自变量的选择与逐步回归-实用回归分析
Chp5自变量选择与逐步回归
自由度n p 1做权的平均残差平方和 。当自由度由0开始增加
1 时，SSE逐渐减少，但 逐渐变大，一般说来 2 先是下 n p 1
SST ( yi y ) 2和任何选模型无关，是 常量，
2 Ra 与 2 是等价的。 i 1
准则2 . 赤池信息量 到 达 最小 AIC 准则 Akaike inf ormation criterion 设模型的似然函数为 L( θ , y ),θ 的维数为p, p是自变量的个数， y ( y1, y2 ,..., yn )是随机样本，赤池信息 量定义为 AIC 2 ln L( θ L , y ) 2 p. 其中θ L 是θ 的极大似然估计。
准则3 . p C统 计 量 达 最 小 马洛斯( Mallows)1964 年从预测的角度提出一 个可以用来选择自 变量的统计量 C p .其依据是性质5(即使全模型正确，但仍 有可能 选模型有更小的预测误 差)。 用选模型(5.2)做预测时，预测值与期 望值的相对偏差平方和 是 1 n Jp ( y ip Ey i ) 2 2
1 . 前进法 思想：逐步引入变量， 由少至多，每次引入一 个，直至没有 可引入的变量为止。 step1.全部自变量共m，建立每个自变量对因 变量y的一元线 性回归方程，分别计算 这m个一元回归方程的 m个回归系数
1 1 1 1 1 1 和F检验值{F1 , F2 ,...,Fm }, 记F 1 max { F , F ,..., F j 1 2 m }.
1
《应用回归分析》自变量选择与逐步回归实验报告三
《应用回归分析》自变量选择与逐步回归实验报告二、实验步骤：（只需关键步骤）步骤1：建立全模型；步骤2：用前进法选择自变量；步骤3：用后退法选择自变量；步骤4：用逐步回归法选择自变量。
三、实验结果分析：（提供关键结果截图和分析）1.建立全模型回归方程；2.用前进法选择自变量；由图可知，依次引出x5,x1,x2。
由图可知：最有回归模型为有y^=874.583-0.611x1-0.353x2+0.637x5。
由图可知：最优模型的复决定系数R^2=0.996.调整后的复决定系数R a2=0.995. 最优模型的复决定系数R^2=0.989.调整后的复决定系数R a2=0.988. 最优模型的复决定系数R^2=0.992.调整后的复决定系数R a2=0.991.3.用后退法选择自变量；从图上可以看出：依次剔除变量x4,x3,x6。
从上图可知：最优回归模型为y^=874.583-0.611x1-0.353x2+0.637x5。
最优模型的复决定系数R2=0.996; 调整后的复决定系数R2=0.995。
4.用逐步回归法选择自变量；从右图上可以看出：先依次引入变量x6,x3,x4,x1,x5,x2b, 后又剔除了变量x4 X3,x6, 最终得到只包含两个变量x1,x5,x2b的最优模型。
由图知最有回归模型为，y^=874.53-0.611x1-0.353x2+0.637x5。
最优模型的复决定系数R2=0.996; 调整后的复决定系数R2=0.995。
5.根据以上结果分三种方法的差异。
前进法的特点是：自变量一旦被选入，就永远保留在模型中；前进法的缺点：不能反映自变量选进模型后的变化情况。
后退法的特点是：自变量一旦被剔除，就不能再选入模型；后退法的缺点：开始把全部自变量都引入模型，计算量大。
逐步回归的基本思想是有进出的。
具体做法是将变量一个一个的引入，每引入一个自变量后，对已选入的变量要进行逐个检验，当原引入的变量由于后面变量的引入而变得不再显著时要将其剔除引入一个变量或从回归方程中剔除一个变量，为逐步回归的一步，每一步都要进行F检验，以确保每次引入新的变量之前回归方程中只包含显著的变量。
报告中的变量选择和回归分析方法
报告中的变量选择和回归分析方法引言：报告中的变量选择和回归分析方法是数据分析和统计学中的重要内容。
在研究报告和学术论文中，合理选择变量和进行回归分析可以有效地揭示变量之间的关系，提高分析的准确性和可靠性。
本文将从六个方面对报告中的变量选择和回归分析方法进行详细论述。
一、变量选择的意义变量选择是指在进行回归分析时，从众多可能的自变量中选择出最为重要和相关的变量。
合理的变量选择可以减少冗余变量的存在，避免数据过拟合问题，并提高模型的预测能力和可解释性。
