离散数学复习思考题2016.06

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离散数学复习题含答案

离散数学复习题含答案1. 集合论基础集合A和集合B的交集表示为A∩B，它包含所有既属于A又属于B的元素。

请写出集合{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的交集。

答案：{2, 3}2. 逻辑运算设命题p为“今天是周一”，命题q为“明天是周三”。

请判断复合命题“p且q”的真值。

答案：假3. 图论初步在无向图中，若存在一条路径使得起点和终点相同，则称该图为欧拉图。

请判断一个有5个顶点且每个顶点的度均为2的无向图是否一定是欧拉图。

答案：是4. 组合数学从5个不同的球中选取3个，有多少种不同的选取方法？答案：10种5. 布尔代数在布尔代数中，逻辑或运算符表示为∨，逻辑与运算符表示为∧。

请计算表达式(A∨B)∧(¬A∨¬B)的值。

答案：¬(A∧B)6. 归纳与递归给定递归关系式T(n) = 2T(n-1) + 1，初始条件为T(1) = 1，求T(3)的值。

答案：T(3) = 2T(2) + 1 = 2(2T(1) + 1) + 1 = 2(2*1 + 1) + 1 =2(3) + 1 = 77. 有限状态机在有限状态机中，状态转移可以通过一个转移函数来描述。

若状态转移函数定义为δ(q, a) = q'，其中q和q'是状态，a是输入符号，请说明该函数的作用。

答案：该函数定义了在给定当前状态q和输入符号a的情况下，有限状态机将转移到新的状态q'。

8. 正则表达式正则表达式用于描述字符串的模式。

请写出匹配任意长度的数字串的正则表达式。

答案：\d*9. 命题逻辑命题逻辑中的等价关系是指两个命题逻辑表达式在所有可能的真值赋值下具有相同的真值。

请判断命题p∨¬p和命题¬(p∧¬p)是否等价。

答案：是10. 树的遍历在计算机科学中，树的遍历有前序、中序和后序三种方式。

请简述后序遍历的步骤。

答案：后序遍历的步骤是先访问左子树，然后访问右子树，最后访问根节点。

《离散数学》课后习题解答--第5章

习题5.11.设A=⎨a,b,c⎬，B=⎨1,2,3⎬，试说明下列A到B二元关系，哪些能构成A到B的函数？⑴f1=⎨<a,1>,<a,2>,<b,1>,<c,3>⎬⑵f2=⎨<a,1>,<b,1>,<c,1>⎬⑶f3=⎨<a,2>,<c,3>⎬⑷f4=⎨<a,3>,<b,2>,<c,3>,<b,3>⎬⑸f5=⎨<a,2>,<b,1>,<b,2>⎬解：⑴不能构成函数。

