向量的概念及基本运算PPT课件
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“高一数学必修2-向量课件”
向量的模和单位向量可以用于计 算距离和方向。
参数方程
参数方程是用参数来表示向量的方程。
向量方程的应用
平面的解析式
可以用向量方程来表示平面。
代数方程的转化
向量方程可以将代数方程转 化为几何问题。
其他应用
向量方程在物理、工程和计 算机图形学中有广泛应用。
向量的模、单位向量及其应用
向量模
向量的模等于向量的长度。
单位向量
单位向量是模为1的向量。
应用举例
高一数学必修2——向量 课件
本课件介绍高一数学必修2的向量部分内容，包括向量的定义及基本概念，表 示和运算，共线和共面的判定，数量积和夹角的性质，向量在平面内的投影 及应用，叉乘的运算规则和几何意义，以及向量空间的基本概念。
向量的表示和运算
向量表示
向量加法
向量可以用有向线段或坐标表示。 向量加法满足交换律和结合律。
应用举例
向量投影可以用来计算物体 在斜面上的重力分量。
向量叉乘及其运算规则
叉乘定义
叉乘是两个向量的积的向量。
叉乘运算规则
叉乘满足右手法则和分配律。
向量叉乘的几何意义以及应用
1
几何意义
叉乘的模等于由两个向量所确定的平行
应用举例
2
四边形的面积。
叉乘可以用来计算平行四边形的面积和
判定三个向量共面。
3
补充知识
可以通过叉乘来计算向量的混合积。
平面向量和向量组的线性运算
线性组合
线性组合是指多个向量与对应的系数相乘再求和的 过程。
向量组的线性相关和线性无关
线性相关和线性无关描述向量组中向量之间的关系。
向量空间的基本概念和性质
1 向量空间定义
参数方程
参数方程是用参数来表示向量的方程。
向量方程的应用
平面的解析式
可以用向量方程来表示平面。
代数方程的转化
向量方程可以将代数方程转 化为几何问题。
其他应用
向量方程在物理、工程和计 算机图形学中有广泛应用。
向量的模、单位向量及其应用
向量模
向量的模等于向量的长度。
单位向量
单位向量是模为1的向量。
应用举例
高一数学必修2——向量 课件
本课件介绍高一数学必修2的向量部分内容，包括向量的定义及基本概念，表 示和运算，共线和共面的判定，数量积和夹角的性质，向量在平面内的投影 及应用，叉乘的运算规则和几何意义，以及向量空间的基本概念。
向量的表示和运算
向量表示
向量加法
向量可以用有向线段或坐标表示。 向量加法满足交换律和结合律。
应用举例
向量投影可以用来计算物体 在斜面上的重力分量。
向量叉乘及其运算规则
叉乘定义
叉乘是两个向量的积的向量。
叉乘运算规则
叉乘满足右手法则和分配律。
向量叉乘的几何意义以及应用
1
几何意义
叉乘的模等于由两个向量所确定的平行
应用举例
2
四边形的面积。
叉乘可以用来计算平行四边形的面积和
判定三个向量共面。
3
补充知识
可以通过叉乘来计算向量的混合积。
平面向量和向量组的线性运算
线性组合
线性组合是指多个向量与对应的系数相乘再求和的 过程。
向量组的线性相关和线性无关
线性相关和线性无关描述向量组中向量之间的关系。
向量空间的基本概念和性质
1 向量空间定义
7.1向量的基本概念及其运算
ab
ab
[核心思想方法] 1、定义法 2、数形结合
3、化归与转化
[典型例题]
例1、计算 （1） 2(2a b) 7(3a b)
2 3(a 3b 3c) 5(2a 2b c)
解：（1）原式 4a 2b 21a 7b 25a 5b
（2）原式 3a 9b 9c 10a 10b 5c
证明： BD CD CB （3 e1-e2）-（-2e1-8e2）=5e1+5e2
=5（e1+e2）=5AB BD / / AB .
