复旦大学数学系《数学分析》(第3版)(下册)配套题库(13-22章)【圣才出品】
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十三章
第十三章 函数列与函数项级数一、证明题1.讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D 上是否一致收敛，并说明理由：(1) f n (x)=22n 1x +,n=1,2,…,D=(-1,1); (2) f n (x)=22xn 1x +,n=1,2,…D=(-∞,+∞); (3) f n (x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<++≤≤++-1x 1n 1 0,1n 1x 0 1,1)x (n (n=1,2……); (4) f n (x)=nx , n=1,2,…, (i) D=[0,+∞]; (ii) D=[0,1000]; (5) f n (x)=sin n x , n=1,2,…, (i) D=[-L,L]; (ii) D=[-∞,+∞]; (6) ∑+--nx 1)(21n , D=[-∞,+∞]; (7) ∑-+1n 22)x (1x , (i) D=[-∞,+∞]; (ii) D=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10,101. 2. 证明:设f(x)→f(x),x ∈D; a n →0(n →∞),(a n >0),若对每一个自然数n.有|f n (x)-f(x)|≤a n , x ∈D,则{f n }在D 上一致收敛于f.3. 设{f n }为定义在[a,b]上的函数列,且对每一个n,f n 在点a 右连续,但{f n (a n )}是发散的,证明在任何开区间(a,a+δ)这里(a+δ<b)内{f n }都不一致收敛.4. 设函数项级数∑n u (x)在D 上一致收敛于S(x),函数g(x)在D 上有界,证明级数∑(x)g(x)u n 在D 上一致收敛于g(x)S(x). 5. 若在区间I 上,对任何自然数n, |u n (x)|≤V n (x), 证明当∑n v (x)在I 上一致收敛时,级数∑n u (x)在I 也一致收敛.6. 设u n (x)(n=1,2,…)是[a,b]上的单调函数,证明:若∑n u (a)与∑n u (b)都绝对收敛,则级数∑n u (x)在[a,b]上绝对并一致收敛.7. 在[0,1]上定义函数列1,2n n 1x 0,n 1 x ,n 1(x)u n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠==证明: 级数∑n u (x)在[0,1]上一致收敛,但它不存在优级数.8. 证明:级数∑∞=0n n n x )-(1x (-1)在[0,1]上绝对并一致收敛,但由其各项绝对值组成的级数在[0,1]上却不一致收敛.9. 设f 为定义在区间(a,b)内的任一函数,记f n (x)=n [nf(x)],n=1,2,……,证明函数列{f n }在(a,b)内一致收敛于f.10. 设{u n (x)}为[a,b]上正的递减且收敛于零的函数列,每一个u n (x)都是[a,b]上的单调函数.则级数u 1(x)-u 2(x)+u 3(x)-u 4(x)+…在[a,b]上一致收敛.11. 证明: 若函数列{f n }在[a,b]上满足定理13.10的条件,则{f n }在[a,b]上一致收敛.12. 证明: 函数f(x)=∑3n sinnx 在(-∞,+∞)上连续,且有连续的导函数.13. 证明: 定义在[0,2π]上的函数项级数∑∞=0n n cosnx r (0<r<1)满足定理13.12条件,且 ∑⎰∞==0n n2πcosnx dx r 02π 14. 讨论下列函数列在所定义区间上的一致收敛性及其极限函数的连续性,可积性和可微性.(1) f n (x)=2nx x e -(n=1,2,…)x ∈[-L,L];(2) f n (x)=nx1nx +,n=1,2,…, (i) x ∈[)+∞,0, (ii) x ∈[)+∞a, (a>0); 15. 证明函数ξ(x)=∑x n 1在(1,+∞)内连续,且有连续的各阶导数.16. 证明:若函数列{f n }在x 0的某δ邻域U(x 0,δ)内一致收敛于f,且)1,2,(n a (x)f lim n n x x 0 ==→,则n n a lim ∞→与f(x)lim 0x x →存在且相等,即∞→n lim (x)f lim n x x 0→=(x)f lim lim n n x x 0∞→→ 17. 设f 在(-∞,+∞)上有任何阶导数,记F n =f (n),且在任何有限区间内,F n →ϕ(n →∞),试证 ϕ(x)=ce x (c 为常数).二、计算题1. 判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性. (1) ∑-∈-r]r,[x ,1)!(n x n; (2) ∑+∞-∞∈+],[x ,)x (1x (-1)n 221-n ; (3) ∑>≥0r |x |,x n n ;(4) ∑∈[0,1]x ,nx 2n.2. 讨论下列函数列或函数英级数在所示区间D 上的敛散性: (1) (0,1]D ,1,2,n ,nx11(x)f n ==+=(2) ∑=][0,2D ,n sinnx π; (3) ∑∞=++2n 2222]1)-(n )[x n (x 2n -1, D=[-1,1]; (4) ∑n n 3xsin 2, D=(0,+∞) (5) ∑+-+)nx ](11)x (n [1x 222, D=(0,+∞) (6) ∑nx n, D=[-1,0]; (7) ∑+-+12n x 1)(12n n D=[-1,1] 3. 