数值计算(计算方法第一章).
《数值计算方法》习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
数值计算方法第一章
第一章绪论本章以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法相关的基本概念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传播规律，最后，结合数值实验指出了算法设计时应注意的问题.§1*1引言计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，U的是在有限的时间段内利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。
由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各种各样的、复杂的•复杂性表现在如下儿个方面：求解系统的规模很大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数据处理等等，这样就使得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算结果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法.这门课程则是针对从各种各样的数学模型中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效的串行求解算法，它们包括(1)非线性方程的近似求解方法；(2)线性代数方程组的求解方法；(3)函数的插值近似和数据的拟合近似；⑷积分和微分的近似计算方法；(5)常微分方程初值问题的数值解法；(6)优化问题的近似解法；等等从如上内容可以看出，计算方法的显著特点之一是“近似”.之所以要进行近似计算，这与我们使用的工具、追求的LI标、以及参与计算的数据来源等因素有关.计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含有无穷多个数据，这样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算结果用机器数表示时就不可避免的引入了误差，称之为舍入误差.我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过程截断，从而产生截断误差.如e = l + ； +寺+…的计算是无穷过程，当用丄• 乙•®T +卜加…+ 2作为"的近似时，则需要进行有限过程的计算，但产生了截断误差当用计算机计算5时，因为舍入误差的存在，我们也只能得到5的近似值也就是说最终用/近似0,该近似值既包含有舍入误差，也包含有截断误差.当参与计算的原始数据是从仪器中观测得来时，也不可避免得有观测误差.由于这些误差的大量存在，我们得到的只能是近似结果，进而对这些结果的“可靠性”进行分析就是必须的，它成为计算方法的第二个显著特点.可靠性分析包括原问题的适定性和算法的收敛性、稳定性.所谓适定性问题是指解存在、惟一，且解对原始数据具有连续依赖性的问题.对于非适定问题的求解，通常需要作特殊的预处理，然后才能做数值计算.在这里，如无特殊说明，都是对适定的问题进行求解.对于给定的算法，若有限步内得不到精确解，则需研究其收敛性.收敛性是研究当允许计算时间越来越长时，是否能够得到越来越可靠的结果，也就是研究截断误差是否能够趋于零.对于给定的算法，稳定性分析是指随着计算过程的逐步向前推进，研究观测误差、舍入误差对计算结果的影响是否很大.对于同一类模型问题的求解算法可能不止一种，常希望从中选出高效可靠的求解算法.如我国南宋时期著名的数学家秦九韶就提出求〃次多项式陽於+©"心+…+%+兔值的如下快速算法t = a n_k；s = sx + t伙= 1,2,…它通过“次乘法和H次加法就计算出了任意n次多项式的值.再如幕函数x64可以通过如下快速算法计算出其值S = X ;s = s s；循环6次如上算法仅用了6次乘法运算，就得到运算结果.算法最终需要在计算机上运行相应程序，才能得到结果，这样就要关注算法的时间复杂度（汁算机运行程序所需时间的度量）、空间复杂度（程序、数据对存储空间需求的度量）和逻辑复杂度（关联程序的开发周期、可维护性以及可扩展性）.事实上，每一种算法都有自己的局限性和优点，仅仅理论分析是很不够的，大量的实际计算也非常重要，结合理论分析以及相当的数值算例结果才有可能选择出适合自己关心问题的有效求解算法.