材料力学课件 (朱占元)第2章 轴向拉伸与压缩
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02轴向拉伸与压缩-PPT课件
34
二、拉压杆的横向变形与泊松比 拉压杆的横向线应变
b b1 b
bb
试验表明，当杆内应力不大于材料的比例极限时，拉
压杆的横向线应变 与轴向线应变 成正比，即有
其中， 为材料常数，称为横向变形因数或泊松比， 泊松比 无量纲。
35
[例 2-10] 已知钢制螺栓内径 d110.1mm，拧紧后测得 在长度 l 60mm内的伸长 l0.03mm；钢材的弹性
2
23
第四节 拉压杆的变形
一、拉压杆的轴向变形与胡克定律
F
F
F
F
l
l1
l1
l
轴向变形 线应变
l l1 l l
l
◆ 线应变反映了拉压杆的变形程度，具有可比性。
24
胡克定律
E
E —— 弹性模量，由试验确定的材料常数，与应力具 有同样量纲，常用单位 GPa
胡克定律适用范围：
4
求内力的方法 —— 截面法 第一步：沿截面假想地截开，留下一部分作为研究对象，
弃去另一部分； 第二步：对留下部分进行受力分析，根据平衡原理确定，
在暴露出来的截面上有哪些内力分量； 第三步：建立平衡方程，求出未知内力。
5
二、轴力与轴力图
下面运用截面法确定拉、压杆横截面上的内力：
◆ 拉、压杆横截面上内力的作用线与杆的轴线重合，故 称为轴力，记作 F N 。规定：背向截面使杆件受拉伸的 轴力为正，指向截面使杆件受压缩的轴力为负。
28
（3）计算总轴向变形
3
l li i1 0 .0 3 3 m m 0 .0 1 7 m m 0 .0 2 5 m m =0.025mm
29
二、拉压杆的横向变形与泊松比 拉压杆的横向线应变
b b1 b
bb
试验表明，当杆内应力不大于材料的比例极限时，拉
压杆的横向线应变 与轴向线应变 成正比，即有
其中， 为材料常数，称为横向变形因数或泊松比， 泊松比 无量纲。
35
[例 2-10] 已知钢制螺栓内径 d110.1mm，拧紧后测得 在长度 l 60mm内的伸长 l0.03mm；钢材的弹性
2
23
第四节 拉压杆的变形
一、拉压杆的轴向变形与胡克定律
F
F
F
F
l
l1
l1
l
轴向变形 线应变
l l1 l l
l
◆ 线应变反映了拉压杆的变形程度，具有可比性。
24
胡克定律
E
E —— 弹性模量，由试验确定的材料常数，与应力具 有同样量纲，常用单位 GPa
胡克定律适用范围：
4
求内力的方法 —— 截面法 第一步：沿截面假想地截开，留下一部分作为研究对象，
弃去另一部分； 第二步：对留下部分进行受力分析，根据平衡原理确定，
在暴露出来的截面上有哪些内力分量； 第三步：建立平衡方程，求出未知内力。
5
二、轴力与轴力图
下面运用截面法确定拉、压杆横截面上的内力：
◆ 拉、压杆横截面上内力的作用线与杆的轴线重合，故 称为轴力，记作 F N 。规定：背向截面使杆件受拉伸的 轴力为正，指向截面使杆件受压缩的轴力为负。
28
（3）计算总轴向变形
3
l li i1 0 .0 3 3 m m 0 .0 1 7 m m 0 .0 2 5 m m =0.025mm
29
材料力学02第2章轴向拉伸和压缩.
