第一章 数值分析的基本概念(删减版)
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数值分析 知识点总结
数值分析知识点总结一、数值分析的基本概念1. 数值分析的对象数值分析的对象是现实生活中的数字数据和信息。
这些数据和信息可以来自各个领域，包括自然科学、社会科学、技术工程等。
例如，物理实验中测得的实验数据、经济管理中的统计信息、天气观测中的气象数据等，都是数值分析的对象。
2. 数值分析的目的数值分析的主要目的是通过对数值数据和信息的定量分析，发现其中的规律，提取有用的信息，做出科学的预测和决策。
例如，通过对某种药物的临床试验数据进行数值分析，可以得出这种药物的疗效和毒性情况，为临床医生的治疗决策提供依据。
3. 数值分析的方法数值分析采用数学和计算机科学的方法对数值数据和信息进行处理和分析。
它涉及的具体方法包括数值计算、插值与逼近、数值微分和积分、常微分方程数值解、数值线性代数等。
二、数值分析的基本内容1. 数值计算数值计算是数值分析的基本方法之一，它包括离散化、数值稳定性、误差分析等内容。
离散化是将连续问题转化为离散问题，这是数值计算的基本工作方式。
数值稳定性研究的是数值方法对误差的敏感程度，是评价数值方法好坏的重要指标。
误差分析则研究数值计算中产生的误差的成因和大小。
2. 插值与逼近插值与逼近是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过已知的数值数据估计未知函数的值。
插值是通过已知的离散数据点构造一个连续函数，使得这个函数通过这些数据点；逼近则是通过已知的离散数据点构造一个近似函数，使得这个函数与原函数的差尽量小。
3. 数值微分和积分数值微分和积分是数值分析的又一重要内容，它研究如何通过已知的函数值计算函数的导数和定积分值。
数值微分是通过函数值计算函数的导数值；数值积分则是通过函数值计算函数的定积分值。
这两项工作在科学计算中有着广泛的应用。
4. 常微分方程数值解常微分方程数值解也是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过数值方法计算常微分方程的近似解。
常微分方程是自然界和技术工程中经常出现的数学模型，因此其数值解的研究有着广泛的应用价值。
数值分析第一章PPT
1.1.2 计算数学与科学计算 现代科学的三个组成部分: 科学理论, 科学实验, 科学计算 科学计算 的核心内容是以现代化的计算机及数学软件 （Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. ）为工具，以数学 模型为基础进行模拟研究。
一些边缘学科的相继出现：
计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
取 0 e
1
x2
dx S4 ,
S4
R4
/* Remainder */
1 1 1 1 由留下部分 称为截断误差 /* Truncation Error */ 4! 9 5! 11 /* included terms */ 1 1 这里 R4 引起.005 0 由截去部分 4! 9 /* excluded terms */ 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 0 .743 引起 3 10 42 | 舍入误差 /* Roundoff Error */ | 0.0005 2 0.001
数值分析
第1章
数值分析与科学计算引论
§1.1 数值分析的对象、作用与特点
1.1.1 什么是数值分析 数值分析是计算数学的主要部分,计算数学是数学 科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的 数值计算方法及其理论与软件实现.这门课程又称为(数 值)计算方法、科学与工程计算等。
•
在电子计算机成为数值计算的主要工具的今天， 需要研究适合计算机使用的数值计算方法。使用计 算机解决科学计算问题时大致要经历如下几个过程:
造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
数值分析课件
辛普森方法
一种基于矩形法思想的数值积分方法 ，适用于计算定积分。
自适应辛普森方法
一种基于辛普森方法和梯形法的自适 应数值积分方法，能够根据函数性质 自动选择合适的积分策略。
常微分方程的数值求解
01
欧拉方法
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过逐步逼近的方式求解近 似解。
02
龙格-库塔方法
定积分是函数在区间上积分和的极限；不定积分是函数在 某个区间上的原函数。
02
应用领域
积分广泛应用于物理、工程、经济等领域，如求曲线下面 积、求解变速直线运动位移等。
03
数值计算方法
