专题七 一次函数中的构造等腰直角三角形法 2020年中考数学冲刺难点突破 一次函数问题(解析版)

2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题专题七一次函数中的构造等腰直角三角形法1、如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA；2、已如，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），点C在y轴上，作直线AC．点B关于直线AC的对称点B′刚好在x轴上，连接CB′．（1）写出点B′的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式；（2）点D在线段AC上，连接DB、DB′、BB′，当△DBB′是等腰直角三角形时，求点D坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，到达点O时停止运动，连接PD，过D作DP的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．3、定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；（2）如图，已知点D是直线y＝+2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”．①求y与x的函数关系式；①若直线DM与x轴相交于点F，当①MEF为直角三角形时，求点D的坐标．4、如图，过点A（1，3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点．（1）求k的值；（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E．（i）若直线l把①BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；（①）连接AD，若①ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标．5、建立模型：如图1，等腰Rt①ABC中，①ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD①ED于D，过C作CE①ED于E．则易证①ADB①①BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜的线段AB和直角①ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用．模型应用：（1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），①ABC是等腰直角三角形．①若①ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；①若AB为直角边，求点C的坐标；（2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若①MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标．6、如图1，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知点C（﹣2，0）．（1）求出点A，点B的坐标．（2）P是直线AB上一动点，且①BOP和①COP的面积相等，求点P坐标．（3）如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点A1B1，过点C作平行于y轴的直线m，在直线m 上是否存在点Q，使得①A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．7、如图1，等腰直角三角形ABC中，①ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD①DE于点D，过B作BE①DE于点E，则①BEC①①CDA，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）如图2，当k＝﹣1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD 的长；（2）如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若①ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，求OQ长的最小值．8、【模型建立】（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△CDA≌△BEC．【模型运用】（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式．【模型迁移】如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．9、如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C（m，0）在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x 轴于点E．（1）求m和b的数量关系；（2）当m＝1时，如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点B′的坐标及△BCD平移的距离；（3）在（2）的条件下，直线AB上是否存在一点P，以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，写出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．