数值分析第5版第一章课件李庆扬著
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河海大学研究生数值分析课件
插值节点。其他点 x [a, b]称为插值点。 [a, b称为 ] 插值区间。
若 P(x) 是次数不超过n的多项式，即
P( x) a0 a1 x an x n
则称 P(x)为插值多项式。相应的方法称为多项式插值。 若 P(x) 是分段多项式，则称分段多项式插值。 常用的有拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插 值、埃特金插值、三次样条插值等。
定义2 称
f ( x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ] x1 x0
为 f (x)关于点
x0 , x1 的一阶均差；称
f [ x0 , x2 ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x2 x1
为 f (x)的二阶均差；一般的，称
f ( f ( x ,, x )) | ( ) | ( xk ) xk k 1
1 n n
例3 测量得某场地长 l 的值为 110 0.2 ，宽d m 的值为 80 0.1m ，试求面积 s = ld 的绝对误差限与 相对误差限。 （见黑板）
1.3 误差定性分析与避免误差危害
1 ( n1)
若 x 具有n位有效数字，则相对误差限
r
x 10 (a1 a2 10 an 10
) , a1 0
1 ( n 1) 10 2a1 1 ( n 1) 10 ，则 反之，若 x 的相对误差限 r 2a1
至少具有n位有效数字。 （证明见黑板）
其中数值计算方法是数值分析研究的对象。
主要包括：
（1）函数的数值逼近（包括插值法）；
（2）数值微分和数值积分；
（3）非线性方程（组）数值解； （4）数值线性代数（如线性方程组数值解、矩阵 特征值特征向量的计算）； （5）（偏）微分方程数值解。
若 P(x) 是次数不超过n的多项式，即
P( x) a0 a1 x an x n
则称 P(x)为插值多项式。相应的方法称为多项式插值。 若 P(x) 是分段多项式，则称分段多项式插值。 常用的有拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插 值、埃特金插值、三次样条插值等。
定义2 称
f ( x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ] x1 x0
为 f (x)关于点
x0 , x1 的一阶均差；称
f [ x0 , x2 ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x2 x1
为 f (x)的二阶均差；一般的，称
f ( f ( x ,, x )) | ( ) | ( xk ) xk k 1
1 n n
例3 测量得某场地长 l 的值为 110 0.2 ，宽d m 的值为 80 0.1m ，试求面积 s = ld 的绝对误差限与 相对误差限。 （见黑板）
1.3 误差定性分析与避免误差危害
1 ( n1)
若 x 具有n位有效数字，则相对误差限
r
x 10 (a1 a2 10 an 10
) , a1 0
1 ( n 1) 10 2a1 1 ( n 1) 10 ，则 反之，若 x 的相对误差限 r 2a1
至少具有n位有效数字。 （证明见黑板）
其中数值计算方法是数值分析研究的对象。
主要包括：
（1）函数的数值逼近（包括插值法）；
（2）数值微分和数值积分；
（3）非线性方程（组）数值解； （4）数值线性代数（如线性方程组数值解、矩阵 特征值特征向量的计算）； （5）（偏）微分方程数值解。
数值分析1.1讲义.
方程求根问题
在科学计算中常要遇到求解各种方程， 例如：
高次代数方程
超越方程
x 5－ 3 x ＋ 7 ＝ 0
x e cos 0 3
x
高次线性方程和超越方程看似简 单，但难于求其精确解。对于高次 代数方程，由代数基本定理知多项 式根的数目和方程的阶相同，但对 超越方程就复杂的多，如果有解， 其解可能是一个或几个，也可能是 无穷多个。
用计算机解决科学计算问题通常经历以 下过程
应 用 数 学 计 算 数 学
实际问题
数值计算方法
程序设计
数学模型
上机计算结果
2.数值分析研究的内容 — 函数的数值逼近(插值与拟合)
— 数值积分与数值微分
— 非线性方程数值解 — 数值线性代数
— 常微和偏微数值解，……
数值分析实质上是以数学问题为研 究对象，不像纯数学那样只研究数 学本身的理论，而是把理论与计算 紧密结合，着重研究数学问题的数 值方法及理论。
y ' 1 2 xy y (0) 0
常微分方程的一般解(解析解) 对一些典型的微分方程 ( 可分离变 量方程，一阶线性方程等等 ) ，有可 能找出它们的一般解表达式，然后 用初始条件确定表达式中的任意常 数，这样解即能确定。
y ' 2 x 例如 求解 y (0) 0
数值分析
Numerical Analysis
教
《数值分析》(第2版)
材 朱晓临 主编
中国科学技术大学出版社
《数值分析》（第5版） 李庆阳，王能超，易大义编著 清华大学大学出版社
参 考 书 目
《数值分析》（第3版） 颜庆津著， 北京航空航天大学 出版社 《Numerical Analysis》(Ninth ed.)