因为<a,1>∈f1且<a,2>∈f1⑵能构成函数⑶不能构成函数。

因为dom f3≠A⑷不能构成函数。

因为<b,2>∈f4且<b,3>∈f4⑸能构成函数。

由于1+1＜10且1+2＜10，所以<1,1>∈f1且<1,2>∈f1。

⑵能构成函数。

⑶不能构成函数。

由于12=1且(-1)2=1，所以<1,1>∈f3且<1,-1>∈f3。

⑷能构成函数。

⑸能构成函数。

3. 回答下列问题。

⑴设A=⎨a,b⎬，B=⎨1,2,3⎬。

求B A，验证|B A|= |B||A|。

离散数学习题问题详解

离散数学习题参考答案1、构造公式(p ∧q)∨ (¬p ∧¬q)、p↔q 的真值表。

2、构造公式¬(p ∨q)与¬p ∧¬q 的真值表。

3、构造公式 p 、p ∧p 、p ∨p 的真值表。

4、构造公式 p ∨(q ∧r)、(p ∨q)∧(p ∨r)的真值表。

5、构造公式 p ∨(p ∧r)、p 的真值表。

6、构造公式 p ∧(p ∨r)、p 的真值表。

7、构造公式 p↔q 、¬q↔¬p 的真值表。

8、构造公式(p→q)∧(p→¬q)、¬p 的真值表。

9、构造公式 p 、¬¬p 的真值表。

10、构造公式 p ∨¬p 、p ∧¬p 的真值表略一、分别用等算演算与真值表法，判断下列公式是否存在主析取式或主合取式，若有，请写出来。

(1)(¬p→q)→(¬q ∨p) (2)(¬p→q)→(q ∧r)(3)(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r) (4) ¬(q→¬p)∧¬p (5)(p ∧q)∨(¬p ∨r) (6)(p→(p ∨q))∨r (7)(p ∧q)∨r(8) (p→q)∧(q→r) (9) (p ∧q)→q (10) ¬(r↔p)∧p ∧q存在主析取式=成真赋值对应的小项的析取 =m 00∨m 10∨m 11=(¬p ∧¬q)∨(p ∧¬q)∨(p ∧q)主析取式=成假赋值对应的大项的合取 =M 01=p ∨¬q等值演算：(¬p→q)→(¬q ∨p) ⇔¬ (¬¬p ∨q)∨(p ∨¬q) ⇔¬ (p ∨q)∨(p ∨¬q) ⇔ (¬p ∧¬q)∨(p ∨¬q) ⇔ (¬p ∨(p ∨¬q))∧(¬q ∨(p ∨¬q)) ⇔ (¬p ∨p ∨¬q)∧(¬q ∨p ∨¬q) ⇔ (1∨¬q)∧(p ∨¬q) ⇔ (p ∨¬q)这是大项，故为大项的合取，称为主合取式(¬p→q)→(¬q ∨p) ⇔ (p ∨¬q) ⇔ (p)∨(¬q) ⇔ (p ∧1)∨( 1∧¬q)⇔ (p ∧(q ∨¬q))∨( (p ∨¬p)∧¬q) ⇔ (p ∧q)∨ (p ∧¬q)∨(p ∧¬q)∨(¬p ∧¬q) ⇔ (p ∧q)∨ (p ∧¬q)∨(¬p ∧¬q)因为一个公式的值不是真，就是假，因此当我们得到一个公的取值为真的情况时，剩下的组合是取值为假，因此当得到小项的析取组成的主析取式后，可以针对剩下的组合写出主合取式。

离散数学主观思考题(概念辨析、学习心得)

离散数学主观思考题（概念辨析、学习心得）1.请浅谈离散和连续有什么区别和联系？离散型变量的域是一个离散的点集，连续型变量的域则是一个连续的集合。

在一个给定的范围内，一定能够枚举出所有离散变量，却不能枚举出所有连续型变量（无限个）。

按照百度百科的权威定义：离散变量：离散变量指变量值可以按一定顺序一一列举，通常以整数位取值的变量。

（不能在某区间内任意取值）连续变量：在一定区间内可以任意取值的变量叫连续变量，其数值是连续不断的，相邻两个数值可作无限分割，即可取无限个数值。

离散型变量包括一个个体所属的生物种类比如黄种人白种人等人种、鸟类鱼类等物种，不存在一个临界点，既是黄种人又是白种人，既是鸟类又是鱼类。

还有，我认为一切的二元性质或者明确可分的n元性质，都是离散变量。

比如某只动物的生死性，只有活着和死掉两种，不存在衔接两者、又活着又死掉的第三种状态。

药物的有效性，只有有效和无效两种。

成绩的等第，只有优秀、良、及格和不及格。

新冠病毒检测结果，只有阴性和阳性。

大学的双一流性，只有双一流和非双一流…这些性质都有一个特点，都只能在某个可数集合里取值，不能在非连续集合里任意取值，例如生死性，活就是活，死就是死，没有0.7*活+0.3*死这种取值。

双一流与否没有某所大学是0.8个双一流加上0.2个非双一流。

同时，离散变量的分布有时是有一定规则的，例如二项分布、泊松分布、超几何分布，这些都是离散变量的概率分布。

连续的变量也有很多。

比如时间，时间可以划分得无穷细到0.0000000000000001秒并且继续无穷细下去。

比如身高，身高是实实在在的，没有人的身高正好是一个0.000000000000000001纳米都不差的整数。

又比如体重，没有人的体重正好是一个0.000000000000000000001毫克都不差的整数。

时间、身高、体重是多少就是多少，在一个连续区间里取任何值都可以。

然而，由于人类科技水平的限制，显然，人类在现实世界中大多数情况下只能用离散的形式表示连续变量。

《离散数学》复习题及答案

《失散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、以下哪些公式为永真包含式？()(1) Q=>Q→P (2) Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4) P (P Q)=>P答：（1），（4）2、以下公式中哪些是永真式？()(1)( ┐P Q)→(Q→R) (2)P →(Q→Q) (3)(P Q)→P (4)P→(P Q)答：（2），（3），（4）3、设有以下公式，请问哪几个是永真蕴涵式?()(1)P=>P Q (2) P Q=>P (3) P Q=>P Q(4)P (P→Q)=>Q (5)(P→Q)=>P (6)P (P Q)=> P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式 x((A(x) B(y ，x))z C(y ，z)) D(x) 中，自由变元是 ( )，拘束变元是( )。

