2022版优化方案高一数学人教版必修三学案 第三章 概率3.2.1古典概型

3．2 古典概型3．2.1 古典概型1．问题导航(1)什么叫基本大事？它有什么特点？ (2)什么叫古典概率模型？它有什么特点？ 2．例题导读通过对例1的学习，学会如何求基本大事；通过对例2，3，4，5的学习，学会如何求古典概型的概率．1．基本大事(1)定义：在一次试验中，全部可能消灭的基本结果中不能再分的最简洁的随机大事称为该次试验的基本大事．(2)特点：一是任何两个基本大事是互斥的；二是任何大事(除不行能大事)都可以表示成基本大事的和． 2．古典概型(1)定义：假如一个概率模型满足：①试验中全部可能消灭的基本大事只有有限个； ②每个基本大事消灭的可能性相等．那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型．(2)计算公式：对于古典概型，任何大事A 的概率为P (A )＝A 包含的基本大事的个数基本大事的总数.1．推断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)(1)任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本大事；( )(2)为求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本大事；( )(3)从甲地到乙地共n 条路线，且这n 条路线长短各不相同，求某人正好选中最短路线的概率．( ) 解析：依据古典概型的两个特征知：(1)×；(2)×；(3)√.答案：(1)× (2)× (3)√2．若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为( ) A.15B.310C.35D.12(链接教材P 130练习3)解析：选B.基本大事总数为10，“抽出一本是物理书”包含3个基本大事，所以其概率为310，故选B.3．在20瓶饮料中，有2瓶已过了保质期．从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是________． (链接教材P 130练习1)解析：基本大事共有20个，大事发生占2个，故所求概率为220＝110.答案：1104．“在区间[0，10]上任取一个数，这个数恰为2的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？ 解：不是．由于在区间[0，10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本大事有无限个，所以不是古典概型．1．基本大事是一次试验中全部可能消灭的最小大事，且这些大事彼此互斥．试验中的大事A 可以是基本大事，也可以是由几个基本大事组合而成的．2．有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点，概率计算公式P (A )＝大事A 所包含的基本大事的个数÷基本大事的总数，只对古典概型适用．基本大事及其计算从字母a ，b ，c ，d 中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本大事？ (链接教材P 125例1)[解] 所求的基本大事共有6个：即A ＝{a ，b }，B ＝{a ，c }，C ＝{a ，d }，D ＝{b ，c }，E ＝{b ，d }，F ＝{c ，d }． [互动探究] 本例中，若将“任意取出两个”改为“任意取出三个”，有哪些基本大事？解：所求的基本大事共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．方法归纳基本大事的两个探求方法：(1)列表法：将基本大事用表格的形式表示出来，通过表格可以清楚地弄清基本大事的总数，以及要求的大事所包含的基本大事数，列表法适合于较简洁的试验的题目，基本大事较多的试验不适合用列表法(关键词：基本大事的总数)．(2)树状图法：树状图法是用树状的图形把基本大事列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本大事间的结构关系，对于较简单的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．树状图法适合于较简单的试验的题目(关键词：结构关系)．1．(1)做试验“从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．①写出这个试验的基本大事；②求出这个试验的基本大事的总数；③写出“第1次取出的数字是2”这一大事包含的基本大事．解：①这个试验的基本大事为(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，2)，(2，0)，(2，1)．②基本大事的总数为6.③“第1次取出的数字是2”包含以下2个基本大事：(2，0)，(2，1)．(2)口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完全相同，四个人按挨次依次从中摸出一球，求出这个试验的基本大事个数．解：把四人依次编号为甲、乙、丙、丁，把两白球编上序号1，2，把两黑球也编上序号1，2，于是四个人按挨次依次从袋内摸出一个球的全部可能结果，可用树状图直观地表示出来如下：从上面的树状图可以看出，试验的全部可能结果数为24.简洁的古典概型的计算(2022·高考天津卷)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其班级状况如下表：一班级二班级三班级男同学 A B C女同学X Y Z现从这6)．(1)用表中字母列举出全部可能的结果；(2)设M为大事“选出的2人来自不同班级且恰有1名男同学和1名女同学”，求大事M发生的概率．[解](1)从6名同学中随机选出2人参与学问竞赛的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．(2)选出的2人来自不同班级且恰有1名男同学和1名女同学的全部可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．因此，大事M发生的概率P(M)＝615＝25.方法归纳(1)本题关键是通过分析得出公式中的分子、分母，即某大事所含基本大事数和基本大事的总数，然后代入公式求解．(2)使用古典概型概率公式应留意：①首先确定是否为古典概型；②A大事是什么，包含的基本大事有哪些．2．(1)设集合M＝{b，1}，N＝{c，1，2}，M⊆N，若b，c∈{2，3，4，5，6，7，8，9}．①求b＝c的概率；②求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．