初一数学-第三十讲一元一次方程——追及问题1
人教版七年级上册数学：实际问题与一元一次方程相遇追及问题打印ppt课件
AB 36千米
甲
乙
2 、解放军某部从营地出发，以每小时6千米的速 度向目的地前进，8小时后部队有急事，派通讯员 骑摩托车以每小时54千米的速度前去联络．多长 时间后，通讯员能赶上队伍？
家
4×0
4X
.5
8 X
学校
地追 及
变式 练习
分
析
1、 A、B两车分别
线段图分析：
停靠在相距115千米的
A
B
甲、乙两地，A车每小
老师寄语：
千里之行始于足下， 抓住今天就是成功的开始。
任何事，只要努力就精彩！
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列方程是解决实际问题的有效途径之一
1、审题：分析题意，找出题中的已知量、 未知量 及其 相等关系 2、设元：选择一个适当的未知数用字母表示（如X） 3、列方程：根据题意找出的相等关系列出方程 4、解方程：求出未知数的值 5、检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形 6、答：写出答案
（2）若两人同时同地同 向出发，多长时间两人 首次相遇？
●
列方程：5x + 400 = 7.5x
相等关系： 小王路程 + 400 = 叔叔路程
变式 练习
分
析
1、 A、B两车分别 停靠在相距115千米的
线段图分析：
甲、乙两地，A车每小
A
B
时行50千米，B车每小
甲
乙
时行30千米，A车出发
1.5小时后B车再出发。
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追及问题
七二班 黎红
• 直道行程问题中的等量关系: • 1、快者行走的路程—慢者行走的路程=追 及路程 • 2、若同时出发，追及时快者用的时间=慢 者用的时间
• 一队学生到校外进行军事野营训练，他们 以5km/h的速度行进，18min后，学校发现 他们忘拿一些物品，一位老师骑自行车将 这些物品给学生送去，这位老师的速度为 14km/h，那么他用多长时间能追上学生队 伍？
• 环形追及问题中的等量关系： • 同向追及问题：第一次相遇快者路程— 第一次相遇慢者路程=环形跑道一圈的长度
• 甲乙两人在一条长为400m的环形跑道上跑 步，甲的速度为360m/min，乙的速度为 240m/min。两人同时同向跑，为第一次相 遇时，两人一共跑了几圈？
பைடு நூலகம்
• 甲乙两人在环形跑道上练习跑步，已知跑 道一圈长400m，甲每秒钟跑6m，乙每秒钟 跑8m，如果甲乙两人在跑道上相距8m，同 时同向出发，那么经过多久两人相遇？
• 做一做 • 小斌和小强每天早上坚持跑步，小 斌每秒跑4m，小强每秒跑6m。如果小强站 在百米跑道的起点处，小斌站在他前面10m 处，两人同时同向跑，几秒后小强能追上 小斌？
• 甲乙两人都从A地到B地，甲步行每小时走 5km,先走了1.5好，乙骑自行车走了50min， 两人同时到达B地，乙每小时骑多少米？
一元一次方程-相遇、追及问题
19
精讲 例题
分
析
例2、小明每天早上 要在7:50之前赶到距离 家1000米的学校上学， 一天，小明以80米/分 的速度出发，5分后， 小明的爸爸发现他忘了 带语文书，于是，爸爸 立即以180米/分的速 度去追小明，并且在途 中追上他。 （1）爸爸追上小明用 了多少时间？ （2）追上小明时，距 离学校还有多远？
1.顺逆问题 2. 3.追及问题
一、明确行程问题中三个量的关系
三个基本量关系是：速度×时间=路程 引例：从甲地到乙地，水路比公路近40千米，上午十 时，一艘轮船从甲地驶往乙地，下午1时一辆汽车从甲地
驶往乙地，结果同时到达终点。已知轮船的速度是每小时 24千米，汽车的速度是每小时40千米，求甲、乙两地水路、 公路的长，以及汽车和轮船行驶的时间？
线段图分析：
A
B
80千米
甲
乙
第二种情况： A车路程＋B车路程-相距80千米= 相距路程
变式 练习
分
析
1、 A、B两车分别 停靠在相距115千米的
线段图分析：
甲、乙两地，A车每小
A
B
时行50千米，B车每小
甲
乙
时行30千米，A车出发
1.5小时后B车再出发。
（1）若两车相向而行， 请问B车行了多长时间 后与A车相遇？
解：设船在静水中的平均速度为x千米/时，则顺流
速度为（x+3）千米/时，逆流速度为（x-3）千米/时。
根据往返路程相等，列得
2(x+3)=2.5(x-3)
去括号，得
2x+6=2.5x-7.5
移项及合并，得 0.5x=13.5
X=27
答：船在静水中的平均速度为27千米/时。
人教版列一元一次方程解决追击问题
5
两匹马赛跑，黄色马的速度是6m/s，棕色马的速度是7m/s，如果让黄马先跑5m，棕色马再开始跑， 几秒后可以追上黄色马？
5米
黄色先跑的路程
黄色马后跑的路程
棕色马跑的路程 6
