岩石的脆性破裂

根据弹性理论，在圆孔的顶部和底部存在量值为 −σ ∞ 的压应
力；在左右两侧存在量值为 3σ ∞ 的张应力。孔边上的应力远大于
远处的应力，发生了应力集中。对于椭圆孔（设其半长轴为 b和 c），在其端部应力为：
σ ≈ σ ∞ (1+ 2c / b)
端部处的曲率半径为 ρ = b2 / c
σ ≈ σ ∞[1+ 2(c / ρ )1/2 ]
在平衡点上，两种能量达到平衡。平衡条件是：
dU = 0 dc
Griffith 分析了在均匀张应力作用下杆的受力情况。 若长度为 y 、弹性模量为E 的单位横截面积杆受到的应
力为σ，则其应变能：
∫ U e
=
y 1 σε dy =
02
yσ 2
2E
如果杆内含有长度为2c的裂纹，可以证明（参见尹 祥础，1985）应变能将增加 πc2σ 2 / E ，因此，
比较 σ f
= ( Eγ )1/ 2
4c
与
σ f = (2Eγ / π c)1/2
这两个结果的密切吻合表明它们是裂纹扩展的充要条 件。Griffith 的热力学研究证明了裂纹的扩展条件，而 Orowan的计算证明了打开原子键的裂纹尖端的必要的应力 条件。
根据原子力的非简谐简化模型得到的典型 γ=Ea/30， 通常的观测值是E/500，这被解释为由于存在c≈1μm的裂 纹。在电子微观时代来临之前，这种裂纹被假设为普遍存在 的，称为Griffith裂纹。
破裂性质的两各物质参数。 Kc 有的时候被称作“断裂 韧度”， Gc被称作“断裂能”
下面考察一个简单但有用的情况：如左下图所示，在远离 裂纹施加均匀的应力。此时，应力强度因子是：
⎧ ⎪ ⎨
KI K II
= σ yy (πc)1/ 2 = σ xy (πc)1/ 2
⎪⎩K III = σ zy (πc)1/ 2
平面应力情况下所对应的裂纹扩展力是：
/
2+a
σ
t
sin[
2π
(r −
λ
a)
]
dr
= λσ t π
对小位移情形，当 r ≈ a 时，有
dσ = Edε = E d (r − a) (E, 杨氏模量)
a
dσ
d(r −
a)
=
E a
=
2π λ
σt
cos[
2π
(r −
λ
a)]
因为，(r − a) / λ << 1, cos[2π (r − a) / λ] → 1
现代脆性断裂理论起源于用原子理论来解释材料强度的出现的 困难。一般认为，强度是在给定条件下材料所能承受的最大应 力。断裂（或流动）必须包含原子键的破裂。故固体的理论强度 应是断开跨晶面上原子键所需要的应力。
原子力非简谐模型示意图
考虑左图所示的固体内原子 力的 非简谐简化模型：外加张
应力σ使原子间距偏离其平衡位
σ ij = Kn (2πr)−1/ 2 fij (θ )
Ui = (Kn / 2E)(r / 2π )1/2 fi (θ )
这里 r 是到裂纹尖端的距离，θ 是裂纹面到研究点间的夹角，如上图示。
Kn 是应力强度因子，取决于裂纹的类型。 K1 , K2 , K3 分别对应于I, II,
III型裂纹。裂纹强度因子取决于裂纹的几何形状和外载大小。对普通
σt
=
Eλ 2πa
σ = Eλ sin[ 2π (r − a)]
2πa
λ
当r = 3/2a时，原子正好位于两个平衡位置中间，根据对称性，
在该点σ= 0,
sin( a π ) = 0 λ
a≈λ
σt ≈ E / 2π
由此得比表面能（specific surface energy）γ:
∫ ∫ 2γ
=
λ / 2σ dr =
右图为Griffith 的研究系统： 一弹性体，内含有长度为2c裂 纹，外部边界上受到外载荷的作 用。
若裂纹扩展 δc ，外力将做
功W，弹性体内应变能的变化为 Ue，还有一部分能量Us消耗在新 表面的形成上。因此，静态裂纹 中系统的总能量U为：
U = (−W + Ue ) + U s
杆内裂纹扩展的Griffith模型
第二章 岩石的脆性破裂
岩石的脆性破裂是岩石形变的主要机制之一。
§2.1 理论概念
§2.1.1 历史回顾
岩石是一种重要的工程材料，它的强度是被最先详尽研究的课 题之一；
19世纪末，在科学的基础上，岩石断裂的宏观现象学得到广泛 研究。开展了各种不同条件的实验研究，围压条件已能达到中等 围压的水平。建立了岩石破裂的库仑准则，创立了莫尔圆分析方 法。
Obriemoff 最先发现化学环境对脆性固体具有重要的弱 化效应以及由此导致的“亚临界裂纹扩展”现象。
§2.1.3 断裂力学简介