P
把 p 分解成垂直于斜截面的正应力 和相切于斜截面 的剪应力 （如图）。则
p cos cos2
p sin cos sin
于是可知： ( 0) max ( 45 ) max
概述
第 2 章
y
轴 向 拉 伸 与 压 缩
（ a）
活塞杆 进油
回油
（ b）
钢拉杆
第 2 章
力学模型如图
轴 向 拉 伸 与 压 缩
P
P
P
P
轴向拉伸或压缩杆件的受力特点是：作用在等直
杆上的两个力大小相等，方向相反，作用线与杆的轴线重合。
§2.1 轴力和轴力图
第 2 章
如图求拉杆指定截面的内力。 由截面法：（1）截开，留 下左半段，去掉右半段； （2）用内力代替去掉部分对 留下部分的作用； （3）考虑留下部分的平衡
§2. 4 拉（压）杆的变形
例3 图示铰接三角架，在节点B受铅垂力P作用。已知： 第 杆AB为钢制圆截面杆，直径为30mm，杆BC为钢制空心圆 2 截面杆，外径为50mm，内径为44mm。P=40KN， 章 E=210GPa，求节点B的位移。 A 解：（1）求轴力。取铰B为研究对 轴 象，受力如图。 4m
2
2
sin 2
§2.4 拉（压）杆的变形
第 l l1 l , d d1 d 2 章 称为杆件的绝对伸长或缩短。于是
如图所示：
P P
d
d
l
d1
d1
l1
P P
轴 向 拉 伸 与 压 缩
l d , 1 l d
l1
材料力学课件第二章 轴向拉伸和压缩
2.3 材料在拉伸和压缩时的力学性能
解： 量得a点的应力、应变分别 为230MPa、0.003
E=σa/εa=76.7GPa 比例极限σp=σa=230MPa 当应力增加到σ＝350MPa时，对应b点，量得正应变值
ε = 0. 0075 过ｂ点作直线段的平行线交于ε坐标轴，量得 此时的塑性应变和弹性应变
εp=0. 0030 εe= 0 . 0075-0.003=0.0045
内力：变形固体在受到外力作用 时，变形固体内部各相邻部分之 间的相互作用力的改变量。
①②③ 切加求 一内平 刀力衡
应力:是内力分布集度，即 单位面积上的内力
p＝dF/dA
F
F
FX = 0
金属材料拉伸时的力学性能
低碳钢(C≤0.3%)
Ⅰ 弹性阶段σe σP=Eε
Ⅱ 屈服阶段 屈服强度σs 、（σ0.2）
FN FN<0
2.2 拉压杆截面上的内力和应力
第二章 轴向拉伸和压缩
在应用截面法时应注意：
（1）外载荷不能沿其作用线移动。
2.2 拉压杆截面上的内力和应力
第二章 轴向拉伸和压缩
在应用截面法时应注意：
（2）截面不能切在外载荷作用点处，要离开或 稍微离开作用点。
1
2
11
22
f 30 f 20
60kN
Ⅲ 强化阶段 抗压强度 （强度极限）σb
Ⅳ 局部颈缩阶段
例1
一根材料为Q235钢的拉伸试样，其直径d＝10mm，工作段 长度l＝100mm。当试验机上荷载读数达到F＝10kN 时，量 得工作段的伸长为Δ l＝0.0607mm ，直径的缩小为 Δd=0.0017mm 。试求此时试样横截面上的正应力σ，并求出 材料的弹性模量Ｅ。已知Q235钢的比例极限为σ p ＝200MPa。
材料力学第二章轴向拉伸和压缩 ppt课件
PPT课件
40
[例2-5-3] 如图为简易吊车，AB和BC均为圆形钢杆， 已知d1=36mm,d2=25mm, 钢的许用应力[σ]=100MPa。 试确定吊车的最大许可起重量。
解：1 计算杆AB、BC的轴力
X 0 : FN 2 FN 1 cos 30 0
Y 0 : FN 1 cos 60 W 0
FN 1 2W FN 2 3W
2 求许可载荷
FN max A[ ]
PPT课件
41
当AB杆达到许用应力时
FN max
A1 [
]
d
2 1
4
[
]
Wmax
1 2
FN max
d12 [
8
]
362 106 100 106
50.9kN
8
当BC杆达到许用应力时
20
三、斜截面上的内力和应力
F
F
F
Fα
假定横截面的面积为A，α斜截面的面积为A α ，则有
A
A
cos
F F
p
F A
F cos
A
cos
PPT课件
21
(c)
将应力 p 分解：