两匹马赛跑，黄色马的速度是6m/s，棕色马的速度是7m/s，如果让黄马先跑5m，棕色马再开始跑， 几秒后可以追上黄色马？
（1）爸爸追上小明用了多长时间？
（2）追上小明时，距离学校还有多远？
小明前5分钟走的路程
从爸爸出发到追上小明， 这段时间内小明走的路程
爸爸走的路程
10
小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学。小明以80米/分的速度出发，5分后，小 明的爸爸发现她忘了带语文书。于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了她。
12
追击问题
同时不同地出发 两者相距的路程+慢者走的路程=快者走的路程 同地不同时出发 慢者先走的路程+慢者后走的路程=快者走的路程
13
（1）爸爸追上小明用了多长时间？
（2）追上小明时，距离学校还有多远？
（1）设爸爸追上小明用了x分钟,
小明前5分钟走的路程=80×5
从爸爸出发到追上小明，这
段时间内小明走的路程=80x
爸爸走的路程=180x
等量关系：80×5＋80x＝180x
11
小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学。小明以80米/分的速度出发，5分后， 小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。
解： 设棕色马x秒后可以追上黄色马, 则棕色马x秒跑的路程为7xm，黄色马x秒跑路程为6xm。 根据题意得： 5+6x=7x 解得: x=5
一元一次方程(追击问题)知识讲解
一元一次方程——行程问题（追及问题）【基本关系式】（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（2）基本类型①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距②追及问题：快行距－慢行距＝原距速度差：快车比慢车单位时间内多行的路程。
即快车每小时比慢车多行的或每分钟多行的路程。
追及时间：快车追上慢车所用的时间。
路程差：快车开始和慢车相差的路程。
熟悉追及问题的三个基本公式：路程差=速度差×追及时间；速度差=路程差÷追及时间；追及时间=路程差÷速度差追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。
①同时不同地：甲的时间=乙的时间甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程②同地不同时：甲的时间=乙的时间-时间差甲的路程=乙的路程③环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。
解题技巧：在理解行驶时间、地点、方向等关系的基础上画出线段图，分析题意思，寻找路程差及另外两个量之间的关系，最终找到解答方法。
【经典例题】例题1.甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。
行程（追击）问题例1.甲、乙两人相距150米，甲在前，乙在后，甲每分钟走60米，乙每分钟走75米，两人同时向南出发，几分钟后乙追上甲？例2.骑车人与行人同一条街同方向前进，行人在骑自行车人前面450米处，行人每分钟步行60米，两人同时出发，3分钟后骑自行车的人追上行人，骑自行车的人每分钟行多少米？例3.两辆汽车从A地到B地，第一辆汽车每小时行54千米，第二辆汽车每小时行63千米，第一辆汽车先行一会后，第二辆汽车才出发，12小时后追上第一辆车，问第二辆汽车出发时相距第一辆汽车多少千米？例4.甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，乙起飞时甲已飞出300千米，甲机每小时行300千米，乙2小时后追上甲飞机，乙飞机每小时飞行多少千米？练习1.姐姐步行速度是75米/分，妹妹步行速度是45米/分。
初中数学七年级《一元一次方程的应用——追及问题》
例8 已知一次函数y=kx－k，若y随x的增大而减小， 则该函数的图象经过（ ） A．第一、二、三象限； B．第一、二、四象限
A
128 27
C 12
B 10 D 27
直接变形法
选项变形
练习3 、当a=-1时，代数式(a+1)2+a(a-3) 的值是( )
A -4
B4
C -2
D2
直接代入法
已知代入
练习4、
不等式组
x
2x 3 1 8 2x
的最小整数解是 ( )
A -1 B 0
C2 D3
直接代入法
选项代入
——追及问题
授课人：熊新成
1.若小明每秒跑4米，那么他5
秒能跑__2_0__米.
（路程=速度×时间）
2.小明用4分钟绕学校操场跑了 两圈(每圈400米)，那么他的速
度为__2_0_0_米/分.
（速度=路程÷时间）
3.已知小明家距离火车站1500 米，他以4米/秒的速度骑车到
达车站需要_6_._2_5_分钟.
