北京理工大学数值分析课件
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数值分析学习课件
数值分析学习课件目录1. 内容概要 (2)1.1 数值分析的重要性 (2)1.2 课件内容概述 (3)2. 基础知识准备 (4)2.1 数学知识要点 (6)2.2 计算机基础 (7)2.3 编程基础 (8)3. 数值计算的基本原理 (10)3.1 误差理论 (11)3.2 近似计算 (13)3.3 算法稳定性与收敛性 (15)4. 数值计算方法与技巧 (16)4.1 插值与逼近 (17)4.2 微分与积分计算 (19)4.3 线性代数方程求解 (19)4.4 优化计算方法 (21)5. 数值分析的应用实例 (22)5.1 数据拟合与预测分析 (23)5.2 微分方程数值解法应用 (24)5.3 线性规划优化问题应用 (26)5.4 其他领域的应用实例 (27)6. 实践操作指导 (28)6.1 编程实践环境搭建 (30)6.2 数值计算软件使用介绍 (31)6.3 编程实践案例分析 (32)7. 课程总结与展望 (33)7.1 课程重点内容回顾 (34)7.2 数值分析发展趋势 (35)7.3 学习建议与展望 (37)1. 内容概要数值分析是一个研究数值算法的学科，旨在寻找有效的方法来求解大量的数学问题，特别是那些无法得到精确解或者求解起来过于繁杂的问题。
它在物理学、工程学、经济学、生物技术以及许多其他科学领域中都是至关重要的。
本课程将涵盖数值分析的核心概念和方法，重点是数值线性代数、数值积分、数值微分方程以及数值优化等经典主题。
学生将理解这些问题的数学背景，掌握相关的数值算法，并能够运用编程实现这些算法。
学生还将学习误差分析、收敛性理论以及如何选择和实现适合特定问题的数值方法。
在整个课程中，学生将通过实际问题的解决，如物理模型、金融模型、生物数据的分析和处理等，来应用所学的数值分析知识和技能。
通过本课程的学习，学生不仅能够加深对数值方法的理解，还能增强解决实际问题的能力。
1.1 数值分析的重要性数值分析是利用计算机解决数学问题的重要工具，在许多领域，例如物理、工程、金融、生物等，现实世界的问题常常难以用精确的解析解表达出来。
数值分析第一章PPT
1.1.2 计算数学与科学计算 现代科学的三个组成部分: 科学理论, 科学实验, 科学计算 科学计算 的核心内容是以现代化的计算机及数学软件 （Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. ）为工具，以数学 模型为基础进行模拟研究。
一些边缘学科的相继出现：
计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
取 0 e
1
x2
dx S4 ,
S4
R4
/* Remainder */
1 1 1 1 由留下部分 称为截断误差 /* Truncation Error */ 4! 9 5! 11 /* included terms */ 1 1 这里 R4 引起.005 0 由截去部分 4! 9 /* excluded terms */ 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 0 .743 引起 3 10 42 | 舍入误差 /* Roundoff Error */ | 0.0005 2 0.001
数值分析
第1章
数值分析与科学计算引论
§1.1 数值分析的对象、作用与特点
1.1.1 什么是数值分析 数值分析是计算数学的主要部分,计算数学是数学 科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的 数值计算方法及其理论与软件实现.这门课程又称为(数 值)计算方法、科学与工程计算等。
•
在电子计算机成为数值计算的主要工具的今天， 需要研究适合计算机使用的数值计算方法。使用计 算机解决科学计算问题时大致要经历如下几个过程:
造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
北理研究生数值分析---第九章课件
§1 Euler方法
1.Euler方法 以差分方程初值问题
y n 1 y n hf ( x n , y n ) y 0 y (a ) n 0 ,1, , N 1
的解作为微分方程初值问题的数值解，即
y(xn ) yn
称为Euler方法。
1.用Euler方法求初值问题