正应力： p cos cos 2
剪应力：
p
sin
cos sin
20
FNCD =30-2B =30+30-20=40kN
轴力图画在正下方，并与荷载图相对应！ C处虽然截面面积有变化，但该处没有集中力作用，轴力图不会发生突变！
轴力的大小与杆截面的大小无关，与材料无关。
材料力学 -轴向拉伸和压缩PPT课件
第二章 轴向拉伸和压缩
第二章
轴向拉伸和压缩
最新课件
1
第二章 轴向拉伸和压缩
§2 — 1 概述 §2 — 2 轴力 轴力图
目 §2 — 3 拉（压）杆截面上的应力
§2 — 4 拉（压）杆的变形 胡克定律 泊松比
录 §2 — 5 材料在拉伸与压缩时的力学性质
§2 — 6 拉（压）杆的强度计算 §2 — 7 拉（压）杆超静定问题 §2 — 8 连接件的实用计算
§ 2-3拉（压）杆截面上的应力
σ FN A
AB
——FN 为轴力， A 为杆的横截面面积
F
F
3、圣维南原理
说明：杆端集中力作用点附近区域内的应力分布比较复杂，并 非均匀分布，上式只能计算该区域内横截面上的平均应力，而 不是应力的真实情况；且应力分布规律及其计算公式与外力作 用方式有关，其研究已经超出N材料力学范围。
p
MA
➢应力的正、负号约定：正应力 以拉应力
为正，压应力为负；切应力 以使所作用的微段绕其内部任
意点有顺时针方向转动趋势者为正，反之为负。
➢应力的单位：帕斯卡 (pa)、兆帕（Mpa）、吉帕（Gpa） 1帕=1牛顿 / 米2 ( N/m2 ) 1MPa =1N/mm2 = 106 Pa 1GPa = 109 Pa 注意：1、在谈到应力时，必须指明应力所在的平面及点的位置； 2、没有特别说明的情况下，提最到新应课件力一般指正应力和切应力2。0
m
F
F
m
最新课件
6
§2-2 轴力、轴力图
截开 在求内力的截面 mm处， F
假想地将杆截为两部分
分离
留下左段为分离体
F
m
m m
F FN
第二章
轴向拉伸和压缩
最新课件
1
第二章 轴向拉伸和压缩
§2 — 1 概述 §2 — 2 轴力 轴力图
目 §2 — 3 拉（压）杆截面上的应力
§2 — 4 拉（压）杆的变形 胡克定律 泊松比
录 §2 — 5 材料在拉伸与压缩时的力学性质
§2 — 6 拉（压）杆的强度计算 §2 — 7 拉（压）杆超静定问题 §2 — 8 连接件的实用计算
§ 2-3拉（压）杆截面上的应力
σ FN A
AB
——FN 为轴力， A 为杆的横截面面积
F
F
3、圣维南原理
说明：杆端集中力作用点附近区域内的应力分布比较复杂，并 非均匀分布，上式只能计算该区域内横截面上的平均应力，而 不是应力的真实情况；且应力分布规律及其计算公式与外力作 用方式有关，其研究已经超出N材料力学范围。
p
MA
➢应力的正、负号约定：正应力 以拉应力
为正，压应力为负；切应力 以使所作用的微段绕其内部任
意点有顺时针方向转动趋势者为正，反之为负。
➢应力的单位：帕斯卡 (pa)、兆帕（Mpa）、吉帕（Gpa） 1帕=1牛顿 / 米2 ( N/m2 ) 1MPa =1N/mm2 = 106 Pa 1GPa = 109 Pa 注意：1、在谈到应力时，必须指明应力所在的平面及点的位置； 2、没有特别说明的情况下，提最到新应课件力一般指正应力和切应力2。0
m
F
F
m
最新课件
6
§2-2 轴力、轴力图
截开 在求内力的截面 mm处， F
假想地将杆截为两部分
分离
留下左段为分离体
F
m
m m
F FN
材料力学第二章-轴向拉伸与压缩
FN 3 P
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
材料力学课件 (朱占元)第2章 轴向拉伸与压缩
屋架结构简图
受轴向外力作用的等截面直杆——拉杆和压杆
桁架的示意图
（未考虑端部连接情况）
受力特点：外力合力作用线与杆轴线重合。 变形特点：杆件沿轴线方向伸长或缩短。 材料力学中的杆件，如果没说明， 通常不计自重。
2.2 轴力与轴力图
求图示拉杆m－m截面的内力
m
P m Y P
P
｝
N
x
