13级：第二讲三直线的参数方程1

sin cos
令该比例式的比值为t,即
y y0
sin
x x0
cos
t
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整理，得到
x=x0
y
y0
t cos t sin
(t是参数）
问题：求已这知条一直条线直的线参过数点方程M0(.x0,y0 )，倾斜角，
解二: 在直线上任取一点M(x,y),则
M0M （x, y) (x0 y0 ) y
tan
x y
2p tan 2 (为参数）
2p tan
若令t 1 , t (,0) (0,),则
tan
x
2pt
2
(t为参数)
t的几何意义：是抛
y 2pt
物线上除顶点外的
任一点与原点连线的斜率的倒数，即：t x
y
4
二、新课教学 1、引入一
三角收缩公式有哪些变换形式?
1)、asinθ+bcosθ=
y kx b
x y 1 ab
一般式: Ax By C 0
7
k
y2 x2
y1 x1
tan
问题：已知一条直线过点M0(x0 ,y0 )，倾斜角，
求这条直线的参数方程.
解: 直线的普通方程为y y0 tan(x x0 )
把它变成y
y0
sin cos
(x
x0 )
进一步整理，得：y y0 x x0
(x x0, y y0 )
M(x,y)
设e是直线l的单位方向向量，则
e (cos,sin )
M0(x0,y0)
e
因为M0M // e,所以存在实数t R, (cos,sin)
使M0M te,即
O
x
(x x0, y y0) t(cos,sin)
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问题：已知一条直线过点M0(x0 ,y0 )，倾斜角，
所以: 若t>0,则M0M的方向向上
若t<0,则M0M 的方向向下; 若t=0,则M与点M0重合.
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2、例题讲解
例1.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B
两点的距离之积。
y
分析:
1.用普通方程去解还 是用参数方程去解;
2.分别如何解.
2
2
2
2
则 MA MB
(1 1 5 )2 (2 3 5 )2 (1 1 5 )2 (2 3 5 )2
2
2
2
2
17 3 5 3 5 4 2
例1.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于 A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
是有时向上有时向下呢？
分析:
是直线的倾斜角，当0< < 时,sin >0
又 sin表示e的纵坐标，e的纵坐标都大于0
那么e的终点就会都在第一，二象限，e的方向 就总会向上。
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思考1 是否可以根据t的值来确定向量的 M0M
方向？
我们知道e是直线l的单位方向向量，那 么它的方向应该是向上还是向下的？还 是有时向上有时向下呢？
A
M(-1,2)
B
O
x
3.点M是否在直线上
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例1.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于 A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
解
：
由
x y
y x2
1
0
得：x2 x 1 0
(*)
由韦达定理得：x1 x2 1，x1 x2 1
AB 1 k 2 ( x1 x2 )2 4x1 x2 2 5 10
a2
cos 1
a a2 b2
sin 1
b2
b
sin(
1 )
a2 b2
2)、asinθ+bcosθ= a2 b2 sin( 2 )
a cos 2 a 2 b 2
sin 2
b a2 b2
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二、新课教学 1、引入一
三角收缩公式有哪些变换形式?
3)、asinθ+bcosθ= a2
cos 3
参
数
）
的
倾
斜
角
是
（
）B
A.200 B.700 C.1100 D.1600
（2）直线x y 1 0的一个参数方程是
x y
1
2 2
2 2
t
t （t为参数
。
思考: 由M0M te,你能得到直线l的参数方
程中参数t的几何意义吗？
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思考1 由M0M te,你能得到直线l的参数方 程中参数t的几何意义吗？
解: M0M te M0M te
又 e是单位向量， e 1
y M
M0M t e t
所以,直线参数方程中 参数t的绝对值等于直 线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
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M0
e
O
x
思考2 是否可以根据t的值来确定向量的 M0M
方向？
我们知道e是直线l的单位方向向量，那
么它的方向应该是向上还是向下的？还
第二讲（三）
直线的参数方程（1）
一、复习回顾
1、椭圆
x2 a2
y2 b2
1
的参数方程:
y
x acos y bsin
(为参数)
B O
Aφ
M
Nx
参数φ的几何意义:
为离心角, [0,2)
是∠AOX=φ,而非∠MOX=φ.
2
2、双曲线
x2 - y2 =1(a>0,b>0)的参数方程为： a2 b2
x
y
a b
sec tan
(为参数)
b
y
a
A B' • M
o B A' x
通常规定 [o, 2 )且 ， 3 。
2
2
双曲线的参数方程可以由方程
x2 y2 1 a2 b2
与三角恒等式 sec2 tan2 1 相比较而得到
3
3、抛物线y2=2px的参数方程
y 2 2px
由 y x
求这条直线的方程.
x
x0
t
cos,
y
y0
t y
sin
即，x x0 t cos, y y0 t sin M(x,y)
所以，该直线的参数方程为 M0(x0,y0)
x y
x0 y0
t t
cos（t为参数） sin
e
(cos,sin)
O
x
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练习1
（1）
直
线
x y
3 t sin20（0 t为 t cos 200
b a2 b2
sin 3
b2 cos(
a a2 b2
3 )
4)、asinθ+bcosθ= a2 b2 cos( 4 )
b cos 4 a 2 b 2
sin 4
a a2 b2
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二、新课教学 引入二
我们学过的直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y2 y1 x2 x1
由(*)解得：x1
1 2
5 ，x2
1 2
5
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例1.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B
两点的距离之积。
3
y1
2
5 ，y2
3 2
5
记直线与抛物线的交坐 标
A( 1 5 , 3 5 )，B( 1 5 , 3 5 )