2019-2020学年福建省福州一中2018级高二上学期期末考试数学试卷及解析
福建省福州市2019-2020学年高二上学期期末数学试题
2019-2020学年第一学期福州市高二期末质量抽测数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12i z i +=，则z =( ) A. 5 B. 3 C. D. 22.命题“0R α∃∈，0tan 1α>”的否定是( )A. 0R α∃∈，0tan 1α<B. 0R α∃∈，0tan 1α≤C. R α∀∈，tan 1α<D. R α∀∈，tan 1α≤3.双曲线2214y x -=的渐近线方程为( ) A. 14y x =± B. 12y x =± C. 2y x =± D. 4y x =± 4.实数a ＞1，b ＞1是a +b ＞2的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知函数()sin 2x f x x=，则()'f x =( ) A. 2cos 2sin 2x x x x- B.2cos 2sin 2x x x x + C. 22cos 2sin 2x x x x - D. 22cos 2sin 2x x x x + 6.一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/km h ）的关系是31100y x x =+.若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为( )A. 30/km hB./h C. /h D. 60/km h7.已知双曲线E ：22214x y b-=的左顶点为A ，右焦点为F .若B 为E 的虚轴的一个端点，且0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，则F 的坐标为( )A. )1,0B. )1,0C. )1,0D. ()4,08.已知定义在区间()2,2-上的函数()y f x =的图象如图所示，若函数()'f x 是()f x 的导函数，则不等式()'01f x x >+的解集为( )A. ()2,1-B. ()()2,11,1--⋃-C. ()1,2D. ()(1-⋃ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席：①团员或班干部；②体育成绩达标.若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为( )A. 是团员，且体育成绩达标B. 是团员，且体育成绩不达标C. 不是团员，且体育成绩达标D. 不是团员，且体育成绩不达标10.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，则下列结论正确的是( )A. 11//A C 平面CEFB. 1B D ⊥平面CEFC. 112DA DD C DC E =+-u u u r u u u u u u r r u u u r D. 点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等 11.已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是( )A. ()f x 是奇函数B. 若()f x 是增函数，则1a ≤C. 当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点D. 当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点12.已知椭圆C ：22142x y +=左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线()0y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A. 四边形12AF BF 为平行四边形B. 1290F PF ∠<︒C. 直线BE 的斜率为12k D. 90PAB ∠>︒ 第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.曲线()x f x e x =-在点()()0,0f 处切线方程为______.14.已知()1,2,1n =-r 为平面α的一个法向量，()2,,1a λ=-r 为直线l 的方向向量.若//l α，则λ=______.15.已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线N ：22y px =的焦点为2F .若P 为M 与N 的一个公共点，且12PF =，则M 的离心率为______.16.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，4CA =，2PA =，D 为AB 中点，E 为PAC ∆内的动点（含边界），且PC DE ⊥.①当E 在AC 上时，AE =______；②点E 的轨迹的长度为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知复数()()()21z mi i m R =--∈.(1)若z 是纯虚数，求m 的值；(2)若z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围.18.已知椭圆E 的中心为坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过点)A，()0,1B . (1)求E 的方程；(2)过点()1,0作倾斜角为45︒的直线l ，l 与E 相交于P ，Q 两点，求OPQ ∆的面积.19.已知函数()321323mx mx x f x =--+3x =处有极小值.(1)求实数m 的值； 的(2)求()f x 在[]4,4-上的最大值和最小值.20.如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，3CD =，45ADC ∠=︒，AE 为梯形ABCD 的高，将ADE ∆沿AE 折到PAE ∆的位置，使得PB(1)求证：PE ⊥平面ABCE ；(2)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.21.在直角坐标系xOy 中，点()1,0F ，D 为直线l ：1x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 22.已知函数()()ln 0f x ax x a =≠.(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：11ln 0x e x x -+>.。
2018-2019福建省福州市中学高二上学期期末联考文科数学试题 解析版
绝密★启用前福建省福州市长乐高中、城关中学、文笔中学2018-2019学年高二上学期期末联考文科数学试题评卷人 得分一、单选题1．如果，则下列不等式成立的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据a 、b 的范围，取特殊值带入判断即可． 【详解】 解：∵a ＜b ＜0， 不妨令a ＝﹣2，b ＝﹣1， 显然A 、B 、C 不成立，D 成立， 故选：D ． 【点睛】本题考查了不等式的性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题． 2．“1x <”是“ln 0x <”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由ln 0x < ，解得01x << ，所以“1x <”是“ln 0x <”成立的必要不充分条件.故选B.3．抛物线y2= 2x 的准线方程是（ ） A ．y=12 B ．y=－12 C ．x=12 D ．x=－12【答案】D【解析】试题分析：由题意所以其准线方程为考点：抛物线的标准方程.4．若函数，则等于（）A．-2 B．-1 C．1 D．0【答案】C【解析】【分析】求函数的导数，令x＝0，即可．【详解】解：函数的导数f′（x），则f′（0）1，故选：C．【点睛】本题主要考查函数的导数的计算，根据函数导数运算法则进行求解是解决本题的关键．5．命题“a ,b 都是偶数，则a 与b 的和是偶数”的逆否命题是（）A．a 与b 的和是偶数，则a, b 都是偶数B．a 与b 的和不是偶数，则a, b 都不是偶数C．a, b 不都是偶数，则a 与b 的和不是偶数D．a 与b 的和不是偶数，则a, b 不都是偶数【答案】D【解析】【分析】根据原命题和它的逆否命题的概念即可找出原命题的逆否命题．【详解】原命题的逆否命题为：a与b的和不是偶数，则a，b不都是偶数．故选：D．【点睛】本题考查四种命题，关键在于明确四种命题之间的相互转化，属于简单题．6．等差数列的前项和为，且，则公差等于（）A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】由题意，得，则，又因为，所以公差为；故选A.点睛：在处理等差数列的前项和时，灵活利用等差数列的常见性质进行处理，可减少计算量，通过解题速度，如：若，则.7．双曲线221x y -=的焦点到其渐近线的距离为（ ）A ．1B 2C ．2D ．22【答案】A【解析】根据双曲线的方程得到焦点为)2,0，渐近线为： y x =±，根据点到直线的距离得到焦点到渐近线的距离为21.2d == 故答案为：A 。
2018-2019福建省福州市八县高二上学期期末联考数学（理）
绝密★启用前福建省福州市八县（市)协作校2018-2019学年高二上学期期末联考数学（理)试题评卷人得分一、单选题1．的焦点坐标是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】先把抛物线的方程化为标准形式，再利用抛物线x2＝2p y的焦点坐标为（0，），求出物线y＝2x2的焦点坐标．【详解】∵在抛物线y＝2x2，即x2y，∴p，，∴焦点坐标是（0，），故选：D．【点睛】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，关键是将方程化为标准式，抛物线x2＝2py的焦点坐标为（0，）．2．若直线的方向向量为,平面的法向量为,则( ) A．B．C．D．与相交【答案】C【解析】【分析】由已知得，从而得到l⊥．【详解】解：∵直线l的方向向量为，平面的法向量为，∴，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查直线与平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．3．直线过椭圆左焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】分别令直线方程中y＝0和x＝0，进而求得b和c，进而根据b，c和a的关系求得a，则椭圆的离心率可得．【详解】解：∵直线l：2x﹣y+2＝0中，令x＝0，得y＝2；令y＝0，得x＝﹣1，直线l：2x﹣y+2＝0过椭圆左焦点F1和一个顶点B，∴椭圆左焦点F1（﹣1，0），顶点B（0，2），∴c＝1，b＝2，a，∴该椭圆的离心率为e．故选：B．【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的性质的合理运用．4．下列结论正确的是( )A．命题“若，则”的逆命题为真命题B．命题“若，则”的否命题是真命题C．命题的否定是“.”D．“”是“”的充要条件【答案】C【解析】【分析】A，先写出逆命题，再举反例进行判断；B，先写出否命题，再举反例进行判断；C，命题的否定是“.”D，通过举反例进行判断.【详解】A，“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”错误，例如当m＝0时，am2＝bm2＝0，故A错误；B，命题“若，则”的否命题为“若，则”错误，如：x=-3时，；C，命题的否定是“.”正确；D，如x=-1满足“”，但不满足“”，所以不是充要条件.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用及特称命题的否定，考查四种命题间的关系与充分必要条件的概念及应用，属于中档题．5．如图，平行六面体中，与交于点，设，则A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由于，，，代入化简即可得出．【详解】，，，∴，故选：D．【点睛】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、平行六面体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知双曲线2222:1x yCa b-=(0,0)a b>>的离心率为52，则C的渐近线方程为（）（A）14y x=±（B）13y x=±（C）12y x=±（D）y x=±【答案】C；【解析】2251c bea a==+=，故2214ba=，即12ba=，故渐近线方程为12by x xa=±=±.【考点定位】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.7．已知曲线的方程为，给定下列两个命题：若，则曲线为双曲线；若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，其中是真命题的是( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【详解】若，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线，即命题p是真命题，由4﹣k＝k﹣3时，2k＝7，得k＝时，方程不表示椭圆，即命题是假命题，则为真命题，其余为假命题，故选：B．【点睛】本题主要考查复合命题真假判断的应用，根据条件判断p，q的真假是解决本题的关键．8．已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，为坐标原点，当时，，则抛物线的准线方程是（）A．B．C．或D．【答案】A【解析】【分析】当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，结合抛物线的定义可求得p，进而根据抛物线的性质求得抛物线的准线方程．【详解】由题意∠BFA＝∠OFA﹣90°＝30°，过A作准线的垂线AC，过F作AC的垂线，垂足分别为C，B．如图，A点到准线的距离为：d＝|AB|+|BC|＝p+2＝4，解得p＝2，则抛物线的准线方程是x＝﹣1．故选：A．