也正因如此，只有理论分析结合实际计算才能真正把握准算法.§1.2误差的度■与传播一、误差的度量误差的度量方式有绝对误差、相对误差和有效数字.定义1・1用/作为量x的近似，则称为近似值F的绝对误差. 由于量x的真值通常未知，所以绝对误差不能依据定义求得，但根据测量工具或计算情况，可以估计出绝对误差绝对值的一个较小上界即有e(x") = x -x < £(1.1)称正数g为近似值F的绝对误差限，简称误差.这样得到不等式x"-s<x<x+s工程中常用X = X4 ±£表示近似值”的精度或真值X所在的范围.误差是有量纲的，所以仅误差数值的大小不足以刻划近似的准确程度.如量S = 123 ±0.5c〃= 1.23 ±0.005税=1230000± 5000/劝(1.2)为此，我们需要引入相对误差♦定义1・2用T H O作为量x的近似，称为近似值F的相对误X差.当”是X的较好近似时，也可以用如下公式计算相对误差e r(x) = ^^-(1.3)X显然，相对误差是一个无量纲量，它不随使用单位变化.如式(1.2)中的量$ 的近似，无论使用何种单位，它的相对误差都是同一个值.同样地，因为量x的真值未知，我们需要引入近似值F的相对误差限片X),它是相对误差绝对值的较小上界.结合式(1.1)和(1.3), F相对误差限可通过绝对误差限除以近似值的绝对值得到，即为给出近似数的一种表示法，使之既能表示其大小，乂能体现其精确程度, 需引入有效数字以及有效数的概念.定义1・3设量x的近似值F有如下标准形式X = ±10" xO.a{a^ …aj ・・a卩=±仏X1O"T +&2 X1O"L2 + …+勺X1O"L" + …+竹X1O"LP)(1.5)其中｛%｝红u｛O,l,…,9｝且绚HO,加为近似值的量级.如果使不等式/-X <-xlO w_/,（1.6）2成立的最大整数为“，则称近似值T具有"位有效数字，它们分别是①、①、… 和心.特别地，如果有n = p，即最后一位数字也是有效数字，则称/是有效数.从定义可以看出，近似数是有效数的充分必要条件是末位数字所在位置的单位一半是绝对误差限.利用该定义也可以证明，对真值进行“四舍五入”得到的是有效数.对于有效数，有效数字的位数等于从第一位非零数字开始算起，该近似数具有的位数.注意，不能给有效数的末位之后随意添加零，否则就改变了它的精度.例1・1设量兀十其近似值<=3.141 , X； =3.142 ,坨=丰.试回答这三个近似值分别有儿位有效数字，它们是有效数吗？解这三个近似值的量级m = \,因为有x； -x = 0.00059--- < 0.005 = 1 x 10-2 =lxl0*-3' 2 2x；—x = 0.0004 --< 0.0005 = -x 10-3 =-xl01-4- 2 2x； =3.1428571428 57成一x = 0.001 - ■ < 0.005 = 1 x 10-2 = - x 101-32 2所以彳和x；都有3位有效数字，但不是有效数.％；具有4位有效数字，是有效数.二、误差的传播这里仅介绍初值误差传播，即假设自变量带有误差，函数值的计算不引入新的误差.对于函数$ = /（羽,®…/”）有近似值:/ 利用在点（兀；,%；,…,%；）处的泰勒公式（Taylor Formula）,可以得到fl</） = y* -ya …工）（x；-兀）r-in=工乞（斤*；,・・工上（€）（1・7）r-l其中fi：=尘，£是兀的近似值，e（x；）是x；的绝对误差（/ = 1,2,式（1.7）ox i表明函数值的绝对误差近似等于自变量绝对误差的线性组合，组合系数为相应的偏导数值.从式（1・7）也可以推得如下函数值的相对误差传播近似计算公式/r£工犬（昭迟,…工）十耳（£）（1.8）/=iy对于一元函数y = 从式（1.7）和（1.8）可得到如下初值误差传播近似计算 公式e （QyX ）eX ）（1.9）-（）「）2 广（1.10）y式（1・9）表明，当导数值的绝对值很大时，即使自变量的绝对误差比较小，函数值 的绝对误差也可能很大.例1・2试建立函数y =/（州宀，…，兀）=州+厂+…+ X”的绝对误差（限）、相对 误差的近似传播公式，以及*: >0｝；；时的相对误差限传播公式.解 山公式（1・7）秋1.8河分别推得和的绝对误差、相对误差传播公式如下e （）「） Q £ 力（x ；，x ；，…,£ "（X ； ）=£ e （X/）r-1J -1e,（y X ）〜（x ；，€，…，兀：）二e,.