初中数学 余角和补角
2024年人教版初中七年级数学上册《余角和补角》精彩教案
2024年人教版初中七年级数学上册《余角和补角》精彩教案一、教学内容本节课选自2024年人教版初中七年级数学上册第四章《角的性质与分类》中的第4.3节“余角和补角”。
详细内容包括：1. 理解余角的定义及性质；2. 理解补角的定义及性质；3. 学会计算余角和补角；4. 掌握余角和补角的应用。
二、教学目标1. 知识与技能：让学生掌握余角和补角的定义，能够熟练计算余角和补角；2. 过程与方法：培养学生运用余角和补角的性质解决问题的能力；3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的团队协作精神。
三、教学难点与重点1. 教学重点：余角和补角的定义及其性质；2. 教学难点：余角和补角的计算及应用。
四、教具与学具准备1. 教具：三角板、量角器；2. 学具：练习本、铅笔、直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入（1）请两名同学到讲台前演示：用三角板拼出两个互补的角；（2）引导学生观察并思考：什么是余角？什么是补角？2. 新知讲解（1）余角的定义：如果两个角的和等于90°，则这两个角互为余角；（2）补角的定义：如果两个角的和等于180°，则这两个角互为补角；（3）余角和补角的性质：互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180°。
3. 例题讲解（1）找出互为余角和互为补角的例子；（2）计算给定角度的余角和补角。
4. 随堂练习（1）判断题：找出互为余角和互为补角的角；（2）计算题：计算给定角度的余角和补角。
5. 小组讨论（1）讨论余角和补角的性质；（2）讨论如何运用余角和补角解决实际问题。
六、板书设计1. 余角和补角2. 定义：余角：两个角的和等于90°；补角：两个角的和等于180°。
3. 性质：互为余角的两个角的和为90°；互为补角的两个角的和为180°。
4. 例题及解答。
七、作业设计1. 作业题目（1）找出下列角的余角和补角：a. 30°b. 60°c. 120°（2）已知一个角的补角是80°，求这个角的度数。
初中数学教学课件：4.3.3 余角和补角(人教版七年级上)
（抢答题1）图中给出的各角，哪些互为余角？
10o
30o
50
o
60o
40
o
80
o
再显身手
∠α ∠α的余角
55°
35°
22°
68°
62°5′
X°
27°55′
90°－ X°
二、补角的概念
如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为 补角，简称两个角互为补角，即其中一个角是另一个角 的补角. 2
解：∠COD和∠COE, 同理，∠AOD和∠BOE, ∠AOD和∠COE, ∠COD和∠BOE也互余
C
D
B
O
A
1.识图填空： 如图所示，O是直线AB上的一点，
OC是∠AOB的平分线. ∠BOD (1)∠AOD的补角是_______.
(2)∠AOD的余角是_________. ∠COD
综 合 检 测
1 1
几何语言表示为： 如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角.
∠1=180°-∠2
抢答题2
图中给出的各角，哪些互为补角？
10o 30o
60
o
80o
100o 120o 150o
170o
再显身手
∠α 10° 32°15′ 90° 105° 108° ∠α的补角
170° 锐角的补角是钝角 147°45′ 90° 75° 钝角补角是锐角 72° 180° － X° 直角的补角是直角
今天我们学了什么？
余角、补角的概念：
（1）如果∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互为余角
（2）如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角.
