2020-2021学年河北省石家庄市正定中学高三(上)期中考试数学(文科)试题Word版含解析

2020-2021学年河北省石家庄市正定中学高三（上）期中考试数学（文科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i是虚数单位，若=2﹣i，则z的模为（）A．B．2 C．i D．12．如图，设全集为U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|x≤1}3．命题“∀x＞0，x2+x＞0“的否定是（）A．∃x＞0，使得x2+x＞0 B．∃x＞0，x2+x≤0C．∀x＞0，都有x2+x≤0 D．∀x≤0，都有x2+x＞04．已知平面向量=（0，﹣1），=（1，1），|λ+|=，则λ的值为（）A．3 B．2 C．3或﹣1 D．2或﹣15．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需要按墙上的空调造型摆出相同姿势才能穿墙而过，否则会被墙推入水池，类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空间，则该几何体为（）A． B．C．D．6．已知f（x）=sin2x+cos2x（x∈R），函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（）A．B．C．D．7．已知a，b＞0，且a≠1，b≠1，若logab＞1，则（）A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（b﹣a）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（a﹣1）（a﹣b）＞08．某零件的正视图与侧视图均是如图所示的图形（实线组成半径为2cm的半圆，虚线是底边上高为1cm的等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为2cm的圆（包括圆心），则该零件的体积是（）A．B．C．4πcm3D．9．已知函数f（x）=，当x1≠x2时，＜0，则a的取值范围是（）A．（0，] B．[，] C．（0，] D．[，]10．已知a，b，c均为正数，且（a+c）（b+c）=2，则a+2b+3c的最小值为（）A．B．2C．4 D．811．定义数列{an }的“项的倒数的n倍和数”为Tn=，已知Tn=（n∈N*），则数列{an}是（）A．单调递减的 B．单调递增的 C．先增后减的 D．先减后增的12．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设实数x，y满足，则z=3x﹣4y的最大值为．14．等比数列{an }的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为．15．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中m∈R，若，则f（5m）= ．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos2=sinA，sin（B﹣C）=4cosBsinC，则= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等比数列{an }的各项均为正数，a1=1，公比为q；等差数列{bn}中，b1=3，且{bn }的前n项和为Sn，a3+S3=27，q=．（Ⅰ）求{an }与{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{cn }满足cn=，求{cn}的前n项和Tn．18．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+2sin2（）﹣1（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为．（1）当时，求f（x）的单调递减区间；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．19．如图几何体中，长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且BC=2DE，DE∥BC，BD⊥AD，M为AB的中点．．（Ⅰ）证明：EM∥平面ACDF；（Ⅱ）证明：BD⊥平面ACDF．20．设数列{an }是公差大于0的等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S3=9，且2a1，a3﹣1，a4+1构成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn }满足=2n﹣1（n∈N*），设Tn是数列{bn}的前n项和，证明：Tn＜6．21．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．22．已知函数f（x）=xe x﹣alnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．2020-2021学年河北省石家庄市正定中学高三（上）期中考试数学（文科）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i是虚数单位，若=2﹣i，则z的模为（）A．B．2 C．i D．1【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由=2﹣i，得，∴z的模为1．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．2．如图，设全集为U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|x≤1}【分析】由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁B），然后利用集合的基本运算进行求解即R可．【解答】解：A={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，B={x|x≥1}．则∁R由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁B），RB）={x|1≤x＜2}，∴A∩（∁R故选B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用韦恩图确定集合关系，然后利用数轴求基本运算是解决此类问题的基本方法．