变量选择的意义在于提高研究的效率和有效性。
二、变量选择的方法1. 相关系数法：通过计算自变量与因变量之间的相关系数，选择与因变量关系最为密切的自变量。
相关系数法既简单又直观，但在多变量分析中无法考虑到变量之间的相互作用。
2. 正向选择法：从众多可能的自变量中，逐步添加具有显著影响力的变量，并根据模型的显著性检验去除不显著的变量。
正向选择法可以一步步剔除不相关的变量，但可能会错过一些有用的变量。
3. 逆向选择法：从包含所有自变量的模型开始，逐步去除不显著的变量，直到剩下的自变量都显著。
逆向选择法可以保留所有可能有用的变量，但可能出现模型过于复杂的问题。
三、回归分析的基本原理回归分析是通过建立数学模型，分析自变量对因变量的影响程度和方向。
常见的回归分析方法包括线性回归、多元回归、逻辑回归等。
回归分析需要满足一些基本的假设和前提，如线性关系、多元正态分布等。
四、回归分析的评价指标回归分析的结果需要进行评价，以判断模型的拟合程度和可靠性。
常用的评价指标包括判定系数（R平方）、均方根误差（RMSE）、残差等。
这些指标可以帮助研究者判断模型的准确性，并进行模型的改进和优化。
五、回归分析的解读和应用回归分析的结果需要进行解读，以揭示自变量与因变量之间的关系。
解读回归系数可以确定变量之间的正负相关关系，判断自变量对因变量的影响程度。
回归分析的应用广泛，可以用于预测、控制和优化等多个领域。
第7章自变量选择与逐步回归
现从 x1 , x2 ,, xt 这t个变量中选t’变量，不妨设
x1 , x2 ,, xt ，那么对全模型中的参数 和结构 矩阵X可作如下的分块（记： p t 1）
p , q
X X p Xq
下面的回归模型称为选模型：
2 c
MS残 n1 R 1 （ 1 R ） 1 np1 MS总
2 c 2
R2可用来评价回归方程优劣。 随着自变量增加，R2不断增大，对两个不
同个数自变量回归方程比较，须考虑方程 包含自变量个数影响，应对R2进行校正。 2 所谓“最优”回归方程指 最大者。 Rc
2. C p 选择法
定义预测平方和为 PRESS e
ˆ (i ) e ( i ) y i xi
(i ) 2
ˆ ( i ) 为全模型用除 i 点之外，剩下 记: e (i ) y (i ) x (i ) 的 n 1 个点作参数估计后，对 i 点的预测的偏差； hii 为 H X ( X X ) 1 X 的 第 i 个 对 角 元 即 hii xi ( X X ) 1 x (i ) 。
B1 C1 A C D 1 1 ( B CD 1C ) 1 B1CD 1 1 1 1 1 D C B D D C B CD 1 1 1 B 1 B 1CD1C B 1 B CD1 1 1 1 D C B ( D C B C ) 1
Y X p p 2 ~ N ( 0 , In )
X p 是 n p 结构矩阵，并假定 X p 的秩为 p 。
其中： Y 是 n 1 的观测值， p 是 p 1 未知参数向量，
回归变量的选择与逐步回归
回归变量的选择与逐步回归1 变量选择问题在实际问题中，影响因变量的因素（自变量）很多，人们希望从中挑选出影响显著的自变量来建立回归关系式，这就涉及自变量选择的问题。
在回归方程中若漏掉对因变量影响显著的自变量，那么建立的回归式用于预测时将会产生较大的偏差。
但回归式若包含的变量太多，且其中有些对因变量影响不大，显然这样的回归式不仅使用不方便，而且反而会影响预测的精度。
因而选择合适的变量用于建立一个“最优”的回归方程是十分重要的问题。
选择“最优”子集的变量筛选法包括逐步回归法(Stepwise)、向前引入法(Forward)和向后剔除法。
向前引入法是从回归方程仅包括常数项开始，把自变量逐个引入回归方程。
具体地说，首先，从零模型开始——只含有截距，但不含有预测变量的模型。
然后，在m个自变量中选择一个与因变量线性关系最密切的变量，记为x i，在剩余的m-1个自变量中选择一个变量x i，使得{x i,x i}联合起来二元回归效果最好，在剩下的m-2个自变量中选择一个变量x i，使得{x i,x i,x i}联合起来回归效果最好，如此下去，直至得到“最优”回归方程为止。
向前引入法中的终止条件为：给定显著性水平α，当对某一个将被引入变量的回归系数做显著性检查时，若p-value≥α，则引入变量的过程结束，所得方程为“最优”回归方程。
