2020届山东高三理科数学一轮复习课件第十章§10.3抛物线
高考理科数学一轮复习课件抛物线
高考理科数学一轮复 习课件抛物线
汇报人：XX
20XX-01-24
REPORTING
• 抛物线基本概念与性质 • 抛物线图像及其变换 • 抛物线方程求解方法 • 抛物线与其他曲线关系 • 抛物线在几何中的应用 • 抛物线在生活中的实际应用
目录
XX
PART 01
抛物线基本概念与性质
REPORTING
已知抛物线 $y^2 = 2px$（$p > 0$ ）的焦点为 $F$，过点 $F$ 的直线与 抛物线交于 $A, B$ 两点，若 $|AF| + |BF| = 8$，求该抛物线的方程。
XX
PART 04
抛物线与其他曲线关系
REPORTING
与直线交点问题
求解交点坐标
联立抛物线与直线的方程，解出 交点坐标。
待定系数法求方程
设定含有待定系数的抛物线方程。根 据题目给出的条件，设定一个含有待 定系数的抛物线方程。
代入已知条件求解待定系数。将已知 条件代入设定的方程中，通过解方程 或方程组求出待定系数的值。
利用性质求方程
利用抛物线的焦点和准线性质求方程。根据抛物线的焦点和准线的性质，可以列 出关于焦点和准线的方程，进而求出抛物线的方程。
利用抛物线的对称性质求方程。根据抛物线的对称性质，可以列出关于对称轴的 方程，进而求出抛物线的方程。
典型例题分析
例题1
已知抛物线的顶点在原点，焦点在 $x$ 轴上，且过点 $(2,1)$，求该抛物 线的方程。
例题2
例题3
已知抛物线 $C: y^2 = 2px$（$p > 0$）的焦点为 $F$，直线 $l$ 与抛物 线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $|AB| = 8$ 且 $AB$ 的中点到 $y$ 轴的距 离为 $3$，求该抛物线的方程。
高三第一轮复习抛物线课件理
特点：对称性、 不变性、可逆性
应用：解决实际问 题，如求抛物线的 顶点、焦点等
注意事项：选择合 适的对称点或对称 直线，避免出现错 误
抛物线在实际生 活中的应用
物理中的抛物线运动
抛物线运动是物体在重力作用下，沿着抛物线轨迹运动的一种运动形式。 抛物线运动的特点是物体在运动过程中，速度、加速度和位移都是变化的。 抛物线运动的应用广泛，如炮弹、火箭、卫星等物体的运动都可以用抛物线运动来描述。 抛物线运动在物理学中具有重要的理论意义和实际应用价值。
抛物线与直线、圆的区别：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而直线是直线方程，其 图像是一条直线；抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而圆是圆方程，其图像是一个圆。
与双曲线的联系与区别
抛物线与双曲线都是二次曲线，具有共同的性质和特点
抛物线是开口向上的曲线，双曲线是开口向下的曲线
抛物线与双曲线的焦点位置不同，抛物线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴 上
抛物线在工程学中的应用： 如桥梁设计、建筑设计等
抛物线在生物学中的应用： 如种群增长、生态平衡等
抛物线与其他曲 线的联系与区别
与直线、圆的关系
抛物线与直线的关系：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而直线是直线方程，其图像是 一条直线。
抛物线与圆的关系：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而圆是圆方程，其图像是一个圆。
抛物线的几何变 换
平移变换
平移变换的定义：将抛物线沿x轴或y轴移动一定距离 平移变换的公式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数 平移变换的图形：抛物线沿x轴或y轴移动后的图形 平移变换的应用：解决实际问题，如求抛物线的顶点、对称轴等
伸缩变换
定义：将抛物线沿x轴或y轴进行伸缩变换，得到新的抛物线 伸缩变换公式：x'=kx，y'=ky，其中k为伸缩系数 伸缩变换对抛物线形状的影响：k>1时，抛物线变长；k<1时，抛物线变短 伸缩变换对抛物线顶点的影响：k>1时，顶点向上移动；k<1时，顶点向下移动 伸缩变换对抛物线对称轴的影响：伸缩变换不改变抛物线的对称轴位置
2020届高考理科数学一轮复习讲义：第十章§10.2 双曲线及其性质
解得 ａ，ｂ 的值，即可求得方程．
（ ２０１８
天津，７，５
分）
已知双曲线
ｘ２ ａ２
－ ｙ２ ｂ２
＝ １（ ａ＞０，ｂ＞０）
的离心率为 ２，过右焦点且垂直于 ｘ 轴的直线与双曲线交于 Ａ，Ｂ
两点．设 Ａ，Ｂ 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 ｄ１ 和 ｄ２ ，
且 ｄ１ ＋ｄ２ ＝ ６，则双曲线的方程为
点，∴
４ｋ＋５ｋ ＝ １２－３，解得
ｋ ＝ １，故双曲线
Ｃ
的方程为 ｘ２ ４
－
ｙ２ ５
＝ １．
故选 Ｂ．
一题多解
∵
椭圆 ｘ２ ＋ １２
ｙ２ ３
＝１
的焦点为（ ±３，０） ，双曲线与
椭圆 ｘ２ ＋ １２
ｙ２ ３
＝１
有公共焦点，∴
ａ２ ＋ｂ２
＝ （ ±３）２
＝
９①，∵
双曲线的
一条渐近线为 ｙ ＝
