第二章轴向拉伸和压缩要点
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材料力学第2章 轴向拉伸和压缩
18
为研究轴向拉（压）杆沿轴线方向的线应变， 可沿轴线方向在x截面处任取微段Δx（见图2.13）， 微段变形后其长度的改变量为Δu，比值Δu/Δx为微 段Δx的平均线应变。当Δx无限缩短而趋于零时， 其极限值
图2.13
19
拉（压）杆的变形与材料的性能有关，只能通 过试验来获得。试验表明，在弹性变形范围内，杆 件的变形Δl与轴力FN及杆长l成正比，与横截面面 积A成反比，即
1
概 述
图2.1
图2.2
2
第二节 轴力 轴力图 无论对受力杆件作强度或刚度计算时，都需首 先求出杆件的内力。关于内力的概念及计算方法， 已在上一章中阐述。
3
第三节 拉（压）杆截面上的应力 内力是由外力引起的，仅表示某截面上分布内 力向截面形心简化的结果。而构件的变形和强度不 仅取决于内力，还取决于构件截面的形状和大小以 及内力在截面上的分布情况。为此，需引入应力 （stress）的概念。
图2.11
13
设产生应力集中现象的截面上最大应力为ζ max，同一截面视作均匀分布按净面积A0计算的名 义应力为ζ0，即ζ0=FN/A0，则比值
14
第四节 拉（压）杆的变形 胡克定律 泊松比 工程构件受力后，其几何形状和几何尺寸都要 发生改变，这种改变称为变形（deformation）。 当荷载不超过一定的范围时，构件在卸去荷载后可 以恢复原状。但当荷载过大时，则在荷载卸去后只 能部分地复原，而残留一部分不能消失的变形。在 卸去荷载后能完全消失的那一部分变形称为弹性变 形（elastic deformation），不能消失而残留下来 的那一部分变形称为塑性变形（ductile deformatio n）。
15
现以图2.12所示等截面杆为例来研究轴向拉 （压）杆的变形。在轴向外力F的作用下，杆件的 轴向、横向的尺寸均会发生改变。设杆件变形前原 长为l，横向尺寸为d，变形后长度为l′，横向尺寸 为d′，称 为轴向变形，称
第二章 轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩§2−1 轴向拉伸和压缩的概念F(图2−1)则为轴向拉伸，此时杆被2−1虚线)；若作用力F 压缩杆件(图(图2−2工程中许多构件，(图2−3)、各类(图2−4)等，这类结构的构2−1和图2−2。
§ 2−2 内力·截面法·轴力及轴力图一、横截面上的内力——轴力图2−5a 所示的杆件求解横截面m−m 的内力。
按截面法求解步骤有：可在此截面处假想将杆截断，保留左部分或右部分为脱离体，移去部分对保留部分的作用，用内力来代替，其合力F N ，如图2−5b 或图2−5c 所示。
对于留下部分Ⅰ来说，截面m −m 上的内力F N 就成为外力。
由于原直杆处于平衡状态，故截开后各部分仍应维持平衡。
根据保留部分的平衡条件得 mF N F N（a ）（b ） （c ）图2−5Ⅱ图2−1图2−2图2-4F F F F Fx==-=∑N N ,0,0 (2−1)式中，F N 为杆件任一截面m −m 上的内力，其作用线也与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心，故称这种内力为轴力，用符号F N 表示。
若取部分Ⅱ为脱离体，则由作用与反作用原理可知，部分Ⅱ截开面上的轴力与前述部分上的轴力数值相等而方向相反(图2−5b,c)。
同样也可以从脱离体的平衡条件来确定。
二、轴力图当杆受多个轴向外力作用时，如图2−7a ，求轴力时须分段进行，因为AB 段的轴力与BC 段的轴力不相同。
要求AB 段杆内某截面m −m 的轴力，则假想用一平面沿m −m 处将杆截开，设取左段为脱离体(图2−7b)，以F N Ⅰ代表该截面上的轴力。
于是，根据平衡条件∑F x ＝0，有 F F -=ⅠN负号表示的方向与所设的方向相反，即为压力。
要求B C 段杆内某截面n-n 的轴力，则在n −n 处将杆截开，仍取左段为脱离体（图2−7c ），以F N Ⅱ代表该截面上的轴力。