余角、补角的性质：
初中数学 一个锐角的余角和补角的关系
一个锐角的余角和补角的关系山东 吕华彬一个锐角的余角和补角的关系：同一个锐角的补角比它的余角大900.利用这个关系解题，往往能够达到事半功倍的效果.我们先对这个关系进行说明.解释1：设这个锐角的大小为x 0,则它的补角为1800-x 0,它的余角为900-x 0，从而可得 （1800-x 0）–（900-x 0）=900.解释2：如图，AO ⊥BC 于点O ，∠2的余角为∠1，∠2的补角为∠BOD ，且∠BOD=∠1+900，即∠2的补角比∠2的余角大900.例1 已知一个锐角的补角是这个锐角的余角的7倍，求这个锐角.解：设这个锐角的余角为x 0,则它的补角就为900+x 0.于是有 90+x=7x. 解得x=15.故这个锐角为900-150=750.例2 已知一个锐角的补角比这个锐角的余角的3倍大100，求这个锐角.解：设这个锐角的余角为x 0,则这个锐角的补角为900+x 0.根据题意，得 90+x=3x+10. 解得x=40.故这个锐角为900-400=500.例3 已知∠1与∠2互补，∠3与∠2互余，试说明∠3=)21(21∠-∠. 解：因为∠1与∠2互补，∠3与∠2互余，，所以∠1比∠3大900，即∠1=∠3+900. ∠又因为∠3与∠2互余，故∠2=900-∠3. ∠由∠- ∠，可得 ∠1–∠2=（∠3+900）–（900-∠3）=2∠3.故∠3=)21(21∠-∠. 例4 ∠A 与∠B 互补，∠A 与∠C 互余，∠B+∠C=1000,求∠A 、∠B 、∠C 的大小.12DA B CO解：因为∠A 与∠B 互补，∠A 与∠C 互余，所以∠B 比∠C 大900，即∠B=∠C+900. 将∠B=∠C+900代入∠B+∠C=1000，有∠C+900+∠C=1000，可得∠C=50.又因为∠A 与∠C 互余，所以∠A=900-∠C=850.又由∠B+∠C=1000,可知∠B=1000-∠C=950.一个锐角的余角和补角的这个关系在解决角之间的运算时很有效，同学们在解题时可以利用.互为补角的对数知多少山东 吕华彬题目：如图，AOB 是一条直线，∠AOC=600. OD,OE 分别是∠AOC 和∠BOC 的平分线，问图中互为补角关系的角共有多少对？析解：因为∠AOC=600，而∠AOC+∠COB=1800.所以∠COB=1800-∠AOC=1800-600=1200.又因为 OD 是∠AOC 的平分线，所以∠AOD=∠COD=300(角平分线的定义).因为OE 是∠BOC 的平分线，所以∠BOE=∠COE=600(角平分线的定义).所以∠AOD+∠DOB=1800, ∠AOC+∠COB=1800.∠AOE+∠EOB=1800, ∠COD+∠DOB=1800,∠AOC+∠AOE=1800, ∠COE+∠AOE=1800,∠BOE+∠BOC=1800, ∠COE+∠BOC=1800.共有8对互为补角.点评：在本题的过程中，有些同学常常将补角与邻补角概念混淆，所以得出只有∠AOD+∠DOB=1800, ∠AOC+∠COB=1800，∠AOE+∠EOB=1800共3对的错误答案.其原因是对补角与邻补角概念弄混淆了.这充分说明，要想正确推理，对概念的定义必须准确把握，必须DC EB O A咬文嚼字.因为差之毫厘，可能谬之千里.准确地理解掌握概念是学好推理几何的基础.。
人教版七年级数学上册4.余角和补角课件
5、如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线 ①∠AOD的补角是_____∠__B_O_D___ ②∠AOD的余角是____∠__C__O_D___ ③∠DOB的补角是_____∠__A_O__D__
2
13
3
3
3
4
∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2 与∠4相等吗？为什么？
x
∠α的余角
85°
58° 45° 13°
27°37′ 90° x
∠α的补角
175°
148°
135°
103°
117°37′ 180° x
从上面这张表格中,你还能得到什么信息?
若一个角的补角等于它的余角的3倍，求这 个角的度数。
1.
