离散复习考试题及参考解答

复习题一、填空题（请将每空的正确答案写在答题纸相应位置处，答在试卷上不得分。

每小题2分，共18分。

）1．设,p q 为真命题，,r s 为假命题，则复合命题()()p r q s ↔↔⌝→的真值为 。

2．令():F x x 是人，():G x x 喜欢吃米饭。

在一阶逻辑中，命题“不是所有的人都喜欢吃米饭.”的符号化形式为 。

3．已知命题公式A 中含三个命题变项,,p q r ，则极大项M 4的公式是 。

4．在1到500之间的整数（包含1与500）中，既不被5整除、也不被6整除的数有 个。

5. 设{,,}A a b c =,{,,,}R a c a b =<><>,则R 的传递闭包()t R = 。

6．设,G V E =<>是一个连通的平面图，G 共有v 个结点，e 条边和r 个面，则结点、边和面的关系为（欧拉定理） 。

7．在整数加群,Z <+>中，23-= 。

8．设Z 为整数集，,,1,,a b Z a b a b a Z a ∀∈=+-∀∈的逆元1a -= 。

9．300与168的最大公约数是 。

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸相应位置处。

答案错选或未选者，该题不得分。

每小题2分，共20分。

）1. 下列命题公式中，是永真公式的是( )。

A ．()Q P Q →∧B ．()P P Q →∧C ．()P Q P ∧→D ．()P Q Q ∨→2．关于谓词公式((,)(,))(,)x y F x y G y z xH x y ∀∀∧∧∃，下面的描述中错误的是( )。

A ．x ∀的辖域是((,)(,))y F x y G y z ∀∧B ．x ∃的辖域是(,)H x yC ．x 是该谓词公式的约束变元D ．z 是该谓词公式的约束变元 3．5阶无向完全图的边数为( )。

A ．5B ．10C ．15D ．20 4．有向图G 如右图所示，在G 中， 从V 1到V 3长度为3的通路有( )条。

A ．0B ．1C ．2D ．3 5．下列图中，( )是强连通图。

A．32 B．32 C．32 D．326．在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点，则该树有( )个4度结点。

A ．1B ．2C ．3D ．47．对于集合{0,1,2,,9,10}A =⋅⋅⋅，不封闭的二元运算是( )。

A ．max{,}x y x y *=B ．min{,}x y x y *=【第 3 页 共 3 页】C ．()mod9x y x y *=+D ．x y x y *=- 8．下列各图中( )是欧拉图。

A ．B ．C ．D ．9．设211,,,,G e a a a =<⋅⋅⋅>是12阶循环群，则G 的生成元有( )个。

A ．2B ．3C ．4D ．5 10．3的模5逆等于( )。

A ．1B ．2C ．3D ．4三、计算题（每小题各8分，共40分。

）1．求命题公式()(())p q q p r ⌝→∨∧⌝→的主析取范式。

2．设集合{,,,,}A a b c d e =上二元关系定义为{,,,,,,,,,,R a a a b a c a d a e =<><><><><> ,,,,,,,,,,,,,,,}b b b c b e c c c e d d d e e e <><><><><><><><>，验证,A R <>是偏序集，并画出哈斯图。

3．求下列带权图的最小生成树，画出最小生成树，并求其权值。

4．求树叶的权分别为2，3，9，18，23和29的最优2叉树T ，并求树权W （T ）。

5．求解递推方程：1201440,0,1n n n a a a a a --++=== 。

四、证明题（12分。

）设{1,2,3,4}A =，在A A ⨯上定义二元关系R ，,,,u v x y A A ∀<><>∈⨯，,,u v R x y u y x v <><>⇔+=+，（1）证明R 是A A ⨯上的等价关系； （2）求商集/A A R ⨯。

