数学竞赛之窗
第34届中国数学奥林匹克
，
，
表 中 至 少有 ｉＶ 个 偶数． （ 王 新 茂 供 题 ）
将 个点 ６ ．
２０ １ ８
点 的 位 ＞
／
…
，
２，
Ｐ ，
２ （ ） １ ８ （
置可 以 相 同 ） 放 置在 一 个 给 定 的 正 五边形 的
内 部或边界上 ． 求 所有放置方式 使得 ，
Ｈ Ｗ ５ ＝
４
／ （ ６ ＋ ｃ ） ＋ （ ｃ ＋ ＋ ｃｉ ） （ ｒ ｆ ＋ ６ ） ＋ （ ６ ＋ ￡ｉ ） ＼
矣 ４
从而
Ｓ ５ ２ ｘ ６２ －
ｓ
８
１
＝－
１
．
，
＾ ＾ （ ｉ ｉ ）
＋ ｄ ＋ ａ
ｂ ＾ ｂ
ｃ ＾ ｃ＋ ｄ ＾ ＋ ｅ ＾ ｅ ＋ ａ
＾ （
ｉ ｉｉ ）
ａ ＋ ｉ ＾ ｉ ＋ｃ Ｎ ｃ ＋ｄ ＾ ｄ＋ ｅ ＾ ｅ ＋ａ
为 数 则 矛 盾 此 情况 负
ａ ＋ ＊＋ ｃ ＋ ｄ ＋ ｅ ＜ ０
．
，
，
不会发生 ．
综上 Ｓ 彡 ２ ５ －
１
．
，
当 时 取 到 最 ａ ＝ ｆ ｃ
、〇 、
（＾ 、
６
－
１ ，
＜１ ＋ ６ ＋ 〇 ＋
求 ＋ ５ ｔ／
ｅ ＝
．
＋ ＋ ＋ ｄ ｄ Ｓ
＝ （
ａ
ｂ ） （ ｂ
ｃ ） （ ｃ
） （
＋ ＋
ｅ ） （ ｅ
ａ
）
2018年初中数学联赛试题及参考答案_一_
则使得（ｘ＠ｙ）＠ｚ＋（ｙ＠ｚ）＠ｘ＋（ｚ＠ｘ）＠ｙ＝０ 的 整
数 组 ）（ｘ，ｙ，ｚ）的 个 数 为 （ ）．
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４
答 （Ｄ）．
（ｘ＠ｙ）＠ｚ＝ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）＠ｚ＝ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）＋ｚ
－ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）ｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ，
由 对 称 性 ，同 样 可 得
＋３ａｂ］＝０，
又ａ－ｂ＝２，所 以 ２－２［４＋４ａｂ］＋２［４＋３ａｂ］＝
０，解得ａｂ＝１．所 以ａ２＋ｂ２＝ （ａ－ｂ）２ ＋２ａｂ＝６，ａ３ －
ｂ３＝（ａ－ｂ）［（ａ－ｂ）２＋３ａｂ］＝１４，ａ５ －ｂ５ ＝ （ａ２ ＋ｂ２）
（ａ３－ｂ３）－ａ２ｂ２（ａ－ｂ）＝８２．
５．对任意的 整 数 ｘ，ｙ，定 义 ｘ＠ｙ＝ｘ＋ｙ－ｘｙ，
（ｙ＠ｚ）＠ｘ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ，（ｚ
＠ｘ）＠ｙ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ．
所以，由已知可得 ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ
＝０，即 （ｘ－１）（ｙ－１）（ｚ－１）＝ －１．
所以，ｘ，ｙ，ｚ 为整数时，只能有以下几种情况：
烄ｘ－１＝１， 烄ｘ－１＝１， 烅ｙ－１＝１， 或烅ｙ－１＝－１， 烆ｚ－１＝－１， 烆ｚ－１＝１，
２０１８ ５ ＞ ３３ ＝６１３３．
又 Ｍ ＝ （２０１１８＋２０１１９＋ … ＋２０１３０）＋ （２０１３１＋
１ ２０３２＋
…
＋２０１５０）＞２０１３０×１３＋２０１５０×２０＝８１３３２４３５０，
所以
１ Ｍ
＜８１３３２４３５０＝６１１１１３８４５５，故
１ Ｍ
的填空题 （本题满分２８分，每小题７分）
４．若实数ａ，ｂ 满 足ａ－ｂ＝２，（１－ａ）２ － （１＋ｂ）２
2022年奥数竞赛报名入口