使用数值积分方法（如梯形法、辛普森法等）来近似计算 定积分和不定积分的值。这些方法将积分区间划分为若干 个小段，并使用已知的函数值和导数值来近似计算每个小 段的积分值，最后求和得到积分的近似值。
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过构造龙格-库塔曲线来 逼近解。
03
阿达姆斯-图灵 方法
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过构造阿达姆斯-图灵曲 线来逼近解。
04
自适应步长控制 方法
一种基于欧拉方法和龙格 -库塔方法的自适应步长 控制方法，能够根据误差 自动调整步长。
偏微分方程的数值求解
高斯消元法的步骤
1. 将方程组按照行进行排列，并将每个方程中的未知数 按照列排列。
2. 对于每个方程，选取一个未知数作为主元，并将其余 的未知数用主元表示。
3. 将主元所在的行与其他行进行交换，使得主元位于对 角线上。
4. 将主元所在的列中位于主元下方的元素消为0，从而得 到一个阶梯形矩阵。
线性方程组的解法
数值分析是一种工具，它可以帮助我 们更好地理解和解决实际问题，同时 也可以帮助我们更好地理解和应用数 学理论。
数值分析(第一章)修正版描述
2
例:为使 x 20 的近似值 x 的相对误差不超过 问查开方表时至少要取几位有效数字? * 解:设近似值 x 取n位有效数字可满足题设要求。 对于 x
1 103 2
*
20, 有x1 4
* r
1 1 1 n 1 n e 10 10 由定理,有 2 x1 8
1 1 1 n 3 10 10 令 8 解得 2
e* x* x * ，则称 * 为x* 近似x的一个绝对 差限，简称误差限。 误 . 实际计算中所要求的绝对误差，是指估计一个 尽可能小的绝对误差限。
*
2.相对误差及相对误差限
0) 的一个近似,称 定义 设 x 是准确值 x( *
*
为 x 近似x的一个绝对误差。在不引起混淆时，简称符 * * 号 er ( x )为 er * * * * 因 e e e x x
(1)有效数字
定义 :设x的近似值 x 有如下标准形式
*
x 10 0.x1x2 xn1 xp 9且x1 0, p n 其中m为整数, xi 0,1,2 ，
*
1 mn e x x 10 如果 2
* *
, * 则称 x 为的具有n位有效数字的近似数. 或称 x* 准确到 10m n 位,其中数字 x1 x2 xn ,分别 * x 被称为 的第一,第二,…第n个有效数字.
*
n
* i *
x * * f 'i ( x1 , x2 , i 1 y
n
* i *
x )er ( x )
* n
* i
绝对误差限和相对误差限满足传播不等式：
( y ) f 'i ( x , x ,
数值分析的所有知识点总结
数值分析的所有知识点总结一、数值分析的基本概念1.1 数值分析的定义和作用数值分析是研究利用计算机对数学问题进行数值计算的一门学科。
它旨在发展和分析数值计算方法，以解决实际问题中出现的数学模型。
数值分析的主要作用在于加快科学研究和工程设计的速度，提高计算精度和可靠性，以及发现新的科学规律和工程技术。
1.2 数值计算的基本步骤数值计算通常包括以下基本步骤：建立数学模型、选择适当的数值方法、编写计算程序、进行计算和分析结果。
其中，建立数学模型是数值计算的基础，它将实际问题抽象为数学公式或方程组的形式；选择适当的数值方法是指根据具体问题的特点，选择合适的数值计算方法进行求解；编写计算程序是指将选择的数值方法用计算机程序的形式实现；进行计算和分析结果是指利用计算机进行数值计算，并分析计算结果的准确性和可靠性。
1.3 数值分析的应用范围数值分析广泛应用于科学、工程、经济、金融等领域。
在科学研究中，数值分析常用于数学建模、实验数据处理、科学计算等方面；在工程领域，数值分析常用于工程设计、结构分析、流体力学、传热传质等方面；在经济金融领域，数值分析常用于风险评估、金融工程、市场预测等方面。
二、数值计算方法2.1 插值法插值法是利用已知的离散数据（如实验数据、观测数据）推导出未知的数据值的一种数值计算方法。
常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值等。
2.2 数值微分与数值积分数值微分是指利用离散数据计算函数的导数值的数值计算方法。
常用的数值微分方法包括差商法、中心差商法等。
数值积分是指利用离散数据计算函数的积分值的数值计算方法。
常用的数值积分方法包括复合梯形法、复合辛普森法等。
2.3 数值线性代数数值线性代数是研究线性代数问题的数值计算方法。
它涉及到线性方程组的求解、线性方程组的特征值和特征向量的计算、矩阵的LU分解、矩阵的QR分解等内容。
2.4 非线性方程求解非线性方程求解是研究非线性方程的数值计算方法。
数值分析-第一章ppt课件
数及其图形作出判断. 整理版课件
6
由分部积分法可得:
Ine101xndex
n=1,2,4,6, 8,10,15
e 1 x n ex|1 0 e 1 0 1 nn 1 x ex dx
1 nn 1 I (n 1 ,2 , ).