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的关系，当涉及抛物线的焦点弦的问题时，常利用抛物线的定义来解决．9．在直角梯形ABCD 中， AD BC ， AB AD ⊥， ,E F 分别是,AB AD 的中点，PF ⊥平面ABCD ，且122AB BC PF AD ====，则异面直线,PE CD 所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 【答案】B【解析】将该几何体补形为一个长宽高分别为4,2,2的长方体，建立空间直角坐标系如图所示，则： ()()()()0,2,2,1,0,0,2,2,0,0,4,0P E C D ， 据此计算可得： ()()1,2,2,2,2,0PE CD =--=-，2406PE CD ⋅=--+=-，1443,44042PE CD =++==++=设异面直线,PE CD 所成的角为θ，则： 2cos 45PE CD PE CDθθ⋅==∴=⨯. 本题选择B 选项.10．抛物线上的点到直线的距离的最小值是（）A．B．C．D．3【答案】C【解析】由得令，易得切点的横坐标为即切点利用点到直线的距离公式得故选C11．设是椭圆的两个焦点，若椭圆上任意一点都满足为锐角则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由题设条件可知，当点P位于（0，b）或（0，﹣b）处时，∠F1PF2最大，此时0，∴，由此能够推导出该椭圆的离心率的取值范围．【详解】由题意可知，当点P位于（0，b）或（0，﹣b）处时，∠F1PF2最大，此时0，∴，∴，又∵0＜e＜1，∴．故选B．【点睛】本题考查椭圆的性质及其应用，难度不大，正确解题的关键是知道当点P位于（0，b）或（0，﹣b）处时，∠F1PF2最大．同时要注意椭圆离心率的取值范围是（0，1）．12．椭圆的左右焦点分别为,过的一条直线与椭圆交于两点,若的内切圆面积为,且,则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由已知△ABF2内切圆半径r＝1．，从而求出△ABF2，再由ABF2面积|y1﹣y2|×2c，能求出|y1﹣y2|．【详解】∵椭圆1的左右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，△ABF2的内切圆的面积为π，∴△ABF2内切圆半径r＝1．△ABF2面积S1×（AB+AF2+BF2）＝2a＝10，∴ABF2面积|y1﹣y2|×2c＝.|y1﹣y2|×2×3＝10，∴|y1﹣y2|．故选B．【点睛】本题考查两点纵坐标之差的绝对值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．13．椭圆的焦距为2，则m=__________【答案】3或5【解析】【分析】由题意可得：c=1，再分别讨论焦点的位置进而求出m的值．【详解】由题意可得：c=1．①当椭圆的焦点在x轴上时，m﹣4=1，解得m=5．②当椭圆的焦点在y轴上时，4﹣m=1，解得m=3．故答案为：3或5．【点睛】本题只要考查椭圆的标准方程，以及椭圆的有关性质．第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题14．在棱长为2的正四面体中，分别是的中点，则________.【答案】1【解析】【分析】由E是BC的中点，我们可将向量分解为（），再根据正四面体的性质，结合正四面体ABCD的棱长为2，代入••，即可得到答案．【详解】∵E是BC的中点，∴（）∴（）]•••||•||•cos120°+||•||•cos60°+2-2+1+2=1故答案为：【点睛】本题考查的知识点是向量的数量积运算，其中根据正四面体的性质，将空间向量的数量积转化为平面向量的数量积是解答本题的关键．15．若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长半轴长的最小值为____.【答案】【解析】本试题主要是考查了运用三角形的面积公式得到bc的值，然后结合a2=b2+c2，求解2a 的最值。
福建省2018-2019学年高二上学期期末考试数学理试题Word版含答案
福建省2018-2019学年上学期期末考试高二数学理试题满分150分，答卷时间2小时. 第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．32()32f x ax x =++,若()41=-'f ,则a 的值等于（ ） A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 2．若平面α与平面β的法向量分别是a ＝(4,0，－2)，与b ＝(1,0,2)，则平面α与平面β的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．无法判定3．“a >1”是“11<a”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ＝(1,2，－y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( )A ．x ＝31，y ＝1B ．x ＝21，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝41- D ．x ＝1，y ＝－15.已知双曲线与椭圆125922=+y x 共焦点，它们的离心率之和为514，双曲线的方程应是( )A.14-1222=y xB.112-422=y x C ．112-422=x y D ．14-1222=x y6.双曲线13-622=y x 的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝ ( ) A.3 B ．2 C ．3 D ．6 7.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为( )8．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1， CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.35 B. 55 C.552 D.53 9．若曲线y ＝e 2x 的一条切线l 与直线x+2y-8=0垂直,则l 的方程为（ ）A ．y ＝21x ＋1 B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝2x －1 D ．y ＝2x ＋110．已知命题p ：x 2-4x ＋3<0与q ：x 2-6x ＋8<0；若“p 且q ”是不等式2x 2-9x ＋a <0成立的充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(9，＋∞)B ．{0}C ．(－∞，9]D ．(0,9]11．在曲线)0(2≥=x x y 上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为32，则切点A 的坐标为（ ）A ．(1,1) B.（2，4） C.()2,2 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,2112．如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则b 的取值范围是（ ）A.()2--，∞ B.()1--，∞ C.()13-， D.()∞+，1 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分。
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43
A． 4x 3y 7 0
B
． 3x 4 y 7 0
C ． 3x 4y 1 0
D
． 4x 3y 1 0
11、如果 P1 ， P2 ，…， Pn 是抛物线 C ： y2 4x 上的点，它们的横坐标依次为 x1 ， x2 ，…， xn ， F 是
抛物线 C 的焦点，若 x1 x2
xn 10 ，则 P1F P2 F
（Ⅰ）求 C 的方程；
（Ⅱ） l 是与圆 P ，圆 M 都相切的一条直线， l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，当圆 P 的半径最长时，求
AB .
22、（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为
A ，左焦点为 F1 2，0 ，点 B 2, 2 在椭圆 C
上，直线 y kx k 0 与椭圆 C 交于 E ， F 两点，直线 AE ， AF 分别与 y 轴交于点 M ， N ．
2 x0 ．……………………… 10 分 y0
2
则以 MN 为直径的圆的方程为 x2 y
2x0
y0
16 ． y0 2
即 x2 y2 + 2 2x0 y y0
4 ．………………………………………………………
令 y 0 ，得 x2 4 ，即 x 2 或 x 2 ．
11 分
故以 MN 为直径的圆经过两定点 P1 2,0 ， P2 2,0 ．……………………… 12 分
离的最小值为 __________________
16、已知
F 是椭圆
x2 C:
y2
20 4
为 _________________
1的右焦点， P 是 C 上一点， A
2023-2024学年福建省福州一中高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年福建省福州一中高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．正项等比数列{a n }中，a 2，a 8是方程x 2﹣10x +16＝0的两根，则log 2a 5的值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．若双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为√3，则双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值为（ ） A ．1B ．√3C ．2D ．2√33．已知某物体的运动方程是s =t +19t 3（s 的单位为m ），该物体在t ＝3s 时的瞬时加速度是（ ）A ．2m /sB ．4m /sC ．2m /s 2D ．4m /s 24．若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（ ） A ．√5−12B ．√33C ．√22D ．√635．数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝2，a n +1＝1−1a n(n ∈N ∗)，则2S 2024＝（ ） A ．2024B ．2025C ．2026D ．20276．已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替．该种昆虫最开始的身体长度记为a 1，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少为原来的56，此时昆虫的长度记为a 2；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的12，此时昆虫的长度记为a 3，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若a 4＝25，则a 1＝（ ） A ．18B ．272C ．24D ．243167．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)与直线x +2y ﹣4＝0相切，则a 的值不可能是（ ）A ．√3B ．2C ．3D ．3.98．某数学兴趣小组研究曲线C 1：√x 2+√y =1和曲线C 2：x 44+y 4=1的性质，下面同学提出的结论正确的有（ ）甲：曲线C 1，C 2都关于直线y ＝x 对称乙：曲线C 1在第一象限的点都在椭圆C 3：x 24+y 2=1内丙：曲线C 2上的点到原点的最大距离为√5 A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知点P是椭圆x24+y23=1上的一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（）A．存在点P，使得∠F1PF2＝75°B．|PF1|+|PF2|＝4C．△PF1F2的面积最大值为2√3D．1≤|PF1|≤310．已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，动点N在平面ABCD内的轨迹为曲线Γ．则下列结论正确的是（）A．当MN⊥B1N时，Γ是圆B．当动点N到直线DD1，BB1的距离之和等于4时，Γ是椭圆C．当直线MN与平面ADD1A1所成的角为60°时，Γ是双曲线D．当动点N到点M的距离等于点N到直线BC的距离时，Γ是抛物线11．“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛．设A是一个“0，1数列”，定义数列f（A）：数列A中每个0都变为“1，0，1”，A中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列．例如数列A：1，0，则数列f（A）：0，1，0，1，0，1．已知数列A1：1，0，1，0，1，且数列A k+1＝f（A k），k＝1，2，3，⋯，记数列A k中0的个数为a k，1的个数为b k，数列A k的所有项之和为S k，则下列结论正确的是（）A．数列{a k+b k}为等比数列B．数列{a k﹣b k}为等比数列C．数列{S k+S k+1}为等比数列D．数列{S k﹣S k+1}为等比数列三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．等差数列{a n}的前n项和记为S n，且S5＝10，S10＝50，则S14＝．13．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4√2，|DE|＝2√5，则C的焦点到准线的距离为．14．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图，一个光学装置由有公共焦点F1、F2的椭圆Γ与双曲线Ω构成，Γ与Ω的离心率之比为3：4，现一光线从左焦点F1发出，依次经Ω与Γ反射，又回到了点F1，历时t1秒；若将装置中的Ω去掉，如右图，此光线从点F1发出，经Γ两次反射后又回到了点F1，历时t2秒，则t2t1=．