2022年奥数竞赛报名入口01大赛背景为推动数学进阶知识、综合能力及数学研究等方面的潜能，助力数学教育的发展。
现由国际（澳门）学术研究院数学科学研究所与数学建模研究与应用期刊社联合举办第二届“全国大学生奥林匹克数学竞赛”。
赛事面向所有中华学子，冀从高规格的赛事中，发现和培养更多的数学爱好者，在此，欢迎广大师生踊跃参与！02组织单位国际（澳门）学术研究院数学科学研究所数学建模研究与应用期刊社03参赛对象1、全国在校大学生，在职工作人员（专科、本科、研究生不限）2、本次大赛为个人赛，每位参赛者可填写1名指导老师（指导老师可选填，非必须）04参赛规则1.比赛将以线上形式举行，参赛者须于120分钟内完成试卷，总分100分。
试卷为中文版，含5道选择题与5道简答题，选择题只需填写答案，简答题需在纸上写出作答过程并拍照上传；2.分数设置：选择题：7分/题，简答题：13分/题；05注意事项1.请各位参赛者提前10分钟登入；2.参赛者须独自完成试题，期间不得与其他参赛者交谈；3.参赛者须自备上网仪器(如个人电脑)及书写工具(计算用的纸笔)；4.比赛期间，请各位参赛者关掉所有通讯工具；5.比赛期间，参赛者不得借用任何辅助计算工具，亦不得查阅资料以助作答；6.请各参赛者谨慎作答所有题目，试卷一旦提交后便无法再作出修改或补答。
06大赛安排01冬季赛报名时间：即日起至2022年12月17日模拟比赛：2022年11月26日10时比赛日期：2022年12月17日10时奖项公布：2022年12月31日02夏季赛报名时间：2023年2月13日至2023年4月9日模拟比赛：2023年3月5日10时比赛日期：2023年4月9日10时奖项公布：2023年4月22日*模拟比赛均设置专业导师直播讲解答疑。
07大赛费用参赛者需缴纳报名费50元用于大赛组织、命题、评审、赛题讲解、及证书发放等工作。
注：因个人原因导致无法参赛的不予退费，比赛报名结束前7天一律不可取消报名或者退报名费用。
高中数学教师杂志订阅推荐
高中数学教师杂志订阅推荐1、《数学通报》北师大与中国数学会主办（月刊，主要栏目有：数学教育、教学研究、解题教学、高考研究、学习园地、国外数学教材介绍、数学应用、计算机辅助教学等）2、《数学教学》华东师大主办（月刊，主要栏目有：教学研究、数学开放题、解题策略研究、考试之窗、编后漫笔、主编见闻等）3、《数学通讯》华中师大与湖北省数学会、武汉市数学会主办（半月刊，面向高中，单期供教师用，主要栏目有：教学研究、同步参考、新教材论坛、数学应用、专论荟萃、复习参考、课外园地、数学娱乐圈等；双期供学生用）4、《中学数学教学参考》陕西师大主办（月刊，主要栏目有：教材;教法;学法、课例点评、教学访谈、教研指南、思想;方法;技巧等）5、《中学数学研究》华南师大与广东省数学会主办(月刊，主要栏目有：研究性学习、教材研究、中学数学教学、中学数学解题方法、奥林匹克之窗等)6、《中学生数学》首都师大与北京数学会主办（每月分上、下两期出版，上期面向高中生，下期面向初中生，是全国唯一的面向中学生的师院办刊物，主要栏目有：学好基础知识、思路与方法、中学数学建模、趣味数学、数学竞赛之窗、中学生习作、信息技术天地等）7、《中学数学》湖北大学主办（月刊，主要栏目有：教材教法教研、教学设计、解题方法与技巧、初数研究、课外园地、短文荟萃、竞赛之窗、学生习作等）8、《中学数学月刊》苏州大学与江苏省数学会主办（主要栏目有：数学教育、教材教法、专题研究、解题方法、正误辨析、数学应用等）9、《高中数学教与学》扬州大学主办（月刊，主要栏目有：教学研究、学习导引、解题思路、方法与技巧、复习与考试、竞赛园地、错解辨析、学生习作等）10、《中学教研》（数学）浙江师范大学主办（月刊，主要栏目有：教材教法探讨、解题方法与技巧、研究心得、竞赛之窗、初等数学研究、高考与中考、计算机与数学教学、一事一议等）1/ 1。