５ ２ ｘ，∴
解析 解法一：椭圆 ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ １ 的焦点坐标是（０，±３），设双 ２７ ３６
曲线方
程
为
ｙ２ ａ２
－ ｘ２ ｂ２
＝ １（ ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０），根据双曲线的定义知
２ａ ＝
｜ （ １５ －０） ２ ＋（４－３） ２ － （ １５ －０） ２ ＋（４＋３） ２ ｜ ＝ ４， 故 ａ ＝ ２． 又
ｂ＝ ａ
５ ２
②，联立①②可解得
ａ２
＝
４，ｂ２
＝
５．∴
双曲线
Ｃ
的方程为 ｘ２ ４
－ ｙ２ ５
＝ １．故选
Ｂ．
１－２
设双曲线与椭圆 ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ １ 有共同的焦点，且与椭圆 ２７ ３６
高考数学一轮复习人教A版抛物线名师精编课件(48张)
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第十章·第一节
将 x＝3 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 6.∵ 6>2，∴A 在 抛物线内部，如图． 1 设抛物线上点 P 到准线 l：x＝－ 2的距离为 d，由定义知|PA | 7 ＋|PF|＝ |PA |＋d，当 PA⊥l 时， |PA |＋d 最小，最小值为 ，即 |PA | 2 7 ＋|PF|的最小值为 2，此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2＝2x，得 x＝2， ∴点 P 的坐标为(2,2)．
答案：9
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第十章·第一节
知识点二 标准 方程
抛物线的标准方程与几何性质 y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
y2＝2px (p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
______ ______
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
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答案：(1)D (2)B
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第十章·第一节
热点三 直线与抛物线的位置关系 考向 1 焦点弦问题 【例 3】 已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为 2 2的直 线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程； → → → (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求 λ 的值．
准线于点 E，D，
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第十章·第一节
设|BF|＝a，则由已知得： |BC|＝2a， 由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30° ， 在直角三角形 ACE 中，因为|AF|＝3， |AC|＝3＋ 3a，又 2|AE| 1 2 ＝|AC|，所以 3＋3a＝6，从而得 a＝1，因为 BD∥FG，所以 ＝3， p 3 求得 p＝2，因此抛物线方程为 y2＝3x.
人教版高中数学高考一轮复习--抛物线(课件)
由Δ=(4k2-8)2-4k2·
4k2=64(1-k2)≥0,
解得-1≤k≤1.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
抛物线的定义和标准方程
命题角度1 抛物线的定义及应用
例1 (1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标
交于A,B两点,|AB|=12,P为抛物线C的准线上一点,则△ABP的面积为( C )
A.18
B.24
C.36
D.48
依题意,不妨设抛物线 C 的方程为 y2=2px(p>0),
则焦点坐标为
,0
2
,将
x=2代入 y2=2px,可得
y=±p,
所以|AB|=2p=12,所以 p=6.
因为点 P 在准线上,所以点 P 到直线 l 的距离为 p=6,
如图,过点 M 作 MB⊥x 轴于点 B,
1
∵∠AMF=120°,∴∠BMF=30°,|BF|=2 − 2,
1
1
∴2|BF|=|MF|,即 2 2 - 2 = 2 + 2,解得 p=3.
故抛物线方程为 y2=6x.
7
(2)已知点 P 是抛物线 y =2x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是点 M,点 A 2 ,4 ,
7
A.2
5
B.2
C.3
∵ =4,∴||=4||.
∴
||
||
=
3
.