（x ；）=£= J（x ；）/=iyf=i y进而有例1・3使用足够长且最小刻度为1mm 的尺子，量得某桌面长的近似值6/* =1304.3 mm,宽的近似值//= 704.8mm （数据的最后一位均为估计值）.试求 桌子面积近似值的绝对误差限和相对误差限.解长和宽的近似值的最后一位都是估计位，尺子的最小刻度是毫米，故有误 差限（1・11）i?（X ；）5£|心：）|述£（€）/=l/=1i=l于是有和的绝对误差限近似传播公式£（）「）心亍£（€）r-i当*: >o ｝；；时，由式（1.3）推得相对误差限的近似传播公式1>（€）”6（从号□ 牙，=max £r （x ； ）V —= max s r （x t ） \<i<n 伺 丫 l<r</i /=i\<i<n \<i<nl<r<w£（/） = 0.5 mm, £•（/?*） = 0.5 mm面积S = ab.山式(1・7)得到近似值匚=ab4的绝对误差近似为e(S*) a b*e(a*) + a*e(b')进而有绝对误差限£(S\ a ”*") + ”*(//) = 704.8x0.5 +1304.3 x 0.5 = 1004.55 mnr 相对误差限心、£(Sj 1004.55 nnnil n巧(S ) q —；— = ------------------- 2 0.0011 =0.11%S 1304.3x704.8§13数值实验与算法性能比较本节通过儿个简单算例说明解决同一个问题可以有不同的算法，但算法的性能并不完全相同，他们各自有自己的适用范围，并进而指出算法设计时应该注意的事项.算例1・1表达式丄-一 =—*—,在计算过程中保留7位有效数字，研究X x + \ x(x+l)对不同的X,两种计算公式的计算精度的差异.说明1： Matlab软件采用IEEE规定的双精度浮点系统，即64位浮点系统，其中尾数占52位，阶码占10位，尾数以及阶码的符号各占1位.机器数的相对误差限(机器精度)eps=2一52^2.220446X 10一”，能够表示的数的绝对值在区间(2.2250739X 1O-308, 1.797693X1O308)内，该区间内的数能够近似表达，但有舍入误差，能够保留至少15位有效数字.其原理可参阅参考文献[2, 4].分析算法1：y.W = --一和算法2：y?(A)= —1—的误差时，精确解用X X +1 ~ x(x+1)双精度的计算结果代替.我们选取点集｛*｝二中的点作为X,比较两种方法误差的差异.从图1」可以看出，当X不是很大时，两种算法的精度相当，但当X很大时算法2的精度明显高于算法1.这是因为，当x很大时，丄和丄是相近数，用X x+\算法1进行讣算时出现相近数相减，相同的有效数字相减后变成零，于是有效数字位数急剧减少，自然相对误差增大.这一事实也可以从误差传播公式(1.12)分析出.鉴于此，算法设计时，应该避免相近数相减.在图1.2中我们给出了当x接近-1时，两种算法的精度比较，其中变量x依次取为｛龙7-1｝=.从图中可以看出两种方法的相对误差基本上都为10-7,因而二者的精度相当.图1.1算例1」中两种算法的相对误差图（XTRD ）丈,5^ 1015 X Ki. x=prM图1.2算例1.1中两种算法的精度比较（JVT-1）算例1・2试用不同位数的浮点数系统求解如下线性方程组0.0000 LVj +2X 2 = 1<2x, + 3X 2 = 2说明2：浮点数系统中的加减法在运算时，首先按较大的阶对齐，其次对尾数 实施相应的加减法运算，最后规范化存入计算机.算法1首先用第一个方程乘以适当的系数加至第二个方程，使得第二个方程 的州的系数为零，这时可解出心；其次将兀带入第一个方程，进而求得“（在第 三章中称该方法为高斯消元法）.当用4位和7位尾数的浮点运算实现该算法， 分别记之为算法la 和算法lb.2D 0 -2X - ■ ■ ■ ■ ■A O.5-1.5-2.5-3.5-4.S 0.-1Z.-3.-4. . ・. . •算法2首先交换两个方程的位置，其次按算法1计算未知数(第三章中称其为选主元的高斯消元法).当用4位和7位尾数的浮点运算实现该算法，分别记之为算法2a和算法2b.方程组的精确解为=0.25000187 ...» x2 = 0.49999874 ...,用不同的算法计算出的结果见表1.1.