( k 0 ,1, 2 , )
y n 1 y n 1
(k )
( k 1)
h 2
f ( x n 1 , y n 1 ) f ( x n 1 , y n 1 )
(k )
( k 1 )
hL 2 hL 2
y n 1 )
k
( k 1)
y n 1
(k ) (0)
k
hL 2
( )
k p 1
hL 2
)
k
] y n 1 y n 1
(1 ) (0)
1
hL 2
y n 1 y n 1 0
(1 ) (0)
2.2 改进Euler法
y n 1 y n hf ( x n , y n ) h y n 1 y n f ( x n , y n ) f ( x n 1 , y n 1 ) 2 预测 校正
约定：不加特别说明，必有 （1） f ( x , y ) 连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，由此保证初始问题的解存在唯一。 （2）步长 h n x n 1 x n ( n 0 ,1, , N 1 ) 为常量 h 。
微分方程离散化的方法
(1) 用差商近似导数
y ( x n ) y ( x n 1 ) y ( x n ) h
北工大数值分析课件
定义：迭代法是通过不断迭代逼 近方程的解的方法。
SOR方法（Successive OverRelaxation Method）：在雅可比 法基础上引入松弛因子，以加速迭 代收敛速度。
优缺点：计算量较小，但需要合 适的初值和参数设置，否则可能 不收敛或收敛到非解。
矩阵分解：LU分解和QR分解
定义
矩阵分解是将一个复 杂的矩阵分解为几个 简单的、易于处理的 矩阵。
步骤
将增广矩阵通过行变换化为阶 梯形矩阵，然后回代求解未知
数。
适用范围
适用于系数矩阵是方阵且系数 矩阵或增广矩阵有唯一解的情
况。
优缺点
方法简单易懂，但对方阵来说 计算量较大，且容易出错。
迭代法：雅可比法和SOR方法
雅可比法：利用前一步的解作为 下一次迭代的初值，通过迭代逐 步逼近方程的解。
适用范围：适用于系数矩阵是稀 疏矩阵或系数矩阵有唯一解的情 况。
04 插值与拟合
多项式插值
定义
多项式插值是根据已知的离散数 据点，构造一个多项式来逼近或
插值这些数据点的方法。
常用方法
拉格朗日插值、牛顿插值、样条插 值等。
应用
在数值分析、数学建模、数据拟合 等领域有广泛应用。
样条插值
定义
样条插值是一种通过样条函数来 逼近或插值数据点的方法。样条 函数是一种分段定义的函数，在 每一段上具有连续的一阶和二阶
改善数值稳定性。
迭代法基础
迭代法原理
迭代法是通过不断迭代来 逼近真实解的一种方法。
迭代法的收敛性
迭代法是否收敛以及收敛 速度的快慢是评价迭代法 好坏的重要指标。
常见的迭代法
如雅可比迭代法、高斯-赛 德尔迭代法、松弛法等。
数值分析ppt课件
数值积分与微分
数值积分
通过数值方法近似计算定积 分，如梯形法则、辛普森法 则等。
数值微分
通过数值方法近似计算函数 的导数，如差分法、中心差 分法等。
常微分方程的数值解法
通过数值方法求解常微分方 程，如欧拉方法、龙格-库塔 方法等。
03
数值分析的稳定性与误差分析
误差的来源与分类
模型误差
由于数学模型本身的近 似性和简化，与真实系
非线性代数方法
非线性方程组的求解
通过迭代法、直接法等求解非线性方程组，如牛顿法、拟牛顿法 等。
非线性最小二乘问题
通过迭代法、直接法等求解非线性最小二乘问题，如GaussNewton方法、Levenberg-Marquardt方法等。
多项式插值与逼近
通过多项式插值与逼近方法对函数进行近似，如拉格朗日插值、 样条插值等。
机器学习与数值分析的交叉研究
机器学习算法
利用数值分析方法优化和改进机器学 习模型的训练和预测过程，提高模型 的准确性和效率。
数据驱动的模型
通过数值分析方法处理大规模数据集 ，提取有用的特征和模式，为机器学 习模型提供更好的输入和输出。
大数据与数值分析的结合
大数据处理
利用数值分析方法处理和分析大规模数 据集，挖掘其中的规律、趋势和关联信 息。
数值分析PPT课件
contents
目录
• 引言 • 数值分析的基本方法 • 数值分析的稳定性与误差分析 • 数值分析的优化方法 • 数值分析的未来发展与挑战
01
引言
数值分析的定义
数值分析
数值分析是一门研究数值计算方法及 其应用的学科，旨在解决各种数学问 题，如微积分、线性代数、微分方程 等。
北京理工大学 数据结构课件 01 绪论
文件夹1
文件夹2
C: …..
