数值分析全册完整课件
合集下载
数值分析学习课件
对任意 u ≠ 0 ∈ R n +1 ，必有 Φ u ≠ 0 。 则 u T B u = u T Φ T Φ u =|| Φ u || 2 > 0 2 若不然， 若不然，则 存在唯一解 ⇒ B为正定阵，则非奇异，所以法方程组存在唯一解。 为正定阵，则非奇异，所以法方程组存在唯一 n +1 存在一个 u ≠ 0 ∈ R 使得 Φ u = 0 … 即
则 (ϕ i , ϕ j ) =
∫
1 0
x i x j dx =
1 i + j+1
Hilbert阵！ 阵
若能取函数族Φ={ ϕ0(x), ϕ1(x), … , ϕn(x), … }， ， 两两（ 使得任意一对ϕi(x)和ϕj(x)两两（带权）正交， 和 两两 带权）正交， 改进： 改进： 对角阵！ 就化为对角阵 则 B 就化为对角阵！ (ϕ k , y ) 这时直接可算出a 这时直接可算出 k = (ϕ k , ϕ k ) 正交多项式的构造： 正交多项式的构造： 多项式的构造 取为k 多项式，为简单起见， 将正交函数族中的ϕk 取为 阶多项式，为简单起见，可取 ϕk 的首项系数为 1 。
①
总体上尽可能小 尽可能小。 这时没必要取 P(xi) = yi , 而要使 P(xi) − yi 总体上尽可能小。 常见做法： 常见做法：
m
不可导， 不可导，求解困难
太复杂
使 max | P ( x i ) − y i | 最小 /* minimax problem */ 1≤ i ≤ m 使 ∑ | P ( x i ) − y i | 最小 使 ∑ | P ( x ) − y | 最小 /* Least-Squares method */ 定义 最佳平方逼近：即连续型 逼近，在 || f ||2 = 最佳平方逼近：即连续型L-S逼近 平方逼近 逼近，
数值分析课件
辛普森方法
一种基于矩形法思想的数值积分方法 ，适用于计算定积分。
自适应辛普森方法
一种基于辛普森方法和梯形法的自适 应数值积分方法，能够根据函数性质 自动选择合适的积分策略。
常微分方程的数值求解
01
欧拉方法
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过逐步逼近的方式求解近 似解。
02
龙格-库塔方法
定积分是函数在区间上积分和的极限；不定积分是函数在 某个区间上的原函数。
02
应用领域
积分广泛应用于物理、工程、经济等领域，如求曲线下面 积、求解变速直线运动位移等。
03
数值计算方法
使用数值积分方法（如梯形法、辛普森法等）来近似计算 定积分和不定积分的值。这些方法将积分区间划分为若干 个小段，并使用已知的函数值和导数值来近似计算每个小 段的积分值，最后求和得到积分的近似值。
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过构造龙格-库塔曲线来 逼近解。
03
阿达姆斯-图灵 方法
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过构造阿达姆斯-图灵曲 线来逼近解。
04
自适应步长控制 方法
一种基于欧拉方法和龙格 -库塔方法的自适应步长 控制方法，能够根据误差 自动调整步长。
偏微分方程的数值求解
高斯消元法的步骤
1. 将方程组按照行进行排列，并将每个方程中的未知数 按照列排列。
2. 对于每个方程，选取一个未知数作为主元，并将其余 的未知数用主元表示。
3. 将主元所在的行与其他行进行交换，使得主元位于对 角线上。
4. 将主元所在的列中位于主元下方的元素消为0，从而得 到一个阶梯形矩阵。
线性方程组的解法
数值分析是一种工具，它可以帮助我 们更好地理解和解决实际问题，同时 也可以帮助我们更好地理解和应用数 学理论。
数值分析学习课件
§2.正交多项式
性质3. n次多项式 P (x)有n个互异实根，且全部(a, b)内。 n 性质4.设 P (x)的n个实根为x1 , x2 ,..., xn P + 1 (x) 的n+1 ，n n 个实根为 x1 , x2 ,..., xn1 ，则有
a x1 x1 x 2 x2 ...