2016年全国初中数学联赛试题及参考答案_第一试_
解 设 Ｒｔ△ＡＢＣ 的 直 角 边 为ａ，ｂ，斜 边 为ｃ，
．
［答］１６７３３４．
设 两 个 三 位 数 分 别 为 和 ｙ，由 题 设 知
１０００ｘ＋ｙ＝３ｘｙ
①
由①式 得 ｙ＝３ｘｙ－１０００ｘ＝ （３ｙ－１０００）
ｘ，故ｙ 是ｘ 的整数倍，不妨设ｙ＝ｔｘ（ｔ为正整
数），代 入 ① 式 得 １０００＋ｔ＝３ｔｘ，所 以 ｘ ＝
１００３０ｔ＋ｔ．因 为 是 三 位 数，所 以 ｘ＝１００３０ｔ＋ｔ≥
［答］（Ｄ）．
作 ＡＨ ⊥ＢＤ 于 点 Ｈ ，易 知 △ＡＭＨ ∽
△ＣＭＤ，所
以ＡＨ ＣＤ
＝ＣＡＭＭ
，又
ＣＤ＝１，所 以
ＡＨ ＝ＣＡＭＭ
①
设 ＡＭ＝ｘ，则 ＣＭ＝槡５－ｘ．
在 Ｒｔ△ＡＢＭ 中，可得
ＡＨ ＝ＡＢＢ·ＭＡＭ
＝
槡５ｘ 槡５＋ｘ２
．
所以，由①式得 槡５ｘ ＝ ｘ ， 槡５＋ｘ２ 槡５－ｘ
奇数的立 方 差，则 称 这 个 正 整 数 为 “和 谐 数 ”。 如：２＝１３ － （－１）３，２６＝３３ －１３，２ 和 ２６ 均 为 “和谐数”．那 么，不 超 过 ２０１６ 的 正 整 数 中，所 有 的 “和 谐 数 ”之 和 为 （ ）．
（Ａ）６８５８ （Ｂ）６８６０ （Ｃ）９２６０ （Ｄ）９２６２． ［答］（Ｂ）． 注意到 （２ｋ＋１）３ － （２ｋ－１）３ ＝２（１２ｋ２ ＋ １），由 ２（１２ｋ２ ＋１）≤２０１６ 得｜ｋ｜＜１０． 取ｋ＝０，１，２，３，４，５，６，７，８，９，即 得 所 有 的 不 超 过 ２０１６ 的 “和 谐 数 ”，它 们 的 和 为 ［１３－（－１）３］＋（３３－１３）＋ （５３－６３）＋ … ＋（１９３－１７３）＝１９３＋１＝６８６０． ４．已 知 ⊙Ｏ 的 半 径 ＯＤ 垂 直 于 弦 ＡＢ，交 ＡＢ 于点Ｃ，连接 ＡＯ 并延长交 ⊙Ｏ 于 点Ｅ，若 ＡＢ＝８，ＣＤ＝２，则△ＢＣＥ 的面积为（ ）． （Ａ）１２ （Ｂ）１５ （Ｃ）１６ （Ｄ）１８ ［答］（Ａ）． 设 ＯＣ＝ｘ，则 ＯＡ＝ ＯＤ＝ｘ＋２，在 Ｒｔ△ＯＡＣ 中，由勾 股 定 理 得 ＯＣ２ ＋ ＡＣ２＝ＯＡ２，即 ｘ２ ＋４２ ＝ （ｘ＋２）２，解 得 ｘ＝３．又 ＯＣ 为 △ＡＢＥ 的 中 位 线， 所以 ＢＥ＝２ＯＣ＝６． 所以直角 △ＢＣＥ 的 面 积 为 １２ＣＢ·ＢＥ＝ １２． ５．如 图，在 四 边 形 ＡＢＣＤ 中，∠ＢＡＣ＝
初中数学竞赛中学生数学思维的培养
初中数学竞赛中学生数学思维的培养摘要:数学竞赛是当前中学数学教育实践中的一个非常重要的组成部分,全国各地有很多学校以各种形式组织学生进行竞赛的培训和学习。
同时各种层次的数学竞赛层出不穷,很多学生也因为各种原因参加到这项活动中间来。
本文就笔者多年的教学经验,谈了以下几点培养策略,供大家参考。
关键词: 初中数学竞赛数学思维数学竞赛活动考察的是学生的数学思维和数学能力,因此数学竞赛的本质是数学思维的学习。
思维是人类的理性认识活动,它推动着人类社会的发展,同时它也推动人类自身的智能发展。
数学学习的全过程是充满着思维的过程。
思维是数学认知的核心,它决定着数学学习的活动。
所谓数学思维,就是以数学为对象,以数学活动为载体的一种思维。
数学思维过程是人脑对信息(有外部信息或内部信息)的加工整合的过程。
1、变换研究对象,引导学生侧面求解在分析诸多数学问题时,选择研究对象是首要环节,也是重要环节。
对于复杂的问题,选择研究对象时要进行多种可能方案的比较、判断。
在采取常规方案分析问题时,如果求解遇到不可逾越的障碍,应指导学生及时地变换研究对象。
化正面突破为侧面突破。
应用数学知识和方法解决实际问题是学习数学的重要目的之一。
