北京市东城区普通校2014届高三上学期期中联考 数学(理)试题 Word版含答案
2014年北京市东城区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2014年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）≥0}，则∁R A＝（）A．{x|x＜﹣1，或x＞2}B．{x|x≤﹣1，或x≥2}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|﹣1≤x≤2}2．（5分）复数＝（）A．B．C．D．3．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S5＝30，则a7+a8+a9＝（）A．27B．36C．42D．635．（5分）在极坐标系中，点（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0的距离等于（）A．B．C．D．26．（5分）如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝3，D是BC的中点，则＝（）A．3B．4C．5D．不能确定7．（5分）若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝1相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知符号函数sgn（x）＝，则函数f（x）＝sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（x﹣）6的二项展开式中的常数项为．（用数字作答）10．（5分）如图，AB是圆O的直径，延长AB至C，使AB＝2BC，且BC＝2，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD，则CD＝，∠DAB＝．11．（5分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点P（x，y），则x+y＜3的概率为．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数．当＜0时，f（x）＝x2﹣6，则x＞0时，f（x）的解析式为；不等式f（x）＜x的解集为．13．（5分）某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有种．（用数字作答）14．（5分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC＝DC＝AB＝AD＝，BD＝2，平面ABD⊥平面BCD，O为BD中点，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP＝CQ，则三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，＝．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）如果b＝2，求△ABC面积的最大值．16．（13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，AB＝P A＝1，AD＝，F是PB中点，E为BC上一点．（Ⅰ）求证：AF⊥平面PBC；（Ⅱ）当BE为何值时，二面角C﹣PE﹣D为45°．18．（13分）已知函数f（x）＝ax2﹣4ln（x﹣1），a∈R．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）已知点P（1，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[2，e+1]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．19．（13分）已知椭圆G：+＝1（a＞b＞0），过A（1，）和点B（0，﹣1）．（1）求椭圆G的方程；（2）设过点P（0，）的直线l与椭圆G交于M，N两点，且|BM|＝|BN|，求直线l的方程．20．（14分）已知集合{1，2，3，4，…，n}（n≥3），若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为T子集，记T子集的个数为a n．（1）当n＝5时，写出所有T子集；（2）求a10；（3）记S n＝+++…+，求证：S n＜2．2014年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）≥0}，则∁R A＝（）A．{x|x＜﹣1，或x＞2}B．{x|x≤﹣1，或x≥2}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|﹣1≤x≤2}【解答】解：由A中不等式解得：x≤﹣1或x≥2，∴A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，则∁R A＝{x|﹣1＜x＜2}，故选：C．2．（5分）复数＝（）A．B．C．D．【解答】解：＝＝＝﹣．故选：C．3．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝sin2（x﹣）＝sin（2x﹣）的图象，故选：D．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S5＝30，则a7+a8+a9＝（）A．27B．36C．42D．63【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则S3＝3a1+3d＝9，S5＝5a1+10d＝30，联立解得a1＝0，d＝3，∴S n＝na1+d＝，∴a7+a8+a9＝S9﹣S6＝108﹣45＝63，故选：D．5．（5分）在极坐标系中，点（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0的距离等于（）A．B．C．D．2【解答】解：点A（，）的直角坐标为（1，1），直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0的直角坐标方程为x﹣y﹣1＝0，利用点到直线的距离公式可得，点A（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0的距离为，故选：A．6．（5分）如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝3，D是BC的中点，则＝（）A．3B．4C．5D．不能确定【解答】解：∵D是BC边的中点，∴，由向量的运算法则可得＝，∴＝•＝＝（32﹣12）＝4．故选：B．7．（5分）若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝1相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0．根据圆（x﹣2）2+y2＝1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1，可得，1＝，∴＝，，可得e＝．故此双曲线的离心率为：．故选：D．8．（5分）已知符号函数sgn（x）＝，则函数f（x）＝sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：令sgn（lnx）﹣ln2x＝0得，当lnx＞0，即x＞1时，1﹣ln2x＝0，解得，x＝e；当lnx＜0，即x＜1时，﹣1﹣ln2x＝0，无解；当lnx＝0，即x＝1时，成立；故方程sgn（lnx）﹣ln2x＝0有两个根，故函数f（x）＝sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为2；故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（x﹣）6的二项展开式中的常数项为﹣20．（用数字作答）【解答】解：（x﹣）6的二项展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得（x﹣）6的二项展开式中的常数项为＝20，故答案为：﹣20．10．（5分）如图，AB是圆O的直径，延长AB至C，使AB＝2BC，且BC＝2，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD，则CD＝2，∠DAB＝．【解答】解：连结OD，DB，则OD⊥CD．由切割线定理得CD2＝CB•AC＝12，∴CD＝2，∵OB＝2，BC＝2，∴OC＝4，∴cos∠OCD＝＝，∴∠OCD＝，故∠DAB＝．故答案为：2，．11．（5分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点P（x，y），则x+y＜3的概率为．【解答】解：由题意，本题是几何概型，区域D的面积为2×2＝4，满足x+y ＜3的P的区域如图阴影部分，其面积为2×2﹣＝，所以满足x+y＜3的概率为；故答案为：．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数．当＜0时，f（x）＝x2﹣6，则x＞0时，f（x）的解析式为﹣x2+6；不等式f（x）＜x的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）．【解答】解：当x＞0时，﹣x＜0由于x＜0时，f（x）＝x2﹣6，所以：f（﹣x）＝（﹣x）2﹣6由于函数f（x）是定义在R上的奇函数．所以：﹣f（x）＝x2﹣6解得：f（x）＝﹣x2+6所以：则：①当x＜0时，x2﹣6＜x整理得：（x+2）（x﹣3）＜0，解得：﹣2＜x＜3所以：﹣2＜x＜0．②当x＞0时，﹣x2+6＜x整理得：（x+3）（x﹣2）＞0解得：x＞2或x＜﹣3所以：x＞2综合①②得：不等式的解集为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．故答案为：①﹣x2+6②（﹣2，0）∪（2，+∞）13．（5分）某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有24种．（用数字作答）【解答】解：由题意，利用捆绑法，共有＝24种不同的分配方法．故答案为：24．14．（5分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC＝DC＝AB＝AD＝，BD＝2，平面ABD⊥平面BCD，O为BD中点，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP＝CQ，则三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．【解答】解：设AP＝x，∵O为BD中点，AD＝AB＝，∴AO⊥BD，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴AO⊥平面BCD．