于是，根据平衡条件∑F x ＝0，有 02N Ⅱ=+-F F F由此得F F =N Ⅱ在多个力作用时，由于各段杆轴力的大小及正负号各异，所以为了形象地表明各截面轴力的变化情况，通常将其绘成“轴力图”(图2−7d)。
材料力学(机械类)第二章 轴向拉伸与压缩
第
二
章
拉伸压缩与剪切
1
பைடு நூலகம்
§2-1
轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸） 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
2
拉、压的特点：
1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反 2. 变形—— 沿轴线
3
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1 、横截面上的内力
A3
2
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
40
目录
例 2—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。 （刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
16
§2-4
材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变 形和破坏等方面的特性。
现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：
从受力很小
破坏
理论上——用简单描述复杂
工程上——为（材料组成的）构件当好医生
17
一、 低碳钢拉伸时的力学性能 （含碳量<0.3%的碳素钢）
力均匀分布于横截面上，σ等于常量。于是有：
N d A d A A
A A
得应力：
N A
F
FN
σ
10
例题2-2
A 1
45°
C
2
二
章
拉伸压缩与剪切
1
பைடு நூலகம்
§2-1
轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸） 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
2
拉、压的特点：
1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反 2. 变形—— 沿轴线
3
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1 、横截面上的内力
A3
2
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
40
目录
例 2—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。 （刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
16
§2-4
材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变 形和破坏等方面的特性。
现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：
从受力很小
破坏
理论上——用简单描述复杂
工程上——为（材料组成的）构件当好医生
17
一、 低碳钢拉伸时的力学性能 （含碳量<0.3%的碳素钢）
力均匀分布于横截面上，σ等于常量。于是有：
N d A d A A
A A
得应力：
N A
F
FN
σ
10
例题2-2
A 1
45°
C
2
5 材料力学第二章 轴向拉伸和压缩
μ
16锰钢
合金钢 铸铁 混凝土 石灰岩 木材（顺纹）
196-216
186-216 59-162 15-35 41 10-12