B点为公共点， A、B、D三点共线。
点评：根据向量平行的充要条件证明三点共线。
例5、已知a、b是两个非零向量 ，若a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直， 求a、b的夹角。
例5、已知a、b是两个非零向量 ，若a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，
求a、b的夹角。
解：由题意得 （ (aa+-43bb）)((77aa--52bb）)=00
7a2 +16a
7a
2
30a
b
2
15b
=0
b
2
8b
=0
(1) (2)
由(1)
(2)得46a b
2
23b
0,
即b2 =2a
3）平行向量：
如果两个向量 a, b 的方向相同或相反， 则把这一对向量叫做平行向量。 记作 a / /b. 平行向量也叫共线向量。 规定零向量平行于任意向量。
4）共面向量： 如果把几个向量的始点移到某个平面，它们的终点也都在这个平面内，
把这些向量叫做共面向量。
如果两个向量 a, b 不共线，则向量 c与向量 a, b 共面的充要条件是：
空间向量及其运算课件 课件
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 , C(x, y)是AB的中点，则
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
向量的加法课件(公开课获奖课件)
要点二
性质
数乘满足交换律和结合律，即k*(a+b)=k*a+k*b， (k+l)*a=k*a+l*a。
数乘的几何意义
表示伸缩
数乘可以表示向量在坐标轴上的伸缩，当k>0时，表示 向量在原方向上放大；当k<0时，表示向量在原方向上 缩小。
表示旋转
通过数乘可以将向量绕原点旋转一定的角度，旋转角度 与k的绝对值成正比。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分 力，分力的方向和大小同样可以 通过向量加法得到。
速度与加速度的研究
速度的合成
当物体在多个方向上运动时，其速度可以看 作是各个方向上速度的向量和，即速度的合 成。
加速度的研究
加速度的大小表示速度变化的快慢，方向表 示速度变化的方向，可以通过向量加法来研 究加速度的方向和大小。
交换律是指向量加法的结果不依赖于向量的顺序，即向量加法满足可交换性。
详细描述
交换律是向量加法的基本性质之一，它表明向量加法不具有方向性。无论向量是按什么顺序相加，其 结果都是相同的。例如，向量$vec{A} + vec{B}$和向量$vec{B} + vec{A}$是相等的。
结合律
总结词
结合律是指向量加法的结果不依赖于括 号的位置，即向量加法满足可结合性。
题目2
已知点$O(0,0)$，点$A(3,5)$，点$B( - 2, - 1)$，求 $overset{longrightarrow}{OA} + overset{longrightarrow}{OB}$。
综合练习题
• 总结词：综合运用向量加法的知识解决复杂问题
• 题目1：已知点$A(1,2)$，点$B(3,4)$，点$C(5,6)$，点$D(7,8)$，求证：四边形ABCD是平行四边形。 • 题目2：已知$\overset{\longrightarrow}{a} = (1,2)$，$\overset{\longrightarrow}{b} = (3, - 1)$，
《向量代数》课件
详细描述
向量的向量积定义为两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的模长之积与它们夹角的正弦值的乘积，记作$mathbf{A} times mathbf{B}$。其几何意义是向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$所围成的平行四边形的面积。
总结词：向量的混合积是三个向量之间的混合乘积，其结果是一个标量。
VS
矩阵是实现向量线性变换的一种常用工具，它可以表示和操作向量的变换。
详细描述
矩阵是实现向量线性变换的一种常用工具，它可以表示和操作向量的变换。设有一组向量$mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_n$经过线性变换得到一组新的向量$mathbf{w}_1, mathbf{w}_2, ldots, mathbf{w}_n$，这个变换可以用一个矩阵表示，即$[mathbf{w}] = [mathbf{v}]A$，其中$A$是一个矩阵。
向量的模是描述向量大小的量，掌握向量的模的计算方法是学习向量代数的重要内容。
总结词
向量的模是指从原点到该向量的有向线段的长度。在二维空间中，向量的模可以用勾股定理计算；在三维空间中，向量的模则可以用勾股定理的推广计算。向量的模具有一些基本性质，如非负性、齐次性、三角不等式等。
详细描述
总结词
向量的加法与数乘是向量代数中的基本运算，掌握这些运算法则是理解向量代数的重要基础。
《向量代数》ppt课件
Contents
目录
向量代数概述向量的数量积与向量积向量的线性变换向量的空间几何意义向量代数在实际问题中的应用
向量代数概述
总结词
向量的定义与表示是学习向量代数的基础，需要掌握向量的基本概念和表示方法。
