轴向拉伸与压缩

3）节点A的位移（以切代弧） 的位移（以切代弧）
AA1 = ∆l1 = 1mm
AA2 = ∆l2 = 0.6 mm
AA4 = AA3 + A3 A4 =
∆l1
sin 30
+
∆l 2
tan 30
= 2 + 1.039 = 3.039 mm
FN1
A
y
A
A′′A4 = ∆l 2 = 0.6 mm
A A ′′ = =
BC段：σ BC =
CD段：σ CD
FN 2 =－ .6 MPa 74 ABC
FN 3 = =－110.5 MPa ACD
（3）求圆杆的总变形。 求圆杆的总变形。
P3
D C B
P2
A
P1
l3
σ 1l1
E
l2
= 2 .53 × 10 − 4 m
l1 FN1 = 20kN FN2 = -15kN FN3 = -50kN
2、轴力图
用平行于杆件轴线的坐标x表示横截面的位置， 平行于杆件轴线的坐标 表示横截面的位置， 于杆件轴线的坐标x 用垂直于杆件轴线的坐标FN表示该横截面上轴力的 垂直于杆件轴线的坐标 于杆件轴线的坐标F 大小和正负，从而绘出一个表示轴力与横截面位置 大小和正负，从而绘出一个表示轴力与横截面位置 关系的图线，这种图线称为轴力图 关系的图线，这种图线称为轴力图。 轴力图。
P3
D C B
P2
A
P1
l3
l2
l1
解：（1）求各段杆件的轴力，作轴力图。 求各段杆件的轴力，作轴力图。 轴力 AB段 AB段: FN1= 20kN； BC段: FN2= -15kN； CD段: FN3= -50kN 20kN； BC段 15kN； CD段
P3
D C B
P2
A
P1
l3
l2
l1
20kN
一、低碳钢拉伸时的力学性 低碳钢拉伸时的力学性 1. 材料拉伸时的试 能
件
L = 10d
d L
L = 5d
标距
2. 材料拉伸时的设备：万能试验 材料拉伸时的设备： 机 3. 低碳钢拉伸时的力学性 能 低碳钢的拉伸图： 低碳钢的拉伸图： 在常温静载下将低碳钢试件置于拉
伸机上， 载荷拉力F 纵坐标、 伸机上，以载荷拉力F为纵坐标、标距段的伸长△l为横 坐标所绘制的曲线称为拉伸图，也称为F 坐标所绘制的曲线称为拉伸图，也称为F —△l曲线。 曲线。 所绘制的曲线称为拉伸图
ε' µ= ε
or
ε ′ = −µε
实验结果表明，在材料的弹性范围内，杆件的纵向 实验结果表明，在材料的弹性范围内，杆件的纵向 变形∆ 变形∆l，与轴力FN和杆的原长l成正比、与横截面面积A 轴力F 和杆的原长 成正比、 横截面面积A 原长l 成反比，若引入比例常数E（称为弹性模量），则有： 比例常数E 称为弹性模量 弹性模量） 则有： 成反比，若引入比例常数
∑X = 0
FN1 cosα + FN 2 = 0
FN 1 = 20 kN
∑Y = 0
∆ l1 =
FN1 sinα − F = 0
FN 2 = −17.32kN
2）根据胡克定律计算杆的变形。 根据胡克定律计算杆的变形。
F N 1 l1 20 × 10 × 2 = = 1mm 9 −6 EA1 200 × 10 × 200 × 10
AB 段： ∆ l AB =
BC 段： ∆ l BC =
σ 2 l2
E
= −1.42 × 10 − 4 m
CD 段： ∆ l CD =
σ 3l3
E
= − 1 . 58 × 10 − 4 m
∆ l AD = ∆ l AB + ∆ l BC + ∆ lCD = − 0 .47 × 10 −4 m
例2：如图所示，已知AB长2m，面积为200mm2。AC面 如图所示，已知AB长2m，面积为200mm AC面 积为250mm 积为250mm2。E=200GPa。F=10kN。求节点A的位移。 200GPa。 10kN。求节点A的位移。 解：1）取节点A为研究对象计算轴力 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆）。 设斜杆为1 水平杆为2
横向线均缩 横向线均缩 短且仍直线 纵向线均伸 纵向线均伸 长且仍直线
1、轴向拉伸或压缩时横截面上的应力 轴向拉伸或压缩时横截面 横截面上的应力
F F F F
F
σ
FN σ= A
说明：横截面 说明： 受到均匀分布 受到均匀分布 且相同的 且相同的内力
平面假设：假设杆件变形前为平面的横截面，变形后仍 平面假设：假设杆件变形前为平面的横截面，变形后仍 然保持为平面且仍然垂直于杆件的轴线，这种假设称之。 然保持为平面且仍然垂直于杆件的轴线，这种假设称之。
2、轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 轴向拉伸或压缩时斜截面 斜截面上的应力