向前引入法有一个明显的缺点，它是一种贪婪的方法。
就是由于各自变量可能存在着相互关系，因此后续变量的选入可能会使前面已选入的自变量变得不重要。
这样最后得到的“最优”回归方程可能包含一些对因变量影响不大的自变量。
向后剔除法与向前引入法正好相反，首先将全部m个自变量引入回归方程，然后逐个剔除对因变量作用不显著的自变量。
具体地说，首先从回归式m个自变量中选择一个对因变量贡献最小的自变量，如x j，将它从回归方程中剔除；然后重新计算因变量与剩下的m-1个自变量的回归方程，再剔除一个贡献最小的自变量，如x j，依次下去，直到得到“最优”回归方程为止。
自变量的选择与逐步回归实用回归分析ppt课件
§5.2 所有子集回归
准则2 赤池信息量AIC达到最小
设回归模型的似然函数为L(θ,x), θ的维数为p，x为样本，在 回归分析中样本为y=（y1，y2，…yn）′，则AIC定义为：
AIC=-2lnL(θˆ L ,x)+2p 其中θˆ L 是θ的极大似然估计，p 是未知参数的个数。
§5.2 所有子集回归
βˆ p (Xp X p )-1 Xpy
ˆ
2 p
n
1 p
1 SSEp
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
二、自变量选择对预测的影响
关于自变量选择对预测的影响可以分成两种情况： 第一种情况是全模型正确而误用了选模型； 第二种情况是选模型正确而误用了全模型式。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
（一）全模型正确而误用选模型的情况
性质 1. 在 xj与 xp+1, …,xm的相关系数不全为 0 时，选模型回归系数的 最小二乘估计是全模型相应参数的有偏估计,即
E(ˆ jp ) jp j （j=1,2， …,p）。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
（一）全模型正确而误用选模型的情况 性质 2. 选模型的的预测是有偏的。 给定新自变量值x0p (x01, x02,, x0m ) ，因变量新值为 y0=β0+β1x01+β2x02+…+βmx0m+ε0 用选模型的预测值为
(ˆ 0p ,ˆ 1p ,,ˆ pp )
全模型的最小二乘参数估计为βˆ m (ˆ 0m ,ˆ 1m ,,ˆ mm )
这条性质说明 D(ˆ jp ) D(ˆ jm ), j 0,1,, p 。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
（一）全模型正确而误用选模型的情况
第5章 逐步回归与自变量选择
当所增加的自变量对回 归的贡献很小时， 2反而可能减少。 R
浙江财经学院 倪伟才 11
准则2：回归的标准误
ˆ 回归误差项方差 2的无偏估计为： 2＝ 此无偏估计式中加入了惩罚因子n-p-1, ˆ 2实际上就是用自由度n-p-1作平均的平均残差平方和。 1 SSR n-p-1
当自变量个数从0开始增加时，SSR逐渐减少，作为 除数的惩罚因子n-p-1也随之减少。 ˆ 一般而言，当自变量个数从0开始增加时， 2先是开始 下降，而后开始稳定下来，当自变量个数增加到一定数量后， ˆ 2又开始增加。这是因为刚开始时，随着自变量个数 的增加，SSR能够快速减少，虽然作为除数的 惩罚因子n-p-1也随之减少，但由于SSR减小的速度 ˆ 更快，因而 2是趋于减少的。当自变量个数增加到一定程度，应该 说重要的自变量基本上都已选上了，这是再增加自变量， ˆ SSR减少不多，以致抵消不了n-p-1的减少，最终导致 2增加。
浙江系数
1：OLSE的基本思想：使残差平方和达到最 小。 思考：能用残差平方和来选择一个最优的回 归子集吗？理由？ 2：能用复决定系数来选择一个最优的回归子 集吗？理由？
浙江财经学院 倪伟才
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准则1：调整复决定系数
SSR R 1 SST
2
n p 1 R 1 SST n 1 n 1 SSR 1 n p 1 SST
浙江财经学院 倪伟才
三.前进法、后退法的缺点 前进法：终身制。
前面引进的自变量是显著的，但后面引进其它变 量后变地不显著了，此时再也无法将其剔除。
后退法 ：一棍子打死。
