北京理工大学数值分析总复习2019.ppt
北京理工大学.2006.数值分析(A)
课程编号： 北京理工大学2007-2008学年第二学期2006级计算机系《数值分析》期末试卷A 卷班级 学号 姓名 成绩注意：① 答题方式为闭卷。
② 可以使用计算器。
请将填空题直接填在试卷上，大题答在答题纸上。
一、 填空题（每空2分，共40分）1. 若x = 0.03600是按四舍五入原则得到的近似数，则它有______位有效数字，绝对误差限和相对误差限分别为 、 。
2. 要使162277660.310=的近似值的相对误差小于0.01%，至少要取 位有效数字。
3. 设f (x )=a n x n +1 (a n ≠0)，则f [x 0, x 1,…, x n ]=_________。
4. 设函数f (x )区间[a,b]内有二阶连续导数，且f (a )f (b )<0, 当 时，则用双点弦截法产生的解序列收敛到方程f (x )=0的根。
5. n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为______次，n 个求积节点的高斯求积公式的代数精度为 。
6. 求0123=--x x 在[1.3, 1.6]内的根时，迭代法3211n n x x +=+和2111nn x x +=+_____（填：前者或后者）收敛较快。
7. 设有矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=6433A ，则‖A ‖∞＝______，‖A ‖2＝_______。
8. 对任意初始向量0()X 和常数项N ，有迭代公式1()()k k x Mx N +=+产生的向量序列{}()k X 收敛的充分必要条件是 。
9. 在牛顿-柯特斯求积公式中，当牛顿-柯特斯系数有负值时，公式稳定性不能得到保证，所以实际应用中只使用n ≤______的牛顿-柯特斯公式。
10. 用松弛法 (03.1=ω)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+-=-3444143232121x x x x x x x 的迭代公式是。
11. 用复化辛卜生公式求积分⎰+=101x dx I 的近似值时，至少需 个节点处的函数值，才能保证所求积分近似值的误差不超过10－5。
数值分析期末知识点总结
数值分析期末知识点总结一、引言数值分析是一门研究如何使用计算机提高数学模型数值计算精度和效率的学科。
它是计算数学的一个重要分支，涉及到数值计算、数值逼近和误差分析等一系列内容。
在数值分析课程中，我们将学习到数值解微分方程、线性代数问题的求解、插值与拟合、积分等一系列内容。
本文将对数值分析期末知识点进行总结，以便帮助大家复习。
二、常见数值计算方法1. 插值与拟合插值与拟合是数值分析中重要的内容，它们用于在给定数据点集上构造一个函数，以便在其他点上进行求值。
插值是通过一些已知数据点来求得一个函数，使得这个函数能够通过这些点，而拟合则是通过已知数据点来求得一个函数，使得这个函数在这些点附近能够比较好地拟合数据。
常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值、牛顿插值等；而拟合方法包括最小二乘法拟合、多项式拟合等。
2. 数值解微分方程数值解微分方程是数值分析的一个重要内容，它讨论如何使用计算机对微分方程进行数值求解。
微分方程是自然界中描述变化的数学方程，它们在物理学、化学、生物学等领域都有着重要的应用。
数值解微分方程的方法包括欧拉法、中点法、四阶龙格-库塔法等。
3. 数值线性代数数值线性代数是数值分析领域的另一个重要内容，它讨论如何使用数值方法解决线性代数问题。
原始的线性代数问题可能非常大或者非常复杂，因此我们常常需要使用计算机进行数值计算。
数值线性代数的方法包括高斯消元法、LU分解、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel 迭代法等。
4. 数值积分数值积分是数值分析的一个重要内容，它讨论如何使用数值方法对积分进行数值求解。
在实际问题中，有很多积分问题是无法解析求解的，因此我们需要使用数值方法进行近似求解。
数值积分的方法包括复合辛普森法、复合梯形法、龙贝格积分法等。
三、数值分析的误差分析在数值计算过程中，我们会遇到误差的问题。
这些误差可能来自于测量、舍入、截断等各种原因。
因此，误差分析是数值分析中一个非常重要的内容。
2019数值分析课件
• 要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间 复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题， 它关系到算法能否在计算机上实现。
计算数学
第1章 绪 论
内容提要： 1.1 数值分析研究对象与特点 1.2 数值计算的误差 1.3 误差定性分析与避免误差危害
1.1 数值分析研究对象与特点 一、数值分析研究对象 计算机解决科学计算问题时经历的过程
实际问题
模型设计
算法设计
程序设计
上机计算
实例
求2
方程求根 x2 2
问题的解
牛顿法
2、测量误差 数学模型中的已知参数，多数是通过测量得到。 而测量过程受工具、方法、观察者的主观因素、不可预料的随 机干扰等影响必然带入误差。
3、截断误差 数学模型常难于直接求解，往往要近似替代，简 化为易于求解的问题，这种简化带入误差称为方法误差或截断 误差。
例如：函数 f (x) 用泰勒 (Taylor) 多项式
x2 2
例1- 2 若电压 V 220 5V，电阻 R 300 10,
求电流 I 并计算其误差限及相对误差限。
解： 所以
I V * 220 0.7333( A) R* 300
V (R ) R (V )
(I )
（R）2
解： 由误差限乘法公式
(s ) l (d ) d (l )