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数f （x ）＝lnx +ax 3（a ∈R ），且f '（1）＝4． （1）求a 的值；（2）设g （x ）＝f （x ）﹣lnx ﹣x ，求y ＝g （x ）过点（1，0）的切线方程． 16．（15分）已知动点M （x ，y ）满足：√(x −1)2+y 2+√(x +1)2+y 2=2√2． （1）求动点M 的轨迹方程C ；（2）若过点P(1，12)的直线l 和曲线C 相交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点，求直线l 的方程．17．（15分）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n+12−S n 2=8n ．（1）求S n ；（2）若b n =2S n −1，从{S n }中删去{b n }中的项，按照原来的顺序构成新的数列{c n }，求{c n }的前100项和T 100．18．（17分）若双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点是F （2，0），且离心率为2．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知点M （0，1），过焦点F 的直线l 与双曲线C 的两支相交于A ，B 两点，求直线MA 和MB 的斜率之和的最大值．19．（17分）已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n2，数列{b n }满足：b 1＝3，b n +1＝2b n ﹣1（n ∈N *）． （1）证明：{b n ﹣1}是等比数列；（2）设数列{c n }的前n 项和为T n ，且c n ＝（﹣1）n 2a n +1(a n +1)log 2(b n −1)，求T n ；（3）设数列{d n }满足：d n ={a n+1a n 2a n+22，n =2k −1a 2nb n，n =2k ，k ∈N *．证明：∑ 2n k=1d k ＜7336．2023-2024学年福建省福州一中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．正项等比数列{a n }中，a 2，a 8是方程x 2﹣10x +16＝0的两根，则log 2a 5的值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5解：正项等比数列{a n }中，a 2，a 8是方程x 2﹣10x +16＝0的两根， ∴a 52=a 2a 8＝16，∴a 5＝4，则log 2a 5＝log 24＝2． 故选：A ．2．若双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为√3，则双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值为（ ） A ．1B ．√3C ．2D ．2√3解：∵双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为√3，根据双曲线的对称性，取焦点（c ，0），渐近线为：y =bax ，即bx ﹣ay ＝0，∴c a =2，√3=bc √b +a 2=b ，可得c 2＝4a 2＝a 2+b 2，可得a ＝1． 故双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值为2a ＝2． 故选：C ．3．已知某物体的运动方程是s =t +19t 3（s 的单位为m ），该物体在t ＝3s 时的瞬时加速度是（ ）A ．2m /sB ．4m /sC ．2m /s 2D ．4m /s 2解：某物体的运动方程是s =t +19t 3（s 的单位为m ），则s '（t ）＝1+13t 2，s ''（t ）=2t3，当t ＝3时，s ''（t ）＝2m /s 2． 故选：C ．4．若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（ ） A ．√5−12B ．√33C ．√22D ．√63解：设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），由B （a ，0），OABC 为正方形，可得A （a 2，a 2），C （a 2，−a2），将A 的坐标代入椭圆方程可得a 24a 2+a 24b 2=1，即有a 2＝3b 2，c 2＝a 2﹣b 2=23a 2，即有e =c a =√63．故选：D ．5．数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝2，a n +1＝1−1a n(n ∈N ∗)，则2S 2024＝（ ） A ．2024B ．2025C ．2026D ．2027解：因为{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝2，a n +1＝1−1a n(n ∈N ∗)， 所以a 2＝1−12=12，a 3＝1﹣2＝﹣1，a 4＝1﹣（﹣1）＝2，故数列的周期为3，a 1+a 2+a 3＝2+12−1=32，则2S 2024＝2×[674（a 1+a 2+a 3）+a 1+a 2]＝2×（1011+2+12）＝2027．故选：D ．6．已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替．该种昆虫最开始的身体长度记为a 1，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少为原来的56，此时昆虫的长度记为a 2；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的12，此时昆虫的长度记为a 3，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若a 4＝25，则a 1＝（ ） A ．18B ．272C ．24D ．24316解：由题意可知，a 2=56a 1，a 3=(1+12)a 2=32a 2=32×56a 1=54a 1，a 4=56a 3=56×54a 1=2524a 1=25，所以a 1＝24． 故选：C ．7．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)与直线x +2y ﹣4＝0相切，则a 的值不可能是（ ）A ．√3B ．2C ．3D ．3.9解：联立{x 2a 2+y 2b 2=1x +2y −4=0，消去x 得（4b 2+a 2）y 2﹣16b 2y +16b 2﹣a 2b 2＝0，因为直线与椭圆相切，所以Δ＝256b4﹣4（4b2+a2）（16b2﹣a2b2）＝4a2b2（4b2﹣16+a2）＝0，所以4b2＝16﹣a2，因为0＜b＜a，所以0＜4b2＜4a2，所以0＜16﹣a2＜4a2，解得4√55＜a＜4，对比选项可知，a的值不可能是√3．故选：A．8．某数学兴趣小组研究曲线C1：√x2+√y=1和曲线C2：x44+y4=1的性质，下面同学提出的结论正确的有（）甲：曲线C1，C2都关于直线y＝x对称乙：曲线C1在第一象限的点都在椭圆C3：x24+y2=1内丙：曲线C2上的点到原点的最大距离为√5A．3个B．2个C．1个D．0个解：对于曲线C2：x44+y4=1，用y代换x，x代换y，得y44+x4=1，与原方程不相同，故曲线C2不关于直线y＝x对称，可知甲同学提出的结论不正确；若点P是曲线C1在第一象限上的点，设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则√x02+√y0=1，两边平方得x02+√x0y0+y0=1，结合√x0y0＞0，可得x02+y＜1，再平方得x024+x0y+y2＜1，因此x024+y2＜x024+x0y+y2＜1，由x024+y2＜1，可知点P在椭圆C3：x24+y2=1内部，故乙同学提出的结论正确；对于曲线C2：x44+y4=1，设Q（x1，y1）为其上一点，则x144+y14=1，联想到cos2θ+sin2θ＝1，设x12=2cosθ，y12=sinθ，其中θ∈[0，π2]，则|OQ|=√x12+y12=√sinθ+2cosθ=√√5sin(θ+φ)，其中φ＝arctan2，当sin（θ+φ）＝1时，即θ=arctan 12时，|OQ|有最大值√√5=√54，即曲线C2上的点到原点的最大距离为√54，可知丙同学提出的结论不正确．综上所述，三位同学提出结论只有乙是正确的，正确结论只有1个．故选：C．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知点P 是椭圆x 24+y 23=1上的一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）A ．存在点P ，使得∠F 1PF 2＝75°B ．|PF 1|+|PF 2|＝4C ．△PF 1F 2的面积最大值为2√3D ．1≤|PF 1|≤3解：根据题意可得a ＝2，b =√3，c ＝1， 对A 选项，设∠F 1PF 2的最大值为2θ，则sin θ=c a =12，θ∈[0，π2）， ∴θ＝30°，∴∠F 1PF 2的最大值为60°，∴A 选项错误； 对B 选项，∵|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝4，∴B 选项正确； 对C 选项，∵当P 为短轴顶点时，△PF 1F 2的面积最大， ∴△PF 1F 2的面积最大值为12×2c ×b =√3，∴C 选项错误；对D 选项，∵a ﹣c ≤|PF 1|≤a +c ，即1≤|PF 1|≤3，∴D 选项正确． 故选：BD ．10．已知棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，动点N 在平面ABCD 内的轨迹为曲线Γ．则下列结论正确的是（ ） A ．当MN ⊥B 1N 时，Γ是圆B ．当动点N 到直线DD 1，BB 1的距离之和等于4时，Γ是椭圆C ．当直线MN 与平面ADD 1A 1所成的角为60°时，Γ是双曲线 D ．当动点N 到点M 的距离等于点N 到直线BC 的距离时，Γ是抛物线 解：以点D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系：由题意D （0，0，0），A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），D 1（0，0，2），A 1（2，0，2），B 1（2，2，2），C 1（0，2，2），M （0，0，1），N （x ，y ，0）， 对于A ，若MN ⊥B 1N ，则MN →•B 1N →=（x ，y ，﹣1）•（x ﹣2，y ﹣2，﹣2）＝x （x ﹣2）+y （y ﹣2）+2＝0， 化简并整理得（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝0，所以x ＝1，y ＝1，即此时Γ是点N （1，1，0），故A 错误； 对于B ，因为DD 1⊥平面ABCD ，DN ⊂平面ABCD ，所以DD 1⊥DN ，同理BN ⊥BB 1，所以当动点N 到直线DD 1，BB 1的距离之和等于4时，有|DN|+|BN|=4=2a ＞|BD|=2√2， 所以此时Γ是椭圆，故B 正确；对于C ，显然可取平面ADD 1A 1的法向量为n →=(0，1，0)，又MN →=(x ，y ，−1)，当直线MN 与平面ADD 1A 1所成的角为60°时，有|MN →⋅n →||MN →|⋅|n →|=√x 22=cos(90°−60°)=√32， 化简并整理得y 23−x 2=1，即Γ是双曲线，故C 正确；对于D ，当动点N 到点M 的距离等于点N 到直线BC 的距离时，有x 2+y 2+1＝（2﹣y ）2， 化简并整理得y =3−x 24，所以Γ是抛物线，故D 正确．故选：BCD ．11．“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛．设A 是一个“0，1数列”，定义数列f （A ）：数列A 中每个0都变为“1，0，1”，A 中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列．例如数列A ：1，0，则数列f （A ）：0，1，0，1，0，1．已知数列A 1：1，0，1，0，1，且数列A k +1＝f （A k ），k ＝1，2，3，⋯，记数列A k 中0的个数为a k ，1的个数为b k ，数列A k 的所有项之和为S k ，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{a k +b k }为等比数列B ．数列{a k ﹣b k }为等比数列C ．数列{S k +S k +1}为等比数列D ．数列{S k ﹣S k +1}为等比数列解：∵数列A k 中，0的个数为a k ，1的个数为b k ，a 1＝2，b 1＝3， ∴a k +1＝a k +2b k ，b k +1＝2a k +b k ， 两式相加得：a k +1+b k +1＝3（a k +b k ），∴数列{a k +b k }是以5为首项，3为公比的等比数列， ∴a k +b k =5×3k−1；两式相减得：a k +1﹣b k +1＝﹣（a k ﹣b k ），∴数列{a k ﹣b k }是以﹣1为首项，﹣1为公比的等比数列， ∴a k −b k =(−1)k ； 则a k =5×3k−1+(−1)k 2，b k =5×3k−1−(−1)k2，S k =0×a k +1×b k =b k ， ∴S k +S k+1=5×3k−1−(−1)k 2+5×3k −(−1)k+12=5×3k−1+5×3k2=10×3k−1，∴S k −S k+1=5×3k−1−(−1)k2−5×3k−(−1)k+12＝﹣5×3k ﹣1﹣（﹣1）k ，故ABC 正确，D 错误．故选：ABC ．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，且S 5＝10，S 10＝50，则S 14＝ 5185． 解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则{S 5=5a 1+5×(5−1)2d =10S 10=10a 1+10×(10−1)2d =50，解得{a 1=−25d =65， 则S 14=14×(−25)+14×(14−1)2×65=5185．故答案为：5185． 13．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝4√2，|DE |＝2√5，则C 的焦点到准线的距离为 4 ．