10、如图，已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求△AOB的面积：（2）在y轴上找一点C，使AC+BC最小，求最小值及C点坐标．（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动，点Q从B点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当△BPQ为等腰三角形时，求Q点坐标．11、一边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，其中O为原点，点A、B分别在x轴、y轴上，D为射线OB上任意一点．（1）如图1，若点D坐标为（0，2），连接AD交OC于点E，则△AOE的面积为；（2）如图2，将△AOD沿AD翻折得△AED，若点E在直线y＝x图象上，求出E点坐标；（3）如图3，将△AOD沿AD翻折得△AED，DE和射线BC交于点F，连接AF，若∠DAO＝75°，平面内是否存在点Q，使得△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有点Q坐标；若不存在，请说明理由．2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题专题七一次函数中的构造等腰直角三角形法1、如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA；解：（1）由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等），∴OE＝AD，∵k＝﹣1，∴y＝﹣x+4，∴B（0，4），∴OB＝4，∵BE＝3，∴OE＝，∴AD＝；（2）k＝﹣时，y＝﹣x+4，∴A（3，0），①当BM⊥AB，且BM＝AB时，过点M作MN⊥y轴，∴△BMN≌△ABO（AAS），∴MN＝OB，BN＝OA，∴M（4，7）；②当AB⊥AM，且AM＝AB时，过点M作x轴垂线MK，∴△ABO≌△AMK（AAS），∴OB＝AK，OA＝MK，∴AK＝4，MK＝3，∴M（7，3）；③当AM⊥BM，且AM＝BM时，过点M作MH⊥x轴，MG⊥y轴，∴△BMG≌△AHM（AAS），∴BG＝AH，GM＝MH，∴GM＝MH，∴4﹣MH＝MH﹣3，∴MH＝，∴M（，）；综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；（3）当k＞0时，AO＝，过点Q作QS⊥y轴，∴△ABO≌△BQS（AAS），∴Q（4，4﹣），∴OQ＝，∴当k＝1时，QO最小值为4；当k＜0时，Q（4，4﹣），∴OQ＝，∴当k＝1时，QO最小值为4，与k＜0矛盾，∴OQ的最小值为4．2、已如，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），点C在y轴上，作直线AC．点B关于直线AC的对称点B′刚好在x轴上，连接CB′．（1）写出点B′的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式；（2）点D在线段AC上，连接DB、DB′、BB′，当△DBB′是等腰直角三角形时，求点D坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，到达点O 时停止运动，连接PD，过D作DP的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．解：（1）∵A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），∴OA＝6，OB＝8，∵∠AOB＝90°，∴AB＝10，∵B与B'关于直线AC对称，∴AC垂直平分BB'，∴BC＝CB'，AB'＝AB＝10，∴B'（﹣4，0），设点C（0，m），∴OC＝m，∴CB'＝CB＝8﹣m，∵在Rt△COB'中，∠COB'＝90°，∴m2+16＝（8﹣m）2，∴m＝3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），把A（6，0），C（0，3）代入可得k＝﹣，b＝3，∴y＝﹣x+3；（2）∵AC垂直平分BB'，∴DB＝DB'，∵△BDB'是等腰直角三角形，∴∠BDB'＝90°，过点D作DE⊥x轴，DF⊥y轴，∴∠DFO＝∠DFB＝∠DEB'＝90°，∵∠EDF＝360°﹣∠DFB﹣∠DEO﹣∠EOF，∠EOF＝90°，∴∠EDF＝90°，∴∠EDF＝∠BDB'，∴∠BDF＝∠EDB'，∴△FDB≌△EDB'（AAS），∴DF＝DE，设点D（a，a）代入y＝﹣x+3中，∴a＝2，∴D（2，2）；（3）同（2）可得∠PDF＝∠QDE，∵DF＝DE＝2，∠PDF＝∠QDE，∴△PDF≌△QDE（AAS），∴PF＝QE，①当DQ＝DA时，∵DE⊥x轴，∴QE＝AE＝4，∴PF＝QE＝4，∴BP＝BF﹣PF＝2，∴点P运动时间为1秒；②当AQ＝AD时，∵A（6，0）、D（2，2），∴AD＝2，∴AQ＝2，∴PF＝QE＝2﹣4，∴BP＝BF﹣PF＝10﹣2，∴点P的运动时间为5﹣秒；③当QD＝QA时，设QE＝n，则QD＝QA＝4﹣n，在Rt△DEQ中，∠DEQ＝90°，∴4+n2＝（4﹣n）2，∴n＝1.5，∴PF＝QE＝1.5，∴BP＝BF+PF＝7.5，∴点P的运动时间为3.75秒，∵0≤t≤4，∴t＝3.75，综上所述：点P的运动时间为1秒或5﹣秒或3.75秒．3、定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；（2）如图，已知点D是直线y＝+2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”．①求y与x的函数关系式；①若直线DM与x轴相交于点F，当①MEF为直角三角形时，求点D的坐标．解：（1）①3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，①点B是A、C的“美妙点”；（2）设点D（m，m+2），①①M是点D、E的“美妙点”．