N ：分布内力系的合力称为内力，代 表移去部分对保留部分的作用。 由平衡方程
N p A
A 则 A cos
N P p＝ cos cos A A
2.4 拉（压）杆的变形· 胡克定律 1、轴向变形，泊松比 l1 (a) P
b1 P
l
(b) P l1 轴向变形： L=L1L P
b
b1
同时杆的伸长（缩短）不足以反映杆的 变形程度。
=12.7MPa(拉)
σ AB N AB 3.46 10 6 N 6.4 10 2 6 m AAB 540 10
3
-6.4MPa(压)
例2-4 试求图a所示正方 形砖柱由于荷载引起的 横截面上的最大工作应 力。已知F = 50 kN。
1.作轴力图如图所示。分别求各段柱的 工作应力。Ⅰ段柱横截面上的正应力
F 2
F 2l
F
3 D l
x
q 2 2
(d)
F
A B F
FN2
x
以图d为分离体，得
F Fx 0, FN2 q(x-l ) 2F F l x 2Fl
x 3l
2. 由以上结果画出轴力图如图f所示 F
(a)
A
F q l
F
2l
材料力学之轴向拉伸与压缩PPT(79张)
F1 F2
F3 Fn
F1
ΔFQy
DF
DF 平均应力： Pm DA
ΔFQz ΔA
ΔFN
DF dF 总应力： plim
DA0 DA dA
F2
limDFN
dFN 垂的直应于 力截 称面 为
DA DA0 dA“正应力”
limDFQ
dFQ
与截面相切 的应力称为
DA DA0 dA“切应力”
以AB杆为研究对象
mA 0
F N FNC B B C9 11 0k N850
以CDE为研究对象
mE 0
FNCD40kN
20kN 18kN 4m
F Ns C3 iD 0 n 0 8 F N B 8 C 2 4 0 0
30O FNCD C
FNBC
B 4m
BC
应力的国际单位为N/m2 （帕斯卡）
1N/m2=1Pa
1MPa=106Pa＝1N/mm2
某截面某一点处应力（矢量）正负号的规定：
1GPa=109Pa
正应力：拉应力为正，压应力为负；
切应力：对截面内部（靠近截面）的一点，产生顺时针方向力矩的切应力为正， 反之为负。
拉(压)杆横截面上的应力
几何变形
平面假设
d A
FNAsBin300F FNAcBo3s00FNBC
FNAB
30 0
B
AB
FNAB28.3MPa AAB
C
FNBC a
F
BCFANBBCC4.8MPa
例 题 2.8
计算图示结构BC和CD杆横截面上的正应力值。 已知CD杆为φ28的圆钢，BC杆为φ22的圆钢。
D
F3 Fn
F1
ΔFQy
DF
DF 平均应力： Pm DA
ΔFQz ΔA
ΔFN
DF dF 总应力： plim
DA0 DA dA
F2
limDFN
dFN 垂的直应于 力截 称面 为
DA DA0 dA“正应力”
limDFQ
dFQ
与截面相切 的应力称为
DA DA0 dA“切应力”
以AB杆为研究对象
mA 0
F N FNC B B C9 11 0k N850
以CDE为研究对象
mE 0
FNCD40kN
20kN 18kN 4m
F Ns C3 iD 0 n 0 8 F N B 8 C 2 4 0 0
30O FNCD C
FNBC
B 4m
BC
应力的国际单位为N/m2 （帕斯卡）
1N/m2=1Pa
1MPa=106Pa＝1N/mm2
某截面某一点处应力（矢量）正负号的规定：
1GPa=109Pa
正应力：拉应力为正，压应力为负；
切应力：对截面内部（靠近截面）的一点，产生顺时针方向力矩的切应力为正， 反之为负。
拉(压)杆横截面上的应力
几何变形
平面假设
d A
FNAsBin300F FNAcBo3s00FNBC
FNAB
30 0
B
AB
FNAB28.3MPa AAB
C
FNBC a
F
BCFANBBCC4.8MPa
例 题 2.8
计算图示结构BC和CD杆横截面上的正应力值。 已知CD杆为φ28的圆钢，BC杆为φ22的圆钢。
D
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A
F 2
B
q
C
3
1 l
F 2
