轴向拉伸与压缩的概念与实例
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材料力学(机械类)第二章 轴向拉伸与压缩
第
二
章
拉伸压缩与剪切
1
பைடு நூலகம்
§2-1
轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸） 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
2
拉、压的特点：
1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反 2. 变形—— 沿轴线
3
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1 、横截面上的内力
A3
2
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
40
目录
例 2—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。 （刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
16
§2-4
材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变 形和破坏等方面的特性。
现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：
从受力很小
破坏
理论上——用简单描述复杂
工程上——为（材料组成的）构件当好医生
17
一、 低碳钢拉伸时的力学性能 （含碳量<0.3%的碳素钢）
力均匀分布于横截面上，σ等于常量。于是有：
N d A d A A
A A
得应力：
N A
F
FN
σ
10
例题2-2
A 1
45°
C
2
二
章
拉伸压缩与剪切
1
பைடு நூலகம்
§2-1
轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸） 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
2
拉、压的特点：
1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反 2. 变形—— 沿轴线
3
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1 、横截面上的内力
A3
2
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
40
目录
例 2—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。 （刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
16
§2-4
材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变 形和破坏等方面的特性。
现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：
从受力很小
破坏
理论上——用简单描述复杂
工程上——为（材料组成的）构件当好医生
17
一、 低碳钢拉伸时的力学性能 （含碳量<0.3%的碳素钢）
力均匀分布于横截面上，σ等于常量。于是有：
N d A d A A
A A
得应力：
N A
F
FN
σ
10
例题2-2
A 1
45°
C
2
(材料力学)第一章轴向拉伸和压缩
24
根据Saint-Venant原理：
25
7. 应力集中（Stress Concentration）：
由于截面尺寸急剧变化而引起的局部应力增大的现象。
·应力集中因数
K max m
26
不同性质的材料对应力集中的敏感程度不同
1.脆性材料
σmax 达到强度极限，此位置开裂，所 以脆性材料构件对应力集中很敏感。
轴力图如右图 N
2P + –
3P
BC
PB
PC
N3
C
PC N4
5P
+
P
D PD D PD D PD
x
11
[例2] 图示杆长为L，受轴线方向均布力 q 作用，方向如图，试画
出杆的轴力图。 q
解：x 坐标向右为正，坐标原点在 自由端。
L
取左侧x 段为对象，内力N(x)为：
