轴向拉压时杆件的变形
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工程力学16 轴向拉伸与压缩杆的变形
伸长量；(2)C截面相对B截面的位移
(相对位移）和C截面的绝对位移。 解：（2） 位移：指物体上的一些点、
B
B
B′
l2＝200
线、面在空间位置上的改变。 显然，两个截面的相对位移，
C
C
C′
在数值上等于两个截面之间的
F＝40 kN
那段杆件的伸长（或缩短）。 因A截面固定，所以C截面
因此，C截面与B 截面的
掌握：胡克定律表达式的应用 ； 轴向变形— —伸长量的计算 ——难点+重点
谢 谢!
解：（1） 变形：物体受力以后 发生尺寸和形状的改变。
B
B
B′
l2＝200
l1
FN l1 EA1
40 103 N 210 109 Pa
300 103 m 400 106 m2
0.143103m=0.143mm（伸长）
C
C
C′
F＝40 kN
l2
FN l2 EA2
40 103 N 210 109 Pa
实验表明,在材料正应力没有超过比例极限时，横向线应变与纵 向线应变之比为常数，用绝对值表示为
v
或写成
v
v称为横向变形因数或泊松比
无量纲，由实验测定
例1 已知： AB段:A1 ＝400mm2
A
BC段:A2 =250mm2 ,E=210GPa
l1＝300
求：(1)AB、BC段的伸长量及杆 的总伸长量；(2)C截面相对B截面 的位移和C截面的绝对位移。
200 103 m 250 102 0.143mm+0.152mm
0.152103m=0.152mm（伸长） 0.295mm（伸长）
例1 已知： AB段:A1 ＝400mm2
工程材料力学第四章轴向拉压杆的变形
§4-5 轴向拉(压)杆的变形·胡克定律
拉(压)杆的纵向变形 （轴向变形） 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
纵向总变形Δl = l1-l （反映绝对变形量）
l 纵向线应变 （反映变形程度） l
1
fl
f ( x x)
x
f
l
x
x
沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f 轴力图
fx
微段的分离体
y
pbd 2b 0
pd 2
13
所以
pd (2 10 Pa)(0.2m) -3 2 2(510 m)
6
4010 Pa 40 MPa
6
14
2.
如果在计算变形时忽略内压力的影响，则可认为
薄壁圆环沿圆环切向的线应变e(周向应变)与径向截面上
的正应力s 的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即
ν
亦即
- n
低碳钢(Q235)：n = 0.24~0.28。
7
思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。
1.列出各段杆的纵向总变形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整个 杆纵向变形的表达式。
2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变
形是什么关系？
uB L1
22
作业：4-7,4-91 Pa ~ 2.101011 Pa 200GPa ~ 210GPa
l 1 FN 胡克定律的另一表达形式： l E A
E
←单轴应力状态下的胡克定律
6
横向变形因数(泊松比)(Poisson’s ratio)
单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，
拉(压)杆的纵向变形 （轴向变形） 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
纵向总变形Δl = l1-l （反映绝对变形量）
l 纵向线应变 （反映变形程度） l
1
fl
f ( x x)
x
f
l
x
x
沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f 轴力图
fx
微段的分离体
y
pbd 2b 0
pd 2
13
所以
pd (2 10 Pa)(0.2m) -3 2 2(510 m)
6
4010 Pa 40 MPa
6
14
2.