对应图形 数量关系 性质
互为余角
互为补角
1 2
21
∠1+ ∠2 = 90 ° ∠1+ ∠2 = 180 °
14
4
4
4
2
3
∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么∠2与 ∠4相等吗？为什么？
分析:由∠1与∠2互余,可得∠2=90°-_____ ∠1
由∠3与∠4互余,可得∠4=90°-_____ ∠3
答:因为∠1=∠3, 这就是∠2=∠4
所以90°-∠1= 90°-∠3,
等角的余角相等
分析:由∠1与∠2互补,可得∠2=180°-_____∠1
北
B
D
北
40°
东
西O 60°
A
东
西O 60°
A
南 C南
一艘渔船从O 点沿北偏东30°的方向以8千米/时的速度 行驶3小时到达A 处后，接到风浪警报，欲立即调头以16 千米/时的速度向正西方向行驶，争取1.5小时到达小岛B 处.A、B两处的距离是多少？B处在O点北偏西多少度？ O、B两点的距离是多少？
初中数学余角补角知识点,
初中数学余角补角知识点,初中数学余角补角知识点,初中数学余角和补角知识点集锦补角知识：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角.其中一个角叫做另一个角的补角。
余角概念如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角. ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A 的余角=90°。
余角的性质：同角的余角相等。
比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。
等角的余角相等。
比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
补角概念如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角.其中一个角叫做另一个角的补角∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°- ∠A 补角的性质：同角的补角相等。
比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。
等角的补角相等。
比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
余角补角因此我们可以通过上述概念及理论中知道：若有一角∠α，使得∠β与∠α有如下关系：∠β+∠α=90° 且有一∠γ，使得∠β与其有如下关系：∠β+∠γ=180° 则我们可以说+∠γ是∠α的余角补角。
知识归纳：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角;如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
初中数学 什么是补角和余角
初中数学什么是补角和余角在初中数学中，补角和余角是描述角度关系的重要概念。
下面将详细介绍补角和余角的概念、性质和应用。
1. 补角（Complementary Angles）：补角是指两个角的度数之和等于90度的角。
在图形中，补角的两条射线是共线的，它们之间的度数之和是补角。
例如，图中∠ABC和∠CBD是补角。
补角的特点是，它们的度数之和等于90度。
也就是说，∠ABC的度数加上∠CBD的度数等于90度。
补角的性质在解决各种与角度相关的问题时非常重要。
2. 余角（Supplementary Angles）：余角是指两个角的度数之和等于180度的角。
在图形中，余角的两条射线是共线的，它们之间的度数之和是余角。
例如，图中∠ABC和∠CBD是余角。
余角的特点是，它们的度数之和等于180度。
也就是说，∠ABC的度数加上∠CBD的度数等于180度。
余角的性质在解决各种与角度相关的问题时也非常重要。
补角和余角的性质：1. 补角的度数之和等于90度：∠ABC + ∠CBD = 90度。
2. 余角的度数之和等于180度：∠ABC + ∠CBD = 180度。
3. 补角和余角的度数之和等于直角或平角：∠ABC + ∠CBD = 90度（直角），∠ABC + ∠CBD = 180度（平角）。
补角和余角的应用：1. 判断角度关系：通过计算角的补角或余角，可以确定角的性质和关系。
2. 求解未知角度：通过已知角的补角或余角，可以求解未知角度的大小。
3. 解决几何问题：补角和余角的概念可以应用于各种几何问题，如求解角度大小、证明图形特性等。
4. 证明定理和推导结论：补角和余角的性质是证明定理和推导结论的重要工具，可以帮助我们进行推理和论证。
综上所述，补角和余角是初中数学中的关键概念，它们在解决各种与角度相关的问题时起着重要的作用。
理解补角和余角的概念、性质和应用，对于初中数学的学习和应用都具有重要的意义。
初中数学七年级上册《余角和补角》课件
知识点 1 余角和补角 【例1】如图，A，O，B三点在一条直线上，∠AOC=∠DOE=90°,
(1)图中互余的角有哪些？ (2)相等的角有哪些(小于90°的角)？
【思路点拨】(1)找出图中所有90°的角→找出两角之和等于 90°的角→答案 (2)利用余角的性质找相等的角
【自主解答】(1)因为∠AOC=∠DOE=90°,所以∠1+∠2=90°， ∠3+∠2=90°，∠1+∠4=180°-∠DOE=90°. 又因为∠COB=180°-∠AOC=180°-90°=90°， 所以∠3+∠4=90°. 所以∠1与∠2互余、∠3与∠2互余、∠1与∠4互余、∠3与∠4互 余. (2)由同角的余角相等可得：∠1=∠3，∠2=∠4.