4
过点 Q 作 QQ'⊥l,垂足为 Q',
设 l 与 x 轴的交点为 A,
2020届新一线突破高三理科数学一轮复习课件(课标1专用)第十章§10.3 抛物线及其性质
§10.3 抛物线及其性质
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
考点一 抛物线的定义和标准方程
1.(2019课标Ⅱ,8,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 x2 + y2 =1的一个焦点,则p= ( ) 3p p
A.2 B.3 C.4 D.8
答案 D 本题考查运算求解能力;考查的核心素养为数学运算.
= | PQ | ,即 | QM | = 3 .∴|QM|=3,即|QF|=3.故选B.
| PF |
44
2.(2013课标Ⅱ,11,5分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的 圆过点(0,2),则C的方程为 ( ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
.
答案 9
解析 设M(x0,y0),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|MF|=x0+1=10,∴x0=9,即点 M到y轴的距离为9. 评析 本题主要考查抛物线的定义以及几何性质,解决本题的关键在于抛物线定义的应用.
2.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=
答案 C ∵以MF为直径的圆过点(0,2),∴点M在第一象限.由|MF|=xM+ 2p =5可得M
5
p 2
,
2
p
5
p 2
.从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为
5 2
,
1 2
2p
2020届高考理科数学一轮复习讲义：第十章§10.3 抛物线及其性质_PDF压缩
１．焦点弦的性质 以抛物线 ｙ２ ＝ ２ｐｘ（ ｐ＞ ０） 为例，设 ＡＢ 是抛物线的过焦点
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１ ０ ５ 年高考 ３ 年模拟 Ｂ 版（ 教师用书）
对应学生用书起始页码 Ｐ１７５
一、应用抛物线定义解题
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｜
ＭＮ ｜
＝
｜
ＱＲ
｜
＝
４３ ３
ｐ，∴
Ｓ△ＭＮＦ ＝
１ ２
｜ ＭＮ ｜ · ｜ ＦＥ ｜ ＝
１ ２
×
４３ ３
ｐ
×ｐ
＝
２３ ３
ｐ２
．故选
Ｂ．
选 Ｂ．
第十章 圆锥曲线 １ １
答案 Ｂ
２－１ （ ２０１９ 福 建 泉 州 五 中 月 考，９） 已 知 抛 物 线 Ｃ： ｙ２ ＝
2020年高考数学一轮总复习：抛物线
2020年高考数学一轮总复习：抛物线[基础梳理]1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内．(2)与一个定点F和一条定直线l距离相等．(3)l不经过点F.2．抛物线的标准方程与几何性质续表焦点弦性质设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |＝2p .(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． (6)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p . [四基自测]1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.78 D ．0答案：B2．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则其方程是( ) A ．y ＝4x 2 B ．y ＝8x 2 C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x 答案：D3．抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点P 有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个 答案：C4．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________． 答案：y 2＝－8x 或x 2＝－y考点一 抛物线的定义、标准方程及简单性质◄考基础——练透[例1] (1)(2019·河北三市联考)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( ) A.53B.75C.97D ．2解析：设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，分别过点A 、B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D 、E (图略)．∵|P A |＝12|AB |，∴⎩⎨⎧3(x 1＋2)＝x 2＋23y 1＝y 2，又⎩⎨⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53. 答案：A(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A ．25－1 B ．25－2 C.17－1D.17－2解析：由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心A (0,4)，半径r ＝1，抛物线的焦点F (1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF |－r ＝1＋16－1＝17－1.选C. 答案：C(3)(2019·保定模拟)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点A (0,2)，则C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点M (x 0，y 0)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0， 因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4.由|MF |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5. 又p >0，解得p ＝2或p ＝8.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C. 答案：C利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，可以利用定义进行相互转化．1．将本例(1)改为过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：AB 的中点到抛物线准线的距离为|AB |2＝5，所以AB 的中点到y 轴的距离为5－1＝4. 答案：D2．将本例(2)改为已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，求|MA |＋|MF |的最小值．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1，由抛物线的定义得|MF |等于M 到准线的距离d ，所以|MA |＋|MF |的最小值等于圆心C 到准线的距离减去圆的半径，即5＋1－1＝5. 答案：5考点二 直线与抛物线的位置关系◄考能力——知法[例2] (1)经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，如果A 、B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1、B 1，那么∠A 1FB 1等于( ) A.π6 B.