{ j(x) = e kj x , ki kj } 对应指数多项式 /* exponential
polynomial */
§1.函数逼近的基本概念
定义 权函数：
①
离散型 /*discrete type */
根据一系列离散点 ( xi , yi ) (i 1, ... , n) 拟合时，在每一误
Pk(x)
kl kl
由 P0 1, P1 x 有递推 (k 1) Pk 1 (2k 1) xP kPk 1 k
k
0
1
2 3
P0 ( x) 1 P ( x) x 1
P2 ( x ) =
4
1 P3 ( x ) = (5 x3 - 3x) 2 1 P4 ( x ) = (35 x 4 - 30 x 2 + 3) 8
第三章
函数逼近
/* Approximation Theory */
第一讲
§1.函数逼近的基本概念
§2.正交多项式
§1.函数逼近的基本概念
已知 x1 … xm ; y1 … ym, 求一个简单易算的近 m 似函数 P(x) f(x) 使得 | P ( xi ) yi |2 最小。
i 1
已知 [a, b]上定义的 f(x)，求一个简单易算的 b 近似函数 P(x) 使得 a [ P( x) f ( x)]2 dx 最小。
数值分析ppt
例如：建立积分
1 xn
In
dx 0 x5
n 0,1, , 20
的递推关系式，研究它的误差传递。
解：由
In 5In1
1
xn
5xn1 dx
0 x5
1 xn1dx 1
0
n
和
I0
1 1 dx ln 6 ln 5 0 x5
可建立递推公式
1 In 5In1 n
n 1, 2, , 20
VIP专享文档下载特权自VIP生效起每月发放一次， 每次发放的特权有效期为1个月，发放数量由您购买 的VIP类型决定。
每月专享9次VIP专享文档下载特权， 自VIP生效起每月发放一次，持续有 效不清零。自动续费，前往我的账号 -我的设置随时取消。
服务特 权
共享文档下载特权
VIP用户有效期内可使用共享文档下载特权下载任意下载券标价的文档（不含付费文档和VIP专享文档），每下载一篇共享文
在四中误差中，模型误差和观测误差是客 观存在的，截断误差和舍入误差是由计算方法和 计算工具引起的，我们在研究数学问题的数值解 法时，主要是分析讨论计算方法的截断误差和舍 入误差。
例如 在计算机上计算级数
sin x x 1 x3 1 x5 1 x7 3! 5! 7!
取前三项计算 sin x 的近似值
e*( y) y*
( f )* x1
x1* y*
er*
(
x1)
(
f x2
)*
x2* y*
er*(x2 )
（2）
利用（1）、（2）两式，可以得到两数 和、差、积、商的绝对误差与相对误差传播 的估计式.
e* (x1 x2 ) e* (x1) e*(x2 )
数值分析课件
n=20 需要运算 多少次？
➢ 存贮量 ➢ 逻辑结构
n=100?
§2 误差来源与误差分析的重要性
一、误差的来源与分类
➢ 从实际问题中抽象出数学模型—— 模型误差
例:质量为m的物体，在重力作用下,自由下落， 其下落距离s 与时间t 的关系是：
m
d 2s dt2
mg
其中 g 为重力加速度。
➢ 通过测量得到模型中参数的值—— 观测误差
S2 计算 D a11a22 a21a12
S3 如果 D 0
则输出原方程无解或有无穷多组解的信息;
否则 D 0
x1
a22b1 a12b2 D
S4 输出计算的结果
x1, x2
x2
a11b2 a21b1 D
开始
输入
a11, a12 , a21, a22 , b1 , b2
D=a11a22-a12a21
（1）如果 D 0，则令计算机计算
x1 b1a22 b2a12 D , x2 b2a11 b1a21 D
输出计算的结果x1，x2。
（2）如果D= 0，则或是无解，或有无穷多组解。
令 D a11a22 a21a12
通过求解过程，可以总结出算法步骤如下：
S1 输入 a11, a12, a21, a22,b1,b2
➢ 求近似解 —— 方法误差 (截断误差）
例如，当函数 f 用 xTaylor多项式
Pn x
f
0
f 0
x 1!
f 0 x2
2!
f (n) 0 xn
n!