0.25-0.30
0.25-0.30 0.23-0.27 0.16-0.18 0.16-0.34
橡胶
0.0078
0.47
25
材料力学
§2-5
轴向拉伸时材料的机械性能
一、试验条件及试验仪器
P BC段：N 2 3 P
1
3P + P
AB段：N
3
2 P
+
–
12
2P
三、横截面上的应力
问题提出： P P （一）应力的概念 P P
度量横截面 上分布内力 的集度
1.定义：作用在单位面积上的内力值。 2.应力的单位是： Pa KPa MPa GPa
3.应力：a：垂直截面的应力－－正应力σ 拉应力为正，压应力为负。
※E为弹性模量，是衡量材料抵抗弹 性变形能力的一个指标。“EA”称 为杆的抗拉压刚度。
l E Sl S E E l l EA A
胡克定律：
＝Eε
23
四、横向变形
d d 1 d 0
泊松比（或横向变形系数）
d d 1 d 0 相对变形： ' d0 d0
e
DE段：颈缩阶段。
• 材料的分类：根据试件断裂时的残余相对变形率将材料分类： 延伸率（δ ）>5% 塑性变形：低碳钢，铜，塑料，纤维。 延伸率（δ ）<5% 脆性变形：混凝土，石块，玻璃钢，陶瓷， 玻璃，铸铁。 • 冷作硬化：材料经过屈服而进入强化阶段后卸载，再加载时，弹 性极限明显增加，弹性范围明显扩大，承载能力增大的现象。 • 强度指标：对塑性材料，在拉断之前在残余变形0.2 %（产生 0.2%塑性应变）时对应的应力为这种材料的名义屈服应力，用 0.2表示 ，即此类材料的失效应力。 锰钢、镍钢、铜等 • 脆性材料拉伸的机械性能特点： 1.断裂残余相对变形率δ <5% 0.2 or s max b 2.弹性变形基本延伸到破坏 3.拉伸强度极限比塑性材料小的多 4.b是脆性材料唯一的强度指标
16锰钢
合金钢 铸铁 混凝土 石灰岩 木材（顺纹）
196-216
186-216 59-162 15-35 41 10-12
0.25-0.30
0.25-0.30 0.23-0.27 0.16-0.18 0.16-0.34
橡胶
0.0078
0.47
25
材料力学
§2-5
轴向拉伸时材料的机械性能
一、试验条件及试验仪器
P BC段：N 2 3 P
1
3P + P
AB段：N
3
2 P
+
–
12
2P
三、横截面上的应力
问题提出： P P （一）应力的概念 P P
度量横截面 上分布内力 的集度
1.定义：作用在单位面积上的内力值。 2.应力的单位是： Pa KPa MPa GPa
3.应力：a：垂直截面的应力－－正应力σ 拉应力为正，压应力为负。
※E为弹性模量，是衡量材料抵抗弹 性变形能力的一个指标。“EA”称 为杆的抗拉压刚度。
l E Sl S E E l l EA A
胡克定律：
＝Eε
23
四、横向变形
d d 1 d 0
泊松比（或横向变形系数）
d d 1 d 0 相对变形： ' d0 d0
e
DE段：颈缩阶段。
• 材料的分类：根据试件断裂时的残余相对变形率将材料分类： 延伸率（δ ）>5% 塑性变形：低碳钢，铜，塑料，纤维。 延伸率（δ ）<5% 脆性变形：混凝土，石块，玻璃钢，陶瓷， 玻璃，铸铁。 • 冷作硬化：材料经过屈服而进入强化阶段后卸载，再加载时，弹 性极限明显增加，弹性范围明显扩大，承载能力增大的现象。 • 强度指标：对塑性材料，在拉断之前在残余变形0.2 %（产生 0.2%塑性应变）时对应的应力为这种材料的名义屈服应力，用 0.2表示 ，即此类材料的失效应力。 锰钢、镍钢、铜等 • 脆性材料拉伸的机械性能特点： 1.断裂残余相对变形率δ <5% 0.2 or s max b 2.弹性变形基本延伸到破坏 3.拉伸强度极限比塑性材料小的多 4.b是脆性材料唯一的强度指标
大学时材料力学复习提纲要点
大学时材料力学复习提纲
第二章轴向拉伸与压缩
1、轴向拉伸的受力特点；
2、截面法求变截面上的轴力及绘制轴力图；
3、横截面上的正应力计算
4、轴向拉压杆件形变量；
5、泊松比
6、低碳钢、铸铁试验性质，应力应变图等
7、简单超静定
第三章扭转
1、