【归纳】补角的性质：同角(等角)的补角__相__等_. 余角的性质：同角(等角)的余角__相__等_.
3.方位角： 方位角是以_正__北__、_正__南__方向为的两角一定相等.( × ) (2)两个小于90°的角一定互余.( × ) (3)若∠1＜90°，则∠1的补角大于90°( √ ) (4)相等且互补的两个角分别等于90°.( √ ) (5)东南方向在东和南之间的任意一条射线上.( × )
2.余角和补角的性质： 如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，∠2与∠4 有什么关系？
因为∠1与∠2互补，∠3与∠4互补， 所以∠1+∠2=_1_8_0_°__，∠3+∠4=_1_8_0_°__， 所以∠2=_1_8_0_°__-_∠__1_，∠4=_1_8_0_°__-_∠__3_， 又因为∠1=∠3，所以_∠__2_=_∠__4_.
数学人教版七年级上册
4.3.3 余角和补角
1.掌握余角和补角的定义和性质，并能熟练应用. 2.正确地根据方位角确定方向.
人教版初中数学七年级上册第四章4.3.3余角和补角
O
60°
上发现了客轮B.仿照表示灯塔方位的方法，
A
画出表示客轮B方向的射线.并说出你是怎样画出的.
②同时在它南偏西10°、西北（北偏西45°）方向上又分 别发现了货轮C和海岛D.请再画出表示货轮C和海岛D方向的射 线.
如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东 60°方向有一艘船，同时，从B地发现这艘船 在它的北偏东30°方向，你能从图中确定这艘船的位置吗？
练习 ： 看谁答得快:
∠α
∠α 的余角
∠α 的补角
30° 54° 90°
62°23′
ⅹ
60 °
150 °
36 °
126 °
00
另 比余外角：大同，（等并9）且0 °角大的90补°角
27 ° 37 ′
117 ° 37 ′
90 x
同一个角的余角和补角什么关系？
1、动手画一画:
1）已知∠α(如图)，请利用三角板画的∠α的余角
样的角称为方位角.
方位角的表示习惯上以正北、正南方向为基准来描述物体 的方向． 即用“北偏东多少度”“北偏西多少度” 或者“南偏东多少度”“南偏西多少度”来表示方向．
北 西北
西 O
西南 南
东北 东 东南
北
30°
西
东
O 60°
南
北例4：如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A
在它南偏东60°方向上. ①在它北偏东40°方向
性质3：等角的补角相等
如图,∠1与∠2互余， ∠3与∠4互余，并且∠1= ∠3，
2
1
3
4
请问：∠ 2与∠4相等吗?为什么？你还能得出什么结论？
答：相等。
∵∠1与∠2互余，可得∠2=90°- ∠1 ； 又∠3与∠4互余，可得∠4=90°- ∠3； 且∠1= ∠3，所以90°- ∠1=90°- ∠3 ； ∴∠2= ∠4
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一、学习目标 1、认识一个角的余角和补角，掌握余角和 补角的性质； 2、了解方位角，能确定具体物体的方位.