解：①由于M⊆N，所以当b＝2时，c＝3，4，5，6，7，8，9；当b＞2时，b＝c＝3，4，5，6，7，8，9.基本大事总数为14；其中b＝c的大事数为7种，所以b＝c 的概率为12.②记“方程有实根”为大事A，若使方程有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b＝c＝4，5，6，7，8，9，共6种．故P(A)＝614＝3 7.(2)从分别写有1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片中，任取2张，观看上面的数字，求下列大事的概率：①两个数的和为奇数；②两个数的积为完全平方数．解：假设抽取卡片有先后挨次，不放回，则基本大事空间与点集S＝{(x，y)|x∈N*，y∈N*，1≤x≤9，1≤y≤9且x≠y}中的元素一一对应，而S中的点有72个，所以基本大事总数为72个，而本题中抽取卡片无序，所以基本大事总数为36个．①和为奇数的条件是当且仅当两个数的奇偶性不同，即从1，3，5，7，9中取1个数和从2，4，6，8中取1个数的状况．从1，3，5，7，9中抽取1个数的状况有5种，从2，4，6，8中抽取1个数的状况有4种，由列举可知“两个数的和为奇数”的基本大事共有20个．∴概率P＝2036＝59.②当且仅当所取两个数为1×4，1×9，2×8，4×9时，两个数的积为完全平方数．∴两个数的积为完全平方数共有4种状况．∴概率P＝436＝19.较简单的古典概型的计算某城市的电话号码是8位数，假如从电话号码本中任取一个电话号码，求：(1)头两位数字都是8的概率；(2)头两位数字都不超过8的概率．(链接教材P128例4)[解]电话号码每位上的数字都可以由0，1，2，…，9这十个数字中的任意一个数字组成，故试验基本大事总数为n＝108.(1)记“头两位数字都是8”为大事A，则若大事A发生，头两位数字都只有一种选法，即只能选8，后六位各有10种选法，故大事A包含的基本大事数为m1＝106.所以由古典概型概率公式，得P(A)＝m1n＝106108＝1100＝0.01.(2)记“头两位数字都不超过8”为大事B，则大事B的头两位数字都有9种选法，即从0～8这9个数字中任选一个，后六位各有10种选法，故大事B所包含的基本大事数为m2＝81×106.所以由古典概型概率公式，得P(B)＝m2n＝81×106108＝0.81.方法归纳(1)电话号码及密码问题中，每个数字在各个位置消灭的机会是相等的，且首位也可为0；(2)由于此类问题的基本大事数目较大，且很难一一列举，常借助整数的有关性质求解．3．(1)一个各面都涂有颜色的正方体，被锯成1 000个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：①有一面涂有颜色的概率；②有两面涂有颜色的概率；③有三面涂有颜色的概率．解：在1 000个小正方体中，一面涂有颜色的有82×6个，两面涂有颜色的有8×12个，三面涂有颜色的有8个，所以①一面涂有颜色的概率为P1＝3841 000＝0.384；②两面涂有颜色的概率为P2＝961 000＝0.096；③三面涂有颜色的概率为P 3＝81 000＝0.008.(2)储蓄卡的密码是一个六位数字号码，每位上的数字可以从0到9这10个数字中任取．①假如某人拾到储蓄卡一张，任凭按下六位号码正好按对密码的概率是多少？②若某人未记准储蓄卡密码的后两位数字，随机按下两位数字正好按对密码的概率是多少？解：①由储蓄卡的密码是六位数字号码，且每位上的数字都有从0到9共10种取法，故这种号码共有106个，由于任凭按下一个六位号码，无论按下哪个号码的可能性都是均等的，故正好按对密码的概率P＝1106.②按六位号码的后两位数字共有100种按法，任凭按下后两位数字，每一种按法机会均等，故按对的概率为P＝1100.规范解答用列举法求古典概型的概率(本题满分12分)箱子里有3双不同的手套，随机拿出2只，记大事A表示“拿出的手套配不成对”；大事B表示“拿出的都是同一只手上的手套”；大事C表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”．(1)请列出全部的基本大事；(2)分别求大事A、大事B、大事C的概率．[解](1)分别设3双手套为：a1a2；b1b2；c1c2.a1，b1，c1分别代表左手手套，a2，b2，c2分别代表右手手套．2分从箱子里的3双不同的手套中，随机拿出2只，全部的基本大事是：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)；(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)；(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)；(b2，c1)，(b2，c2)；(c1，c2)．共15个基本大事．6分(2)①大事A包含12个基本大事，故P(A)＝1215＝45(或能配对的只有3个基本大事，P(A)＝1－315＝45)；8分②大事B包含6个基本大事，故P(B)＝615＝25；10分③大事C包含6个基本大事，故P(C)＝615＝25.12分[规范与警示]设大事是解决此类问题的首要步骤；极易忽视指明a1，b1，c1及a2，b2，c2的意义；要按规律列出全部基本大事，否则简洁遗漏或重复计算；找准大事A所包含的基本大事的个数是关键．解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式，但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要留意以下三个问题：(1)试验必需具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性．(2)计算基本大事的数目时，须做到不重不漏．常借助坐标系、表格及树状图等列出全部基本大事．(3)利用大事间的关系在求解较简单大事的概率时，可将其分解为几个互斥的简洁大事的和大事，由公式P(A1∪A2∪A3∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)求得，或接受正难则反的原则，转化为求其对立大事，再用公式P(A)＝1－P(A)(A 为A的对立大事)求得．1．(2022·高考江西卷)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于()A.118B.19C.16D.112解析：选B.掷两颗骰子，点数有以下状况： (1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36种，其中点数和为5的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，故所求概率为436＝19.2．