∴PO是三棱锥P﹣QCO的高．AO＝＝1．∴OP＝1﹣x，（0＜x＜1）．在△BCO中，BC＝，OB＝1，∴OC＝＝1，∠OCB＝45°．＝＝＝．∴S△OCQ＝＝∴V三棱锥P﹣OCQ＝＝．当且仅当x＝时取等号．∴三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．故答案为：．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，＝．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）如果b＝2，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵＝∴由正弦定理知：＝＝∴sin B＝cos B，即有tan B＝∵0＜B＜π∴B＝．（Ⅱ）∵由（Ⅰ）知，sin B＝，a＝sin A，A＝＝ab sin C＝sin（）×2×sin C＝sin（）×sin C ∴S△ABC＝sin2C+cos2C+＝sin（2C+）+≤．∴△ABC面积的最大值为．16．（13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2＝1，解得a＝0.0375，因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，所以甲班的学生人数为，所以甲、乙两班人数均为40人．所以甲班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.0375×2＝3（人）．（2）乙班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.05×2＝4（人）．由（1）知甲班学习时间在区间（10，12]的人数为3人，在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3．，，，．所以随机变量ξ的分布列为：．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，AB＝P A＝1，AD＝，F是PB中点，E为BC上一点．（Ⅰ）求证：AF⊥平面PBC；（Ⅱ）当BE为何值时，二面角C﹣PE﹣D为45°．【解答】解：（Ⅰ）证明：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB＝P A＝1，AD＝，F是PB中点，∴A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（，1，0），，，F（0，，），＝（0，，），∵＝0，，∴AF⊥PB，AF⊥PC，∴AF⊥平面PBC．（Ⅱ）设BE＝a，∴E（a，1，0），，，设平面PDE的法向量，则，取x＝1，得＝（1，，），平面PCE的法向量为，∵二面角C﹣PE﹣D为45°，∴cos＜＞＝＝，解得a＝，∴当BE＝时，二面角C﹣PE﹣D为45°．AF⊥平面PBC．18．（13分）已知函数f（x）＝ax2﹣4ln（x﹣1），a∈R．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）已知点P（1，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[2，e+1]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣4ln（x﹣1），x∈（1，+∞），∴f（x）＝2x﹣＝＝，令f′（x）＝0，解得：x＝2，∴a＝1时，f（x）的单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间为（1，2）．（2）∵对任意m∈[2，e+1]，直线PM的倾斜角都是钝角，∴对任意m∈[2，e+1]，直线PM的斜率小于0，即＜0，f（m）＜1，即f（x）在区间[2，e+1]上的最大值小于1，f′（x）＝，x∈（1，+∞），令g（x）＝ax2﹣ax﹣2①当a＝0时，f（x）＝﹣4ln（x﹣1）在[2，e+1]上单调递减，f（x）max＝f（2）＝0＜1，显然成立，∴a＝0．②当a＜0时，二次函数g（x）的图象开口向下，且g（0）＝﹣2，g（1）＝﹣2，∀x∈（1，+∞），g（x）＜0，故f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上单调递减，故f（x）在[2，e+1]上单调递减，f（x）max＝f（2）＝4a＜0，显然成立，∴a＜0．（3）当a＞0时，二次函数g（x）的图象开口向上，且g（0）＝﹣2，g（1）＝﹣2．所以∃x0∈（1，+∞），当x∈（1，x0）时，g（x）＜0．当x∈（x0，+∞）时，g （x）＞0；所以f（x）在区间（1，+∞）内先递减再递增．故f（x）在区间[2，e+1]上的最大值只能是f（2）或f（e+1）．∴，即：，∴0＜a＜．综上：a＜．19．（13分）已知椭圆G：+＝1（a＞b＞0），过A（1，）和点B（0，﹣1）．（1）求椭圆G的方程；（2）设过点P（0，）的直线l与椭圆G交于M，N两点，且|BM|＝|BN|，求直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆G：+＝1（a＞b＞0），过A（1，）和点B（0，﹣1）．∴b＝1，由，得a2＝3．∴椭圆G的方程为．…（4分）（2）由题意知直线l的斜率k存在，且k≠0．设直线l的方程为y＝kx+．由，消去y并整理得（k2+）x2+3kx+＝0，…（5分）由，…（7分）设，MN中点为Q（x 0，y0），得，，…（8分）由|BM|＝|BN|，知BQ⊥MN，∴，即．化简得，满足△＞0．∴k＝，…（12分）∴直线l的方程为y＝．…（14分）20．（14分）已知集合{1，2，3，4，…，n}（n≥3），若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为T子集，记T子集的个数为a n．（1）当n＝5时，写出所有T子集；（2）求a10；（3）记S n＝+++…+，求证：S n＜2．【解答】解：（Ⅰ）当n＝5时，所有T子集：{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，4}，{2，5}，{3，5}，{1，3，5}．（Ⅱ）{1，2，3，4，…，k，k+1，k+2}的T子集可分为两类：第一类子集中不含有k+2，这类子集有a k+1个；第二类子集中含有k+2，这类子集成为{1，2，3，4，…，k}的T子集与{k+2}的并，或为{1，2，3，4，…，k}的单元素子集与{k+2}的并，共有a k+k个．所以a k+2＝a k+1+a k+k．因为a3＝1，a4＝3，所以a5＝7，a6＝14，a7＝26，a8＝46，a9＝79，a10＝133．（Ⅲ）∵，①＝，②①﹣②，得：﹣＝﹣＝＝﹣＝﹣﹣＜＜，∴S n＜2．。
北京市东城区普通校2014届高三3月联考(零模)理
北京市东城区普通校2014届高三3月联考（零模）数学（理科）本试卷共150分，考试用长120分钟。
第一部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合(){}ln 1A x y x ==-,集合{}2B y y x ==,则A B = A.[)0,1 B. []0,1 C . (],1-∞ D.(),1-∞2. 函数2()log f x x =与11()()2x g x +=在同一直角坐标系中的图象是A B C D 3. 已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的最小正周期为π，则该函数的图象A. 关于点(,0)4π对称B. 关于直线8x π=对称 C . 关于点(,0)8π对称D. 关于直线4x π=对称 4. 若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是A.3B.13C. 3-D. 13-5. 某程序框图如图所示,若输出的S=57，则判断框内为 A. 6>k B. 5>k C. 4>k D. 3>k6. 设a ∈R ，函数32()(3)f x x ax a x =++-的导函数是()f x '，若()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为A.3y x =-B. 2y x =-C. 3y x =D. 2y x =7. 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为 A.71 B.61 C.51 D.418. 从一个三棱柱的6个顶点中任取4个做为顶点，能构成三棱锥的个数设为m ；过三棱柱任意两个顶点的直线(15条)中，其中能构成异面直线有n 对，则m n ，的取值分别为 A. 15，45 B. 10, 30 C. 12, 36 D. 12 , 48第二部分二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分,把答案填在题中横线上。
北京市东城区普通校2014届高三12月联考数学(理)试题-含答案
东城区普通校2013-2014学年第一学期联考试卷高三 数学（理科）命题校：65中 2013年12月本试卷共 10 页， 150 分，考试用长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
选出符合题目要求的一项填在机读卡上。
1. 已知集合{}30R <<∈=x x A ，{}4R 2≥∈=x x B ，则=B A ( ) （A ）{}32<<x x （B ）{}32<≤x x （C ）{}322<≤-≤x x x 或 （D ） R 2. 在复平面内，复数i(i 1)-对应的点在( )（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3. 等差数列}{n a 中，42a =，则7S 等于( ) （A ）28（B ）14（C ）3.5（D ）74. 已知α，β为不重合的两个平面，直线α⊂m ，那么“β⊥m ”是“βα⊥”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5. 若向量a ，b 满足1=a ，b ，且()⊥a a +b ，则a 与b 的夹角为( )（A ）2π （B ）23π （C ）34π （D ）56π 6. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） （A ）8（B ）83 （C ）4（D ）437. 与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 ( )（A ） 22(1)(1)2x y +++= （B ）22(1)(1)4x y +++=（C ）22(1)(1)2x y -++= （D ）22(1)(1)4x y -++= 8. 已知函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0>m ，对任意x ∈R ，有|()|||f x m x <，则称)(x f 为F 函数．给出下列函数：①2)(x x f =；②x x x f cos sin )(+=；③1)(2++=x x xx f ；④)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数21,x x 均有 21212)()(x x x f x f -≤-．其中是F 函数的序号为 ( )（A ）①② （B ）①③ （C ）②④ （D ）③④第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2014届北京市东城区普通高中示范校高三理科数学教学质量调研(2013.12)
