−12=√5−1≈42cm,由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12,可得肚脐至足底的长度小于26+52√5−1√5−12≈110,即有该人的身高小于110+68=178cm,又肚脐至足底的长度大于105cm,可得头顶至肚脐的长度大于105×√5−12≈65cm,即该人的身高大于65+105=170cm,故选B.5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数图象的作法及函数的奇偶性,解题关键是奇偶性和特殊值,属基础题.由f(x)的解析式知f(x)为奇函数可排除A,然后计算f(π),判断正负即可排除B,C,从而可得结果.【解答】解:∵f(x)=sinx+xcosx+x2,x∈[−π,π],∴f(−x)=−sinx−xcos(−x)+x2=−sinx+xcosx+x2=−f(x),∴f(x)为[−π,π]上的奇函数,因此排除A;又f(π)=sinπ+πcosπ+π2=π−1+π2>0,因此排除B,C,故选D.6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查概率的求法,考查古典概型、组合的应用,考查运算求解能力,属于基础题.基本事件总数n=26=64,该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m=C63=20,由此能求出该重卦恰有3个阳爻的概率.【解答】解:在所有重卦中随机取一重卦,基本事件总数n=26=64,该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m=C63=20,则该重卦恰有3个阳爻的概率p=mn =2064=516.故选A.7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角,属基础题.由(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ,可得(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =0,进一步得到|a⃗||b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >−b⃗ 2=0,然后求出夹角即可. 【解答】 解:∵(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ,∴(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >−b ⃗ 2=0, ∴cos <a ⃗ ,b ⃗ >=|b⃗ |2|a ⃗ ||b⃗ |=12,∵<a ⃗ ,b ⃗ >∈[0,π],∴<a ⃗ ,b ⃗ >=π3,故选B . 8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题,是基础题.模拟程序的运行,由题意,依次写出每次得到的A 的值,观察规律即可得解. 【解答】解:模拟程序的运行,可得: A =12,k =1;满足条件k ≤2,执行循环体,A =12+12,k =2;满足条件k ≤2,执行循环体,A =12+12+12,k =3;此时,不满足条件k ≤2,退出循环,输出A 的值为12+12+12,观察A 的取值规律可知图中空白框中应填入A =12+A . 故选A . 9.【答案】A【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式,关键是求出等差数列的公差以及首项,属于基础题.根据题意,设等差数列{a n }的公差为d ,则有{4a 1+6d =0a 1+4d =5,求出首项和公差,然后求出通项公式和前n 项和即可. 【解答】解:设等差数列{a n }的公差为d , 由S 4=0,a 5=5,得 {4a 1+6d =0a 1+4d =5,∴{a 1=−3d =2, ∴a n =2n −5,S n =n (−3+2n−5)2=n 2−4n ,故选:A .10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了椭圆的定义以及方程、余弦定理,属中档题.根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a=√3,b=√2,可得椭圆的方程.【解答】解:∵|AF2|=2|BF2|,∴|AB|=3|BF2|,又|AB|=|BF1|,∴|BF1|=3|BF2|,又|BF1|+|BF2|=2a,∴|BF2|=a2,∴|AF2|=a,|BF1|=32a,则|AF2|=|AF1|=a,所以A为椭圆短轴端点,在Rt△AF2O中,cos∠AF2O=1a,在△BF1F2中,由余弦定理可得cos∠BF2F1=4+(a2)2−(32a)22×2×a2=4−2a22a,根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1=0,可得1a +4−2a22a=0,解得a2=3,∴a=√3,b2=a2−c2=3−1=2.所以椭圆C的方程为:x23+y22=1,故选B.11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断,结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键,属于中档题.根据绝对值的应用,结合三角函数的性质分别进行判断即可.【解答】解:f(−x)=sin|−x|+|sin(−x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),且f(x)的定义域为R,则函数f(x)是偶函数,故①正确;当x∈(π2,π)时,sin|x|=sinx,|sinx|=sinx,则f(x)=sinx+sinx=2sinx为减函数,故②错误;当0≤x≤π时,f(x)=sin|x|+|sinx|=sinx+sinx=2sinx,由f(x)=0,得2sinx=0,即x=0或x=π,由f(x)是偶函数,得在[−π,0)上还有一个零点x=−π,即函数f(x)在[−π,π]有3个零点,故③错误;当sin|x|=1,|sinx|=1时,f(x)取得最大值2,故④正确,故正确是①④,故选C.12.【答案】D【解析】【分析】本题考查多面体外接球体积的求法,是中档题.设∠PAC=θ,PA=PB=PC=2x,EC=y,根据余弦定理以及勾股定理证明三条侧棱两两互相垂直,即可求外接球O的体积.【解答】解:设∠PAC=θ,PA=PB=PC=2x,EC=y,因为E,F分别是PA,AB的中点,所以EF=12PB=x,AE=x,在△PAC中,cosθ=4x2+4−4x22×2x×2=12x,在△EAC中,cosθ=x2+4−y22×2x,整理得x2−y2=−2,①因为△ABC是边长为2的正三角形,所以CF=√3,又∠CEF=90°,则x2+y2=3,②,由①②得x=√22,所以PA=PB=PC=√2,所以PA2+PB2=4=AB2,即PA⊥PB,同理可得PA⊥PC,PB⊥PC,则PA、PB、PC两两垂直,则球O是以PA为棱的正方体的外接球,则外接球的直径为√2+2+2=√6,所以球O的体积为.故选D.13.【答案】y=3x【解析】【分析】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程,属基础题.对y=3(x2+x)e x求导,可将x=0代入导函数,求得斜率,即可得到切线方程.【解答】解:∵y=3(x2+x)e x,∴y′=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3e x(x2+3x+1),∴当x=0时,y′=3,∴y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线斜率k=3,∴切线方程为:y=3x.故答案为y=3x.14.【答案】1213【解析】【分析】本题主要考查等比数列前n项和的计算,属于基础题.根据等比数列的通项公式,建立方程求出q的值,结合等比数列的前n项和公式进行计算即可.【解答】解:设等比数列{a n}的公比为q,由a42=a6,得(a1q3)2=a1q5,即q6a12=q5a1,解得q=3,则S5=13(1−35)1−3=1213,故答案为1213.15.【答案】0.18【解析】【分析】本题考查概率的求法,考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.甲队以4:1获胜包含的情况有:①前5场比赛中,第一场负,另外4场全胜,②前5场比赛中,第二场负,另外4场全胜,③前5场比赛中,第三场负,另外4场全胜,④前5场比赛中,第四场负,另外4场全胜,由此能求出甲队以4:1获胜的概率.【解答】解:甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,第六场一定是甲胜,甲队以4:1获胜包含的情况有:①前5场比赛中,第一场负,另外4场全胜,其概率为:p 1=0.4×0.6×0.5×0.5×0.6=0.036,②前5场比赛中,第二场负,另外4场全胜,其概率为:p 2=0.6×0.4×0.5×0.5×0.6=0.036,③前5场比赛中,第三场负,另外4场全胜,其概率为:p 3=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.054,④前5场比赛中,第四场负,另外4场全胜,其概率为:p 4=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.054,则甲队以4:1获胜的概率为:p =p 1+p 2+p 3+p 4=0.036+0.036+0.054+0.054=0.18. 故答案为:0.18. 16.【答案】2【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质,是中档题.由题意画出图形,结合已知可得F 1B ⊥OA ,可得一条渐近线方程的倾斜角为,从而可得,进而求出离心率.【解答】 解:如图,∵F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴F 1B ⊥F 2B,F 1A =AB , ∴OA ⊥F 1B ,则△AOF 1≌△AOB , 则,所以一条渐近线的斜率为,所以e =c a =√1+b 2a 2=2,故答案为:2.17.【答案】解:(1)∵△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .设(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC .则sin 2B +sin 2C −2sinBsinC =sin 2A −sinBsinC , ∴由正弦定理得:b 2+c 2−a 2=bc , ∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc =12,∵0<A <π,∴A =π3.(2)∵√2a +b =2c ,A =π3,∴由正弦定理得√2sinA +sinB =2sinC , ∴√62+sin(2π3−C)=2sinC ,即√62+√32cosC +12sinC =2sinC ,即√62+√32cosC −32sinC =0, 即sin(C −π6)=√22,,则,∴C −π6=π4,C =π4+π6, ∴sinC =sin(π4+π6)=sin π4cos π6+cos π4sin π6=√22×√32+√22×12=√6+√24.【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理,属于中档题. (1)由正弦定理得:b 2+c 2−a 2=bc ,再由余弦定理求出A .(2)由已知及正弦定理可得:sin(C −π6)=√22,可解得C 的值,由两角和的正弦函数公式即可得解.18.【答案】(1)证明:如图,过N 作NH ⊥AD ,连接BH ,则NH//AA 1,H 是AD 中点,且NH =12AA 1, 又MB//AA 1,MB =12AA 1,∴四边形NMBH 为平行四边形,则NM//BH ,由H 为AD 中点,而E 为BC 中点,∴BE//DH ,BE =DH ,则四边形BEDH 为平行四边形,则BH//DE , ∴NM//DE ,∵NM ⊄平面C 1DE ,DE ⊂平面C 1DE , ∴MN//平面C 1DE ;(2)解:以D 为坐标原点,以平面ABCD 内垂直于DC 的直线为x 轴,以DC 所在直线为y 轴,以DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,则N(√32,−12,2),M(√3,1,2),A 1(√3,−1,4),NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,0),NA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,2), 设平面A 1MN 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z),由{m ⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +32y =0m⃗⃗⃗ ⋅NA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x −12y +2z =0,取x =√3,得m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,−1), 又平面MAA 1的一个法向量为n ⃗ =(1,0,0), ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√5=√155. ∴二面角A −MA 1−N 的正弦值为√105.【解析】本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用空间向量求解空间角,是中档题.(1)过N 作NH ⊥AD ,证明NM//BH ,再证明BH//DE ,可得NM//DE ,再由线面平行的判定可得MN//平面C 1DE ;(2)以D 为坐标原点建立空间直角坐标系,分别求出平面A 1MN 与平面MAA 1的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A −MA 1−N 的正弦值.19.【答案】解:(1)设直线l :y =32x +t ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意可得F (34,0),故|AF |+|BF |=x 1+x 2+32, 因为|AF|+|BF|=4, 所以x 1+x 2=52, 联立{y =32x +t y 2=3x,整理得9x 2+12(t −1)x +4t 2=0,由韦达定理可知,x 1+x 2=−12(t−1)9,从而−12(t−1)9=52,解得t =−78,所以直线l 的方程为y =32x −78.