近似代替时，数值方法的截断误差是
（ 在 与x0之间）。
Rn x
f
x Pn x
数值分析PPT精品课程课件全册课件汇总
实际问题
模型设计
算法设计
程序设计 实例 求
2
上机计算
问题的解
牛顿法 x 1 ( x 2 ) k 1 K
2 xK
方程求根 x 2
2
程序设计
工科研究生公共课程数学系列
上机计算
解 x0 1 , x1 1.5, x3 1.417,
机动 上页 下页 首页 结束
数值分析的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数值积 分、非线性方程数值解、数值线性代数、常微和偏微数值解等。 数值分析研究对象以及解决问题方法的广泛适用性，著名流行 软件如Maple、Matlab、Mathematica等已将其绝大多数内容设 计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。 但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适 用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算 法，因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。
r x| x | e | r * r | * |x | |x |
上例中
x
x
10%与
y
y
0.1%分别为x与y的对误差
限，可见y 近似y的程度比x近似x的程度好。
3、有效数字 定义3 如果近似值x*的误差限是它某一数位的半个单位， 我们就说 x *准确到该位，从这一位起直到前面第一个非零 数字为止的所有数字称 x 的有效数字.
XX学院 XX 专业
数值分析
【全套课件】
授课人：XX XX
第 1章 绪 论
内容提要： 1.1 数值分析研究对象与特点 1.2 数值计算的误差 1.3 误差定性分析与避免误差危害
工科研究生公共课程数学系列
机动
数值分析全册完整课件
似算法的收敛性和数值稳定性； 要有好的计算复杂性，节省时间及存储量； 有数值实验，证明算法有效。
算法基本结构：顺序，分支，循环
算法描述：程序或流程图
常采用的处理方法：
构造性方法 离散化方法 递推化方法 迭代法 近似替代方法 以直代曲法 化整为零的处理方法 外推法
数学基础：
微积分的若干定理： 罗尔定理和微分中值定理； 介值定理及推论； 泰勒公式（一元、二元）； 积分中值定理；
设y=f(x)为一元函数，自变量准确值x*，对应函数准确 值y*=f(x*)，x误差为e(x)，误差限为ε(x)，函数近似值 误差e(y)，误差限为ε(y)。则（可由Taylor公式推得）
( y) | f '(x) | (x)
r
(
y)
|
xf |f
'(x) (x) |
|
r
(
x)
对于多元函数 z f (x1, x2 ,, xn )
定义1.1 设x*为某一数据的准确值，x为x*的一个近 似值，称e(x)=x-x*(近似值－准确值)为近似值x的绝对 误差，简称误差。
e(x) 可正可负，当e(x) >0时近似值偏大，叫强近似值；当e(x) <0时近似值偏小，叫弱近似值。
由于x*通常无法确定，只能估计其绝对误差值 不超过某整数ε(x)，即
设准确值
z* f (x1*, x2*,, xn* )
由多元函数Taylor公式，可得误差估计：
n
(z)
k 1
f xk
(xk )
相对误差限为：
r (z)
n k 1
xk
f xk
r (xk )
z
2. 算术运算的误差估计：
算法基本结构：顺序，分支，循环
算法描述：程序或流程图
常采用的处理方法：
构造性方法 离散化方法 递推化方法 迭代法 近似替代方法 以直代曲法 化整为零的处理方法 外推法
数学基础：
微积分的若干定理： 罗尔定理和微分中值定理； 介值定理及推论； 泰勒公式（一元、二元）； 积分中值定理；
设y=f(x)为一元函数，自变量准确值x*，对应函数准确 值y*=f(x*)，x误差为e(x)，误差限为ε(x)，函数近似值 误差e(y)，误差限为ε(y)。则（可由Taylor公式推得）
( y) | f '(x) | (x)
r
(
y)
|
xf |f
'(x) (x) |
|
r
(
x)
对于多元函数 z f (x1, x2 ,, xn )
定义1.1 设x*为某一数据的准确值，x为x*的一个近 似值，称e(x)=x-x*(近似值－准确值)为近似值x的绝对 误差，简称误差。
e(x) 可正可负，当e(x) >0时近似值偏大，叫强近似值；当e(x) <0时近似值偏小，叫弱近似值。
由于x*通常无法确定，只能估计其绝对误差值 不超过某整数ε(x)，即
设准确值
z* f (x1*, x2*,, xn* )
由多元函数Taylor公式，可得误差估计：
n
(z)
k 1
f xk
(xk )
相对误差限为：
r (z)
n k 1
xk
f xk
r (xk )