设S(x)=∑-21n nx ,x ∈[-1,1],计算积分S(t)dt 0x ⎰. 4. 设S(x)=∑⋅n n cosnx ,x ∈(-∞,+∞),计算积分S(t)dt 0x ⎰.5. 设S(x)=∑-nx ne (x>0),计算积分S(t)dt ln2ln3⎰ 三、考研复习题1. 试问K 为何值时,下列函数列{f n }一致收敛:(1) f n (x)=xn k e -nx ,0≤x<+∞; (2) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<≤<⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤=1x n 2 0,,n 2x n 1 ,n x n2n 1x 0 ,xn (x)f k k n 2. 证明:(1)若f n (x)→f(x)(n →∞)(x ∈I),且f 在I 上有界,则{f n }至多除有限项外,在I 上是一致有界的;(2) 若f n (x)⇒f(x) (n →∞)(x ∈I),且对每一个自然数n,f n 在I 上有界,则{f n }在I 上一致有界.3. 设f 为⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21上的连续函数,证明: (1) {x n f(x)}在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21上收敛; (2) {x n f(x)}在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21上一致收敛的充要条件是f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21上有界且f(1)=04. 若把定理13.9中一致收敛函数列{f n }的每一项在[a,b]上连续改为在[a,b]上可积,试证{f n }在[a,b]上的极限函数在[a,b]上也可积.5. 证明: 由二重极限∞→m lim (∞→n lim cos 2n (m!πx)) 所确定的极限函数是狄利克雷函数.6. 设级数∑n a 收敛,证明∞→n lim ∑x n n a =∑n a . 7. 设可微函数列{f n }在[a,b]上收敛,{f 'n }在[a,b]上一致有界,证明:{f n }在[a,b]上一致收敛.。
数学分析三试卷及答案
《数学分析》(三)――参考答案及评分标准一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。
1.求函数11(,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限.解：11(,)f x y y x ==，因此二重极限为0.……(4分)因为011x y x →+与011y y x→+均不存在，故二次极限均不存在。
……(9分)2. 设(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数,其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数,求dzdx.解： 对两方程分别关于x 求偏导:， ……(4分)。
解此方程组并整理得()()()()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '⋅+++-='++. ……(9分)3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程222z z zz x x y x ∂∂∂++=∂∂∂∂。
设,,22y x y x y w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）.解：z 看成是,x y 的复合函数如下：,(,),,22y w x y x yz w w e μνμν+-====。
……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。
整理得：2222w ww μμν∂∂+=∂∂∂。
……(9分)4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数: 222S rh r ππ=+表,()()(1)0x yz dzdy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ⎧'=++++⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩约束条件: 21r h π=。
……(3分) 构造Lagrange 函数：22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。
数学分析_复旦_欧阳光中陈传璋第三版3版上下册课后习题答案解析(下)
(4) b•
ê§ lim
x→∞
xb eax
=
lim
x→∞
bxb−1 aeax
=
··· =
lim
x→∞
b! abeax
=0
bؕ
ê§K[b]
b
<
[b]+1§u´
|x|[b] eax
|x|b eax
<
|x|[b]+1 eax (|x|
> 1)§
þ¡®y²§‚ 4••0§Ïd§¥m 4•••0.