(2021·泰安模拟)从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数a ，从{2，3，4}中随机选取一个数b ，则b ＞a 的概率是( )A.45B.35C.25D.15解析：选C.从两个集合中各选一个数有15种选法，满足b >a 的选法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共有6种，所以b >a 的概率是615＝25.3．(2022·高考课标全国卷Ⅱ)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．解析：甲、乙两名运动员选择运动服颜色有(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种．而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种． 所以所求概率P ＝39＝13.答案：134．(2022·高考广东卷)从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同的字母，则取到字母a 的概率为________．解析：总的取法有：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de 共10种，其中含有a 的有ab ，ac ，ad ，ae 共4种，故所求概率为410＝25.答案：25[A.基础达标]1．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x ，y )表示结果，记A 为“所得点数之和小于5”，则大事A 包含的基本大事数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选D.大事A 包含的基本大事有6个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)．故选D.2．下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验中全部可能消灭的基本大事只有有限个；②每个大事消灭的可能性相等；③每个基本大事消灭的可能性相等；④基本大事的总数为n ，随机大事A 若包含k 个基本大事，则P (A )＝k n.A ．②④B ．①③④C ．①④D ．③④解析：选B.依据古典概型的特征与公式进行推断，①③④正确，②不正确，故选B. 3．下列试验中，属于古典概型的是( )A ．种下一粒种子，观看它是否发芽B ．从规格直径为250 mm ±0.6 mm 的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径dC ．抛一枚硬币，观看其消灭正面或反面D ．某人射击中靶或不中靶解析：选C.依据古典概型的特点推断，只有C 项满足：①试验中全部可能消灭的基本大事只有有限个；②每个基本大事消灭的可能性相同．4．已知集合A ＝{2，3，4，5，6，7}，B ＝{2，3，6，9}，在集合A ∪B 中任取一个元素，则它是集合A ∩B中的元素的概率是( )A.23 B.35 C.37D.25解析：选C.A ∪B ＝{2，3，4，5，6，7，9}，A ∩B ＝{2，3，6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是37.5．把一枚骰子投掷两次，观看消灭的点数，记第一次消灭的点数为a ，其次次消灭的点数为b ，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3x ＋2y ＝2只有一个解的概率为( ) A.512 B.1112 C.513D.913解析：选B.点(a ，b )取值的集合共有36个元素．方程组只有一个解等价于直线ax ＋by ＝3与x ＋2y ＝2相交，即a 1≠b2，即b ≠2a ，而满足b ＝2a 的点只有(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3个，故方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3x ＋2y ＝2只有一个解的概率为3336＝1112.6．据报道：2022年我国高校毕业生为727万人，创历史新高，就业压力进一步加大．若某公司从五位高校毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．解析：记大事A ：甲或乙被录用．从五人中录用三人，基本大事有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10种可能，而A 的对立大事A 仅有(丙，丁，戊)一种可能，∴A 的对立大事A 的概率为P (A )＝110，∴P (A )＝1－P (A )＝910.答案：9107．甲、乙两人玩数字玩耍，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b ，且a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a －b |≤1，则称“甲、乙心有灵犀”，现任意找两个人玩这个玩耍，得出他们“心有灵犀”的概率为________．解析：数字a ，b 的全部取法有36种，满足|a －b |≤1的取法有16种，所以其概率为P ＝1636＝49.答案：498．(2021·石家庄高一检测)一只蚂蚁在如图所示的树枝上查找食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为________．解析：该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为26＝13.答案：139．(2022·高考山东卷)海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区 A B C 数量50150100(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)由于样本容量与总体中的个体数的比是 650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是： 50×150＝1，150×150＝3，100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2. (2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为： A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的全部基本大事为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本大事的消灭是等可能的．