解：设抛物线为y 2＝2px ，如图|AB |＝4√2，|AM |＝2√2， |DE |＝2√5，|DN |=√5，|ON |=p 2，x A =(2√2)22p =4p，∵|OD |＝|OA |，∴√丨ON 丨2+丨DN 丨2=√丨OM 丨2+丨AM 丨2∴p 24+5=16p 2+8，解得p ＝4， ∴抛物线的方程为y 2＝8x ， C 的焦点到准线的距离为4． 故答案为：4．14．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图，一个光学装置由有公共焦点F 1、F 2的椭圆Γ与双曲线Ω构成，Γ与Ω的离心率之比为3：4，现一光线从左焦点F 1发出，依次经Ω与Γ反射，又回到了点F 1，历时t 1秒；若将装置中的Ω去掉，如右图，此光线从点F 1发出，经Γ两次反射后又回到了点F1，历时t2秒，则t2t1=8．解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，在左侧图形中，由椭圆定义可得，|BF1|+|BF2|＝2a1，①由双曲线定义可得，|AF2|﹣|AF1|＝2a2，②由①②可得，|AF1|+|AB|+|BF1|＝2a1﹣2a2，∴△ABF1的周长为2a1﹣2a2；在右侧图中，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点，即直线ED经过F2，则△EDF1的周长为4a1，又椭圆与双曲线焦点相同，离心率之比为3 4，∴a1=43a2，又两次所用时间分别为t1，t2，而光线速度相同，∴t2t1=4a12a1−2a2=8．故答案为：8．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）＝lnx+ax3（a∈R），且f'（1）＝4．（1）求a的值；（2）设g（x）＝f（x）﹣lnx﹣x，求y＝g（x）过点（1，0）的切线方程．解：（1）f（x）＝lnx+ax3（a∈R），则f'（x）=1x+3ax2，f'（1）＝4，故f'（1）＝1+3a＝4，解得a＝1；（2）g（x）＝f（x）﹣lnx﹣x＝lnx+x3﹣lnx﹣x＝x3﹣x，点（1，0）也在g（x）的图象上，故（1，0）为切点，则g'（x）＝3x2﹣1，g'（1）＝3﹣1＝2，故y＝g（x）过点（1，0）的切线方程为y﹣0＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0．16．（15分）已知动点M（x，y）满足：√(x−1)2+y2+√(x+1)2+y2=2√2．（1）求动点M的轨迹方程C；（2）若过点P(1，12)的直线l 和曲线C 相交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点，求直线l 的方程． 解：（1）因为动点M （x ，y ）满足√(x −1)2+y 2+√(x +1)2+y 2=2√2，所以点M 的轨迹为以（﹣1，0），（1，0）为焦点的椭圆，所以c ＝1，a =√2，所以b 2＝a 2﹣c 2＝1，所以x 22+y 2＝1．（2）设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则{x 122+y 12=1x 222+y 22=1，作差得x 12−x 222+y 12−y 22=0， 除以x 1﹣x 2得x 1+x 22+(y 1+y 2)⋅y 1−y 2x 1−x 2=0，代入中点坐标22+k =0，则k ＝﹣1， 直线l 的方程是y =−x +32． 17．（15分）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n+12−S n 2=8n ．（1）求S n ；（2）若b n =2S n −1，从{S n }中删去{b n }中的项，按照原来的顺序构成新的数列{c n }，求{c n }的前100项和T 100．解：（1）因为S n+12−S n 2=8n ，当n ≥2时，S n 2=(S n 2−S n−12)+（S n−12−S n−22）+…+（S 22−S 12）+S 12=8（n ﹣1）+8（n ﹣2）+…+8×1+1＝8[1+2+3+…+（n ﹣1）]+1＝8×(n−1)(1+n−1)2+1＝（2n ﹣1）2， 因为a n ＞0，所以S n ＞0，所以S n ＝2n ﹣1；（2）因为S n ＝2n ﹣1，所以b n ＝22n ﹣1﹣1， 则b 1＝1，b 2＝7，b 3＝31，b 4＝127，b 5＝511，…，又因为S 104＝2×104﹣1＝207，且127＜207＜511，所以数列{S n }的前104项中有数列{b n }的4项，所以T 100=104(1+207)2−（1+7+31+127）＝10650． 18．（17分）若双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点是F （2，0），且离心率为2．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知点M（0，1），过焦点F的直线l与双曲线C的两支相交于A，B两点，求直线MA和MB的斜率之和的最大值．解：（1）由题意得c＝2，e=ca=2，又c2＝a2+b2，所以a2＝1，b2＝3，所以双曲线C的方程x2−y23=1．（2）由题意直线l的斜率存在，设直线l：y＝k（x﹣2），联立{x 2−y23=1y=k(x−2)，整理得（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3＝0，则3﹣k2≠0，Δ＝16k4﹣4（3﹣k2）（﹣4k2﹣3）＝36k2+36k＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k2k2−3，x1•x2=4k2+3k2−3＜0，解得−√3＜k＜√3，又点M（0，1），所以k MA+k MB=k(x1−2)−1x1+k(x2−2)−1x2=2kx1x2−(2k+1)(x1+x2)x1x2=2k(4k2+3)−4k2(2k+1)4k2+3=3(2k+1)4k2+3−1，设t＝2k+1∈（1﹣2√3，1+2√3），则k MA+k MB=3tt2−2t+4−1，因为要求最大值，只需考虑t∈（0，1+2√3），当且仅当t＝2，即k=12时，等号成立，所以所求最大值为12．19．（17分）已知数列{a n}的前n项和S n=n 2+n2，数列{b n}满足：b1＝3，b n+1＝2b n﹣1（n∈N*）．（1）证明：{b n﹣1}是等比数列；（2）设数列{c n}的前n项和为T n，且c n＝（﹣1）n 2a n+1(a n+1)log2(b n−1)，求T n；（3）设数列{d n}满足：d n={a n+1a n2a n+22，n=2k−1a2n b n ，n=2k，k∈N*．证明：∑2n k=1d k＜7336．解：（1）证明：由b n+1＝2b n﹣1，得b n+1﹣1＝2（b n﹣1），又b1﹣1＝2，所以{b n﹣1}是以2为首项，2为公比的等比数列，则b n−1=2×2n−1，故b n=2n+1；（2）由数列{a n}的前n项和为S n=n2+n2，可得：当n＝1时，有a1＝S1＝1，当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2+n2−(n−1)2+(n−1)2=n，显然a1＝1也满足，故a n＝n，又b n=2n+1，c n＝（﹣1）n 2a n+1(a n+1)log2(b n−1)，所以c n=(−1)n2n+1n(n+1)=(−1)n(1n+1n+1)，故T n=−1−12+12+13−13+⋯+(−1)n1n+(−1)n1n+1=−1+(−1)n1n+1；（3）证明：d n={a n+1a n2a n+22，n=2k−1a2n b n ，n=2k，k∈N*，当n为奇数时，d n=n+1n2(n+2)2=14[1n2−1(n+2)2]，则d1+d3+d5+...+d2n−1=14[1−132+132−152+⋯+1(2n−1)2−1(2n+1)2]=14[1−1(2n+1)2]＜14，当n为偶数时，d n=2n2n+1＜2n2n，则d2+d4+d6+⋯+d2n＜422+824+⋯+4n22n=140+241+⋯+n4n−1，设Q n=140+241+⋯+n4n−1，则14Qn=141+242+⋯+n−14n−1+n4n，两式相减得，34Qn=1+141+142+...+14n−1−n4n=1−14n1−14−n4n，Q n=169−3n+49(14)n−1＜169，所以d2+d4+d6+⋯+d2n＜16 9，所以∑2n k=1d k＜14+169=7336，故原式得证．。
2019-2020学年福建省福州市高二(上)期末数学试卷
2019-2020学年福建省福州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知复数12iz i +=，则||(z = )AB ．3C ．1D ．2i -2．（5分）命题“0R α∃∈，0tan 1α>”的否定是( ) A ．0R α∃∈，0tan 1α< B ．0R α∃∈，0tan 1α C ．R α∀∈，tan 1α<D ．R α∀∈，tan 1α3．（5分）双曲线2214y x -=的渐近线方程是( )A ．y =B ．y =C ．12y x =±D ．2y x =±4．（5分）实数1a >，1b >是2a b +>的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）已知函数sin 2()xf x x=，则()(f x '= ) A ．2cos2sin 2x x xx -B ．2cos2sin 2x x xx +C ．22cos2sin 2x x xx- D ．22cos2sin 2x x xx+ 6．（5分）一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/)km h 的关系是31100y x x =+．若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为( )A ．30/km hB ．/hC ．/hD ．60/km h7．（5分）已知双曲线222:14x y E b-=的左顶点为A ，右焦点为F ．若B 为E 的虚轴的一个端点，且0AB BF =，则F 的坐标为( )A ．1,0)B ．1,0)C ．1,0)D ．(4,0)8．（5分）已知定义在区间(2,2)-上的函数()y f x =的图象如图所示，若函数()f x '是()f x 的导函数，则不等式()01f x x '>+的解集为( )A ．(2,1)-B ．(2-，1)(1--⋃，1)C ．(1,2)D ．(3,1)(0,3)--二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．（5分）某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席： ①团员或班干部；②体育成绩达标．若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为( ) A ．是团员，且体育成绩达标B ．是团员，且体育成绩不达标C ．不是团员，且体育成绩达标D ．不是团员，且体育成绩不达标10．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．11//AC 平面CEF B ．1B D ⊥平面CEFC ．112CE DA DD DC =+- D ．点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等11．（5分）已知函数3()sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是( ) A ．()f x 是奇函数B ．若()f x 是增函数，则1aC ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点12．（5分）已知椭圆22:142x y C +=的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线(0)y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A ．四边形12AF BF 为平行四边形B ．1290F PF ∠<︒C ．直线BE 的斜率为12kD ．90PAB ∠>︒三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．（5分）曲线()x f x e x =-在点(0，(0))f 处的切线方程为 ．14．（5分）已知(1,2,1)n =-为平面α的一个法向量，(2,,1)a λ=-为直线l 的方向向量．若//l α，则λ= ．15．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线2:2N y px =的焦点为2F ．若P 为M 与N 的一个公共点，且12||2||PF PF =，则M 的离心率为 ． 16．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，4CA =，2PA =，D 为AB 中点，E 为PAC ∆内的动点（含边界），且PC DE ⊥．①当E 在AC 上时，AE = ；②点E 的轨迹的长度为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知复数(2)(1)()z mi i m R =--∈． （1）若z 是纯虚数，求m 的值；（2）若z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围．18．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过点(2,0)A ，(0,1)B ． （1）求E 的方程；（2）过点(1,0)作倾斜角为45︒的直线l ，l 与E 相交于P ，Q 两点，求OPQ ∆的面积．19．已知函数321()323f x mx mx x =--+在3x =处有极小值．（1）求实数m 的值；（2）求()f x 在[4-，4]上的最大值和最小值．20．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，3CD =，45ADC ∠=︒，AE 为梯形ABCD 的高，将ADE ∆沿AE 折到PAE ∆的位置，使得3PB =．（1）求证：PE ⊥平面ABCE ；（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值．21．在直角坐标系xOy 中，点(1,0)F ，D 为直线:1l x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 22．