O x
N – qL
N(x)maxqL
2.塑性材料
应力集中对塑性材料在静载作用下的强度影响不 大，因为σmax 达到屈服极限，应力不再增加，未达 到屈服极限区域可继续承担加大的载荷，应力分布 趋于平均。
在静载荷情况下，不需考虑应力集中的影响；但 在交变应力情况下，必须考虑应力集中对塑性材料 的影响。
况、安全重要性、计算模型等等
16
依强度准则可进行三种强度计算：
①校核强度：
m ax
②设计截面尺寸：
Amin
Nmax
[ ]
③许可载荷：
N ma xA ;
Pf(Ni)
17
[例4] 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布 集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用
第七章轴向拉伸与压缩案例
④强度校核与结论：
max
RA
131MPa 170 MPa
此杆满足强度要求，是安全的。
例 图示结构中①杆是直径为32mm的圆杆， ②杆为2×No.5槽
钢。材料均为Q235钢，E=210GPa。求该拖架的许用荷载 [F] 。
A 1.8m ① C ② 2.4m B F
解：1、计算各杆上的轴力
确定安全系数要兼顾经济与安全，考虑以下几方面： ① 理论与实际差别 ：材料非均质连续性、超载、加工制造 不准确性、工作条件与实验条件差异、计算模型理想化 ②足够的安全储备 ：构件与结构的重要性、塑性材料n小、 脆性材料n大。
安全系数的取值：安全系数是由多种因素决定的。各种材料 在不同工作条件下的安全系数或许用应力，可从有关规范或 设计手册中查到。在一般静载下，对于塑件材料通常取为 1.5～2.2；对于脆性材料通常取为3.0 ～ 5.0，甚至更大。
1 [ F ]1 [ ] A1 57.9kN 1.67
4、确定许用荷载
[ F ] min{[F ]1 ， [ F ]2} [ F ]1 57.9kN
§7-4
轴向拉伸或压缩时的变形
一、纵向变形及线应变
P
L
P
L1
FX 0 ： FN 1 cos FN 2 0 FN 1 sin F 0 FY 0 ： FN 1 1.67F FN 2 1.33F
FN 1
FN 2
B
F
2、按AB杆进行强度计算
3、按BC杆进行强度计算
[ F ]2 1 [ ] A2 125 kN 1.33
二、许用应力和安全系数
1、许用应力 1）材料的标准强度：屈服极限、抗拉强度等。 2）材料的极限应力 u ：
max
RA
131MPa 170 MPa
此杆满足强度要求，是安全的。
例 图示结构中①杆是直径为32mm的圆杆， ②杆为2×No.5槽
钢。材料均为Q235钢，E=210GPa。求该拖架的许用荷载 [F] 。
A 1.8m ① C ② 2.4m B F
解：1、计算各杆上的轴力
确定安全系数要兼顾经济与安全，考虑以下几方面： ① 理论与实际差别 ：材料非均质连续性、超载、加工制造 不准确性、工作条件与实验条件差异、计算模型理想化 ②足够的安全储备 ：构件与结构的重要性、塑性材料n小、 脆性材料n大。
安全系数的取值：安全系数是由多种因素决定的。各种材料 在不同工作条件下的安全系数或许用应力，可从有关规范或 设计手册中查到。在一般静载下，对于塑件材料通常取为 1.5～2.2；对于脆性材料通常取为3.0 ～ 5.0，甚至更大。
1 [ F ]1 [ ] A1 57.9kN 1.67
4、确定许用荷载
[ F ] min{[F ]1 ， [ F ]2} [ F ]1 57.9kN
§7-4
轴向拉伸或压缩时的变形
一、纵向变形及线应变
P
L
P
L1
FX 0 ： FN 1 cos FN 2 0 FN 1 sin F 0 FY 0 ： FN 1 1.67F FN 2 1.33F
FN 1
FN 2
B
F
2、按AB杆进行强度计算
3、按BC杆进行强度计算
[ F ]2 1 [ ] A2 125 kN 1.33
二、许用应力和安全系数
1、许用应力 1）材料的标准强度：屈服极限、抗拉强度等。 2）材料的极限应力 u ：
轴向拉伸与压缩的概念与实例
2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
假想地用一平面沿斜 F 截面k－k将杆分成两
个部分, 取左段为研究
对象。
F
k
α
k k
F Fα
以 Fα 表 示 斜 截 面 上 的 内力, 以pα表示斜截面 上的应力。
k pα