2l
F
3 D l
x
1 (b) FR
A
F 2
B
q
C
3
1 l 1
F 2
2l
F
3 D l
x
(c) F
A
FN1
x
1
3
(e) FN 3 3
F
4l-x
D
以图c为分离体，得FN1=F 以图e为分离体，得FN3=F
0 xl 3l x 4l
1 (b) FR
A
F 2
B
q
C
3
1 l
Y
∑X = 0
NP=0 N=P
P
｝
N
x
N 总是与轴线重合，故称为轴力。 轴力通常用字母 N 表示，它的单位即为 力的单位，基本单位为牛顿(N)，常用单 位有千牛(kN)。
m P Y P N P
m
｝
N
x P
保留右段时： P N= 0
N = P
N 与 N 大小相等，方向相反， 为一对作用力与反作用力。
P 2 = = = 4kN (拉) sin 30 0.5
将NBC的值代入(1)，可得
N AB 3 N BC cos30 4 3.46kN (压) 2
(2)计算各杆应力
σ BC
3 N BC 4 10 6 N 12.7 10 2 m ABC π 202 106 4
截面法求轴力的步骤： (1) 假想的截面截开指定截面m－m ； (2) 用内力代替另一部分对所取分离体的作用力； (3) 根据分离体的平衡求出内力值。
符号规定：
正号轴力-- N的方向与截面外法线方向一致。 负号轴力-- N的方向与截面外法线方向相反。 也即：拉伸为正、压缩为负。
例2－1 一直杆受力如图所示。试求各段中横 截面上的轴力。
Δl ε= l Δb 横向线应变： ε = b
`
线应变
实验表明:在弹性范围内加载，纵向线应变与横向 线应变之间存在如下关系
ε' v =| | ε
v：泊松比，无量纲
ε ' = -vε
2、胡克定理
NL ΔL A
引入弹性模量E
NL ΔL ΕA
EA：抗拉刚度
Δl ε= = l
NL
EA = N 1 = σ L AE E
I
6kN
A
I B II 10kN
C
8kN
III D
4kN
I
6kN A N1
II
III
6kN
10kN
II N2
II
在 BC 段内沿横截面 II － II 将杆假想地 截开，并留下左段为脱离体，假设 II － II 截面的轴力为正号的N2由静力平衡条件.
∑X = 0,
II
N2-6+10=0
6kN
10kN
解：1-1截面，取右边，受力如图。
2-2截面, 取右边, 受力如图。
3-3截面, 取右边, 受力如图。
ΣX=0，FN3=-F3=−20(kN)
轴力图
【例2-2】试作图a 所示杆的轴力图。 F
(a)
A
F q l
F
l
B
F
2l
C
l
D
解: 1. 用截面法分别求各段杆的轴力 约束反力为FR=F
1 (b) FR
用径向截面将薄壁圆环截开，取其上半部分为分离 体，如图b所示。分布力的合力为 π d FR ( pb d )sin pbd 0 2 FR pbd 由SFy=0，得 FN
2 2
径向截面上的拉应力为
FN 1 pbd pd ( 2 106 Pa)(0.2 m) ( ) A bd 2 2d 2(5 10-3 m) 40 106 Pa 40 MPa
屋架结构简图
受轴向外力作用的等截面直杆——拉杆和压杆
桁架的示意图
（未考虑端部连接情况）
受力特点：外力合力作用线与杆轴线重合。 变形特点：杆件沿轴线方向伸长或缩短。 材料力学中的杆件，如果没说明， 通常不计自重。
2.2 轴力与轴力图
求图示拉杆m－m截面的内力
m
P m Y P
P
｝
N
x
N ：分布内力系的合力称为内力，代 表移去部分对保留部分的作用。 由平衡方程
1. 求分布荷载作用的BC段的轴力时，不允许用合 力2lq＝2F代替分布荷载。 2. 求轴力时，不允许将力沿其作用线段移动，例 如，将作用在D截面的力F移到C截面时，AB、 BC段的轴力不变，而CD段轴力为零。
(a)
A l BFqF lF 2lC
l
D
F
画轴力图的要求
①平行并对齐原杆件
②轴力的符号要标在图上
P
解：(1) 计算各杆轴力 AB和BC均为二力杆。
设两杆均受拉力，作节点 B的受力图图
(b)，由静力平衡条件：
∑X = 0