已知函数()(0)f x axlnx a =≠． （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：110x lnxx e-+>．2019-2020学年福建省福州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知复数12iz i +=，则||(z = )A B ．3C ．1D ．2i -【解答】解：212(12)()2i i i z i i i ++-===--，||z ∴=．故选：A ．2．（5分）命题“0R α∃∈，0tan 1α>”的否定是( ) A ．0R α∃∈，0tan 1α< B ．0R α∃∈，0tan 1α C ．R α∀∈，tan 1α<D ．R α∀∈，tan 1α【解答】解：特称命题的否定为全称命题，故命题“0R α∃∈，0tan 1α>”的否定是R α∀∈，tan 1α，故选：D ．3．（5分）双曲线2214y x -=的渐近线方程是( )A ．y =B ．y =C ．12y x =±D ．2y x =±【解答】解：由双曲线22221(,0)x y a b a b -=>，可得渐近线方程by x a =±，双曲线2214y x -=的1a =，2b =，可得渐近线方程为2y x =±． 故选：D ．4．（5分）实数1a >，1b >是2a b +>的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：实数1a >，12b a b >⇒+>；反之不成立，例如2a =，12b =． 1a ∴>，1b >是2a b +>的充分不必要条件． 故选：A ．5．（5分）已知函数sin 2()xf x x=，则()(f x '= ) A ．2cos2sin 2x x xx - B ．2cos2sin 2x x xx + C ．22cos2sin 2x x xx -D ．22cos2sin 2x x xx +【解答】解：根据题意，sin 2()xf x x=， 则22(sin 2)sin 2()2cos2sin 2()x x x x x x xf x x x '-'-'==； 故选：C ．6．（5分）一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/)km h 的关系是31100y x x =+．若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为( )A ．30/km hB ．/hC ．/hD ．60/km h【解答】解：一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/)km h 的关系是31100y x x =+．若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，航行的总费用：3210012700027000()(540)100100F x x x x x x x=++=+++， 因为2232700027000270002700010031002800x x x x x x++++=． 当且仅当227000x x=即30/x km h =时，总费用最低． 故选：A ．7．（5分）已知双曲线222:14x y E b-=的左顶点为A ，右焦点为F ．若B 为E 的虚轴的一个端点，且0AB BF =，则F 的坐标为( )A ．1,0)B ．1,0)C ．1,0)D ．(4,0)【解答】解：双曲线222:14x y E b-=的左顶点为(,0)A a -，右焦点为(,0)F c ，点(0,)B b ，且0AB BF =，(a ∴，)(b c ，)0b -=，c =即20ac b -=，即22c a ac =+，可得：2240c c --=，51c =+， 得F 的坐标为(51+，0)， 故选：C ．8．（5分）已知定义在区间(2,2)-上的函数()y f x =的图象如图所示，若函数()f x '是()f x 的导函数，则不等式()01f x x '>+的解集为( )A ．(2,1)-B ．(2-，1)(1--⋃，1)C ．(1,2)D ．(3,1)(0,3)--【解答】解：结合导数与单调性关系可知，21x -<<-，12x <<时，函数单调递减，此时()0f x '<，当11x -<<时，函数单调递增，此时()0f x '>， 由不等式()01f x x '>+可得，(1)()0x f x +'>， 解可得，11x -<<或21x -<<-， 故不等式的解集(2-，1)(1--⋃，1)． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．（5分）某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席： ①团员或班干部；②体育成绩达标．若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为( ) A ．是团员，且体育成绩达标B ．是团员，且体育成绩不达标C ．不是团员，且体育成绩达标D ．不是团员，且体育成绩不达标【解答】解：由题意可得，同时满足以下两个条件，即这两个条件缺一不可，故是团员，且体育成绩达标，或不是团员，且体育成绩达标 故选：AC ．10．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．11//AC 平面CEF B ．1B D ⊥平面CEFC ．112CE DA DD DC =+- D ．点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等 【解答】解：如图所示，对于A ，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，11//EF AC ∴，EF ⊂平面CEF ，且11AC ⊂/平面CEF ，11//AC ∴平面CEF ，即A 正确；对于B ，若1B D ⊥平面CEF ，1B D ⊥平面11ACC A ，∴平面//CEF 平面11ACC A ，而平面CEF ⋂平面11ACC A C =，1B D ∴不可能与平面CEF 垂直，即B 错误； 对于C ，11111122DA DD DC DA CD D E CD CE +-=+=+=，即C 正确；对于D ，设点1B 和点D 到平面CEF 的距离分别为1h ，2h ，正方体的棱长为1， 则1111138B CEF AEFC B EF V h S V -∆-===； 211312D CEF CEFE CDF V h S V -∆-===； 12h h ∴≠，即D 错误；故选：AC ．11．（5分）已知函数3()sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是( ) A ．()f x 是奇函数B ．若()f x 是增函数，则1aC ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点 【解答】解：因为3()sin f x x x ax =+-，则33()sin()()()sin ()f x x x a x x x ax f x -=-+---=--+=-，A 正确； 若()f x 为增函数，则2()cos 30f x x x a '=+-恒成立， 故2cos 3a x x +恒成立，令2()cos 3g x x x =+，则可得()g x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞单()x 调递减，故当0x =时，()g x 取得最小值(0)1g =， 所以()1min a g x =，B 正确；当3a =-时，3()sin 3f x x x x =++为奇函数，且(0)0f =，当0x >时，2()cos 330f x x x '=++>恒成立，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，根据奇函数的对称性可知函数在(,0)-∞单调递增，故()f x 在R 上单调递增，(0)0f =，即只有一个零点，C 错误；3a =时，3()sin 3f x x x x =+-为奇函数，故先考虑0x >时，函数极值存在情况， 则2()cos 33f x x x '=+-，因为()6sin f x x x ''=-单调递增，则()(0)0f x f ''''>=， 故()f x '单调递增，且(0)20f '=-<，f '（1）cos10=>， 故存在0(0,1)x ∈使得0()0f x '=，因此，当00x x <<，()0f x '<，函数单调递减，当0x x >时，()0f x '>，函数单调递增， 故0x x =为函数在0x >时的唯一的极小值，根据奇函数的对称性可知，当0x <时，存在极大值，故D 正确． 故选：ABD ．12．（5分）已知椭圆22:142x y C +=的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线(0)y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A ．四边形12AF BF 为平行四边形B ．1290F PF ∠<︒C ．直线BE 的斜率为12kD ．90PAB ∠>︒【解答】解：直线(0)y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，由椭圆的对称性可得O 为AB 的中点，又O 为12F F 的中点，可得四边形12AF BF 为平行四边形，故A 正确；由椭圆方程可得2a =，b c ==以12F F 为直径的圆与椭圆相切于短轴的两个端点，P 在圆外，可得1290F PF ∠<︒， 故B 正确；由y kx =与椭圆方程2224x y +=联立，可得A ，，(B ，， 即有E 0)，12BE k k =，故C 正确；设直线BE 的方程为1(2y k x =，联立椭圆方程2224x y +=，可得222222(1)40212k k x k ++-=+， 由2P x ，解得2P x =，即有2P ，3，可得(AB =，2AP =，，即有22222216160(12)(2)(12)(2)k k AB AP k k k k =-+=++++，可得AB AP ⊥，即90PAB ∠=︒，故D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．（5分）曲线()x f x e x =-在点(0，(0))f 处的切线方程为 1y = ． 【解答】解：()1x f x e '=-， 则(0)0k f ='=，(0)1f =，故()x f x e x =-在点(0，(0))f 处的切线方程1y =． 故答案为：1y =．14．（5分）已知(1,2,1)n =-为平面α的一个法向量，(2,,1)a λ=-为直线l 的方向向量．若//l α，则λ=32． 【解答】解：//l α，∴2210n a λ=-+-=， 可得32λ=． 故答案为：32． 15．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线2:2N y px =的焦点为2F ．若P 为M 与N 的一个公共点，且12||2|PF PF =，则M 的离心率为 21 ．【解答】解：如图，由12||||2PF PF a +=，12||2||PF PF =， 解得1||22(21)PF a =-，2||2(21)PF a =-，椭圆右焦点为抛物线焦点，P 为M 与N 的一个公共点， 212111||||2cos cos ||||2PF PG PF F F PG PF PF ∴∠=∠===， 在△12PF F 中，由余弦定理可得：2222224(21)8(21)4222(21)22a a c a c -=-+-⨯-⨯⨯， 整理得：2[(21)]0a c --=，即21ce a==-． 故答案为：21-．16．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，4CA =，2PA =，D 为AB 中点，E 为PAC ∆内的动点（含边界），且PC DE ⊥．①当E 在AC 上时，AE = 2 ；②点E 的轨迹的长度为 ．【解答】解：如图，取AC 中点E ，连接DE ，则//DE BC ，90ACB ∠=︒，DE AC ∴⊥，由PA ⊥平面ABC ，得平面PAC ⊥平面ABC ，而平面PAC ⋂平面ABC AC =，DE ∴⊥平面PAC ，则DE PC ⊥，此时122AE AC ==； 过E 作EG PC ⊥，垂足为G ，则PC ⊥平面DEG ，即E 在线段EG 上运动时，PC DE ⊥， ∴点E 的轨迹为线段EG ．则22225sin 22524PAEG EC PCA PC=∠===+． 故答案为：2；255．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知复数(2)(1)()z mi i m R =--∈． （1）若z 是纯虚数，求m 的值；（2）若z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围． 【解答】解：（1）(2)(1)(2)(2)z mi i m m i =--=--+， z 是纯虚数，∴2020m m -=⎧⎨+≠⎩，得2m =；（2）由（1）知，(2)(2)z m m i =-++， 复数z 在复平面上对应的点在第四象限， ∴2020m m ->⎧⎨+<⎩，解得2m <-，m ∴的取值范围为(,2)-∞-．18．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过点(2,0)A ，(0,1)B ． （1）求E 的方程；（2）过点(1,0)作倾斜角为45︒的直线l ，l 与E 相交于P ，Q 两点，求OPQ ∆的面积．【解答】解：（1）依题意，A ，B 分别为椭圆E 1>，可得E 的焦点在x 轴上．设E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则a =1b =，所以E 的方程为2212x y +=．（2）方法一、设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，不妨设12y y >， 依题意，直线l 的方程为1y x =-． 由22122y x x y =-⎧⎨+=⎩，得23210y y +-=， 解得113y =，21y =-， 记点(1,0)F ，则121142||||12233OPQ OFP OFQ S S S OF y y ∆∆∆=+=-=⨯⨯=． 所以OPQ ∆的面积为23． （2）方法二、设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，不妨设12x x <， 依题意，直线l 的方程为1y x =-． 