数值分析chap1 引论
* * ( y*) f ( x*)( x x*) f '( x ) ( x )
f '( x ) ( x ) f '( x ) x r ( x ) r ( y*) * * f (x ) f (x )
* * * * *
多元函数情况 设 y f ( x1 , x2 , , xn ) ，则 y* f ( x1*, x2*, , x n*) 由多元函数的Taylor展开，得
平时50%
考勤10% 课堂讨论30% 课后习题10%
考试50%
笔、习题本 笔记本电脑并安装Matlab 自行组团：每组2-4人
电子秤标定（输出电压由传感器所承受压力决 定）
目前仅有50g，100g，200g，500g标准砝码各一， 如何对500g以内的任意质量的物体给出质量数 据？
相对误差
绝对误差与精确值x的比值
定义1.3
e xx er ( x ) x x
* *
*
* * e ( x 称为相对误差， r ) 简记为 er
x未知时,可用
* * e x x er* * x x*
相对误差限
定义1.4 设存在一个正数
r ，使
e x x er r x x x
解：e =3.141592653…－3.14=0.001592653…<0.005。
e =3.141592653…－3.141=0.000592
-3.141=3.141592…-3.141
≤0.000592
<0.005 =1/2 10-2
算法的评价—性能 vs 价格、产出 vs 投入
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章：数值分析导论1. 解答：数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。
它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。
数值分析的目标是通过近似的方式求解数学问题，其结果可能不是完全精确的，但是能够满足工程或科学应用的要求。
2. 解答：数值分析在实际应用中起着重要的作用。
它可以用于求解复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。
数值分析是科学计算和工程计算的基础，对许多领域都有着广泛的应用，如物理学、经济学、生物学等。
3. 解答：数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。
与解析方法相比，数值方法一般更加灵活和高效，可以处理一些复杂的数学问题。
数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。
4. 解答：计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。
在数值计算中，由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因素，都会导致计算误差的产生。
计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。
第二章：数值误差分析1. 解答：绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。
例如，对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其绝对误差为| x - x_0 |。
绝对误差可以衡量数值近似解的精确程度，通常被用作评估数值计算方法的好坏。
2. 解答：相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。
对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其相对误差为| (x - x_0) / x_0 |。
相对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度，常用于评估数值计算方法的收敛速度。
3. 解答：舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。
计算机中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数，因此在进行数值计算过程中，舍入误差不可避免地会产生。
舍入误差会导致计算结果与精确结果之间存在差异。
4. 解答：误差限度是指对于给定的数值计算问题，所能容忍的误差范围。
数值分析 李庆扬ppt课件
x
x xA xA
➢ 定义2.2 绝对误差界、相对误差界
若 x ，x则A 称 为A绝对误差界，简称 误A 差界
称 为A 相对误差界, 记为 . xA
r
；.
数值分析14
数值分析
➢定义2.3 有效数字 /* significant digits */
用|为x科有 学nx计A 位|数 有（法0效即.，5数 记的字10截，k 取精n按确x A 四到 舍 五（a。1 n入其0 k 规中 则0 ）.a ）1 ，a . 则2 若称a n
离散集合（部分有理数），此集合的数称为机器数.
