第一章 章末复习课

章末复习课网络构建核心归纳1.正弦定理(1)正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R体现了三角形中的边角关系，是边与角的和谐统一，用正弦定理可以解决解三角形的两类问题：①已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边.②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角.(2)值得注意的是已知三角形的任意两边与其中一边的对角，运用正弦定理解三角形时，解不唯一，可结合三角形中大边对大角的性质去判断解的个数.2.余弦定理余弦定理主要解决以下两类解三角形问题：(1)已知三角形的两边和它们的夹角由余弦定理求出第三边进而求出其余两角.(2)已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他角.另外，在应用余弦定理解决问题时，要特别注意定理的变式，做到灵活应用. 3.正、余弦定理的实际应用正弦定理、余弦定理在实际生产生活中有着非常广泛的应用.常见题型有距离问题、高度问题、角度问题以及求平面图形的面积问题等.解决这类问题时，首先要认真分析题意，找出各量之间的关系，根据题意画出示意图，将要求的问题抽象为三角形模型，然后利用正弦定理、余弦定理求解，最后将结果还原为实际问题，可用框图表示： 实际问题――→抽象概括解三角形问题――→推理演算三角形问题的解――→还原说明实际问题的解要点一 应用正、余弦定理解三角形这类问题一般要先审查题设条件，进行归类，根据题目类型确定应用哪个定理入手解决.解斜三角形有下表所示的四种情况：已知条件 应用定理 一般解法一边和两角(如a ，B ，C )正弦定理由A ＋B ＋C ＝180°求出角A ；由正弦定理求出b 与c ；S △＝12ac sin B 在有解时只有一解两边和夹角(如a ，b ，C )余弦定理 由余弦定理求出第三边c ；由正弦定理求出小边所对的角；再由A ＋B ＋C ＝180°求出另一角，S △＝12ab sin C在有解时只有一解三边(a ，b ，c ) 余弦定理由余弦定理求出角A ，B ，再利用A ＋B ＋C ＝180°求出角C ，S △＝12ab sin C 在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a ，b ，A )正弦定理 由正弦定理求出角B ，由A ＋B ＋C ＝180°求出角C ，再利用正弦定理求出c ，S △＝12ab sin C 可有两解、一解或无解【例1】 在△ABC 中，B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255.(1)求BC 边的长；(2)求AB 边上的中线CD 的长. 解 (1)由cos C ＝255，得sin C ＝55， sin A ＝sin(180°－45°－C )＝sin(135°－C ) ＝22(cos C ＋sin C )＝31010.由正弦定理，得BC ＝ACsin B ·sin A ＝1022×31010＝3 2. (2)由正弦定理，得AB ＝AC sin B ·sin C ＝1022×55＝2.BD ＝12AB ＝1. 由余弦定理，得CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos B ＝1＋18－2×1×32×22＝13.【训练1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设a ，b ，c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和c b ＝12＋3，求A 和tan B 的值. 解 由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12， ∴A ＝60°.在△ABC 中，C ＝180°－A －B ＝120°－B . 由已知条件，应用正弦定理得 12＋3＝c b ＝sin C sin B ＝sin （120°－B ）sin B＝sin 120°cos B －cos 120°sin B sin B＝32tan B ＋12，从而tan B＝12.要点二判断三角形的形状根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径：(1)化边为角；(2)化角为边.常见具体方法有：①通过正弦定理实施边角转换；②通过余弦定理实施边角转换；③通过三角变换找出角之间的关系；④b2＋c2－a2＞0⇔A为锐角，b2＋c2－a2＝0⇔A为直角，b2＋c2－a2＜0⇔A为钝角.【例2】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解析依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin B cos C＋cos B sin C＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，从而sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，解得sin A＝1，∴A＝π2，故选B.答案 B【训练2】已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a＋c＝2b且2cos 2B－8cos B＋5＝0，求B的大小并判断△ABC的形状.解∵2cos 2B－8cos B＋5＝0，∴2(2cos2B－1)－8cos B＋5＝0，∴4cos2B－8cos B＋3＝0，即(2cos B－1)(2cos B－3)＝0.解得cos B＝12或cos B＝32(舍去).∵B∈(0，π)，∴B＝π3.∵a＋c＝2b，∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－⎝⎛⎭⎪⎫a＋c222ac＝12.化简得a2＋c2－2ac＝0，解得a＝c.又a＋c＝2b，∴a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形.要点三正、余弦定理在生活中的应用1.几种常见题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题等.2.解题时需注意的几个问题(1)要注意仰角、俯角、方位角、方向角等概念，并能准确地找出(或作出)这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决.【例3】如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处.(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？解(1)在Rt△P AB中，∠APB＝60°，P A＝1，∴AB＝ 3.在Rt△P AC中，∠APC＝30°，∴AC ＝33.在△ACB 中，∠CAB ＝30°＋60°＝90°， ∴BC ＝AC 2＋AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋（3）2＝303. 则船的航行速度为303÷16＝230(千米/时). (2)在△ACD 中，∠DAC ＝90°－60°＝30°， sin ∠DCA ＝sin(180°－∠ACB )＝sin ∠ACB ＝AB BC ＝3303＝31010，sin ∠CDA ＝sin(∠ACB －30°)＝sin ∠ACB ·cos 30°－cos ∠ACB ·sin 30° ＝31010·32－12·1－⎝ ⎛⎭⎪⎫310102 ＝（33－1）1020.由正弦定理得AD sin ∠DCA ＝ACsin ∠CDA，∴AD ＝AC ·sin ∠DCAsin ∠CDA ＝33·31010（33－1）1020＝9＋313.故此时船距岛A 有9＋313千米.【训练3】 已知海岛A 四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A 在北偏东75°，航行202海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？ 解 如图所示，在△ABC 中，依题意得BC ＝202海里，∠ABC ＝90°－75°＝15°， ∠BAC ＝60°－∠ABC ＝45°.由正弦定理，得AC sin 15°＝BC sin 45°，所以AC ＝202sin 15°sin 45°＝10(6－2)(海里).故A 到航线的最短距离为AD ＝AC sin 60°＝10(6－2)×32＝(152－56)(海里).因为152－56＞8，所以货轮无触礁危险. 要点四 与三角形有关的综合问题该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等. 【例4】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . (1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长.解 (1)已知等式利用正弦定理化简得：2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 整理得：2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， ∵sin C ≠0，sin(A ＋B )＝sin C ， ∴cos C ＝12，又0＜C ＜π，∴C ＝π3. (2)由余弦定理得7＝a 2＋b 2－2ab ·12， ∴(a ＋b )2－3ab ＝7，∵S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332， ∴ab ＝6，∴(a ＋b )2－18＝7， ∴a ＋b ＝5，∴△ABC 的周长为5＋7.【训练4】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2. (1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2， 故sin B ＝4(1－cos B ).上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517. (2)由cos B ＝1517得sin B ＝817， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac . 又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4.所以b ＝2.。