控制方向未知的全状态约束非线性系统的鲁棒自适应跟踪控制
鲁棒控制理论 第六章
鲁棒控制理论第六章本章将介绍鲁棒控制理论的基本概念和重要性。
鲁棒控制是一种能够在面对各种不确定性和扰动时保持系统稳定性和性能的控制方法。
在实际工程中，由于各种外部因素的存在，系统常常会面临不确定性和扰动，这导致传统控制方法的性能下降或失效。
鲁棒控制理论的提出旨在解决这些问题，使得控制系统能够在不确定环境下保持稳定并具备良好的性能。
鲁棒控制理论的基本概念包括：鲁棒稳定性和鲁棒性能。
鲁棒稳定性指的是控制系统在面对各种不确定性时能够保持稳定，即使系统参数发生变化或外部干扰存在，仍能使受控系统收敛到期望状态。
鲁棒性能则是指控制系统在鲁棒稳定的前提下，仍能保持良好的控制性能，如快速响应、抑制干扰等。
___控制在工程领域具有广泛的应用价值。
它能够有效应对各种不确定性因素，如参数变化、外部扰动、测量误差等，保证系统稳定和性能优良。
鲁棒控制不仅能够应用于传统的电气和机械系统中，还可以应用于复杂的多变量和非线性系统中，如控制网络、飞行器、汽车等。
因此，掌握鲁棒控制理论对于工程领域的研究和实践具有重要意义。
在接下来的章节中，我们将进一步探讨___控制理论的原理和方法，以及其在实际工程中的应用案例。
通过深入了解和研究鲁棒控制理论，我们将能够更好地设计和实现稳定可靠的控制系统，提高工程领域的控制技术水平。
鲁棒控制理论是一种应用于控制系统设计的理论框架，旨在解决系统不确定性和外部干扰对系统性能造成的影响。
该理论的主要目标是设计出对参数变化、模型不准确性和外部扰动具有强鲁棒性的控制器。
鲁棒控制理论的主要原理是通过在控制系统中引入设计参数的变化范围，并使用鲁棒性准则来评估控制系统的性能。
这样设计的控制器能够在不确定性条件下保持系统的稳定性和性能。
在鲁棒控制理论中，主要采用了一些常见的数学工具和方法，如线性矩阵不等式、H∞控制、μ合成等。
这些方法能够有效地处理系统不确定性和外部干扰，并提供了一种灵活且可行的控制系统设计方案。
总而言之，鲁棒控制理论是一种应对系统不确定性和外部干扰的有效工具。
具有输入未建模动态的纯反馈非线性系统自适应控制
具有输入未建模动态的纯反馈非线性系统自适应控制张天平;葛继伟;夏晓南【摘要】对一类具有状态和输入未建模动态且控制增益符号未知的纯反馈非线性系统,利用非线性变换、改进的动态面控制方法以及Nussbaum函数性质,提出两种自适应动态面控制方案.利用正则化信号来约束输入未建模动态,从而有效地抑制其产生的扰动.通过引入动态信号,有效地处理了由状态未建模动态引起的动态不确定性.通过在总的李雅普诺夫函数中引入非负正则化信号,并利用稳定性分析中引入的紧集,证明了闭环控制系统是半全局一致终结有界的.数值仿真验证了所提方案的有效性.%Based on dynamic surface control(DSC)method and using Nussbaum function property,two adaptive DSC schemes are developed for a class of pure-feedback nonlinear systems with state and input unmodeled dynamics as well as unknown control gain sign in this paper.Normalization signal is designed to restrict the input unmodeled dynamics, and the disturbance produced by it is effectively suppressed.Dynamic signal is introduced to deal with the dynamic uncertainty caused by unmodeled dynamics.By adding the normalization signal to the whole Lyapunov function and using the defined compact set in stability analysis,all the signals in the closed-loop system are proved to be semi-globally uniformly ultimately bounded(SGUUB).Numerical simulation verifies the effectiveness of the proposed approach.【期刊名称】《控制理论与应用》【年(卷),期】2017(034)012【总页数】11页(P1637-1647)【关键词】输入未建模动态;动态面控制;积分型Lyapunov函数;Nussbaum函数【作者】张天平;葛继伟;夏晓南【作者单位】扬州大学信息工程学院自动化专业部,江苏扬州225127;扬州大学信息工程学院自动化专业部,江苏扬州225127;扬州大学信息工程学院自动化专业部,江苏扬州225127【正文语种】中文【中图分类】TP131 引言(Introduction)自从文献[1]提出后推设计以来,它已成为非线性系统控制的主要设计工具.其缺点是在后推的每一步需对虚拟控制反复求导,随着系统阶次的增加,控制器的结构越加复杂,通常称为“微分爆炸”问题.文献[2]通过在后推的每一步引入一个1阶滤波器,用代数运算代替微分运算来消除传统后推设计的不足.文献[3–4]在文献[2]基础上分别对严格反馈及纯反馈两类非线性系统提出两种自适应动态面控制方案.进一步,文献[5]提出一种改进的动面控制策略.近年来,带有输入未建模动态的自适应控制受到了人们广泛的关注,并取得了一些研究成果.文献[6]首次对输入未建模动态展开了研究,并分别对具有线性输入未建模动态的严格反馈非线性系统和输出反馈非线性系统,利用正则化信号、动态非线性阻尼设计和后推技术,设计了相应的控制律.该设计保证了对于传递函数描述下的输入未建模增益,存在一个独立于初始条件的正则化信号,使得系统所有输入与状态收敛于一个区间内.文献[7]利用小增益定理拓展了文献[6]关于输入未建模动态的研究思路.文献[8]在文献[6–7]的基础上得到了进一步的结果,证明了未建模动态子系统为零相对阶的最小相位系统的有界性.文献[9–15]关于输入未建模动态展开了不同的讨论.对于线性输入未建模动态,相应的约束条件是子系统为最小相位系统,而对于非线性输入未建模动态,要求子系统零动态是输入状态稳定的.在该假设条件下,根据输入未建模动态李雅普诺夫函数的指数收敛率,设计正则化信号,提出自适应后推控制律,但系统高频增益符号假设是已知的.众所周知,当系统的控制方向未知时常常给控制器的设计带来较大困难.由于具有广阔的应用背景,控制增益符号未知的非线性系统受到广泛的讨论.文献[16]为控制方向未知的系统提供了一种通用性控制方法,即Nussbaum函数增益技术.文献[17–18]针对存在未知高频增益和时变不确定性的非线性系统,利用Nussbaum函数和后推技术,提出了一种鲁棒控制策略.