详细描述
向量的向量积定义为两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的模长之积与它们夹角的正弦值的乘积，记作$mathbf{A} times mathbf{B}$。其几何意义是向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$所围成的平行四边形的面积。
总结词：向量的混合积是三个向量之间的混合乘积，其结果是一个标量。
VS
矩阵是实现向量线性变换的一种常用工具，它可以表示和操作向量的变换。
详细描述
矩阵是实现向量线性变换的一种常用工具，它可以表示和操作向量的变换。设有一组向量$mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_n$经过线性变换得到一组新的向量$mathbf{w}_1, mathbf{w}_2, ldots, mathbf{w}_n$，这个变换可以用一个矩阵表示，即$[mathbf{w}] = [mathbf{v}]A$，其中$A$是一个矩阵。
向量的模是描述向量大小的量，掌握向量的模的计算方法是学习向量代数的重要内容。
总结词
向量的模是指从原点到该向量的有向线段的长度。在二维空间中，向量的模可以用勾股定理计算；在三维空间中，向量的模则可以用勾股定理的推广计算。向量的模具有一些基本性质，如非负性、齐次性、三角不等式等。
详细描述
总结词
向量的加法与数乘是向量代数中的基本运算，掌握这些运算法则是理解向量代数的重要基础。
《向量代数》ppt课件
Contents
目录
向量代数概述向量的数量积与向量积向量的线性变换向量的空间几何意义向量代数在实际问题中的应用
向量代数概述
总结词
向量的定义与表示是学习向量代数的基础，需要掌握向量的基本概念和表示方法。
详细描述
6.2平面向量的运算课件共40张PPT
故选 B.
→
→
→
→
即时训练 3-2:在四边形 ABCD 中,=,若||=||,则四边形 ABCD 的
形状为
.
→
→
解析:由=,可得四边形 ABCD 为平行四边形,
→
→
由||=||,可得邻边相等,此平行四边形是菱形,
所以四边形 ABCD 为菱形.
答案:菱形
→
→
→
→
[备用例 3] 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|-|=|-+
探究点二
向量加法运算律的应用
[例 2] 化简:
→
→
(1)+;
→
→
→
→
→
解:(1)+=+=.
[例 2] 化简:
→
→
→
(2)++;
→
→
→
→
→
→
解:(2)++=++
→
→
→
=(+)+
→→Biblioteka =+=0.
[例 2] 化简:
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
解:(2)原式=--+=(-)+(-)=+=0.
→
→
→
[备用例 2] 化简:--.
→
→
→
→
→
→
解:法一 --=-=.
→
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即时训练 3-2:在四边形 ABCD 中,=,若||=||,则四边形 ABCD 的
形状为
.
→
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解析:由=,可得四边形 ABCD 为平行四边形,
→
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由||=||,可得邻边相等,此平行四边形是菱形,
所以四边形 ABCD 为菱形.
答案:菱形
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[备用例 3] 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|-|=|-+
探究点二
向量加法运算律的应用
[例 2] 化简:
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(1)+;
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解:(1)+=+=.
[例 2] 化简:
→
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(2)++;
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解:(2)++=++
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=(+)+
→→Biblioteka =+=0.
[例 2] 化简:
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解:(2)原式=--+=(-)+(-)=+=0.
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[备用例 2] 化简:--.
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解:法一 --=-=.