(2)设直线l :y =32x +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得y 1=−3y 2, 联立{y =32x +m y 2=3x,整理得y 2−2y +2m =0,由韦达定理可知,y 1+y 2=2,又y 1=−3y 2,解得y 1=3,y 2=−1, 代入抛物线C 方程得,x 1=3,x 2=13, 即A (3,3),B (13,−1),故|AB |=√(3−13)2+(3+1)2=4√133.【解析】本题考查了抛物线的定义,考查直线与抛物线的位置关系,属于中档题.(1)根据韦达定理以及抛物线的定义可得.(2)由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得y 1=−3y 2,由韦达定理可得y 1+y 2=2,从而解出A 、B 两点坐标,使用弦长公式计算即可.20.【答案】证明:(1)f(x)的定义域为(−1,+∞), 令f′(x )=ℎ(x)=cosx −11+x , ℎ′(x )=−sinx +1(1+x)2,令g(x)=−sinx +1(1+x)2,则g′(x)=−cosx −2(1+x)3<0在(−1,π2)恒成立, ∴ℎ′(x )在(−1,π2)上为减函数,又ℎ′(0)=1,ℎ′(π2)=−1+1(1+π2)2<−1+1=0,由零点存在定理可知,函数ℎ′(x )在(−1,π2)上存在唯一的零点x 0,结合单调性可得,f′(x )在(−1,x 0)上单调递增,在(x 0,π2)上单调递减, 可得f′(x )在区间(−1,π2)存在唯一极大值点; (2)由(1)知,当x ∈(−1,0)时,f′(x )单调递增, 则f′(x )<f′(0)=0,则f(x)单调递减; 当x ∈(0,x 0)时,f′(x )单调递增, 则f′(x )>f′(0)=0,f(x)单调递增; 由于f′(x )在(x 0,π2)上单调递减, 且f′(x 0)>0,,由零点存在定理可知,函数f′(x )在(x 0,π2)上存在唯一零点x 1,结合单调性可知, 当x ∈(x 0,x 1)时,f′(x )单调递减,则f′(x )>f′(x 1)=0,故f(x)单调递增; 当x ∈(x 1,π2)时,f′(x )单调递减, 则f′(x )<f′(x 1)=0,f(x)单调递减. 当x ∈(π2,π)时,cosx <0,−11+x <0, 于是f′(x )=cosx −11+x <0,f(x)单调递减, 其中f(π2)=1−ln(1+π2)>1−ln(1+3.22)=1−ln2.6>1−lne =0,f(π)=−ln(1+π)<−ln3<0. 于是可得下表:结合单调性可知,函数f(x)在(−1,π2]上有且只有一个零点0,由函数零点存在性定理可知,f(x)在(π2,π)上有且只有一个零点x2,当x∈[π,+∞)时,f(x)=sinx−ln(1+x)<1−ln(1+π)<1−ln3<0,因此函数f(x)在[π,+∞)上无零点.综上,f(x)有且仅有2个零点.【解析】本题考查利用导数求函数的极值,考查函数零点的判定,考查数学转化思想方法,考查逻辑思维能力,难度较大.(1)f(x)的定义域为(−1,+∞),求出原函数的导函数,令f′(x)=ℎ(x)=cosx−11+x,进一步求导,得到ℎ′(x)在(−1,π2)上为减函数,结合ℎ′(0)=1,ℎ′(π2)=−1+1(1+π2)2<−1+1=0,由零点存在定理可知,函数ℎ′(x)在(−1,π2)上存在唯一得零点x0,结合单调性可得,f′(x)在(−1,x0)上单调递增,在(x0,π2)上单调递减,可得f′(x)在区间(−1,π2)存在唯一极大值点;(2)由(1)知,当x∈(−1,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(0,x0)时,f′(x)> 0,f(x)单调递增;由于f′(x)在(x0,π2)上单调递减,且f′(x0)>0,,可得函数f′(x)在(x0,π2)上存在唯一零点x1,结合单调性可知,当x∈(x0,x1)时,f(x)单调递增;当x∈(x1,π2)时,f(x)单调递减.当x∈(π2,π)时,f(x)单调递减,再由f(π2)>0,f(π)<0.然后列x、f′(x)与f(x)的变化情况表得答案.21.【答案】(1)解:X的所有可能取值为−1,0,1.P(X=−1)=(1−α)β,P(X=0)=αβ+(1−α)(1−β),P(X=1)=α(1−β),(2)(i)证明:∵α=0.5,β=0.8,∴由(1)得,a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此p i=0.4p i−1+0.5p i+0.1p i+1(i=1,2,…,7),故0.1(p i+1−p i)=0.4(p i−p i−1),即p i+1−p i=4(p i−p i−1),又∵p1−p0=p1≠0,∴{p i+1−p i}(i=0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p1的等比数列;(ii)解:由(i)可得,p8=(p8−p7)+(p7−p6)+⋯+(p1−p0)+p0=p1(1−48)1−4=48−13p1,∵p 8=1,∴p 1=348−1,∴p 4=(p 4−p 3)+(p 3−p 2)+(p 2−p 1)+(p 1−p 0)+p 0=44−13p 1=1257.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p 4=1257≈0.0039,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.【解析】本题主要考查数列的应用,考查离散型随机变量的分布列,属于难题. (1)由题意可得X 的所有可能取值为−1,0,1,再由相互独立试验的概率求P(X =−1),P(X =0),P(X =1)的值,则X 的分布列可求;(2)(i)由α=0.5,β=0.8结合(1)求得a ,b ,c 的值,代入p i =ap i−1+bp i +cp i+1,得到(p i+1−p i )=4(p i −p i−1),由p 1−p 0=p 1≠0,可得{p i+1−p i }(i =0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p 1的等比数列;(ii)由(i)可得,p 8=(p 8−p 7)+(p 7−p 6)+⋯+(p 1−p 0)+p 0,利用等比数列的前n 项和与p 8=1,得p 1=348−1,进一步求得p 4=1257,即可求解. 22.【答案】解:(1)由{x =1−t 21+t 2y =4t 1+t 2(t 为参数),得{x =1−t 21+t 2y 2=2t1+t2, 两式平方相加,得x 2+y 24=1(x ≠−1),∴C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1(x ≠−1),由2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0,得2x +√3y +11=0,即直线l 的直角坐标方程为2x +√3y +11=0.(2)设与直线2x +√3y +11=0平行的直线方程为2x +√3y +m =0,联立{2x +√3y +m =04x 2+y 2−4=0,得16x 2+4mx +m 2−12=0. 由Δ=16m 2−64(m 2−12)=0, 得m =±4,∴当m =4时,直线2x +√3y +4=0与曲线C 的切点到直线2x +√3y +11=0的距离最小, 即为直线2x +√3y +4=0与直线2x +√3y +11=0之间的距离√22+3=√7.【解析】本题考查简单曲线的极坐标方程,考查参数方程化为普通方程,考查直线与椭圆位置关系的应用,训练了两平行线间的距离公式的应用,是中档题.(1)把曲线C 的参数方程变形,平方相加可得普通方程,把x =ρcosθ,y =ρsinθ代入2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0,可得直线l 的直角坐标方程.(2)写出与直线l 平行的直线方程为2x +√3y +m =0,与曲线C 联立,化为关于x 的一元二次方程,利用判别式等于0求得m ,转化为两平行线间的距离求C 上的点到l 距离的最小值.23.【答案】证明:(1)分析法:已知a ,b ,c 为正数,且满足abc =1.要证1a +1b+1c≤a2+b2+c2;因为abc=1.即证:abca +abcb+abcc≤a2+b2+c2;即证:bc+ac+ab≤a2+b2+c2;即证:2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2;即证:2a2+2b2+2c2−2bc−2ac−2ab≥0,即证(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2≥0;∵a,b,c为正数,且满足abc=1.∴(a−b)2≥0;(a−c)2≥0;(b−c)2≥0恒成立;当且仅当:a=b=c=1时取等号.即(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2≥0得证.故1a +1b+1c≤a2+b2+c2得证.(2)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.(a+b)为正数;(b+c)为正数;(c+a)为正数;(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)⋅(b+c)⋅(c+a);当且仅当(a+b)=(b+c)=(c+a)时取等号;即:a=b=c=1时取等号;∵a,b,c为正数,且满足abc=1.a+b≥2√ab;b+c≥2√bc;c+a≥2√ac;当且仅当a=b,b=c,c=a时取等号;即:a=b=c=1时取等号;∴(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)⋅(b+c)⋅(c+a)≥3×8√ab⋅√bc⋅√ac=24abc=24;当且仅当a=b=c=1时取等号;故(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.得证.故得证.【解析】本题考查基本不等式的运用,分析法和综合法的证明方法,属于中档题.(1)利用基本不等式和“1”的运用可证;(2)利用综合法可证.。
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专题1 集合与常用逻辑用语1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合2|42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<,则M N =A .}{43x x -<<B .}42{x x -<<-C .}{22x x -<<D .}{23x x <<【答案】C【解析】由题意得2|42,{|60}{}|23}{M x x N x x x x x =-<<=--<=-<<, 则{|22}MN x x =-<<.故选C .【名师点睛】注意区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者所有的部分. 2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设集合A ={x |x 2–5x +6>0},B ={x |x –1<0},则A ∩B = A .(–∞,1) B .(–2,1)C .(–3,–1)D .(3,+∞)【答案】A【解析】由题意得,2{560|}{2|A x x x x x =-+><=或3}x >,{10}{1|}|B x x x x =-<=<,则{|1}(,1)A B x x =<=-∞.故选A .【名师点睛】本题考点为集合的运算,为基础题目.3.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤,则A B =A .{}1,0,1-B .{}0,1C .{}1,1-D .{}0,1,2【答案】A【解析】∵21,x ≤∴11x -≤≤,∴{}11B x x =-≤≤,又{1,0,1,2}A =-,∴{}1,0,1A B =-.故选A .【名师点睛】本题考查了集合交集的求法,是基础题.4.【2019年高考天津理数】设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ,则()A C B =A .{}2B .{}2,3C .{}1,2,3-D .{}1,2,3,4【答案】D 【解析】因为{1,2}A C =,所以(){1,2,3,4}A C B =.故选D .【名师点睛】集合的运算问题,一般要先研究集合中元素的构成,能化简的要先化简,同时注意数形结合,即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算.5.【2019年高考浙江】已知全集{}1,0,1,2,3U =-,集合{}0,1,2A =,{}1,0,1B =-,则()UA B =A .{}1-B .{}0,1C .{}1,2,3-D .{}1,0,1,3-【答案】A 【解析】∵{1,3}UA =-,∴(){1}U A B =-.故选A.【名师点睛】注意理解补集、交集的运算.6.【2019年高考浙江】若a >0,b >0,则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0, 0a >b >时,a b +≥,则当4a b +≤时,有4a b ≤+≤,解得4ab ≤,充分性成立;当=1, =4a b 时,满足4ab ≤,但此时=5>4a+b ,必要性不成立, 综上所述,“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故选A.【名师点睛】易出现的错误:一是基本不等式掌握不熟练,导致判断失误;二是不能灵活地应用“赋值法”,通过取,a b 的特殊值,从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.7.【2019年高考天津理数】设x ∈R ,则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由250x x -<可得05x <<,由|1|1x -<可得02x <<, 易知由05x <<推不出02x <<, 由02x <<能推出05x <<,故05x <<是02x <<的必要而不充分条件,即“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件. 