3．命题“∀x＞0，x2+x＞0“的否定是（）A．∃x＞0，使得x2+x＞0 B．∃x＞0，x2+x≤0C．∀x＞0，都有x2+x≤0 D．∀x≤0，都有x2+x＞0【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：命题“∀x＞0，x2+x＞O“的否定是：∃x＞0，x2+x≤0．故选B．【点评】本题主要考查了命题的否定的写法，属于基础题．4．已知平面向量=（0，﹣1），=（1，1），|λ+|=，则λ的值为（）A．3 B．2 C．3或﹣1 D．2或﹣1【分析】根据题意，由向量、的坐标可得的坐标，进而由向量模的计算公式可得1+（1﹣λ）2=5，解得λ的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（0，﹣1），=（1，1），则=（1，1﹣λ），又由|λ+|=，即，有1+（1﹣λ）2=5，解得λ=3或﹣1，故选：C．【点评】本题考查向量的坐标运算，涉及向量模的计算，关键是求出的坐标．5．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需要按墙上的空调造型摆出相同姿势才能穿墙而过，否则会被墙推入水池，类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空间，则该几何体为（）A． B．C．D．【分析】由题意可知A中几何体具备题设要求：三视图分别为正方形，三角形，圆，即可得出结论．【解答】解：由题意可知A中几何体具备题设要求：三视图分别为正方形，三角形，圆，故选：A．【点评】本题考查三视图，考查学生分析解决问题的能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．6．已知f（x）=sin2x+cos2x（x∈R），函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（）A．B．C．D．【分析】化简函数，利用函数的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，可得结论．【解答】解：因为，函数的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，∴，故选D．【点评】本题考查正弦函数的对称性，考查学生的计算能力，正确化简函数是关键．7．已知a，b＞0，且a≠1，b≠1，若logab＞1，则（）A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（b﹣a）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（a﹣1）（a﹣b）＞0【分析】利用对数函数的性质即可求解．【解答】解：由loga b＞1⇒logab﹣1＞0即：loga b﹣logaa＞0∴loga ＞loga1当a＞1时，函数是增函数．则有：，即b＞a＞1．当1＞a＞0时，函数是减函数．则有：，即1＞a＞b＞0．考查各项答案，B正确，故选：B．【点评】本题考查了对数函数的性质的运用．属于基础题．8．某零件的正视图与侧视图均是如图所示的图形（实线组成半径为2cm的半圆，虚线是底边上高为1cm的等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为2cm的圆（包括圆心），则该零件的体积是（）A．B．C．4πcm3D．【分析】由三视图可知该零件为半球挖去一个同底的圆锥，由此能求出该零件的体积．【解答】解：由三视图可知该零件为半球挖去一个同底的圆锥，所以该零件的体积为：（cm3）．故选：C．【点评】本题考查几何体体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三视图、球、圆锥等知识点的合理运用．9．已知函数f（x）=，当x1≠x2时，＜0，则a的取值范围是（）A．（0，] B．[，] C．（0，] D．[，]【分析】由题意可得，函数是定义域内的减函数，故有，由此解得a的范围．【解答】解：∵当x1≠x2时，＜0，∴f（x）是R上的单调减函数，∵f（x）=，∴，∴0＜a≤，故选：A．【点评】本题主要考查函数的单调性的判断和单调性的性质，属于中档题．10．已知a，b，c均为正数，且（a+c）（b+c）=2，则a+2b+3c的最小值为（）A．B．2C．4 D．8【分析】根据条件可得到a+2b+3c=（a+c）+2（b+c），而a+c＞0，b+c＞0，并且（a+c）（b+c）=2，这样根据基本不等式便可求出a+2b+3c的最小值．【解答】解：∵a，b，c＞0，（a+c）（b+c）=2；∴=，当且仅当a+c=2（b+c）时取“=”；∴a+2b+3c的最小值为4．故选C．【点评】考查基本不等式求最值的方法，注意应用基本不等式所要具备的条件，及等号能否取到．11．定义数列{an }的“项的倒数的n倍和数”为Tn=，已知Tn=（n∈N*），则数列{an}是（）A．单调递减的 B．单调递增的 C．先增后减的 D．先减后增的【分析】求出n=1时数列{an }的首项，再由当n≥2时，Tn﹣Tn﹣1，求得数列{an}的通项公式，再判断单调性，运用分子常数化或作差法，即可得到单调性．【解答】解：当n=1时，，解得a1=2．当n≥2时，，所以，综上有，所以a1＞a2＞a3＞…，即数列{an}是单调递减的．（或用）．故选A．【点评】本题考查数列的单调性的判断，注意运用数列的递推式求得数列的通项公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b【分析】利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小．【解答】解：设h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+x•f′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+x•f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故选：C．【点评】本题考查如何构造新的函数，利用单调性比较大小，是常见的题目．