N AB + N BC cos30 = 0
…(1) NBC …(2) NAB 30
y
Y =0 ∑ N BC sin 30 - P = 0
B P
x
(b)
由(2)式可得
N BC
III
∴ N 2 = 4kN
N3 III
4kN
6kN
A
I B I
10kN
II II
C
8kN
III D III
4kN
N +6 +4 4 +
x 6 4
+ 4 N图（kN)
F
F
(c)
(f)
轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面 位置的关系。
【例2-1】试作图a所示杆的轴力图。
解: 1. 用截面法分别求各段杆的轴力。为求轴力方 便，先求出约束力 FR=10 kN。
弹性模量和泊松比都是材料的弹性常数。
例2－6 一构件如图所示，已知： P1=30k ， P2=10kN ， AAB=ABC=500mm2 ， ACD=200mm2， E=200GPa。
试求：(1) 各段杆横截面上的内力和应力； (2) 杆的总伸长。 A 100 B P1 100 100 C D P2
F 2
F 2l
F
3 D l
x
q 2 2
(d)
F
A B F
FN2
x
以图d为分离体，得
F Fx 0, FN2 q(x-l ) 2F F l x 2Fl
x 3l
2. 由以上结果画出轴力图如图f所示 F
(a)
A
F q l
F
2l
C
l
B
F
l
D
F (f)
+ +
F
F
FN 图
注 意：
(压应力)
结果表明，最大工作应力为 max= 2= -1.1 MPa (压应力）
例2-5 试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上 的拉应力。已知：d = 200 mm，d= 5 mm，p = 2 MPa。
解: 薄壁圆环(δ<<d )在内压力作用下，径向截面 上的拉应力可认为沿壁厚均匀分布，故在求出径 向截面上的法向力FN后，用式 FN/(bδ)求拉应力。
-0.015 10 m -0.015mm
-3
即AD杆缩短了0.015mm。 D点向左位
移了0.015mm。
如果在杆总长范围内，不能满足杆伸长 计算公式的适用条件，但将杆分成若干段 (n
段)每一段能分别满足式的适用条件。则杆的
总伸长公式为
N i li Δl = ∑ i= 1 Ei Ai
n
6kN
A
I I I I
II B 10kN II
C
8kN
III D III
4kN
6kN
A
N1
解：在 AB 段内，沿横截面 I － I 把杆件假想 截开，保留左段，假设 I － I 截面上有正 号的轴力 N1 ，以杆轴为 x 轴，由静力平 衡条件
∑X = 0,
N1-6=0
A 6kN
I
N1
∴ N1 =6kN
A 100 N +
B P1 100 20kN
C 100
D P2
10kN
解：① 作轴力图如上图所示。
② 求横截面上的应力 “ AB”， “ BC”， “ CD”段上任意横 截面上的应力分别为：
σ AB σ BC σCD N AB 20 103 6 40 10 Pa 40MPa 6 AAB 500 10 N BC 10 103 6 20 10 Pa 20MPa 6 ABC 500 10 NCD 10 103 6 50 10 Pa 50MPa 6 ACD 200 10
=12.7MPa(拉)
σ AB N AB 3.46 10 6 N 6.4 10 2 6 m AAB 540 10
3
-6.4MPa(压)
例2-4 试求图a所示正方 形砖柱由于荷载引起的 横截面上的最大工作应 力。已知F = 50 kN。
1.作轴力图如图所示。分别求各段柱的 工作应力。Ⅰ段柱横截面上的正应力
③ 控制点的坐标要标上
2.3 拉（压）杆横截面与斜截面上的应力 1、拉(压)杆横截面上的应力
N— 一般地， 为位置的函数， dA组成垂直于横截面的平行力 系，其合力即为轴力
N =∫ σ dA A
考察杆件受力变形：
P
P
∴ N =∫ A σdA = σ ∫ A dA = σA
F 2
B
q