文献[19]利用Nussbaum函数性质讨论了一类具有时滞不确定性的严格反馈系统的自适应控制问题,同时给出了时变控制增益符号未知的闭环系统稳定的判断定理.文献[20]对一类具有未建模动态的纯反馈非线性系统,在虚拟控制增益已知和未知的两种情形下,分别提出了自适应动态面控制方案,并利用Nussbaum函数解决了虚拟控制增益未知的问题.文献[21]对一类具有未建模动态及动态不确定性的严格反馈非线性系统,利用李雅普诺夫函数刻画状态未建模动态,提出一种新的自适应动态面控制方案.文献[22–23]对一类带有输入未建模动态的输出反馈非线性系统,利用正则化信号约束输入未建模动态,提出两种输出反馈自适应动态面控制策略.文献[24]对一类具有未建模动态和死区的纯反馈非线性系统,在假设控制增益符号已知的条件下,提出一种基于改进动态面控制的自适应神经网络控制方案.本文在文献[5,20,22,24]的基础上,对一类纯反馈非线性系统,提出了两种新的鲁棒自适应动态面控制策略.主要贡献如下:1)对同时具有状态和输入未建模动态的非线性系统,分别讨论了控制增益gn(x)符号已知和未知两种情况,提出了两种不同的自适应控制策略,而文献[22–23]中讨论的系统是一类输出反馈非线性系统.2)通过非线性变换将纯反馈系统转化为更容易分析的严格反馈系统形式,采用改进的动态面控制方法,避免采用中值定理,从而移去了虚拟控制增益符号及其上下界已知的假设条件,并简化了设计.3)在后推设计的前n−1步仅有一个参数需要在线调节,减轻了计算量.4)通过在总的李雅普诺夫函数中加入非负正则化信号,并利用动态面控制证明的特点,有效地处理了控制信号的有界性.2 问题的描述及基本假设(Problem statement and basic assumptions)考虑如下一类具有输入未建模动态的纯反馈非线性系统:式中:i=[x1x2···xi]T∈Ri,i=1,2···,n;x=[x1···xn]∈Rn是状态向量,ω∈R是作用在非线性系统上的不可量测信号,y∈R是系统输出,gn(x),fi(·)(i=1,···,n)是未知光滑函数,z∈ Rn0是不可测量状态,∆i(t,z,x)(i=1,···,n)为未知不确定扰动.输入未建模子系统描述如下:式中:p∈Rn1是由输入u∈R所产生的未建模状态,ω∈ R是n1阶子系统的输出,A∆(·)和b∆是未知向量,c∆(·)是未知函数并且d∆未知常数.控制目标:设计自适应控制律u,使得系统的输出y尽可能好地跟踪一个给定的期望信号yd,并保证闭环系统是半全局一致终结有界的,且跟踪误差收敛到一个小的残差集内.定义1[25]对于系统=q(t,z,x),如果存在K∞类函数1,2和一个Lyapunov函数V0(z)使得以及存在两个常数c＞0,d≥0和一个K∞类函数γ(·)使得式中:c＞0,d≥0是两个已知常数,γ(·)是一个已知K∞类函数,则称未建模动态是指数输入状态实用稳定(exponentially input-state-practically stable,exp-ISpS).假设1[25]未建模动态是指数输入状态实用稳定(exp-ISpS)的.假设2 gn(x)的符号是已知的,且存在常数gi0和gn1,使得不失一般性,假设gn(x)＞0.假设3[3]期望轨迹向量xd=[yddd]T∈Ωd连续可测,其中是一个紧集,B0是一个已知正常数.假设4[25]对未知不确定扰动∆i(t,z,x),i=1,···,n,存在未知非负连续函数ρi1(·),未知非负连续单调递增函数ρi2(·),使得其中‖·‖表示欧氏范数.假设5[13] 对于输入未建模动态子系统(2)–(3),其相对阶数为零,即d∆̸=0,且存在一个常数,使得‖c∆(p)‖≤‖p‖.假设6[13] 对于输入未建模动态子系统(2)–(3),存在一个Lyapunov函数W(p),满足式中:βp1,βp2,βp3是正常数,δ0是已知正常数.引理1[25]若V0(t)是系统=q(t,z,x)的一个exp-ISpS李雅普诺夫函数,即假设1成立,则对于任意常数f∈(0,c),任意初始时间t0＞0,任意初始状态z0=z(t0),v0＞0和任意(|x1|)≥γ(|x1|),存在有限时间对于非负函数D(t0,t),定义动态信号=−fv+(|x1|)+d.当t≥ t0+T0时,存在D(t0,t)=0,使得V0(z)≤v(t)+D(t0,t).不失一般性,取(|x1|)=γ(|x1|).引理2若假设6成立,=−δ0+|u|,则存在常数c1,c2＞0使得其中δ0由式(7)确定.引理2证明参见文献[13].注1 假设1是对未建模动态的要求;假设2是为了保证所讨论的下三角型系统是能控的而对未知系统函数提出的基本要求;假设3是对跟踪信号的要求;假设4是对动态不确定性提出的要求;假设5–6是对输入未建模动态的刻画.假设1–6在现有文献中已被广泛使用.仿真中应该验证状态未建模动态和输入未建模动态满足假设1,4–6.此外,需要构造适当的李雅普诺函数,如来确定设计动态信号、正则化信号用到的设计参数f及δ0.3 控制增益符号已知的控制器设计(Controller design with known gain sign) 本节中,首先讨论系统控制增益gn(x)及d∆符号已知的情形,不妨假设全为正.令Fi(i,xi+1)=fi(i,xi+1)−xi+1,i=1,···,n−1.则系统(1)可改写为如下形式:对于未知连续函数Fi(i,xi+1),1≤i≤n−1,在给定的紧集ΩZi上,本文将采用径向基函数神经网络进行逼近,即式中:Zi=i+1,εi(Zi)是逼近误差,i=1,···,n−1,Fn(Zn)将在最后一步中给出,Zn=[xTsnnv]T.基向量ξi(Zi)=[ξi1(Zi) ···ξili(Zi)]T∈ Rli,基函数定义如下:其中:bik和aik分别为高斯函数的中心和宽度,k=1,···,li,理想权向量定义为控制器设计分为n步,βi是以αi为输入的一阶滤波器的输出,i=2,···,n.最后,控制律u 将在第n步提出.为了叙述方便,定义一些如下形式的Lyapunov函数:式中:s1=x1−β1=y−yd,si=xi−βi,i=2,···,n.第1步由式(10)可知对s1求导得设计虚拟控制律α2如下:式中:a1＞0,k1＞0是设计常数,是λ在t时刻的估计,而设计一阶滤波器如下:式中:τ2为时间常数,α2为系统输入,β2为系统状态.令y2=β2−α2,可得出因此有式中是一个非负连续函数.对Vs1关于时间t求导,得式中=−λ.由假设4和引理1可知存在一个正常数D0,使得D(t0,t)≤ D0,∀t≥ 0,可得式中:表示由Young’s不等式得将式(25)–(26)代入式(24),可得式中:是一个未知的非负连续函数.第i步(2≤i≤n−1) 对si求导得设计虚拟控制律αi+1如下:式中:ai＞0,ki＞0是设计常数.设计一阶滤波器如下:式中:τi+1为时间常数.令yi+1= βi+1− αi+1,可得进一步有类似于第1步的推导,易得式中:是一个未知的非负连续函数.第n步令sn=xn−βn,因此可得令Gn(x)=d∆gn(x),定义一个光滑Lyapunov函数如下:由积分第2中值定理可知其中σ∈(0,1).