数学建模――数值计算方法2PPT课件

反复计算，若迭代值 x k 有极限，则称迭代收敛。此时
极限值
x*
lim
k
xk
即为方程
x
(x)
的根。
其中：x 0 称为初始近似，或迭代初值; ( x ) 称为迭代函数;
xk1 (xk) 称为迭代公式;
这种逐步校正的过程称为迭代过程。
误差估计
如何控制迭代的结束？
xk xk1
误差限
收敛性： (x0) 1则迭代过程 xk1 (xk)具有局部收敛性。
ln2 起决定作用
迭代法
引例：求方程x3x10在 x 1.5附近的一个根。 （用六位有效数字计算）
解：首先将方程改写成 x 3 x 1的形式。 猜测 x0 1.5为方程的根，将其带入上式右端
得 x 13x 0 131 .5 1 1 .3 5 7 2 1 再取 x1 1.35721作为新的猜测值，又有
y
oa
f (x)
x0
x* (a,b) x* (x0,b) x* (x1,b) x* (x1, x2) x* (x3, x2) x* (x3, x4)
x*
b
x 1 x 3 x 4x 2
x
若事先给定的误差限为 ，则当
xkx* (ba)2k1 时，即可停止运算。
（2-7）
可估计所需二分的次数为：
k 1[ln(ba)ln]1
N
k1,2 处的函数值。
0 a x*
bx
若 f (xk) 0 ，则 x k 即为根，停止搜索。
若 f (xk ) 0 ，则向右再跨一步，计算f ( xk1 ) 。 若 f (xk ) 0 ，则确定一个缩小的有根区间[ xk 1 , xk ]。
该区间宽度等于步长h 。
优缺点： 优点： 原理简单，易实现。
芬森迭代法至少平方收敛，但若原迭代法本身已有二阶
或更高收敛速度时，使用斯蒂芬森迭代则加速效果不明
显。
牛顿迭代法
对于非线性方程 f (x) 0，若已知根 x * 的一个近似值
x k ，将 f ( x ) 在 x k 处展成一阶泰勒公式
f(x ) f(x k ) f(x k ) (x x k ) f2 ( !)(x x k ) 2
忽略高次项，有
f(x ) f(x k ) f(x k ) (x x k )
取直线方程 f(x k ) f(x k )(x x k ) 0 的根作为 非线性方程 f (x) 0新的近似根。
取直线方程 f(x k ) f(x k )(x x k ) 0 的根作为 非线性方程 f (x) 0新的近似根。
6 1.46588 0.00036
7 1.46570 0.00018
8 1.46563 0.00007
9 1.46560 0.00003
斯蒂芬森迭代法
注：
即令
yk (xk) zk (yk )
xk1
xk
(yk xk)2 zk 2yk xk
斯蒂芬森迭代对迭代函数 ( x ) 的收敛性没有要
求，有定理表明，只要满足(x*) 1，则由其构造的斯蒂
4 1.32494
仅取六位有效数字时，x7 x8,
x7
即认为 x*x71.32472是方程的根。
迭代法的原理
对于一般形式的方程 f (x) 0，用迭代法求根的具体
做法是：先将方程 f (x) 0 改写为便于迭代的等价形式
x (x)
再从某一数x 0 出发，利用公式 x k 1(x k)k0 ,1 ,2 ,
x 2 3x 1 1 31 .3 5 7 2 1 1 1 .3 3 0 8 6
按照公式xk13xk1 k0,1,2, 反复计算 结果如下表所示：
k
xk
0 1.5
k
xk
5 1.32476
1 1.35721
6 1.32473
2 1.33086
7 1.32472
3 1.32588
8 1.32472
原理：
取有根区间[ a
,
b
]
的中点x 0
a
2
b
，计算 f
( x 0 ) 的值，
若 f (x0) 0 ，则知方程的根即为x *
ab 2
；
若 f ( x 0 ) 与 f ( a ) 同号，则知 x * 在 x 0 的右侧，令a1x0,b1b
若 f ( x 0 ) 与 f ( a ) 异号，则知 x * 在 x 0 的左侧，令a1a,b1x0 所得新的有根区间[ a 1 , b1 ]长度为[ a , b ] 一半。
非线性方程的数值解法
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前言
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逐步搜索法
原理：设单值连续函数 f ( x ) 区间[ a , b ] y
有根，不妨设 f (a) 0 ，取定步长 h ，
f(x)
(例如取 h b a ) 依次计算点xk akh,
解直线方程得
x k1
xk
f (xk ) f ( xk )
即著名的牛顿公式。
例2-15：用牛顿迭代法求方程 xex 10在 0 . 5 附近的根。 解： 令 f(x)xex 1
则 f(x)exxex
故牛顿迭代格式为：
xk1xkff((x xk k))xkex x kk exx kk e1 xk
化简有
xk1
xk
xk exk 1xk
k0,1,2 k0,1,2
取 x0 0.5 迭代，计算结果如下： 表2-10
例： 对方程x3x210在初值x0 1.5 附近建立收敛 的迭代格式，并求解，要求精确到x3 x2 1
得迭代函数(x) 3 x2 1, 又(x) 2x ,
33 (x2 1)2
(x0)x01.50.45581
所以迭代收敛，故建立迭代格式
xk13xk 21,
计算结果如下：
k0,1,2
k
xk
0 1.5
xk1 xk
由题知， 1 104
2
1
1.48124 0.01876
故取 x* x9 1.4656，此时
2 1.47271 0.00853 3 1.46882 0.00389
x9x8
0.000031104. 2
4 1.46705 0.00177
5 1.46624 0.00081
缺点： h 不易确定， x k xk1
h 过大时容易漏掉某些根； h 过小时计算量增大。
因此，逐步搜索法一般用于初步确定根的位置。
区间二分法
使用条件：设函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上单调连续，
且 f(a)f(b)0,
则方程 f (x) 0在区间 ( a , b ) 内有惟一实根x * 。