π4 C.π2D.2π3解析：由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AF A 1＝∠AA 1F .又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OF A 1＝∠AA 1F ，故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AF A 1＝∠OF A 1，所以∠OF A 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.答案：C(2)(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：由题意知直线MN 的方程为y ＝23(x ＋2)，联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4.不妨设M 为(1,2)，N 为(4,4)．又∵抛物线焦点为F (1,0)，∴FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)， ∴FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8. 故选D. 答案：D直线和抛物线的位置关系问题，一般转化为直线方程与抛物线方程组成的方程组问题，利用根与系数的关系或求根公式处理.涉及弦长的问题时，应熟练地利用根与系数关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用抛物线的定义求解；涉及中点弦问题往往利用点差法.涉及到焦点法，用抛物线定义进行转化.1．已知抛物线C ：y 2＝4x ，过其焦点且斜率为3的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，则弦长|AB |＝________.解析：由题知，抛物线的焦点F (1,0)，则直线l ：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立得3x 2－10x ＋3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝103，x 1·x 2＝1，弦长|AB |＝|x 1－x 2|1＋k 2＝163. 答案：1632．(2018清华大学学术能力诊断)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的射影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( ) A.83p 2 B.233p 2 C.433p 2D.833p 2解析：不妨设P 在第一象限，过Q 作QR ⊥PM ，垂足为R ，设准线与x 轴的交点为E ，∵直线PQ 的斜率为3，∴直线PQ 的倾斜角为．由抛物线焦点弦的性质可得|PQ |＝|PF |＋|QF |＝p 1－＋p 1＋＝2p sin 2＝83p .在Rt △PRQ 中，sin ∠RPQ ＝|QR ||PQ |，∴|QR |＝|PQ |·sin ∠RPQ ＝83p ×32＝433p ，由题意可知|MN |＝|QR |＝433p ，∴S △MNF ＝12|MN |·|FE |＝12×433p ×p ＝233p 2.故选B.答案：B考点三 抛物线的综合问题◄考基础——练透[例3] (2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .解析：(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得点M 的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN . 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＞0，x 2＞0.由⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，y 2＝2x ，得ky 2－2y －4k ＝0， 可知y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2).①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k ＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k＝－8＋8k ＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN .抛物线的综合问题，往往是先从直线与抛物线联立的方程组入手，利用方程思想，设而不求的方法，转化为抛物线与其它曲线的联系．一般涉及到什么曲线，就结合该曲线的图形与性质，进而转化为所求问题.(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 解析：(1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)或k ＝1. 因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16，解得⎩⎨⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎨⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.直观想象、逻辑推理——拓展抛物线定义的学科素养抛物线的定义主要涉及焦点与准线的联系，以此打开思路，拓展出很多的意外收获，体现了直观想象逻辑推理的核心素养.结论：如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的两点，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，点A 、M 、B 在准线l 上的射影分别为A 1、M 1、B 1，F 为抛物线的焦点，直线AB 经过点F 且倾斜角为θ.结论一 |AF |＝x 1＋p 2＝p1－cos θ，|BF |＝x 2＋p2＝p1＋cos θ.结论二 (1)AM 1平分∠A 1AF ； (2)BM 1平分∠B 1BF ； (3)A 1F 平分∠AFO ； (4)B 1F 平分∠BFO . 结论三 ∠AM 1B ＝，以AB 为直径的圆与准线l 相切于点M 1.结论四 M 1F ⊥AB ，且|M 1F |＝psin θ. 结论五 ∠A 1FB 1＝，以A 1B 1为直径的圆与直线AB 相切于点F .结论六 设AM 1交y 轴于点E ，BM 1交y 轴于点N ，则A 1，E ，F 及B 1，N ，F 三点共线，且AM 1⊥A 1F ，BM 1⊥B 1F ，即四边形EFNM 1为矩形．[例1] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( ) A.4 B ．3 3 C.4 3D ．8解析：由结论一，|AF |＝p 1－＝4，△AKF 为等边三角形，所以S △AKF ＝34|AF |2＝43，答案为C. 答案：C[例2] 过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( ) A.5 B ．2 2 C.2 3 D ．3 3解析：如图所示，由结论六可知点M 在l 上的射影E 为NF 的中点，因为MF 的斜率为3，所以△MNF 为等边三角形，又由结论1可得|MF |＝p1－cos θ＝4，故|EM |＝23，故选C. 答案：C课时规范练 A 组 基础对点练1．已知抛物线y 2＝18x ，则它的准线方程为( ) A ．y ＝－2 B ．y ＝2 C ．x ＝－132D ．y ＝132解析：因为抛物线y 2＝18x ，所以p ＝116，p 2＝132，它的准线方程为x ＝－132. 答案：C2．(2019·洛阳模拟)已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2,2)，则p 的值为( ) A ．1B ．2。