广东省怀集县大岗镇中心初级中学 李秋养
二、新课引入
1、在一副三角尺中，每一块都有一个角 是90°，那么其余两个角的和是多少度？
90° 2、如下图，∠AOD=150°∠BOD=30°， 你能发现边OA和OB之间有什么关系吗？
三、研学教材
练一练 1、∠1=10°，∠2=30°，∠3=60°， ∠4=80°， ∠5=100°，∠6=120°， ∠7=150°，∠8=170°， 其中互为余角的有：_∠_1_和__∠_4_；_∠__2_和_∠__3 ； 互为补角的有： _∠_1_和__∠_8_；___∠_2_和__∠_5_；__∠_3_和__∠_6_；__∠__4_和_∠__5_；. 2、一个角是70°39′，则它的余角 是 19°21，′ 补角是 109°21′ 。
D
在同一条直线上
A
B
O
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三、研学教材 知识点一 1、 余角的概念 如果两个角的和等于 90°，就说这两个 角互为余角，简称互余，即其中的一个 角是另外一个角的余角。
如果∠1=30°，∠2=60°，我们可以说∠1与 ∠2互余，或者可以说∠1是∠2的余角，还可 以说 ∠2是∠1的余角。
的海岛D方向的射线
北
D
温馨提示：在生活当
中，我们有时候需要
45°
西
O
东
用角来表示方向，这
样的角称为方位角. 10°南
C
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三、研学教材
练一练：按照上北下南，左西右东的规定画出
表示东南西北的十字线，然后在图上表示下列方向 的射线：（1）北偏西30°；（2）南偏东60°. （3）北偏东15°；（4）西南方向（南偏西45°）
D CE
AO B
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三、研学教材 练一练 1、∠a的补角是它的3倍，则∠a的度数是 ____4_5_°__. 2、一个角是钝角，它的一半是__锐___角.
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三、研学教材 知识点三 方位角的概念 例4 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔 A在它南偏东60°的方向上，同时，在它北 偏东40°、南偏西10°、西北（即北偏西 45°）方向上又分别发现了客轮B、货轮C 和海岛D。仿照表示灯塔方位的方法，画出 表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线。
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三、研学教材 、补角的概念
如果两个角的和等于 180°，就说这两个 角互为补角，简称互补，即其中的一个角 是另外一个角的补角。
如果∠1=45°，∠2=135°，我们可以说∠1
与∠2互补，或者可以说∠1是∠2的补角，还
可以说
∠2是∠1的补。角
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三、研学教材
画法 以点O为顶点，表示正北方向 的射线为角的一边，画40°的角，使 它的另一边OB落在东和北之间。射 线OB的方向就是北偏东40°，即客 轮B所在的方向.
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三、研学教材
请你根据例4的画法，在右图中画出表示南
偏西10°的货轮C和西北方向（西偏北45°）
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三、研学教材
知识点二 补角和余角的性质
如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3， 求证：∠2=∠4
证明：∵∠1与∠2互补 ∴∠2=180°－ ＿∠＿1 ＿
21
∵∠3与∠4互补
∴∠4=180°－ ＿＿∠3＿
3
4
∵∠1=∠3
∴180°－∠1=180°－∠3
同角（等角）的_补__角__相等.
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我相信，只要大家勤 于思考，勇于探索，一定 会获得很多的发现，增长 更多的见识，谢谢大家， 再见！
北
30° 15°
西 O
东
45°
60°
南
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四、归纳小结
1、如果两个角的和等于90°，就说这两 个角互为余角，简称_互__余__，即其中的一 个角是另外一个角的_余__角__. 2、如果两个角的和等于180°，就说这两 个角互为补角，简称_互__补__，即其中的一 个角是另外一个角的_补__角__ 3、同角（等角）的_余__角__相等，
∴∠2=∠4 ………（ 等量代换 ）
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三、研学教材 由此，我们可以得到补角性质： .同角（等角）的补角相等 类似地，余角的性质： .同角（等角）的余角相等。
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三、研学教材
例3如图，点A，O，B在同一条直线上，射 线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC， 图中互为余角 的是∠_A__O_D_和∠_B__O_E_,∠__C_O_D__和∠__C_O_E__, ∠A_O__D_和∠__C_O_E__,∠__C_O_D__和_∠_B_O__E_.