北京市东城区普通高中示范校2014届高三年12月教学质量调研数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 设全集R U =，集合{}0322<--=x x x A ，{}1>=x x B ，则⋂A B C U 等于 （A ）{}11<<-x x （B ）{}11≤<-x x （C ）{}21<<-x x（D ）{}1≤x x2. 设向量()x a -=1,1，()x b +=1,3，则“2=x ”是“b a ⊥”的 （A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A ）ππ32+（B ）π38（C ）ππ332+（D ）ππ3324+4. 执行如图所示的程序框图，输出的结果S 等于（A ）3（B ）7（C ）11（D ）135. 动点A （x ，y ）在圆x 2+y 2=l 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。
已知时间t=0时，点A 的坐标是（2321，），则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是（A ）[0，1]（B ）[1，7]（C ）[7，12]（D ）[0，1]和[7，12]6. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品。
甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元。
甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 （B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 （C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 （D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱7. 设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0=++，+ （A ）3（B ）4（C ）6（D ）98. 对于具有相同定义域D 的函数f （x ）和g （x ），若存在函数h （x ）=kx+b （k ，b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的x 0，使全品得当x ∈D 且x >x 0时，总有()()()()⎩⎨⎧<-<<-<mx g x h mx h x f 00，则称直线l ：y =kx +b 为曲线y =f （x ）和y =g （x ）的“分渐近线”。
东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测高三理科数学
东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|02}A x x =<<，{|(1)(1)0}B x x x =-+>，则A B =（A ）(0,1) （B ） (1,2)（C ）(,1)(0,)-∞-+∞ （D ） (,1)(1,)-∞-+∞ （2）在复平面内，复数2ii+ 的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）设a ∈R ，则“1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）执行右图所示的程序框图，输出的a 的值为（A ）3 （B ）5 （C ）7 （D ）9（5）在△ABC 中，15a =，10b =，60A =，则cos B =（A ）13（B）3（C）3 （D）3（6）已知直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于M ，N两点，若MN ≥，则k 的取值范围为（A）[ （B ）11[,]33- （C ）(,-∞ （D）)+∞（主视图）（侧视图）（俯视图）（7）在直角梯形ABCD 中，90A ∠= ，30B ∠= ，AB =,2BC =，点E 在线段CD 上，若AE AD AB μ=+ ，则μ的取值范围是（A ）[0,1] （B ） （C ）1[0,2 （D ）1[,2]2（8）定义,,max{,},,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩设实数,x y 满足约束条件2,2,x y ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩则max{4,3}z x y x y =+- 的取值范围是（A ）[6,10]- （B ）[7,10]- （C ）[6,8]- （D ）[7,8]-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
普通校2014届高三数学上学期期中联考试题 文 新人教A版
东城区普通校2013-2014学年第一学期联考试卷高三数学（文科）命题校：北京市六十五中学 2013年11月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
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祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1. 设R =U ,}1|{},0|{>=>=x x B x x A , 则B C A U = （ ） A.}10|{<≤x x B.}10|{≤<x x C.}0|{<x x D.}1|{>x x2. 已知b a <，则下列不等式正确的是 （ ）A.ba 11> B.b a ->-11 C.22b a > D.b a 22> 3. 下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是 （ ）A .1y x =-B. 23y x =-+ C. ||e x y = D. cos y x = 4. 已知53sin ),,2(=∈αππα，则)4tan(πα+等于 （ ）A.71B.7C.71-D.7-5. 若R a ∈,则“8>a ”是“2log 2>a ”的 （ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 若x c x b a x3223log ,,)32(===，当1>x 时，c b a ,,的大小关系为（ ）A.c b a <<B.b c a <<C.a b c <<D.b a c <<7. 已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD = （ ）A.1B. 2-C. 2D.2 8. 已知函数)(x f ，R x ∈满足3)2(=f ，且)(x f 在R 上的导数满足01)(<-'x f ， 则不等式1)(22+<x x f 的解为 （ ） A.），（2-∞- B.),2(+∞ C.），（2-∞-⋃),2(+∞ D.)2,2-（ 第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2014届高三3月质量调研数学理-含答案
北京市东城区2014届高三3月质量调研数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
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选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |1621x<<}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(C R B )＝A ．(1，4)B ．(3，4)C ．(1，3)D ．(1，2) 2．已知i 是虚数单位， 若),i 1(z i3-=+则z=A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i 3．设a ∈R ，则“a ＝-2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与 直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为 A.34π B. 2π C. 4π D.4π- 5．设a ，b 是两个非零向量．则下列命题为真命题的是A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为A.B. C. 4 D. 7 已知抛物线1C ：212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C ：2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =A.16 B.8 C.3 D .38．设a ＞0，b ＞0．A ．若2223aba b +=+，则a ＞b B ．若2223a ba b +=+，则a ＜b C ．若2223a ba b -=-，则a ＞b D ．若2223aba b -=-，则a ＜b非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2446,10a a S +==.则_______a 10=．10．如图，PA 与圆O 相切于A ，不过圆心O 的割线PCB 与直径AE 相交于D 点.已知∠BPA =030，2=AD ，1=PC ,则圆O 的半径等于 ．11. 若函数()x f x kx e =-有零点，则k 的取值范围为_______.12．已知圆的方程为08622=--+y x y x ,设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_______________.13．已知231(1)nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有．．常数项，n ∈*N ，且2 ≤ n ≤ 7， 则n =______．14．