故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件,解题的关键是由所给的不等式得到x 的取值范围. 8.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 A .α内有无数条直线与β平行 B .α内有两条相交直线与β平行 C .α,β平行于同一条直线 D .α,β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知:α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件;由面面平行的性质定理知,若αβ∥,则α内任意一条直线都与β平行,所以α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行. 故选B .【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观臆断.9.【2019年高考北京理数】设点A ,B ,C 不共线,则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵A 、B 、C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AC -AB |⇔|AB +AC |2>|AC -AB |2AB ⇔·AC >0AB ⇔与AC 的夹角为锐角,故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件. 故选C.【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断、平面向量的模、夹角与数量积,同时考查了转化与化归的数学思想.10.【2019年高考江苏】已知集合{1,0,1,6}A =-,{|0,}B x x x =>∈R ,则A B = ▲ .【答案】{1,6}【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可. 由题意知,{1,6}AB =.【名师点睛】本题主要考查交集的运算,属于基础题.专题2 函数的概念与基本初等函数I1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知0.20.32log 0.220.2a b c ===,,,则 A .a b c << B .a c b << C .c a b <<D .b c a <<【答案】B【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<. 故选B .【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较,考查了数学运算的素养.采取中间量法,根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小.2.【2019年高考天津理数】已知5log 2a =,0.5og 2.l 0b =,0.20.5c =,则,,a b c 的大小关系为A .a c b <<B .a b c <<C .b c a <<D .c a b <<【答案】A【解析】因为551log 2log 2a =<=, 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=, 10.200.50.50.5c <=<,即112c <<, 所以a c b <<. 故选A.【名师点睛】本题考查比较大小问题,关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较. 3.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a >b ,则 A .ln(a −b )>0 B .3a <3b C .a 3−b 3>0 D .│a │>│b │【答案】C【解析】取2,1a b ==,满足a b >,但ln()0a b -=,则A 错,排除A ; 由219333=>=,知B 错,排除B ;取1,2a b ==-,满足a b >,但|1||2|<-,则D 错,排除D ;因为幂函数3y x =是增函数,a b >,所以33a b >,即a 3−b 3>0,C 正确. 故选C .【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义,渗透了逻辑推理和运算能力素养,利用特殊值排除即可判断.4.【2019年高考北京理数】在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=2152lg E E ,其中星等为m k 的星的亮度为E k (k =1,2).已知太阳的星等是−26.7,天狼星的星等是−1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 A .1010.1B .10.1C .lg10.1D .10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=, 令211.45,26.7m m =-=-,则()121222lg( 1.4526.7)10.1,55E m m E =-=⨯-+= 从而10.11210E E =. 故选A.【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及对数的运算.5.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A .B .C .D .【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+,得()f x 是奇函数,其图象关于原点对称. 又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+,可知应为D 选项中的图象. 故选D .【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养.采取性质法和赋值法,利用数形结合思想解题.6.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A . B .2sin cos ++x xx xC .D .【答案】B【解析】设32()22x xx y f x -==+,则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++,所以()f x 是奇函数,图象关于原点成中心对称,排除选项C .又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ; 36626(6)722f -⨯=≈+,排除选项A ,故选B .【名师点睛】本题通过判断函数的奇偶性,排除错误选项,通过计算特殊函数值,作出选择.本题注重基础知识、基本计算能力的考查.7.【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中,函数1x y a =,1(2log )a y x =+(a >0,且a ≠1)的图象可能是【答案】D【解析】当01a <<时,函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减,则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增,函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减,D 选项符合; 当1a >时,函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数1xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减,函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02)且单调递增,各选项均不符合. 综上,选D.【名师点睛】易出现的错误:一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练,导致判断失误;二是不能通过讨论a 的不同取值范围,认识函数的单调性.8.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行.2L 点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M 1,月球质量为M 2,地月距离为R ,2L 点到月球的距离为r ,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r 满足方程:121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=,由于α的值很小,因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+,则r 的近似值为ABCD【答案】D 【解析】由rRα=,得r R α=, 因为121223()()M M M R r R r r R +=++,所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++,即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++,解得α=所以.r R α==故选D.【名师点睛】由于本题题干较长,所以,易错点之一就是能否静心读题,正确理解题意;易错点之二是复杂式子的变形易出错.9.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设()f x 是定义域为R 的偶函数,且在()0,+∞单调递减,则A .f (log 314)>f (322-)>f (232-)B .f (log 314)>f (232-)>f (322-)C .f (322-)>f (232-)>f (log 314)D .f (232-)>f (322-)>f (log 314)【答案】C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数,331(log )(log 4)4f f ∴=.223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>,又()f x 在(0,+∞)上单调递减,∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C .【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性,先利用函数的奇偶性化为同一区间,再利用中间量比较自变量的大小,最后根据单调性得到答案.10.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()f x 的定义域为R ,满足(1) 2 ()f x f x +=,且当(0,1]x ∈时,()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞,都有8()9f x ≥-,则m 的取值范围是A .9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D .8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】∵(1) 2 ()f x f x +=,()2(1)f x f x ∴=-.∵(0,1]x ∈时,1()(1)[,0]4f x x x =-∈-;∴(1,2]x ∈时,1(0,1]x -∈,1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦; ∴(2,3]x ∈时,1(1,2]x -∈,()2(1)4(2)(3)[1,0]f x f x x x =-=--∈-, 如图:当(2,3]x ∈时,由84(2)(3)9x x --=-解得173x =,283x =,若对任意(,]x m ∈-∞,都有8()9f x ≥-,则73m ≤.则m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选B.【名师点睛】本题考查了函数与方程,二次函数.解题的关键是能够得到(2,3]x ∈时函数的解析式,并求出函数值为89-时对应的自变量的值.11.【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ,函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩.若函数()y f x ax b =--恰有3个零点,则 A .a <–1,b <0 B .a <–1,b >0 C .a >–1,b <0 D .a >–1,b >0【答案】C【解析】当x <0时,y =f (x )﹣ax ﹣b =x ﹣ax ﹣b =(1﹣a )x ﹣b =0,得x =b1−a , 则y =f (x )﹣ax ﹣b 最多有一个零点;当x ≥0时,y =f (x )﹣ax ﹣b =13x 3−12(a +1)x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12(a +1)x 2﹣b ,2(1)y x a x =+-',当a +1≤0,即a ≤﹣1时,y ′≥0,y =f (x )﹣ax ﹣b 在[0,+∞)上单调递增, 则y =f (x )﹣ax ﹣b 最多有一个零点,不合题意;当a +1>0,即a >﹣1时,令y ′>0得x ∈(a +1,+∞),此时函数单调递增, 令y ′<0得x ∈[0,a +1),此时函数单调递减,则函数最多有2个零点.根据题意,函数y =f (x )﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y =f (x )﹣ax ﹣b 在(﹣∞,0)上有一个零点,在[0,+∞)上有2个零点, 如图:∴b1−a <0且{−b >013(a +1)3−12(a +1)(a +1)2−b <0, 解得b <0,1﹣a >0,b >−16(a +1)3,则a >–1,b <0. 故选C .【名师点睛】本题考查函数与方程,导数的应用.当x <0时,y =f (x )﹣ax ﹣b =x ﹣ax ﹣b =(1﹣a )x ﹣b 最多有一个零点;当x ≥0时,y =f (x )﹣ax ﹣b =13x 3−12(a +1)x 2﹣b ,利用导数研究函数的单调性,根据单调性画出函数的草图,从而结合题意可列不等式组求解.12.