如果在计算变形时忽略内压力的影响，则可认为
薄壁圆环沿圆环切向的线应变e(周向应变)与径向截面上
的正应力s 的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即
ν
亦即
- n
低碳钢(Q235)：n = 0.24~0.28。
7
思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。
1.列出各段杆的纵向总变形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整个 杆纵向变形的表达式。
2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变
形是什么关系？
uB L1
22
作业：4-7,4-91 Pa ~ 2.101011 Pa 200GPa ~ 210GPa
l 1 FN 胡克定律的另一表达形式： l E A
E
←单轴应力状态下的胡克定律
6
横向变形因数(泊松比)(Poisson’s ratio)
单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，
杆件的基本变形形式
杆件的基本变形形式
杆件的基本变形形式有以下几种：
1. 拉伸和压缩：当杆件受到沿其轴向的力时，杆件会发生拉伸或压缩变形。
拉伸时杆件长度增加，压缩时杆件长度减小。
2. 剪切：当杆件受到垂直于其轴向的力时，杆件会发生剪切变形。
剪切变形表现为杆件的横截面发生相对错动。
3. 扭转：当杆件受到绕其轴线的力矩时，杆件会发生扭转变形。
扭转变形使得杆件的横截面绕轴线旋转。
4. 弯曲：当杆件受到垂直于其轴线的横向力时，杆件会发生弯曲变形。
弯曲变形导致杆件的轴线发生弯曲。
这些基本变形形式是杆件在不同加载条件下的主要响应方式。
在工程和力学领域中，了解杆件的基本变形形式对于设计和分析结构非常重要。
通过对这些变形形式的研究，可以确定杆件在负载下的应力、应变分布以及可能的破坏模式。
需要注意的是，实际工程结构中的杆件可能同时受到多种变形形式的组合作用。
例如，在一个梁的设计中，可能同时存在弯曲和剪切变形。
因此，在分析杆件的变形和应力时，需要综合考虑各种变形形式的影响。
希望这些信息对你有所帮助！如果你有其他问题，请随时提问。
简述轴向拉压杆的受力特点和变形特点
简述轴向拉压杆的受力特点和变形特点
轴向拉压杆是一种受到拉力或压力作用的杆件。
其受力特点主要
有两点：
1. 受力方向：轴向拉压杆受力方向与其轴线方向相同或相反。
当受到拉力时，轴向拉压杆会向外展开；当受到压力时，轴向拉压杆
会向内收缩。
受力方向与轴线方向共线，使得杆件能够承受较大的拉
力或压力。
2. 受力均匀：轴向拉压杆受力均匀分布在其截面上。
由于受力
方向与轴线方向相同或相反，杆件内部的各个截面上的应力相对均匀。
这样的受力特点能够保证杆件的强度和刚度。
轴向拉压杆的变形特点主要有两点：
1. 长度变化：轴向拉压杆在受到拉力或压力作用时会发生长度
的变化。
当受到拉力时，轴向拉压杆会发生伸长变形；当受到压力时，轴向拉压杆会发生缩短变形。
杆件的长度变化与受力的大小成正比。
2. 弯曲变形：轴向拉压杆在受力作用下有可能发生弯曲变形。
当受到较大的压力或拉力时，杆件可能会产生塑性弯曲或弹性弯曲。
这种变形可能会影响杆件的稳定性和工作性能。
综上所述，轴向拉压杆的受力特点是受力方向与轴线方向相同或
相反，受力均匀；变形特点是发生长度变化和有可能出现弯曲变形。
这些特点需要在杆件的设计和使用过程中进行考虑，以保证其性能和
安全。
第四节：轴向拉伸和压缩时的变形
对比总结：塑性变形：
杆件在外力作用下会发生变形，当外力取消 时不消失或不完全消失而残留下来的变形。
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
二、纵向变形和胡克定律：
1、纵向变形 杆件在轴向力作用下，杆的长度会发生变化，杆件长度的改
变量叫做纵向变形，用△l 表示。若杆件变形前长度为l ，变形后 长度为l
1
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
杆件的纵向变形与杆长l 有关，在其它条件相同时， 杆件愈长则纵向变形愈大。为了消除杆长对变形的影响， 常用单位长度的变形来描述杆件变形的程度。单位长度的 变形叫做线应变，用ε表示。
NI
E I EA N 或
I
I EA E
上式是胡克定律的的另一种形式，它表明在弹性受 力范围内，应力与应变成正比。
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
例：图示为一两层的木排架，作用在横木上的荷载传给
立 柱 ， 其 中 一 根 柱 的 受 力 图 如 图 b 所 示 ， P1=30KN ， P2=50KN。柱子为圆截面，直径d=150mm。木材的弹性模量 E=10Gpa。求木柱的总变形。
解：木柱AB和BC两段轴力不同，应分 别求出两段变形，然后求其总和 （1）求轴力ຫໍສະໝຸດ 第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