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《向量的加减法》课件
《向量的加减法》PPT课 件
欢迎来到《向量的加减法》课件！在本课程中，我们将深入探讨向量的定义、 加法、减法、平移和线性组合等概念。
1. 概述
向量是一个常见且重要的数学概念，它既可以用于表示物理量，也可以用于 描述几何关系。本节将介绍向量的定义和基本性到一个新的向量。我们将讨论加法的几何意义、计算方法和运算规律。
3. 向量的减法
向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去，从而得到一个新的向量。 我们将探讨减法的几何意义、计算方法和运算规律。
4. 向量的平移
向量的平移是指将一个向量从一个点移动到另一个点，从而得到一个平移后 的向量。我们将研究平移的定义、几何意义和计算方法。
5. 向量的线性组合
向量的线性组合是指用标量乘以向量再相加的运算。我们将介绍线性组合的 定义、概念、计算方法和应用。
6. 例题解析
通过解析一些实例题，我们将加深对向量加减法、平移和线性组合的理解， 并学会如何应用这些概念解决实际问题。
7. 总结
在本课程的总结中，我们将回顾重点概念、整理知识点，并提供学习建议，帮助你更好地掌握向量的加减法。
欢迎来到《向量的加减法》课件！在本课程中，我们将深入探讨向量的定义、 加法、减法、平移和线性组合等概念。
1. 概述
向量是一个常见且重要的数学概念，它既可以用于表示物理量，也可以用于 描述几何关系。本节将介绍向量的定义和基本性到一个新的向量。我们将讨论加法的几何意义、计算方法和运算规律。
3. 向量的减法
向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去，从而得到一个新的向量。 我们将探讨减法的几何意义、计算方法和运算规律。
4. 向量的平移
向量的平移是指将一个向量从一个点移动到另一个点，从而得到一个平移后 的向量。我们将研究平移的定义、几何意义和计算方法。
5. 向量的线性组合
向量的线性组合是指用标量乘以向量再相加的运算。我们将介绍线性组合的 定义、概念、计算方法和应用。
6. 例题解析
通过解析一些实例题，我们将加深对向量加减法、平移和线性组合的理解， 并学会如何应用这些概念解决实际问题。
7. 总结
在本课程的总结中，我们将回顾重点概念、整理知识点，并提供学习建议，帮助你更好地掌握向量的加减法。
数学人教A版选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算共20张ppt
ab
c
一.空间向量的概念
相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量， 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过 平移使它们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不 共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空问向量都可以平移到同一个 平面内，成为同一平面内的两个向量。
一.空间向量的概念
空间中具有大小和方向的量叫做空间向量， 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
表示：用字母a，b，c，…表示，或用有向线段表示， 有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B， 则a也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.
A
a B A
C
O
B
一.空间向量的概念
特殊向量
A 零向量：规定长度为0的向量叫零向量，
A1A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
An 1
An A2
A3
A4
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终 点的向量．
二.空间向量的线性运算
在空间中，任意两个向量都可以平 移到同一个平面内，所以空间向量的 加法和减法运算与平面向量相同.
（2）空间向量的减法运算： AB OB OA
注：起点相同，差向量为减向量终点指向被减向量的终点
二.空间向量的线性运算
数乘运算
实数与向量a的积是一个向量，这种 运算叫向量的数乘 . 记作 a，它的长度和方向规定 如下： (1) a a ; (2)当 0时， a的方向与a的方向相同；
当 0时， a的方向与a的方向相反； 当 0时， a 0.
向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算.
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(2)零向量： 长度为0的向量，记作0 .
(3)单位向量： 长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量： 方向相同或相反的非零向量.
(5)相等向量： 长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量： 长度相等且方向相反的向量.
2020/11/13
3
例题分析
例1.判断下列命题是否正确，不正确的说明理由
(1)若 a与 同b 向， 且 a b , 则 a b ( ╳ )
2020/11/13
17
例题分析
例4.在△ABC中，点D是BC的中点，点N在
边AC上且AN＝2NC，AD与BN相交于点P，
若CAa，CBb，试用a 、b 表示C P .
A
N P
B
D
C
2020/11/13
18
2.分析：
A
O A O B O B O C
O B (O A O C ) 0
O BC A0
(3)两个非零向量垂直的充要条件
① a ⊥b ab0
②若 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
则 a ⊥b x1x2 y1y2 0
2020/11/13
12
例题分析
例2.已知 a＝(1，2)， ＝b (－3，2)，
①当k为何值时，ka与b a垂3直b？ ②当k为何值时，ka与b a平3行b？
几何意义：
a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos 的乘积
坐标表示：设 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
a b x1x2 y1y2
2020/11/13
9
3.平面向量之间的关系
（1）两个向量相等的两种形式
①abab且 a 与 b 方 向 相 同
②若 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
又 A 与B B有D公共点B
∴A、B、D三点共
线 2020/11/13
14
例3.已知向量 e1、e 2 不共线，
①若ABe1e2，BC2e18e2 ，CD3e13e2; 求证：A、B、D三点共线；
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
提示:② 若向量 e1 e2与 e1 e2 共线
O
OB⊥ C A
B
C
同理可证：
OC⊥ A B O A ⊥ B C
2020/11/13
19
5.