2、
3、
4、扭转受力特点，横截面上扭转产生的剪应力分布；计算扭矩和画扭矩图；横截面上剪应力计算和强度校核，抗扭截面系数等；低碳钢和铸铁扭转试验特点；第四章弯曲内力
1、会列剪力方程和弯矩方程并画剪力图和弯矩图；
2、载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系；
第五章弯曲应力
1、弯曲受力特点，中性层、中性轴的意义；
2、铸铁材料横截面上正应力的计算；
第七章应力分析
1、应力状态的概念；
2、斜截面上的应力状态；
3、平面应力状态下主应力、主平面计算
4、应力圆；
5、纯剪切的意义；
6、四个强度理论及四个相当应力；
第八章组合变形
1、弯扭组合的第三和第四强度理论（单向弯曲和扭转）
第九章压杆稳定
1、压杆临界压力公式，四种约束类型；
2、临界应力总图的意义；
3、压杆稳定性校核；
第十三章能量法
1、卡式定理、互等定理和单位载荷法解决梁和钢架变形问题。
附录平面图形的几何性质
1、极惯性矩、惯性矩的概念注：以上内容是三套卷子必考内容。
题型
一基本知识题（包含10个空，3个选择题）
二、三、四、五、六、七、共六个计算题（轴向拉压、弯曲、应力分析、组合变形、压杆稳定、能量法）。
材料力学第2章轴向拉伸与压缩
ε 相同，这就是变形的几何关系。
图2.5
(2)物理关系
根据物理学知识，当变形为弹性变形时，变形和力成正比。因为各“纤维” 的正应变ε 相同，而各“纤维”的线应变只能由正应力ζ 引起，故可推知横
截面上各点处的正应力相同，即在横截面上，各点处的正应力ζ 为均匀分布
，如图2.6所示。
图2.6
(3)静力学关系 由静力学求合力的方法，可得
α
和沿斜截面的切应力
，如图2.8(d)所示，即得
从式(2.4)可以看出，ζ
α
和α 都是α 的函数。所以斜截面的方位不同，截 ， 即横截面上的正应力是所有截
面上的应力也就不同。当α =0时，
面上正应力中的最大值。当α =45°时，α 达到最大值，且
可见，在与杆件轴线成45°的斜截面上，切应力为最大值，最大切应力在数 值上等于最大正应力的1/2。 关于切应力的符号，规定如下：截面外法线顺时针转90°后，其方向和切应 力相同时，该切应力为正值，如图2.9(a)所示；逆时针转90°后，其方向和 切应力相同时，该切应力为负值，如图2.9(b)所示。
同理，可求得BC段内任一横截面上的轴力(见图2.4(d))为
在求CD段内任一横截面上的轴力时，由于截开后右段杆比左段杆受力简单， 所以宜取右段杆为研究对象(见图2.4(e))，通过平衡方程可求得
结果为负，说明N3的实际方向与假设方向相反。 同理，DE段内任一横截面上的轴力为
依据前述绘制轴力图的规则，所作的轴力图如图2.4(f)所示。显然，最大轴 力发生在BC段内，其值为50 kN。
由此可得杆的横截面上任一点处正应力的计算公式为
对于承受轴向压缩的杆，式(2.3)同样适用。但值得注意的是：细长杆受压
时容易被压弯，属于稳定性问题，将在第11章中讨论，式(2.3)适用于压杆 未被压弯的情况。关于正应力的符号，与轴力相同，即拉应力为正，压应力
图2.5
(2)物理关系
根据物理学知识，当变形为弹性变形时，变形和力成正比。因为各“纤维” 的正应变ε 相同，而各“纤维”的线应变只能由正应力ζ 引起，故可推知横
截面上各点处的正应力相同，即在横截面上，各点处的正应力ζ 为均匀分布
，如图2.6所示。
图2.6
(3)静力学关系 由静力学求合力的方法，可得
α
和沿斜截面的切应力
，如图2.8(d)所示，即得
从式(2.4)可以看出，ζ
α
和α 都是α 的函数。所以斜截面的方位不同，截 ， 即横截面上的正应力是所有截
面上的应力也就不同。当α =0时，
面上正应力中的最大值。当α =45°时，α 达到最大值，且
可见，在与杆件轴线成45°的斜截面上，切应力为最大值，最大切应力在数 值上等于最大正应力的1/2。 关于切应力的符号，规定如下：截面外法线顺时针转90°后，其方向和切应 力相同时，该切应力为正值，如图2.9(a)所示；逆时针转90°后，其方向和 切应力相同时，该切应力为负值，如图2.9(b)所示。