因此Vsn为正定函数.将Vsn对时间t求导并利用分部积分可得由假设4得同理,与第1步类似,由假设4和引理1可得由Young’s不等式可得由假设4和引理1,可得式中对于未知连续函数Fn(Zn),在给定的紧集ΩZn上采用径向基函数神经网络进行逼近,即将式(33)(36)–(41)代入式(35),可得将式(3)代入式(42),并利用Young’s不等式,可得为了处理上式中项,由假设5–6及引理2可知设H=max{c1(‖p(0)‖+|(0)|),c2},则可得不妨令将其代入上式,可得式中P=(1+|(t)|)2.设计下面的控制律u:式中:an＞0,kn＞0是设计常数,是H在t时刻的估计.将式(46)和式(47)代入式(43),并利用Young’s不等式,可得式中:是一个未知的非负连续函数,设计参数,的自适应调节律如下:式中γ1,γ2,σ1,σ2＞ 0是设计常数.定义紧集式中:γ3＞0是一个设计常数,J为任给的正常数,pn=2n+3.令连续函数κi在紧集Ωn×Ωd上的最大值为M1i(i=1,···,n),ηi在紧集Ωn×Ωd上的最大值为M2i(i=2,···,n),|u|在紧集Ωn×Ωd上的最大值为M3.定理1 考虑由系统(1)、控制律(47)、自适应律(49)–(50)组成的闭环系统,若假设(1)–(6)成立,对于任意有界初始条件及V(0)≤J,存在常数ki,τi,γ1,γ2,σ1,σ2使得闭环系统半全局一致终结有界,其中ki,1/τi,α0满足如下条件:证选取如下Lyapunov函数:将V对时间t求导,可得所以当V≤J时,易得将式(52)代入式(55),可得当V≤J,可得有界.因为x1=s1+yd,xi=si+yi+ αi,利用式(20)–(30),依次可得x1,α2,x2,···,αn,xn是有界的.由∈L∞,可得P是有界的.根据式(47)及,,P∈L∞,可得u∈L∞.因为Q(n−1,v)是一个非负连续函数,n−1,v有界,所以Q(n−1,v)有界.可设Q(n−1,v)≤µ0,µ0是正常数.由上式可得如果V=J且α0≥(µ0+µ1)/J,那么≤0.进一步,如果V(0)≤ J,那么V(t)≤ J,∀t＞ 0.式(57)两边同乘以eα0t可得对式(58)积分,可得因此,闭环系统的所有信号和是一致终结有界的.进一步有xi,yi+1和αi,u一致终结有界.4 控制增益符号未知的控制器设计(Controller design with unknown gain sign) 本节中,将放宽假设条件,研究含有Nussbaum函数的自适应动态面控制器来处理控制增益符号未知且具有输入未建模动态情形的控制问题.假设7 gn(x)的符号是未知的,且存在常数gi0和gn1,使得其中Nussbaum函数性质如下:常用的Nussbaum函数包括:和本文选取引理 3 已知V(·),ζ(·)都是[0,tf)上的光滑函数,且V(t)≥ 0,∀t∈ [0,tf),N(·)是一个Nussbaum函数,如果下列不等式成立其中:c为非负常数,g(x(τ))是一个在闭区间[l−,l+]取值的时变参数,α是一个正常数.可得V(t),ζ(t)和一定在[0,tf)上有界.第i步(0≤i≤n−1) 与第3节讨论相同,在此不再赘述.第n步令sn=xn−βn,因此可得由假设7,定义一个光滑Lyapunov函数如下:由积分第2中值定理可知,Vsn可改写为其中σ∈(0,1).对Vsn在时间t上求导,可得类似于第3节的推导,易得设计控制律如下:令类似于式(44)–(45)的推导,可得将式(68)–(70)代入式(68),并利用Young’s不等式得定义总的Lyapunov函数如下:式中γ3＞0是设计常数.定义紧集式中:J为任给的正常数,pn=2n+2.令连续函数κi在紧集Ωn×Ωd上的最大值为M1i,i=1,···,n,ηi在紧集Ωn×Ωd上的最大值为M2i,i=2,···,n.定理2 考虑一类由系统(1)、控制律(68)–(69)、自适应律(48)组成的闭环系统,若假设1,3–7成立,则对于任意有界初始条件及V(0)≤J,存在常数ki,τi,γ1,γ2,σ1,σ2使得闭环系统半全局一致终结有界,其中ki,1/τi,α0满足如下条件:证总的Lyapunov函数V由式(72)确定.当V≤J时,对Lyapunov函数V求导并利用式(68)–(69)可得将式(74)代入式(75),可得若V≤J,则有有界,类似于定理1的分析可得n,αi有界.根据∈L∞,可知P有界.因为Q(n−1,v)是一个非负连续函数,n−1,v有界,所以Q(n−1,v)有界.可设Q(n−1,v)≤µ0,µ0是一个未知正常数.由式(78)得类似于第2节的讨论,可得由引理3可知,V(t)和ζ(t)在[0,tf)上有界.由于tf是任意正常数,因此,和ζ(t)在[0,∞)上有界.进一步由式(69)可知,式(77)右边第4项是有界的,即存在正常数µ2使得N(ζn)+1]n|≤ µ2.由式(77)可得如果V=J且α0≥(µ0+µ1+µ2)/J,那么≤0.进一步,如果V(0)≤ J,那么V(t)≤J,∀t≥0.因此,闭环系统的所有信号si,yi,,v,和是一致终结有界的.进一步,可得xi,yi+1和αi,u一致终结有界.注2 本文利用Nussbaum函数,设计了控制律(68)和Nussbaum参数自适应律(69).进一步,在总的李雅普诺夫函数中加入了正则化信号,从而证明了闭环系统的稳定性.5 仿真结果(Simulation results)例1考虑如下具有未建模动态的倒立摆系统[23]:式中:q(t,z,y)= −2z+y sin t+0.5,∆1=0.5z,∆2=x1z,g=9.8 m/s2重力加速度,mc=1kg 是小车的质量,ml=0.1kg是半个杆的质量,l=0.5m是半个杆的长度.期望的轨迹为yd=(π/30)sin t.仿真中,=−δ0+|u|,=−v+2.5y2+0.6;设计参数取为k1=5,k2=10,γ1=γ2=4,σ1= σ2=0.01,δ0=1.5,τ2=0.05;初值为x(0)=[0.05 −0.1]T,z(0)=0,p(0)=[00]T,(0)=1.5,(0)=0.15,(0)=0.2,v(0)=1.5.基向量为仿真结果如图1–3所示.从图1,2可知,本文所设计的自适应控制能够保证闭环系统具有良好的跟踪性能.例2考虑如下一类具有输入和状态未建模动态的纯反馈非线性系统:期望的跟踪轨迹yd(t)=0.5sint+0.25sin(0.5t).图1 增益符号已知的倒立摆系统输出y和期望轨迹ydFig.1 Output y and desired trajectory ydfor inverted pendulum system with known gain sign图2 跟踪误差s1Fig.2 Tracking error s1图3 控制信号uFig.3 Control signal u对于控制方案1(增益符号已知):仿真中动态信号为设计参数取为初值取为神经网络的设计参数为仿真结果如图4–6所示.