由22122y x x y =-⎧⎨+=⎩，得2340x x -=， 解得10x =，243x =，所以124||||0|3PQ x x -=-原点O 到直线l 的距离d ==，所以112||223OPQ S PQ d ∆===． 所以OPQ ∆的面积为23．19．已知函数321()323f x mx mx x =--+在3x =处有极小值．（1）求实数m 的值；（2）求()f x 在[4-，4]上的最大值和最小值． 【解答】解：（1）依题意，2()23f x mx mx '=--，因为()f x 在3x =处有极小值， 所以f '（3）330m =-=， 解得1m =．经检验，1m =符合题意，故m 的值为1．（2）由（1）得2()23f x x x '=--，令()0f x '=，得3x =或1x =-． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x4-(4,1)-- 1-(1,3)- 3 (3,4) 4 ()f x '+-+()f x703-1137-143-由上表可知，()f x 的最小值为703-；()f x 的最大值为113． 20．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，3CD =，45ADC ∠=︒，AE 为梯形ABCD 的高，将ADE ∆沿AE 折到PAE ∆的位置，使得3PB =．（1）求证：PE ⊥平面ABCE ；（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：过点B 作BF CD ⊥，垂足为F ， 则1EF AB ==，12CD EFDE CF -===， 连接BE ，依题意，AED ∆为等腰直角三角形， 故1AE DE ==，又AE DE ⊥，故AE AB ⊥，所以222EB EA AB =+ 在四棱锥P ABCE -中，因为3PB =1PE DE ==， 所以222PE EB PB +=，故PE EB ⊥， 因为PE EA ⊥，EAEB E =，且EA ，EB ⊂平面ABCE ，所以PE ⊥平面ABCE ．（2）解：由（1）知，PE ⊥平面ABCE ，所以PE EA ⊥，PE EC ⊥，又AE EC ⊥， 所以EA ，EC ，EP 两两垂直．以E 为原点，分别以EA ，EC ，EP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则各点坐标为：(0E ，0，0)，(0P ，0，1)，(1A ，0，0)，(1B ，1，0)，(0C ，2，0)， (1,0,1)PA =-，(0,2,1)PC =-，(1,1,0)BC =-，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PC n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故200y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1y =，故(1,1,2)n =．所以||3cos ,6||||PA n PA n PA n <>==．设直线PA 与平面PBC 所成角为θ，则3sin |cos ,|6PA n θ=〈〉=．21．在直角坐标系xOy 中，点(1,0)F ，D 为直线:1l x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）连接MF ，则||||MD MF =， 则根据抛物线的定义，点M 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线． 则点M 的轨迹的方程为24y x =．（2）设直线PQ 的方程为1x my =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ， 联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩整理得：2440y my --=， △216160m =+>， 124y y m +=，124y y =-，直线OP 的方程为1114y y x x x y ==， 同理：直线OQ 的方程为24y x y =， 令1x =得，14(1,)A y ，24(1,)B y ， 设AB 中点T 的坐标为(T x ，)T y ，则1T x =，121212442()22T y y y y y m y y ++===-，所以(1,2)T m -．2112124||44||||||y y AB y y y y -=-===．圆的半径为r =．所以AB 为直径的圆的方程为222(1)(2)44x y m m -++=+． 展开可得22(1)44x y my -++=， 22(1)44x y my -++=，令0y =，可得2(1)4x -=，解得3x =或1x =-． 所以以AB 为直径的圆经过定点(1,0)-和(3,0)．22．已知函数()(0)f x axlnx a =≠． （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：110x lnx x e -+>． 【解答】解：法一：（1）依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，()(1)f x a lnx '=+，当10x e <<时，10lnx +<；当1x e>时，10lnx +>．①当0a >时，若10x e <<，则()0f x '<；若1x e >，则()0f x '>．所以()f x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增．②当0a <时，若10x e <<，则()0f x '>；若1x e >，则()0f x '<．所以()f x 在1(0,)e上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减．综上，当0a >时，()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增；当0a <时，()f x 在1(0,)e上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减．（2）由（1）知，当1a =-时，()f x xlnx =-在1(0,)e上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减，所以1111()()max f x f ln e e e e ==-=，故当0x >时，1xlnxe-． 又当0x >时，1011x e e e-->=， 所以当0x >时，11x e xlnx e->-，故10x e xlnx -+>， 所以110x lnxx e-+>． 解法二：（2）令1()x g x e xlnx -=+，则1()1x g x e lnx -'=++，令1()1x h x e lnx -=++，则()h x 为增函数，且21121()210c h e e -=-+<，111()110c h e e-=-+>，所以()h x 有唯一的零点0x ，0211(,)x e e∈，所以当00x x <<时，()0g x '<，()g x 为减函数；当0x x >时，()g x 为增函数． 所以01000()()x g x g x e x lnx -=+．由（1）知，当1a =时，()f x xlnx =在1(0,)e 上为减函数，在1(,)e +∞上为增函数，故01()()f x f e >，即001x lnx e>-，所以0010111()(1)(1)0x x g x e e e e e e ->-=->-=，所以10x e xlnx -+>，故110x lnxx e -+>．。
2019-2020学年福建省福州一中2018级高二上学期期末考试数学试卷及解析
2019-2020学年福建省福州一中2018级高二上学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★ (解析版)（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数2020(12)z i i =--的共轭复数为（ ） A. 12i -+ B. 2i + C. 2i - D. 12i --【答案】A 【解析】首先根据复数的乘方求出2020i ,即可求出z ,从而求出z 的共轭复数； 【详解】解：1i i =,21i =-,3i i =-,41i =,5i i =,,()5052020450511i i ∴===2020(12)12z i i i ∴=--=--12z i ∴=-+故选：A2.如果三点()1,5,2A -,()2,4,1B ,(),3,2C a b +在同一条直线上,则() A. 3,2a b == B. 6,1a b ==- C. 3,3a b ==- D. 2,1a b =-=【答案】A 【解析】由三点共线可知,AB AC 为共线向量,根据向量共线的坐标运算可构造方程求得结果. 【详解】,,A B C 三点共线 ,AB AC ∴为共线向量又()1,1,3AB =-,()1,2,4AC a b =--+124113a b --+∴==-,解得：3a =,2b =本题正确选项：A3.观察2'()2x x =,4'3()4x x =,'(cos )sin x x =-,由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=,记()g x 为()f x 的导函数,则()g x -=A. ()f xB. ()f x -C. ()g xD. ()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数,因为()f x 是偶函数,则()()g x f x '=是奇函数,所以()()g x g x -=-,应选答案D ．4.如图,空间四边形OABC 中,,,OA a OB b OC c ===,且2OM MA =,BN NC =,则MN =（ ）A. 221332a b c ++B. 111222a b c +-C. 211322a b c -++D. 121232a b c -+【答案】C 【解析】 根据MN ON OM=-,再由2OM MA =,BN NC =,得到()()2211,3322a OM OA ON OB OC cb =+===+,求解.【详解】因为MN ON OM =-,又因为()()2211,3322a OM OA ON OB OC c b =+===+,所以211322MN a b c =-++.故选：C5.设函数()f x 的导函数为()f x ',且2()2(1)f x x x f '=+⋅,则(0)f '=（ ）. A. 0 B. -4C. -2D. 2【答案】B 【解析】可先求函数的导数,先令1x =求出()'1f ,再令0x =即可求解(0)f '【详解】由2()2(1)'()22(1)f x x x f f x x f ''=+⋅⇒=+,令1x =得'(1)212(1)f f '=⨯+, 解得()'12f =-,则'()24f x x =-,(0)4f '=- 故选B6.如图在一个120︒的二面角的棱上有两点,A B ,线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且均与棱AB 垂直,若2AB =,1AC =,2BD =,则CD 的长为（ ）.A. 2B. 3C. 23D. 4【答案】B 【解析】由CD CA AB BD =++,两边平方后展开整理,即可求得2CD ,则CD 的长可求． 【详解】解：CD CA AB BD =++,∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++,CA AB ⊥,BD AB ⊥,∴0CA AB =,0BD AB =,()1||||cos 1801201212CA BD CA BD =︒-︒=⨯⨯=．∴2124219CD =+++⨯=,||3CD ∴=,故选：B ．7.若函数329()62f x x x x =-+在区间(1,1)k k -+上是单调函数,则实数k 的取值范围（ ）A. 3k ≤-或12k -≤≤或3k ≥B. 0k ≤或1kC. 03k <<D. 0k ≤或3k ≥ 【答案】D 【解析】首先求出函数的导数,求出函数的单调区间,由函数在(1,1)k k -+上是单调函数,得到11k +≤或12k -≥即可求出参数的取值范围； 【详解】解：329()62f x x x x =-+,()()2()396312f x x x x x '∴=-+=--令()0f x '>解得2x >或1x <,即()f x 在(),1-∞和()2,+∞上单调递增； 令()0f x '<解得12x <<,即()f x 在()1,2上单调递减；因为函数329()62f x x x x =-+在区间(1,1)k k -+上是单调函数,所以11k +≤或12k -≥,解得0k ≤或3k ≥, 故选：D8.定义方程()()f x f x '=实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”,若函数()g x x =,()()ln 1h x x =+,()31x x ϕ=-的“新驻点”分别为,,αβγ,则,,αβγ的大小关系为（ ） A. γαβ>> B. βγα>> C. βαγ>> D. αβγ>>【答案】A分析：分别对g （x ）,h （x ）,φ（x ）求导,令g′（x ）=g （x ）,h′（x ）=h （x ）,φ′（x ）=φ（x ）,则它们的根分别为α,β,γ,即α=1,ln （β+1）=11+β,γ3﹣1=3γ2,然后分别讨论β、γ的取值范围即可． 详解：∵g′（x ）=1,h′（x ）=11+x,φ′（x ）=3x 2, 由题意得： α=1,ln （β+1）=11+β,γ3﹣1=3γ2, ①∵ln（β+1）=11+β,∴（β+1）β+1=e, 当β≥1时,β+1≥2,2,∴β＜1,这与β≥1矛盾, ∴﹣1＜β＜1；②∵γ3﹣1=3γ2,且γ=0时等式不成立, ∴3γ2＞0 ∴γ3＞1, ∴γ＞1． ∴γ＞α＞β． 故选A ．点睛：函数、导数、不等式密不可分,此题就是一个典型的代表,其中对对数方程和三次方程根的范围的讨论是一个难点．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比,作商和1比,或者直接利用不等式的性质得到大小关系,有时可以代入一些特殊的数据得到具体值,进而得到大小关系.二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.