l
§é?¿a, b§þk lim
lim
+
=
x→0
24
24
1
6
ax − bx
ax ln a − bx ln b
a
(9) lim
= lim
= ln a − ln b = ln (a = 0, b = 0)
x→0 x
x→0
1
b
x−1
1
(10) lim
x→1
ln x
= lim
x→1
1
=1
x
(11) lim ax − xa = lim ax ln a − axa−1 = aa(ln a − 1)
(x2 − 1) sin x
(4) lim x→1 ln
1 + sin π x
2
)µ
x2 sin 1
1
1
2x sin − cos
1 cos
(1) Ï
x ©f!©1Óžéx¦ ê§
x
x§
x x → 0ž4•Ø•3§Ïdâ
sin x
cos x
cos x
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)配套题库-章节题库(第17~23章)【圣才出品】
p
x y p1
p 1
x y
3 , p 2
x2 y2 2
x2 y2 2
显然，上式右端第一项的极限为 0，而欲使第二项的极限为 0，必须让 p≥3（对此可作 极坐标变换），于是当 p≥3 且 p∈N＋时，fx（x，y）在原点连续，同理可证，当 p≥3 且 p ∈N＋时，fy（x，y）在原点也连续。
（2）对于 p 的哪些值，fx（0，0）与 fy（0，0）都存在？ （3）对于 p 的哪些值，f（x，y）在原点有一阶连续偏导数？并给出证明。
解：（1）由 0≤|f（x，y）|≤|x＋y|p≤（|x|＋|y|）p 可知，当 p∈N＋且 p≥1 时，有
lim f x, y 0 f 0,0
x, y0,0
x y2
1
lim
sin
0
x, y0,0 x2 y2
x2 y2
所以 f（x，y）在点（0，0）可微。
2．设函数
f
x,
y
x
yp
sin
1 ,当x2 y2 0时 x2 y2
0,当x2 y2 0时
其中 p∈N＋，问：
（1）对于 p 的哪些值，f（x，y）在原点连续？
x2 y2
fy 0,0 y
lim
x, y0,0
x y2
x2 y2
sin
x2
1
y2
而
0
x y2
x2 y2
1 sin x2 y2
x2 y2 2 xy x2 y2
2
x2 y2 x2 y2
2
x2 y2
由迫敛性知
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复旦版数学分析答案全解ex13-2
1．证明重积分的性质 8。
证 不妨设 g(x) ≥ 0 ，M 、m 分别是 f (x) 在区域 Ω 上的上确界、下确界，
由 mg(x) ≤ f (x)g(x) ≤ Mg(x) 、性质 1 和性质 3，可得
m∫ g(x)dV ≤ ∫ f (x)g(x)dV ≤ M ∫ g(x)dV ，
1
dz
1
dx
1−x f (x, y, z)dy +
1
dzΒιβλιοθήκη ∫ba∫x
dx a
f
(
x,
y)dy
=
∫b dy
a
∫b y
f
(
x,
y)dx
。
∫ ∫ （2）
2a
dx
2ax
f (x, y)dy
0
2ax− x2
∫ ∫ =
a
dy
0
a− y2
a2 − y2
f
(x,
y)dx
+
∫0ady
∫2a
a+
a2 − y2
f
( x,
y)dx
+
∫ ∫ 2a dy
a
2a y2
f
(x,
y)dx 。
2π 3
≤
∫∫∫
Ω
1
+
dxdxdz x2 + y2 +
z
2
≤
4π 3
。
4．计算下列重积分：
(1) ∫∫(x3 + 3x2 y + y3 )dxdy ，其中 D 为闭矩形[0,1] × [0,1] ；
D
(2) ∫∫ xy e x2+y2 dxdy ，其中 D 为闭矩形[a,b] × [c,d ]；
复旦大学数学系《数学分析》(第3版)(下册)章节题库-多变量微积分学-含参变量的积分和反常积分【圣才
时
从而
于是不等式 p≤α＜p＋1，蕴含 I（p）≥I（α）＞I（p＋1），I（p＋1）≥I（α＋1）＞I（p＋2），
由此推出
因为
所以由上式可得
在此式中用 α＋n 代 α（因而 p＋n≤α＋n＜p＋n＋1，亦即相应地用 p＋n 代 p），即 得
由此可知当 n→∞时，数列 f（α＋n）（n＝1，2，…）有极限 π/2．但上面已证 f（x）以 1 为周期，所以
（2）证明如下： 因为在上面步骤②中已证 I（α）是 α 的减函数，所以 I（α）＞I（α＋1）＞I（α＋2），
由此可知
（最后一步用到上面步骤①中的结果），即 I（α＋1）/I（a）介于 l 和（α＋2）
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/（α＋1）之间，从而
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这蕴含 f（α＋1）＝（α＋2）I（α＋1）I（α＋2）＝（α＋1）I（α）I（α＋1）＝f（α）．