z
2. 算术运算的误差估计：
数值分析(浙江大学)全套课件
➢ Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
ห้องสมุดไป่ตู้ 学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系
教材 (Text Book) 数值计算方法 郑慧娆等 编著 （武汉大学出版社）
参考书目 (Reference)
➢ Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition)
数值分析 （英文版 第3版 ）
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
10
n
0
1
102
0
10 1 101 0
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数 学模型
1 e x2 dx 0
（第七章的内容：数值积分）
数值分析的特点
1。近似： 由此产生“误差”
在计算数学和应用数学中一个有趣的问题： 什么是零？
1 10 1 10
原点附近
1
在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵
10 1
但在计算数学中，它却是降秩矩阵 ？
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
ห้องสมุดไป่ตู้ 学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系
教材 (Text Book) 数值计算方法 郑慧娆等 编著 （武汉大学出版社）
参考书目 (Reference)
➢ Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition)
数值分析 （英文版 第3版 ）
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
10
n
0
1
102
0
10 1 101 0
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数 学模型
1 e x2 dx 0
（第七章的内容：数值积分）
数值分析的特点
1。近似： 由此产生“误差”
在计算数学和应用数学中一个有趣的问题： 什么是零？
1 10 1 10
原点附近
1
在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵
10 1
但在计算数学中，它却是降秩矩阵 ？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0
解： 将 ex2 作Taylor展开后再积分
1 eБайду номын сангаас x2 dx
1
(1
x2
x4
x6
x8
... ) dx
0
0
2 ! 3! 4!
1 1 1 1 1 1 1 1 ... 3 2! 5 3! 7 4! 9
S4
R4
取 1 e
x
2
dx
0
S4
,
则
R4
1 1 4! 9
1 1 5! 11
...
值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将 在操场上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列 队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里出现。
连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗 星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将 下达另一个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。
1.由实际问题应用有关知识和数学理论建立模型， -----应用数学任务
2.由数学模型提出求解的数值计算方法直到编程出结果， -----计算数学任务
计算方法是计算数学的一个主要部分，研究的即是后半 部分，将理论与计算相结合。
特点:
面向计算机，提供切实可行的算法； 有可靠的理论分析，能达到精度要求，保证近
计算方法
数值分析全册完整课件
教材和参考书
教材：
数值分析，电子科技大学应用数学学院，钟尔杰， 黄廷祝主编，高等教育出版社
参考书：
数值方法（MATLAB版）（第三版），John H. Mathews,Kurtis D. Fink 著，电子工业出版社；
数值分析（第四版），李庆扬，王能超，易大义编，清华 大学出版社；
能够与实际问题相结合，利用所学算法解决一些 实际的数学模型问题 ；