本题属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设实数x，y满足，则z=3x﹣4y的最大值为 3 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用平移法进行求解即可．【解答】解：作出可行域，如图△ABC内部（含边界），作出直线l：3x﹣4y=0，平移直线l，当它过点C（1，0）时，z=3x﹣4y取得最大值3．故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件结合目标函数的几何意义，利用平移法是解决本题的关键．14．等比数列{an }的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S 2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{an }的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴an =a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．15．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中m∈R，若，则f（5m）= ．【分析】求出函数的周期，利用等式关系求出m，然后求解函数值．【解答】解：因为f（x+2）=f（x）⇒T=2．所以，f（5m）=f（﹣3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣．故答案为：．【点评】本题考查抽象函数的应用，分段函数的化简求值，考查计算能力．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos2=sinA，sin（B﹣C）=4cosBsinC，则= 1+．【分析】利用二倍角公式化简求出cosA=﹣，由余弦定理得a2=b2+c2+bc，将sin（B﹣C）=4cosBsinC展开得sinBcosC=5cosBsinC，利用正余弦定理将角化边，即可得出关于的一元二次方程，解出即可．【解答】解：在△ABC中，∵2cos2=sinA，∴1+cosA=sinA，∴1+2cosA+cos2A=sin2A=cos2A．∴cos2A+cosA+=0，解得cosA=﹣或cosA=﹣1（舍）．∴=﹣，∴a2=b2+c2+bc．∵sin（B﹣C）=4cosBsinC，∴sinBcosC=5cosBsinC．即bcosC=5ccosB．∴b×=5c×，即2a2+3c2﹣3b2=0．把a2=b2+c2+bc代入上式得2（b2+c2+bc）+3c2﹣3b2=0，即5c2﹣b2+2bc=0．∴﹣（）2+2+5=0，解得=1+或=1﹣（舍）．故答案为：1+．【点评】本题考查余弦定理、正弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等比数列{an }的各项均为正数，a1=1，公比为q；等差数列{bn}中，b1=3，且{bn }的前n项和为Sn，a3+S3=27，q=．（Ⅰ）求{an }与{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{cn }满足cn=，求{cn}的前n项和Tn．【分析】（Ⅰ）根据题意，设出等差数列{bn}的公差d，列出方程组求出公差与公比，即可写出{an }、{bn}的通项公式；（Ⅱ）由题意得出数列{cn }的通项公式，用裂项法即可求出{cn}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{bn}的公差为d，∵，∴，解得；…（4分）∴{an }的通项公式为an=3n﹣1，{bn }的通项公式为bn=3n…（6分）（Ⅱ）由题意得：Sn=，…（8分）∴数列{cn}的通项公式为cn==••=3（﹣），…（10分）∴{cn}的前n项和为Tn=3[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=…【点评】本题考查了等差与等比数列的定义、通项公式与前n项和公式的应用问题，也考查了裂项求和的应用问题，是综合性题目．18．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+2sin2（）﹣1（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为．（1）当时，求f（x）的单调递减区间；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性，求得f（x）的单调递减区间．（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数g（x）的值域．【解答】解：（1）由题意可得：函数f（x）=f（x）=sin（ωx+φ）+2sin2（）﹣1=sin （ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ﹣）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，∴φ﹣=kπ，k∈Z，∴φ=．∵相邻两对称轴间的距离为==，∴ω=2，f（x）=2sin2x．令2kπ+≤2x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．结合，可得f（x）的单调递减区间为[﹣，]．（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度，可得y=2sin（2x﹣）的图象；再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=2sin（4x﹣）的图象，当时，4x﹣∈[﹣]，此时，sin（4x﹣）∈[﹣1，]，求函数g （x）∈[﹣2，]．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，定义域和值域，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．19．如图几何体中，长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且BC=2DE，DE∥BC，BD⊥AD，M为AB的中点．．（Ⅰ）证明：EM∥平面ACDF；（Ⅱ）证明：BD⊥平面ACDF．【分析】（Ⅰ）取BC中点N，连结EN、MN，推导出平面EMN∥平面ACDF，由此能证明EM∥平面ACDF．