浮点数：
这种允36许.83小=数0.3点68位3×置1浮02动=0的.03表68示3×法1称03为数的 浮点形式。
机器数 x 的二进制浮点形式为: 尾数
x 2k0 .12 t
阶
其中， k 12 s(j { 0 ,1 } )
阶的位数
；.
数值分析19
数值分析
促使一些边缘学科的相继出现： 计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
；.
4 数值分析
数值分析
实际问题
建立数学模型
数值分析提出算法
程序 设计
分析结果并对实际问题进行解释说明
编程上机计算
在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机直接求解，还必须寻找用计算机计算这 些数学模型的数值方法，即将数学模型中的连续变量离散化，转化成一系列相应的算法步 骤，编制出正确的计算程序，再上机计算得出满意的数值结果。
略去高阶项：
A A f( x 1 ,,x n ) f( x 1 ,,x n )
n j1
f
(x) xj
x xA xA
➢ 定义2.2 绝对误差界、相对误差界
若 x ，x则A 称 为A绝对误差界，简称 误A 差界
称 为A 相对误差界, 记为 . xA
r
；.
数值分析14
数值分析
➢定义2.3 有效数字 /* significant digits */
用|为x科有 学nx计A 位|数 有（法0效即.，5数 记的字10截，k 取精n按确x A 四到 舍 五（a。1 n入其0 k 规中 则0 ）.a ）1 ，a . 则2 若称a n
离散集合（部分有理数），此集合的数称为机器数.
浮点数：
这种允36许.83小=数0.3点68位3×置1浮02动=0的.03表68示3×法1称03为数的 浮点形式。
机器数 x 的二进制浮点形式为: 尾数
x 2k0 .12 t
阶
其中， k 12 s(j { 0 ,1 } )
阶的位数
；.
数值分析19
数值分析
促使一些边缘学科的相继出现： 计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
；.
4 数值分析
数值分析
实际问题
建立数学模型
数值分析提出算法
程序 设计
分析结果并对实际问题进行解释说明
编程上机计算
在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机直接求解，还必须寻找用计算机计算这 些数学模型的数值方法，即将数学模型中的连续变量离散化，转化成一系列相应的算法步 骤，编制出正确的计算程序，再上机计算得出满意的数值结果。
略去高阶项：
A A f( x 1 ,,x n ) f( x 1 ,,x n )
n j1
f
(x) xj
《数值分析》李庆杨,第五版第1章课件
取3位
x3 * 3.14,
3 * 0.002,
取5位
x5 * 3.1416, 5 * 0.000008,
它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即
1 10 2 , 2 1 π 3.1416 10 4. 2 π 3.14
18
定义2
若近似值 x * 的误差限是某一位的半个单位，
例2说明有效位数与小数点后有多少位数无关.
23
从(2.2)可得到具有 n 位有效数字的近似数 x *，其绝对 误差限为
1 * 10 m n 1 , 2
在 m相同的情况下， n 越大则 10 m n 1 越小，故有效位数越 多，绝对误差限越小.
x x*
1 10 m n 1. 2
(2.1)
* r
x x* x*
0.5 10 m n 1 1 10 n 1 ; a1 10 m 2a1
反之，由
1 x x * x * (a1 1) 10 10 n 1 2(a1 1)
* r
m
0.5 10mn 1 ,
该位到 x *的第一位非零数字共有 n位，就说 x *有 n位有效
数字. 表示为
x* 10 m (a1 a2 10 1 an 10 ( n 1) ), （2.1）
其中 ai (i 1,, n)是0到9中的一个数字，a1 0, m为整数， 且
1 x x * 10 m n 1. 2
* * ( x1 / x2 )
x
* 2 2
* ( x2 0).