（时间=路程÷速度）
例：• 解：设通讯员追上学生队伍需要 x 小时， 依题意，得： 一队1学4x生=去校5 外×进130行+军事5x野营训练。他们以 5千米/时 的速度前进解，这X走个=了方11程8，分得钟 的时候，学校要将一个紧急通知 传度给按队原长路。追答通上：讯去通员。讯6从通员学讯用校员16 出用小多发时X少，（小时骑即时间自10行可分车以钟以追）1上可4学千校米队/时伍的？速 以追上学生队伍。
当A沿数轴移动4个单位到点B时，点B
所表示的实数是( )
一元一次方程的应用之追及问题
一元一次方程的应用之追及问题问题描述追及问题是数学中一个常见的应用问题，也是一元一次方程的经典应用之一。
考虑如下情境：A 、B 两人从同一地点出发，A 的速度为 v1 m/s ，B 的速度为 v2m/s 。
如果 A 比 B 先出发 t 秒，那么 B 多久能追上 A ？构建方程为了解决这个追及问题，我们需要先构建一个一元一次方程来代表 A 和 B 的位置关系。
首先，我们根据题意可以得到 A 和 B 的距离和时间之间的关系：•A 的距离 = (A 的速度) * (时间 + t)，即 d1 = v1 * (t + t)•B 的距离 = B 的速度 * 时间，即 d2 = v2 * t其中，d1 和 d2 分别表示 A 和 B 的距离，t 表示 A 比 B 先出发的时间差。
根据题意，当 A、B 两人相遇时，他们的距离相等。
因此，我们可以得到以下方程：v1 * (t + t) = v2 * t将上述方程变换一下，得到一元一次方程的标准形式：v1 * t + v1 * t = v2 * t再进一步整理得到：(v1 - v2) * t = 0根据一元一次方程的定义，我们可以推断出 t = 0 或 v1 - v2 = 0。
由于 t 表示 A比 B 先出发的时间差，而实际问题中 A 必然比 B 先出发，所以 t 不能等于 0。
因此，我们只需考虑 v1 - v2 = 0 的情况。
当 v1 - v2 = 0 时，即 A 和 B 的速度相等，这时无论谁先出发，B 都无法追上 A。
因此，追及问题存在的条件是v1 ≠ v2。
判断追及问题是否有解在解追及问题之前，我们需要先判断问题是否有解。
根据一元一次方程的定义，我们知道如果方程的系数一致，方程有解。
因此，当v1 ≠ v2 时，追及问题有解；当 v1 = v2 时，追及问题无解。
解追及问题当追及问题有解时，我们可以利用一元一次方程的求解方法来计算出相遇的时间 t。
将 v1 和 v2 带入 t 的方程中，求解得到 t 的值。
一元一次方程的应用之追及问题
一元一次方程的应用之追及问题追及问题是一种经典的一元一次方程应用问题，常常出现在物理学、运动学以及交通领域中。
它描述的是两个物体相互追赶、追及的情况，通过建立一元一次方程来求解物体的速度、距离和时间等相关问题。
例如，假设有两个人A和B，他们在同一条直线上同时从不同的位置出发，A的速度是5米/秒，B的速度是4米/秒。
问题1：如果A和B同时出发后，多久之后他们能够相遇？问题2：相遇时，A和B分别走了多少米？首先，可以设定A和B同时出发的时间为t，那么A和B在t时间内分别走过的距离可以用速度乘以时间来表示。
根据题目中给出的数据，A 和B的速度分别是5米/秒和4米/秒，那么他们走过的距离可以表示为：A的距离=5tB的距离=4t问题1：他们相遇的时间是多久？由于他们在相遇时走过的距离是相等的，所以我们可以将A的距离和B的距离相等，即5t=4t。
解这个方程可以得到t=0，表示他们在出发后立即相遇。
但根据题意可知，他们是同时出发的，所以这个解是不符合实际情况的。
因此，我们可以设定他们相遇的时间为t，即5t=4t。
解这个方程可以得到t=0。
这个解同样不符合实际情况，所以可以排除。
问题2：相遇时，A和B分别走了多少米？我们可以将相遇时的距离设为d，即A和B相遇时的距离是d，那么根据上面的分析，A和B分别走过的距离分别是5d和4d。
根据题意，A 和B相遇时的距离是相等的，所以可以写出5d=4d，从而解得d=0。
同样不符合实际情况。
通过上面的分析可以看出，在这个问题中，A和B根本无法相遇。
这是因为在他们的出发速度中，A的速度5米/秒大于B的速度4米/秒，A 始终能够保持在B的前方，无论经过多久都不可能相遇。
通过这个例子，我们可以看到追及问题中一元一次方程的应用。
尽管上述问题中我们没有得到实际的解，但这并不妨碍追及问题在实际情况中的应用。
例如，在交通运输领域中，追及问题可以用于计算不同车辆之间的距离，以及不同车辆的相对速度和时间。
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第二十九讲一元一次方程——追及问题
【知识要点】
1.行程类应用题基本关系：路程=速度×时间
相遇问题：甲、乙相向而行，则：相遇距离=相遇时间×速度和
追及问题：甲、乙同向不同地，则：追及路程=速度差×追及时间
环形跑道问题：
①甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发：快的必须多跑一圈才能追上慢的。
②甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发：两人第一次相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度.