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0， 则a ＝______________．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，， 且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tanBtanA的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值．16．(本小题满分13分)某绿化队甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技能考核.（I ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（II ）求从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率；（III ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望.17．(本小题满分14分)在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =. 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N .（Ⅰ）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值； （Ⅲ）求点N 到平面ACM 的距离.18.（本小题满分14分）已知函数1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+，其中0a > ()I 若()f x 在x=1处取得极值，求a 的值； ()II 求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围 .19．(本小题满分14分)椭圆C ：2222+1x y a b=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定 点的坐标．20.（本题满分12分）在数列}b {},a {n n 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，， 成等比数列（n ∈*N ）（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此归纳出}b {},a {n n 的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：.125b a 1b a 1b a 1b a 122n n 332211<++++++++东城区2013-2014学年度第二学期教学检测 高三数学答案 （理科）一、选择题： 1．B ；2．D ；3．A ；4．C ； 5．C ；6．C ；7． D ；8．A ．（第8题的提示：若2223a b a b +=+，必有2222a b a b +>+．构造函数：()22x f x x =+，则()2ln 220x f x '=⋅+>恒成立，故有函数()22xf x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．）二、填空题： 9．10； 10．7； 11. 0.k e k ><或； 12 . 206；13．5； 14．23=a （第14题的提示: 函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0，-1)．函数y 1＝(a －1)x －1：过M (11a -，0)，可得：a ＞1；函数y 2＝x 2－ax －1：显然过点M (11a -，0)，得：23a 0==或者a ，舍去0=a ，）三、解答题：15．(本小题满分13分) （Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -=可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tanBtanA=4. --------6分（Ⅱ）由(Ⅰ)得tan 4tan 0A B =>,434tanB tanB13B4tan 13tanBtanAtanB 1tanB tanA )B A (tan 2≤+=+=+-=-当且仅当,2tanB ,4tanB tanB1==时，等号成立， 故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34. --------13分16．(本小题满分13分)（I ）从甲组抽取2人, 从乙组抽取1人. --------2分（II ）.从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率.32311C C 1P 21026=-=-=--------5分（III ）ξ的可能取值为0，1，2，31234211056(0)75C C P C C ξ==⋅=,1112146342212110510528(1)75C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=，21622110510(3)75C C P C C ξ==⋅=, 31(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-==5E =ξ. --------13分17．(本小题满分14分)（Ⅰ）依题设知，AC 是所作球面的直径，则AM ⊥MC 。
(2014东城一模)北京市东城区2014届高三3月质量调研数学(理科)试题及参考答案-推荐下载
东城区2013-2014学年度第二学期教学检测高三数学（理科）学校______________班级_________姓名____________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |1621x<<}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(C R B )＝A ．(1，4)B ．(3，4)C ．(1，3)D ．(1，2)2．已知i 是虚数单位， 若),i 1(z i3-=+则z=A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i3．设a ∈R ，则“a ＝-2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为A. 34πB. 2πC. 4πD.4π-5．设a ，b 是两个非零向量．则下列命题为真命题的是A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为A.B. C. 4D. 7．已知抛物线1C ：212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C ：2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =8．设a ＞0，b ＞0．A ．若2223a ba b +=+，则a ＞bB ．若2223aba b +=+，则a ＜bC ．若2223a b a b -=-，则a ＞bD ．若2223a ba b -=-，则a ＜b非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2446,10a a S +==.则_______a 10=．10．如图，PA 与圆O 相切于A ，不过圆心O 的割线PCB 与直径AE 相交于D 点.已知∠BPA =030，2=AD ，1=PC ,则圆O 的半径等于 ．11. 若函数()x f x kx e =-有零点，则k 的取值范围为_______.12．已知圆的方程为08622=--+y x y x ,设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_______________. 13．已知231(1)nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且2 ≤ n ≤ 7，则n =______．14．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝______________．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tanBtanA的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值．16．(本小题满分13分)某绿化队甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技能考核.（I ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（II ）求从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率；（III ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望. 17．(本小题满分14分)在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =. 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N .（Ⅰ）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值；（Ⅲ）求点N 到平面ACM 的距离.18．（本小题满分14分）已知函数1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+，其中0a >()I 若()f x 在x=1处取得极值，求a 的值；()II 求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围 .19．(本小题满分14分)椭圆C ：2222+1x y a b=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．20．（本题满分12分）在数列}b {},a {n n 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*N ）（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此归纳出}b {},a {n n 的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：.125b a 1b a 1b a 1b a 122n n 332211<++++++++东城区2013-2014学年度第二学期教学检测高三数学答案（理科）一、选择题： 1．B ；2．D ；3．A ；4．C ； 5．C ；6．C ；7．D ；8．A ．