【2019年高考江苏】函数y =的定义域是 ▲ .【答案】[1,7]-【解析】由题意得到关于x 的不等式,解不等式可得函数的定义域.由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤,解得17x -≤≤, 故函数的定义域为[1,7]-.【名师点睛】求函数的定义域,其实质就是以函数解析式有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集即可.13.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数,且当0x <时,()e axf x =-.若(ln 2)8f =,则a =__________. 【答案】3-【解析】由题意知()f x 是奇函数,且当0x <时,()e axf x =-,又因为ln 2(0,1)∈,(ln 2)8f =, 所以ln 2e 8a --=-,两边取以e 为底数的对数,得ln 23ln 2a -=, 所以3a -=,即3a =-.【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性,对数的计算.14.【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+(a 为常数).若f (x )为奇函数,则a =________;若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是___________. 【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式,据此可得a 的值,然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数,则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+,即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立,则10a +=,得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数,则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立,即2e x a ≤在R 上恒成立, 又2e 0x >,则0a ≤, 即实数a 的取值范围是(],0-∞.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性、利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识、基础知识、基本运算能力的考查.15.【2019年高考浙江】已知a ∈R ,函数3()f x ax x =-,若存在t ∈R ,使得2|(2)()|3f t f t +-≤,则实数a 的最大值是___________. 【答案】43【解析】存在t ∈R ,使得2|(2)()|3f t f t +-≤, 即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤, 化为()22|23642|3a t t ++-≤, 可得()2222364233a t t -≤++-≤,即()22436433a t t ≤++≤, 由223643(1)11t t t ++=++≥,可得403a <≤. 则实数a 的最大值是43. 【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数,结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a t t at t +-+-+23≤,去绝对值化简,结合二次函数的最值及不等式的性质可求解. 16.【2019年高考北京理数】李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当x =10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x 的最大值为__________. 【答案】①130;②15【解析】①10x =时,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元. ②设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,当120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求;当120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立, 即()87,8y y x y x -≥≤, 因为min158y ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以x 的最大值为15.综上,①130;②15.【名师点睛】本题主要考查函数的最值,不等式的性质及恒成立,数学的应用意识,数学式子变形与运算求解能力.以实际生活为背景,创设问题情境,考查学生身边的数学,考查学生的数学建模素养. 17.【2019年高考江苏】设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数,()f x 的周期为4,()g x 的周期为2,且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时,()f x =,(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩,其中k >0.若在区间(0,9]上,关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根,则k 的取值范围是 ▲ .【答案】1,34⎡⎪⎢⎪⎣⎭【解析】作出函数()f x ,()g x 的图象,如图:由图可知,函数()f x =的图象与1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<≤<≤<≤<≤的图象仅有2个交点,即在区间(0,9]上,关于x 的方程()()f x g x =有2个不同的实数根,要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根,则()(0,2]f x x =∈与()(2),(0,1]g x k x x =+∈的图象有2个不同的交点,由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为11=,解得(0)4k k =>, ∵两点(2,0),(1,1)-连线的斜率13k =,∴134k ≤<, 综上可知,满足()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为134⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭,. 【名师点睛】本题考查分段函数,函数的图象,函数的性质,函数与方程,点到直线的距离,直线的斜率等,考查知识点较多,难度较大.正确作出函数()f x ,()g x 的图象,数形结合求解是解题的关键因素.专题3 导数及其应用1.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点(1,a e )处的切线方程为y =2x +b ,则 A .e 1a b ==-, B .a=e ,b =1 C .1e 1a b -==,D .1e a -=,1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=,1e a -∴=, 将(1,1)代入2y x b =+,得21,1b b +==-. 故选D .【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ,b 的等式,从而求解,属于常考题型.2.【2019年高考天津理数】已知a ∈R ,设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立,则a 的取值范围为 A .[]0,1 B .[]0,2 C .[]0,eD .[]1,e【答案】C【解析】当1x =时,(1)12210f a a =-+=>恒成立;当1x <时,22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立,令2()1x g x x =-,则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 当111x x-=-,即0x =时取等号, ∴max 2()0a g x ≥=,则0a >.当1x >时,()ln 0f x x a x =-≥,即ln xa x≤恒成立, 令()ln xh x x=,则2ln 1()(ln )x h x x -'=,当e x >时,()0h x '>,函数()h x 单调递增, 当0e x <<时,()0h x '<,函数()h x 单调递减, 则e x =时,()h x 取得最小值(e)e h =, ∴min ()e a h x ≤=,综上可知,a 的取值范围是[0,e]. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题,分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值,然后解决恒成立问题.3.(2019浙江)已知,a b ∈R ,函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩.若函数()y f x ax b =--恰有3个零点,则A .a <–1,b <0B .a <–1,b >0C .a >–1,b <0D .a >–1,b >0【答案】C【解析】当x <0时,y =f (x )﹣ax ﹣b =x ﹣ax ﹣b =(1﹣a )x ﹣b =0,得x =b1−a , 则y =f (x )﹣ax ﹣b 最多有一个零点;当x ≥0时,y =f (x )﹣ax ﹣b =13x 3−12(a +1)x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12(a +1)x 2﹣b ,2(1)y x a x =+-',当a +1≤0,即a ≤﹣1时,y ′≥0,y =f (x )﹣ax ﹣b 在[0,+∞)上单调递增, 则y =f (x )﹣ax ﹣b 最多有一个零点,不合题意;当a +1>0,即a >﹣1时,令y ′>0得x ∈(a +1,+∞),此时函数单调递增, 令y ′<0得x ∈[0,a +1),此时函数单调递减,则函数最多有2个零点.根据题意,函数y =f (x )﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y =f (x )﹣ax ﹣b 在(﹣∞,0)上有一个零点,在[0,+∞)上有2个零点, 如图:∴b1−a<0且{−b >013(a +1)3−12(a +1)(a +1)2−b <0, 解得b <0,1﹣a >0,b >−16(a +1)3, 则a >–1,b <0. 故选C .【名师点睛】本题考查函数与方程,导数的应用.当x <0时,y =f (x )﹣ax ﹣b =x ﹣ax ﹣b =(1﹣a )x ﹣b 最多有一个零点;当x ≥0时,y =f (x )﹣ax ﹣b =13x 3−12(a +1)x 2﹣b ,利用导数研究函数的单调性,根据单调性画出函数的草图,从而结合题意可列不等式组求解.4.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0,处的切线方程为____________. 【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,xxxy x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==,则曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =,即30x y -=.【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础,本题易因为导数的运算法则掌握不熟,而导致计算错误.求导要“慢”,计算要准,是解答此类问题的基本要求.5.【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点,则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4 【解析】由4(0)y x x x =+>,得241y x'=-, 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +, 由20411x -=-得0x =0x =, ∴曲线4(0)y x x x=+>上,点P 到直线0x y +=4=.故答案为4.【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离,渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法,利用数形结合和转化与化归思想解题.6.【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y =ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(-e ,-1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是 ▲ . 【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标,得到切线方程,然后求解方程得到横坐标的值,可得切点坐标. 设点()00,A x y ,则00ln y x =.又1y x'=, 当0x x =时,01y x '=, 则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-, 即00ln 1xy x x -=-, 将点()e,1--代入,得00e1ln 1x x ---=-, 即00ln e x x =,考察函数()ln H x x x =,当()0,1x ∈时,()0H x <,当()1,x ∈+∞时,()0H x >, 且()ln 1H x x '=+,当1x >时,()()0,H x H x '>单调递增, 注意到()e e H =,故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =, 此时01y =, 故点A 的坐标为()e,1.