五、应用题（10分）符号化下列命题，并在自然推理系统P 中用逻辑推理确定谁是作案者。

① 营业员A 或B 盗窃了金项链。

② 若A 作案，则作案时间不在营业时间。

③ 若B 提供的证据正确，则货柜未上锁。

④ 若B 提供的证据不正确，则作案时间发生在营业时间。

⑤ 货柜上了锁。

参考答案一、填空题1．0（或F ） 2．(()())x F x Q x ⌝∀→(或(()())x F x Q x ∃∧⌝) 3．p q r ⌝∨∨ 4．333 5．{,,,}a c a b <><> 6．2v e r -+= 7．-6 8．2a - 9．12 二、单项选择题1．C 2．D 3．B 4．D 5．A 6．A 7．D 8．B 9．C 10．B 三、计算题（每小题各8分，共40分。

） 1．解：主析取范式为：34567()(())()(())()()()(())(())(())()()()()()p q q p r p q q p r p q p q q r p q r r p q r r q r p p p q r p q r p q r p q r p q r m m m m m ⌝→∨∧⌝→⇔⌝⌝∨∨∧∨⇔∧⌝∨∧∨∧⇔∧⌝∧∨⌝∨∧∧∨⌝∨∧∧∨⌝⇔∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨∧∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⇔∨∨∨∨2．解： R 所对应的关系矩阵为1111101101()001010001100001M R ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭21111101101()00101()0001100001M R M R ⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎝⎭由关系矩阵可知，对角线上所有元素全为1，故R 自反；1ij ji r r +≤，故R 反对称；由此可计算出2R 对应的矩阵。

由以上矩阵可知R 传递。

所以，R 是偏序关系。

对应的哈斯图如下图所示。

3．解：所求该图的最小生成树如下图所示。

该最小生成树的权值之和W （t ）=2+1+1+2+3+4=134．解：所求的最优2叉树如下图所示。

23该最优2叉树的权为W(t)=2×4+3×4+9×3+18×2+23×2+29×2=1875．解：其特征方程为：2440x x ++=，其特征根是：122x x ==-通解为：12()(2)n n a c c n =+-代入初值得到：1120,221c c c =--=解得：1210,2c c ==-所以，原递推方程的解为：1(2)2n n a n =--。

四、证明题（12分。

） 证明：（1）由于,,u v R x y u y x v u v x y <><>⇔+=+⇔-=-① 自反性：,x y ∀<>，有,,,x y A A x y x y x y R x y <>∈⨯⇔-=-⇔<><>，即R 是A 上的自反关系；② 对称性: ,,,x y u v ∀<><>，有,,,,x y R u v x y u v u v x y u v R x y <><>⇔-=-⇔-=-⇔<><>，即R 是A 上的对称关系；③ 传递性：,,,,,x y u v s t ∀<><><>，有,,,,,,x y R u v u v R s t x y u v u v s t x y s t x y R s t <><>∧<><>⇔-=-∧-=-⇒-=-⇔<><>故R 是A 上的传递关系。

由(1)、(2)、(3)可知R 是A 上的等价关系。

（2）A A ⨯上的等价类为：[1,4]{1,4}<>=<> [1,3]{1,3,2,4}<>=<><> [1,2]{1,2,2,3,3,4}<>=<><><> [1,1]{1,1,2,2,3,3,4,4}<>=<><><><> [2,1]{2,1,3,2,4,3}<>=<><><><>=<><>=<><>[4,1]{4,1}[3,1]{3,1,4,2}所以，/{{1,4},{1,3,2,4},{1,2,2,3,3,4},{1,1,A A R⨯=<><><><><><><> <><><><><><><><><>2,2,3,3,4,4},{2,1,3,2,4,3},{3,1,4,2},{4,1}}五、应用题（10分）解：设简单命题p：A作案盗窃金项链。

q：B作案盗窃金项链。

r：作案发生在营业时间。

s：B提供的证据正确。

t：货柜上了锁前提：,,,,∨→⌝→⌝⌝→p q p r s t s r t结论：q（或写为：推理形式为,,,,∨→⌝→⌝⌝→⇒）p q p r s t s r t r证明：(1)t前提引入→⌝前提引入(2)s t⌝（1）（2）拒取式(3)s⌝→前提引入(4)s r(5)r（3）（4）假言推理→⌝前提引入(6)p r⌝（5）（6）拒取式(7)p(8)p q∨前提引入(9)q（7）（8）析取三段论。