如果取 I0 = 1–e–1 = 0.63212056 (八位有效数字).
x1,2b
b24ac 2a
直接进行计算则得: x1=109, x2=0. 其中的x2=0明பைடு நூலகம்失真, 这也是由于舍入误差造成的.
整理版课件
8
§1 误差的来源
实际 问题
建立数 学模型
确定计 算方法
编程 上机
由抽象简 化产生的 模型误差 及参数的 观测误差
由计算方 法本身产 生的截断 误差或称 方法误差
er(x* )e(x x* )x xx*
同样, 由于精确值 x 经常是未知的, 所以, 需要另
外的近似表达形式. 我们注意如下公式的推导,
当
|
e ( x*) x*
|
较小时,
有
e(x* )e(x* )e(x*x )* (x)
x x*
xx*
[x*[ee((xx**))2]x] *1[e(exx(**x*)]2)
整理版课件
18
乘法相关的误差公式： 设 f (x1, x2)= x1 x2 . e ( x 1 x 2 ) x 2 e ( x 1 ) x 1 e ( x 2 ) e r ( x 1 x 2 ) e r ( x 1 ) e r ( x 2 ) |e ( x 1 x 2 ) | |e ( x 1 ) | |e ( x 2 ) | |e r ( x 1 x 2 ) | |e r ( x 1 ) | |e r ( x 2 ) |
第一章数值分析的基本概念(删减版)资料
| y%|| f (x1*, x2*,L , xn* ) f (x%1, x%2,L , x%n ) | ?
算法的数值稳定: 计算过程中舍入误差 不会被严重放大
误差的传播
线性情形用严格估计
n
| y%|| f ( x1* , x2* ,L , xn* ) f ( x%1, x%2 ,L , x%n ) | | ai | i i 1
研究过程 （理论上有解，而无求解公式或计算量过大难以用
手工实现的数学问题）
实际问题
数学模型
数值分析理论 程序设计
重点内容
研究并求解数学问题的数 值（近似）解的方法
上机计算
理论分析 科学实验 科学计算
计算的目的不在于数据，而在于洞察事物。 －－理查德·哈明
The purpose of computing is insight，not numbers. －－Richard Wesley Hamming
单位，则从这一位起，直到最左边的第一位非零数字为止的
所有数字都称为有效数字。并说x“准确”到这一位。
例1.3 (误差限和有效数字)
圆周率 =3.1415926。
x1=3.14; x 2=3.141; x 3=3.142; x 4=3.1414
解 (1)
|x1|
0.x51=100.321,4有130位1 有, 效数x字1=0；.15926102,
数值分析 Numerical Analysis
于佳平 东华大学
Email：jpyu@
教材
《数值分析及其MATLAB实验》
姜健飞 吴笑千 胡良剑编
上课(2--17周)
每周五 8:15-9:45 第二教学楼129室 每个单周五 10:05-11:35 图文3号机房 (图文 信息中心) 请按机号入座！
数值分析第一章
截断误差：
Rn(x)
f (n1)()xn1
(n1)!
舍入误差：机器字长有限
R 3 .14 0 1 .05 09 0 .数0 制转0 换、2 机器6 数.
二、误差、有效数字
定义1 绝对误差，简称误差： e*x* x,其x* 中 为准 x的 确 近 .值 似
误差限：*|e*|的一个上 . 界
数值分析
第1章 绪论
§1 数值分析的研究对象与特点
一、什么是数值分析
数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数 学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题 的数值计算方法及其理论与软件实现.
实际问题→数学模型→数值计算方法 →程序设计→上机计算求出结果
先看两个例子。 例1 求方程 x2=2sinx，在区间(1,2)内的根。 理论上可知显然找不出根的解析式，即无法求出
而 按 (2.相 1 )， m 对 3 ,误 n3 差绝 .2限对 相误 同 2 *差 ： 1 21限 05. r*0.005 /90..80000/00.0050.980
定理１设近似x*数 表示为
x*10m(a1a2101al 10(l1)) (2.)1
一般 Cp10认为是病 . 态 其他计算问题条 也件 要 ,考 数 考虑虑是否 . 病态
二、算法的数值稳定性
考虑初始数据误差在计算中的传播问题.