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题:一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质,直线与曲线只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线,同样,直线是曲线的切线,则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点.7.【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+(a 为常数).若f (x )为奇函数,则a =________;若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是___________. 【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式,据此可得a 的值,然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数,则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+,即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立,则10a +=,得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数,则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立,即2e x a ≤在R 上恒成立, 又2e 0x >,则0a ≤, 即实数a 的取值范围是(],0-∞.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性、利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识、基础知识、基本运算能力的考查.8.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数.证明:(1)()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点; (2)()f x 有且仅有2个零点. 【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】(1)设()()g x f 'x =,则1()cos 1g x x x=-+,21sin ())(1x 'x g x =-++.当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()g'x 单调递减,而(0)0,()02g'g'π><,可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点,设为α.则当(1,)x α∈-时,()0g'x >;当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增,在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减,故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点,即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点. (2)()f x 的定义域为(1,)-+∞.(i )当(1,0]x ∈-时,由(1)知,()f 'x 在(1,0)-单调递增,而(0)0f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.(ii )当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时,由(1)知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减,而(0)=0f ',02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭,所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()0f 'β=,且当(0,)x β∈时,()0f 'x >;当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增,在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. 又(0)=0f ,1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时,()0f x >.从而,()f x 在0,2⎛⎤⎥⎝⎦π没有零点. (iii )当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时,()0f 'x <,所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭,()0f π<,所以()f x 在,2π⎛⎤π⎥⎝⎦有唯一零点. (iv )当(,)x ∈π+∞时,ln(1)1x +>,所以()f x <0,从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上,()f x 有且仅有2个零点.【名师点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点,另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性,二者缺一不可.9.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.(1)讨论f (x )的单调性,并证明f (x )有且仅有两个零点;(2)设x 0是f (x )的一个零点,证明曲线y =ln x 在点A (x 0,ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线.【答案】(1)函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数,证明见解析; (2)见解析.【解析】(1)f (x )的定义域为(0,1)(1,+∞).因为212()0(1)f 'x x x =+>-,所以()f x 在(0,1),(1,+∞)单调递增. 因为f (e )=e 110e 1+-<-,22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--,所以f (x )在(1,+∞)有唯一零点x 1,即f (x 1)=0.又1101x <<,1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-,故f (x )在(0,1)有唯一零点11x .综上,f (x )有且仅有两个零点.(2)因为0ln 01e x x -=,故点B (–ln x 0,01x )在曲线y =e x 上. 由题设知0()0f x =,即0001ln 1x x x +=-,故直线AB 的斜率0000000000111ln 111ln 1x x x x x k x x x x x x +---===+-----. 曲线y =e x 在点001(ln ,)B x x -处切线的斜率是01x ,曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是01x , 所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y =e x 的切线.【名师点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程,考查了数学运算能力. 10.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+.(1)讨论()f x 的单调性;(2)是否存在,a b ,使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1?若存在,求出,a b 的所有值;若不存在,说明理由. 【答案】(1)见解析;(2)01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩. 【解析】(1)2()622(3)f x x ax x x a '=-=-. 令()0f x '=,得x =0或3ax =. 若a >0,则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '>;当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<.故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增,在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减;若a =0,()f x 在(,)-∞+∞单调递增;若a <0,则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '>;当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<.故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增,在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.(2)满足题设条件的a ,b 存在.(i )当a ≤0时,由(1)知,()f x 在[0,1]单调递增,所以()f x 在区间[0,l]的最小值为(0)=f b ,最大值为(1)2f a b =-+.此时a ,b 满足题设条件当且仅当1b =-,21a b -+=,即a =0,1b =-. (ii )当a ≥3时,由(1)知,()f x 在[0,1]单调递减,所以()f x 在区间[0,1]的最大值为(0)=f b ,最小值为(1)2f a b =-+.此时a ,b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-,b =1,即a =4,b =1.(iii )当0<a <3时,由(1)知,()f x 在[0,1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,最大值为b 或2a b -+.若3127a b -+=-,b =1,则a =,与0<a <3矛盾.若3127a b -+=-,21a b -+=,则a =或a =-或a =0,与0<a <3矛盾. 综上,当且仅当a =0,1b =-或a =4,b =1时,()f x 在[0,1]的最小值为-1,最大值为1.【名师点睛】这是一道常规的函数导数和不等式的综合题,题目难度比往年降低了不少,考查函数的单调性、最大值、最小值这种基本量的计算. 11.【2019年高考北京理数】已知函数321()4f x x x x =-+. (Ⅰ)求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程; (Ⅱ)当[2,4]x ∈-时,求证:6()x f x x -≤≤;(Ⅲ)设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ,记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M (a ).当M (a )最小时,求a 的值.【答案】(Ⅰ)y x =与6427y x =-;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)3a =-. 【解析】(Ⅰ)由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+.令()1f x '=,即232114x x -+=,得0x =或83x =.又(0)0f =,88()327f =,所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-,即y x =与6427y x =-.(Ⅱ)令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-.由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-. 令()0g'x =得0x =或83x =.(),()g'x g x 的情况如下:所以()g x 的最小值为6-,最大值为0. 故6()0g x -≤≤,即6()x f x x -≤≤. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当3a <-时,()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->; 当3a >-时,()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>; 当3a =-时,()3M a =. 综上,当()M a 最小时,3a =-.【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程,利用导函数证明不等式,分类讨论的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.【2019年高考天津理数】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.(Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅱ)当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭;(Ⅲ)设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点,其中n ∈N ,证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-. 