（第8题的提示：若2223a b a b +=+，必有2222a b a b +>+．构造函数：()22x f x x =+，则()2ln 220x f x '=⋅+>恒成立，故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．）二、填空题： 9．10； 10．7； 11. 0.k e k ><或； 12 . 206；13．5； 14．23=a （第14题的提示: 函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0，-1)．函数y 1＝(a －1)x －1：过M (11a -，0)，可得：a ＞1；函数y 2＝x 2－ax －1：显然过点M (11a -，0)，得：23a 0==或者a ，舍去0=a ，） 三、解答题：15．(本小题满分13分)（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -=可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B-==+=+即sin cos 4cos sin A B A B =，则tanBtanA=4. --------6分（Ⅱ）由(Ⅰ)得tan 4tan 0A B =>,434tanB tanB13B4tan 13tanBtanAtanB 1tanB tanA )B A (tan 2≤+=+=+-=-当且仅当,2tanB ,4tanB tanB1==时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.--------13分16．(本小题满分13分)（I ）从甲组抽取2人, 从乙组抽取1人.--------2分（II ）.从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率.32311C C 1P 21026=-=-=--------5分（III ）ξ的可能取值为0，1，2，31234211056(0)75C C P C C ξ==⋅=,1112146342212110510528(1)75C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=，21622110510(3)75C C P C C ξ==⋅=, 31(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-==ξ123P75675287531751058E =ξ. --------13分17．(本小题满分14分)（Ⅰ）依题设知，AC 是所作球面的直径，则AM ⊥MC 。
2014-2015学年北京十四中高三(上)期中数学试卷(理科) (Word版含解析)
2014-2015学年北京十四中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合S=R，A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x||x﹣2|＜2}，那么集合∁R（A∩B）等于（）A．{x|0＜x≤3} B．{x|﹣1≤x＜2} C．{x|x≤0，或x＞3} D．{x|x＜﹣1，或x≥2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：通过解二次不等式化简集合A，通过解绝对值不等式化简集合B，利用交集的定义求出两个集合的交集，再利用补集的定义求出补集．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}B={x||x﹣2|＜2}={x|0＜x＜4}∴A∩B={x|0＜x≤3}∴∁R（A∩B）={x|x≤0或x＞3}故选C．点评：本题考查二次不等式的解法、绝对值不等式的解法、利用交集补集的定义求集合的交集补集．2．（5分）下列说法错误的是（）A．“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件B．若p且q为假命题，则p、q均为假命题C．命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”D．命题p：“∂x∈R，使得x2+x+1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A，|x|＞1⇒x＞1或x＜﹣1，可判断A；B，若p且q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，可判断B；C，写出命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题，可判断C；D，写出命题p：“∂x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定，可判断D．解答：解：对于A，由于|x|＞1⇒x＞1或x＜﹣1，故“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件，A 正确；对于B，若p且q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，故B错误；对于C，命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”，故C正确；对于A，命题p：“∂x∈R，使得x2+x+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故D正确．综上所述，只有B错误，故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查对充分必要条件概念的理解与应用，考查复合命题的真假判断与“全称量词”与“存在量词”的应用，属于中档题．3．（5分）若向量、满足+=（2，﹣1），=（1，2），则向量与的夹角等于（）A．135° B．120° C．60° D．45°考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的坐标运算和向量的模的公式以及向量的数量积的坐标表示，结合向量的夹角公式，计算即可得到．解答：解：向量、满足+=（2，﹣1），=（1，2），则=（1，﹣3），=1﹣6=﹣5，||=，||=，即有cos＜＞===﹣，由于0°≤＜＞≤180°，则有向量与的夹角等于135°．故选A．点评：本题考查向量的数量积的定义和坐标表示，主要考查向量的夹角公式和夹角的求法，属于基础题．4．（5分）（2014秋•西城区校级期中）下列函数中，周期为1的奇函数是（）A．y=1﹣2sin2πx B．y=sinπxcosπx C．y=tan x D．y=sin（2πx+）考点：三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．专题：三角函数的图像与性质．分析：对A先根据二倍角公式化简为y=cos2πx为偶函数，排除；对于D验证不是奇函数可排除；对于C求周期不等于1排除；故可得答案．解答：解：A，y=1﹣2sin2πx=1﹣（1﹣cos2πx）=cos2πx，由于f（﹣x）=cos（﹣2πx）=cos2πx=f （x），故为偶函数，不符合；B，对于y=sinπxcosπx=sin2πx，为奇函数，且T==1，满足条件．C，由正切函数的周期公式可得T=2，不符合；D，对于函数y=sin （2πx+），f（﹣x）=sin（﹣2πx+）≠﹣sin（2πx+），不是奇函数，排除．故选：B．点评：本题主要考查三角函数的奇偶性和最小正周期的求法，一般先将函数化简为y=Asin （wx+ρ）的形式，再由最小正周期的求法T=、奇偶性的性质、单调性的判断解题，属于基础题．5．（5分）（2014秋•通化期中）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x）且x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=log3|x|的零点个数是（）A．2个B．3个C．4个D．6个考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：方程f（x）=log3|x|的零点个数即函数y=f（x）与函数y=log3|x|的交点的个数，作图得到答案．解答：解：方程f（x）=log3|x|的零点个数即函数y=f（x）与函数y=log3|x|的交点的个数，作函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象如下，则由图象可知，有四个不同的交点，故选C．点评：本题考查了方程的根与函数图象的交点的关系及函数图象的作法，属于中档题．6．（5分）（2015•遵义校级二模）设函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{}（n∈N*）的前n项和是（）A．B．C．D．考点：数列的求和；导数的运算．专题：计算题．分析：函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可求出m，a，然后利用裂项法求出的前n项和，即可．解答：解：f′（x）=mx m﹣1+a=2x+1，∴a=1，m=2，∴f（x）=x（x+1），==﹣，用裂项法求和得S n=．故选A点评：本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项法的应用，是好题，常考题，基础题．7．（5分）已知△ABC中，∠A=30°，AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（）A．B．C．或D．或考点：正弦定理；等差数列的性质；等比数列的性质．专题：计算题；数形结合．分析：由题意，根据等差数列及等边数列的性质分别求出AB与BC的值，再由A的度数，求出sinA的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，根据A和C的度数，利用内角和定理求出B的度数，根据B的度数判断出三角形的形状为直角三角形或等腰三角形，分别求出三角形的面积即可．解答：解：∵AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，∴AB=，BC=1，又A=30°，根据正弦定理=得：sinC=，∵C为三角形的内角，∴C=60°或120°，当C=60°时，由A=30°，得到B=90°，即三角形为直角三角形，则△ABC的面积为××1=；当C=120°时，由A=30°，得到B=30°，即三角形为等腰三角形，过C作出AB边上的高CD，交AB于点D，在Rt△ACD中，AC=BC=1，A=30°，∴CD=，则△ABC的面积为××=，综上，△ABC的面积为或．故选C点评：此题考查了等差数列、等比数列的性质，正弦定理以及特殊角的三角函数值，利用数形结合及分类讨论的思想，由C的度数有两解，得到三角形的形状有两种，故求出的三角形面积有两解，不要漏解．8．（5分）对于下列命题：①已知i是虚数单位，函数f（x）=在R上连续，则实数a=2．