一旦某个自变量被剔除后，它再也没有机会重新 进入回归方程。
浙江财经学院 倪伟才
四.逐步回归法
自变量选择与逐回归
自变量选择与逐回归————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：自变量选择与逐步回归一、全模型和选模型设研究某一实际问题，涉及对因变量有影响的因素共有m 个，由因变量y 和m 个自变量构成的回归模型εββββ+++++=m m x x x y Λ22110称为全模型。
如果从可供选择的m 个变量中选出p 个，由选出的p 个自变量组成的回归模型p pp pp p p p x x x y εββββ+++++=Λ22110称为选模型。
二、自变量选择对预测的影响自变量选择对预测的影响可以分为两种情况考虑，第一种情况是全模型正确而误用了选模型；第二种情况是选模型正确而无用了全模型。
以下是这两种情况对回归的影响。
1、全模型正确而误用选模型的情况性质1，在j x 与m p x x ,,1Λ+的相关系数不全为0时，选模型回归系数的最小二乘估计是全模型相应参数的有偏估计，即jjp jp E βββ≠=)ˆ(（p j ,,2,1Λ=） 性质2，选模型的预测是有偏的。
性质3，选模型的参数估计有较小的方差。
性质4，选模型的预测残差有较小的方差。
性质5，选模型的均方误差比全模型预测的方差更小。
性质1和性质2表明，当全模型正确时，而舍去了m-p 个自变量，用剩下的p 个自变量去建立选模型，参数估计值是全模型相应参数的有偏估计，用其做预测，预测值也是有偏的。
这是误用选模型产生的弊端。
性质3和性质4表明，用选模型去作预测，残差的方差比用全模型去作预测的方差小，尽管用选模型所作的预测是有偏的，但得到的预测残差的方差下降了，这说明尽管全模型正确，误用选模型是有弊也有利的。
性质5说明，即使全模型正确，但如果其中有一些自变量对因变量影响很小或回归系数方差过大，丢掉这些变量之后，用选模型去预测，可以提高预测的精度。
由此可见，如果模型中包含了一些不必要的自变量，模型的预测精度就会下降。
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§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
（一）全模型正确而误用选模型的情况
性质 5. 记βmp (p1,,m ) 用全模型对βmp 的最小二乘估计为βˆ mp (ˆ p1,,ˆ m )
则在 D(βˆ mp ) βmpβmp 的条件下 E（e0p）2= D(e0p)+(E（e0p）)2≤D(e0m) 即选模型预测的均方误差比全模型预测的方差更小。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
（二）选模型正确而误用全模型的情况 如果选模型正确，从无偏性的角度看，
选模型的预测值 yˆ 0p ˆ 0p ˆ 1p x 01 ˆ 2p x 02 ˆ ppx 0p 是因变量新值 y0=β 0+β 1x01+β 2x02+…+β px0p+ε 0 的无偏估计，此时全模型的预测值
（一）全模型正确而误用选模型的情况 性质 2. 选模型的的预测是有偏的。 给定新自变量值x0p (x01, x02,, x0m ) ，因变量新值为 y0=β 0+β 1x01+β 2x02+…+β mx0m+ε 0 用选模型的预测值为
yˆ 0p ˆ 0p ˆ 1p x 01 ˆ 2p x 02 ˆ ppx 0p
（5.1）
如果我们从所有可供选择的m个变量中挑选出p个，记 为x1,x2,…，xp,
y=β 0p+β 1px1+β 2px2+…+β ppxp+ε p （5.2
称模型（5.2）式为选模型。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
一、全模型和选模型 模型选择不当会给参数估计和预测带来什么影响?下
为了方便，我们把模型（5.1）式的参数估计向量βˆ
作为 y0的预测值是有偏的，即 E(yˆ 0p y0 ) 0 。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
（一）全模型正确而误用选模型的情况
性质 3. 选模型的参数估计有较小的方差 选模型的最小二乘参数估计为βˆ p (ˆ 0p ,ˆ 1p ,,ˆ pp )