而列方程解应用题对初中同学来说是一个困难所在,学习列方程解应用题应注重两个方面:(1)促使综合型思维向分析型思维的转轨。
从各个侧面分析列方程的来龙去脉,突破小学形成的固有的综合思维模式(从已知出发列综合算式求未知数,形成分析思维模式。
(2)善于把应用题中的生活语言转换成数学语言。
有些应用题,它所涉及到的量比较多,量与量之间的关系也不明显,需变换研究对象或增设一些表知辅助建立方程,辅助表知数的引入,在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”,对这种辅助未知量,并不能或不需要求出,可以在解题中相消或相约。
2、加强数学思想方法的教育数学竞赛是以中学数学为基础的,它的一些思想方法又是基本的和朴素的,那么,在普通的中学数学教育中加强思想方法的教学是完全可能的,并且是十分重要的,不应该只是一些定义、公式、符号的堆积,而恰恰忽视蕴含其中的思想方法。
天地间月亮明 数学竞赛
天地间月亮明数学竞赛月亮明数学竞赛欢迎参加《天地间月亮明数学竞赛》！本次竞赛为广大数学爱好者提供了一个展示才华的舞台，也是锻炼数学能力的良好机会。
以下是本次竞赛的相关要点和规则。
一、竞赛概述《天地间月亮明数学竞赛》是一场面向全球的高水平数学竞赛，旨在发现和选拔优秀的数学人才，促进数学研究与交流。
竞赛内容将涵盖数学的各个领域，包括但不限于代数、几何、概率与统计等。
二、竞赛时间与地点本次竞赛将于2022年5月1日至5月15日期间举行，具体比赛时间将通过官方平台提前公布。
竞赛地点为线上，参赛者可通过互联网进行报名和参赛。
三、竞赛分级与奖项设置为了保证竞赛的公平性和区分度，本次竞赛将根据参赛者的学历和经验分为初级组和高级组。
初级组面向中小学生和初级爱好者，高级组面向大学生和高级研究者。
竞赛设有个人奖和团队奖，获奖者将有机会获得奖金和荣誉证书。
四、竞赛规则和考试内容竞赛将采用在线形式进行，参赛者需在规定时间内完成各项考试题目。
竞赛题目将根据参赛组别进行分类，难度适宜。
参赛者可以使用常规的数学工具和在线计算器等辅助工具。
五、报名方式与费用参赛者可通过官方网站或指定报名平台进行报名，报名时间截止为竞赛开始日期的前一天。
报名费用为每人50元，团队报名优惠政策另行公布。
六、竞赛宗旨与意义《天地间月亮明数学竞赛》旨在激发数学学习的兴趣，培养数学思维和分析问题的能力，加强国际间的学术交流与合作。
通过竞赛的形式，提高参赛者在数学领域的综合能力，为其未来的学术发展打下坚实基础。
七、注意事项参赛者在竞赛过程中需遵守公平、诚信的原则，严禁抄袭、作弊等违规行为。
一经发现，将取消其竞赛资格并作出相应处理。
同时，官方将保证竞赛结果的公正性和公布结果的时效性。
请参赛者认真阅读并遵守本文所述的竞赛要点和规则。
祝愿各位参赛选手在《天地间月亮明数学竞赛》中取得好成绩，成为优秀的数学人才！让我们共同见证数学的魅力，为数学事业的发展贡献力量！。
解决小学奥数问题的方法：染色分类法
一种解决数学问题的新方法：染色分类法【摘要】：在现实生活中，有一些判断能与否的数学问题涉及到的知识点很少，难以快速地找到解题思路。
本文主要介绍一种解决这类数学问题的新方法：染色分类法。
对研究对象进行染色，可以形象、直观地使某些隐蔽的条件显露，从而 获得简明的解答。
【关键字】：染色 分类 数学问题一、 用染色解决图形覆盖问题：在中学数学竞赛中，我们常常会碰到这样的题目：用多个几何图形去覆盖另一个几何图形，问能否实现。
如果我们每一种情况都去试，不仅花时间，而且容易因考虑不全而出错。
对于这一类问题，我们不妨对涉及到的几何对象进行染色，再来寻找解题思路。
问题一：能否用2个田字形和7个T 字形恰好覆盖一个6⨯6网格？分析：这道题看似简单，但是如果要穷尽每种情况去试一试，却不太可行。