①x＝3（3+m）＝9+3m，y＝3（0+m+2）＝m+6，故m＝x﹣3，①y＝（x﹣3）+6＝x+3；①由①得，点M（9+3m，m+6），如图1，当①MEF为直角时，则点M（3，4），①9+3m＝3，解得：m＝﹣2；①点D（﹣2，）；当①MFE是直角时，如图2，则9+3m＝m，解得：m＝﹣，①点D（﹣，）；当①EMF是直角时，不存在，综上，点D（﹣2，）或（﹣，）．4、如图，过点A（1，3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点．（1）求k的值；（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E．（i）若直线l把①BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；（①）连接AD，若①ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标．解：（1）将点A的坐标代入一次函数y＝kx+6并解得：k＝﹣3；（2）一次函数y＝﹣3x+6分别与x轴，y轴相交于B，C两点，则点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，6）；（i）S①BCO＝OB×CO＝2×6＝6，直线l把①BOC分成面积比为1：2的两部分，则S①CDE＝2或4，而S①CDE＝×CD×x E＝4×x E＝2或4，则x E＝1或2，故点E（1，3）或（2，0），将点E的坐标代入直线l表达式并解得：直线l的表达式为：y＝±x+2；（①）设点E（m，﹣3m+6），而点A、D的坐标分别为：（1，3）、（0，2），则AE2＝（m﹣1）2+（3﹣3m）2，AD2＝2，ED2＝m2+（4﹣3m）2，当AE＝AD时，（m﹣1）2+（3﹣3m）2＝2，解得：m＝或；当AE＝ED时，同理可得：m＝；综上，点E的坐标为：（，）或（，）或（，）．5、建立模型：如图1，等腰Rt①ABC中，①ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD①ED于D，过C作CE①ED于E．则易证①ADB①①BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜的线段AB和直角①ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用．模型应用：（1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），①ABC是等腰直角三角形．①若①ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；①若AB为直角边，求点C的坐标；（2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若①MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标．解：（1）①过点C作CD①x轴于点D，①①BDC＝90°＝①AOB，①①BCD+①DCB＝90°，①①ABC＝90°，①①ABO+①DBC＝90°，①①ABO＝BCD，①AB＝BC，①①AOB①①BDC（AAS），DC＝OB＝3，BD＝OA＝4，故点C（7，3）；①若AB为直角边，则除了①的情况以外，另外一个点C（C′）与①中的C关于点B对称，故点C′（﹣1，﹣3）；故点C的坐标为：（7，3）或（﹣1，﹣3）；（2）如图2，当①MGP＝90°时，MG＝PG，过点P作PE①OM于E，过点G作GH①PE于H，①点E与点M重合，①GF＝AB＝4设G点坐标为（x，2x﹣6），6﹣（2x﹣6）＝4，得x＝4，易得G点坐标（4，2）；如图3，当①MGP＝90°时，MG＝PG时，同理得G点坐标（，），综上可知，满足条件的点G的坐标分别为（4，2）或（，）．6、如图1，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知点C（﹣2，0）．（1）求出点A，点B的坐标．（2）P是直线AB上一动点，且①BOP和①COP的面积相等，求点P坐标．（3）如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点A1B1，过点C作平行于y轴的直线m，在直线m 上是否存在点Q，使得①A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．解：（1）设y＝0，则x+2＝0，解得：x＝﹣4，设x＝0，则y＝2，①点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标的坐标为（0，2）；（2）①点C（﹣2，0），点B（0，2），①OC＝2，OB＝2，①P是直线AB上一动点，①设P（m，m+2），①①BOP和①COP的面积相等，①×2|m|＝2×（|m|+2），解得：m＝±4，当m＝﹣4时，点P与点A重合，①点P坐标为（4，4）；（3）存在；理由：如图1，①当点B1是直角顶点时，①B1Q＝B1A1，①①A1B1O+①QB1H＝90°，①A1B1O+①OA1B1＝90°，①①OA1B1＝①QB1H，在①A1OB1和①B1HQ中，，①①A1OB1①①B1HQ（AAS），①B1H＝A1O，OB1＝HQ＝2，①B1（0，﹣2）或（0，2），当点B1（0，﹣2）时，Q（﹣2，2），当点B1（0，2）时，①B（0，2），①点B1（0，2）（不合题意舍去），①直线AB向下平移4个单位，①点Q也向上平移4个单位，①Q（﹣2，2），①当点A1是直角顶点时，A1B1＝A1Q，①直线AB的解析式为y＝x+2，由平移知，直线A1B1的解析式为y＝x+b，①A1（﹣2b，0），B1（0，b），①A1B12＝4b2+b2＝5b2，①A1B1①A1Q，①直线A1Q的解析式为y＝﹣2x﹣4b①Q（﹣2，4﹣4b），①A1Q2＝（﹣2b+2）2+（4﹣4b）2＝20b2+40b+20，①20b2﹣40b+20＝5b2，①b＝2或b＝，①Q（﹣2，﹣4）或（﹣2，）；①当Q是直角顶点时，过Q作QH①y轴于H，①A1Q＝B1Q，①①QA1C1+①A1QC＝90°，①A1QC+①CQB1＝90°，①①QA1C＝①CQB1，①m①y轴，①①CQB1＝①QB1H，①①QA1C＝①QB1H在①A1QC与①B1QH中，，①①A1QC①①B1QH（AAS），①CQ＝QH＝2，B1H＝A1C，①Q（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），即：满足条件的点Q为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）或（﹣2，）．