答： x,y,x,z5、判断以下语句能否是命题。

假如，给出命题的真值。

()(1)北京是中华人民共和国的国都。

(2)陕西师大是一座工厂。

(3)你喜爱唱歌吗？(4)若 7+8＞18，则三角形有 4 条边。

(5)行进！(6)给我一杯水吧！答：（ 1）是， T（2）是， F（3）不是（4）是， T（5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否认是()，而命题“所有的人都是要死的”的否认是 ()。

答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设 P：我患病， Q：我去学校，则以下命题可符号化为( )。

(1)只有在患病时，我才不去学校 (2) 若我患病，则我不去学校(3)当且仅当我患病时，我才不去学校 (4) 若我不患病，则我必定去学校答：（1）Q P（2）P Q（3）P Q（4）P Q8、设个体域为整数集，则以下公式的意义是( )。

(1)x y(x+y=0) (2)y x(x+y=0)答：（ 1）对任一整数 x 存在整数 y 知足 x+y=0（ 2）存在整数 y 对任一整数 x 知足 x+y=0 9、设全体域 D是正整数会合，确立以下命题的真值：(1)x y (xy=y)()(2)x y(x+y=y)()(3)x y(x+y=x)()(4)x y(y=2x)()答：（ 1） F（2） F（3）F（4）T10、设谓词 P(x) ： x是奇数， Q(x) ：x 是偶数，谓词公式x(P(x) Q(x)) 在哪个个体域中为真 ?()(1) 自然数(2)实数(3)复数(4) (1)--(3)均建立答：（ 1）11、命题“ 2 是偶数或 -3 是负数”的否认是（）。

离散数学课后习题答案(第三章)

b）设A={a,b,c}
R1={＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,c＞，＜c,b＞，＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞}
R2={＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞，＜b,c＞，＜c,b＞}
R1-R2={＜a,b＞，＜b,a＞，＜a,c＞，＜c,a＞}
所以R1和R2是A上等价关系，但R1-R2不是A上等价关系。
r（R1-R2）=（R1-R2）∪IA
={＜a,b＞,＜b,a＞,＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞,＜c,c＞}
不是A上的等价关系。
3-10.8设C*是实数部分非零的全体复数组成的集合，C*上的关系R定义为：(a+bi)R(c+di)ac>0,证明R是等价关系，并给出关系R的等价类的几何说明。
c）若R1是A上等价关系，则
＜a,a＞∈R1＜a,a＞∈R1○R1
所以R12是A上自反的。
若＜a,b＞∈R12则存在c，使得＜a, c＞∈R1∧＜c,b＞∈R1。因R1对称，故有
＜b, c＞∈R1∧＜c,a＞∈R1＜b, a＞∈R12
即R12是对称的。
若＜a,b＞∈R12∧＜b, c＞∈R12,则有
a）（A×A）-R1；
b）R1-R2；
c）R12；
d) r（R1-R2）（即R1-R2的自反闭包）。
解a）（A×A）-R1不是A上等价关系。例如：
A={a,b}，R1={＜a,a＞，＜b,b＞}
A×A={＜a,a＞，＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,b＞}
（A×A）-R1={＜a,b＞，＜b,a＞}
所以（A×A）-R1不是A上等价关系。
即R是对称的。
3设任意＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，＜w,s＞∈A，对

离散数学复习题及答案

1. 写出命题公式﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。

答案：2.证明答案：3. 证明以下蕴涵关系成立：答案：4. 写出下列式子的主析取范式：答案：)()(Q P Q P Q P ⌝∧⌝∨∧⇔↔Q)P (Q)(P P)(Q P)P (Q)(Q Q)P (P)Q)P ((Q)Q)P (P)Q (Q)P (Q P ⌝∧⌝∨∧⇔∧∨∧⌝∨⌝∧∨⌝∧⌝⇔∧∨⌝∨⌝∧∨⌝⇔∨⌝∧∨⌝⇔↔Q Q P P ⇒∨∧⌝)()()(R P Q P ∨∧∧⌝5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →⌝r, s →t, ⌝s →r, ⌝t ⇒ q 答案：①s →t 前提 ②t 前提③s ①②拒取式I12 ④s →r 前提⑤r ③④假言推理I11 ⑥p →r 前提⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提⑨q ⑦⑧析取三段论I106. 用反证法证明：p →(⌝(r ∧s)→⌝q), p, ⌝s ⇒ ⌝q)()(R P Q P ∨∧∧⌝)()(R P Q P ∨∧⌝∨⌝⇔))(())(R Q P P Q P ∧⌝∨⌝∨∧⌝∨⌝⇔)()()()(R Q R P P Q P P ∧⌝∨∧⌝∨∧⌝∨∧⌝⇔)()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧∧⌝⇔)()()(P R Q P R Q Q R P ⌝∧∧⌝∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨)()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧∧⌝⇔)(Q R P ⌝∧∧⌝∨7. 请将下列命题符号化：所有鱼都生活在水中。