【答案】(Ⅰ)()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π(),()44k k k f x ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为π5π2π,2π()44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析. 【解析】(Ⅰ)由已知,有()e (cos sin )xf 'x x x =-.因此,当52,244x k k ππ⎛⎫∈π+π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时,有sin cos x x >,得()0f 'x <,则()f x 单调递减;当32,244x k k ππ⎛⎫∈π-π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时,有sin cos x x <,得()0f 'x >,则()f x 单调递增.所以,()f x 的单调递增区间为32,2(),()44k k k f x ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z . (Ⅱ)证明:记()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭.依题意及(Ⅰ),有()e (cos sin )x g x x x =-,从而()2e sin x g'x x =-.当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,0()g'x <,故()()()()(1)()022h'x f 'x g'x x g x g'x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此,()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以,当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭.(Ⅲ)证明:依题意,()()10n n u x f x =-=,即cos e 1n xn x =.记2n n y x n =-π,则,42n y ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭,且()()()22e cos ecos 2e n n yx n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N .由()()20e1n n f y f y -π==≤及(Ⅰ),得0n y y ≥.由(Ⅱ)知,当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0g'x <,所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数,因此()()004n g y g y g π⎛⎫≤<= ⎪⎝⎭.又由(Ⅱ)知,()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭,故()()()()()022*******2sin cos sin c e e e e os e n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-ππ--=-≤=--≤<. 所以,20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-.【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力. 13.【2019年高考浙江】已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +>(1)当34a =-时,求函数()f x 的单调区间; (2)对任意21[,)ex ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注:e=2.71828…为自然对数的底数.【答案】(1)()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3;(2)⎛ ⎝⎦.【解析】(1)当34a =-时,3()ln 04f x x x =-+>.3()4f 'x x =-+=所以,函数()f x 的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+∞).(2)由1(1)2f a≤,得04a <≤.当04a <≤时,()f x ≤2ln 0x -≥.令1t a=,则t ≥.设()22ln ,g t t x t =≥则2()2ln g t t x=.(i )当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤()2ln g t g x ≥=.记1()ln ,7p x x x =≥,则1()p'x x =-==.故所以,()(1)0p x p ≥=.因此,()2()0g t g p x ≥=≥.(ii )当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,1()1g t g x ⎛+= ⎝.令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦,则()10q'x =>, 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,所以1()7q x q ⎛⎫⎪⎝⎭.由(i )得,11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以,()<0q x .因此1()10g t g x ⎛+=>⎝.由(i )(ii )知对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,),()0t g t ∈+∞, 即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,均有()2xf x a.综上所述,所求a 的取值范围是0,4⎛⎝⎦. 【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.14.【2019年高考江苏】设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f (x )的导函数.(1)若a =b =c ,f (4)=8,求a 的值;(2)若a ≠b ,b =c ,且f (x )和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中,求f (x )的极小值;(3)若0,01,1a b c =<=,且f (x )的极大值为M ,求证:M ≤427. 【答案】(1)2a =;(2)见解析;(3)见解析.【解析】(1)因为a b c ==,所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-. 因为(4)8f =,所以3(4)8a -=,解得2a =. (2)因为b c =,所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-, 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.令()0f 'x =,得x b =或23a bx +=. 因为2,,3a ba b +都在集合{3,1,3}-中,且a b ≠, 所以21,3,33a b a b +===-.此时2()(3)(3)f x x x =-+,()3(3)(1)f 'x x x =+-. 令()0f 'x =,得3x =-或1x =.列表如下:所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-.(3)因为0,1a c ==,所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++,2()32(1)f 'x x b x b =-++.因为01b <≤,所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>, 则()f 'x 有2个不同的零点,设为()1212,x x x x <.由()0f 'x =,得121133b b x x +++==.列表如下:所以()f x 的极大值()1M f x =. 解法一:()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤.因此427M ≤. 解法二:因为01b <≤,所以1(0,1)x ∈.当(0,1)x ∈时,2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-. 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈,则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 令()0g'x =,得1x =.列表如下:所以当13x =时,()g x 取得极大值,且是最大值,故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以当(0,1)x ∈时,4()()27f x g x ≤≤,因此427M ≤. 【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.专题4 立体几何1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上,P A =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F 分别是P A ,AB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为A .B .C .D【答案】D 【解析】解法一:,PA PB PC ABC ==△为边长为2的等边三角形,P ABC ∴-为正三棱锥,PB AC ∴⊥,又E ,F 分别为PA ,AB 的中点,EF PB ∴∥,EF AC ∴⊥,又EF CE ⊥,,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ,∴PB ⊥平面PAC ,APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===P ABC ∴-为正方体的一部分,2R ==即344π33R V R =∴=π==,故选D .解法二:设2PA PB PC x ===,,E F 分别为,PA AB 的中点,EF PB ∴∥,且12EF PB x ==,ABC △为边长为2的等边三角形,CF ∴=又90CEF ∠=︒,12CE AE PA x ∴===, AEC △中,由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯,作PD AC ⊥于D ,PA PC =,D 为AC 的中点,1cos 2AD EAC PA x ∠==,2243142x x x x +-+∴=,22121222x x x ∴+=∴==,,,PA PB PC ∴===又===2AB BC AC ,,,PA PB PC ∴两两垂直,2R ∴==R ∴=,344338V R ∴=π=π⨯=,故选D.【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力,补体法解决外接球问题.可通过线面垂直定理,得到三棱两两互相垂直关系,快速得到侧棱长,进而补体成正方体解决. 2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 A .α内有无数条直线与β平行 B .α内有两条相交直线与β平行 C .α,β平行于同一条直线 D .α,β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知:α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件,由面面平行性质定理知,若αβ∥,则α内任意一条直线都与β平行,所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件,故选B .【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件,渗透直观想象、逻辑推理素养,利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观臆断,如:“若,,a b a b αβ⊂⊂∥,则αβ∥”此类的错误.3.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图,点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD ⊥平面ABCD ,M 是线段ED 的中点,则。
2019年高考理科数学(全国1卷)答案详解(附试卷)

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PS:其实可以对题目进行抽象:即有 A、B 两种字母,填 6 个位置,求恰有 3 个 A 的概率.这样更
容易求解.
【答案】A
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7.(平面向量)已知非零向量 a,b 满足 | a | 2 | b | ,且 (a b) b ,则 a 与 b 的夹角为
头顶至肚脐的长度小于 68.07cm,所以身高小于 68.07+68.07÷0.618=178.21cm. 所以选答案 B.
【答案】B
5.(函数)函数
f
(x)
sin x x cos x x2
在[, ] 的图像大致为
A.
B.
C.
D.
【解析】∵
f (x)
sin x x cos x x2
A. (x+1)2 y 2 1 B. (x 1)2 y2 1 C. x2 ( y 1)2 1 D. x2 ( y+1)2 1
【解析】由题意得 z i x ( y 1)i ,∵ z i =1 ,∴ x2 ( y 1)2 1 ,即 x2 ( y 1)2 1
【答案】D
6.(概率统计)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻 组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦 恰有 3 个阳爻的概率是
5
A.
16
11
B.
32
21
C.
32
11
D.