图4 增益符号已知的纯反馈系统输出y和期望轨迹ydFig.4 Output y and desired trajectory ydfor pure-feedback system with known gain sign 图5 跟踪误差s1Fig.5 Tracking error s1图6 控制信号uFig.6 Control signal u对于控制方案2(增益符号未知):仿真中动态信号为设计参数取为初值取为神经网络的设计参数为仿真结果如图7–9所示.图7 增益符号未知的纯反馈系统输出y和期望轨迹ydFig.7 Output y and desired trajectory ydfor pure-feedback system with unknown gain sign 图8 跟踪误差s1Fig.8 Tracking error s1图9 控制信号uFig.9 Control signal u6 结论(Conclusions)本文对一类具有状态和输入未建模动态的纯反馈非线性系统,利用非线性变换将纯反馈非线性系统转换为形式上的严格反馈非线性系统,进一步,利用动态面控制方法,对控制增益符号已知和未知情况,提出两种自适应控制方案.通过引入一阶滤波器,降低了控制器设计的复杂性.利用径向基函数神经网络逼近系统中的未知光滑非线性函数.利用积分型李雅普诺夫函数放宽了控制增益的要求.利用Young’s不等式,对推导过程中的不确定项进行放缩,从而减少神经网络在线调节参数的数目.利用Nussbaum函数的性质,处理虚拟控制增益符号未知问题.在未来的研究工作中进一步将其结果推广到具有输出和状态约束的非线性系统.参考文献(References):【相关文献】[1]KANELLAKOPOULOS I,KOKOTOVIC P V,MORSE A S.Systematic design of adaptive controllers for feedback linearizable systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1991,36(11):1241–1253.[2]SWAROOP D,HEDRICK J K,YIP P P,et al.Dynamic surface control for a class of nonlinear systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2000,45(10):1893–1899.[3]WANG D,HUANG J.Neural network-based adaptive dynamic surface control for a class of uncertain nonlinear systems in strictfeedback form[J].IEEE Transactions on Neural Networks,2005,16(1):195–202.[4]ZHANG T P,GE S S.Adaptive dynamic surface control of nonlinear systems with unknown dead zone in pure 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鲁棒控制理论
鲁棒控制理论
鲁棒控制理论是一种系统工程学的控制理论，由美国科学家陆奇和国际系统工程的其他学者创造，旨在解决复杂的系统控制问题。
鲁棒控制理论提出了一种处理不确定性、复杂性和时间变化的新方法，其目标是建立一种能够针对系统模型中的离散不确定性和模型更新进行控制的机制，以实现最优的系统控制运行状态。
鲁棒控制的优点是它能够可靠的实现最优控制，即使系统模型受到不确定性和模型更新的影响，也能够有效地解决复杂系统控制问题。
鲁棒控制主要由以下三部分组成：模型，估计和控制。
首先，在模型构建方面，鲁棒控制理论针对复杂系统提出了新的离散不确定模型，解决了传统控制理论中模型不精确的问题，使模型更加准确、可靠，从而有效地控制复杂系统；其次，在参数估计方面，鲁棒控制提出了基于Kalman滤波公式的鲁棒参数估计方法，能够有效地处理系统中的测量噪声和估计误差，解决模型和估计不确定性的问题；最后，在控制方面，鲁棒控制结合了最优控制理论和去抖动技术，以实现良好的系统控制，有效解决模型不精确和时间变化带来的控制问题，提高系统控制性能和精度。
由于鲁棒控制理论对复杂系统控制问题的普遍性和可靠性，它已经得到了广泛的应用。
目前，鲁棒控制理论在自动化控制、机器人、智能车辆、飞行器控制等多个学科领域广泛应用，在系统设计、仿真验和控制实现等方面取得了重大的成果。
总之，鲁棒控制理论是一种实用性强、能够普遍应用于复杂系统
控制的系统工程技术，它不仅可以可靠地实现最优控制，而且能够有效解决复杂系统控制问题。
因此，鲁棒控制理论为复杂系统的控制提供了一种有效的解决方案，促进了控制学的发展，并为未来的自动控制应用奠定了基础。
具有输出约束和状态约束的不确定非线性系统的自适应神经网络控制及其应用
在全状态约束中,约束参数不能被任意指定,其需要满足依赖初始状态与控制参数的可行解条件(Feasibility Conditions),因此在控制系统运行前,本文设计了可行解条件检测(Feasibility Check)这一步骤来获得既满足可行性条件又能最大化跟踪效果的最优控制参数。为了将上述方法拓展到非仿射纯反馈非线性系统(Non-Affine Pure-Feedback Nonlinear Systems),在合理的通用假设下,本文首先利用均值定理将纯反馈非线性系统转化为仿射型系统,然后基于前述关于严格反馈系统的工作,设计出相应的全状态约束控制系统。
具有输出约束和状态约束的不确定非线性系统的自、电力系统与机器人系统,都会要求系统的关键状态在暂态和稳态时都能运行在某个特定的边界内,即满足某种硬约束(Hard Constraints)条件。由于实际系统的数学模型通常是非线性的,且模型部分已知甚至是完全未知的,在存在外界扰动的情况下极易出现系统状态“越界”,进而可能产生严重事故。
本文将iBLFs应用在鲁棒自适应神经网络控制设计中,通过设计合适的控制系统,使得iBLFs沿着目标闭环系统的轨迹保持有界,进而实现受扰动的不确定非线性系统的约束满足。本文的主要工作内容如下:首先,本文解决具有输出约束的单输入单输出严格反馈非线性系统(SingleInput Single-Output Strict-Feedback Nonlinear Systems)的输出轨迹跟踪控制问题。
进一步的,为解决控制输入饱和下的状态约束控制,本文采用了一个光滑的控制信号函数去逼近不可导的输入饱和函数,并结合均值定理得到可设计的控制输入形式。为得到控制输入饱和下的全状态约束控制可行参数解,可行性条件中加入了控制输入饱和的可控约束条件。
控制系统中的鲁棒自适应控制算法
控制系统中的鲁棒自适应控制算法鲁棒自适应控制算法是一种在控制系统中应用的高级控制方法，用于提高系统性能和稳定性的技术。
该算法结合了鲁棒性控制和自适应控制的特点，能够针对各种系统的不确定性和变化进行动态调整，从而保证系统的稳定性和性能。