与证明横截面上的应 力是均匀分布的方法 一样, 可以证明斜截面 上的应力也是均匀分 布的。
FN
=
FR 2
=
pbd 2
σ = FN = pbd = pd A 2bδ 2δ
=
2×106 × 0.2 2 × 5×10−3
=
40 ×106
Pa
=
40
MPa
2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
前面讨论了轴向拉伸或压缩时, 直杆横截面上的正应力, 它是今后强度计算的依据。但不同材料的实验表明, 拉 (压)杆的破坏并不总是沿横截面发生, 有时却是沿斜截 面发生的。为此, 应进一步讨论斜截面上的应力。
=
−42.4
MPa
是压应力
例: 长为b、内径d＝200 mm、壁厚 δ＝5 mm的薄壁圆环, 承受
p＝2 MPa的内压力作用, 如图所示。试求圆环径向截面上的拉
应力。
薄壁容器（参考内容）
解: 薄壁圆环在内压力作用下要均匀胀大, 故在包含圆环轴线 的任何径向截面上, 作用有相同的法向拉力FN。为求该拉力, 可 假想地用一直径平面将圆环截分为二, 并研究留下的半环的平 衡。半环上的内压力沿y方向的合力为
FB FN3
轴力图如右图
C
FC C
FC FN4
FN
5F
2F
D
FD D
FD D
轴向拉伸和压缩解读
X 0 FN 4 FD 0 FN4= F
FD
FN1 2F, FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
FN1 2F, FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
轴力图如下图：
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
FN 2F +
5F
+
F
x
-
3F
总结上面例子得到以下结论： ➢轴力只与外力有关，截面形状变化不会改变轴力大小； ➢集中外力多于两个时，轴力以分段函数表示，以集中力作用 点、分布载荷起止点为界点； ➢轴力等于脱离体上所有轴向外力的代数和； ➢求轴力时外力的符号法则：
第2章 轴向拉伸和压缩
§2.1 轴向拉伸和压缩的概念与实例 §2.2轴力及轴力图 §2.3轴向拉压杆横截面上的应力 §2.4材料的力学性质和基本试验 §2.5拉压杆的强度计算 §2.6拉压杆的变形 §2.7拉压变形的超静定问题 §2.8应力集中的概念
§2.1 轴向拉伸和压缩的概念与实例
一、轴向拉压的工程实例
•变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面——平面假设； •各横截面沿轴向作相对平移，两截面间各纵向线绝对变形相同， 应变ε也相同；
•横向线与纵向线始终保持垂直，切应变γ为零。
4、应力的分布规律—— 沿横截面均匀分布
从平面假设可以判断：
F
（1）各纵向纤维应变相等——各点处正应力
相等，为常量。即正应力在截面上均匀分布；
F 4F 8F 5F FN1 0
FN1 2F
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
求AB 段内力：
X 0
FN2
轴向拉伸和压缩—轴向拉伸和压缩的概念与实例(建筑力学)
第七章 轴向拉伸与压缩
Hale Waihona Puke 轴向拉伸与压缩学习目标：
1. 弄清轴向拉（压）杆的受力特点和变形特点。 2. 应用截面法熟练计算轴向拉（压）杆的内力；并能正确 绘出轴力图。 3. 熟练掌握轴向拉（压）杆横截面上的正应力计算公式， 并能计算拉（压）杆的变形。 4.了解低碳钢和铸铁的σ-ε曲线，明确塑性材料和脆性材料 的力学性质及差别。 5. 会根据轴向拉（压）杆的强度条件进行强度计算。
重点：
轴向拉（压）杆的内力计算；轴向拉（压）杆横截面上的 应力计算及其强度条件在工程实际中的应用。
轴向拉伸与压缩
第一节 轴向拉伸和压缩的概念
在工程实际中经常遇到承受轴向拉伸和压缩的杆件。
轴向拉伸与压缩
受力特点：作用杆件上的外力（或外力合力）的作用线与 杆轴线重合。
变形特点：是纵向伸长或缩短。 这种变形形式称为轴向拉伸或压缩。 这类构件称为轴向拉（压）杆。
材料力学《第二章》轴向拉伸与压缩
c'
杆受压时同样分析，可得同样结果。 由式可知： 1. FN s ，A s； 2. s 与FN符号相同，拉应力为正，压应力为负。
说明：所得结果经实验证明是准确的，因此平面假设符合实际 情况。
上海交通大学