求 k―k斜截 面 上的应力 ？ Fα Pα = Fα = F Aα
Aα为斜 k
F
α
k k F
F
截面面 积
A Aα = cosα
F Pα = cos α = σ cos α A
σα = P cosα = σ (cosα)2 α
B C' A C
σs σe σp
试件表面出现与轴线成45度方向的滑移线 试件表面出现与轴线成45度方向的滑移线 45度方向的 上、下屈服极限 λ CD：强化阶段 CD： C'点：屈服极限σs D点：强度极限σb
FN l ∆l = EA or
σ = Eε
例1：图示变截面杆AD，已知P1=20kN，P2=P3=35kN，l1=l3 图示变截面杆AD，已知P =20kN， =35kN， =300mm， 400mm， =12mm， =16mm， =24mm。 =300mm，l2=400mm，d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。材 料的弹性模量E 210GPa。 料的弹性模量E=210GPa。求: (1)变截面杆的轴力图；(2)变 (1 变截面杆的轴力图； 变截面杆的总变形 杆的总变形。 截面杆的最大正应力 截面杆的最大正应力σmax；(3)变截面杆的总变形。
1 τα = Pα sin α = σ sin 2α 2
F
α
k
Fα
k
σ α
α
n x
τ
α
Pα
k
例题：图示结构，已知F=20kN，斜杆AB为直径20mm的 为直径20 例题：图示结构，已知F=20kN，斜杆AB为直径 mm的 圆截面杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。试求杆件AB和 的方截面杆。 圆截面杆，水平杆CB为15×15的方截面杆 试求杆件AB和 CB的应力。 CB的应力。 的应力
45° °
C
B F
2、计算AB和BC杆的应力大小。 计算AB和BC杆的应力大小。 杆的应力大小
FN 1
FN 2
y
45° ° B F
x
FN 1 28.3 × 10 3 = = 90 × 10 6 Pa = 90 MPa σ1 = A1 π × 20 2 × 10 -6 4
FN 2 − 20 × 10 3 σ2 = = 2 = −89 × 10 6 Pa = −89 MPa A2 15 × 10 -6
1. 掌握拉(压)杆的强度计算； 掌握拉( 杆的强度计算； 学习要求： 学习要求： 2. 熟悉材料在拉伸和压缩时的力学性能 ； 3. 了解拉(压)杆轴力计算及轴力图绘制 了解拉( ； 4. 了解拉(压)杆的变形计算。 了解拉( 杆的变形计算。
16.1 16.1
轴向拉伸或压缩的内力
实例
受力特点：外力的合力作用线 受力特点： 与杆件的轴线一定是重合的 与杆件的轴线一定是重合的； 一定是重合 变形特点：杆件会沿其轴线方 变形特点：杆件会 向伸长或缩短。 向伸长或缩短。
FN1=10kN (拉力) FN2=50kN (拉力) FN3= -5kN (压力)
FN
50kN
+
10kN
20kN
FN4=20kN (拉力)
+
5kN
x
简便方法：左段向左或右段向右的外力产生的轴力为正值。 的外力产生的轴力为正值 简便方法：左段向左或右段向右的外力产生的轴力为正值。
16. 16.2
轴向拉伸或压缩的应力
FN
O
x
例题：一等直杆其受力如图所示，作杆的轴力图。 例题：一等直杆其受力如图所示，作杆的轴力图。
40kN A 600mm B 300 C
55kN
25kN D E 400
20kN
500
R
A
ห้องสมุดไป่ตู้
40kN B C
55kN 25kN D E
20kN
解：1）求杆A端的约束力。 求杆A端的约束力。
∑X = 0
− R − 40 + 55 − 25 + 20 = 0
l l
d ′ − d ∆d = d d
横向应变： ε ′ =
二、泊松比与胡克定律
实验结果表明，在材料的弹性范围内，其横向应变 实验结果表明，在材料的弹性范围内， 与纵向应变的比值为一个常数， 记为µ 称为泊松比 与纵向应变的比值为一个常数， 记为µ， 称为泊松比或 为一个常数 泊松比或 横向变形系数。 横向变形系数。
1、轴力的概念
m F m m F m m FN m F FN F
轴力：垂直于轴向 轴力： 拉伸或压缩杆件横 截面的内力称之。 截面的内力称之。 内力称之 轴力正负号规定： 轴力正负号规定： 当轴力方向与横截 面的外法线方向一 致时为正值 致时为正值，称为 正值， 拉力；相反则为负 拉力；相反则为负 值，称为压力。 称为压力 压力。
R = 10kN