2.航行问题基本等量关系：
3.顺水速度=静水速度＋水速逆水速度=静水速度－水速顺水速度－逆水速度=2×水速
注意：抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静水速）不变的特点考虑相等关系. 【经典例题】
【例1】甲、乙两人从相距为180千米的A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙开汽车，沿同一条路线相向匀速行驶。
已知甲的速度为15千米/小时，乙的速度为45千米/小时。
（1）经过多少时间两人相遇？
（2）相遇后经过多少时间乙到达A地？
变式：甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲骑自行车，乙开汽车，沿同一条路线相向匀速行驶。
出发后经3 小时两人相遇。
已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经 1小时乙到达A地。
问甲、乙行驶的速度分别是多少？
【例2】市实验中学学生步行到郊外旅行。
(1)班学生组成前队，步行速度为4千米/时，(2)班学生组成后队，速度为6千米/时。
前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。
（1）后队追上前队需要多长时间？
（2）后队追上前队时间内，联络员走的路程是多少？
（3）两队何时相距3千米？
（4）两队何时相距8千米？
变式1：甲，乙两人登一座山，甲每分钟登高10米，并且先出发30分钟，乙每分钟登高15米，两人同时登上山顶。
甲用多少时间登山？这座山有多高？
变式2：甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B地到A地，两人均匀速前进。
已知两人上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米。
求A,B两地之间的距离。
【例3】一轮船往返A，B两港之间，逆水航行需3时，顺水航行需2时，水流速度是3千米/时，则轮船在静水中的速度是多少？
变式：一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时。
顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的航速和两城之间的航程。
【例4】一条环形跑道长400米，甲、乙两人练习赛跑，甲每分钟跑350米，乙每分钟跑250米。
（1）若两人同时同地背向而行，几分钟后两人首次相遇？变式：几分钟后两人二次相遇？（2）若两人同时同地同向而行，几分钟后两人首次相遇？又经过几分钟两人二次相遇？
【例5】在一段双轨铁道上，两列火车同时驶过，A列车车速为20米/秒，B列车车速为24米/秒，若A列车全长180米，B列车全长160米，两列车错车的时间是多长时间？
变式1：一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20秒的时间。
隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒，根据以上数据，你能求出火车的长度？
变式2：在一列火车经过一座桥梁，列车车速为20米/秒，全长180米，若桥梁长为3260米，那么列车通过桥梁需要多长时间？
【初试锋芒】
1.一列火车长160米，全车通过440米的桥需要30秒钟，这列火车每秒行________米.
2.我们小时候听过龟兔赛跑的故事，都知道乌龟最后战胜了小白兔．如果在第二次赛跑中，小白兔知耻而后勇，在落后乌龟1千米时，以101米/分的速度奋起直追，而乌龟仍然以1米/分的速度爬行，那么小白兔大概需要________分钟就能追上乌龟．
3.甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地想向而行，2小时相遇，若甲比乙每小时多骑2.5千米，则乙的速度是___________千米/时.
4.某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间为40秒，则火车长_________米.
5.甲和乙从相距12千米的A、B两地同时出发，相对而行．甲每小时走3.6千米，乙每小时走2.4千米，如果甲带了一只狗和他同时出发，狗以每小时5千米的速度向乙奔去，遇到乙后立即回头向甲奔去，遇到甲有回头向乙奔去，直到甲、乙两人相遇时狗才停下来．这只狗共奔跑了_______千米.
6.某船顺流航行速度为20km/h，逆流速度为16km/h,则水流速度为( )km/h
A. 2
B. 4
C. 18
D. 36
7.汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员揿一下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340米/秒．设听到回响时，汽车离山谷x米，根据题意，列出方程为（）
A．2x+4×20=4×340
B．2x-4×72=4×340
C．2x+4×72=4×340
D．2x-4×20=4×340
8.A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t小时两车相距50千米，则t的值是（）
A．2或2.5 B．2或10 C．10或12.5 D．2或12.5。