过点(2,0)作曲线3()f x x =的切线l ,则直线l 的方程可能为（ ） A. 0y = B. 0x = C. 12240x y --= D. 27540x y --=【答案】AD 【解析】首先求出函数的导数,设切点坐标为()300,x x ,则()320000032x k f x x x -'===-,解得0x ,即可求出切线方程； 【详解】解：3()f x x =()23f x x '∴=,设切点坐标为()300,x x ,则()2003k f x x '==()320000032x k f x x x -'∴===-解得00x =或03x =当00x =时,切线方程为0y =；当03x =时,切点为()3,27,斜率27k =,故切线方程为()27273y x -=-,整理为27540x y --= 故选：AD10.已知函数3211()1()32f x ax x x a R =+++∈,下列选项中可能是函数()f x 图像的是（ ）A. B. C. D.【答案】BCD 【解析】求出函数的导数,分类讨论函数3211()1()32f x ax x x a R =+++∈的形状,即可得结论． 【详解】解：当0a =时,函数21()12f x x x =++的图象如图D 所示： 当0a >时,2()1f x ax x '=++,若104a <<,则导函数有两个负根,即原函数的两个极值点均为负,不存在满足条件图象； 若14a,则导函数至多有一个根,即原函数在R 上递增,图象如图B 所示： 当0a <时,导函数有两个异号的根,即原函数的两个极值点异号,且函数单调性先递减后递增,图象如图C 所示,故A 不可能是函数()f x 图象. 故选：BCD ．11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ,点,,E F G 分别棱楼111,,AB AA C D 的中点,下列结论中正确的是（ ）A. 四面体11ACB D 的体积等于312a B. 1BD ⊥平面1ACBC. 11//B D 平面EFGD. 异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为22【答案】BD 【解析】根据直线与平面的位置关系可知C 不正确；根据线面垂直的判定定理可知B 正确；根据空间向量夹角的坐标公式可知D 正确；用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知A 不正确． 【详解】解：延长EF 分别与11B A ,1B B 的延长线交于N ,Q ,连接GN 交11A D 于H ,设HG 与11B C 的延长线交于P ,连接PQ 交1CC 于I ,交BC 于M ,连FH ,HG ,GI ,IM ,ME , 11B D 与HG 相交,故11B D 与平面EFG 相交,所以C 不正确；1⊥BD AC ,11BD B C ⊥,且AC 与1B C 相交,所以1BD ⊥平面1ACB ,故B 正确；以D 为原点,DA ,DC ,1DD 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,利用空间向量的夹角可得异面直线EF 与1BD 的夹角的正切值为22,故D 正确； 四面体11ACB D 的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积,即为3331114323a a a -⨯⨯=,故A不正确．故选：BD12.下列命题为真命题的是（）A.2ln3ln23> B.55ln2ln42< C.2ln2e< D. 55>【答案】ABC【解析】构造函数()lnxf xx=,求得导数,以及单调性和最值,作出图象,对照选项一一判断即可得到所求答案．【详解】解：构造函数()lnxf xx=,导数为21()lnxf xx-'=,当0x e<<时,()0f x'>,()f x递增,x e>时,()0f x'<,()f x递减,可得x e=处()f x取得最大值1e,因为2332>,因为lny x=在定义域上单调递增,所以23ln3ln2>,所以2ln33ln2>,所以2ln3ln23>,故A 正确；522e>>,()522f f⎛⎫∴>⎪⎝⎭,5ln ln22522∴>,55ln ln224>,故B正确；()()12f f ee<=,ln212e∴<,即2ln2e<,故C正确；52e >>,()()52f f ∴>,ln 5ln 225∴>,2ln 55ln 2∴>, ()()25ln5ln 2∴>,552∴>,故D 错误；故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知函数4314()143f x x x =-+,则0(1)(1)limx f x f x ∆→+∆-=∆_________. 【答案】3- 【解析】根据导数的定义和极限之间的关系进行求解即可．【详解】解：根据导数的定义可知()0(1)(1)lim 1x f x f f x∆→+∆-'=∆,4314()143f x x x =-+,()324f x x x '∴=-,则()3211413f '=-⨯=-．故答案为：3-．14.已知函数11()sin ,[0,]24f x x x x π=--∈,则()f x 的零点个数为____________.【答案】2 【解析】先把研究函数零点个数问题转化为对应的函数sin y x =与1124y x =+的交点个数,在同一平面直角坐标系上画出两函数图象,由图即可得出结论．【详解】解：因为函数11()sin ,[0,]24f x x x x π=--∈的零点个数就是对应的函数sin y x =与1124y x =+,[0,]x π∈的交点个数．在同一平面直角坐标系上画出函数图象如下所示：由图可知函数sin y x =与1124y x =+,[0,]x π∈有2个交点,故函数11()sin ,[0,]24f x x x x π=--∈,有2个零点； 故答案为：215.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,M ,N ,E ,F 分别是11A B ,AD ,11B C ,11C D 的中点,则过EF 且与MN 平行的平面截正方体所得截面的面积为______,CE 和该截面所成角的正弦值为______．【答案】 (1). 2 (2). 1010【解析】取11A D 中点G ,BC 中点P ,CD 中点H ,连结GM 、GN 、MN 、PE 、PH 、PF ,推导出平面//MNG 平面PEFH ,过EF 且与MN 平行的平面截正方体所得截面为PEFH ,由此能求出过EF 且与MN 平行的平面截正方体所得截面的面积；以1D 为原点,11D A 为x 轴,11D C 为y轴,1D D 为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出CE 和该截面所成角的正弦值．【详解】取11A D中点G,BC中点P,CD中点H,连结GM、GN、MN、PE、PH、PF, ∵//MG EF,//NG EP,⋂=MG NG G,EF EP E⋂=,∴平面//MNG平面PEFH,∴过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面为PEFH,∵2PE=,22112=+=EF,四边形PEFH是矩形,∴过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面PEFH的面积为：22S=以1D为原点,11D A为x轴,11D C为y轴,1D D为z轴,建立空间直角坐标系,(1,2,0)E,(0,1,0)F,(0,1,2)H,(0,2,2)C,(1,0,2)=-EC,(1,1,0)=--EF,(1,1,2)=--EH,设平面PEFH的法向量(,,)n x y z=,则20n EF x yn EH x y z⎧⋅=--=⎨⋅=--+=⎩,取1x=,得(1,1,0)=-n,设CE和该截面所成角为θ,则10sin52θ⋅===⋅⋅CE nCE n,∴CE．故答案为；10． 16.已知函数1()ln f x x a x x =-+,常存在,m n ,使得()()0f m f n ''==,且10,m e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,则()()f m f n -的最小值为_______________.【答案】4e【解析】首先求出函数的导数,因为存在,m n ,使得()()0f m f n ''==,即方程210x ax ++=在()0,x ∈+∞上有两个不相等的实数根,m n ,则m n a +=-,1⋅=m n 所以1n m =,1a m m =--,21n )l ((1)f m m m m f m m n ⎡⎤⎛⎫---+ ⎪⎢⎥=⎝⎭-⎣⎦,构造函数()112ln h x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,利用导数求出函数在10,x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上的最小值,即可得解.【详解】解：因为1()ln f x x a x x=-+的定义域为()0,∞+,22211()1a x ax f x x x x '++=++=令()0f x '=即210x ax ++=,()0,x ∈+∞,因为存在,m n ,使得()()0f m f n ''==,且10,m e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,即210x ax ++=在()0,x ∈+∞上有两个不相等的实数根,m n ,且m n a +=-,1⋅=m n 所以1n m =,1a m m=-- 1111ln ln 1()()m m m m m m m f m f n m m m ⎛⎫⎛⎫---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴-=-+ 11l 2n m m m m m ⎡⎤⎛⎫---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=令()112ln h x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,则()()()22211121ln ln x x h x x x x x -+⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭,当10,x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,()0h x '<恒成立, 所以()h x 在10,x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递减,()min 14h x h e e ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭,即()()f m f n -的最小值为4e故答案为：4e四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知z 为虚数,z+9z 2-为实数. (1)若z-2为纯虚数,求虚数z. (2)求|z-4|的取值范围.【答案】（1）z=2+3i 或z=2-3i ；（2）(1,5).试题分析：（1）设(,,0)z x yi x y R y =+∈≠,根据2z -为纯虚数求得x 的值,再由92z z +-为实数求出y 的值,即可得到复数z ； （2）由92z z +-为实数且0y ≠可得22(2)9x y -+=,由此求得x 的范围,根据复数的模的定义从而求得范围. 试题解析：(1)设z=x+yi(x,y∈R,y≠0),则z-2=x-2+yi, 由z-2为纯虚数得x=2,所以z=2+yi,则z+9z 2-=2+yi+9yi =2+9y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭i∈R,得y-9y =0,y=±3,所以z=2+3i 或z=2-3i.(2)因为z+9z 2-=x+yi+9x yi 2+-=x+()229x 2(x 2)y --++229y y (x 2)y ⎡⎤-⎢⎥-+⎣⎦i∈R, 所以y-229y(x 2)y -+=0,因为y≠0,所以(x-2)2+y 2=9, 由(x-2)2<9,得x∈(-1,5),所以=22(x 4)9(x 2)-+-- =214x -∈(1,5).18.已知直三棱柱111ABC A B C -中,ABC ∆为等腰直角三角形,90BAC ︒∠=,且1AB AA =,,,D E F 分别为11,,B A C C BC 的中点.（1）求证：直线//DE 平面ABC ； （2）求二面角1E AB F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）33【解析】（1）如图建立空间直角坐标系O xyz -,令14AB AA ==,只需平面ABC 的法向量 与DE 垂直即可．（2）求出两个面的法向量即可利用向量法求解．【详解】解：（1）如图建立空间直角坐标系O xyz -,令14AB AA ==, 则()0,0,0A , ()0,4,2E , ()2,2,0F , ()4,0,0B ,()14,0,4B , ()2,0,2D , ()2,4,0DE =-, 平面ABC 的法向量为()10,0,4AA =．10DE AA =,∴1DE AA ⊥,又DE ⊂/面ABC ,//DE ∴平面ABC ． （2）()0,4,2AE =,(2,2,0)AF =,()14,0,4AB =设平面1B AF 的法向量为111(,,)m x y z =,则由10m AF m AB ==,即1111440220x z x y +=⎧⎨+=⎩．令11x =,则11z =-,11y =-,()1,1,1m ∴=--．设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =,则由10n AE n AB ==,即420440y z x z +=⎧⎨+=⎩．令2x =,则2z =-,1y =,(2,1,2)n ∴=-．()()()1211123n m ∴=⨯+-⨯+-⨯-=,()()2221113m =+-+-=,()2221223n =++-=,∴3cos ,33n m n m n m<>===⋅∴二面角1E AB F --的余弦值为3．19.已知a R ∈,函数()2()xf x x ax e =-+（e 为自然对数的底数）.（1）当0a =时,求函数()f x 的单调递减区间；（2）若函数()f x 在(1,1)-上单调递增,求实数a 的取值范围.