29
一般情况下，当自变量有误差时函数值也产生误差， 其误差限可利用函数的泰勒展开式进行估计. 设 f (x)是一元函数， x 的近似值为 x *，以 f (x*)近
数值分析第五版_李庆扬
数值分析第五版_李庆扬数值分析第五版_李庆扬一、课程基本信息课程中文名称：数值分析课程英文名称：Numerical Analysis课程类别：专业基础课开课学期：秋适用专业：信息与计算科学；应用数学总学时：86学时（其中理论课56学时，上机实习30学时）总学分：5（理论课3学分；上机实习2学分）预修课程（编号）：数学分析，高等代数，常微分方程课程简介：本课程是大学本科信息与计算科学和应用数学专业的一门基础课，也是工科研究生的必修课。
本课程的主要内容是研究各种数学问题的数值计算方法的设计、计算误差分析以及有关理论和具体实现的一门数学课程。
是应用数学的重要分支之一。
建议教材：《计算方法》（二版）（邓建中、刘之行），西安，西安交通大学出版社，2001 参考书：[1]数值分析学习指导，关治编，出版社：清华大学出版社，出版时间：2008年；[2]数值分析，何汉林，梅家斌，科学出版社，2007年；[3]《数值计算引论》白峰杉高等教育出版社 2005年[4]《数值分析》（第五版）李庆扬易大义等清华大学出版社2008年[5]Numerical Analysis，R.Kress，世界图书出版公司20036、数值分析学习辅导习题解析，李宏、徐长发编，华中科技大学出版社，2001年。
二、理论课程教育目标通过本课程的教学使学生能了解现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本理论，系统掌握数值分析的基本概念和分析问题、解决问题的基本方法，为运用数值分析的理论知识并为掌握更复杂的现代计算方法打好。
三、理论教学内容与要求（含学时）第一章：计算方法的一般概念（4学时）本章教学内容：理解计算方法的意义、研究内容与方法，理解并掌握误差的概念（包括误差的来源、绝对误差、相对误差），掌握有效数字及舍入误差对计算的影响。
第二章：解线性方程组的直接法（8学时）本章教学内容：1、高斯消去法；选主元的高斯消去法；2、矩阵的LR分解；解三对角方程组的追赶法；解方程组的平方根法；矩阵的求逆；3、方程组的数；病态方程组的判断。
课件-数值分析(第五版)1-3章
2017/3/12
x x
f ( x) f ( x* ) f ( x)
x x
xf ( x) f ( x)
C p 10 即认为是病态
f ( x) x n
9 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
2. 算法的数值稳定性 定义3 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误 差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定 的。 例1.1：P.９ I n e
x 0.003
y 1
2017/3/12
1000
1.00314 , y * 1.003
6 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
注: 有效位数与小数点后有多少位无关； m相同情况下，有效位数越多，误差限越小； 相对误差及相对误差限是无量纲的，绝对误差及误差限是有量纲的。
数值计算 算法设计
数学软件
1.1 数值分析的对象、作用与特点
1 研究对象
用计算机求解数学问题的数值计算方法、理论及软件实现
实际问题 数学模型 数值计算方法 程序设计（数学软件） 上机计算求出结果
应用数学
计算数学即数值分析
数值分析（计算方法） 插值与函数逼近（2、3）数值微分与数值积分（4） 的研究对象
第一章习题
1, 5,７,12,1４
谢
谢 !
2017/3/12
14 第1章 数值分析与科学计算引论
第2章 插值法
引言
拉格朗日（Lagrange）插值 均差与牛顿（Newton）插值 埃尔米特（Hermite）插值 分段低次插值 三次样条插值
x x
f ( x) f ( x* ) f ( x)
x x
xf ( x) f ( x)
C p 10 即认为是病态
f ( x) x n
9 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
2. 算法的数值稳定性 定义3 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误 差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定 的。 例1.1：P.９ I n e
x 0.003
y 1
2017/3/12
1000
1.00314 , y * 1.003
6 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
注: 有效位数与小数点后有多少位无关； m相同情况下，有效位数越多，误差限越小； 相对误差及相对误差限是无量纲的，绝对误差及误差限是有量纲的。
数值计算 算法设计
数学软件
1.1 数值分析的对象、作用与特点
1 研究对象
用计算机求解数学问题的数值计算方法、理论及软件实现
实际问题 数学模型 数值计算方法 程序设计（数学软件） 上机计算求出结果
应用数学
计算数学即数值分析
数值分析（计算方法） 插值与函数逼近（2、3）数值微分与数值积分（4） 的研究对象
第一章习题
1, 5,７,12,1４
谢
谢 !