三、横向变形 拉压杆产生纵向变形时，横向也产生变形。若杆件
变形前的横向尺寸为α，变形后为，则横向变形为向应变
为 ： 1
横向应变为
杆件受拉时，横向尺寸缩小，ε′为负值；杆件受 压时横向尺寸变大，ε′为正值。可见，轴向拉、压杆的 线应变与横向应变的符号总是相反。
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
一、弹性变形与塑性变形 用手拉一根弹簧，当拉力不大时就放松，弹簧
杆件在外力作用下会发生变形，当外力取消 时不消失或不完全消失而残留下来的变形。
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
二、纵向变形和胡克定律：
1、纵向变形 杆件在轴向力作用下，杆的长度会发生变化，杆件长度的改
变量叫做纵向变形，用△l 表示。若杆件变形前长度为l ，变形后 长度为l
1
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
杆件的纵向变形与杆长l 有关，在其它条件相同时， 杆件愈长则纵向变形愈大。为了消除杆长对变形的影响， 常用单位长度的变形来描述杆件变形的程度。单位长度的 变形叫做线应变，用ε表示。
NI
E I EA N 或
I
I EA E
上式是胡克定律的的另一种形式，它表明在弹性受 力范围内，应力与应变成正比。
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
例：图示为一两层的木排架，作用在横木上的荷载传给
立 柱 ， 其 中 一 根 柱 的 受 力 图 如 图 b 所 示 ， P1=30KN ， P2=50KN。柱子为圆截面，直径d=150mm。木材的弹性模量 E=10Gpa。求木柱的总变形。
解：木柱AB和BC两段轴力不同，应分 别求出两段变形，然后求其总和 （1）求轴力ຫໍສະໝຸດ 第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
三、横向变形 拉压杆产生纵向变形时，横向也产生变形。若杆件
变形前的横向尺寸为α，变形后为，则横向变形为向应变
为 ： 1
横向应变为
杆件受拉时，横向尺寸缩小，ε′为负值；杆件受 压时横向尺寸变大，ε′为正值。可见，轴向拉、压杆的 线应变与横向应变的符号总是相反。
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
一、弹性变形与塑性变形 用手拉一根弹簧，当拉力不大时就放松，弹簧
拉压杆的变形
EA称为杆的拉压刚度，它是单位长度的杆产生单位长度的变形 所需的力。所以拉压刚度EA代表了杆件抵抗拉伸（压缩）变形 的能力。
因σ＝FN/A、ε＝Δl/l，故式（2-5）变为 σ＝Eε （2-6
上式是胡克定律的另一表达式。它表明：在弹性限度内，正应力 与线应变成正比。
1.2横向变形
设图2-12所示拉、压杆在变形前、后的横向尺寸分别为d与d1， 则其横向变形Δd为
【例2-6】如图2-14（a）所示等截面直杆，已知 其原长l、横截 面积A、材料的容重γ、弹性模量E、受杆件自重和下端处集中力 F作用。求该杆下端面的位移ΔB。
【解】如图2-14（b）所示。距B端为x的横截面上的轴力为 FN（x）＝F＋γAx
微段dx如图2-14（c）所示。 略去两端内力的微小差值，则微段的变形为
＝-0.975×10-3m＝-0.975mm
各段柱的纵向线应变为
εBC＝ΔlBC/lBC=-0.5mm/2000mm＝2.5×10-4
εAB＝ΔlAB/lAB=-0.975mm/1500mm=-6.5×10-4 全柱的总变形为两段柱的变形之和，即
Δl=ΔlBC+ΔlAB=-0.5mm-0.975mm=-1.475 mm
【解】由于上下两段柱的轴力不等，故两段柱 的变形要分别计算。各段柱的轴力为
FNBC＝-100 kN 各段柱的纵向变形为
FNAB＝-260 kN
ΔlBC＝FNBC/EA ＝ -100×103N×2m/10×109Pa× （0.2m）2 ＝-0.5×10-3m＝-0.5mm
图2-13
ΔlAB＝FNAB/EA＝ 260×103N×1.5m/10×109Pa×（0.2m）2
大量的实验表明，当杆的变形为弹性变形时，杆的纵向变形Δl与 外力F及杆的原长l成正比，而与杆的横截面面积A成反比，即
杆件的轴向拉压变形及具体强度计算
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题
1、强度校核：
max
FN A
2、设计截面：
A
FN
3、确定许可载荷： FN A
目录
拉压杆的强度条件
例题3-3
F
F=1000kN，b=25mm，h=90mm，α=200 。
〔σ〕=120MPa。试校核斜杆的强度。
解：1、研究节点A的平衡，计算轴力。
目录
——横截面上的应力
目录
FN
A
——横截面上的应力
该式为横截面上的正应力σ计 算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