②五本书排成一排，若A、B、C三本书左右顺序一定（不一定相邻），那么不同排法有A33•A33③如图，⊙O中的弦AB与直径CD相交于点p，M为DC延长线上一点，MN为⊙O的切线，N为切点，若AP=8，PB=6，PD=4，MC=6，则MN的长为2④在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1交点的极坐标为（，）⑤设n=4cosxdx，则二项式（x﹣）n的展开式的常数项为6其中假命题的序号是（）A．②⑤ B．②③ C．② D．①④考点：命题的真假判断与应用．专题：坐标系和参数方程．分析：①利用•i=f（0），计算即可；②采用插空法，依次插入即可；③通过相交弦定理可得半径，利用勾股定理计算即可；④利用平方关系可得ρ=，代回原式可得θ=π，进而可得结论；⑤通过定积分的性质可得n=4，代入计算即可．解答：解：①•i==﹣1，f（0）=a0﹣a=1﹣a，∵函数f（x）=在R上连续，∴﹣1=1﹣a，即a=2，故正确；②采用插空法，当A、B、C三本书左右顺序一定时（不一定相邻），插入第4本书，有4中方法，再插入第5本书，有5中方法，∴不同排法有4×5=20种，故不正确；③由相交弦定理可得：CP===12，∴圆O的半径为：==8，∵MN为⊙O的切线，∴OM2=ON2+MN2，∴MN2=OM2﹣ON2=（OC+CM）2﹣ON2=（8+6）2﹣82=132，∴MN==2，故正确；④∵ρ=2sinθ，ρcosθ=﹣1，∴sinθ=，cosθ=﹣，∴sin2θ+cos2θ=（）2+（）2=1，整理得：，解得：ρ=，∴sinθ=，cosθ=﹣，又∵0≤θ＜2π，∴θ=π，∴交点的极坐标为（，），故正确；⑤∵n=4cosxdx=4dsinx=4，∴（x﹣）4的展开式的常数项为=6，故正确；综上所述，只有②是假命题，故选：C．点评：本题是一道综合题，考查复数、排列组合、平面几何、极坐标、定积分与展开式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：（本大题每小题5分，满分30分）9．（5分）若sin（π﹣α）=，且α的终边过点P（x，2），则x=；tan（π+α）=．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由sin（π﹣α）=，可得cosα=﹣，根据α的终边过点P（x，2），求出x，再求tan（π+α）=tanα=．解答：解：∵sin（π﹣α）=，∴cosα=﹣，∵α的终边过点P（x，2），∴=﹣，x＜0，∴x=，∴tan（π+α）=tanα=，故答案为：，．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式，考查学生的计算能力，比较基础．10．（5分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，a4=，S4=12．则数列{a n}的通项公式a n=﹣n；n=5时，S n最大．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意易得公差d和首项的方程组，解方程组可得通项公式，可得{a n}的前5项均为正数，从第6项开始为负数，易得答案．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则a4=a1+3d=，S4=4a1+d=12，解得a1=，d=﹣1∴通项公式a n=﹣n；令≤0可得n≥，∴等差数列{a n}的前5项均为正数，从第6项开始为负数，∴当n=5时，S n最大．故答案为：﹣n；5点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．11．（5分）函数y=Asinωxcosφ+Acosωxsinφ+2（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的图象如图，则ω=3，φ=．考点：二倍角的正弦；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据两角和的正弦公式化简解析式，由图象和周期公式求出ω的值，再把点（，2）代入解析式，根据正弦函数值求出φ的值．解答：解：由题意得，y=Asinωxcosφ+Acosωxsinφ+2=Asin（ωx+φ）+2，由图得，T==，得T=，∴ω=3，∵函数的图象过点（，2），∴Asin（ω×+φ）+2=2，则sin（ω×+φ）=0，∴3×+φ=kπ（k∈Z），解得φ=kπ﹣（k∈Z），∵0＜φ＜2π，∴φ=，故答案为：3；．点评：本题考查两角和的正弦公式，三角函数的周期公式，以及读图能力，属于中档题．12．（5分）（2015•天津模拟）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为8．考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），2m+n=1，把要求的式子化为4++，利用基本不等式求得结果．解答：解：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），又点A在直线mx+ny+1=0上，∴2m+n=1，则+=+=4++≥4+2=8，当且仅当时，等号成立，故答案为：8．点评：本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为4++，是解题的关键．13．（5分）（2014•和平区四模）如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是6．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：在平面内建立合适的坐标系，将向量的数量积用坐标表示，再利用线性规划解决问题．解答：解：以A为坐标原点，以AD方向为x轴正方向，以AB方向为y轴负方向建立坐标系，则=（1，﹣2）设N点坐标为（x，y），则=（x，y），则0≤x≤2，﹣2≤y≤0令Z==x﹣2y，将A，B，C，D四点坐标依次代入得：Z A=0，Z B=4，Z C=6，Z D=2故Z=的最大值为6故答案为：6点评：向量的主要功能就是数形结合，将几何问题转化为代数问题，但关键是建立合适的坐标系，将向量用坐标表示，再将数量积运算转化为方程或函数问题．14．（5分）已知函数（a是常数且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③若f（x）＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有．其中正确命题的序号是①③④．考点：函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．专题：综合题．分析：①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；②只需说明函数f（x）在R上的单调性即可；③只需说明f（x）＞0在上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，从而求得a的取值范围是a＞1；④已知函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，故D正确．解答：解：①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；故正确；②由图象说明函函数f（x）在R上不是单调函数；故错；③只需说明f（x）＞0在上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，求得a的取值范围是a＞1；故正确；④已知函数函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即f（）＜，故正确．故答案为：①③④．点评：利用函数的图象研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值是常用的方法，解答本题的关键是图象法．三、解答题（本大题共6小题，共80分.）15．（13分）（2012•新泰市校级模拟）在数列{a n}中，a1=3，a n=﹣a n﹣1﹣2n+1（n≥2且n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）证明：数列{a n+n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（3）求数列{a n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据a1=3，a n=﹣a n﹣1﹣2n+1（n≥2且n∈N*），对n进行赋值，可求出a2，a3的值；（2）直接利用等比数列的定义进行证明，然后利用等比数列性质求其通项公式即可；（3）先求出数列{a n}的通项公式，然后利用分组求和法进行求和即可．解答：解：（1）∵a1=3，a n=﹣a n﹣1﹣2n+1（n≥2，n∈N*），∴a2=﹣a1﹣4+1=﹣6，a3=﹣a2﹣6+1=1．（2）∵===﹣1，∴数列{a n+n}是首项为a1+1=4，公比为﹣1的等比数列．∴a n+n=4•（﹣1）n﹣1，即a n=4•（﹣1）n﹣1﹣n，∴{a n}的通项公式为a n=4•（﹣1）n﹣1﹣n（n∈N*）．（3）∵{a n}的通项公式为a n=4•（﹣1）n﹣1﹣n（n∈N*），所以S n=a k=[4•（﹣1）k﹣1﹣k]=[4•（﹣1）k﹣1﹣=4×﹣=2[1﹣（﹣1）n]﹣（n2+n）=﹣﹣2（﹣1）n．点评：本题主要考查了数列的通项公式，以及等比数列的判定和数列的求和，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．16．（13分）盒内含有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出一个白球得0分，取出一个黑球得﹣1分，现从盒内一次性取3个球．（1）求取出的三个球得分之和恰为1分的概率（2）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）分别求出“取出1个红色球，2个白色球”、“取出2个红色球，1个黑色球”的概率，从而求出3个球得分之和恰为1分的概率；（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，可得ξ分布列和数学期望．解答：解：（1）记“取出1个红色球，2个白色球”为事件A，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件B，则P（A+B）=P（A）+P（B）=+=（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3Pξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=1．