例 5计In算 e 10 1xnexdx,n0,1 , ,并估.计误
In 1 n n 1 I ,n 1 ,2 , , I01e1. (A) II0 n 1 0.6nI3n ,1 2,n11,2, . (B)II9n** 10.01n(168,In*4),n9,8, ( ,1I9. 1 2(110e110)0.06)8 定义一3个算法若输 误入 差 ,而数 在据 计有 算过 误差不,则 增称 长此算法是 的,否 数则 值是 稳不 定. 稳
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2. 截断误差与收敛性
截断误差：一个无限的数学极限过程用有限次运算 近似计算产生的误差。 例（无限） 2 n 近似计算（有限）
x
x x e 1 x 2! n!
x
x x e Sn ( x ) 1 x 2! n!
2
n
n1 x x e Sn ( x ) Rn ( x ) e (n 1)! 在0与x之间
Байду номын сангаас
数值算法的特点
有穷性 数值性 近似性
§1.2 误差分析的概念
1. 2. 3. 4. 误差限和有效数字 截断误差与收敛性 舍入误差和数值稳定性 数据误差和病态问题
1. 误差限和有效数字
误差和相对误差(定义1.1)
设x*是某量的准确值，x是x*的近似值 称x = x*-x 为x的误差或绝对误差。 | x*-x |, 称为x的(绝对)误差限或精度， rx = (x*-x)/x*称为x的相对误差 |(x*- x)/ x *| r, 称 r为x的相对误差限。 当 r 很小时， r /| x |。 误差的四则运算见后
应用：大数据搜索、金融、核实验、飞行器、 油田勘探、天气预报 ......
地球外部大气流动模型
飞机外形优化设计问题
数值分析课程的期望
掌握各种解决数学问题的数值方法 对近似解进行评估 在计算机上实现求解 仿真模拟
1. 例1. 1 (易计算问题)
(1) 求解线性方程组AX=b, 其中A为3阶可逆方 阵，X=(x1, x2, x3)T; (2) 求代数方程x2+x6=0在[0,4]上的根x*； (3) 已 知 y=P(x) 为 [x0, x1] 上 的 直 线 ， 满 足 P(x0)=y0, P(x1)=y1, x2(x0, x1), 求P(x2)； b 1 (4) 计算定积分 I a x dx (1<a<b)； (5) 解常微分方程初值问题 y ' x y ( 0) 0
b a
y ( 0) 0
解：例1.2同例1.1“差不多” ？
(1) 计算量非常大，31＊30！＊29次乘法； (2) 无法求得x*的解析形式，只能求近似值； y1 y0 y0 ( x2 x0 ) (3) f(x2) 试试； x1 x0 (4) 无法找到原函数，考虑近似方法； (5) 没有解析解，数值解法求取近似解。
I0=1-1/e I1 I2 … I20 误差很大(见书P8) ，
* * n = nn-1, 20 =(20!) 0 ，不稳定 In 1 nI n 1 ,
算法二：递推公式 In-1=(1In)/n, n= 20 ,,1
I20估计式中点 I19 … I1 I0 误差很小
截断误差（余项公式）
算法的收敛性：该算法总可以通过提高计算 量使得截断误差任意小。即 余项0
3. 舍入误差和数值稳定性
舍入误差: 由于机器字长的限制而产生的误差 机器数(二进制0-1,离散) 规格化浮点式: 阶码m（用二进制数表示）,字长t , 尾数 (1=1) 2m0.12t, m=12s
数值分析 Numerical Analysis
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每个单周五 10:05-11:35 图文3号机房 (图文 信息中心) 请按机号入座！
|| f ( x , x ,, x ) f ( x 1, x 2 ,, x n ) | ? | y
* 1 * 2 * n
算法的数值稳定: 计算过程中舍入误差 不会被严重放大
误差的传播
线性情形用严格估计
* * * || f ( x1 1 , x 2 , , x n ) | | ai | i | y , x2 , , xn ) f (x i 1 n
数值计算软件
Fortran
C++
Matlab
三类计算机算法
数值算法主要指与连续数学模型有关的算法， 如数值线性代数、方程求解、数值逼近、数 值微积分、微分方程数值解和最优化计算方 法等；(本课程内容) 非数值算法主要指与离散数学模型有关的算 法，如排序、搜索、分类、图论算法等； 软计算方法是近来发展的不确定性算法的总 称，包括神经网络计算、模糊逻辑、遗传算 法、蚂蚁算法等。
n-1 = n /n, 0 =20 /(20!)，稳定
4. 数据误差和病态问题
3 21 949 49 x x x 36 1 4 2 40 3 360 61 3 1061 3 x x x 1 2 3 4 144 10 720 3 769 3739 21 40 x1 10 x2 3600 x3 3600
计算误差限: 例如：| (a b) || a b | ?
| (ab) || b a a b | ?