一、鲁棒自适应控制的基本原理鲁棒自适应控制算法的基本原理是将控制系统分为两个部分：鲁棒控制器和自适应控制器。
鲁棒控制器是基于鲁棒性控制的原理设计的，能够抵抗外界的干扰和不确定性，保证系统的稳定性和鲁棒性。
自适应控制器是基于自适应控制的原理设计的，能够根据系统的动态特性进行参数的自适应调整，以保证系统的性能和响应速度。
二、鲁棒自适应控制的应用领域鲁棒自适应控制算法广泛应用于工业控制系统、航空航天系统、机器人控制系统等领域。
在这些系统中，系统参数经常发生变化，外界环境的干扰也较大，要能够在这种复杂条件下保持系统的稳定性和性能，就需要采用鲁棒自适应控制算法。
三、鲁棒自适应控制算法的主要特点鲁棒自适应控制算法具有以下几个主要特点：1. 鲁棒性：鲁棒自适应控制算法能够抵抗外界环境干扰和系统参数的变化，保持系统的稳定性和鲁棒性。
2. 自适应性：鲁棒自适应控制算法能够根据系统的动态特性进行参数的自适应调整，以保证系统的性能和响应速度。
3. 良好的鲁棒性能：鲁棒自适应控制算法具有良好的鲁棒性能，能够在各种复杂条件下保持系统的稳定性和性能。
4. 算法复杂度低：鲁棒自适应控制算法具有较低的算法复杂度，能够快速响应系统的变化，并进行相应的调整。
四、鲁棒自适应控制算法的实现方法鲁棒自适应控制算法的实现方法主要包括以下几个步骤：1. 系统建模：首先需要对控制系统进行建模，得到系统的数学模型和动态特性方程。
2. 参数估计：根据系统的实际运行数据，对系统的参数进行估计和调整，以保证控制系统的准确性和可靠性。
3. 控制器设计：根据系统的动态特性和参数估计结果，设计鲁棒控制器和自适应控制器。
4. 系统仿真：通过仿真软件对系统进行仿真，测试鲁棒自适应控制算法的效果和性能。
非线性控制与鲁棒性
非线性控制与鲁棒性非线性控制是控制理论中的重要分支，它研究的对象是具有非线性特性的系统。
在现实世界中，许多系统都具有非线性特性，例如生物系统、化学反应系统、机械系统等等。
与线性系统相比，非线性系统更加复杂，因此需要采用不同的控制方法来实现对其的稳定控制。
而鲁棒性则是在面对系统参数变化、测量误差等不确定因素时，控制系统能够保持一定的性能。
非线性控制方法可以分为两大类：基于物理模型的方法和基于神经网络的方法。
1. 基于物理模型的非线性控制基于物理模型的非线性控制是以系统的数学模型为基础，采用数学分析和控制理论来设计控制器。
其中，最常用的方法是状态反馈控制和输出反馈控制。
状态反馈控制是通过测量系统状态来设计控制器，使系统的状态达到期望值。
这种方法需要系统的状态变量可测量，在实际应用中会受到传感器等因素的限制。
输出反馈控制是通过测量系统输出来设计控制器，并通过计算控制输入来使系统输出跟踪期望值。
输出反馈控制不需要测量系统的状态，因此更加实用，但也常常需要引入观测器等辅助设备。
2. 基于神经网络的非线性控制基于神经网络的非线性控制是利用神经网络的非线性映射能力来近似系统的非线性特性，进而设计控制器。
神经网络可以通过学习样本数据来建立系统的模型，并通过反馈控制来调整网络权值，实现对系统的控制。
基于神经网络的非线性控制具有较好的适应性和鲁棒性，能够处理一些复杂非线性系统难以建模的问题，但也面临着神经网络训练的困难和计算复杂度的挑战。
在非线性控制中，鲁棒性是一个重要的性能指标。
鲁棒性控制是指控制系统对于不确定性的抵抗能力，即当系统参数发生变化或存在测量误差时，控制系统能够保持一定的性能。
在设计鲁棒控制器时，需要考虑系统参数的范围、不确定性的影响以及控制器的稳定性等因素。
鲁棒控制的设计方法有很多，例如H∞控制、滑模控制、自适应控制等。
这些方法在处理非线性系统不确定性时，能够有效提高系统的稳定性和控制性能。
总结而言，非线性控制与鲁棒性是控制领域中的关键问题，研究非线性系统的控制方法并设计鲁棒控制器，可以提高控制系统的鲁棒性和性能。
非线性控制系统鲁棒性分析
非线性控制系统鲁棒性分析随着现代科技的不断进步，控制系统的发展也日益迅速。
非线性控制系统作为一种新兴的控制系统，逐渐成为控制领域的热门研究对象。
在非线性控制系统的设计和应用中，鲁棒性分析是一个十分重要的问题。
下面我们就来探讨一下非线性控制系统鲁棒性分析的相关问题。
第一部分：非线性系统的鲁棒控制非线性控制系统是指在系统的运行过程中，该系统所涉及到的运动学和动力学参数是不确定和变化的。
由于非线性控制系统的特殊性，使得该系统容易受到外部干扰和内部失配的影响。
因此，鲁棒控制策略的研究对非线性控制系统至关重要。
在研究鲁棒控制策略的过程中，重要的一点是鲁棒性的评价指标的选取。
通常采用的指标包括sensitivity函数、complementary sensitivity函数、marginal stability margin和robustness margin等。
其中，sensitivity函数包括系统性能和系统鲁棒性两个方面，是鲁棒控制中的重要概念。
达到系统性能指标和鲁棒性指标的平衡，是非线性控制系统设计的终极目标。
第二部分：鲁棒控制中的常见方法考虑到非线性控制系统性能和鲁棒性两个方面的平衡，鲁棒控制策略的研究通常采用的方法有：H(无穷)鲁棒控制、线性矩阵不等式(LMI)、李雅普诺夫技术以及统计鲁棒控制等。
通过对H(无穷)鲁棒控制的研究，可以清楚地看到该方法的特点：通过将非线性控制系统转化为线性鲁棒控制问题，使得该方法既考虑了系统性能，又考虑了系统鲁棒性。
但是，该方法应用范围有限，只能用于一些已知线性模型的鲁棒控制。
除了H(无穷)鲁棒控制外，LMI、李雅普诺夫技术以及统计鲁棒控制等方法，在鲁棒控制中也有广泛的应用。
在选择方法时，重要的一点是要根据系统的特性进行选择，合理地平衡系统性能和鲁棒性。
第三部分：非线性系统的稳定控制非线性系统的稳定性一直是非线性控制系统研究的重点问题之一。
在控制系统实际操作过程中，保持系统的稳定性，是实现系统优化控制和应用的前提。
全状态约束下非线性系统自适应优化跟踪控制
全状态约束下非线性系统自适应优化跟踪控制目录一、内容综述 (2)1.1 非线性系统控制现状 (3)1.2 全状态约束下跟踪控制的重要性 (5)1.3 研究目标与价值 (6)二、非线性系统基础理论 (7)三、全状态约束下的跟踪控制问题 (9)3.1 问题描述与定义 (9)3.2 状态约束条件分析 (10)3.3 跟踪控制策略设计 (12)四、自适应优化技术在跟踪控制中的应用 (13)4.1 自适应优化概述 (15)4.2 自适应优化算法介绍 (16)4.3 自适应优化在跟踪控制中的实施步骤 (17)五、全状态约束下非线性系统自适应优化跟踪控制策略设计 (18)5.1 策略设计原则与目标 (20)5.2 策略设计框架与流程 (21)5.3 关键技术与实现方法 (22)5.3.1 状态估计与预测技术 (24)5.3.2 优化算法选择与改进 (25)5.3.3 控制指令生成与优化 (26)六、仿真实验与性能分析 (28)6.1 仿真实验设计 (29)6.2 实验结果与分析 (30)6.2.1 跟踪性能分析 (31)6.2.2 稳定性分析 (33)6.2.3 鲁棒性分析 (33)七、实际应用及前景展望 (34)7.1 实际应用案例分析 (35)7.2 效益评估与前景展望 (37)八、结论与展望 (38)一、内容综述“全状态约束下非线性系统自适应优化跟踪控制”是一个涉及控制理论、优化算法和非线性系统分析等多个领域的综合性课题。