注意： 1. 公式仅适用于轴向拉压情况； 2. 公式不适用于外力作用区域附近部分。
在外力作用区域附近，s 并不均布，而是由外力的作用情况而定。
k
F
将 pa 沿斜截面的垂直方向和平行 F 方向分解：
k
pa
pa
s0 s a pa cosa (1 + cos 2a ) 2 s0 t a pa sin a s 0 cosa sin a sin 2a 2
F
a k sa
a
可知：sa 、ta的大小和方向随 a 的改变而改变。
ta
pa
上海交通大学
得 FN4 = F4 = 10 kN (拉)
A F1 FN
1
B F2
2
C
3
D F4
FN1 = 5 kN 5 kN + B
1
F3 FN2 = –15 kN
2
FN3 = 10 kN 10 kN + C D x
3
A
三、 轴力图 –15 kN
在杆件中间部分有外力作用时，杆件不同段上的轴力不同。 可用轴力图来形象地表示轴力随横截面位置的变化情况。 横轴 x：杆横截面位置；纵轴 FN：杆横截面上的轴力。 正值轴力 (拉)绘在横轴 上方，负值轴力 (压)绘在横轴下方。
变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短，同时伴随横 向尺寸的变化(减小或增大)。
轴向拉伸：两端受拉力作用，杆的变形是轴向伸长，横向减小。
材料力学第2章-1拉压
6 9 2
平方米） （牛顿/平方米）记作：Pa （帕斯 牛顿 平方米 记作： 记为： 记为：Mpa 记为： 记为：Gpa 矢量背离截面 矢量指向截面
返回
N/m N/m
2 2
兆帕 千兆帕
4、正应力的符号规定： 、正应力的符号规定： 与轴力相同，拉伸（ ） 与轴力相同，拉伸（+） 压缩（ 压缩（-）
5、应力的分布规律： dFN= σ dA
ε
返回
二、压缩曲线： 压缩曲线：
F D B A C
σp
σs
σb
E
O
ε=∆ L/L
1、低碳钢的压缩曲线
特点： 弹性模量E均与拉伸时相同 均与拉伸时相同， 特点：极限应力σS弹性模量 均与拉伸时相同，但得不 到强度极限。 到强度极限。
返回
铸铁压缩曲线
2、铸铁压缩曲线的特点： 铸铁压缩曲线的特点： 1）形状与拉伸时相似。 ）形状与拉伸时相似。 2）抗压强度比抗拉强度高 ）抗压强度比抗拉强度高4~5倍。 倍 3）在较小的变形下突然破坏，破坏断面与轴线大约成 ）在较小的变形下突然破坏， 450~550角。 三、两类材料力学性能比较 塑性材料：1）破坏前变形大，有流动阶段。 塑性材料： 破坏前变形大，有流动阶段。 承受冲击的能力好。 2）承受冲击的能力好。 均相同。 3）拉压时E、 σs均相同。 脆性材料： 破坏前变形小，没有明显的流动阶段。 脆性材料：1）破坏前变形小，没有明显的流动阶段。 承受冲击的能力不好。 2）承受冲击的能力不好。 抗拉强度低，抗压强度高。 3）抗拉强度低，抗压强度高。 塑性材料适合做承拉构件，脆性材料适合做承压构件。 塑性材料适合做承拉构件，脆性材料适合做承压构件。
FN =
∫ dF
A
N
平方米） （牛顿/平方米）记作：Pa （帕斯 牛顿 平方米 记作： 记为： 记为：Mpa 记为： 记为：Gpa 矢量背离截面 矢量指向截面
返回
N/m N/m
2 2
兆帕 千兆帕
4、正应力的符号规定： 、正应力的符号规定： 与轴力相同，拉伸（ ） 与轴力相同，拉伸（+） 压缩（ 压缩（-）
5、应力的分布规律： dFN= σ dA
ε
返回
二、压缩曲线： 压缩曲线：
F D B A C
σp
σs
σb
E
O
ε=∆ L/L
1、低碳钢的压缩曲线
特点： 弹性模量E均与拉伸时相同 均与拉伸时相同， 特点：极限应力σS弹性模量 均与拉伸时相同，但得不 到强度极限。 到强度极限。
返回
铸铁压缩曲线
2、铸铁压缩曲线的特点： 铸铁压缩曲线的特点： 1）形状与拉伸时相似。 ）形状与拉伸时相似。 2）抗压强度比抗拉强度高 ）抗压强度比抗拉强度高4~5倍。 倍 3）在较小的变形下突然破坏，破坏断面与轴线大约成 ）在较小的变形下突然破坏， 450~550角。 三、两类材料力学性能比较 塑性材料：1）破坏前变形大，有流动阶段。 塑性材料： 破坏前变形大，有流动阶段。 承受冲击的能力好。 2）承受冲击的能力好。 均相同。 3）拉压时E、 σs均相同。 脆性材料： 破坏前变形小，没有明显的流动阶段。 脆性材料：1）破坏前变形小，没有明显的流动阶段。 承受冲击的能力不好。 2）承受冲击的能力不好。 抗拉强度低，抗压强度高。 3）抗拉强度低，抗压强度高。 塑性材料适合做承拉构件，脆性材料适合做承压构件。 塑性材料适合做承拉构件，脆性材料适合做承压构件。