（2）由已知AC⊥平面BCDE，从而AC⊥BD，再由BD⊥AD，AC∩AD=A，能证明BD⊥平面ACDF．【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点N，连结EN、MN，∵长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且BC=2DE，DE∥BC，BD⊥AD，M为AB的中点，∴EN∥CD，MN∥AC，∵EN∩MN=N，CD∩AC=C，EN，MN⊂平面EMN，CD，AC⊂平面ACDF，∴平面EMN∥平面ACDF，∵EM⊂平面EMN，∴EM∥平面ACDF．（2）∵长方形ACDF中，AC⊥CD，长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，∴AC⊥平面BCDE，∵BD⊂平面BCDE，∴AC⊥BD，∵BD⊥AD，AC∩AD=A，∴BD⊥平面ACDF．【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．设数列{an }是公差大于0的等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S3=9，且2a1，a3﹣1，a4+1构成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn }满足=2n﹣1（n∈N*），设Tn是数列{bn}的前n项和，证明：Tn＜6．【分析】（1）利用等差数列前n项和、通项公式和等比数列，列出方程组，求出首项与公差，由此能求出数列{an}的通项公式．（2）推导出bn =（2n﹣1）•21﹣n=（4n﹣2）•利用错位相减法求出数列{bn}的前n项和，由此能证明Tn＜6．【解答】解：（1）∵公差不为零的等差数列{an }的前3项和S3=9，得到a2=3，且2a1，a3﹣1，a4+1构成等比数列，∴得到未知数a2与d的方程组：，由d≠0，解得a1=1，d=2，∴an=2n﹣1．证明：（2）∵数列{bn}满足=2n﹣1（n∈N*），∴，∴bn=（2n﹣1）•21﹣n=（4n﹣2）•设Tn 是数列{bn}的前n项和，则Tn=2•+6+10•+14•+…+（4n﹣2）•，①=2+6…+（4n﹣2），②①﹣②，得：Tn=1+1+﹣=1+﹣（4n﹣2）•=3﹣，∴Tn=6﹣＜6．∴Tn＜6．【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和小于6的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．21．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．【分析】（Ⅰ）证明AE⊥BB1，AE⊥BC，BC∩BB1=B，推出AE⊥平面B1BCC1，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）取AB的中点G，说明直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面ABC，AE⊂底面ABC，∴AE⊥BB1，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）解：取AB的中点G，连结A1G，CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面A1ABB1，直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，则A1G=CG=，∴AA1==，CF=．三棱锥F﹣AEC的体积：×==．【点评】本题考查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．22．已知函数f（x）=xe x﹣alnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，由题意可得f′（1）=0，解方程可得a，由导数的单调性，结合f′（1）=0，可得f（x）的单调区间；（Ⅱ）讨论①当b≤0时，求得f（x）的最小值，可得结论成立；②当0＜b≤e时，设g（x）=xe x﹣2elnx﹣b（x2﹣2x+2），求出导数，构造函数h（x）=（x+1）e x﹣﹣2b（x﹣1），x＞0，求得导数，判断单调性，可得g（x）最小值，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=xe x﹣alnx的导数为f′（x）=（x+1）e x﹣，x＞0，依题意得f′（1）=0，即2e﹣a=0，解得a=2e．所以f′（x）=（x+1）e x﹣，显然f′（x）在（0，+∞）单调递增且f′（1）=0，故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．所以f（x）的递减区间为（0，1），递增区间为（1，+∞）．（Ⅱ）证明：①当b≤0时，由（Ⅰ）知，当x=1时，f（x）取得最小值为e．又b（x2﹣2x+2）的最大值为b，故f（x）≥b（x2﹣2x+2）；②当0＜b≤e时，设g（x）=xe x﹣2elnx﹣b（x2﹣2x+2），所以g′（x）=（x+1）e x﹣﹣2b（x﹣1），令h（x）=（x+1）e x﹣﹣2b（x﹣1），x＞0，则h′（x）=（x+2）e x+﹣2b，当x∈（0，1）时，﹣2b≥0，（x+2）e x＞0，所以h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，（x+2）e x﹣2b＞0，＞0，所以h′（x）＞0．所以当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0．，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（1）=0，所以当x∈（0，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当x=1时，g（x）取得最小值g（1）=e﹣b≥0，所以g（x）≥0，即f（x）≥b（x2﹣2x+2）．综上，当b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．【点评】本题主要考查函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，属于中档题．。