随着科学技术的飞速发展，对于复杂非线性系统的控制精度和适应性要求越来越高，使得对该领域的研究显得尤为关键和必要。
本文档主要围绕这一主题展开综述，概述相关背景、研究现状和发展趋势。
在当前工业界和学术界的研究中，非线性系统的控制问题一直是一个热点和难点。
特别是在全状态约束条件下，系统的动态性能和稳定性更容易受到挑战。
传统的线性控制方法在很多情况下难以达到理想的控制效果，研究并设计适用于全状态约束下的非线性系统自适应优化跟踪控制策略具有重要的理论和实践意义。
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控制方向未知的全状态约束非线性系统的鲁棒自适应跟踪控制王春晓;武玉强【摘要】针对一类控制方向未知的含有时变不确定参数和未知时变有界扰动的全状态约束非线性系统,本文提出了一种基于障碍Lyapunov函数的反步自适应控制方法.障碍Lyapunov函数保证了系统状态在运行过程中始终保持在约束区间内;Nussbaum型函数的引入解决了系统控制方向未知的问题;光滑投影算法确保了不确定时变参数的有界性.障碍Lyapunov函数、Nussbaum型函数及光滑投影算法与反步自适应方法的有效结合首次解决了控制方向未知的全状态约束非线性系统的跟踪控制问题.所设计的自适应鲁棒控制器能在满足状态约束的前提下确保闭环系统的所有信号有界.通过恰当地选取设计参数,系统的跟踪误差将收敛于0的任意小的邻域内.仿真结果表明了控制方案的可行性.%To consider a class of full state-constrained nonlinear systems with completely unknown control coefficients, uncertain time-varying parameters and disturbances, a Barrier Lyapunov function (BLF) based adaptive robust control design method is proposed.BLFs are to ensure that the full state constraints be not violated,the unknown control direction is resolved effectively by the Nussbaum gain function and the boundedness of uncertain time-varying parameters is guaranteed by using the continuous projection algorithm. It is the first time that the BLF,Nussbaum gain function and continuous projection algorithm effectively combine with backstepping adaptive control to solve the tracking control problem for full state-constrained nonlinear system with unknown control direction. As shown as the control result, all the closed loop signals are bounded and full state constraints arenot violated. Moreover the system output tracking error will converge to a bounded compact set of zero through select proper parameters.At last,The effectiveness of the proposed control scheme is further verified with a numerical example.【期刊名称】《控制理论与应用》【年(卷),期】2018(035)002【总页数】9页(P153-161)【关键词】障碍Lyapunov函数;Nussbaum增益控制;未知控制方向;全状态约束;自适应控制【作者】王春晓;武玉强【作者单位】山东建筑大学理学院,山东济南250101;曲阜师范大学工学院,山东日照276826;曲阜师范大学工学院,山东日照276826【正文语种】中文【中图分类】TP2731 引言(Introduction)实际系统由于需要考虑安全性或执行器的物理限制、机械制造等方面原因使得控制系统中的约束是广泛存在的,常见的约束有状态约束、输出约束及执行器饱和等[1–4].如出于对汽车发动机的保护及驾乘人员舒适性、安全性的考虑,会对汽车的加速度和速度加以限制;平面移动机器人的工作空间是受限的,机器人不能超限运动.如果在控制设计过程中不考虑这些约束条件,依然应用原来的基于无约束条件下的控制设计方法,将造成系统性能的恶化、闭环系统不稳定,甚至设备损坏影响财产及人身安全.近年来,约束控制系统的分析与设计问题受到人们的广泛关注,并取得了一些卓有成效的成果[5–13].处理受约束系统的主要方法包括模型预测控制[5]、基于不变集理论的控制器设计[6–7]、无模型映射学习控制[8–9]和基于极值搜索方法的控制[10]等.此外,受重构Lyapunov函数思想的启发,障碍李雅普诺夫函数(barrier Lyapunov function,BLF)与反步法的结合已逐渐应用于含有状态和输出约束的非线性系统的控制中[1,12–20].Ngo等针对含状态约束的Brunovsky标准型系统,以约束区间为定义域构造Lyapunov函数,完成反演设计[14].借鉴Ngo等人的思想,文献[15]首次给出了BLF的定义,针对严格反馈非线性系统采用基于BLF的反演设计方法,保证系统输出有界.此外,文献[16–17]分别讨论了含有部分状态约束及全状态约束的严反馈非线性系统的控制问题.文献[1]针对全状态约束的机器人系统,基于BLF设计了自适应神经网络控制器,处理了系统的不确定性和扰动.上述基于BLF的约束非线性系统的控制均要假定控制系数已知或者至少控制方向已知.控制变量前面的控制增益的符号决定着系统的运动方向,所以称之为控制方向,它在控制器设计中具有重要作用.Nussbaum于1983年首次提出的著名Nussbaum增益技术[21]成为解决未知控制方向问题的一种重要的工具,并在自适应控制领域得到了快速发展[22–26].文献[22]考虑了一类含有未知控制相关系数的严反馈时变不确定非线性系统的自适应鲁棒控制问题.文献[23]利用基于动态面的神经网络控制技术解决了控制方向未知的含有输入饱和的严反馈非线性系统的跟踪控制.