线弹性断裂力学以Griffith能量平衡原理为基础。它借用连续 介质力学的方法将裂纹简化成线弹性介质内的数学平面和窄缝， 通过分析裂纹周围的应力场，利用应力场的一些临界参数建立起 材料的断裂判据，从而通过外应力和裂纹尖端应力间的关系，把 宏观强度和材料的固有强度联系起来。由于裂纹被视为连续介质 的一部分，无需了解裂纹尖端变形和断裂过程的细节。
根据位移场，可以将裂纹分为如下三种类型：
I 型：张型或开型，裂纹壁垂直于裂纹张开； II 型：平面内剪切型，位移位于裂纹平面内，方向于裂纹边缘
垂直； III 型：反平面剪切，位移限于裂纹平面内，方向平行于裂纹
边缘。
假设所研究的是完全尖锐的平面裂纹，裂纹壁间没有内聚 力，则近场的裂纹尖端应力场和位移场可以近似表达为：
为了将应力强度因子和Griffth的能量平衡理论联系起 来，定义“能量释放率” 或“裂纹扩展力” 如下：
G = − d (−W +Ue ) dc
G 与 K 可以通过下式联系(Lawn and Wilshaw, 1975, pp56)
G = K2 /E
(平面应力)
G = K 2 (1− v2 ) / E (平面应变)
Obrioemoff 的云母解理实验过程中的能量分配
Obriemoff 的系统可以被看作无限刚性的，裂纹的扩展 是可控的和稳定的；而Griffith系统是零刚度的，裂纹是不稳 定的。实际的系统是有限刚度的，必须通过平衡加载系统所 作的功和裂纹扩展所吸收的能量来计算裂纹的稳定性。
实验中， Obriemoff 发现裂纹并非马上达到平衡位置， 而是在楔入的瞬间向前跃迁扩展，然后才逐渐蠕变扩展到其 最后位置。但当实验在真空下进行时，这种效应消失。此 外，他还发现真空中测出的表面能大约时大气环境下的10 倍。
3. 结晶固体通常划分呈脆性和延性两种行为，尽管其 混合行为即半脆性更普遍。
§2.1.2 Griffith 理论
现代强度理论认为：真实材料内部有缺陷，这些缺陷导致材料 内部的应力集中，使得材料的实际强度比理论强度低得多 。
σ∞
σ∞
考虑左图
含孔薄板受
到均匀张应
力的作用，
孔边的应力
分布。
σ∞
σ∞
在均匀张应力作用下，圆孔（左）和椭圆孔（右）周围的应力集中
由， dU = 0 dc
σ f = (2Eγ / π c)1/2
σ f 为某给定方向的裂纹的临界应力。
Griffith 通过测量刻有不同深度刻痕的玻璃棒强度的实验方 法，检验了他的理论。根据实验结果，他得到了形如 σ f = (2Eγ /π c)1/2 的关系式，并由此进一步估计γ 值。同时，他通过增温条件下测
0
λ 0
/
2
σ
t
sin[
2π
(r −
λ
a
)
]d
(r
−
a
)
= λσ t π
σt
≈
E
2π
γ ≈ Ea 4π 2Βιβλιοθήκη 据γ≈Ea
4π 2
，得到的理论强度值是5-10GPa,
比实测值大好几
个数量级。这一差值被认为是材料中含有缺陷所致。有两类重
要的缺陷：裂纹和位错。前者是面状缺陷，后者是线状缺陷。
在外力作用下两类缺陷都会扩展并引起材料屈服。由于两种机
Griffith 公式中各能量项如下图所示，可见 σ f = (2Eγ /π c)1/2 定义了一非稳定的平衡位置。一旦条件满足，裂纹将无 限传播，导致弹性体的宏观失稳。这样，恒定应力的边 界条件暗含着非稳定性。
杆内裂纹扩展的Griffith 模型的能量构成
Obriemoff (1930) 用实验作出了稳定裂纹的结构。如下图所 示：将一楔子打入云母的解理中，测量其解理强度。此实验 的边界条件是位移为恒定值（由于楔子被认为是刚性的，所 以挠曲力 F 没有引起位移）。
因为外载荷和弹性体二者共同把力传至裂纹区域， 所以－W+Uc 是机械能。
假想裂纹的扩展了δc ，若机械能和表面能相平衡，
则系统达到热力学平衡。由于在裂纹扩展时， 两侧 的内聚力突然松弛，裂纹向外加速扩展，进入一个更低 的能量状态。因此，机械能必随着裂纹的扩展而减小。 但在新表面的过程中，外力要克服内聚力作功，所以表 面能将随裂纹的扩展而增大。这样，机械能有助于裂纹 的扩展，而表面能阻碍裂纹的扩展。
Obrioemoff 的云母解理实验装置
此时， 外力作功 W = 0 根据简支梁理论，在挠曲的云母片中，应变能为：
Ue = Ed 3h2 / 8c3
Us = 2cγ
}
dU / dc = 0
c = (3Ed 3h2 /16γ )1/ 4
此系统中包含的能量如下图所示。此种情况下裂纹 处于一种稳定平衡状态，即楔子前进多远，裂纹便前进 多远。这表明稳定性是受系统响应控制而不只是受材料 性质控制。