7、如图1，等腰直角三角形ABC中，①ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD①DE于点D，过B作BE①DE于点E，则①BEC①①CDA，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）如图2，当k＝﹣1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD 的长；（2）如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若①ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，求OQ长的最小值．解：（1）由题意可知：①BEO①①AOD（K型全等），①k＝﹣1，①y＝﹣x+4，①B（0，4），①OB＝4，①BE＝3，①OE＝，①AD＝；（2）k＝﹣时，y＝﹣x+4，①A（3，0），①当BM①AB，且BM＝AB时，过点M作MN①y轴，①①BMN①①ABO（AAS），①MN＝OB，BN＝OA，①MN＝4，BN＝3，①M（4，7）；①当AB①AM，且AM＝AB时，过点M作x轴垂线MK，①①ABO①①AMK（AAS），①OB＝AK，OA＝MK，①AK＝4，MK＝3，①当AM①BM，且AM＝BM时，过点M作MH①x轴，MG①y轴，①①BMG①①AHM（AAS），①BG＝AH，GM＝MH，①GM＝MH，①4﹣MH＝MH﹣3，①MH＝，①M（，）；综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；（3）当k＞0时，AO＝，过点Q作QS①y轴，①①ABO①①BQS（AAS），①BS＝OA，SQ＝OB，①Q（4，4﹣），①OQ＝，①当k＝1时，QO最小值为4；当k＜0时，Q（4，4﹣），①OQ＝，①当k＝1时，QO最小值为4，与k＜0矛盾，①OQ的最小值为4．8、【模型建立】（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△CDA≌△BEC．【模型运用】（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式．【模型迁移】如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．证明：【模型建立】（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠D＝∠E＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，且CA＝BC，∠D＝∠E＝90°∴△CDA≌△BEC（AAS）【模型运用】（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E∵直线y＝x+4与坐标轴交于点A、B，∴A（﹣3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，由（1）得△BOA≌△AED，∴DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，∴OE＝7，∴D（﹣7，3）设l2的解析式为y＝kx+b，得解得∴直线l2的函数表达式为：【模型迁移】（3）若点P在x轴正半轴，如图3，过点B作BE⊥OC，∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC∴BC＝4，∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，∴AP＝BP，∠APB＝30°，∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC，∴∠OAP＝∠BPC，且∠OAC＝∠PCB＝30°，AP＝BP，∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4，∴点P（4，0）若点P在x轴负半轴，如图4，过点B作BE⊥OC，∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC∴BC＝4，∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，∴AP＝BP，∠APB＝30°，∵∠APE+∠BPE＝30°，∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC，∴∠APE＝∠PBC，∵∠AOE＝∠BCO＝30°，∴∠AOP＝∠BCP＝150°，且∠APE＝∠PBC，PA＝PB∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4，∴点P（﹣4，0）综上所述：点P坐标为（4，0）或（﹣4，0）9、如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C（m，0）在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x 轴于点E．