全模型的最小二乘参数估计为βˆ m
本章从回归选元对回归参数估计和预测的影响开始， 介绍自变量选择常用的几个准则；扼要介绍所有子集回 归选元的几个方法；详细讨论逐步回归方法及其应用。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
一、全模型和选模型
设研究某一实际问题涉及到对因变量有影响的因素共 有m
y=β 0+β 1x1+β 2x2+…+β mxm+ε
§5.2 所有子集回归
一、所有子集的数目
有m个可供选择的变量x1,x2,…，xm,由于每个自变量 都有入选和不入选两种情况，这样y关于这些自变量的 所有可能的回归方程就有2m-1个。
yˆ 0m ˆ 0 ˆ 1x 01 ˆ 2x 02 ˆ m x 0m 是 y0 的有偏估计。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
（二）选模型正确而误用全模型的情况
从预测方差的角度看，根据性质 4，选模型的预测方差 D（ yˆ 0p ）小于全模型的预测方差 D（ yˆ 0m ） 从均方预测误差的角度看，全模型的均方预测误差 E（ yˆ 0m y0 ）2=D（ yˆ 0m ）+[E（ yˆ 0m ）-E（y0）]2 包含预测方差与预测偏差的平方两部分 而选模型的均方预测误差 E（ yˆ 0p -y0）2=D（yˆ 0p ） 仅包含预测方差这一项，并且 D（ yˆ 0p ）≤D（yˆ 0m ） 因而从均方预测误差的角度看，全模型的预测误差将更大。
(ˆ 0m ,ˆ 1m ,,ˆ mm )
这条性质说明 D(ˆ jp ) D(ˆ jm ), j 0,1,, p 。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
（一）全模型正确而误用选模型的情况
性质 4. 选模型的预测残差有较小的方差。 选模型的预测残差为e0p yˆ 0p y0 全模型的预测残差为e0m yˆ 0m y0 其中 y0=β 0+β 1x01+β 2x02+…+β mx0m+ε 则有 D(e0p)≤D(e0m)。
第5章 自变量的选择与逐步回归
5.1 自变量选择对估计和预测的影响 5.2 所有子集回归 5.3 逐步回归 5.4 本章小结与评注
§第5章 自变量选择与逐步回归
从20世纪60年代开始，关于回归自变量的选择成为统 计学中研究的热点问题。统计学家们提出了许多回归选 元的准则，并提出了许多行之有效的选元方法。
和σ 2的估计记为：
βˆ m (Xm Xm )-1Xmy
ˆ
2 m
n
Байду номын сангаас
1 m
1
SSEm
把模型（5.2）式的参数估计向量记为
βˆ p (Xp X p )-1 Xpy
ˆ
2 p
n
1 p
1 SSEp
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
二、自变量选择对预测的影响
关于自变量选择对预测的影响可以分成两种情况： 第一种情况是全模型正确而误用了选模型； 第二种情况是选模型正确而误用了全模型式。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
（一）全模型正确而误用选模型的情况
性质 1. 在 xj与 xp+1, …,xm的相关系数不全为 0 时，选模型回归系数的 最小二乘估计是全模型相应参数的有偏估计,即
E(ˆ jp ) jp j （j=1,2， …,p）。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
（二）选模型正确而误用全模型的情况
上述结论告诉我们，一个好的回归模型，并不是考虑的 自变量越多越好。在建立回归模型时，选择自变量的基本 指导思想是“少而精”。哪怕我们丢掉了一些对因变量y还 有些影响的自变量，由选模型估计的保留变量的回归系数 的方差，要比由全模型所估计的相应变量的回归系数的方 差小。而且，对于所预测的因变量的方差来说也是如此。 丢掉了一些对因变量y有影响的自变量后，所付出的代价是 估计量产生了有偏性。然而，尽管估计量是有偏的，但预 测偏差的方差会下降。另外，如果保留下来的自变量有些 对因变量无关紧要，那么，方程中包括这些变量会导致参 数估计和预测的有偏性和精度降低。