子文件夹21
子文件夹221
子文件夹222
文件2211
文件2212
子文件夹22
子文件夹223 子文件夹n1
文件n11 文件n12
文件夹n 文件1 Data Structure
子文件夹n2
பைடு நூலகம்
28
数据结构
例3：地铁线路图
Data Structure
地铁站之间的连接关系是一种图型结构关系 图型结构关系是对地铁站之间的连接关系的一种抽象表示
printf (”The max number is %f\n”, max);
Data Structure
}
12
非数值计算的程序设计问题2
例2 已知研究生的选课情况，试设计安排课程的考试日程的
程序。 要求在尽可能短的时间内完成考试。
A 算法分析 B C D E 网络技术 F 人工智能
形式语言 计算机图形学 模式识别 石 磊 C
学生间学号顺序关系是一种线性结构关系 线性结构关系是对学生间学号顺序关系的一种抽象表示 学号 cs001 姓名 张扬 出生日期 02121990 入学日期 01092009 班级 专业 cs20091 计算机 cs20091 计算机 cs20091 计算机 cs20091 计算机
cs002 cs003 cs004
杨润生 A B E
石 磊 C D
15
魏庆涛 马耀先 齐砚生 C D B E F F F A
非数值计算问题举例2: 求解（着色法）
每种颜色代表一个考试时间，用尽量少的颜色为顶点着色； 着色原则：相邻顶点着不同颜色;不相邻顶点着相同颜色； 着相同颜色的顶点（课程）安排在同一时间考试；
文件夹2
C: …..
子文件夹21
子文件夹221
子文件夹222
文件2211
文件2212
子文件夹22
子文件夹223 子文件夹n1
文件n11 文件n12
文件夹n 文件1 Data Structure
子文件夹n2
பைடு நூலகம்
28
数据结构
例3：地铁线路图
Data Structure
地铁站之间的连接关系是一种图型结构关系 图型结构关系是对地铁站之间的连接关系的一种抽象表示
printf (”The max number is %f\n”, max);
Data Structure
}
12
非数值计算的程序设计问题2
例2 已知研究生的选课情况，试设计安排课程的考试日程的
程序。 要求在尽可能短的时间内完成考试。
A 算法分析 B C D E 网络技术 F 人工智能
形式语言 计算机图形学 模式识别 石 磊 C
学生间学号顺序关系是一种线性结构关系 线性结构关系是对学生间学号顺序关系的一种抽象表示 学号 cs001 姓名 张扬 出生日期 02121990 入学日期 01092009 班级 专业 cs20091 计算机 cs20091 计算机 cs20091 计算机 cs20091 计算机
cs002 cs003 cs004
杨润生 A B E
石 磊 C D
15
魏庆涛 马耀先 齐砚生 C D B E F F F A
非数值计算问题举例2: 求解（着色法）
每种颜色代表一个考试时间，用尽量少的颜色为顶点着色； 着色原则：相邻顶点着不同颜色;不相邻顶点着相同颜色； 着相同颜色的顶点（课程）安排在同一时间考试；
北京理工大学工科数学分析3-3泰勒(Taylor)公式
(2n)!
x2 x3 ln(1 x) x
(1)n
x n1
o( x n1 )
23
n1
1 1 x x2 xn o( xn ) 1 x
(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1) (m n 1) xn o( xn ) n!