D
C
N
M
A
（5题图） B
分析： A C A B A D a b
CN1AC1(ab)
4
4
M N M C C N
2020/11/13
1b1(ab) 1 (b a)
24
4
20
总结
**正确理解概念的基础上，掌握两个向量 的相等、平行、垂直的充要条件，并能熟 练运用向量的几何形式与代数形式进行运 算，
∴存在实数k 使 e 1 e 2 （ ke 1 -e 2 ）
根据向量相等的条件
k
1
k
2020/11/13
15
例3.已知向量 e1、e 2 分别是直角坐标系内与
x轴、y轴方向相同的两个单位向量， ①若ABe1e2，BC2e18e2 ，CD3e13e2;
求证：A、B、D三点共线；
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
向量的基本 概念与运算
2020/11/13
1
平面向量复习
向量及相关概念
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
实数与向量的积
运算
共线向量定理 平行的充要条件
向量的数量积
垂直的充要条件
平面向量的基本定理
1.向量及相关概念
向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
(1)向量的模： 向量的大小也就是向量的长度称 为向量的模.
① a 是 一 个 向 量 , 且aa
② 0时,a与a同向; 0 时 ,a 与 a 反 向 ;
0时, a 0
几何意义： 实质就是向量的伸长与缩短
坐标表示：若 a (x ,y ), 则 a (x, y)
24）两个非零向量的数量积
a b a b cos
2020/11/13
5
2.向量的基本运算
（1）向量的加法
几何运算： 三角形法则
C
平行四边形法则
B
C
A
B
O
A
A B + B C A C O A O B O C
代数运算：设 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
则ab( x 1 x 2 , y 1 y 2 )
2020/11/13
**理解共线向量定理、平面向量的基本定 理，并能简单应用，解题时注意数与形的 结合.
2020/11/13
6
2.向量的基本运算
（2）向量的减法
几何运算： 三角形法则
B
B A O A O B
O
A
代数运算：设 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
则ab( x 1 x 2 , y 1 y 2 )
2020/11/13
7
2.向量的基本运算
( 3 ) 实 数 与 a 的 乘 积
则 abx1x2,且 y1y2
2020/11/13
10
3.平面向量之间的关系
(2)向量平行(共线)充要条件
① a ∥ b(b 0)
有且只有一个实数 使得 ab
②若 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
则 a ∥b x1y2 x2y1 0
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3.平面向量之间的关系
平行时它们是同向还是反向?
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例3.已知向量 e1、e 2 不共线，
①若ABe1e2，BC2e18e2 ，CD3e13e2; 求证：A、B、D三点共线；
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
提示:
① B D B C C D 5(e1 e2) 5AB
AB∥B D
(2)对于任意向量 a b , 且 a 与 方b 向相同，
则a b (√)
(3)所有的单位向量都相等. ( ╳ )
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(4)零向量与任意向量都平行. ( √ )
(5)向量 A与B 是C D共线向量,则A、B、C、D
四点共线.
(╳)
(6)如果 a ∥，b b ，∥则c . a ∥ c ( ╳ )
提示:
AB(1,1)
BC(2,8)
CD(3,3)
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4.平面向量基本定理 平面向量的基本定理
如果 e 1 是, e同2 一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，
有且只有一对实数1,使2, a1e12e2
不共线的向量 e 1 , e 2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
(3)单位向量： 长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量： 方向相同或相反的非零向量.
(5)相等向量： 长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量： 长度相等且方向相反的向量.
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例题分析
例1.判断下列命题是否正确，不正确的说明理由
(1)若 a与 同b 向， 且 a b , 则 a b ( ╳ )
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例题分析
例4.在△ABC中，点D是BC的中点，点N在
边AC上且AN＝2NC，AD与BN相交于点P，
若CAa，CBb，试用a 、b 表示C P .