表1.1对算例1.2用不同算法的讣算结果比较算例1.2X；g；）X；■巧(x；)算法la0.00000.10X1010.50000.25X IO-7算法2a0.25000.75 X10-70.50000.25X IO-7算法lb0.26000000.40X10-10.49999870.10X10-60.2500020O.5OX1O-80.50000000.25 X10-7对于算例1.2,表中的数据表明，当用4位尾数计算时，算法1给出错误的结果，算法2则给出解很好的近似.这是因为在实现算法1时，需要给第一个方程乘以-2/0.00001加至第二个方程，从而削去第二个方程中比的系数，但在计算孔的系数时需做如下运算• _2 -x2 + 3 = -0.4xlO6 +0.3x10*= -0.4x 106 +0.000003x 106(1.13) 0.00001对上式用4位尾数进行计算，其结果为一0.4X106.因为舍入误差，给相对较大的数加以相对较小的数时，出现大数“吃掉”小数的现象.计算右端项时，需做如下运算-~2 -x 1 + 2 = -0.2x 106 +0.2xl0*=-0.2xl06-F0.000002xl06(1.14) 0.00001同样出现了大数吃小数现象，其结果为-0.2X106.这样，得到的变形方程组‘0」xioj +0.2x10'x2=0.1x10"-0.4X106X2=-0.2X1 0&中没有原方程组中笫二个方程的信息，因而其解远偏离于原方程组的解.该算法中之所以出现较大数的原因是因为运算-2/0.00001,因而算法设计•中尽可能避免用绝对值较大的数除以绝对值较小的数.其实半分子的量级远远大于分母的量级时，除法运算还会导致溢出，计算机终止运行.虽从单纯的一步计算来看，大数吃掉小数，只是精度有所损失，但多次的大数吃小数，累汁起来可能带来巨大的误差，棋至导致错误.例如在算法la中出现了两次大数吃小数现象，带来严重的后果.因而尽可能避免大数吃小数的出现在算法设计中也是非常必要的.当用较多的尾数位数进行计算，舍入误差减小，算法1和2的结果都有所改 善，算法1的改进幅度更大些.算例13计算积分/” =「丄心有递推公式/,严丄-5/心（〃 =1,2,…），已知Jux + 5 n6取人的近似值为/（； =0.18232155 679395 ,按递推公式/：=丄一5/二计n算心W 1/39<J —^=5x(39+1/ 取厶的近似".00458333 333333 ,按递推公式 /二“丄一计算5 5 ）算法1和算法2的计算结果见表1.2.误差绝对值的对数图见图1.3. 表1・2算例1.3的计算结果n 算法1 n 算法2I:I ： -Ini;I ： -In18.8392e-OO2 1.9429e-016 39 4.5833e-003 3.9959e-004 2 5.8O39e-OO2 9.8532e-016 38 4.2115e-003 7.9919e-005 3 4.3139e-002 4.9197e-015 37 4.4209e-003 1.5984.005 4 3.4306e-002 2.4605e-014 36 4.5212e-003 3.1967e-006 5 2.8468e-002 1.2304e-013 35 4.6513e-003 6.3935e-007 62.4325e-002 6.1520e-013 34 4.7840e-0031.2787e-007 • • • • • •• •33 4.9255e-003 2.5574e-008 25 1.1740e+0011.1734e+001 32 5.0755e-003 5.1148e-009 26 -5.8664e+001 5.8670e+001 31 5.2349e-003.0230e-009 27 2.9336e+002 2.9335e+002 305.4046e-0032.0459e-01028 -1.4667e+003 .4668e+00329 7・3338e+003 7.3338e+OO330 -3.6669e+0043.6669e+004釆用IEEE 双精度浮点数，分别用如下两种算法计算人。
数值计算方法第一章答案
数值计算方法第一章答案
2.（1）3580
绝对误差限：；相对误差限：
经过四舍五入得到的近似值2580，其各位都是有效数字，故有四位有效数字。
（2）0.00476
绝对误差限：；相对误差限：
有三位有效数字。
（3）
绝对误差限：；相对误差限：
精确到小数点后两位，所以有四位有效数字。
或者
近似值有四位有效数字。
（4）也可理解为)
(对于14300000精确到小数点前四位)
有四位有效数字。
3.解：取为最好用
，
准确到小数点后第二位，有三位有效数字
准确到小数点后位，有单位有效数字。
6.解：
方法一：
，
取
（）
由此，取4位有效数字.