2017/3/12
14 第1章 数值分析与科学计算引论
第2章 插值法
引言
拉格朗日（Lagrange）插值 均差与牛顿（Newton）插值 埃尔米特（Hermite）插值 分段低次插值 三次样条插值
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764.5 x 765.5,
结果说明 x 在区间 [764.5, 765.5]内.
12
对于一般情形 x * x *，即
x * * x x * *,
也可以表示为
x x * *.
需要注意的是误差限的大小并不能完全表示近似值的好坏.
13
例如，有两个量 x 10 1 ， y 1000 5, 则
第 1章 数值分析与科学计算引论
1.1 数值分析的对象、作用与特点
1.2 数值计算的误差
1.3 误差定性分析与避免误差危害
1.4 数值计算中算法设计的技术
1.5 数学软件（略）
1
1.1
数值分析研究对象与特点
数值分析的定义： 数值分析也称计算数学，是数学科学的一个分支，主
要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理
1 x x * x * ( a1 1) 10 10 n 1 2( a1 1)
* r
m
0.5 10mn 1 ,
26
知 x *至少有 n 位有效数字. 定理说明，有效位数越多，相对误差限越小.
27
例3 要使 几位有效数字?
20 的近似值的相对误差限小于0.1%，需取
按定义， 上述各数具有5位有效数字的近似数分别是
187.93, 0.037856, 8.0000, 2.7183.
注意： 的5位有效数字近似数是8.0000，而不是8， x 8.000033 因为8只有1位有效数字.
21
如果以 m/s2 为单位，g 9.80m/s 2 , 例2 重力常数g， 若以km/s2为单位， ，它们都具有3位有效 g 0.00980km/s 2 数字， 因为按第一种写法
1 10 ( n 1) ; 2a1
* r
1 反之，若 x *的相对误差限 10 ( n 1) ， 2( a1 1)
* r
则 x* 至少具有 n 位有效数字.
25
证明 由(2.1)′可得
a1 10m x * (a1 1) 10m ,
当 x *有 n 位有效数字时 x* 10 m (a1 a2 10 1 al 10 (l 1) ), (2.1) x x* 0.5 10 m n 1 1 * n 1 r 10 ; m x* a1 10 2a1 反之，由
论与软件实现. 数值分析的主要内容： 本课程主要内容包括插值与数据逼近、数值微分与数 值积分、线性方程组的数值求解、非线性方程与方程组求 解、特征值计算、常微分方程数值解等.
2
虽然数值分析也是以数学问题为研究对象，但它不像
纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧 密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论. 数值分析是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身理 论体系的课程.
以上两种误差不在“数值分析”的讨论范围. 数值分析只研究用数值方法求解数学模型产生的误差. 当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求 它的近似解.
7
实际问题
数学模型
数值计算方法
上机计算求出结果
近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差.
8
例如，用泰勒(Taylor)多项式
f (0) f (0) 2 f ( n ) (0) n Pn ( x) f (0) x x x 1 ! 2! n!
设取 n位有效数字， 由定理1
1 10 ( n 1). 2a1
* r
由于
，就有 20 4.4 , 知 a1 4，故只要取 n 4
* r 0.125 103 103 0.1%,
即只要对
20 的近似值取4位有效数字，其相对误差限就
28
小于0.1%. 此时由开方表得 20 4.472 .
数值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点， 又有应用数学的广泛性与实际试验的高度技术性的特点， 是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.
3
数值分析的特点： 一、面向计算机，能根据计算机特点提供切实可行的 有效算法. 二、有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，
对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行
（2.2）
19
按这个定义， 如取 x* 3.14 作为 π 的近似值， x *就有3位有效数字，
取 x* 3.1416 π ， x * 就有5位有效数字.