FN =
∫ dF
A
N
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(3)整个截面上各点处的应力与微面积dA之乘积的合成, 即为该截面上的内力。
2.2.4 应力的概念 (4)应力的量纲为ML-1T-2。应力的单位为帕(Pa)。
1帕=1牛顿/米2 (N/m2) 1 MPa =1×106 N/m2 =1 N/mm2 = 106 Pa 1 GPa = 109 Pa
2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
(+)
20kN E
求CD段内的轴力
FR
A
40kN B
55kN 25kN
C
D
3
3
FN3
25kN
3
D
−FN3 − 25 + 20 = 0
FN3 = 20 − 25 = −5 kN (-) 同理得DE段内的轴力 FN4 = 20 kN
20kN E
20kN E
FN1＝10 kN （拉力） FN2＝50 kN （拉力） FN3＝ -5 kN （压力） FN4＝20 kN （拉力）
现在求与横截面成a角的任一斜截面k－k上的应力。
k
F
F
α
k
2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
k
F
F
α
k
设直杆的轴向拉力为F, 横截面面积为A, 由公式(2.1), 横截面上的正应力为
σ = FN = F
AA
设与横截面成α角的斜截面k-k的面积为Aα, Aα与A之间
的关系应为
Aα
=
A
cosα
杆件左右两段在m-m上相互作用的内力是一个分布力系, 其合力
为FN。
m
F
m
F
} m
FN
m m
{ FN m
F
x
F
由左段的平衡方程得： ΣFx = 0, FN − F = 0 FN = F
2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
2.2.2 轴力
因为外力F的作用线与杆件轴线重合, 内力的合力FN的 作用线也必然与杆件的轴线重合, 所以FN称为轴力。习 惯上, 把拉伸时的轴力规定为正, 压缩时的轴力规定为 负。
解: 1. 计算轴力
取1-1截面左侧研究 求AB段轴力 FN1＝F1＝20 kN
A F1 F1
1
BF21Fra bibliotekFN1
2
C
2
取2-2截面左侧研究 F1
F2
FN2
求BC段轴力
FN2＝F1－F2＝－30 kN
20 kN
作轴力图
30 kN
FN1 = 2.0 ×104 N, FN2 = −3.0×104 N
d1
所得FN2为负, 说明BC段轴力的实际方向 与所设方向相反, 即应为压力。
2.2.3 轴力图
用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置, 用垂直于杆 轴线的坐标表示横截面上的轴力数值, 从而绘出表示轴 力与横截面位置关系的图线, 称为轴力图。将正的轴力 画在上侧, 负的画在下侧。
例：一等直杆其受力情况如图所示, 作杆的轴力图。
40kN
55kN 25kN
20kN
A
B
C
D
E
600
300
500
400
解：求支座反力
FR
A
40kN B
55kN 25kN
C
D
20kN E
ΣFx = 0, − FR − 40 + 55 − 25 + 20 = 0 FR = 10 kN
FR A
1
2
40kN
1
B2
3
4
55kN 25kN
C3
D4
20kN E
用力的作用点将杆分段 该杆分为：AB, BC, CD, DE四段。 分别求出各段横截面上的轴力再画轴力图。
2.2.5 拉(压)杆横截面上的应力
推导公式 由结论可知, 在横截面上作用着均匀分布的正应力。
F
}σ
FN
σ = FN
(2.1)
A
式中, FN为轴力, A 为杆的横截面面积。σ的符号与轴力
FN的符号相同。
当轴力为正号时(拉伸), 正应力也为正号, 称为拉应力。
当轴力为负号时(压缩), 正应力也为负号, 称为压应力。
2.2.5 拉(压)杆横截面上的应力
当等直杆受几个轴向外力作用时, 由轴力图求出最大轴 力FN,max, 进一步可求得杆内的最大正应力为
σ max
=
FN,max A
最大轴力所在的截面称为危险截面, 危险截面上的正应 力称为最大工作应力。