方法二（有问题，看看错在什么地方？）：
即
则取三位有效数字，
验证
满足要求，所以应取三位有效数字。
8.解：
又
或
11.解：由求根公式
解得
或。
数值计算方法教案
数值计算方法教案第一章：数值计算概述1.1 数值计算的定义与特点引言：介绍数值计算的定义和基本概念数值计算的特点：离散化、近似解、误差分析1.2 数值计算方法分类直接方法：高斯消元法、LU分解法等迭代方法：雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代等1.3 数值计算的应用领域科学计算：物理、化学、生物学等领域工程计算：结构分析、流体力学、电路模拟等第二章：误差与稳定性分析2.1 误差的概念与来源绝对误差、相对误差和有效数字误差来源：舍入误差、截断误差等2.2 数值方法的稳定性分析线性稳定性分析：特征值分析、李雅普诺夫方法非线性稳定性分析：李模型、指数稳定性分析2.3 提高数值计算精度的方法改进算法：雅可比法、共轭梯度法等增加计算精度：闰塞法、理查森外推法等第三章：线性方程组的数值解法3.1 高斯消元法算法原理与步骤高斯消元法的优缺点3.2 LU分解法LU分解的步骤与实现LU分解法的应用与优势3.3 迭代法雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法迭代法的选择与收敛性分析第四章：非线性方程和方程组的数值解法4.1 非线性方程的迭代解法牛顿法、弦截法等收敛性条件与改进方法4.2 非线性方程组的数值解法高斯-赛德尔法、共轭梯度法等方程组解的存在性与唯一性4.3 非线性最小二乘问题的数值解法最小二乘法的原理与方法非线性最小二乘问题的算法实现第五章：插值与逼近方法5.1 插值方法拉格朗日插值、牛顿插值等插值公式的构造与性质5.2 逼近方法最佳逼近问题的定义与方法最小二乘逼近、正交逼近等5.3 数值微积分数值求导与数值积分的方法数值微积分的应用与误差分析第六章：常微分方程的数值解法6.1 初值问题的数值解法欧拉法、改进的欧拉法龙格-库塔法（包括单步和多步法）6.2 边界值问题的数值解法有限差分法、有限元法谱方法与辛普森法6.3 常微分方程组与延迟微分方程的数值解法解耦与耦合方程组的处理方法延迟微分方程的特殊考虑第七章：偏微分方程的数值解法7.1 偏微分方程的弱形式介绍偏微分方程的弱形式应用实例：拉普拉斯方程、波动方程等7.2 有限差分法显式和隐式差分格式稳定性分析与收敛性7.3 有限元法离散化过程与元素形状函数数值求解与误差估计第八章：优化问题的数值方法8.1 优化问题概述引言与基本概念常见优化问题类型8.2 梯度法与共轭梯度法梯度法的基本原理共轭梯度法的实现与特点8.3 序列二次规划法与内点法序列二次规划法的步骤内点法的原理与应用第九章：数值模拟与随机数值方法9.1 蒙特卡洛方法随机数与重要性采样应用实例：黑箱模型、金融衍生品定价等9.2 有限元模拟离散化与求解过程应用实例：结构分析、热传导问题等9.3 分子动力学模拟基本原理与算法应用实例：材料科学、生物物理学等第十章：数值计算软件与应用10.1 常用数值计算软件介绍MATLAB、Python、Mathematica等软件功能与使用方法10.2 数值计算在实际应用中的案例分析工程设计中的数值分析科学研究中的数值模拟10.3 数值计算的展望与挑战高性能计算的发展趋势复杂问题与多尺度模拟的挑战重点解析本教案涵盖了数值计算方法的基本概念、误差分析、线性方程组和非线性方程组的数值解法、插值与逼近方法、常微分方程和偏微分方程的数值解法、优化问题的数值方法、数值模拟与随机数值方法以及数值计算软件与应用等多个方面。
计算方法(1)-数值计算中的误差
* r
(
x)
1)乘方运算结果的相对误差增大为原值 x的p倍,降低精度.