因此 f 是周期函数（周期为 1），从而若 p 为一个整数，则
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②因为当 0＜x＜π/2 时 0＜sinx＜1，所以当
由 分
F（y）= 而，更有
易知 f（x，y）是 0≤x≤1，0≤y≤1 上的连续函数．从而，积
是 0≤y≤1 上的连续函数，因此，
．从
9．设：
其中 a<b 及 f（y）为可微分的函数，
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求 F''（x）．
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解：当 x∈（a，b）时，由于
于是，得
（3）利用对称性知，所求的体积为
复旦大学第三版数学分析答案
一﹑细心填一填，你一定能行（每空2分，共20分）1．当 = 时，分式的值为零.2．某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，用科学记数法表示为．3．请你写出一个图象在第一、三象限的反比例函数．4．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：，，，，则小麦长势比较整齐的试验田是(填“甲”或“乙”)．5．如图，□ABCD中，AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的角平分线，请添加一个条件使四边形AECF为菱形．6．计算．7．若点（）、、都在反比例函数的图象上，则的大小关系是．8．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，BD=2 ，AE为梯形的高，且BE=1，•则AD=______．9．如图，中，，，，分别以为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为（平方单位）．10．如图，矩形ABCD的对角线BD过O点，BC∥x轴，且A（2，-1），则经过C点的反比例函数的解析式为．二﹑精心选一选，你一定很棒（每题3分，共30分）11．下列运算中，正确的是A． B． C． D．12．下列说法中，不正确的是A．为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法B．众数在一组数据中若存在，可以不唯一C．方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度D．对于简单随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差13．能判定四边形是平行四边形的条件是A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边相等，一组邻角相等C．一组对边平行，一组邻角相等 D．一组对边平行，一组对角相等14．反比例函数在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是A．1 B．2 C．3 D．415．在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（，0），C（0，），D（，0），则以这四个点为顶点的四边形是A．矩形B．菱形 C．正方形 D．梯形16．某校八年级（2）班的10名团员在“情系灾区献爱心”捐款活动中，捐款情况如下（单位：元）：10 8 12 15 10 12 11 9 10 13．则这组数据的A．平均数是11 B．中位数是10 C．众数是10.5 D．方差是3.917．一个三角形三边的长分别为15cm，20cm和25cm，则这个三角形最长边上的高为A.15cmB.20cmC.25cmD.12cm18．已知，反比例函数的图像经过点M（k+2,1）和N(-2, )，则这个反比例函数是A. B. C. D.19．如图所示，有一张一个角为600的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是A.邻边不等的矩形B.等腰梯形C.有一角是锐角的菱形D.正方形20．甲、乙两班举行跳绳比赛，参赛选手每分钟跳绳的次数经统计计算后填入下表：班级参加人数中位数方差平均次数甲 35 169 6.32 155乙 35 171 4.54 155某同学根据上表分析得出如下结论：①甲、乙两班学生跳绳成绩的平均水平相同，②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟跳绳次数≥170为优秀），③甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大。
复旦大学数学分析第三版答案