A
N P
B
D
C
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2.分析：
A
O A O B O B O C
O B (O A O C ) 0
O BC A0
(3)两个非零向量垂直的充要条件
① a ⊥b ab0
②若 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
则 a ⊥b x1x2 y1y2 0
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例题分析
例2.已知 a＝(1，2)， ＝b (－3，2)，
①当k为何值时，ka与b a垂3直b？ ②当k为何值时，ka与b a平3行b？
几何意义：
a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos 的乘积
坐标表示：设 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
a b x1x2 y1y2
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3.平面向量之间的关系
（1）两个向量相等的两种形式
①abab且 a 与 b 方 向 相 同
②若 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
又 A 与B B有D公共点B
∴A、B、D三点共
线 2020/11/13
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例3.已知向量 e1、e 2 不共线，
①若ABe1e2，BC2e18e2 ，CD3e13e2; 求证：A、B、D三点共线；
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
提示:② 若向量 e1 e2与 e1 e2 共线
O
OB⊥ C A
B
C
同理可证：
OC⊥ A B O A ⊥ B C
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5.
D
C
N
M
A
（5题图） B
分析： A C A B A D a b
CN1AC1(ab)
4
4
M N M C C N
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1b1(ab) 1 (b a)
24
4
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总结
**正确理解概念的基础上，掌握两个向量 的相等、平行、垂直的充要条件，并能熟 练运用向量的几何形式与代数形式进行运 算，
∴存在实数k 使 e 1 e 2 （ ke 1 -e 2 ）
根据向量相等的条件
k
1
k
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例3.已知向量 e1、e 2 分别是直角坐标系内与
x轴、y轴方向相同的两个单位向量， ①若ABe1e2，BC2e18e2 ，CD3e13e2;
求证：A、B、D三点共线；
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
向量的基本 概念与运算
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平面向量复习
向量及相关概念
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
实数与向量的积
运算
共线向量定理 平行的充要条件
向量的数量积
垂直的充要条件
平面向量的基本定理
1.向量及相关概念
向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
(1)向量的模： 向量的大小也就是向量的长度称 为向量的模.
① a 是 一 个 向 量 , 且aa
② 0时,a与a同向; 0 时 ,a 与 a 反 向 ;
0时, a 0
几何意义： 实质就是向量的伸长与缩短
坐标表示：若 a (x ,y ), 则 a (x, y)
24）两个非零向量的数量积
a b a b cos
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2.向量的基本运算
（1）向量的加法
几何运算： 三角形法则
C
平行四边形法则
B
C
A
B
O
A
A B + B C A C O A O B O C
代数运算：设 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
则ab( x 1 x 2 , y 1 y 2 )
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**理解共线向量定理、平面向量的基本定 理，并能简单应用，解题时注意数与形的 结合.
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2.向量的基本运算
（2）向量的减法
几何运算： 三角形法则
B
B A O A O B
O
A
代数运算：设 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
则ab( x 1 x 2 , y 1 y 2 )
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2.向量的基本运算
( 3 ) 实 数 与 a 的 乘 积
则 abx1x2,且 y1y2
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3.平面向量之间的关系
(2)向量平行(共线)充要条件
① a ∥ b(b 0)
有且只有一个实数 使得 ab
②若 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
则 a ∥b x1y2 x2y1 0
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3.平面向量之间的关系
平行时它们是同向还是反向?
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例3.已知向量 e1、e 2 不共线，
①若ABe1e2，BC2e18e2 ，CD3e13e2; 求证：A、B、D三点共线；
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
提示:
① B D B C C D 5(e1 e2) 5AB
AB∥B D
(2)对于任意向量 a b , 且 a 与 方b 向相同，
则a b (√)
(3)所有的单位向量都相等. ( ╳ )
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(4)零向量与任意向量都平行. ( √ )
(5)向量 A与B 是C D共线向量,则A、B、C、D
四点共线.
(╳)
(6)如果 a ∥，b b ，∥则c . a ∥ c ( ╳ )
提示:
AB(1,1)
BC(2,8)
CD(3,3)
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4.平面向量基本定理 平面向量的基本定理
如果 e 1 是, e同2 一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，
有且只有一对实数1,使2, a1e12e2
不共线的向量 e 1 , e 2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底