20
例1
按四舍五入原则写03785551, 8.000033, 2.7182818.
1.2.3
数值运算的误差估计
* * * * 两个近似数 x1 与 x2 ，其误差限分别为 ( x1 ) 及 ( x2 )，
它们进行加、减、乘、除运算得到的误差限分别为
* * * * ( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 );
* * * * * * ( x1 x2 ) x1 ( x2 ) x2 ( x1 );
e* x * x, 知
e * e * e * ( x * x) x x* x* x
(e*) 2 x * ( x * e*) (e * / x*) 2 1 (e * / x*)
* 是 er 的平方项级，故可忽略不计.
相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限， 记作 ， 即
* r
* r
*
x*
.
16
根据定义，上例中 x 与 y 的相对误差限分别为
*x
x*
10%,
*y
y*
0.5%,
可见 y *近似 y的程度比 x *近似 x 的程度好.
17
当准确值 x位数比较多时，常常按四舍五入的原则得 到 x 的前几位近似值 x * ，例如
x π 3.14159265
x* 10,
* x 1;
y* 1000,
* y 5.
* 大 4 倍， 虽然 * 比 但 y x
* y / y* 5 / 1000 0.5%
比
* x / x* 1 / 10 10%
要小得多，这说明 y * 近似 y 的程度比 x * 近似 x的程度好. 所以除考虑误差的大小外，还应考虑准确值 x本身的大 小.
例2说明有效位数与小数点后有多少位数无关.
23
从(2.2)可得到具有 n 位有效数字的近似数 x *，其绝对 误差限为
1 * 10 m n 1 , 2
在 m相同的情况下， n 越大则 10 m n 1 越小，故有效位数越 多，绝对误差限越小.
x x*
1 10 m n 1. 2
问题. 这里主要讨论算法的截断误差与舍入误差，而截断 误差将结合具体算法讨论.
10
1.2.2
误差与有效数字
定义1 设 x为准确值， x * 为 x 的一个近似值，称
e* x * x
为近似值的绝对误差， 简称误差. 通常准确值 x是未知的，因此误差 e *也是未知的. 若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个
取3位
x3 * 3.14,
3 * 0.002,
取5位
x5 * 3.1416, 5 * 0.000008,
它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即
1 10 2 , 2 1 π 3.1416 10 4. 2 π 3.14
18
定义2
若近似值 x * 的误差限是某一位的半个单位，
该位到 x *的第一位非零数字共有 n位，就说 x *有 n位有效
数字. 表示为
x* 10 m (a1 a2 10 1 an 10 ( n 1) ), （2.1）
其中 ai (i 1,, n)是0到9中的一个数字，a1 0, m为整数， 且
1 x x * 10 m n 1. 2
14
把近似值的误差 e *与准确值 x 的比值
e * x * x x x
* 称为近似值 x *的相对误差，记作 er .
通常取 实际计算中，由于真值 x总是未知的，
e* x * x e x* x*
* r * 作为 x *的相对误差， 条件是 er
e* 较小， 此时利用 x*
15
上界，即
e * x * x *
则 * 叫做近似值的误差限， 它总是正数.
11
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 x ，读出和该长 度接近的刻度 x * ，x * ， 是 x的近似值，它的误差限是 0.5mm 于是
x * x 0.5mm.
则有 765 x 0.5 . 如读出的长度为 765mm ， 虽然从这个不等式不能知道准确的 x 是多少，但可知
1 g 9.80 10 2 , 2
按(2.1)的表示方法，m 0, n 3, 按第二种写法
g 0.00980 1 10 5 , 2
m 1 ( n 1) x* 10 ( a a 10 a 10 ), （2.1） 这里 m 3, n 3 1. 2 n
首先要建立数学模型， 它是对被描述的实际问题进行抽象、 简化而得到的，因而是近似的. 数学模型与实际问题之间出现 的误差称为模型误差.
6
实际问题
数学模型
在数学模型中往往还有一些根据
观测得到的物理量，如温度、长度、 电压等等，这些参量显然也包含误差. 这种由观测产生的误差称为 数学模型 实际问题
观测误差.