点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，互斥事件与对立事件的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（13分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，﹣2cosx），﹣．（Ⅰ）若∥，求x；（Ⅱ）设f（x）=•，求f（x）的单调减区间；（Ⅲ）函数f（x）经过平移后所得的图象对应的函数是否能成为奇函数？如果是，说出平移方案；如果否，说明理由．考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用两个向量共线的性质求得tan2x=﹣1，再由﹣＜x＜求得x的值．（II）利用两个向量的数量积公式化简f（x）的解析式为sin（2x﹣）﹣1，令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．（Ⅲ）将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移（k∈N）个单位，或向右平移（k∈N）个单位即可．解答：解：（I）若，则sinx（sinx﹣2cosx）=cos2x，…（1分）即﹣sin2x=cos2x，∴tan2x=﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又∵﹣＜x＜，∴﹣＜2 x＜π，∴2x=﹣，或2x=，即x=﹣或x=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）∴f（x）==2sinxcosx﹣2cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）﹣1，…（7分）令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，解得kπ+≤x≤kπ+．又，∴f（x）的单调减区间时（﹣，﹣）、（，）．…（11分）（Ⅲ）能，将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移（k∈N）个单位，或向右平移（k∈N）个单位，即得函数g（x）=sin2x的图象，而g（x）为奇函数．…（13分）点评：本题主要考查两个向量共线的性质、两个向量的数量积公式，两角和差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．18．（13分）已知函数f（x）=ln（x+2）﹣x2+bx+c（Ⅰ）若函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，且f（﹣1）=0，求函数f （x）在区间[0，3]上的最小值；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，1]上为单调减函数，求b的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，求得b的值，利用f（﹣1）=0，求得c的值，可得函数解析式，再确定函数f（x）在区间[0，3]上的单调性，即可求得f（x）在区间[0，3]上的最小值；（Ⅱ）f（x）是减函数等价于≤0，即恒成立，求出右边函数的最小值，即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）求导函数，可得∵函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，∴f′（1）=，∴，∴b=4又f（﹣1）=ln（2﹣1）﹣1﹣4+c=0，∴c=5∴f（x）=ln（x+2）﹣x2+4x﹣5，∴由=0得x=∴当x∈[0，]时，f′（x）≥0，f（x）单调递增当x∈[，3]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减又f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，所以f（x）在[0，3]最小值为ln2+5；（Ⅱ）因为f（x）是减函数，所以≤0，即恒成立令t=，则t′=2+，∴t=，在[0，1]上单调递增∴t min=﹣所以当b≤﹣时，f（x）在区间[0，1]上单调递减．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查函数的单调性，考查分离参数法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（14分）（2011•淮南一模）设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．（1）若在定义域内存在x0，而使得不等式f（x0）﹣m≤0能成立，求实数m的最小值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x2﹣x﹣a在区间（0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．分析：（1）依题意得，求m的最小值，就是求f（x）的最小值，利用导数研究函数的单调性，可以得到f（x）在（﹣1，0）上为减函数，f（x）在（0，+∞）为增函数，即f（x）的最小值为f（0）=1，所以m的最小值为1（2）解出g（x）=x+1﹣2ln（x+1）﹣a，原题设即方程1+x﹣2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根，令h（x）=1+x﹣2ln（1+x），这时只需解出h（x）在[0，2]上的值域，画出图象，可以得出a的取值范围．解答：解：（1）要使得不等式f（x0）﹣m≤0能成立，只需m≥f（x）max．求导得f′（x）=2（1+x）﹣2，定义域为（﹣1，+∞），∵当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上是减函数；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．∴f（x）mix=f（0）=1，∴m≥1．故实数m的最小值为1．（2）由f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）得：g（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）﹣（x2+x+a）=x+1﹣2ln（x+1）﹣a原题设即方程1+x﹣2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根．设h（x）=（1+x）﹣2ln（1+x）．∵h′（x）=1﹣，列表如下：∵h（0）﹣h（2）=1﹣（3﹣2ln3）=2（ln3﹣1）＞2（lne﹣1）=0，∴h（0）＞h（2）．从而有h（x）max=1，h（x）min=2﹣2ln2画出函数h（x）在区间[0，2]上的草图（如图）易知要使方程h（x）=a在区间（0，2]上恰有两个相异实根，只需：2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3，即：a∈（2﹣2ln2，3﹣2ln3]．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，本题比较新颖的地方是，求解（2）中的a的取值范围，经过等价变换，只需求h（x）=（1+x）﹣2ln（1+x）的值域，再根据图象，解出a的取值范围．在教学中，多加强训练和指导，以便掌握其要领．20．（14分）已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且∀x1，x2∈R，总有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1恒成立．（Ⅰ）记g（x）=f（x）+1，求证：g（x）是奇函数；（Ⅱ）对∀n∈N*，有a n=，b n=f（）+1，记c n=，求{c n}的前n项和S n；（Ⅲ）求F（n）=a n+1+a n+2+…+a2n（n≥2，n∈N）的最小值．考点：数列的应用；函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用；数列的求和．专题：函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）令x1=x2=0得f（0）=﹣1，再令x1=x，x2=﹣x，得g（x）=f（x）+1是奇函数．（2）令x1=n，x2=1，得f（n）=2n﹣1，从而c n=，计算即可．（3）通过计算可知F（n+1）＞F（n），又n≥2，从而得出结果．解答：解：（1）证明：f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，令x1=x2=0得f（0）=﹣1，再令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1．故f（﹣x）+1=﹣[f（x）+1]，从而g（x）=f（x）+1是奇函数；（2）令x1=n，x2=1，得f（n+1）=f（n）+2，故f（n）=2n﹣1，从而，，又c n=，S n=①=②由①﹣②得S n=；（3）∵F（n+1）﹣F（n）=a2n+1+a2n+2﹣a n+1=∴F（n+1）＞F（n）．又n≥2，故F（n）的最小值为．点评：本题考查抽象函数的奇偶性，以及数列的求和，需要一定的计算能力，属于中档题．。
北京市东城区2014届高三上学期期末考试数学理含答案
东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|02}A x x =<<，{|(1)(1)0}B x x x =-+>，则AB =（A ）(0,1) （B ） (1,2) （C ）(,1)(0,)-∞-+∞ （D ） (,1)(1,)-∞-+∞（2）在复平面内，复数2ii+ 的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）设a ∈R ，则“1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）执行右图所示的程序框图，输出的a 的值为（A ）3 （B ）5 （C ）7 （D ）9（5）在△ABC 中，15a =，10b =，60A =，则cos B =（A ）13 （B）3（C（D）3（主视图）（侧视图）（俯视图）（6）已知直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若MN ≥则k 的取值范围为 （A）[33-（B ）11[,]33- （C ）(,3-∞-（D）)3+∞ （7）在直角梯形ABCD 中，90A ∠=，30B ∠=，AB =2BC =，点E 在线段CD上，若AE AD AB μ=+，则μ的取值范围是（A ）[0,1] （B） （C ）1[0,2 （D ）1[,2]2（8）定义,,max{,},,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩设实数,x y 满足约束条件2,2,x y ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩则max{4,3}z x y x y =+- 的取值范围是（A ）[6,10]-（B ）[7,10]-（C ）[6,8]-（D ）[7,8]-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