能够利用数学软件编程实现所学算法（可用 MATLAB，MATHEMATICA等）。
课程内容
引论（误差、有效数字等） 非线性方程求根 线性方程组的直接解法 线性方程组的迭代解法 数值插值方法 数据拟合方法 数值积分与数值微分 常微分方程的数值解法
高等代数的若干概念和结论： 多项式； 行列式； 初等矩阵； 特殊三角阵。
1.2 数值计算的误差与有效数字
1.2.1 误差来源与分类:
按来源分，分为固有误差和计算误差。
固有误差：建立模型时已存在。
•模型误差：建立数学模型时所引起的误差； •观测误差：测量工具的限制或在数据的获取时 随机因素所引起的物理量的误差。
称为截断误差
这里
R4
1 1 0.005 4! 9
S4
1
1 3
1 10
1 42
1 0.333
0.1 0.024
0.743
舍入误差 0.0005 2 0.001
1 e-x2 dx 的总体误差 0.005 0.001 0.006 0
误差的传播与积累：
•例：蝴蝶效应 —— 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍， 风和日丽的北京就刮起台风来了？！
NY
BJ
该问题是一病态问题。
据说，美军 1910 年的一次部队的命令传递是这样的:
营长对值班军官: 明晚大约 8点钟左右，哈雷彗星将可能 在这个地区看到，这种彗星每隔 76年才能看见一次。 命令所有士兵着野战服在操场上集合，我将向他们解释 这一罕见的现象。如果下雨的话，就在礼堂集合，我为 他们放一部有关彗星的影片。
似算法的收敛性和数值稳定性； 要有好的计算复杂性，节省时间及存储量； 有数值实验，证明算法有效。
算法基本结构：顺序，分支，循环
算法描述：程序或流程图
常采用的处理方法：
构造性方法 离散化方法 递推化方法 迭代法 近似替代方法 以直代曲法 化整为零的处理方法 外推法
数学基础：
微积分的若干定理： 罗尔定理和微分中值定理； 介值定理及推论； 泰勒公式（一元、二元）； 积分中值定理；
排长对班长: 明晚8点，营长将带着哈雷彗星在礼堂中出 现，这是每隔 76年才有的事。如果下雨的话，营长将命 令彗星穿上野战服到操场上去。
班长对士兵: 在明晚8点下雨的时候，著名的76岁哈雷将 军将在营长的陪同下身着野战服，开着他那“彗星”牌汽 车，经过操场前往礼堂。
1.2.2 误差与有效数字: 1. 绝对误差与相对误差：
计算方法（第二版），邓建中，刘之行，西安交通大学出 版社；
数值分析与实验学习指导，蔡大用编，清华大学出版社。
教学要求
了解计算方法研究的主要内容； 掌握计算方法的基本概念和基本原理，进一步提
高抽象思维和逻辑推理的能力；
掌握数值计算的各种方法（或算法）的基本思 想，进一步提高数值计算能力 ；
定义1.1 设x*为某一数据的准确值，x为x*的一个近 似值，称e(x)=x-x*(近似值－准确值)为近似值x的绝对 误差，简称误差。
计算误差：计算过程中出现的误差。
•截断误差：用数值方法求解数学模型时，用简单 代替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引起的 误差；
例如：
ex 1 x x2 ... xn ...
2!
n!
Sn
(x)
1
x
x2 2!
...
xn n!
由泰勒余项定理得其截断误差为：
ex
Sn (x)
xn1 ex ,0 (n 1)!
• 计算方法是做什么用的？
输入复杂问题或运算
x,
ax,
ln x,
Ax b ,
b f (x)dx,
d f (x), ......
a
dx
近似解
计算机
计算 方法
研究对象：用计算机求解各种数学问题的数值计算
方法及其理论与软件实现。
计算机解决科学计算的过程：
实际问题数学模型数值计算方法程序设计结果
实际上述过程可分两部分：
说明：
学时： 授课48＋上机16 （课程设计）
成绩评定：
期末考试（60%） 半期考试（20%） 平时成绩（20%）
第一章 引论
第一章
引论
1.1 计算方法研究的对象与特点 1.2 数值计算的误差与有效数字 1.3 数值运算的误差估计 1.4 数值计算中的一些基本原则
1.1 计算方法研究的对象与特点
1
•舍入误差：计算机表示的数的位数有限，通常用 四舍五入的办法取近似值，由此引起的误差。
3.14159265
3.1415927
2 1.414213562
2 1.4142136
1 1 0.166666666 3! 6
1 0.16666667 3!
例：近似计算
1 e x2 dx （= 0.747…）
解： 将 ex2 作Taylor展开后再积分
1 eБайду номын сангаас x2 dx
1
(1
x2
x4
x6
x8
... ) dx
0
0
2 ! 3! 4!
1 1 1 1 1 1 1 1 ... 3 2! 5 3! 7 4! 9
S4
R4
取 1 e
x
2
dx
0
S4
,
则
R4
1 1 4! 9
1 1 5! 11
...