似 f ( x)，其误差界记作 ( f ( x*)) ， 利用泰勒展开
f ( x) f ( x*) f ( x*)( x x*) f ( ) ( x x*) 2 , 2 介于x, x * 之间，
结果说明 x 在区间 [764.5, 765.5]内.
12
对于一般情形 x * x *，即
x * * x x * *,
也可以表示为
x x * *.
需要注意的是误差限的大小并不能完全表示近似值的好坏.
13
例如，有两个量 x 10 1 ， y 1000 5, 则
第 1章 数值分析与科学计算引论
1.1 数值分析的对象、作用与特点
1.2 数值计算的误差
1.3 误差定性分析与避免误差危害
1.4 数值计算中算法设计的技术
1.5 数学软件（略）
1
1.1
数值分析研究对象与特点
数值分析的定义： 数值分析也称计算数学，是数学科学的一个分支，主
要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理
1 x x * x * ( a1 1) 10 10 n 1 2( a1 1)
* r
m
0.5 10mn 1 ,
26
知 x *至少有 n 位有效数字. 定理说明，有效位数越多，相对误差限越小.
27
例3 要使 几位有效数字?
20 的近似值的相对误差限小于0.1%，需取
按定义， 上述各数具有5位有效数字的近似数分别是
187.93, 0.037856, 8.0000, 2.7183.
注意： 的5位有效数字近似数是8.0000，而不是8， x 8.000033 因为8只有1位有效数字.
21
如果以 m/s2 为单位，g 9.80m/s 2 , 例2 重力常数g， 若以km/s2为单位， ，它们都具有3位有效 g 0.00980km/s 2 数字， 因为按第一种写法
1 10 ( n 1) ; 2a1
* r
1 反之，若 x *的相对误差限 10 ( n 1) ， 2( a1 1)
* r
则 x* 至少具有 n 位有效数字.
25
证明 由(2.1)′可得
a1 10m x * (a1 1) 10m ,
当 x *有 n 位有效数字时 x* 10 m (a1 a2 10 1 al 10 (l 1) ), (2.1) x x* 0.5 10 m n 1 1 * n 1 r 10 ; m x* a1 10 2a1 反之，由
论与软件实现. 数值分析的主要内容： 本课程主要内容包括插值与数据逼近、数值微分与数 值积分、线性方程组的数值求解、非线性方程与方程组求 解、特征值计算、常微分方程数值解等.
2
虽然数值分析也是以数学问题为研究对象，但它不像
纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧 密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论. 数值分析是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身理 论体系的课程.
以上两种误差不在“数值分析”的讨论范围. 数值分析只研究用数值方法求解数学模型产生的误差. 当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求 它的近似解.
7
实际问题
数学模型
数值计算方法
上机计算求出结果
近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差.
8
例如，用泰勒(Taylor)多项式
f (0) f (0) 2 f ( n ) (0) n Pn ( x) f (0) x x x 1 ! 2! n!
设取 n位有效数字， 由定理1
1 10 ( n 1). 2a1
* r
由于
，就有 20 4.4 , 知 a1 4，故只要取 n 4
* r 0.125 103 103 0.1%,
即只要对
20 的近似值取4位有效数字，其相对误差限就
28
小于0.1%. 此时由开方表得 20 4.472 .
数值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点， 又有应用数学的广泛性与实际试验的高度技术性的特点， 是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.
3
数值分析的特点： 一、面向计算机，能根据计算机特点提供切实可行的 有效算法. 二、有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，
对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行
（2.2）
19
按这个定义， 如取 x* 3.14 作为 π 的近似值， x *就有3位有效数字，
取 x* 3.1416 π ， x * 就有5位有效数字.
20
例1
按四舍五入原则写03785551, 8.000033, 2.7182818.