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东城区普通校2013-2014学年第一学期联考试卷高三 数学（理科）命题校：北京市第二十二中学 2013年11月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}20M x x =->，{}(3)(1)0N x x x =--<，则M N =(A) {}23x x << （B ）{}1x x < （C ）{}3x x > （D ）{}12x x << 2. 命题“若a b >，则1a b +>”的逆否命题是 （A ）若1a b +≤，则a b > （B ）若1a b +<，则a b > （C ）若1a b +≤，则a b ≤ （D ）若1a b +<，则a b <3. “2x >”是“24x >”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 4. 已知数列{}n a 为等差数列，且1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于 （A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45 5. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是 （A ）lg y x = （B ）cos y x =（C ）||y x =（D ）sin y x =6．曲线 331x y =在x=1处切线的倾斜角为 （A ）1 （B ）4π- （C ）4π（D ）54π7. 要得到函数sin 24y x π=-（）的图象，只要将函数sin 2y x =的图象 （A ）向左平移4π单位（B ）向右平移4π单位 （C ）向右平移8π单位（D ）向左平移8π单位8．下列函数中，在(1, 1)-内有零点且单调递增的是 （A ）12log y x =（B ）21x y =- （C ）212y x =-(D) 3y x =-9．设13log 2a =，2log 3b =，0.31()2c =，则（A ）a b c <<（B ）a c b <<（C ）b c a << （D ）b a c <<10．如图，是函数)(x f y =的导函数)(x f '的图象，则下面判断正确的是 （A ）在区间（－2,1）上)(x f 是增函数 （B ）在（1,3）上)(x f 是减函数 （C ）在（4,5）上)(x f 是增函数 （D ）当4=x 时，)(x f 取极大值11．已知数列}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=⋅a a ，则101a a +的值为 （A ）7 （B ）5- （C ）5 （D ）7- 12. 设函数121()log ()2xf x x =-，2121()log ()2xf x x =-的零点分别为12,x x ，则（A ）1201x x << （B ）121x x = （C ）1212x x << （D ）122x x ≥第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．13. 函数)1lg()(-=x x f 的定义域是______________. 14. 已知53sin =α，且α为第二象限角，则αtan 的值为 . 15. 若曲线21232-+=x x y 的某一切线与直线341+-=x y 垂直，则切点坐标为.16. 在ABC ∆中，若3a b ==，3B 2π∠=，则c =____. 17．已知函数y ＝f (x ) (x ∈R )满足f (－x ＋2)＝f (－x )，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为________．18．①命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”；②函数2()2xf x x =-的零点有2个；③若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝0；④函数[]sin (,)y x x ππ=∈-图象与x 轴围成的图形的面积是π-πsin d S x x =⎰；⑤若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －5 (x >6)，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋4 (x ≤6)，在R 上是单调递增函数，则实数a 的取值范围为（1，8）．其中真命题的序号是 （写出所有正确命题的编号）．三、解答题：本大题共4小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（本小题满分14分）已知函数2()cos cos f x x x x =-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值及相应的x 的值．20. （本小题满分14分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24C =-. （Ⅰ）求sin C ；（Ⅱ）当2c a =，且b =a .21.（本小题共14分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，410a =，且3a ，6a ，10a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2(*)n an b n =∈N ，求数列{}n b 的前n 项和公式.22.（本小题共18分）已知函数()ln f x x x =．（Ⅰ）求函数()f x 在[1,3]上的最小值；（Ⅱ）若存在1[,e]ex ∈（e 为自然对数的底数，且e =2.71828 ）使不等式22()3f x x ax ≥-+-成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若)(x F 的导函数为)(x f ，试写出一个符合要求的)(x F （无需过程）.东城区普通校2013-2014学年第一学期联考试卷答题纸高三 数学（理科）命题校：北京市第二十二中学 2013年11月第Ⅰ卷1_______2_______3_______4_______5_______6_______7_______8_______9______10______11_______12______第Ⅱ卷13. 14.15. 1617. 18.19解：20. 解：21. 解：22. 解：东城区普通校2013-2014学年第一学期联考答案高三数学（理科）参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）命题校：北京市第二十二中学 2013年11月一.选择题1 A2 C3 A4 B5 D6 C7 C 8 B 9 B 10C 11D 12A二.填空题13. {x | x >1 } 14. 43-15. （1，2）16.①③（写对一个给2分，写错一个不得分）三．解答题19．解：（Ⅰ）因为11()2cos 2222f x x x =--1sin(2)62x π=--， 所以22T ππ==，故()f x 的最小正周期为π. …………………… 7分（Ⅱ）因为 02x π≤≤， 所以52666x πππ--≤≤． 所以当262ππ=-x ，即3x π=时，)(x f 有最大值12. ………………14分20．解：（Ⅰ）由已知可得2312sin 4C -=-.所以27sin 8C =.因为在ABC ∆中，sin 0C >，所以sin C =. ……………………………………………7分（Ⅱ）因为2c a =，所以1sin sin 2A C ==.因为ABC ∆是锐角三角形，所以cos C =，cos A =. 所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+==.由正弦定理可得：sin sin aB A=，所以a =…………………………14分 21．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，又410a =，可得310a d =-，6102a d =+， 10106a d =+． 由3a ，6a ，10a 成等比数列得23106a a a =， 即2(10)(106)(102)d d d -+=+，整理得210100d d -=， 解得0d =或1d =． 由0d ≠,可得1d =．14310317a a d =-=-⨯=，所以1(1)6n a a n d n =+-=+． …………………7分（Ⅱ）由2(*)n an b n =∈N ，6n a n =+，可得62n n b +=.所以1612128b +==．因为716222n n n n b b +++==， 所以数列{}n b 是首项为128，公比为2的等比数列．所以{}n b 的前n 项和公式为7128(12)212812n n n S +-==--．………14分 22．解：（Ⅰ）由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x '=+， 当1(0,)e x ∈时，()0,()f x f x '<单调递减； 当1(,)e x ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增．所以函数)(x f 在[1,3]上单调递增．又(1)ln10f ==，所以函数()f x 在[1,3]上的最小值为0． …………………7分 （Ⅱ）由题意知，22ln 3,x x x ax ≥-+-则32ln a x x x≤++． 若存在1[,e]e x ∈使不等式22()3f x x ax ≥-+-成立，只需a 小于或等于32ln x x x ++的最大值． 设()()32ln 0h x x x x x=++>，则()()()2231231x x h x x x x +-'=+-=． 当1[,1)x e ∈时，()()0,h x h x '<单调递减；当(1,e]x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增． 由11()23e e e h =-++，3(e)2e e h =++，12()(e)2e 40e eh h -=-->， 可得1()(e)e h h >． 所以，当1[,e]e x ∈时，)(x h 的最大值为11()23e e e h =-++． 故123e ea ≤-++． ………………14分（Ⅲ）4ln 2)(22x x x x F -= ………………18分。