答案：令 F( x )：x 是鱼 W( x )：x 生活在水中))((W(x)F(x)x →∀8. 请将下列命题符号化：存在着不是有理数的实数。

答案：令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数Q(x))x)(R(x)(⌝∧∃9. 请将下列命题符号化：尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。

答案：令M(x)：x 是人 C(x)：x 是聪明的则上述命题符号化为10. 请将下列命题符号化：对于所有的正实数x,y ，都有x+y ≥x 。

大学_《离散数学》课后习题答案

《离散数学》课后习题答案《离散数学》简介1、集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数2、图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3、代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4、组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理5、数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。

教学方式以课堂讲授为主，课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。

《离散数学》学科内容随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。

离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。

由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。

离散数学是传统的逻辑学，集合论(包括函数)，数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数(包括代数系统，群、环、域等)，布尔代数，计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。

离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。

离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。

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《离散数学》复习思考题一、选择题
一个连通图G 具有以下何种条件时，能一笔画出：即从某结点出发，经过图中每边仅一次回到该结点（）。

A ．G 没有奇数度的结点；
B ．G 有1个奇数度的结点；
C ．G 有2个奇数度的结点；
D ．G 没有或有2个奇数度的结点． A
在自然数集合上，下列运算满足结合律的是（）。

A ．2a b a b *=- B ．min{,}a b a b *= C ．a b a b *=-- D ．
a b a b
*=-
B
二、填空题
令p ：今天下雪了，q ：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为_______。

p ∧┐q
设p ：明天上午8点下雨，q ：明天上午8点下雪，r ：我去学校，则命题“如果明天上午8点不下雨并且也不下雪，我就去学校”可符号化为。

r q p →⌝∧⌝)(
设)(x F ：x 是偶数，)(x G ：x 是素数，则命题“存在着偶素数”可符号化为_______。

))()((x G x F x ∧∃
n 个顶点的无向完全图记为
n
K ，当n 满足条件__________时,
n
K 不是平面
图。

4n >
设p ：我们勤奋，q ：我们好学，r ：我们取得好成绩，则命题“我们只要勤奋好学，就能取得好成绩”符号化为。

r q p →∧)( 设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为_______。

()((x B x A x ⌝∧⌝∃或
))()((x B x A x →∀
设G 是连通的平面图，已知G 中有6个顶点，8条边，则G 有_______个面。

4
设P ：他聪明，Q ：他用功，则命题“他虽聪明,但不用功” 可符号化为_______。

P ∧⎤ Q 设集合}3,2,1{=A ，}5,4,3{=B ，则=-B A 。

}2,1{ 设集合},,{c b a A =，},,{d c b B =，则=⊕B A 。

},{d a
设集合}2,1{=A ，则A 的幂集=)(A P 。

}}2,1{},2{},1{,{φ
设集合}}2{,1{=A ，则A 的幂集=)(A P 。

答案：}}}2{,1{}},2{{},1{,{φ
设x x M :)(是人，x x P :)(要吃饭，则命题“人都是要吃饭的” 可符号化为_______。

答案：))()((x P x M x →∀
设x x M :)(是跳高运动员，a ：小，则命题“小不是跳高运动员”可符号化为_______。

)(a M ⌝
无向图G=<V,E>如右所示，则图G 的最大度数 Δ(G)= _______。

4
无向图G 中有16条边，且每个结点的度数都是2，则G 的结点数是_______个。

16 无向完全图5K 中有________条边。

10
已知关系},,,,,{1><><><=d b b a a a R ,
},,,,,,,{2><><><><=b c d b c b d a R ,
则12R R =_______。

答案：},,,{><><d a c a
已知关系},,,,,{><><><=d b b a a a R , 则2
R = 。

}
,,,,,{><><><d a b a a a 已知关系},,,,,{1><><><=c b c a b a R ，},,,{2><><=a a b a R ，则21R R = 。

答案：},,,{><><b a c a
已知关系},,,,,,,{><><><><=b c d b c b d a R ,则3
R = 。

答案：},,,,,{><><><d b c b b c
三、计算题
构造命题公式⌝（P →Q ）∧Q 的真值表，并判断其类型。

解：真值表
四、证明。