例1. f ( x) ln(1 sin2 x) 在 x 0 的展开式到 x4 次项；
解：ln(1 sin2 x) sin2 x 1 sin4 x o(sin4 x)
2
x
x3 3!
o(
x3
2 )
1[ 2
x
o(
x)]4
o(
x4)
x2 5 x4 o( x4 ) 6
§3 泰勒(Taylor)公式
❖ 局部泰勒展开式(Taylor expension) ❖ Lagrange 余项的泰勒公式(Taylor’s
formula)
问题的提出
1. 设 f ( x) 在 x0 处连续，则有
f ( x) f ( x0 )
[ f ( x) f ( x0 ) ]
2. 设 f ( x) 在 x0 处可导，则有 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
2! 4! 6!
x2
e2
1
x2
1
x4
1
x6
o( x6 )
2 2! 4 3! 8
f ( x) 1 x4 7 x6 o( x6 ) 12 360
《数值分析》课件-PPT文档资料
模型误差
处理实际问题时，要建立数学模型，通常模型只 是近似的。由此产生的数学模型解与实际问题的 解 之间的误差叫模型误差。 例如
8 6 y 56 x s i n x , 0 x 1 0
是实际问题的解，而若数学模型的解是
6 y 5 x 6 , 0 x1 0,
思考 问：谁的近似程度要好一些？
定义 近似值 x* 的相对误差 (relative error) e x x er . x x 由于精确值 x 未知, 实际上总把 xe 作为x*的 相对误差，并且仍记为er , 即
e r e . x
定义 近似值 x* 的相对误差上限(界) (relative accuracy)
舍入误差
由于计算机的字长有限，参加运算的数据及其 运算结果在计算机中存放会产生误差。这种误 差叫舍入误差或计算误差。
例如 在 16 位微机上计算，单精度实数存放仅有 7 位有效数字。在其上运算，会有 1 3 0.333 333 3, (1.000 002) 1.000 004 0,
数 值 分 析
理 学 院
刘 秀 娟
第1章
绪论
§1.1 数值分析的研究对象
提问：数值分析是做什么用的？
数值分析是近代数学的一个重要分支，它是研究 各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求 解过程的理论分析。
在电子计算机成为数值计算的主要工具之后，则 要求研究适合于计算机使用的数值计算方法，为 了更好地说明数值分析的研究对象，我们考察用 计算机解决科学计算问题时经历的几个过程：
1 1 e1 dx 1 1 11 1 1 / e 1 0 3 2 ! 5 3 ! 7 4 ! 9
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绝对误差限
有n位有效数字
考试前交
2
• 最后成绩=实验作业成绩(20%)+考试成绩 (80%) • 实验作业：下列1和2选择一个 2.课本或其它参考书的数值实验题(至少6道) 作业中包含下列内容 (1)题目（课本外的说明出处） (2)程序(matlab) (3)计算结果及分析
4月1日前交一次，考试前交一次。
3
• • • •
m
其中 m为整数，ai为0 9, a1 0,
则x 做为x的近似值有n位有效数字当且仅当
1 m n x x 10 n 2
17
绝对误差限 有效数字
1 n ε = 10 2
准确到10 位 确定几位有效数字
n
m
x 0.a1a2 ...an ... 10 1 mn ε = 10 2
准确值x：764.5 mm x 765.5 mm x [764.5 mm, 765.5 mm].
x 765 0.5( mm)
9
四舍五入的原则：
四舍六入五成双
1. 舍入后绝对误差限不超过末位数的半个单位
2.舍入部分刚好是末位数的半个单位，使末位凑成偶数 例：0.7135, 0.7765, 0.73251分别取三位小数
ε( x ) 0.02 0.002 上例， εr ( x ) * x 10 ε( y ) 0.05 εr ( y ) * 0.0016 0.002 y 30
12
例：
2 1.414
(1.41421356237310......)
是经过四舍五入得到的近似值，则
1 3 绝对误差限ε 10 2
0.5 10 相对误差限εr 13
2.2 有效数字
x 作为x的近似值，其绝对误差限为x 某一位
上数字的半个单位
1 |x x | 10 n 2
*
即x 准确到小数点后第n位, 从x 左边第一个非
零数字到该位的所有数字均称为有效数字.