复旦大学数学分析第三版答案【篇一：数学分析复旦大学第四版大一期末考试】s=txt>一、填空题（每空1分，共9分） 1.函数()cos1fxx??的定义域为________________2.已知函数sin,1()0,1xxfxx????????，则(1)____,()____4ff???3.函数()sincosfxxx??的周期是_____4.当0x?时，函数tansinxx?对于x的阶数为______5.已知函数()fx在0xx?处可导，则00011()()23lim____hfxhfxhh ???6.曲线1yx?在点(1,1)处的切线方程为______________,法线方程为________________7.函数2()fxx?在区间[0,3]上的平均值为________二、判断题（每小题1.5分，共9分） 1.函数()fxx?与2()gxx?是同一个函数。
（）2.两个奇函数的积仍然是奇函数。
（）3.极限0limxxx?不存在。
（）4.函数1,0()1,0xfxx???????是初等函数，而1,0()0,01,0xgxxx?不是初等函数。
（）5.函数()sinfxxx?在区间[0,]?上满足罗尔中值定理。
（）6.函数()fx在区间[,]ab上可导，则一定连续；反之不成立。
（）三、计算题（64分）1.求出下列各极限（每小题4分，共20分）（1）111lim(...)1223 (1)nnn????????? （2）222111lim(...)12nnnnn????????（3）4213lim22xxx?????（4）210lim(cos)xxx??（5）211lim1xtxedtx???2.求出下列各导数（每小题4分，共16分）()xtxfxedt????（2）cos()(sin)xfxx? (3) sin1cosxttyt???????1）2 （【篇二：复旦数学真题有答案】?a?bc,y?b?ac,z?c?ab，65、已知是不完全相等的任意实数。
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第1部分多元函数的极限论
第13章多元函数的极限与连续
§1平面点集
1．证明的充要条件时：．
证明：
因则对当时，有即
于是一定有即
因即
又则
2．证明：若平面上的点列{M n}收敛，则它只有一个极限．
证明：设假设又有
由定义，对当n>N时，有由三角不等式，有
又为固定的两点，由ε的任意性，
得即
3．证明：若那么它的任何一个子列．
证明：因则对当n>N时，有
今取K＝N，则对一切k>K，有自然有即
4．下列点集E的内点，外点，边界点：
（1）E由满足的点所组成；
（2）E由满足的点所组成；
（3）E由满足的点所组成；
（4）E由所有这样的点（x，y）所组成，其中x和都是有理数．
解：（1）凡满足的点（x，y）是E的内点；凡满足的点（x，y）是E的
外点；凡满足的点（x，y）是E的边界点．
（2）凡满足的点（x，y）是E的内点；凡满足或
的点（x，y）是E的外点；凡满足或的点（x，y）是E的边界点．
（3）凡满足的点（x，y）是E的内点；凡满足的点（x，y）是E的外点；凡满足的点（x，y）是E的边界点．
（4）由有理数及无理数的稠密性，得平面上所有点（x，y）都是E的边界点．
5．证明：若M0是平面点集E的聚点，则在E中存在点列
证明：已知M
是平面点集E的聚点，取，在中定存在E的点
在中定存在E的点M
，
如此进行下去，得到点列且
于是当时，即
6．证明平面点列的收敛原理．
证明：
设则当n，m>N时，有
由距离的三角不等式，得
}满足当n，m>N时，有将{M n}分别
设点列{M
投影到两根坐标轴上，得数列{x n}，{y n}
因
由R1上的柯西收敛原理，得{x n}，{y n}都收敛
设则即{M
}收敛．
7．用平面上的有限覆盖定理证明魏尔斯特拉斯定理．
证明：（1）若是有界有限点集，定理成立；
（2）若是有界无穷点集，据5，只需证
至少有一个聚点．反证．设E没有聚点．
由于而矩形域
是有界闭区域．
且
对都不是E的聚点，因而存在使得至多有E中有限个点，
覆盖R
据有限覆盖定理，存在有限个开集同样覆盖R，其中每个
中至多有有限个E中的点
于是至多含E中有限个点
但由于于是矛盾．
§2多元函数的极限和连续性
1．确定并绘出下列函数之定义域：
（R＞r）
解：（1）定义域为且；
（2）定义域为满足不等式的点集；
（3）定义域为半平面；
（4）定义域为的点集；
（5）定义域为的点集．
2．求下列极限：
解：（1）因且则
（2）因则
（3）因则
（4）因
且则
（5）因
则
（6）
3．试证若存在，而当x取任何与a邻近之值时，极限
则二次极限存在且等于A：
证明：因二重极限存在，则对当且
时，恒有
现在中固定x，而在上式中令即得这就证明了
于是
4．（1）试举出两个二次极限不相等的例子；
（2）试举出只有一个二次极限存在的例子；
（3）试举出二重极限存在，但二次极限不全存在的例子．
解：（1）例在点（0，0）的二次极限
则
（2）例在点（0，0）的二次极限
但不存在．
（3）例：在点（0，0）的二次极限和二重极限。