例: 如图所示右端固定的阶梯形圆截面杆, 同时承受轴向载荷F1 与F2作用。试计算杆的轴力与横截面上的正应力。已知F1= 20 kN, F2= 50 kN杆件AB段与BC段的直径分别为d1=20 mm与d2=30 mm。
求AB段内的轴力
FR
A
40kN B
55kN 25kN
C
D
1
FR
1 FN1
1
FN1 − FR = 0
FN1 = FR = +10 kN
(+)
20kN E
求BC段内的轴力
FR
A
FR
A
40kN B
55kN 25kN
C
D
2
40kN B
2 FN2
2
FN2 − 40 − FR = 0
FN2 = FR + 40 = +50 kN
σ ( x) = FN ( x)
(2.2)
A(x)
2.2.5 拉(压)杆横截面上的应力
(3) 若以集中力作用于杆件端截面 上, 则集中力作用点附近区域内的 应力分布比较复杂, 公式(2.1)只能 计算这个区域内横截面上的平均 应力, 不能描述作用点附近的真实 情况。这就引出, 端截面上外力作 用方式不同, 将有多大影响的问题。 实际上, 在外力作用区域内, 外力 分布方式有各种可能。例如在图a 和b中, 钢索和拉伸试样上的拉力 作用方式就是不同的。
FB FN3
轴力图如右图
C
FC C
FC FN4
FN
5F
2F
D
FD D
FD D
FD
F
x
3F
2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
2.2.4 应力的概念 杆件截面上的分布内力集度称为应力。
求截面上a点的应力 包围a点取一微面积ΔA
ΔA上内力的总和为ΔF
{法向分量ΔFN
将ΔF分解 切向分量ΔFT
ΔFT
OA
B
C
D
FA
FB
FC
FD
FN1
A
B
C
D
FA
FB
FC
FD
解：求OA段内力FN1：设置截面如图
ΣFx = 0 FN1 − FA + FB − FC − FD = 0
FN1 − 5F + 8F − 4F − F = 0 FN1 = 2F
同理, 求得AB、BC、CD段内力分别为
FN2= –3F
FN2
B
FN3= 5F FN4= F
1
2
40kN
3
4
55kN 25kN
20kN
A
1
B2
C3
600
300
500
D4
E
400
50 kN
作出杆的轴力图 如图所示。
FN 10 kN
20 kN
x 5 kN
FN max发生在BC段内任意截面上。
例: 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5F、8F、4F、F 的力, 方向如图, 试画出杆的轴力图。
2.2.5 拉(压)杆横截面上的应力 只根据轴力并不能判断杆件是否有足够的强度, 如用 同一材料制成粗细不同的两根杆, 需用应力来度量杆 件的受力程度。
研究应力的方法 ：
（1）实验 （2）观察现象 （3）通过观察到的现象得出结论 （4）通过结论推导出应力公式
2.2.5 拉(压)杆横截面上的应力
实验 取一等直杆, 在其侧面上画出与轴线平行的纵向线和 与轴线垂直的横向线。
FN
=
FR 2
=
pbd 2
σ = FN = pbd = pd A 2bδ 2δ
=
2×106 × 0.2 2 × 5×10−3
=
40 ×106
Pa
=
40
MPa
2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
前面讨论了轴向拉伸或压缩时, 直杆横截面上的正应力, 它是今后强度计算的依据。但不同材料的实验表明, 拉 (压)杆的破坏并不总是沿横截面发生, 有时却是沿斜截 面发生的。为此, 应进一步讨论斜截面上的应力。
由于已假设物体是均匀连续的可变形固体, 因此在物体 内部相邻部分之间相互作用的内力, 实际上是一个连续 分布的内力系, 而将分布内力系的合成(力或力偶), 简 称为内力。也就是说, 内力是指由外力作用所引起的、 物体内相邻部分之间分布内力系的合成。
2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
显示拉(压)杆横截面上的内力, 沿m-m假想地把杆件分成两部分,
=
−42.4
MPa
是压应力
例: 长为b、内径d＝200 mm、壁厚 δ＝5 mm的薄壁圆环, 承受
p＝2 MPa的内压力作用, 如图所示。试求圆环径向截面上的拉
应力。
薄壁容器（参考内容）