例1.5 (数值稳定性)
估计
In x e
0
1
n x 1
dx ,
n=0, 1, …, 20
1 1 In ( n 1)e n1
算法一: 分部积分递推公式 In=1nIn-1, n=1,,20
例1.6 (病态问题)（保留4位有效数字）
1.361 x1 0.7500 x2 0.5250 x3 2.636 0.7500 x1 0.4236 x2 0.3000 x3 1.474 0.5250 x 0.3000 x 0.2136 x 1.039 1 2 3
等价定义：如果近似值x的绝对误差限不超过它某一位的半个 单位，则从这一位起，直到最左边的第一位非零数字为止的
所有数字都称为有效数字。并说x“准确”到这一位。
例1.3 (误差限和有效数字)
圆周率 =3.1415926。 x1=3.14; x 2=3.141; x 3=3.142; x 4=3.1414 解 (1) x1=0.314101 , x1=0.15926102, |x1| 0.5102,有3位有效数字； (2) x2=0.5926103, |x2|0.5102,有3位 有效数字； (3) x3= 0.4073103, |x3|0.5103,有4位 有效数字； (4) x4=0.1926103, |x4|0.5103, 有4位 有效数字。
x1=x2=x3=1 x1=1.2203, x2= -0.3084, x3= 2.2981. 病态问题: 很小的变化数据却导致解产生了很大的 变化。 区别：收敛性和数值稳定性主要源于算法，病态性 主要是模型本身的原因 。
§1.3 数值算法设计的一些要点
设计算法基本原则
计算精度：收敛性、稳定性 计算速度：计算量、收敛速度、多个CPU通信 计算空间：存储量
xi
条件数很大 病态问题
误差的四则运算
(ab)=ab, r(ab)= [a/(ab)]ra[b/(ab)]rb(相近数相减 不稳定) (ab) ba+ab r(ab) ra+rb (a/b) (1/b)a(a/b2)b (分母b 0不稳定) r(a/b) rarb
0
单精度32位(4字节): t=23,s=7, 符号2位, 表示范 围 2.910393.41038 (2-128 2128) 双精度64位(8字节) : t=52,s=10, 符号2位,表示 范围 5.56103091.7910308 (2-1024 21024) 上溢出和下溢出0
利用计算机！但是：
计算机的认识能力是有限的 （例如C语言不 能识别“积分”） 计算机的计算能力也是有限的（例如例2(1), 超级计算机“天河二号”每秒做33.86千万亿 次乘法，也需要591亿年）
解决方案：
可行且高效的算法+计算机
2 数值算法的特点：
计算机算法
对于给定的问题和设备（计算机），一个算法是 用该设备可理解的语言表示的，对解决这个问题 的一种方法的精确刻画。 计算机算法主要包含数值算法、非数值算法和软 计算方法三类。
准确位数和有效数字(定义1.2)
设x =0.a1 a 2an 10m (m为整数) (1.1) 其中a 1~an为0~9中一个数字且a 10。 如果 | x*-x|0.510k (1.2) 即x的误差不超过10-k位的半个单位 则称近似数x准确到第k位小数，并说x有m+k位 有效数字。
§1.1 数值算法的研究对象
研究对象
数学分析、高等代数、概率论与数理统计都是精确 数学，例如极限、导数、积分都是唯一的。 数值分析不同，我们面对的问题是理论上有解的， 但我们没有求解公式；另外一种情况，计算量过大， 我们手工难以实现的。这样的一类问题，实际上都 是无限的，但我们只能取有限项求解，因此得到的 是近似解。 近似解就有个近似程度，这个解就不是唯一的了， 精确度不同，解就不同，距离真解误差越小越好。
Dj
, j 1, 2, 3
, 其中D=|A|,
例1.2 (难计算问题)
(1) 求解线性方程组AX=B, 其中A为30阶可逆方 阵，X=(x1, x2,, x30)T; (2) 求超越方程xex =1在[0,1]上的根x*； (3) 已知y=f(x)为[x0, x1]上的函数，满足f(x0)=y0, f(x1)=y1, x2(x0, x1), 求f(x2)； 1 I (4) 计算定积分 ln x dx (1<a<b)； (5) 解常微分方程初值问题 y ' x y 2
非线性情形用线性近似
f * ( i , y )x i 1 xi
n
f * xi* ) ( i ) r ( y ) * r (x y i 1 xi
n
绝对误差传播主要取决于条件数 | ( f )* |