文献[24]采用部分限幅的鲁棒自适应方法研究了一类含有未知控制方向的非线性系统.这些研究推动了控制方向未知的非线性系统的发展,然而,这些文献均没有考虑系统状态受限的问题.当控制方向未知与状态受限、未知扰动同时发生时,这给控制器的设计提出了新的挑战.文献[25]在假定未知控制增益及不确定参数都是常数的前提下,讨论了控制方向未知的不确定全状态约束非线性系统的自适应控制设计.对于更有挑战性的时变未知增益、时变不确定参数以及时变未知扰动的情况并未涉及.基于以上观察,本文采用自适应反演控制方法研究了一类含有未知控制方向及未知扰动的不确定非线性全状态约束系统,主要创新概括如下:1)传统的基于BLF的反演自适应方法不能解决控制方向未知和状态受限的双重问题,本文通过引入Nussbaum增益函数,采用新的反演技术设计出有效的控制律,使得在满足状态约束的前提下闭环系统的所有信号有界.2)所研究的系统含有时变不确定参数和完全未知的非线性控制系数,我们将两者集结在一起构造新的向量,利用光滑投影算法设计统一的自适应律保证了不确定时变参数的有界性.3)对于时变扰动,只需要假设它有界,而在控制器的设计中无需用到该界限,就可达到扰动衰减.2 问题描述及预备知识(Problem description and preliminaries)2.1 问题描述(Problem description)考虑一类含有未知控制系数和不确定参数的严反馈非线性系统其中:=(x1···xi)T∈Ri,u∈R,y∈R分别为系统的状态向量、控制输入以及系统输出;为有界的不确定非线性分段光滑函数,代表了系统的未知控制方向;不确定时变参数向量θi(t)∈Ωi⊂Rm,其中:Ωi是以原点为圆心,rΩi为半径的闭球域;di(t)∈Rm为未知时变有界扰动向量,ψi,ϕi为已知的适当维数的非线性函数.本文的控制目标为:针对非线性系统(1),设计自适应鲁棒控制律,使得:a)系统的输出跟踪误差收敛于一个以原点为中心的小邻域内;b)闭环系统所有信号有界;c)满足状态约束条件:|xi|＜kci,kci为已知的正常数(i=1,···,n).为达到控制目标,做如下假设:假设1 系统输出跟踪信号yd(t)连续n阶可微,满足为正常数,i=0,···,n.假设2假设控制系数是时变有界的,且控制系数符号未知.注1代表了系统的控制方向,在已有文献中大部分都假定控制相关系数已知且符号固定[12,15–17],或者未知但至少控制方向已知[13,19].本文首次探讨了未知时变控制相关系数的状态约束控制问题,当未知参数θi(t)和未知控制相关系数均为未知常数,并且扰动消失,即di(t)=0,则系统(1)即为文献[25]中所讨论的严格反馈系统.所以,模型(1)更具一般性.2.2 预备知识(Preliminaries)Nussbaum函数增益方法可用于处理不确定系统的控制系数或虚拟控制系数符号未知的问题,为此,首先给出Nussbaum函数的定义及相关引理.定义1[21] 如果连续函数N(ζ)满足则称之为Nussbaum型函数.常见的Nussbaum型函数有exp(ζ2)cos((π/2)ζ),ζ2cosζ等,本文中,定义N(ζ)=ζ2cosζ.引理1[22]V(·)和ζ(·)为定义在[0,tf]上的光滑函数,且∀t∈ [0,tf),V(t)≥ 0,N(·)为Nussbaum型偶函数.如果式中:c1＞0,c0为适当的常数,g(·)为有界的时变参数,且g(·)≠0,则V(t),ζ(t)以及在[0,tf)上有界.引理2[27] 对于任意的有如下不等式成立:定义2[28]令θ∈Ω是未知时变参数向量,是θ的估计量,Ω⊂Rp是一个半径为rω的已知闭球域.定义投影算子如下:式中:ϵ是一个任意的正实数.从式(6)可看出,如果则有如下性质成立:1)2)3)3 自适应鲁棒控制器设计(Adaptive robust controller design)为了方便表示,在不引起歧义的前提下,本文将省略时间t.设计过程由n步组成,为了完成鲁棒控制器的设计,首先做如下坐标变换:其中:yd为系统的输出跟踪信号,S1为系统跟踪误差,Si(i=2,···,n)称为虚拟状态跟踪误差,αi−1为虚拟控制函数.所有的虚拟控制函数αi−1要求有界:为正常数并且要求满足具体的设计过程将在第3节的第i步中给出详细的说明.为了保证系统的状态约束,定义如下对数形式的障碍Lyapunov函数:其中:为了方便讨论,构造新的未知参量:a,1是θa,1的参数估计,根据投影算子(6)的定义,给出未知参量θa,i的自适应律:其中:γ＞0为设计参数,ψa,i为已知的向量函数.定义Step 1 首先考虑系统(1)的第1个子系统,依式(7)–(8),对S1求导,得引入障碍Lyapunov函数并求导数:因为控制方向未知,引入Nussbaum型函数构造虚拟控制α1:其中:ψa,1=ψ1,ϕa,1=ϕ1.将式(13)代入式(12),并在式(12)的右边分别加、减整理得利用Young’s不等式,有如下不等式成立:将不等式(16)–(18)代入到式(15)中,由引理2可得如下结果:对式(19)两端同乘以,在[0,t]上积分,得由于在自适应律(10)中使用了投影算法,保证了参数估计量有界,因此有界;另一方面,扰动项da,1也是有界的,从而db,1有界.所以积分项有界.于是,只要式(20)最后一项有界,由引理1即可得出V1(t),ζ1(t)以及在[0,t)上均有界,从而S1(t)有界.所以问题归结为需保证S2有界,而S2的有界性将在Step 2中讨论.Stepi(2≤i≤n−1) 考虑第i个子系统:其中:引入障碍Lyapunov函数Vi并求导数,则为了更方便的估计未知参量,定义如下新的向量(i=2,···,n):借助于这些新的向量,式(24)可表示为于是,可以定义虚拟控制律如下:将虚拟控制律αi代入式(25)中,并在等式(25)右边分别加、减得和Step 1一样,利用Young’s不等式,式(28)可转化为由引理2,上述不等式可进一步表示为可以看出,式(30)和式(19)有相同的结构,所以,采用和式(19)相同的处理方法,问题转化为只要Si+1有界就可以保证Vi(t),ζi(t)以及在[0,t)上均有界,从而Si(t)有界. Stepn 考虑变换后的第n个子系统:其中:引入障碍Lyapunov函数Vn,并求导数,得利用新的向量da,n,ϕa,n,θa,n,ψa,n以及ψj,n,式(34)可进一步表示为采用和前面n−1步类似的方法,可以设计如下形式的鲁棒控制律:将控制律u代入式(35),在等式(35)右边分别加减再次利用Young’s不等式及引理2,可得式(38)两端同乘以eKnt,并在[0,t]上求积分,则自适应律中的投影算法保证了参数估计向量(i=1,···,n)有界,因此有界;另外,扰动项da,i也是有界的,从而db,n有界,所以可得出积分项有界.根据引理1可知,Vn(t),ζn(t)以及在[0,t)上均有界,从而Sn(t)有界,且因为Sn有界,所以有界,由引理1,及ζn−1(t)在[0,t)上均有界,从而Sn−1有界.