解: 薄壁圆环在内压力作用下要均匀胀大, 故在包含圆环轴线 的任何径向截面上, 作用有相同的法向拉力FN。为求该拉力, 可 假想地用一直径平面将圆环截分为二, 并研究留下的半环的平 衡。半环上的内压力沿y方向的合力为
2.2.4 应力的概念 (4)应力的量纲为ML-1T-2。应力的单位为帕(Pa)。
1帕=1牛顿/米2 (N/m2) 1 MPa =1×106 N/m2 =1 N/mm2 = 106 Pa 1 GPa = 109 Pa
2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
(+)
20kN E
求CD段内的轴力
FR
A
40kN B
55kN 25kN
C
D
3
3
FN3
25kN
3
D
−FN3 − 25 + 20 = 0
FN3 = 20 − 25 = −5 kN (-) 同理得DE段内的轴力 FN4 = 20 kN
20kN E
20kN E
FN1＝10 kN （拉力） FN2＝50 kN （拉力） FN3＝ -5 kN （压力） FN4＝20 kN （拉力）
现在求与横截面成a角的任一斜截面k－k上的应力。
k
F
F
α
k
2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
k
F
F
α
k
设直杆的轴向拉力为F, 横截面面积为A, 由公式(2.1), 横截面上的正应力为
σ = FN = F
AA
设与横截面成α角的斜截面k-k的面积为Aα, Aα与A之间
的关系应为
Aα
=
A
cosα
杆件左右两段在m-m上相互作用的内力是一个分布力系, 其合力
为FN。
m
F
m
F
} m
FN
m m
{ FN m
F
x
F
由左段的平衡方程得： ΣFx = 0, FN − F = 0 FN = F
2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
2.2.2 轴力
因为外力F的作用线与杆件轴线重合, 内力的合力FN的 作用线也必然与杆件的轴线重合, 所以FN称为轴力。习 惯上, 把拉伸时的轴力规定为正, 压缩时的轴力规定为 负。
解: 1. 计算轴力
取1-1截面左侧研究 求AB段轴力 FN1＝F1＝20 kN
A F1 F1
1
BF21Fra bibliotekFN1
2
C
2
取2-2截面左侧研究 F1
F2
FN2
求BC段轴力
FN2＝F1－F2＝－30 kN
20 kN
作轴力图
30 kN
FN1 = 2.0 ×104 N, FN2 = −3.0×104 N
d1
所得FN2为负, 说明BC段轴力的实际方向 与所设方向相反, 即应为压力。
2.2.3 轴力图
用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置, 用垂直于杆 轴线的坐标表示横截面上的轴力数值, 从而绘出表示轴 力与横截面位置关系的图线, 称为轴力图。将正的轴力 画在上侧, 负的画在下侧。
例：一等直杆其受力情况如图所示, 作杆的轴力图。
40kN
55kN 25kN
20kN
A
B
C
D
E
600
300
500
400
解：求支座反力
FR
A
40kN B
55kN 25kN
C
D
20kN E
ΣFx = 0, − FR − 40 + 55 − 25 + 20 = 0 FR = 10 kN
FR A
1
2
40kN
1
B2
3
4
55kN 25kN
C3
D4
20kN E
用力的作用点将杆分段 该杆分为：AB, BC, CD, DE四段。 分别求出各段横截面上的轴力再画轴力图。
2.2.5 拉(压)杆横截面上的应力
推导公式 由结论可知, 在横截面上作用着均匀分布的正应力。
F
}σ
FN
σ = FN
(2.1)
A
式中, FN为轴力, A 为杆的横截面面积。σ的符号与轴力
FN的符号相同。
当轴力为正号时(拉伸), 正应力也为正号, 称为拉应力。
当轴力为负号时(压缩), 正应力也为负号, 称为压应力。
2.2.5 拉(压)杆横截面上的应力
当等直杆受几个轴向外力作用时, 由轴力图求出最大轴 力FN,max, 进一步可求得杆内的最大正应力为
σ max
=
FN,max A
最大轴力所在的截面称为危险截面, 危险截面上的正应 力称为最大工作应力。
例: 如图所示右端固定的阶梯形圆截面杆, 同时承受轴向载荷F1 与F2作用。试计算杆的轴力与横截面上的正应力。已知F1= 20 kN, F2= 50 kN杆件AB段与BC段的直径分别为d1=20 mm与d2=30 mm。