110 (0.1) 80 (0.2) 27(m2 )
北理工 计算机组成原理-总复习 PPT
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微程序控制的计算机涉及到两个层 次：一个是机器语言或汇编语言程序员 所看到的传统机器层，包括：机器指令、 工作程序、主存储器；另一个是机器设 计者看到的微程序层，包括：微指令、 微程序和控制存储器。
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微指令编码法 直接控制法（不译码法） 最短编码法 字段编码法
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和运算结果，有的还可以作为变址寄存 器、计数器、地址指针等。
专用寄存器：程序计数器PC、指 令寄存器IR、存储器地址寄存器MAR 和存储器数据寄存器MDR等之外，还 有一个重要的专用寄存器──状态标志 寄存器。
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取指令阶段完成的任务是将现行指 令从主存中取出来并送至指令寄存器中 去。具体的操作为：
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考前复习重点章节为： 第2、3、4、5、6、9章 非重点章节为： 第1、7、8章
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考试题型： 1.填空题（每空1分）15% 2.选择填空题（单选，每题1分）15% 3.判断题（每题1分）10% 4.计算题 5.分析题 50% 6.设计题 7.问答题 10%
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前3类题及第7类请注意看书上的有关概念。 第4、5、6类题请注意平时的作业。如：
定点、浮点数的表示范围 指令的寻址方式（有效地址的计算） 定点加、减、乘、除运算 字节编址存储器的数据存放方法 由若干存储芯片构成存储器 微指令操作控制字段的安排 常见磁记录方式 中断升级
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自底向上生成的存储器堆栈的堆栈 操作。
进栈时，SP的内容需要先自动减1， 然后再将数据压入堆栈。
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考试时带计算器
• 上机题请在11月30日晚9:30之前交，交 打印稿。
• 答疑时间：11月28，29, 30（即星期3, 4， 5）晚上7:30—9:30，上机作业也在答疑 时间交。
• 答疑地点：中教816。
2
第一章 误差
绝对（相对）误差 ( 限 ) 有效数字
(2) H H '((xx ii)) yyii,', (i0,1, ,n).
24
➢ H ( x ) y 0 h 0 ( x ) y 1 h 1 ( x ) y n h n ( x ) y 0 ' H 0 ( x ) y 1 ' H 1 ( x ) y n ' H n ( x )
(i 1 ,2 , ,n )
12
➢ 迭代法收敛的充分必要条件
x(k1) Mx(k) g,
x(0) 任意
收敛
(M)1.
➢ 迭代法收敛的充分条件
若i迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛.
若A为对称正定阵, 则求解Ax=b的Gauss-Seidel迭代 法收敛.
复化梯形公式 复化Simpson公式 Romberg算法 Gauss型求积公式 代数精确度 截断误差
33
代数精确度
设有求积公式
b
n
f(x)dx
a
Akf(xk)
k0
若它对 f (x)=1, x, x2,…, xm 都能精确成立(即上式等
号成立), 但对 f (x)=xm+1 上式等号不成立, 则称该求
hi (x)
xi x0
(2n+1)次多项式
x i x n 1
h i ( x ) 1 2 l i ' ( x ) x ( x i ) l i 2 ( x ),
北理工数值分析大作业
数值分析上机作业第 1 章1.1计算积分，n=9。
（要求计算结果具有6位有效数字）程序：n=1:19;I=zeros(1,19);I(19)=1/2*((exp(-1)/20)+(1/20));I(18)=1/2*((exp(-1)/19)+(1/19));for i=2:10I(19-i)=1/(20-i)*(1-I(20-i));endformat longdisp(I(1:19))结果截图及分析：在MATLAB中运行以上代码，得到结果如下图所示：当计算到数列的第10项时，所得的结果即为n=9时的准确积分值。
取6位有效数字可得.1.2分别将区间[-10.10]分为100,200,400等份，利用mesh或surf命令画出二元函数z=的三维图形。
程序：>> x = -10:0.1:10;y = -10:0.1:10;[X,Y] = meshgrid(x,y);Z = exp(-abs(X))+cos(X+Y)+1./(X.^2+Y.^2+1);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z);title('步长0.1')>> x = -10:0.2:10;y = -10:0.2:10;[X,Y] = meshgrid(x,y);Z = exp(-abs(X))+cos(X+Y)+1./(X.^2+Y.^2+1);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z);title('步长 0.2')>>x = -10:0.05:10;y = -10:0.05:10;[X,Y] = meshgrid(x,y);Z = exp(-abs(X))+cos(X+Y)+1./(X.^2+Y.^2+1);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z);title('步长0.05')结果截图及分析：由图可知，步长越小时，绘得的图形越精确。