C
3
1 l
F 2
2l
F
3 D l
x
1 (b) FR
A
F 2
B
q
C
3
1 l 1
F 2
2l
F
3 D l
x
(c) F
A
FN1
x
1
3
(e) FN 3 3
F
4l-x
D
以图c为分离体，得FN1=F 以图e为分离体，得FN3=F
0 xl 3l x 4l
1 (b) FR
A
F 2
B
q
C
3
1 l
Y
∑X = 0
NP=0 N=P
P
｝
N
x
N 总是与轴线重合，故称为轴力。 轴力通常用字母 N 表示，它的单位即为 力的单位，基本单位为牛顿(N)，常用单 位有千牛(kN)。
m P Y P N P
m
｝
N
x P
保留右段时： P N= 0
N = P
N 与 N 大小相等，方向相反， 为一对作用力与反作用力。
P 2 = = = 4kN (拉) sin 30 0.5
将NBC的值代入(1)，可得
N AB 3 N BC cos30 4 3.46kN (压) 2
(2)计算各杆应力
σ BC
3 N BC 4 10 6 N 12.7 10 2 m ABC π 202 106 4
截面法求轴力的步骤： (1) 假想的截面截开指定截面m－m ； (2) 用内力代替另一部分对所取分离体的作用力； (3) 根据分离体的平衡求出内力值。
符号规定：
正号轴力-- N的方向与截面外法线方向一致。 负号轴力-- N的方向与截面外法线方向相反。 也即：拉伸为正、压缩为负。
例2－1 一直杆受力如图所示。试求各段中横 截面上的轴力。
Δl ε= l Δb 横向线应变： ε = b
`
线应变
实验表明:在弹性范围内加载，纵向线应变与横向 线应变之间存在如下关系
ε' v =| | ε
v：泊松比，无量纲
ε ' = -vε
2、胡克定理
NL ΔL A
引入弹性模量E
NL ΔL ΕA
EA：抗拉刚度
Δl ε= = l
NL
EA = N 1 = σ L AE E
I
6kN
A
I B II 10kN
C
8kN
III D
4kN
I
6kN A N1
II
III
6kN
10kN
II N2
II
在 BC 段内沿横截面 II － II 将杆假想地 截开，并留下左段为脱离体，假设 II － II 截面的轴力为正号的N2由静力平衡条件.
∑X = 0,
II
N2-6+10=0
6kN
10kN
解：1-1截面，取右边，受力如图。
2-2截面, 取右边, 受力如图。
3-3截面, 取右边, 受力如图。
ΣX=0，FN3=-F3=−20(kN)
轴力图
【例2-2】试作图a 所示杆的轴力图。 F
(a)
A
F q l
F
l
B
F
2l
C
l
D
解: 1. 用截面法分别求各段杆的轴力 约束反力为FR=F
1 (b) FR
用径向截面将薄壁圆环截开，取其上半部分为分离 体，如图b所示。分布力的合力为 π d FR ( pb d )sin pbd 0 2 FR pbd 由SFy=0，得 FN
2 2
径向截面上的拉应力为
FN 1 pbd pd ( 2 106 Pa)(0.2 m) ( ) A bd 2 2d 2(5 10-3 m) 40 106 Pa 40 MPa
屋架结构简图
受轴向外力作用的等截面直杆——拉杆和压杆
桁架的示意图
（未考虑端部连接情况）
受力特点：外力合力作用线与杆轴线重合。 变形特点：杆件沿轴线方向伸长或缩短。 材料力学中的杆件，如果没说明， 通常不计自重。
2.2 轴力与轴力图
求图示拉杆m－m截面的内力
m
P m Y P
P
｝
N
x
N ：分布内力系的合力称为内力，代 表移去部分对保留部分的作用。 由平衡方程
1. 求分布荷载作用的BC段的轴力时，不允许用合 力2lq＝2F代替分布荷载。 2. 求轴力时，不允许将力沿其作用线段移动，例 如，将作用在D截面的力F移到C截面时，AB、 BC段的轴力不变，而CD段轴力为零。
(a)
A l BFqF lF 2lC
l
D
F
画轴力图的要求
①平行并对齐原杆件
②轴力的符号要标在图上
P
解：(1) 计算各杆轴力 AB和BC均为二力杆。
设两杆均受拉力，作节点 B的受力图图
(b)，由静力平衡条件：