同理，可求得BC段内任一横截面上的轴力(见图2.4(d))为
在求CD段内任一横截面上的轴力时，由于截开后右段杆比左段杆受力简单， 所以宜取右段杆为研究对象(见图2.4(e))，通过平衡方程可求得
结果为负，说明N3的实际方向与假设方向相反。 同理，DE段内任一横截面上的轴力为
依据前述绘制轴力图的规则，所作的轴力图如图2.4(f)所示。显然，最大轴 力发生在BC段内，其值为50 kN。
由此可得杆的横截面上任一点处正应力的计算公式为
对于承受轴向压缩的杆，式(2.3)同样适用。但值得注意的是：细长杆受压
时容易被压弯，属于稳定性问题，将在第11章中讨论，式(2.3)适用于压杆 未被压弯的情况。关于正应力的符号，与轴力相同，即拉应力为正，压应力
C 材料力学第二章 轴向拉伸和压缩 第一部分
基于下列实验现象有“平面假设”
现象： 直线保持为直线。 相互垂直的直线依旧相互垂直。->无切应变 纵向线段伸长，横向线段缩短。 长度相等的纵向线段伸长后依旧相等。 长度相等的横向线段缩短后依旧相等。 即变形分布均匀，依据胡克定律应力分布也 均匀。
平面假设
根据表面变形情况，可以由表及里的做出 假设，即横截面间只有相对移动，相邻横 截面间纵线伸长相同，横截面保持平面， 此假设称为平面假设（Plane CrossSection Assumption）。
问题
（1）图示的曲杆，问公式 （2-2）是否适用？
2）图示杆由钢的和铝牢固 粘接而成，问公式（2-2） 是否适用？
（3）图示有凹槽的杆，问 公式（2-2）对凹槽段是否 适用？
σ
变截面杆横截面上的应力
F
F
应力集中 (Stress Concentration)
例：图示杆1为横截面为圆形的钢杆，直径d=16mm，杆2 为横截面为正方形的木杆，边长为100mm。在节点B处作 用20kN的力，试求1、2杆中的应力。
r ∆r o
θ
∆s
s
应力与变形的一般关系
正应力在正应力方向引起线应变，不引 起切应变 切应力引起切应变，在切应力方向不引 起线应变 这里作为结论直接给出，感兴趣可在课 后研究证明之。
轴拉伸实验
平面假设（基于实验观察）
a d e a a d e a b c b b c c d e b c d e
例 题
解：1、2杆都为二力杆，是简单拉 压问题，取节点B进行受力分析： 由节点B的平衡可得：
F N1 3 = G = 15kN 4 F N2 5 = − G = −25kN 4
A 2m
1.5m 1 2 C FN1 FN2 B G
材料力学 第2章轴向拉伸与压缩
15mm×15mm的方截面杆。
A
FN128.3kN FN220kN
1
（2）计算各杆件的应力。
C
45°
2
B
s AB
FN 1 A1
28.3103
202
M
Pa90MPa
4
F
FN 1
F N 2 45°
y
Bx
s BC
FN 2 A2
21052103MPa89MPa
F
§2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
22
5 圣维南原理
s FN A
（2-1）
（1）问题的提出
公式（2-1）的适用范围表明：公式不适用于集中力作
用点附近的区域。因为作用点附近横截面上的应力分布是非
均匀的。随着加载方式的不同。这点附近的应力分布方式就
会发生变化。 理论和实践研究表明：
不同的加力方式，只对力作
用点附近区域的应力分布有
显著影响，而在距力作用点
力学性能：指材料从开始受力至断裂的全部过程中，所表 现出的有关变形和破坏的特性和规律。
材料力学性能一般由试验测定，以数据的形式表达。 一、试验条件及试验仪器 1、试验条件：常温(20℃)；静载（缓慢地加载）；
2、标准试件：常用d=10mm，l=100 mm的试件
d
l
l =10d 或 l = 5d
36
b点是弹性阶段的最高点.
σe—
oa段为直线段，材料满足 胡克定律
sE
sp
E
se sp
s
f ab
Etana s
O
f′h
反映材料抵抗弹
性变形的能力.