考虑到网格中共有36个小方格，不妨通过染色把这36个小方格分成黑白两类，然后看用田字形能覆盖住多少个，T 字形能覆盖住多少个，从而判断该题是否有解。
解：由于用黑白两种颜色对6⨯6 网格进行染色（如图），可以看到图中有18个黑格，18个白格。
而用一个田字形，无论放在哪里，都能覆盖住一个黑格，一个白格；而T 字形能覆盖住1个或3个白格。
所以2个田字形和7个T 字形总共覆盖住奇数个白格，而6⨯6 网格中总共有18（偶数）个白格，所以不能完全覆盖住。
问题二 ：要用40块方形瓷砖铺设如图2所示图形的地面，但当时商店只有长方形瓷砖，每块大小等于方形的两块，一人买了20块长方形瓷砖，结果弄来弄去始终无法完整铺设好，你能否用这20块瓷砖（不分割任何一块）帮他铺好地面？图2 图3分析：要得出这道题的答案并不难，但是如何从理论上证明却没那么简单。
这里，如果我们仿照问题一采用染色方法，不仅能更快得出答案，更能较好地说明理由，让读者一目了然。
解：在图形上黑、白相间地染色，如图3。
则共有19个白格和21个黑格。
一块长方形瓷砖只可盖住一白一黑两格。
为了把所有的白格都盖住，需要19块长方形瓷砖，但19块长方形瓷砖只能盖住19个黑格，还有两个黑格没有盖住。
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中任意两点距离≥d , 所以它们又都在以 P 为
圆心, d 为半径的半圆外. 故这些去掉的点都落
在阴影部分中. (不包括虚线边界)
由于相似,
所以比值X
Y
Y Z
保持不变.
注意: 不管 X , Y , Z 同 A 的位置关系如
何, 这都是正确的. (图中∠A X B = Α, ∠A YB
= Β, ∠A ZB = Χ, 则 ∠B X Y = 180°- Α,
因此, 不论 l 如何选择, 相应的三角形 B X Y 与 B X Z 的各内角的大小都不改变.
假设 S 中的点在 xy 平面内, 且点 P 是 y 轴坐标最大的那个点, 把 P 归入 T.
现在去掉点 P 和那些 S 中所有与点 P 的距离< 3 ·d 的点.
在剩下的那些点中, 再取出纵坐标最大 的点, 将其归入 T , 并去掉 S 中所有与此点相 距< 3 d 的点. 以此类推, 直到取尽 S 中所 有的点.
盾!
意两点至少相距 3 d.
证 我们采用如下的方式构造 T :
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显然, 所有归入 T 的点, 两两之间的距 离≥ 3 d.
为了证明 T
≥
n 7
,
只需证明上述过程中
的每一步, 去掉的点的个数不会超过 6 个. 注意
到在每一步中, 我们取了一个纵坐标最大的点
P , 所以所有与 P 相距< 3 d 的点都在以 P
为圆心, 3 d 为半径的半圆内(见图 2) , 而 S
2003 年第 19 期 数 学 通 讯
43
数学竞赛之窗
(本栏目特邀主持人 熊 斌 冯志刚)
有关本栏目的稿件, 请直接寄给熊斌 (200062, 华东师范大学数学系 E - m ail: x iongb in @ sh163. net) , 或冯志刚 (200231, 上海市上海中学 E - m ail: zhgfeng@on line. sh. cn). 提供试题及 解答请尽量注明出处.
30°·k + Β±1°= 12·Β. 不难得到上述方程的满足条件的整数解 (k, Β) 为 (4, 11) 或 (7, 19). 所以
n= 60k + 2Β= 262 或 458. 2 求 200320022001 的最末三位数字.
解 设 N = 20022001, 问题即是求 2003N 除以 1000 所得的余数.