14
1 6 例如 1. x 0.005800 10 表示近似值 2 x * 0.005800 准确到小数点后第 6 位，
x2 x4 x6 ( 1)n x 2 n cos x 1 ... ... 2! 4! 6! (2n)! x4 x2 . cos x 1 (| x | 很小时)， | 截断误差 | 24 2! 机器字长有限 —— 舍入误差 7
§2 绝对误差、相对误差和有效数字
哪一个精度高？
一个测量值的精确程度除了与绝对误差限有关, 还和该量的大小有关 . 为了更好地反映测量值的精度，引入
11
* * e ( x ) e ( x ) * * 相对误差er ( x ) : e r ( x ) * x* x x
相对误差限εr : | er ( x * ) | εr
ε * 两种误差限的关系： ε ε |x |ε r r * |x |
近似解
5
主要内容 • 数值代数 线性方程组求解(第二章,第三章) 特征值计算(第四章) • 数值逼近 插值法(第五章) 函数逼近(第六章) • 数值微分数值积分(第七章) • 非线性方程求解(第八章) • 常微分方程数值解法(第九章)
6
第一章
§1
误差
误差的来源与分类
从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 求近似解 —— 截断误差
2.1 绝对误差与相对误差
设x *为准确值x的一个近似值 绝对误差e( x * ) : e ( x * ) = x - x *
绝对误差限ε : e ( x ) = x - x ε
* *
可以表示为: x ε x x ε 或
* *
x x* ε
注 : 绝对误差限不唯一
8
例：
用毫米刻度的米尺测量一长度为x，如读出的 长度是x * 765mm, 其绝对误差限为 0.5mm
准确到小数点后第 5 位， 有 6 位有效数字
1 例：若x 2376490, 且ε = 104，x *有几位有效数字？ 2
*
解： x*准确到 104 位，x*有 3 位有效数字,
它们分别是 2, 3, 7
16
有效数字另一等价定义
将x 表示成规范形式： x 0.a1a2 ...an ... 10
0.714,
0.776,
0.733
一般地, 凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值,
其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位.
1 上述各近似值的绝对误差限： 103 2
10
例：测得会议室的长为30m宽为10m，长的误差不超过
5cm, 宽的误差不超过2cm, 如何表示？
y(长) 30 0.05( m ) x(宽) 10 0.02( m)
x*有 4 位有效数字
2 . 若x* 1452.046具有7位有效数字，
则其准确到小数点后第 3 位，
1 绝对误差限： 103 2
15
例： 2=1.41421356237310......
x * =1.414213做为 2的近似值，有几位有效数字？ 1 * * 解：| e( x ) | | x x | 0.0000005623 105 2
• 教 材 丁丽娟，程杞元， 《数值计算方法》，高等教育出版社
• 参考书 各工科院校相应教材 清华大学,哈工大,西安交大等
1
• 最后成绩=实验作业成绩(20%)+考试成绩(80%) • 实验作业：下列1和2选择一个 1.自选题(结合专业)，作业中包含下列内容 (1)实际问题 (2)数学模型 (例如，解常微分方程组，数据拟合等) (3)计算方法 (4)程序(matlab) (5)计算结果及分析
打印稿(不需要计算过程)，或电子文档 注明学院、专业 完全相同的实验作业没有实验作业成绩 答疑：课间 周二、四中午12:40—13:40 中心教学楼816 • 建议或问题：manhy@
4
问题：数值计算方法是做什么用的？ 实际问题 数学模型
数值 计算
计算 机
求各种数学问题近似解的方法和理论
有n位有效数字
考试前交
2
• 最后成绩=实验作业成绩(20%)+考试成绩 (80%) • 实验作业：下列1和2选择一个 2.课本或其它参考书的数值实验题(至少6道) 作业中包含下列内容 (1)题目（课本外的说明出处） (2)程序(matlab) (3)计算结果及分析
4月1日前交一次，考试前交一次。
3
• • • •
m
其中 m为整数，ai为0 9, a1 0,
则x 做为x的近似值有n位有效数字当且仅当
1 m n x x 10 n 2
17
绝对误差限 有效数字
1 n ε = 10 2
准确到10 位 确定几位有效数字
n
m
x 0.a1a2 ...an ... 10 1 mn ε = 10 2
准确值x：764.5 mm x 765.5 mm x [764.5 mm, 765.5 mm].
x 765 0.5( mm)
9
四舍五入的原则：
四舍六入五成双
1. 舍入后绝对误差限不超过末位数的半个单位
2.舍入部分刚好是末位数的半个单位，使末位凑成偶数 例：0.7135, 0.7765, 0.73251分别取三位小数
ε( x ) 0.02 0.002 上例， εr ( x ) * x 10 ε( y ) 0.05 εr ( y ) * 0.0016 0.002 y 30
12
例：
2 1.414
(1.41421356237310......)