40
A
FN128.3kN FN220kN
1
（2）计算各杆件的应力。
C
45°
2
B
s AB
FN 1 A1
28.3103
202
M
Pa90MPa
4
F
FN 1
F N 2 45°
y
Bx
s BC
FN 2 A2
21052103MPa89MPa
F
§2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
22
5 圣维南原理
s FN A
（2-1）
（1）问题的提出
公式（2-1）的适用范围表明：公式不适用于集中力作
用点附近的区域。因为作用点附近横截面上的应力分布是非
均匀的。随着加载方式的不同。这点附近的应力分布方式就
会发生变化。 理论和实践研究表明：
不同的加力方式，只对力作
用点附近区域的应力分布有
显著影响，而在距力作用点
力学性能：指材料从开始受力至断裂的全部过程中，所表 现出的有关变形和破坏的特性和规律。
材料力学性能一般由试验测定，以数据的形式表达。 一、试验条件及试验仪器 1、试验条件：常温(20℃)；静载（缓慢地加载）；
2、标准试件：常用d=10mm，l=100 mm的试件
d
l
l =10d 或 l = 5d
36
b点是弹性阶段的最高点.
σe—
oa段为直线段，材料满足 胡克定律
sE
sp
E
se sp
s
f ab
Etana s
O
f′h
反映材料抵抗弹
性变形的能力.
40
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而横截面上存在什么应力及其分布规律，是我 们用眼观察不到的，但是应力和变形是有关系 的，什么样的应力，就对应什么样的变形，且 应力的分布规律与变形规律有对应关系，所以， 我们研究应力的思路为：
平面假定
物性关系
变形
应变分布
应力分布
静力方程
应力公式
1. 几何变形实验：
实验现象： 1) 所有纵向线伸长均相等。 2) 所有横向线均保持为直线， 仍与变形后的纵向线垂直
11
FN11 A11
17.5 0.2 0.2
0.438MPa
200
FN22 F G1 G2 27.5kN
22
FN22 A22
27.5 0.4 0.4
0.172MPa
400
二. 轴向拉压杆斜截面上的应力
有时拉（压）杆件沿斜截面发生破坏，此时如 何确定斜截面k—k上的应力？
注意： 1）外力不能沿作用线移动—力的可传性不成立。 现在是变形体，不是刚体； 2）截面不能切在外力作用点处—要离开作用点。
二. 轴力图
纵轴表示轴力大小的图（横轴为截面位置） 例2-1：求图示各截面内力
6kN 18kN
4kN 8kN
1
6kN
FN1-1
1
6kN 18kN
1
6kN 18kN
6kN 18kN
第二章 轴向拉伸和压缩
【主要内容】
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念及实例 §2-2 轴向拉伸与压缩时横截面上的内力和应 力、轴力及轴力图 §2-3 轴向拉伸与压缩时斜截面上的应力 §2-4 轴向拉伸与压缩时的变形及虎克定律 §2-5 轴向拉伸与压缩时的强度条件
【学 时】4
【基本要求】
•理解轴向拉伸和压缩的受力特点和变形特点. •理解内力的概念,熟练掌握其轴力的计算和轴力图 的绘制. •理解应力的概念,掌握拉（压）杆应力的计算. •掌握轴向拉伸和压缩时的变形计算. •理解许用应力、安全系数和强度条件，熟练强度 计算问题.
由实验现象提出以下假设：
1) 变形后的横向线仍保持为直线—变形后 横截面仍保持为截面（平截面假设）
2) 受拉构件是由无数纵向纤维所组成，由各纤 维伸长相等，推得：同一横截面上 ,正应变
等于常量，即: C
2.本构关系（物性关系） 而我们考虑的材料又是均匀的，再结合应力与
变形的对应关系，不难得出横截面上正应力均匀分 布.