16
【解析】所有重卦的个数为 26 64 ,恰有 3 个阳爻的个数为 C36C33 20 ,因此恰有 3 个阳爻的概率为
2019年高考数学真题分类汇编:集合.doc

2019 年高考数学真题分类汇编专题 01:集合一、单选题1.(2019?浙江)已知全集 U={-1 ,0,1,2,3} ,集合 A={0,1,2} ,B={-1 ,0,1} ,则=()A. {-1}B. {0 ,1}C. {-1 ,2,3}D. {-1 , 0,1,3}【答案】 A2.(2019?天津)设集合,则()A.{2}B.{2 ,3}C.{-1 ,2,3}D.{1 ,2,3,4}【答案】 D3.(2019?全国Ⅲ)已知集合 A={-1 ,0,1,2} ,B={x|x 2≤1} ,则 A∩B= ()A.{-1 ,0,1}B.{0,1}C.{-1 ,1}D.{0,1,2}【答案】 A4.(2019?卷Ⅱ)已知集合 A={x|x>-1} ,B={x|x<2} ,则 A∩B=()A. (-1 ,+∞)B. ( - ∞, 2)C.( -1 ,2)D.【答案】 C5. (2019?卷Ⅱ)设集合 A={x|x 2-5x+6>0} ,B={ x|x-1<0},则A∩B= ()A.(- ∞, 1)B.(-2,1)C.(-3 ,-1)D.(3,+∞)【答案】 A6. (2019?北京)已知集合A={x|-1<x<2} ,B={x|x>1} ,则 AUB= ()A. (-1 ,1)B. (1,2)C.(-1 ,+∞)D.(1,+∞)【答案】 C7.(2019?卷Ⅰ)已知集合 U=,A=,B=则=()A. B.C. D.【答案】 C8. (2019?卷Ⅰ)已知集合M=,N=,则M N=()A. B.C. D.【答案】 C9.(2019?全国Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并成为中国古典小说四大名著。
某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了 100 位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位,阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8【答案】 C二、填空题10. (2019?江苏)已知集合,,则________.【答案】。
(完整word)2019年全国高考理科数学试题分类汇编1:集合,推荐文档

2019年全国高考理科数学试题分类汇编 1:集合【答案】DA x|0 log 4x 1 ,B x|x 2,则AI果存在一个从S 到T 的函数y f (X )满足:(i)T6 . ( 2019年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))已知集合 A ={0,1,2},则集合B x y x A, y A 中元素的个数是(A) 1(B) 3(C)5(D)9【答案】C7 . (2019年高考陕西卷(理))设全集为R 函数f (x)x 2的定义域为 M 则C R M 为(A) [-1,1] (B) (-1,1)(C) (, 1] [1,) (D) (, 1) (1,)【答案】D一、选择题 1 . (2019 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))已知全集U 1,2,3,4 ,集合A= 1,, B= 2,3 ,则 Q AUB =()A. 1,,B.3,4C. D.A.AN *,B NB. A {x| 1 x 3},B {x|x8或x 10}C.A{x|0 x 1}, B RD. A Z, B Q【答案】 D5 .(2019年高考上海卷(理))设常数a R,集合A {x |(x 1)(xa) 0}, B {x|x a 1},若A B R ,则a 的取值范围为()(A) (,2)(B)( ,2] (C) (2,)(D)[2,)f (x 1) f (x 2),那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是()【答案】B.2 . ( 2019年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理) 试题(WOR 版))已知集合A. 01B.0,2 C. 1,2D.1,【答案】D3 . ( 2019年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案){x € R x w 1},则 A B (A)(,2] (B) [1,2](C) [2,2]【答案】D4 . ( 2019年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)已知集合 A = { x € R | x | w 2}, A =(D) [-2,1]试题(纯WOR 版))设S,T,是R 的两个非空子集,如{ f(x)| x S};( ii)对任意 x,,x 2 S,当 x 1 x 2时,恒有8 . ( 2019年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)(A)3 (B)4 (C)5 (D)6【答案】B【答案】C12 . ( 2019年普通高等学校招生统一考试新课标n 卷数学(理)(纯 WORD 版含答案))已知集合Mx|(x 1)2 4,xR ,N1,0,1,2,3,则M N(A)0,1,2(B)1,0,1,2 (C)1,0,2,3(D)0,1,2,3【答案】A13 (2019年普通高等学校招生统-「考试广东 省数学(理)卷(纯W ORD 版))设集合M2x| x 2x 0,xR , N x|x 22x0,x R ,则 MUN ()A .B.0,2C.2,0D.2,°,2【答 案】D 14 . ( 2019年普 通高等学 校招生 统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版))设集合S {x|x 2}, T {x|x 2 3x 4 0},则(C R S ) TA . ( 2,1] B. (, 4] C. ( ,1] D. [1,)【答案】C15.(2019年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯WOR 版))设整数n 4,集合X 1,2,3,L ,n令集合S x, y,z | x, y,z X,且三条件 x y 乙yz x, z xy 恰有一个成立若 x,y,z 和z,w, x 都在S 中,则下列选项正确的是 ()A . y, z, w S , x, y, w SB. y,z, w S , x, y, w SC y,z,w S x, y,w SD.y,z,w Sx, y, w S(A) { 2}(B){2}(C){ 2,2}(D)[【答案】 A10. ( 2019年高考新课标 1(理))已知集合A x | 2x 2x,B x| V5 x眞,则()A.A A B=B. A U B=RC.B ? AD.A?B【答案】B. 11 .(2019年高考湖北-卷(理))已知全集为R ,集合A xx1 1 , B x|x 26x 8 0 ,则 AI C R B ()2A. x | x 0B.x|2 x 4C. x|0x 2 或 x 4 D.x |0 x 2或x49 . ( 2019年高考四川卷(理)A 1,2,3 ,B 4,5 ,M x|x a b,a A,bB ,则M 中的元素个数为 0},集合 B {x| x 2 4)设集合A {x|x 20},则 AI B ()(一)必做题(9~13 题)【答案】B16.(2019 年高考北京卷(理))已知集合A={-1,0,1},B={x|- K x<1},则A H B=()A.{0}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}【答案】B17.(2019年上海市春季高考数学试卷(含答案))设全集UR ,下列集合运算结果为R的是()(A)ZUe u N (B)N I e u N (C)痧(u )(D)${0}【答案】A二、填空题18.(2019年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WOR版含附加题))集合{ 1,0,1}共有___________ 个子集.【答案】8。
2019年高考数学真题—专题分类汇编【文+理】

D. 3 M 2 R 3M1
5.(2019 全国 2 理 12)设函数 f (x) 的定义域为 R.满足 f (x 1) 2 f (x) .且当 x (0,1]
9.(2019 江苏 1)已知集合 A {1, 0,1, 6}. B {x | x 0, x R}.则 A B
.
10.(2019 上海 1)已知集合 A {1 .2.3.4. 5} . B {3 .5. 6} .则 A B
.