以此类推,重复利用引理1n−1次,可得Vi(t),ζi(t)以及在[0,t)上对于i=1,···,n均有界,从而Si(i=1,···,n)有界,且由式(13)(26)和(36),可以得到虚拟控制律αi以及实际控制律u 均有界.基于上述设计过程,可得如下定理.定理1 对于带有完全未知有界控制系数gi(·),时变不确定参数θi(t)∈Ωi和未知有界扰动di(t)的严反馈非线性系统(1),如果满足假设条件1–2,并且满足初值条件应用上述设计过程,通过选取恰当的参数γ＞0,Ki＞0,k＞0,则由系统(1)、未知参数自适应律(10)、虚拟控制律(13)(26)以及实际控制律(36)构成的闭环系统具有如下性能:1)闭环系统的所有信号有界;2)状态始终满足约束条件:|xi(t)|＜kci,∀t≥0;3)系统输出跟踪误差收敛于0的邻域内:证 1)在Steps1–n的设计过程中已经证明了闭环系统的所有信号均有界;2) 由S1=x1−yd,|yd|≤ Y0,知所以,只要令就有|x1|＜kc,1成立.由式(13)知,α1是关于和的函数.而所以α1有界.即存在常数使得选取适当的参数γ＞0,K1＞0,k＞0使得于是,成立.类似地,可以证明i=1,···,n成立.即所有的状态均满足约束条件.3)由式(20),而由前面的讨论知,上式中的积分项均有界.不妨设则有进而所以,当t→∞时,有显然,通过选取适当的参数,系统输出跟踪误差S1可以任意小.证毕.4 算例与仿真(Example and simulation)本节利用两个例子来验证本文所提出的自适应鲁棒控制算法的有效性.例1 考虑如下二阶非线性系统[23]:其中:θ1(t),θ2(t)为不确定参数;d1(t)=0.05sint,d2(t)=0.1sint代表了时变的扰动向量.显然,系统(43)中,本例的控制目标为设计鲁棒自适应控制律,使得:1)闭环系统的所有信号有界;2)系统状态满足约束条件:|x1|＜kc,1=1.5,|x2|＜kc2=3;3)系统输出跟踪误差收敛于0的小邻域内,其中跟踪目标函数yd(t)=0.5sint−0.5cos(2t).根据第3节所给出的设计过程,引入障碍Lyapunov函数其中设计虚拟控制律:其中是未知参数θ1的估计量,并利用投影算子设计其自适应律:为了仿真需要,设初值x1(0)=−0.1,x2(0)=−0.5,θ1(0)=0.5,θ2(0)=1;选取适当的参数K1=K2=10,k=0.1,γ =0.5,ϵ=0.01,rΩ1=rΩ2=2.利用MATLAB可得到ā1,0=2.277,从而kb2=0.723.定义障碍Lyapunov函数,设计自适应鲁棒控制律如下:其中:是θa,2的估计量;同样利用投影算子设计其自适应律来保证未知参量的有界性,至此,原系统(43)、虚拟控制律和实际控制律(44)(47)以及参数自适应律(46)(49)共同构成了闭环系统,仿真结果如图1–6所示.图1 系统的实际输出y及跟踪目标ydFig.1 System actual outputyand tracking objectiveyd图2 系统的状态轨迹x2Fig.2 The trajectory of statex2图3 系统的输出跟踪误差S1Fig.3 The trajectory of output tracking errorS1图4 系统的控制输入轨迹uFig.4 The trajectory of control inputu图5 自适应参数,的相位图Fig.5 Phase portrait ofand图6 Nussbaum增益N(ζ)及其变量ζ(t)Fig.6 Nussbaum gainN(ζ)and it’s argumentζ(t)图示仿真结果表明:所设计的自适应鲁棒控制器能够在保证不破坏状态约束的前提下实现系统的鲁棒跟踪控制,且闭环系统中的所有信号都是有界的.例2 本例通过对倒立摆的控制来验证本文的控制方案.倒立摆系统的状态方程如下:其中:x1,x2为状态向量,分别表示倒立摆与垂直方向的夹角及角速度;u是控制输入,代表对小车的作用力,m是倒立摆的质量,M是小车的质量,2l是倒立摆的长度,本例的控制目标为设计控制律使得倒立摆与垂直方向的夹角稳定在π/4附近,即跟踪目标yd=π/4.同时在运行过程中始终满足状态约束条件:|x1|＜π/2,|x2|＜π/2.在仿真中取g=9.8 m/s2,m=0.21kg,M=0.45kg,2l=0.65 m,K1=K2=10,仿真结果见图7–9.图7 系统的状态轨迹x1,x2Fig.7 The trajectory of statesx1andx2图8 系统的控制输入轨迹uFig.8 The trajectory of control inputu图9 Nussbaum增益N(ζ)及其变量ζ(t)Fig.9 Nussbaum gainN(ζ)and it’s argumentζ(t)从仿真结果可以看出,倒立摆角度最终稳定在π/4附近,并且在运行过程中满足状态约束条件:|x1|＜π/2,|x2|＜π/2,即倒立摆角度及角加速度均小于π/2.5 结论(Conclusions)针对带有完全未知的时变控制系数和扰动的一类不确定全状态约束非线性系统(1),本文设计了一种新的基于BLF,Nussbaum增益技术以及投影算法的反演自适应鲁棒非线性控制方案.通过构造BLF保证了系统在运行过程中状态始终满足约束条件;光滑投影算法确保时变参数的自适应估计有界;Nussbaum增益技术解决了控制方向未知的问题.应用Lyapunov函数和相关的引理,在理论上证明了所提出的自适应鲁棒控制律通过恰当地选取设计参数,可在满足状态约束条件的前提下使系统的输出跟踪误差收敛于0的任意小的邻域内,同时保证最终的闭环系统所有信号有界.最后,仿真结果说明了所提出的自适应鲁棒控制方案的有效性.参考文献(References):【相关文献】[1]HE W,CHEN Y,YIN Z.Adaptive neural network control of an uncertain robot with full-state constraints[J].IEEE Transactions on Cybernetics,2015,46(3):620–629.[2]YAN F,WANG J.Fuel-assisted in-cylinder oxygen fraction transient trajectory shaping control for diesel engine combustion mode switching[C]//American Control Conference.San Francisco:IEEE,2011:1573–1578.[3]ZHANG Z C,WU Y Q,HUANG J M.Differential- flatness-based f i nite-time anti-swing control of underactuated crane systems[J].Nonlinear Dynamics,2017,87(3):1749–1761. 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