是最小圆的圆周上不同于 A 和 B 的一个动
点. 直线 A X 与另两圆分别交于 Y 和 Z (Y 在
X
和Z
之间).
求证:
比值X
Y
Y Z
不随动点
X
的
位置而改变.
证 如图 1 所
示, 设 l 是不同于 A B
且过A 的直线, l 与三
个圆分别交于点 X ,
图1
Y , Z.
显然, ∠A X B , ∠A YB , ∠A ZB 与 l 的选 择无关.
本期给出由华东师大二附中苏勇先生提 因为 32= 10- 1, 利用二项式展开, 有
供的《第 35 届 (2003) 加拿大数学奥林匹克试
32m = ( 10 - 1 ) m = ( - 1 ) m + 10m
题及解答》.
m (m - 1)
· (- 1) m - 1+ 100 2 (- 1) m - 2+ …+ 10m.
12≡13 (m od 25) , 22001≡4·13= 52 (m o d 100).
即 20022001可以写成 100k + 52 的形式, 其中 k ∈Z. 于是, 200320022001 ≡352 (m o d 1000) ≡120·13+ 1300·25≡241 (m od 1000). (利用 了 (1) 式)
第 35 届 (2003) 加拿大数学奥 林匹克
1 有一个标准的时钟, 某刻时针和分针恰相 隔 1°, 而此时已是中午过后 n 分针, 其中 n 为 整数, 且 0< n< 720. 试确定所有可能的 n.
解 由于时钟上每两个相邻的刻度恰相 隔 30°, 可以设此刻时针与刻度 12 的夹角 Α = 30°·k + Β, 其中 0≤k ≤11; 0≤Β< 30°, 且 k , Β∈Z. 注意到每 1 个小时, 时针转过 30°而 分针转过 360°, 故分针的角速度为时针的 12 倍. 因此有
由 于 2003N ≡3N (m od 1000) , 下面先来 求 1 个 n, 使得 3n ≡1 (m od 1000) , 这样, 将 20022001写为 nk + r 的形式, 便有:
可见, 除了开头的三项外, 其余每一项皆为 1000 的倍数. 令m = 2q, 则 34q≡1- 20q+ 100q (2q- 1) (m od 1000) (1) 因 此, 3100 ≡ 1 (m od 1000 ). 故 只 要 确 定
x 2+
y 2+
z
2≥
1 3
(x +
y+
z ) 2≥3x 2y 2z 2,
2003N ≡3nk+ r≡ (3n) k ·3r≡3r (m o d 1000).
即 x y z ≥3x 2y 2z 2,
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所求的最末三位数码为 2, 4, 1. 3 求不定方程: x 3+ y 3+ z 3= x + y + z ; x 2 + y 2+ z 2= xy z 的所有正实数根 (x , y , z ).
解 因为 x , y , z ∈R+ , 所以 x 3 + y 3 + z 3 ≥3xy z.
故 x + y + z ≥3xy z , 所以
∠B YX = Β, ∠B Y Z = 180°- Β, ∠B Z Y = Χ; 如 果 X 和 Y , Z 分 别 位 于 A 的 两 侧, 则 ∠A X B = 180°- Α, 但仍然有∠B X Y = 180°Α等, 其余情况类似) 5 S 是平面上 n 个不同的点组成的点集. S 中任意两点距离的最小值为 d. 证明: 存在一
个S
的由至少
n 7
个点组成的子集
T
,
T
中任
图 2
图3
将阴影部分分为如图 2 所示相同的 6
份. 如果去掉的点多于 6 个, 由抽屉原理, 至
少有 2 个点落在同一区域内, 不妨设为 R 1,
如图 3. 但区域 R 1 中任两点距离的最大值为
A B = d. 故落在 R 1 内的那两点间距< d , 矛
20022001 除 以 100 所 得 的 余 数 即 可. 由 于
20022001 ≡22001 (m o d 100) ≡4·21999 (m o d 4· 25). 又 210= 1024≡- 1 (m od 25) , 所以
21999 = (210) 199 ·29 ≡ (- 1) 199 ·512≡-
44
数 学 通 讯 2003 年第 19 期
于是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xy
z
≤
1 3
(1)
又 x y z = x 2+ y 2+ z 2≥3 3 x 2y 2z 2 , 可得
xy z ≥27
(2)
(1) 和 (2) 导致矛盾.
因此, 此不定方程无正实数根.
4 三个固定的圆通过 2 个定点 A 和 B. X