根据杆件变形的平面假设和材料均匀连续性假设 可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂 直于横截面。所以，横截面的正应力σ计算公式为：
目录
• 拉(压)杆横截面上的应力
FN 2 45° B
F
FN1 28.3kN FN 2 20kN
2、计算各杆件的应力。
B
1
FN1 A1
28.3103 202 106
4
F
90106 Pa 90MPa
x
2
FN 2 A2
20103 152 106
89106 Pa 89MPa
目录
三、材料在拉伸和压缩时的力学性质
教学目标：1.拉伸、压缩试验简介； 2.应力-应变曲线分析； 3.低碳钢与铸铁的拉、压的力学性质； 4.试件的伸长率、断面收缩率计算。
教学重点：1.应力-应变曲线分析； 2.材料拉、压时的力学性质。
教学难点：应力-应变曲线分析。 小 结: 塑性材料与脆性材料拉伸时的应力-应变曲线分析。 作 业: 复习教材相关内容。
工程力学-第7章-轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽 车 学 院
7
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽
斜拉桥承受拉力的钢缆 车 学 院
8
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽 车 学 院9来自 7-1轴向拉压杆横截面上的应力
胡克定律
车
学
院
工程力学
17
轴向拉压的变形分析
P
P
A 细长杆受拉会变长变细，
P
B 受压会变短变粗
C 长短的变化，沿轴线方向， 称为纵向变形
l+Dl l
d-Dd d
D 粗细的变化，与轴线垂直，
称为横向变形
P
P
P
7-3轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
工程力学
Guang Zhou Auto College
变形量的代数和：
汽
车
Δ
l
＝
FNi li FNi ADlEADA＋i
＝Dl AD DlDE DlEB Dl
FNDElDE ＋ FNEBlEB ＋ FNBClBC
BC
学
Ec AAD
Ec ADE
Es AEB
Es ABC
＝1.2106 m 0.6106 m 0.285106 m 0.428106 m
广
承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的
州
应用非常广泛。
汽
由汽缸、活塞、连
杆所组成的机构中，不
车
仅连接汽缸缸体和汽缸
盖的螺栓承受轴向拉力，
学
带动活塞运动的连杆由
7
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽
斜拉桥承受拉力的钢缆 车 学 院
8
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽 车 学 院9来自 7-1轴向拉压杆横截面上的应力
胡克定律
车
学
院
工程力学
17
轴向拉压的变形分析
P
P
A 细长杆受拉会变长变细，
P
B 受压会变短变粗
C 长短的变化，沿轴线方向， 称为纵向变形
l+Dl l
d-Dd d
D 粗细的变化，与轴线垂直，
称为横向变形
P
P
P
7-3轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
工程力学
Guang Zhou Auto College
变形量的代数和：
汽
车
Δ
l
＝
FNi li FNi ADlEADA＋i
＝Dl AD DlDE DlEB Dl
FNDElDE ＋ FNEBlEB ＋ FNBClBC
BC
学
Ec AAD
Ec ADE
Es AEB
Es ABC
＝1.2106 m 0.6106 m 0.285106 m 0.428106 m
广
承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的
州
应用非常广泛。
汽
由汽缸、活塞、连
杆所组成的机构中，不
车
仅连接汽缸缸体和汽缸
盖的螺栓承受轴向拉力，
学
带动活塞运动的连杆由
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刀点的位移AA。
♦轴向拉压时杆件的变形
解：⑴列平衡方程。
Fx = 0 FN2 sin a - FN1 sin a = 0
Fy - 0 FN1cosa + FN2 cos a - F =
0
‘,
得到.FN1 = FN2 =-
F 2cosa
♦轴向拉压时杆件的变形
(2)计算两杆的变形。 B
"22 = FEAL = lEAcosa
= =
卩 8
E
迫爾 0< “ 0.5 铜泡沫“ =-0.39 G =
♦轴向拉压时杆件的变形
兀■胡克定律
Fl △ l xd A
Thomas Young
罗伯特•胡克
E弹性模量 EA抗拉（压）刚度
♦轴向拉压时杆件的变形
五、杆件的变形计算