1.2.3
数值运算的误差估计
* * * * 两个近似数 x1 与 x2 ，其误差限分别为 ( x1 ) 及 ( x2 )，
它们进行加、减、乘、除运算得到的误差限分别为
* * * * ( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 );
* * * * * * ( x1 x2 ) x1 ( x2 ) x2 ( x1 );
e* x * x, 知
e * e * e * ( x * x) x x* x* x
(e*) 2 x * ( x * e*) (e * / x*) 2 1 (e * / x*)
* 是 er 的平方项级，故可忽略不计.
相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限， 记作 ， 即
* r
* r
*
x*
.
16
根据定义，上例中 x 与 y 的相对误差限分别为
*x
x*
10%,
*y
y*
0.5%,
可见 y *近似 y的程度比 x *近似 x 的程度好.
17
当准确值 x位数比较多时，常常按四舍五入的原则得 到 x 的前几位近似值 x * ，例如
x π 3.14159265
x* 10,
* x 1;
y* 1000,
* y 5.
* 大 4 倍， 虽然 * 比 但 y x
* y / y* 5 / 1000 0.5%
比
* x / x* 1 / 10 10%
要小得多，这说明 y * 近似 y 的程度比 x * 近似 x的程度好. 所以除考虑误差的大小外，还应考虑准确值 x本身的大 小.
例2说明有效位数与小数点后有多少位数无关.
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从(2.2)可得到具有 n 位有效数字的近似数 x *，其绝对 误差限为
1 * 10 m n 1 , 2
在 m相同的情况下， n 越大则 10 m n 1 越小，故有效位数越 多，绝对误差限越小.
x x*
1 10 m n 1. 2
问题. 这里主要讨论算法的截断误差与舍入误差，而截断 误差将结合具体算法讨论.
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1.2.2
误差与有效数字
定义1 设 x为准确值， x * 为 x 的一个近似值，称
e* x * x
为近似值的绝对误差， 简称误差. 通常准确值 x是未知的，因此误差 e *也是未知的. 若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个
取3位
x3 * 3.14,
3 * 0.002,
取5位
x5 * 3.1416, 5 * 0.000008,
它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即
1 10 2 , 2 1 π 3.1416 10 4. 2 π 3.14
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定义2
若近似值 x * 的误差限是某一位的半个单位，
该位到 x *的第一位非零数字共有 n位，就说 x *有 n位有效
数字. 表示为
x* 10 m (a1 a2 10 1 an 10 ( n 1) ), （2.1）
其中 ai (i 1,, n)是0到9中的一个数字，a1 0, m为整数， 且
1 x x * 10 m n 1. 2
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把近似值的误差 e *与准确值 x 的比值
e * x * x x x
* 称为近似值 x *的相对误差，记作 er .
通常取 实际计算中，由于真值 x总是未知的，
e* x * x e x* x*
* r * 作为 x *的相对误差， 条件是 er
e* 较小， 此时利用 x*
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上界，即
e * x * x *
则 * 叫做近似值的误差限， 它总是正数.
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例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 x ，读出和该长 度接近的刻度 x * ，x * ， 是 x的近似值，它的误差限是 0.5mm 于是
x * x 0.5mm.
则有 765 x 0.5 . 如读出的长度为 765mm ， 虽然从这个不等式不能知道准确的 x 是多少，但可知
1 g 9.80 10 2 , 2
按(2.1)的表示方法，m 0, n 3, 按第二种写法
g 0.00980 1 10 5 , 2
m 1 ( n 1) x* 10 ( a a 10 a 10 ), （2.1） 这里 m 3, n 3 1. 2 n
首先要建立数学模型， 它是对被描述的实际问题进行抽象、 简化而得到的，因而是近似的. 数学模型与实际问题之间出现 的误差称为模型误差.
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实际问题
数学模型
在数学模型中往往还有一些根据
观测得到的物理量，如温度、长度、 电压等等，这些参量显然也包含误差. 这种由观测产生的误差称为 数学模型 实际问题
观测误差.
似 f ( x)，其误差界记作 ( f ( x*)) ， 利用泰勒展开
f ( x) f ( x*) f ( x*)( x x*) f ( ) ( x x*) 2 , 2 介于x, x * 之间，