求AB段内的轴力
FR
A
40kN B
55kN 25kN
C
D
1
FR
1 FN1
1
FN1 − FR = 0
FN1 = FR = +10 kN
(+)
20kN E
求BC段内的轴力
FR
A
FR
A
40kN B
55kN 25kN
C
D
2
40kN B
2 FN2
2
FN2 − 40 − FR = 0
FN2 = FR + 40 = +50 kN
σ ( x) = FN ( x)
(2.2)
A(x)
2.2.5 拉(压)杆横截面上的应力
(3) 若以集中力作用于杆件端截面 上, 则集中力作用点附近区域内的 应力分布比较复杂, 公式(2.1)只能 计算这个区域内横截面上的平均 应力, 不能描述作用点附近的真实 情况。这就引出, 端截面上外力作 用方式不同, 将有多大影响的问题。 实际上, 在外力作用区域内, 外力 分布方式有各种可能。例如在图a 和b中, 钢索和拉伸试样上的拉力 作用方式就是不同的。
FB FN3
轴力图如右图
C
FC C
FC FN4
FN
5F
2F
D
FD D
FD D
FD
F
x
3F
2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
2.2.4 应力的概念 杆件截面上的分布内力集度称为应力。
求截面上a点的应力 包围a点取一微面积ΔA
ΔA上内力的总和为ΔF
{法向分量ΔFN
将ΔF分解 切向分量ΔFT
ΔFT
OA
B
C
D
FA
FB
FC
FD
FN1
A
B
C
D
FA
FB
FC
FD
解：求OA段内力FN1：设置截面如图
ΣFx = 0 FN1 − FA + FB − FC − FD = 0
FN1 − 5F + 8F − 4F − F = 0 FN1 = 2F
同理, 求得AB、BC、CD段内力分别为
FN2= –3F
FN2
B
FN3= 5F FN4= F
1
2
40kN
3
4
55kN 25kN
20kN
A
1
B2
C3
600
300
500
D4
E
400
50 kN
作出杆的轴力图 如图所示。
FN 10 kN
20 kN
x 5 kN
FN max发生在BC段内任意截面上。
例: 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5F、8F、4F、F 的力, 方向如图, 试画出杆的轴力图。
2.2.5 拉(压)杆横截面上的应力 只根据轴力并不能判断杆件是否有足够的强度, 如用 同一材料制成粗细不同的两根杆, 需用应力来度量杆 件的受力程度。
研究应力的方法 ：
（1）实验 （2）观察现象 （3）通过观察到的现象得出结论 （4）通过结论推导出应力公式
2.2.5 拉(压)杆横截面上的应力
实验 取一等直杆, 在其侧面上画出与轴线平行的纵向线和 与轴线垂直的横向线。
FN
=
FR 2
=
pbd 2
σ = FN = pbd = pd A 2bδ 2δ
=
2×106 × 0.2 2 × 5×10−3
=
40 ×106
Pa
=
40
MPa
2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
前面讨论了轴向拉伸或压缩时, 直杆横截面上的正应力, 它是今后强度计算的依据。但不同材料的实验表明, 拉 (压)杆的破坏并不总是沿横截面发生, 有时却是沿斜截 面发生的。为此, 应进一步讨论斜截面上的应力。
由于已假设物体是均匀连续的可变形固体, 因此在物体 内部相邻部分之间相互作用的内力, 实际上是一个连续 分布的内力系, 而将分布内力系的合成(力或力偶), 简 称为内力。也就是说, 内力是指由外力作用所引起的、 物体内相邻部分之间分布内力系的合成。
2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
显示拉(压)杆横截面上的内力, 沿m-m假想地把杆件分成两部分,
=
−42.4
MPa
是压应力
例: 长为b、内径d＝200 mm、壁厚 δ＝5 mm的薄壁圆环, 承受
p＝2 MPa的内压力作用, 如图所示。试求圆环径向截面上的拉
应力。
薄壁容器（参考内容）
解: 薄壁圆环在内压力作用下要均匀胀大, 故在包含圆环轴线 的任何径向截面上, 作用有相同的法向拉力FN。为求该拉力, 可 假想地用一直径平面将圆环截分为二, 并研究留下的半环的平 衡。半环上的内压力沿y方向的合力为