例题1图示为一变截面圆杆4BCD。已知
F1=20kN , F2=35kN , F3=35kN , /1=/3=300mm , /2=400mm , 4=12mm , ^2=16mm , ^3=24mmo 试
求：8截面的位移及"杆的变形。
♦轴向拉压时杆件的变形
50
♦轴向拉压时杆件的变形
解：B截面的位移及杆的变形
MAB = ^111 = 2.53 x 10-4m
AB EA1
AlBC = = -1.42 x 10-4m
BC EA2
AlCD = M3 = -1.58 x 10-4m
CD EA3
FN1 =20kN (+) FN2 =-15kN (-)
第二章拉伸压缩与剪切
2.1轴向拉压的内力计算 ◄2.2 画轴力图 ◄2.3拉（压）杆横截面上的应力 ◄2.4拉（压）杆斜截面上的应力 ◄2.5材料拉伸时的力学性能
第二章拉伸压缩与剪切
2.6材料压缩时的力学性能 ◄2.7失效、许用应力和强度计算 ◄2.8轴向拉压时杆件的变形 ◄2.9 应力集中的概念
(伸长)
变形后，两杆仍应铰结在一起。
A"
♦轴向拉压时杆件的变形
汨 AA
AAff
也 ― A A = AA = =
cos a 2 EA cos a
1.293mm (J)
A2
以BAi和GA?为半径作圆弧 相交于A" 过Ai，A?分别做两杆的垂线相交于A'
FN3 =- 50kN (-)
' =-0.3 mm
UB = A CD + X'BC
A/AD = A/AB + AlBc + A【CD = -0.47 x 10-4mm
♦轴向拉压时杆件的变形
例题2如图所示杆系由两根钢杆1和2组成。已知 杆 端铰接，两杆与铅垂线均成0=30°的角度，长度 均 为I = 2m，直径均为d=25mm，钢的弹性模量为 £=210GPa。设在点处悬挂一重物F=100 kN，试求
2.10剪切和挤压的实用计算
轴向拉压时杆件的变形
♦轴向拉压时杆件的变形
一、纵向变形
1.纵向变形 2.纵向应变
M = 11 -1
8 =T
♦轴向拉压时杆件的变形
1. 横向变形 、b = b1 - b
矽 2. 横向应变
ห้องสมุดไป่ตู้
=b1-b =业
bb
♦轴向拉压时杆件的变形
三、泊松比
S,
卩 卩 一 一 称为泊松比
♦轴向拉压时杆件的变形
解：⑴列平衡方程。
Fx = 0 FN2 sin a - FN1 sin a = 0
Fy - 0 FN1cosa + FN2 cos a - F =
0
‘,
得到.FN1 = FN2 =-
F 2cosa
♦轴向拉压时杆件的变形
(2)计算两杆的变形。 B
"22 = FEAL = lEAcosa
= =
卩 8
E
迫爾 0< “ 0.5 铜泡沫“ =-0.39 G =
♦轴向拉压时杆件的变形
兀■胡克定律
Fl △ l xd A
Thomas Young
罗伯特•胡克
E弹性模量 EA抗拉（压）刚度
♦轴向拉压时杆件的变形
五、杆件的变形计算
例题1图示为一变截面圆杆4BCD。已知
F1=20kN , F2=35kN , F3=35kN , /1=/3=300mm , /2=400mm , 4=12mm , ^2=16mm , ^3=24mmo 试
求：8截面的位移及"杆的变形。
♦轴向拉压时杆件的变形
50
♦轴向拉压时杆件的变形
解：B截面的位移及杆的变形
MAB = ^111 = 2.53 x 10-4m
AB EA1
AlBC = = -1.42 x 10-4m
BC EA2
AlCD = M3 = -1.58 x 10-4m
CD EA3
FN1 =20kN (+) FN2 =-15kN (-)
第二章拉伸压缩与剪切
2.1轴向拉压的内力计算 ◄2.2 画轴力图 ◄2.3拉（压）杆横截面上的应力 ◄2.4拉（压）杆斜截面上的应力 ◄2.5材料拉伸时的力学性能
第二章拉伸压缩与剪切
2.6材料压缩时的力学性能 ◄2.7失效、许用应力和强度计算 ◄2.8轴向拉压时杆件的变形 ◄2.9 应力集中的概念
(伸长)
变形后，两杆仍应铰结在一起。
A"
♦轴向拉压时杆件的变形
汨 AA
AAff
也 ― A A = AA = =
cos a 2 EA cos a
1.293mm (J)
A2
以BAi和GA?为半径作圆弧 相交于A" 过Ai，A?分别做两杆的垂线相交于A'
FN3 =- 50kN (-)
' =-0.3 mm
UB = A CD + X'BC
A/AD = A/AB + AlBc + A【CD = -0.47 x 10-4mm
♦轴向拉压时杆件的变形
例题2如图所示杆系由两根钢杆1和2组成。已知 杆 端铰接，两杆与铅垂线均成0=30°的角度，长度 均 为I = 2m，直径均为d=25mm，钢的弹性模量为 £=210GPa。设在点处悬挂一重物F=100 kN，试求
2.10剪切和挤压的实用计算
轴向拉压时杆件的变形
♦轴向拉压时杆件的变形
一、纵向变形
1.纵向变形 2.纵向应变
M = 11 -1
8 =T
♦轴向拉压时杆件的变形
1. 横向变形 、b = b1 - b
矽 2. 横向应变
ห้องสมุดไป่ตู้
=b1-b =业
bb
♦轴向拉压时杆件的变形
三、泊松比
S,
卩 卩 一 一 称为泊松比