2)开方运算结果的相对误差缩小为原值
x的1/q倍,精度得到提高.
三.算例的误差分析
x
3
2 2
1 1
24
§6 算法的数值稳定性
一.算法稳定性的概念
凡一种算法的计算结果受舍入误差的影 响小者称它为数值稳定的算法.
例4 解方程 x2 (109 1)x 109 0
方程精确解: x1 10 9 , x2 1
利用求根公式
x1,2
b
b2 4ac 2a
x1 10 9 , x2 0
25
当多个数在计算机中相加时,最好从
绝对值最小的数到绝对值最大的数依次相
加,可使和的误差减小.
二.算法的改进
2 2
1 1
3
计算结 果
2 7/5
2 17 /12
1 ( 2 1)6
2 6
0.0040960
5
6
0.00523278
5
12
2 99 70 2
1
1 0.16666667
6
3
6
1
5
6
0.00523278
12 6
计算方法
1
第一章 数值计算中的误差
§1 引言 §2 误差的种类及其来源 §3 绝对误差和相对误差 §4 有效数字及其与误差的关系 §5 误差的传播与估计 §6 算法的数值稳定性
第一章 数值计算方法的基本概念
b−a [ f (a) + f (b)] 2
e = x − x∗
为近似值 x 的绝对误差，简称误差。
∗
（2.1）
一般情况下，我们只能知道近似值 x ，而不只准确值 x ，但可以根据测量工具或计算 的情况，对绝对误差的大小范围作出估计，即可以给出一个正数ε，使得
∗
e = x − x∗ ≤ ε
∗
(2.2)
1 1 11 ⎧ ⎪ x1 + 2 x 2 + 3 x3 = 6 ⎪ 1 1 13 ⎪1 ⎨ x1 + x 2 + x3 = 3 4 12 ⎪2 1 1 1 ⎪ x + x + x = 47 1 2 3 ⎪ 4 5 60 ⎩3
求解时，先将系数舍入成两位有效数字的数，变为
⎧ x1 + 0.5 x 2 + 0.33 x3 = 1.8 ⎪ ⎨ 0.50 x1 + 0.33 x 2 + 0.25 x3 = 1.1 ⎪0.33 x + 0.25 x + 0.20 x = 0.78 1 2 3 ⎩
按四舍五入取四位小数，可得 2 = 1.4142 ，前面已经提到，该数的绝对误差不超过末位 数字的半个单位，即
∗
2 − 1.4142 ≤
定义 2.1 设 x 的近似值
1 *10 − 4 = 0.00005 2
(a1 ≠ 0)
（2.6）
x ∗ = ±0.a1 a 2 L a n * 10 m
如果
x − x∗ ≤
§2
误差来源与误差的基本概念
2.1 误差的来源及分类 在数值计算中，误差是不可避免的。引起误差的因素很多，主要的原因有以下几种： 1.模型误差 解决实际问题的科学计算 ，首先要建立数学模型，即将实际问题经过 抽象合理简化，略去一些次要因素。因而它只是对所提出的问题的一种近似描述，包含有误 差，这种误差称为模型误差。 2.观察误差 在数学模型中总含有一些参数，如温度、长度、电压等，它们的值往往
数值分析与计算方法 第一章 插值法
同 理 ： (t) 至 少 有n 个 互 异 零 点；
(t) 至 少 有n 1 个 零 点 ；
(n1) (t ) 至 少 有 一 个 零 点 ； 即 (a ，b)，
(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x)n1(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x) (n
1)!
