第二章 轴向拉伸、压缩与剪切

§2.1 轴向拉压的概念及实例
一、概念 轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩。 轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
力学模型如图
P
P
P
P
二、
工 程 实 例
§2.2
一、 轴力 F
轴力及轴力图
拉（压）杆的内力图—轴力图
FN 拉（压）杆横截面的应力： s A
FN ( x) 拉（压）杆的强度条件：s max max[ ] s A( x)

圣维南原理、应力集中。
23
二、拉(压)杆斜截面上的应力 设有一等直杆受拉力P作用。 求：斜截面k-k上的应力。 解：采用截面法 由平衡方程：Fa=P
P 4 10103 s 127.4MPa 2 A 3.14 0.01
最大剪应力为 max s / 2 127.4 / 2 63.7MPa
斜截面上的正应力和剪应力为
sa s cos2 a 127.4 (cos30o )2 95.5MPa
127 .4 a sin 2a sin 60 o 55.2MPa 2 2
※“EA”称为杆的抗拉（压）刚度 。 E:材料（拉压）弹性模量， GPa 杆轴力、截面、材料分段时：
FNi Li L i 1 EAi
n
求杆的总变形量，E=200GPa。
FNi Li 杆轴力、截面、材料分段时： L i 1 E i A i
n
20 kN
Ф50
50kN
1200
D
PD D PD
FN1
A PA
解： 求OA段轴力N1：设置截面如图
X 0
FN 1 PA PB PC PD 0
FN1 2P （+）
FN1 5P 8P 4P P 0
同理，求得AB、 BC、CD段轴力分
B
FN 2
C
PC C PC
FN 4
D
PD
PB
FN 3
别为：
n
2
当等截面直杆的轴力为 FN ( x) , 其应变能的计算：
FN ( x)dx dU , 2EA
2
U L
FN ( x) dx 2EA
2
FN ( x)
FN ( x)
三、 拉压杆的比能 u：
单位体积内的应变能。
FN ( x) dU FN ( x)dx u / Adx dV 2EA 2EA2 s2 1 s 2E 2
FN 2 = 3P（－） FN 3 = 5P（＋） FN 4 = P （＋）
D
PD D PD
画轴力图
FN
5P
2P + + P x
– 3P
[例2] 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出 杆的轴力图。 解：x 坐标向右为正，坐标原点在
q(x)
L x q O
自由端。 取左侧x段为对象，轴力 FN (x)为： q(x) x kL x
FN 4P 4 25103 162MP a 2 2 A πd 3.14 0.014
③强度校核： s max 162MPa s 170MPa ④结论：此杆满足强度要求。
[例4] 简易起重机构如图，AC为刚性杆，吊车与吊起重物总重
为P，为使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD 杆的许用应力 为[s]，L、h为已知，P可在BC间移动。
FN ( x )
x
FN ( x )
–
kL2 2
1 2 FN ( x) kx dx kx 0 2 1 2 FN ( x) max kL 2
O
§2.3 横截面上的应力及强度条件
问题提出： P P 轴力大小不能衡量拉（压）杆件的强度。 P P
1. 变形规律试验及平面假设：
变形前
a c P a´ c´
Fa 则： pa Aa
k P k P P
a
k Fa
a
k
Aa：斜截面面积；Fa：斜截面上内力。
由几何关系：
pa
A Aa cos a
代入上式，得：
Fa P cosa s cosa 斜截面上全应力：pa Aa A
s cos a
斜截面上全应力： pa s cos a 分解：
§2.5 拉压杆的弹性应变能 一、弹性应变能：杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存
于杆内，这种能成为应变能（Strain Energy）用“U”表示。
二、 拉压杆的应变能计算：
不计能量损耗时，外力功等于应变能。
FN L 1 U W FN L 2 2 EA
内力为分 段常量时
2
FN i Li U i 1 2 Ei Ai
2 2
dx
dx dx
例7 设横梁ABCD为刚性梁，横截面面积为 76.36mm² 的钢索绕 过无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试用能量法求C点的垂直位
第二章
轴向拉伸、压缩与剪切
§2. 1 轴向拉压的概念及实例
§2. 2 轴力及轴力图
§2. 3 截面上的应力及强度条件
§2.4 §2.5 §2.6 §2.7 §2. 8 拉压杆的变形 胡克定律 拉压杆的弹性应变能 拉压超静定问题及其处理方法 材料在拉伸和压缩时的力学性能 连接件的剪切与挤压强度计算
b d P
受载后
b´ d´
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。
纵向纤维变形相同。
均匀材、均匀变形，内力当然均匀分布。 2. 轴向拉压杆横截面上的应力：
P
s FN ( x )
FN ( x) ( ) 拉应力 s A ( ) 压应力
轴力引起的正应力 —— s 在横截面上均匀分布。 3. 最大工作应力：
意 义 ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； ②确定出最大轴力的数值 及其所在横截面的位置， 即确定危险截面位置，为
FN
F +
x
强度计算提供依据。
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。 O A PA B PB B PB C PC C PC
P
h'
a c
/
/
b d
/
P
/
x dx
L1 4、杆的横向变形： h h h 5、横向线应变：
拉伸（－），压缩（＋）
h h
或
拉伸（－），压缩（＋）
6、泊松比（或横向变形系数）


例6 小变形放大图与位移的求法。 1、怎样画小变形放大图？ 求各杆的变形量△Li ，如图； A B
Ф80
Ф60
30kN
400
800
FN
0
20kN (+) （－） 30kN
x
F L L Ni i i 1 EAi
3
20103 0.4 30103 1.2 30103 0.8 0.0856m 2 2 2 0.05 0.08 0.06 200109 200109 200109 4 4 4 28
k P P
sa pa cosa s cos a
2
k
a
k
a
P pa p sin a s cosa sin a a a a s sin 2a k 2 反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。
sa
pa
a
当a = 0时， 当a = 90°时，
(s a )max s ,
a 0
XA A YA
B
T
2) 钢索的应力为：
s
T 11.55 10 9 151MPa A 76.36
C
3）结构的变形图如左图 , A B 60C ° 60° D 1 C
2
C点的铅垂位移为：
BB DD C 2 1 sin 600 2 sin 600 2
BD杆横截面积A：
A FN
max
/s
L x
XA
A
B
YA

NB
P
C
2 PL Ah / sin ; [s ] sin 2
③ 求VBD 的最小值： V ALBD 当
dV 0 时， V 取得极值。 d
2PL 45 时, Vmin [s ]
o
回顾上次课内容：
在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
Saint-Venant原理与应力集中示意图 变形示意图： P a b c P
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
17
7. 强度设计准则（Strength Design）： 保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。
L1
C
L2
变形图严格画法，图中弧线； L2 变形图近似画法，图中弧之切线。
P C'
L1
C"
2、写出图中B点位移与两杆变形间的关系 A L1 B
a
L2
L1 uB
L2
C
vB
B' 解：变形图如图示，B点位移至B'点，由图知：
L2 vB L1ctg a sin a
uB L1
例7 设横梁ABCD为刚性梁，横截面面积为 76.36mm² 的钢索绕 过无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求钢索的应力和C点的铅
s a s cos a
2
a
s
2
sin 2a
二、 拉压杆的变形 胡克定律 FN L L s E EA