值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将 在操场上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列 队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里出现。
连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗 星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将 下达另一个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。
1.由实际问题应用有关知识和数学理论建立模型， -----应用数学任务
2.由数学模型提出求解的数值计算方法直到编程出结果， -----计算数学任务
计算方法是计算数学的一个主要部分，研究的即是后半 部分，将理论与计算相结合。
特点:
面向计算机，提供切实可行的算法； 有可靠的理论分析，能达到精度要求，保证近
计算方法
数值分析全册完整课件
教材和参考书
教材：
数值分析，电子科技大学应用数学学院，钟尔杰， 黄廷祝主编，高等教育出版社
参考书：
数值方法（MATLAB版）（第三版），John H. Mathews,Kurtis D. Fink 著，电子工业出版社；
数值分析（第四版），李庆扬，王能超，易大义编，清华 大学出版社；
能够与实际问题相结合，利用所学算法解决一些 实际的数学模型问题 ；
能够利用数学软件编程实现所学算法（可用 MATLAB，MATHEMATICA等）。
课程内容
引论（误差、有效数字等） 非线性方程求根 线性方程组的直接解法 线性方程组的迭代解法 数值插值方法 数据拟合方法 数值积分与数值微分 常微分方程的数值解法
高等代数的若干概念和结论： 多项式； 行列式； 初等矩阵； 特殊三角阵。
1.2 数值计算的误差与有效数字
1.2.1 误差来源与分类:
按来源分，分为固有误差和计算误差。
固有误差：建立模型时已存在。
•模型误差：建立数学模型时所引起的误差； •观测误差：测量工具的限制或在数据的获取时 随机因素所引起的物理量的误差。
称为截断误差
这里
R4
1 1 0.005 4! 9
S4
1
1 3
1 10
1 42
1 0.333
0.1 0.024
0.743
舍入误差 0.0005 2 0.001
1 e-x2 dx 的总体误差 0.005 0.001 0.006 0
误差的传播与积累：
•例：蝴蝶效应 —— 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍， 风和日丽的北京就刮起台风来了？！
NY
BJ
该问题是一病态问题。
据说，美军 1910 年的一次部队的命令传递是这样的:
营长对值班军官: 明晚大约 8点钟左右，哈雷彗星将可能 在这个地区看到，这种彗星每隔 76年才能看见一次。 命令所有士兵着野战服在操场上集合，我将向他们解释 这一罕见的现象。如果下雨的话，就在礼堂集合，我为 他们放一部有关彗星的影片。
似算法的收敛性和数值稳定性； 要有好的计算复杂性，节省时间及存储量； 有数值实验，证明算法有效。
算法基本结构：顺序，分支，循环
算法描述：程序或流程图
常采用的处理方法：
构造性方法 离散化方法 递推化方法 迭代法 近似替代方法 以直代曲法 化整为零的处理方法 外推法
数学基础：
微积分的若干定理： 罗尔定理和微分中值定理； 介值定理及推论； 泰勒公式（一元、二元）； 积分中值定理；
排长对班长: 明晚8点，营长将带着哈雷彗星在礼堂中出 现，这是每隔 76年才有的事。如果下雨的话，营长将命 令彗星穿上野战服到操场上去。
班长对士兵: 在明晚8点下雨的时候，著名的76岁哈雷将 军将在营长的陪同下身着野战服，开着他那“彗星”牌汽 车，经过操场前往礼堂。
1.2.2 误差与有效数字: 1. 绝对误差与相对误差：
计算方法（第二版），邓建中，刘之行，西安交通大学出 版社；
数值分析与实验学习指导，蔡大用编，清华大学出版社。
教学要求
了解计算方法研究的主要内容； 掌握计算方法的基本概念和基本原理，进一步提
高抽象思维和逻辑推理的能力；
掌握数值计算的各种方法（或算法）的基本思 想，进一步提高数值计算能力 ；
定义1.1 设x*为某一数据的准确值，x为x*的一个近 似值，称e(x)=x-x*(近似值－准确值)为近似值x的绝对 误差，简称误差。
计算误差：计算过程中出现的误差。
•截断误差：用数值方法求解数学模型时，用简单 代替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引起的 误差；
例如：
ex 1 x x2 ... xn ...
2!
n!
Sn
(x)
1
x
x2 2!
...
xn n!
由泰勒余项定理得其截断误差为：
ex
Sn (x)
xn1 ex ,0 (n 1)!
• 计算方法是做什么用的？
输入复杂问题或运算
x,
ax,
ln x,
Ax b ,
b f (x)dx,
d f (x), ......
a
dx
近似解
计算机
计算 方法
研究对象：用计算机求解各种数学问题的数值计算
方法及其理论与软件实现。
计算机解决科学计算的过程：
实际问题数学模型数值计算方法程序设计结果
实际上述过程可分两部分：
说明：
学时： 授课48＋上机16 （课程设计）
成绩评定：
期末考试（60%） 半期考试（20%） 平时成绩（20%）
第一章 引论
第一章
引论
1.1 计算方法研究的对象与特点 1.2 数值计算的误差与有效数字 1.3 数值运算的误差估计 1.4 数值计算中的一些基本原则
1.1 计算方法研究的对象与特点
1
•舍入误差：计算机表示的数的位数有限，通常用 四舍五入的办法取近似值，由此引起的误差。
3.14159265
3.1415927
2 1.414213562
2 1.4142136
1 1 0.166666666 3! 6
1 0.16666667 3!
例：近似计算
1 e x2 dx （= 0.747…）