记大事D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则大事D 包含的基本大事有： {B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个． 所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.10．(2021·长沙联考)某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算)．现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时．(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13，停车费多于14元的概率为512，求甲的停车费为6元的概率；(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率．解：(1)设“一次停车不超过1小时”为大事A ，“一次停车1到2小时”为大事B ，“一次停车2到3小时”为大事C ，“一次停车3到4小时”为大事D .由已知得P (B )＝13，P (C ＋D )＝512.又大事A ，B ，C ，D 互斥，所以P (A )＝1－13－512＝14.所以甲的停车费为6元的概率为14.(2)易知甲、乙停车时间的基本大事有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个；而“停车费之和为28元”的大事有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共3个， 所以所求概率为316.[B.力量提升] 1．(2022·高考湖北卷)随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则( )A ．p 1＜p 2＜p 3B ．p 2＜p 1＜p 3C ．p 1＜p 3＜p 2D ．p 3＜p 1＜p 2解析：选C.随机掷两枚质地均匀的骰子，全部可能的结果共有36种．大事“向上的点数之和不超过5”包含的基本大事有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)共10种，其概率p 1＝1036＝518.大事“向上的点数之和大于5”与“向上的点数之和不超过5”是对立大事，所以“向上的点数之和大于5”的概率p 2＝1318.由于朝上的点数之和不是奇数就是偶数，所以“点数之和为偶数”的概率p 3＝12.故p 1＜p 3＜p 2. 2．设a 是从集合{1，2，3，4}中随机取出的一个数，b 是从集合{1，2，3}中随机取出的一个数，构成一个基本大事(a ，b )．记“这些基本大事中，满足log b a ≥1”为大事E ，则E 发生的概率是( )A.12B.512C.13D.14解析：选B.试验发生包含的大事是分别从两个集合中取两个数字，共有12种结果，满足条件的大事是满足log b a ≥1，可以列举出全部的大事，当b ＝2时，a ＝2，3，4，当b ＝3时，a ＝3，4，共有3＋2＝5个，∴依据古典概型的概率公式得到概率是512.3．(2022·高考课标全国卷Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．解析：两本不同的数学书用a 1，a 2表示，语文书用b 表示，由Ω＝{(a 1，a 2，b )，(a 1，b ，a 2)，(a 2，a 1，b )，(a 2，b ，a 1)，(b ，a 1，a 2)，(b ，a 2，a 1)}．于是两本数学书相邻的状况有4种，故所求概率为46＝23.答案：234．已知直线l 1：x －2y －1＝0，直线l 2：ax －by －1＝0，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，则直线l 1∩l 2＝∅的概率为________．解析：∵a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}， ∴a ，b 各有6种取法， ∴总大事数是36，而满足条件的只有两组数a ＝2，b ＝4；a ＝3，b ＝6. ∴P ＝236＝118.答案：1185．某班体育爱好小组共有12名同学(学号为1到12)，要从中选出一个同学去参与某项竞赛，由于1号同学受伤，只好从2至12号同学中选出．由于这11位同学水平相当，所以有人提议用如下的方法选出：用两台完全相同的计算机各随机产生1到6中的一个整数，这两个整数的和是几就选择几号．你认为这种方法公正吗？若公正，说明理由；若不公正，说明这种方法最有可能选中几号？几号同学被选中的可能性最小？解：所以基本大事空间中共有36个基本大事．其中，选中2号与12号的概率都为136，选中3号与11号的概率都为236＝118，选中4号与10号的概率都为336＝112，选中5号与9号的概率都为436＝19，选中6号与8号的概率都为536，选中7号的概率为636＝16，所以这种方法不公正，最有可能选中7号，2号和12号同学被选中的可能性最小．6．(选做题)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩玩耍，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的全部状况．(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙商定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此玩耍是否公正？说明你的理由．解：(1)甲、乙二人抽到的牌的全部状况(方片4用4′表示)为：(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同状况．(2)甲抽到红桃3，则乙抽到的牌只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为23.(3)不公正．由甲抽到的牌的牌面数字比乙大有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)5种，甲胜的概率为P1＝512，乙胜的概率为P2＝712.∵512＜712，∴此玩耍不公正．。