是经过四舍五入得到的近似值，则
1 3 绝对误差限ε 10 2
0.5 10 相对误差限εr 13
2.2 有效数字
x 作为x的近似值，其绝对误差限为x 某一位
上数字的半个单位
1 |x x | 10 n 2
*
即x 准确到小数点后第n位, 从x 左边第一个非
零数字到该位的所有数字均称为有效数字.
14
1 6 例如 1. x 0.005800 10 表示近似值 2 x * 0.005800 准确到小数点后第 6 位，
x2 x4 x6 ( 1)n x 2 n cos x 1 ... ... 2! 4! 6! (2n)! x4 x2 . cos x 1 (| x | 很小时)， | 截断误差 | 24 2! 机器字长有限 —— 舍入误差 7
§2 绝对误差、相对误差和有效数字
哪一个精度高？
一个测量值的精确程度除了与绝对误差限有关, 还和该量的大小有关 . 为了更好地反映测量值的精度，引入
11
* * e ( x ) e ( x ) * * 相对误差er ( x ) : e r ( x ) * x* x x
相对误差限εr : | er ( x * ) | εr
ε * 两种误差限的关系： ε ε |x |ε r r * |x |
近似解
5
主要内容 • 数值代数 线性方程组求解(第二章,第三章) 特征值计算(第四章) • 数值逼近 插值法(第五章) 函数逼近(第六章) • 数值微分数值积分(第七章) • 非线性方程求解(第八章) • 常微分方程数值解法(第九章)
6
第一章
§1
误差
误差的来源与分类
从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 求近似解 —— 截断误差
2.1 绝对误差与相对误差
设x *为准确值x的一个近似值 绝对误差e( x * ) : e ( x * ) = x - x *
绝对误差限ε : e ( x ) = x - x ε
* *
可以表示为: x ε x x ε 或
* *
x x* ε
注 : 绝对误差限不唯一
8
例：
用毫米刻度的米尺测量一长度为x，如读出的 长度是x * 765mm, 其绝对误差限为 0.5mm
准确到小数点后第 5 位， 有 6 位有效数字
1 例：若x 2376490, 且ε = 104，x *有几位有效数字？ 2
*
解： x*准确到 104 位，x*有 3 位有效数字,
它们分别是 2, 3, 7
16
有效数字另一等价定义
将x 表示成规范形式： x 0.a1a2 ...an ... 10
0.714,
0.776,
0.733
一般地, 凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值,
其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位.
1 上述各近似值的绝对误差限： 103 2
10
例：测得会议室的长为30m宽为10m，长的误差不超过
5cm, 宽的误差不超过2cm, 如何表示？
y(长) 30 0.05( m ) x(宽) 10 0.02( m)
x*有 4 位有效数字
2 . 若x* 1452.046具有7位有效数字，
则其准确到小数点后第 3 位，
1 绝对误差限： 103 2
15
例： 2=1.41421356237310......
x * =1.414213做为 2的近似值，有几位有效数字？ 1 * * 解：| e( x ) | | x x | 0.0000005623 105 2
• 教 材 丁丽娟，程杞元， 《数值计算方法》，高等教育出版社
• 参考书 各工科院校相应教材 清华大学,哈工大,西安交大等
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• 最后成绩=实验作业成绩(20%)+考试成绩(80%) • 实验作业：下列1和2选择一个 1.自选题(结合专业)，作业中包含下列内容 (1)实际问题 (2)数学模型 (例如，解常微分方程组，数据拟合等) (3)计算方法 (4)程序(matlab) (5)计算结果及分析
打印稿(不需要计算过程)，或电子文档 注明学院、专业 完全相同的实验作业没有实验作业成绩 答疑：课间 周二、四中午12:40—13:40 中心教学楼816 • 建议或问题：manhy@
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问题：数值计算方法是做什么用的？ 实际问题 数学模型
数值 计算
计算 机
求各种数学问题近似解的方法和理论