【答案】（1）(),2-∞-和()0,∞+；（2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）求导函数,令()0f x '<,可得()f x 的单调递减区间；（2）2()[(2)]x f x x a x a e '=-+-+,若()f x 在(1,1)-内单调递增,即当11x -<<时,()0f x ',即2(2)0x a x a -+-+对(1,1)x ∈-恒成立,分离参数求最值,即可求a 的取值范围．【详解】解：()2()x f x x ax e =-+()2()2x f x x ax x a e '∴=-+-+,2()(2)xf x x a x a e ⎡⎤'=-+-+⎣⎦（1）当0a =时,2()x f x x e =-,2()(2)x f x x x e =-+'令()0f x '<,得220x x +>,∴0x >或2x <-()f x ∴的单调递减区间是(),2-∞-和()0,∞+；（2）2()(2)xf x x a x a e ⎡⎤'=-+-+⎣⎦,若()f x 在(1,1)-内单调递增,即当11x -<<时,()0f x ',即2(2)0x a x a -+-+对(1,1)x ∈-恒成立,即111a x x +-+对(1,1)x ∈-恒成立, 令()111g x x x =+-+,则()2110(1)g x x '=+>+()111g x x x ∴=+-+在(1,1)-上单调递增,()()13111112g x g ∴<=+-=+ 32a ∴经检验,当32a =时,符合题意. a ∴的取值范围是3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 20.某市有一特色酒店由一些完全相同的帐篷构成.每座帐篷的体积为54π立方米,且分上下两层,其中上层是半径为(1)r r （单位：米）的半球体,下层是半径为r 米,高为h 米的圆柱体（如图）.经测算,上层半球体部分每平方米建造费用为2千元,下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元,设每座帐篷的建造费用为y 千元.参考公式：球的体积343V r π=,球的表面积24S r π=,其中r 为球的半径.（1）求y 关于r 的函数解析式,并指出该函数的定义域；（2）当半径r 为何值时,每座帐篷的建造费用最小,并求出最小值.【答案】（1）2546y r r π⎛⎫=+⎪⎝⎭,定义域为{}3|133r r <；（2）当半径r 为3m 时,建造费用最小,最小为162π千元． 【解析】（1）由图可知帐篷体积=半球体积+圆柱体积,即322543r r h πππ+=,表示出h ,则22222323y r r rh πππ=⨯+⨯+⨯,化简得2546y r r π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；再由254203r r ->,即可求出函数的定义域（2）254()f r r r=+,3133r <,根据导函数求出其最小值即可． 【详解】解：（1）由题意可得322543r r h πππ+=,所以25423h r r =-,所以22225422223231063y r r rh r r r r πππππ⎛⎫=⨯+⨯+⨯=+⋅-⎪⎝⎭,即2546y r r π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 因为1r ,0h >,所以254203r r ->,则3133r <,所以定义域为{}3|133r r <, 故2546y r r π⎛⎫=+⎪⎝⎭,定义域为{}3|133r r <； （2）设254()f r r r =+,3133r <,则254()2f r r r'=-,令()0f r '=,解得3r =, 当[)1,3r ∈时,()0f r '<,()f r 单调递减； 当(33,33r ∈时,()0f r '>,()f r 单调递增,所以当3r =时,()f r 取极小值也是最小值,且()27min f r =．当半径r 为3m 时,建造费用最小, 2min 54631623y ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭答：当半径r 为3m 时,建造费用最小,最小为162π千元． 21.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形,//,AD BC AB BC ⊥,3,22,AB BC AD E ===为CD 的中点,PB AE ⊥.（1）证明：AE ⊥平面PBD ；（2）若,PB PD PC =与平面ABCD 所成的角为4π,试问“在侧面PCD 内是否存在一点N ,使得BN ⊥平面PCD ？若存在,求出BN 的长度；若不存在,请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）2155【解析】（1）推导出BD AE ⊥,PB AE ⊥,从而AE ⊥平面PBD ．（2）在平面PBD 内作PO BD ⊥于O ,连接OC ,推导出PO ⊥平面ABCD ,则PCO ∠为PC 与平面ABCD 所成角,4PCO π∠=,以OB ,OC ,OP 所在的直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,利用向量法能求出N 点的坐标,从而求出BN 的长度．【详解】解：（1）证明：由四边形ABCD 是直角梯形,3AB =22BC AD ==,AB BC ⊥, 可得2DC =,3BCD π∠=,从而BCD ∆是等边三角形,2BD =,BD 平分ADC ∠．E 为CD中点,1DE AD ∴==,BD AE ∴⊥,又PB AE ⊥,PB BD B ⋂=,BD ⊂平面PBD ,PB ⊂平面PBD AE ∴⊥平面PBD ． （2）在平面PBD 内作PO BD ⊥于O ,连接OC ,AE 平面PBD ．又AE ⊂平面ABCD ,∴平面PBD ⊥平面ABCD ．因为平面PBD 平面ABCD BD =,PO ∴⊥平面ABCDPCO ∴∠为PC 与平面ABCD 所成的角,则4PCO π∠=, ∴由题意得3OP OC ==PB PD =,PO BD ⊥,O ∴为BD 的中点,OC BD ∴⊥．以OB ,OC ,OP 所在的直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则(1B ,0,0),(0C 30),(1D -,0,0),(0P ,0,3), 假设在侧面PCD 内存在点N ,使得BN ⊥平面PCD 成立, 设(PN PD PC λμλ=+,0μ,1)λμ+, 由题意得(3,3(1))N λμλμ--+-,(1BN λ=--3μ,3(1))λμ-+-,(0PC =3,3)-,(1PD =-,0,3), 由·0·0BN PC BN PD ⎧=⎨=⎩,得33(1)013(1)0μλμλλμ++-=⎧⎨+++-=⎩,解得12,55λμ==,满足题意,123235N ⎛∴- ⎝⎭2221232321515555BN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=--++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22.已知函数21()(1)ln ()2f x ax a x x a R =-++-∈.（1）当0a >时,求函数()f x 的单调区间；（2）当0a =时,设函数()()g x xf x =,若存在区间1[,],2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭,使得函数()g x 在[,]m n 上的值域为[(2)2,(2)2]k m k n +-+-,求实数k 的最大值.【答案】（1）见解析；（2）9ln 410+.【解析】（1）求导后含参数a ,通过分类讨论容易得出结论；（2）问题等价为()(2)2g x k x =+-在1[,)2+∞上至少有两个不同的正根1,()2m n n m >≥,再构造函数求解即可．【详解】解：（1）因为21()(1)ln ()2f x ax a x x a R =-++-∈的定义域为(0,)+∞,当0a >时,函数21()(1)ln 2f x ax a x x =-++-导数为1(1)(1)()1x ax f x ax a x x --'=-++-=-,若1a =时,()0f x ',()f x 单调递减, 若1a >时,11a <,当1x >或10x a<<时,()0f x '<,当11x a <<时,()0f x '>, 即函数()f x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(1,)+∞上单调递减,在区间1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 若01a <<时,11a >,当1x a>或01x <<时,()0f x '<,当11x a <<时,()0f x '>,函数()f x 在区间(0,1),1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减,在区间11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增．综上,若1a =时,函数()f x 的减区间为(0,)+∞,无增区间,若1a >时,函数()f x 的减区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭,(1,)+∞,增区间为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,若01a <<时,函数()f x 的减区间为(0,1),1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭,增区间为11,a ⎛⎫⎪⎝⎭．（2）当0a =时,设函数2()()ln g x xf x x x x ==-．令()2ln 1g x x x '=--,121()2(0)x g x x x x -''=-=>, 当12x 时,()0g x '',()g x '为增函数,1()()ln 202g x g '='>,()g x 为增函数,()g x 在区间1[,],2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭上递增, ()g x 在[m ,]n 上的值域是[](2)2,(2)2k m k n +-+-()(2)2g x k x ∴=+-在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上至少有两个不同的正根1,()2m n n m >≥,()22g x k x +=+,令2ln 2()2x x x F x x -+=+,1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 求导得,2232ln 4()(2)x x x F x x +-=+'-, 令21()32ln 4()2G x x x x x =+--, 则2(21)(2)1()23()2x x G x x x x x -+'=+-=, 所以()G x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭递增,102G ⎛⎫< ⎪⎝⎭,()10G =, ∴当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,()0G x <,()0F x '<； 当[)1,x ∈+∞,()0G x >,()0F x '>.∴()F x 在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减,在[)1,+∞上递增, ∴1(1)()2F k F < ∴9ln 41,10k +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦, k ∴的最大值为9ln 410+．。
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2019-2020学年福建省福州一中2018级高二上学期期末考试
数学试卷
★祝考试顺利★
(解析版)
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数2020(12)z i i =--的共轭复数为（ ）
A. 12i -+
B. 2i +
C. 2i -
D. 12i -- 【答案】A
【解析】
首先根据复数的乘方求出2020i ,即可求出z ,从而求出z 的共轭复数；
【详解】解：1i i =,21i =-,3i i =-,41i =,5i i =,,()5052020450511i i ∴===
2020(12)12z i i i ∴=--=--
12z i ∴=-+
故选：A
2.如果三点()1,5,2A -,()2,4,1B ,(),3,2C a b +在同一条直线上,则()
A. 3,2a b ==
B. 6,1a b ==-
C. 3,3a b ==-
D. 2,1a b =-= 【答案】A
【解析】
由三点共线可知,AB AC 为共线向量,根据向量共线的坐标运算可构造方程求得结果.
【详解】,,A B C 三点共线 ,AB AC ∴为共线向量
又()1,1,3AB =-,()1,2,4AC a b =--+
124113
a b --+∴
==-,解得：3a =,2b =
本题正确选项：A 3.观察2'()2x x =,4'3()4x x =,'(cos )sin x x =-,由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=,记()g x 为()f x 的导函数,则()g x -=
A. ()f x
B. ()f x -
C. ()g x
D. ()g x - 【答案】D
【解析】 由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数,因为()f x 是偶函数,则()()g x f x '=是奇函数,所以()()g x g x -=-,应选答案D ． 4.如图,空间四边形OABC 中,,,OA a OB b OC c ===,且2OM MA =,BN NC =,则MN =（ ）
A. 221332a b c ++
B. 111222a b c +-
C. 211322a b c -++
D. 121232
a b c -+ 【答案】C
【解析】
根据MN ON OM =-,再由2OM MA =,BN NC =,得到
()()
2211,3322a OM OA ON OB OC c b =+===+,求解. 【详解】因为MN ON OM =-,
又因为()()
2211,3322
a OM OA ON OB OC c
b =+===+, 所以211322MN a b
c =-++.。