f (n1) ( ) K ( x) (n 1)! 0
x x0 x1 x2 xn ， y f ( x)？ y y0 y1 y2 yn
（1）有的函数没有表达式，只是一种表格函数，而我们需要的 函数值可能不在该表格中。
（2）如果函数表达式本身比较复杂，计算量会很大；
对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单
的函数 P x来近似代替 f ( x)，求 P x 的方法称为插值法。
Ln1( x)
为此我们考虑对Lagrange插值多项式进行改写； ——由唯一性，仅是形式上的变化
期望：Ln ( x) 的计算只需要对Ln1( x)作一个简单的修正.
考虑 h( x) Ln ( x) Ln1( x) h( x) 是次数 n 的多项式，且有
h( x j ) Ln ( x j ) Ln1( x j ) 0 ，j 0 ，1，2 ，L ，n 1 ；
)
3
)
1 2
(x
(
4
6
6
)( x
)(
4
3
)
3
)
1
(
x
6
)(
x
4
)
2
(
3
6
)(
3
4
)
3 2
第一章 数值计算方法 绪论
er
e x
因为
e x
e x
er
e x
x x
x
e(x x)
(e )2
xx x ( x e )
( 1
e x
)2
e x
相对误差也可正可负
相对误差限——相对误差的绝对值的上界
r
/* relative accuracy */
e x
x x x
r
Def 1.3 （有效数字/*Significant Digits*/ ）
0
e
记为
I
* 0
则初始误差
E0
I0
I
0
0.5 108
此公式精确成立
1
e
1 0
xn
e0
dx
In
1 e
1 x n e1 dx
0
1 e(n 1 )
In
1 n1
I 1
1
1
I 0
0.36787944
... ... ... ...
I 10
1
10
I 9
0.08812800
I 11
1 11
I 10
0.03059200
求函数y y(x)在某些点
xi
n i 1
的近似函数值
数学问题 数值问题
数值问题的来源：
实际 问题
建立数学模型
数值 求解 问题
设计高效、可 靠的数值方法
数值 问题
重点讨论
近似结果
输出
上机 计算
程序 设计
可 收敛性：方法的可行性
则数
靠 性
稳定性：初始数据等产生的误差对结果的影响
值分
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例1.1.1
求二次方程
ax bx c 0
2
的根。
求根公式为：
x1 , 2
b b 4ac 2a
2
开方运算不能在计算机上直接进行运算，必须 化为可在计算机上执行的等价运算。
即应化为公式：
x1 , 2
b sqrt(b 2 4ac) 2a
例1.1.2 已知 a0, a1, a2 ,…, an, x, 计算多项式：
离散型（统计型） 不确定型（随机型） (2) 算法设计：将数学问题数值化 例1.1.4 求解线性方程组 求解二次方程
Ax b
ax2 bx c 0
是数值问题
输入的数据是系数矩阵 A, 常数项向量 b与系数a , b, c
输出的数据是解向量 x, 和方程的解 x1 , x2
求解微分方程
边缘科学：计算物理，计算力学，计算化学， 计算生物学，计算经济学等。
计算数学的根本任务就是研究算法
算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算及 规定的运算顺序，最后求出未知量的数值解，这样构 成的完整计算步骤称为算法。 运算量(计算量)： 一个算法所需的乘除运算总次数 计算量是衡量一个算法好坏的重要指标!