的2根角钢组成，F=130 kN， ， 300
求AB杆截面应力。
解：（1）计算 AB 杆内力
节点 A： Y 0
得 FNAB sin 30o F FNAB 2F 260 kN（拉力）
（2）计算 AB
AB
FNAB A
260 103 10.86 2 104
106
杆件1 ——轴力 =1N,横截面积 = 0.1cm2 杆件2 ——轴力 =100N,横截面积 =100cm2 哪个杆件易破坏？ 不能只看轴力，要看单位面积上的力— 应力, 怎样求出应力？
一. 横截面上应力
轴力是横截面上应力的合力，因此，要想求横 截面上应力，还需明确横截面上存在什么形式的 应力？它的分布规律怎样？然后，结合轴力，才 能导出应力的计算公式。
圣维南原理：如将作用于构件上某一小区域内的 外力系（外力大小不超过一定值）用一静力等效 力系来代替，则这种代替对构件内应力与应变的 影响只限于离原受力小区域很近的范围内。对于 杆件，此范围相当于横向尺寸的1～1.5倍。
力作用于杆端的方式，只对到杆端距离小于杆 的最大横向尺寸的部分有影响。
例2-3 图示起吊三角架，AB杆由截面积10.86cm2
119.7 MPa
例2-4 ：如图所示正方形截面的阶形柱，柱顶受
轴向压力F作用。上段柱重为G1，下段柱重为G2， 已知P=15KN，G1=2.5KN, G2=10KN,求:上、下段 柱的底截面1-1,2-2上的应力
F G1
11
G2
22
解: FN11 F G1 17.5kN
变形特点： 沿轴线方向产生伸长或缩短。 拉伸
压缩
是轴向拉 伸变形吗？
二.工程实例:
轴向拉、压工程实例
§2-2 轴向拉、压时横截面上的 内力、轴力及轴力图
一、内力（轴力）计算（截面法）
内力作用线与杆的 轴线重合，故称其 为轴力
轴力的正负号规则 同一截面位置处左、右侧截面上内力必须
具有相同的正负号。因此，由变形决定： 拉伸时，为正; 压缩时，为负
【重点】
用截面法分析计算内力—— 轴力, 绘制轴力 图;应掌握虎克定律、拉（压）强度条件的 应用和杆件变形的计算; 【难点】
利用变形求节点位移.
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念及实例
一. 轴向拉伸与压缩的概念
轴向拉伸与压缩是四种基本变形中最基本、 最简单的一种变形形式。
受力特点： 作用于杆端外力的合力作用 线与杆件轴线重合。
2
3
8kN
2
3
2
FN 2-2
2
3
8kN
3
FN3-3
结论：杆件上各横截面的内力随着外力的变 化而改变。
FN
F（一侧）
任意横截面的内力 等于截面一侧所有外力的代数和。
公式中正负号： 外力F：离开所求截面为正，反之为负
例2-2 求轴力，并作轴力图
解：（1）计算各段内力 AC段：作截面1—1，取 左段部分，
由 X0
得 FN1 5 kN （拉力）
CB段：作截面2—2，取左段部分，并假设方向 如图所示。
由
X 0
得
FN 2 15 5 0
则
FN 2 10 kN （压力）
（2）绘轴力图
选截面位置为横坐标；相应截面上的轴力 为纵坐标，根据适当比例，绘出图线。
§2-3 拉、压杆横截面上的应力
设等直杆的横截面面积A，k—k截面面积和内力 分别为 A , F，则:
F F
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
3.静力关系
由 dFN dA 积分得 FN d A A
结合横截面上正应 力均匀分布
符号： 当轴向力为正时，正应力为正（拉应力） 反之为负（压应力）。
该公式的适应范围：
① 适用于等截面直杆，对于横截面平缓变 化的拉、压杆可近似使用，但对横截面骤然 变化的拉、压杆不能用；
② 要遵循以下的圣维南原理。即只在杆上 离外力作用点稍远的部分才正确，而在外力 作用点附近，由于杆端连接方式的不同，其 应力情况比较复杂。