[理学]数值分析笔记期末复习
![[理学]数值分析笔记期末复习](https://img.taocdn.com/s3/m/c1c0b059561252d380eb6e59.png)
第一章引论1、数值分析研究对象：数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。
2、数值分析特点：①面向计算机，要根据计算机特点设计切实可行的有效算法②有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似计算要保证收敛性和数值稳定性③要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存贮量，这也是建立算法要研究的问题。
④要有数值试验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。
3、数值分析实质：是以数学问题为研究对象，不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及理论。
4、用计算机解决科学计算问题通常经历以下过程实际问题--数学模型（应用数学）--数值计算方法--程序设计--上机计算结果（计算数学）5、误差来源及分类1.模型误差——从实际问题中抽象出数学模型2.观测误差——通过测量得到模型中参数的值（通常根据测量工具的精度，可以知道这类误差的上限值。
）要用数值计算方法求它的近似解，由此产生的误差称为（截断误差）或（方法误差）原始数据的输入及浮点数运算过程中都有可能产生误差，这样产生的误差称为舍入误差6、五个关于误差的概念5.有效数字（1）定义：若近似值x*的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字一共有n 位，则称近似值x*有n 位有效数字，或说x*精确到该位。
注意：近似值后面的零不能随便省去！2≤⨯1102≤⨯10.00000734102≤⨯（3）性质：(1)有效数字越多，则绝对误差越小 (2)有效数字越多，则相对误差越小有效数字的位数可刻画近似数的精确度！ 6、一元函数的误差估计问题：设y =f (x )，x 的近似值为x *，则y 的近似值 y *的误差如何计算？(*)(*)(*)(*)e y dy f x dx f x e x ''≈=≈ (*)(*)(*)e y f x e x '≈ *(*)(*)(*)(*)r r x e y f x e x f x '≈故相应的误差限计算如下(*)(*)(*)y f x x εε'≈ *(*)(*)(*)(*)r r x y f x x f x εε'≈ 7、二元函数的误差估计问题：设y=f(x1, x2)， x1, x2的近似值为x1*, x2* ，则y 的误差如何计算？**121212(*)*(,)(,)(*,*)e y y y f x x f x x df x x =-=-≈12121212(*,*)(*,*)(*)(*)f x x f x x e x e x x x ∂∂=+∂∂(*)(*)*(*)(*)(*)(*)(*)r r dy f x e x x e y f x e x y f x f x ''≈≈=1212121212121212(,)(,)(*,*)(*,*)(*)()()(*)(*)f x x f x x f x x f x x e y e x e x e x e x x x x x ∂∂∂∂=+≤⋅+⋅∂∂∂∂故绝对误差限为12121212(*,*)(*,*)(*)(*)(*)f x x f x x y x x x x εεε∂∂=+∂∂8、多元函数的误差估计121211121(*,*,,*)(*,*,,*)(*)*(*)(*)(*,*,,*)(*)n n n nnn i i i f x x x f x x x e y y y e x e x x x f x x x e x x =∂∂=-=++∂∂∂=∂∑9、加减乘除运算的误差估计（1）定义：初始数据的误差或计算中的舍入误差在计算过程中的传播，因算法不同而异。
数值分析总复习学习教案
第16页/共36页 17
第十七页，共36页。
几个重要概念
Taylor展开(zhǎn kāi)方法
➢ 局部( júbù)截断误差
➢ 整体(zhěngtǐ)截断误差
➢
数值方法的阶数
第17页/共36页
18 第十八页，共36页。
数值(shùzí)分析总复习例题
第18页/共36页 19
9 第九页，共36页。
二分法(对分区间(qū jiān)法)
➢ 设[a, b]是 f (x)=0的有根区间(qū jiān), 用二分法迭代
|xk
x*|
ba 2k 1
➢ 给定精度( jīnɡ dù), 迭代次数k 满足下式, 能保证满足精度( jīnɡ dù)
k lnb a ln ε 1.
数值分析(fēnxī)总复习
第一页，共36页。
代数(dàishù)精确度
设有求积公式(gōngshì)
若它对 f (x)=1, x, x2,…, xm 都能精确成立(即上式等号成立), 但对 f (x)=xm+1 上式等号不成立, 则称该求积公式(gōngshì)具有m次代数精确度.
b
n
f ( x)dx
第19页/共36页
a33 l321 l322 .
20 第二十页，共36页。
一. 用平方根法求线性方程组AX=b, 其中(qízhōng)
16 4 8
x1
A
4
5
4,
X
x2
,
8 4 22
x3
解:
l11 a11 16 4,
l21 a21 l11 4 4 1,
l31 a31 l11 2,