• 研究数值算法的任务主要有：
(1) 构造计算机上可执行的算法 计算机上可执行的运算： 四则运算 逻辑运算
计算方法：把求解数学问题转化为按一定次序只 进行加、减、乘、除等基本运算——
数值方法。
(2) 构造计算复杂性好的算法 尽可能提高数值方法的计算速度和少占存贮空间。
(3) 构造可靠性好的数值方法 选择或研制能达到“数值问题”要求的计算精度 的数值方法，为此须研究数值问题的性态及数值 方法的稳定性。
• 计算数学：常称为数值分析或（数值）计算方法。 主要是研究如何运用计算工具（如计算 器、计算机等）去获得数学问题的数值 解的理论和方法。 对那些在经典数学中，用解析方法在理论上已作出 解的存在，但要求出他的解析解又十分困难，甚至 是不可能的这类数学问题，数值解法就显得不可缺 少，同时又十分有效。 当代实践表明：计算方法正在日趋明显地成为数学 与计算机科学的交叉性科学。
ax2 bx c 0
的根。
此问题本身可看成功能单一的模块 数值方法： 直接方法，即用求根公式 迭代方法（后面将介绍）
2 当 d b 4ac大于零或小于零时， 须考虑的细节：
需选用不同的公式 当d 0且 d b 时，会出现两个近 似数相减而影响有效数字的位数 当|a |较|b|和|c|相对小很多时， 有可能出现舍入误差增大
(4) 上机运行：数值模拟物理过程 (5) 计算结果再表示：如图像的可视化等 (6) 可靠性分析：分析计算结果的可靠性，必要时 重复上述过程。
其中算法设计是本书的核心内容。本书针对来源于 科学与工程中的数学模型问题，介绍计算机上常用 的数值方法的算法设计思想并进行算法分析。
•
本书研究内容：对如下五类问题探索数值求解方法 及其与算法有关的理论分析
bn an bk bk 1 x ak , k n 1, n 2, ,1, 0 p( x) b 0
运算量：
n.
例1.1.3
解线性方程组
Ax b,
其中， A (aij )nn , x ( x1, x2 ,, xn )T , b (b1, b2 ,, bn )T .
► 克兰姆(Cramer)法则：
xi
Ai A
, i 1, 2,, n.
运算量(乘除)： (n 1) n! (n 1) n (n 1)! (n 1) ►高斯消元法(Gauss)：
运算量(乘除)
1 1 3 2 理论上很“漂亮”的 n n n. Cramer法 3 则 3
p( x) an x an1x
n
n 1
a1x a0 .
直接计算：运算量（乘法）
秦九韶算法（1247年）：
1 n (n 1) 2 1 n(n 1). 2
p( x) x( x( x(an x an1 ) an2 ) a1 ) a0
“离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题 的主要方法，这也是计算方法的任务之一
(3) 程序设计：将数值问题机器化 软件开发方法： 结构化方法： 面向过程，“自顶而下，逐步细化” 对象，“自下向上”
例1.1.5
求二次方程
教
材： 《数值计算方法》 曾金平 主编 湖南大学出版社，2006 《计算方法》 邓建中，刘之行 编 西安交通大学出版社，2004 数学分析、高等代数、常微分方程
参考教材：
前期课程：
第一章
引 言
§1.数值计算方法及其主要研究内容
随着科学技术的飞速发展，科学计算愈来 愈显示出其重要性。科学计算的应用之广已遍 及各行各业，例如：气象资料的分析图像，飞 机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都 离不开科学计算。因此，作为科学计算的数学 工具－数值计算方法，已成为各高等院校数学、 物理和计算机应用专业等理工科本科生的专业 基础课，也是工科硕士研究生的学位必修课。
y 2 x 3 y( 0 ) 0
不是数值问题
输入的虽是数据 , 但输出的不是数据而是 函数y x 2 3x
将其变成数值问题，即将其“离散化”
即将求函数 y x2 3x
改变成求函数值 y( x1 ), y( x2 ),, y( xn ), x1 x2 xn
在计算机上并不适用！
取n 20
Gauss: 3060次
Cramer: (20+1)!(20-1) 5.11019 19 30.78年(1012 次 / 秒)
•一个计算过程主要包括如下几个环节：
(1) 数学建模：将工程问题数学化 工程中的数学模型一般可分为三类： 连续型（确定型） 本书重点讨论
(1) 非线性方程求根
(2) 求解线性代数方程组的数值方法
(3) 数值逼近：插值逼近和最佳逼近 (4) 数值微分和数值积分 (5) 常微分方程数值解法