1
2019 年高考数学真题—专题分类汇编【文+理】
2
2019 年高考数学真题—专题分类汇编【文+理】
三、函数
1.(2019 全国 1 理、文 3)已知 a log2 0.2,b 20.2,c 0.20.3 .则
A. a b c
B. a c b
C. c a b
2019 年 7 月
D. b c a
2(2019
2019 年 7 月
二、复数
1.(2019 全国 1 理 2)设复数 z 满足 z i =1 .z 在复平面内对应的点为(x.y).则 A. (x+1)2 y2 1 B. (x 1)2 y2 1 C. x2 ( y 1)2 1 D. x2 ( y+1)2 1
2.(2019
A. 1, 0,1
B. 0,1
C. 1,1
D.0,1, 2
6.(2019 北京文 1)已知集合 A={x|–1<x<2}.B={x|x>1}.则 A∪B=
(A)(–1.1)
(B)(1.2)
(C)(–1.+∞)
(D)(1.+∞)
2019年高考全国各地数学理科真题分类汇编18个专题(解析版)

2019年高考全国各地数学理科真题分类汇编(解析版)专题一集合-------------------------------------------------------------- 2 专题二函数-------------------------------------------------------------- 3 专题三三角函数 ------------------------------------------------------ 16 专题四解三角形 ------------------------------------------------------ 26 专题五平面向量 ------------------------------------------------------ 29 专题六数列------------------------------------------------------------ 34 专题七不等式--------------------------------------------------------- 46 专题八复数------------------------------------------------------------ 48 专题九导数及其应用 ------------------------------------------------ 50 专题十算法初步 ------------------------------------------------------ 62 专题十一常用逻辑用语 --------------------------------------------- 65 专题十二概率统计 --------------------------------------------------- 67 专题十三空间向量、空间几何体、立体几何-------------------- 75 专题十四平面几何初步 -------------------------------------------- 95 专题十五圆锥曲线与方程 ----------------------------------------- 99 专题十六计数原理------------------------------------------------- 118 专题十七不等式选讲 ---------------------------------------------- 120 专题十八坐标系与参数方程--------------------------------------- 123专题一 集合(2019·全国Ⅰ理科)1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<,,则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D. }{23x x <<【答案】C【解析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法,渗透了数学运算素养.采取数轴法,利用数形结合的思想解题.【详解】由题意得,{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<,则{}22M N x x ⋂=-<<.故选C .【点睛】不能领会交集的含义易致误,区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.(2019·全国Ⅱ理科)设集合A ={x |x 2-5x +6>0},B ={ x |x -1<0},则A ∩B =A. (-∞,1)B. (-2,1)C. (-3,-1)D. (3,+∞)【答案】A【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法,渗透了数学运算素养.采取数轴法,利用数形结合的思想解题.【详解】由题意得,{}{}2,3,1A x x x B x x ==<或,则{}1A B x x ⋂=<.故选A .【点睛】本题考点为集合的运算,为基础题目,难度偏易.不能领会交集的含义易致误,区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.(2019·全国Ⅲ理科)已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ,=-=≤,则A B ⋂=( )A. {}1,0,1-B. {}0,1C. {}1,1-D. {}0,1,2【答案】A【分析】先求出集合B 再求出交集.【详解】由题意得,{}11B x x =-≤≤,则{}1,0,1A B ⋂=-.故选A . 【点睛】本题考查了集合交集的求法,是基础题. (2019·天津理科)设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R …,则()A CB =( )A. {}2B. {}2,3C. {}1,2,3-D. {}1,2,3,4【答案】D【分析】先求A B ⋂,再求()A C B 。
2019年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(01集合)

【解析】 A B {3,4,5,7,8,9} , A B {4,7,9} CU ( A B) {3,5,8} 故选 A。
也可用摩根律: CU ( A B ) (CU A) (CU B)
15. (全国 2 理.2)设集合 A= x x 3 , B x x 1 0 , 则 A B= x4
( A) (B) (3,4) ( C) ( -2,1) ( D) (4+ ) 【解析】 解分式不等式并求交集 答案: B
C. {〔1,0〕} D. {〔0,1〕}
【解析】 P { a | a (1,m), m R}, Q { b | b (1 n,1 n), n R}
{
1 m
1 1
n n
即
n
0, m 1
故选 C
9. (江西理 .3)已知全集 U A B 中有 m 个元素, (痧U A) ( U B) 中有 n 个元素.若
分所示的集合的元素共有 A. 3 个 C. 1 个
B. 2 个 D. 无穷多个
【解析】 由 M { x 2 x 1 2} 得 1 x 3 ,则 M N 1,3 ,有 2 个, 选 B.
7. (广东文 .1)已知全集 U=R,则正确表示集合 M= { -1,0,1} 和 N= { x |x 2 +x=0} 关系的韦恩( Venn)图是
B.
x3 x 5
C. x 5 x 3
D.
x7 x5
【解析】 S x 5 x 5 , T x 7 x 3
∴ S T x 5 x 3 故选 C
21. ( 浙江理 , 文.1) 设 U R , A { x | x 0} , B { x | x 1} ,则 A eU B ( ) A. { x |0 x 1} B . { x |0 x 1} C . { x | x 0} D . { x | x 1}
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2019 年全国高考理科数学试题分类汇编 1:集合
一、选择题
1..(2019 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))已知全集U = {1, 2, 3, 4},集合A ={1,2}, B ={2,3},则ðU (A B )= (
)A.{1,3 ,4}
B.{3,4}
C. {3}
D. {4}【答案】D 2..(2019 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版))已知集合
A = {x | 0 < log 4 x < 1},
B = {x | x ≤ 2},则A B =
A. (0,1)
B. (0,2]
C. (1, 2)
D. (1,
2]【答案】D
3..(2019 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))已知集合 A = {x ∈R | |x |≤2},A = {x ∈R | x ≤1}, 则 A ⋂ B =
(A)(-∞, 2](B) [1,2](C) [2,2](D) [-2,1]
【答案】D
4..(2019 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版))设 S,T,是 R 的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T 的函数 y = f (x ) 满足: (i )T = { f (x ) | x ∈ S };(ii )对任意 x 1 , x 2 ∈ S , 当 x 1 < x 2 时,
恒有 f (x 1) < f (x 2 ) ,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是(
)A. A = N *, B = N
B. A = {x | -1 ≤ x ≤ 3}, B = {x | x = -8或0 < x ≤ 10}
C. A = {x | 0 < x < 1}, B = R
D. A = Z , B = Q 【答案】D 5..(2019 年高考上海卷(理))设常数 a ∈ R ,集合 A = {x | (x -1)(x - a ) ≥ 0}, B = {x | x ≥ a -1} ,若
A ⋃
B = R ,则 a 的取值范围为(
)(A)(-∞, 2)(B)(-∞, 2](C)(2, +∞)(D)[2, +∞)
【答案】B.
6..(2019 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))已知集合 A ={0,1,2},则集合
B = {x - y x ∈ A , y ∈ A }中元素的个数是
(A) 1
(B)3(C)5(D)9
【答案】C
7..(2019 年高考陕西卷(理))设全集为 R , 函数 f (x ) = M , 则C R M 为(A) [-1,1](B) (-1,1)
(C)(-∞, -1] ⋃[1, +∞)(D)(-∞, -1) ⋃ (1, +∞)
52⎪2{}{}{}R , B.,,
,则(){ }【答案】D
8..(2019 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))设集合
A = {1, 2, 3},
B = {4, 5}, M = {x | x = a + b , a ∈ A , b ∈ B }, 则 M 中的元素个数为
(A)3(B)4(C)5(D)6
【答案】B
9. .(2019 年高考四川卷(理))设集合 A = {x | x + 2 = 0},集合 B = {x | x 2 - 4 = 0},则 A B = (
)
(A){-2}(B){2}(C){-2, 2}(D) ∅ [ 【答案】A 10..(2019 年高考新课标 1(理))已知集合 A = {x | x 2 - 2x > 0}, B = {x | -< x <5},则()
A.A∩B=∅
B.A∪B=R
C.B ⊆A
D.A ⊆B 【答案】B. 11..(2019 年高考湖北卷(理))已知全
⎪
集为 R ,集合 A = ⎨ x ⎩A. {x | x ≤ 0}⎛ 1 ⎫x ⎪⎝⎭≤ 1⎬ ,
B = {x | x - 6x + 8 ≤ 0},则 A
C R B = ()⎭
B. {x | 2 ≤ x ≤ 4}
C. {x | 0 ≤ x < 2或x > 4}
D.{x | 0 < x ≤ 2或x ≥ 4}【答案】C
12..(2019 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯 WORD 版含答案))已知集合
M = {x | (x -1)2 < 4, x ∈ R }, N = {-1, 0,1, 2, 3},则 M N =
(A) {0,1,2}(B) {-1,0,1,2}(C) {-1,0,2,3}(D) {0,1,2,3}
【答案】A
13..(2019 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 W ORD 版))设集合
M = {x | x 2 + 2x = 0, x ∈ R }N = {x | x 2 - 2x = 0, x ∈ R }M N =00, 2A . B.-2, 0C.-2, 0, 2D.
【答案】D 14..(2019 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版))设集合S = {x | x > -2},T = {x | x 2 + 3x - 4 ≤ 0},则(C S ) ⋃ T =
A.
(-2,1]【答案】C
B. (-∞,-4]
C. (-∞,1]
D.[1,+∞)
15..(2019 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版))设整数 n ≥ 4 ,集合X = {1, 2, 3, , n }.令集合S = {(x , y , z )| x , y , z ∈ X ,且三条件x <有y 一<个z ,成y 立< z < x , z < x < y }(x , y , z )(z , w , x )都在 S 中,则下列选项正确的是(
),若和
(y , z , w )∈ S (x , y , w )∉ S (y , z , w )∈ S (x , y , w )∈ S
A .
(y, z, w)∉S (x, y, w)∈S
(y, z, w)∉S (x, y, w)∈S
C.,
D.,
(一)必做题(9~13 题) 【答案】B
16..(2019 年高考北京卷(理))已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=()
A.{0}
B.{-1,0}
C.{0,1}
D.{-1,0,1}
【答案】B
17..(2019 年上海市春季高考数学试卷(含答案))设全集U =R ,下列集合运算结果为R的是()
(A)Z ðu N(B)N ðu N(C)ðu(ðu∅)(D)ðu{0}
【答案】A
二、填空题
18..(2019 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯 WORD 版含附加题))集合{-1,0,1} 共有个子集.
【答案】8
“”
“”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。