（1）求m和b的数量关系；（2）当m＝1时，如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点B′的坐标及△BCD平移的距离；（3）在（2）的条件下，直线AB上是否存在一点P，以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，写出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）直线y＝﹣x+b与y轴相交于B点，∴B（0，b）∴OB＝b，∵点C（m，0）∴OC＝m∵∠BCO+∠ECD＝90°，∠BCO+∠OBC＝90°，∴∠OBC＝∠ECD．在△OBC和△ECD中，∴△OBC≌△ECD（AAS）∴BO＝CE＝b，DE＝OC＝m，∴点D（b+m，m）∴m＝﹣（b+m）+b∴b＝3m（2）∵m＝1，∴b＝3，点C（1，0），点D（4，1）∴直线AB解析式为：y＝﹣x+3设直线BC解析式为：y＝ax+3，且过（1，0）∴0＝a+3∴a＝﹣3∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，设直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+c，把D（4，1）代入得到c＝13，∴直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+13，当y＝3时，x＝当y＝0时，x＝∴B′（，3），C'（，0）∴CC′＝，∴△BCD平移的距离是个单位．（3）当∠PCD＝90°，PC＝CD时，点P与点B重合，∴点P（0，3）如图，当∠CPD＝90°，PC＝PD时，∵BC＝CD，∠BCD＝90°，∠CPD＝90°∴BP＝PD∴点P是BD的中点，且点B（0，3），点D（4，1）∴点P（2，2）综上所述，点P为（0，3）或（2，2）时，以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形．10、如图，已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求△AOB的面积：（2）在y轴上找一点C，使AC+BC最小，求最小值及C点坐标．（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动，点Q从B点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当△BPQ为等腰三角形时，求Q点坐标．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．∴点B（7，0），﹣x+7＝x∴x＝3，∴点A（3，4）∴S△AOB＝×7×4＝14；（2）如图1，作点B关于y轴的对称点H（﹣7，0），连接AH，交y轴于点C，∴此时AC+BC最小值为AH，∵点A（3，4），点H（﹣7，0），∴AH＝＝2，∴AC+BC最小值为2，设直线AH解析式为：y＝kx+b，且过点A（3，4），点H（﹣7，0），∴，解得：∴直线AH解析式为：y＝x+；（3）如图2，过点Q作QE⊥OB，∵以同样的速度运动，∴BQ＝OP，∵一次函数y＝﹣x+7与y轴交于点D，∴点D（0，7），∴OD＝OB＝7，且∠DOB＝90°，∴∠DBO＝45°，且QE⊥OB，∴∠QBE＝∠EQB＝45°，∴QE＝BE，∴QB＝QE＝EB，若PB＝QB，且OP＝BQ，∴OP＝PB＝＝BQ，∴BE＝EQ＝，∴OE＝7﹣，∴点Q（7﹣，），若QP＝QB，且QE⊥OB，∴PE＝BE，∵OB＝7＝OP+PE+BE，∴7＝BE+2BE，∴BE＝＝QE，∴OE＝∴点Q（，），如图3，若BP＝PQ，过点P作PF⊥BQ，∴BF＝FQ＝BQ，∵∠ABO＝45°，PF⊥AB，∴∠FPB＝∠ABO＝45°，∴PF＝BF，∴PB＝BF，∴7﹣BQ＝∴BQ＝，∴BE＝QE＝，∴点Q坐标为（7﹣，）．11、一边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，其中O为原点，点A、B分别在x轴、y轴上，D为射线OB上任意一点．（1）如图1，若点D坐标为（0，2），连接AD交OC于点E，则△AOE的面积为；（2）如图2，将△AOD沿AD翻折得△AED，若点E在直线y＝x图象上，求出E点坐标；（3）如图3，将△AOD沿AD翻折得△AED，DE和射线BC交于点F，连接AF，若∠DAO＝75°，平面内是否存在点Q，使得△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有点Q坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，∴点A坐标（4，0），点C（4，4），∴直线OC解析式为：y＝x，∵点D坐标为（0，2），点A坐标（4，0），∴直线AD解析式为：y＝﹣x+2，∴解得：∴点E坐标（，）∴△AOE的面积＝×4×＝，故答案为：；（2）如图2，过点E作EH⊥OA，∵将△AOD沿AD翻折得△AED，∴AO＝AE＝4，设点E（a，a），∴OH＝a，EH＝a，∴AH＝4﹣a，∵AE2＝EH2+AH2，∴16＝a2+（4﹣a）2，∴a＝0（舍去），a＝，∴点E（，）（3）∵将△AOD沿AD翻折得△AED，∴∠DAO＝∠DAE＝75°，OA＝AE，∠DOA＝∠DEA＝90°，∴∠OAE＝150°，AE＝AC，∠ACF＝∠AED＝90°，∴∠CAE＝60°，∵AE＝AC，AF＝AF，∴Rt△AEF≌Rt△ACF（HL）∴∠CAF＝∠EAF＝30°，且AC＝4，∴CF＝，∵△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，∴若∠AFQ＝90°，AF＝FQ，如图3，过点Q作QN⊥BF，∴∠NQF+∠QFN＝90°，且∠QFN+∠AFC＝90°，∴∠NQF＝∠AFC，且∠ACF＝∠QNF＝90°，QF＝AF，∴△QNF≌△FCA（AAS）∴QN＝CF＝，AC＝NF＝4，∴点Q（，4+）同理可求：Q'（8+，4﹣），若∠FAQ＝90°，AF＝AQ时，同样方法可求，Q''（0，），Q'''（8，﹣）。