∑X = 0
N AB + N BC cos30 = 0
…(1) NBC …(2) NAB 30
y
Y =0 ∑ N BC sin 30 - P = 0
B P
x
(b)
由(2)式可得
N BC
III
∴ N 2 = 4kN
N3 III
4kN
6kN
A
I B I
10kN
II II
C
8kN
III D III
4kN
N +6 +4 4 +
x 6 4
+ 4 N图（kN)
F
F
(c)
(f)
轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面 位置的关系。
【例2-1】试作图a所示杆的轴力图。
解: 1. 用截面法分别求各段杆的轴力。为求轴力方 便，先求出约束力 FR=10 kN。
弹性模量和泊松比都是材料的弹性常数。
例2－6 一构件如图所示，已知： P1=30k ， P2=10kN ， AAB=ABC=500mm2 ， ACD=200mm2， E=200GPa。
试求：(1) 各段杆横截面上的内力和应力； (2) 杆的总伸长。 A 100 B P1 100 100 C D P2
F 2
F 2l
F
3 D l
x
q 2 2
(d)
F
A B F
FN2
x
以图d为分离体，得
F Fx 0, FN2 q(x-l ) 2F F l x 2Fl
x 3l
2. 由以上结果画出轴力图如图f所示 F
(a)
A
F q l
F
2l
C
l
B
F
l
D
F (f)
+ +
F
F
FN 图
注 意：
(压应力)
结果表明，最大工作应力为 max= 2= -1.1 MPa (压应力）
例2-5 试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上 的拉应力。已知：d = 200 mm，d= 5 mm，p = 2 MPa。
解: 薄壁圆环(δ<<d )在内压力作用下，径向截面 上的拉应力可认为沿壁厚均匀分布，故在求出径 向截面上的法向力FN后，用式 FN/(bδ)求拉应力。
-0.015 10 m -0.015mm
-3
即AD杆缩短了0.015mm。 D点向左位
移了0.015mm。
如果在杆总长范围内，不能满足杆伸长 计算公式的适用条件，但将杆分成若干段 (n
段)每一段能分别满足式的适用条件。则杆的
总伸长公式为
N i li Δl = ∑ i= 1 Ei Ai
n
6kN
A
I I I I
II B 10kN II
C
8kN
III D III
4kN
6kN
A
N1
解：在 AB 段内，沿横截面 I － I 把杆件假想 截开，保留左段，假设 I － I 截面上有正 号的轴力 N1 ，以杆轴为 x 轴，由静力平 衡条件
∑X = 0,
N1-6=0
A 6kN
I
N1
∴ N1 =6kN
A 100 N +
B P1 100 20kN
C 100
D P2
10kN
解：① 作轴力图如上图所示。
② 求横截面上的应力 “ AB”， “ BC”， “ CD”段上任意横 截面上的应力分别为：
σ AB σ BC σCD N AB 20 103 6 40 10 Pa 40MPa 6 AAB 500 10 N BC 10 103 6 20 10 Pa 20MPa 6 ABC 500 10 NCD 10 103 6 50 10 Pa 50MPa 6 ACD 200 10
=12.7MPa(拉)
σ AB N AB 3.46 10 6 N 6.4 10 2 6 m AAB 540 10
3
-6.4MPa(压)
例2-4 试求图a所示正方 形砖柱由于荷载引起的 横截面上的最大工作应 力。已知F = 50 kN。
1.作轴力图如图所示。分别求各段柱的 工作应力。Ⅰ段柱横截面上的正应力
③ 控制点的坐标要标上
2.3 拉（压）杆横截面与斜截面上的应力 1、拉(压)杆横截面上的应力
N— 一般地， 为位置的函数， dA组成垂直于横截面的平行力 系，其合力即为轴力
N =∫ σ dA A
考察杆件受力变形：
P
P
∴ N =∫ A σdA = σ ∫ A dA = σA