北理工考博数值分析复习
2014年北理工机车学院博士入学考试内容汇总
2014年北京理工大学机械学院博士入学考试内容回顾
一、英语
1、题型、四篇阅读理解，英译汉，汉译英，理解论述题、作文。
2、在网上能找到06、07、08三年的真题。
3、最后一篇阅读理解是08年的原题，词汇量很多，应该有1000多词。
4、英译汉和汉译英都是短文翻译。
5、理解论述题是阅读一篇英文短文，然后用英语写一篇短文（80个词），介绍文章内容以及自己的感悟。
6、作文给你一句话，写200多词的文章。
二、数学（《数值分析》）
1、教材是丁丽娟、程杞元编著的《数值计算方法》，2011年8月版，高等教育出版社。
2、全是大题，题很简单，但需要记很多公式。
3、印象较深的就是考了第四章矩阵特征值与特征向量的计算，推到证明题，较难；还有第七章Romberg求积公式，表7-3。
4、建议整本书都要复习到，不是很难，就是要记忆的内容较多。
三、专业课
1、动力学和汽车理论可以任选一门，其中汽车理论（余志生主编，第五版，机械工业出版社）。
2、题型：简答题、论述题（有的需要画图）、计算题。
3、简答题记不清楚了，论述题记得有个制动过程的分析，114页的
那个图；计算题两个，各20分，第一章的汽车行驶方程式，第六章的汽车平顺性，关于质量系统振动的计算题。
4、专业课注重实际问题的考察，考试内容与能在网上找到的前些年的原题差别很大。
北理研究生数值分析---第九章课件
§1 Euler方法
1.Euler方法 以差分方程初值问题
y n 1 y n hf ( x n , y n ) y 0 y (a ) n 0 ,1, , N 1
的解作为微分方程初值问题的数值解，即
y(xn ) yn
称为Euler方法。
1.用Euler方法求初值问题
( k 0 ,1, 2 , )
y n 1 y n 1
(k )
( k 1)
h 2
f ( x n 1 , y n 1 ) f ( x n 1 , y n 1 )
(k )
( k 1 )
hL 2 hL 2
y n 1 )
k
( k 1)
y n 1
(k ) (0)
k
hL 2
( )
k p 1
hL 2
)
k
] y n 1 y n 1
(1 ) (0)
1
hL 2
y n 1 y n 1 0
(1 ) (0)
2.2 改进Euler法
y n 1 y n hf ( x n , y n ) h y n 1 y n f ( x n , y n ) f ( x n 1 , y n 1 ) 2 预测 校正
约定：不加特别说明，必有 （1） f ( x , y ) 连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，由此保证初始问题的解存在唯一。 （2）步长 h n x n 1 x n ( n 0 ,1, , N 1 ) 为常量 h 。
微分方程离散化的方法
(1) 用差商近似导数
y ( x n ) y ( x n 1 ) y ( x n ) h
北理工考博辅导班：2019北京理工大学机械与车辆学院考博难度解析及经验分享
北理工考博辅导班：2019北京理工大学机械与车辆学院考博难度解析及经验分享北京理工大学机械与车辆学院2019 年博士研究生招生实行“申请―审核”制，符合《北京理工大学2019年博士研究生招生简章》中报考条件的申请人提交相关材料，依据考生申请材料的综合评价结果确定差额综合考核名单，经综合考核后择优推荐拟录取。
强军计划、少数民族骨干计划、论文博士等采取相同的办法同时进行。
一、院系简介北京理工大学机械与车辆学院是国内知名的机械类专业学院，综合实力处于国内同类高校前列，部分研究方向达到国际先进水平，建院以来为我国国民经济和国防工业培养了大批杰出人才。
学院下设车辆工程系、热能与动力工程系、制造工程系、交通工程系、机电科学基础部、工程训练中心、学科基础实验中心、学院办公室等单位。
学院现有教职工322人，其中教授60人，副教授及副高职称人员123人，学院在校学生约3235人。
学院拥有机械工程一级学科、动力机械及工程二级学科等2个国家重点学科;拥有车辆工程、动力机械及工程、机械制造及其自动化、精密与微纳制造等4个国防特色学科，其中机械制造及其自动化是北京市重点学科;拥有光机电微纳制造1个北京市交叉。
拥有装甲车辆工程(原地面武器机动工程)、车辆工程、机械工程(原机械工程和自动化)等3个国家级特色本科专业，装甲车辆工程(原地面武器机动工程)1个国防重点本科专业，工业工程1各国防紧缺本科专业。
学院下设4个博士后流动站，10个博士点，18个硕士点，7个本科专业，4个专业学位(工程硕士)授予领域，1个高职专业。
学院承担国家"973"、国家自然科学基金、国家"863"、国家和国防关键技术攻关、国防预先研究和应用研究、国防军品型号研制和科技奥运等项目，年均到校科研经费超过2亿元，与国内各大汽车企业及国外部分著名汽车公司建立了广泛的人才培养和科研合作关系。
近年来学院获国家科技奖励8项，其中国家科技进步一等奖2项，国家科技进步二等奖4项，国家技术发明二等奖2项。
2010-2011学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷
20102011学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷20102011学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷1一20分考虑线性方程组axb其中a111t1222123312b4321341
2010-2011 学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷 1 一（20 分）考虑线性方程组 Ax=b，其中 A= 1 1 1
π 2 0
1−
3 cos x 4
2
dx，
用数值积分的方法求其近似值（要求计算结果具有四位有效数字） 。 2 四（15 分）用迭代法求 x +10x-18=0 在[1,2]内的根，取初值为 1.5 1. 构造一个收敛的迭算 2 步，然后采用 Aitken 加速算法再计算一步是否能得 到更精确的近似值？计算过程中小数点后保留 4 位。 五（10 分）求函数 ex 在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。 y ′ + y = 0, xϵ[0,1] 六（20 分）对初值问题 y 0 =1 1. 求此微分方程的精确解。 2. 证明：用格式yn+1 = yn + 2 (−yn − yn+1 )所求得的近似解在步长 h0 时收敛 于精确解。 3. 写出上述格式的 Matlab 程序源代码， 要求： 输出近似解曲线图和误差曲线图。
T
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 ，b=（4，3，2，1） 3 4
1. 用平方根法解线性方程组。 2. 对上述方程组构造收敛的迭代格式，说明其收敛原因，取初始值 X（0）=（0,0,0,0）T 用所给的迭代格式计算迭代序列的前两项（用分数表示） 。 二（15 分）已知sin （0.32）=0.314567，sin （0.34）=0.333487 均具有 6 位有效 数字。 1. 请用线性插值求sin （0.33）的近似值。 2. 证明在区间[0.32,0.34]上用线性插值求sin x的近似值时至少有 4 位有效数字。 三（20 分）长半轴为 2，短半轴为 1 的椭圆的周长 s 为 s=8
北理工考博数值分析——试卷
一、填空题：(共20分)1.非奇异矩阵的条件数为，条件数的大小反映了方程组的。
2.的相对误差和的相对误差之间的关系是。
3．给出一个求解对任意初值都收敛的迭代公式，说明如何获得及收敛理由。
4. 设为互异节点，为对应节点上的拉格朗日插值基函数，则, 。
5．设互异，则当时，；。
6．数值积分公式的代数精确度是，____Gauss型求积公式。
二、（10分）设阶矩阵对称正定，用迭代公式求解。
问实数取何值时迭代收敛？三、（13分）设有线性方程组， (1)将系数矩阵A分解为，求；(2)求解方程组。
四、（10分）用最小二乘法确定中的参数和，使该函数曲线拟合于下列形式的数据（推导满足的正则方程组）。
五、（10分）求四次插值多项式，使其满足条件，并写出插值余项。
六、（10分）设，考虑方程，证明求解该方程的牛顿法产生的序列（其中）是收敛的；并求，使得。
七、（15分）对于积分，当要求误差小于时，用复化梯形公式及复化抛物线公式计算近似值时，所需节点数及步长分别为多少？计算满足精度要求的近似值。
八、（12分）试求系数，使3步公式的阶数尽可能高，并写出其局部截断误差的主项。
一、（12分）设有线性方程组，（1）将系数矩阵A分解为L和U的乘积，其中L是单位下三角阵，U是上三角阵；（2）解线性方程组。
二、（18分）（1）已知数据：试分别用线性及二次插值计算的近似值，并估计误差。
（2）设，试求三次插值多项式使得,并对任一写出误差估计式。
三、（20分）（1）设线性方程组的系数矩阵试写出收敛的迭代计算公式；（2）若线性方程组的系数矩阵，用表示迭代法和迭代法收敛的充分必要条件。
四、（15分）（1）若用复化梯形、复化辛普森公式计算积分的近似值，要求计算结果有5位有效数字，分别应取多大？（2）选一复化求积公式计算积分的近似值，要求截断误差小于。
五、（10）确定，使求积公式的代数精确度尽可能高，并指出是否是型求积公式。
六、（15分）试用法推导出求近似值的迭代格式, 并用导出的公式计算的近似值，要求误差不超过。
北理工考博辅导班：2019北京理工大学数学考博难度解析及经验分享
北理工考博辅导班：2019北京理工大学数学考博难度解析及经验分享一、专业介绍数学源自于古希腊语，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。
透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。
数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。
北京理工大学数学与统计学院的数学专业在博士招生方面，划分为5个研究方向：数学(070100)研究方向：01.代数及其表示；02.几何、拓扑与分析；03.图论与组合优化；04.微分方程理论及其应用；05.计算、几何力学与控制此专业实行申请考核制。
二、选拔时间数学与统计学院将在2019年3月进行博士研究生招生工作。
三、考核内容1、数学专业：参加如下三个科目的笔试，各科满分100分。
科目一：英语（笔试，公共课，每位考生必考，由学校统一命题）。
科目二：泛函分析（笔试，数学基础课，每位考生必考，由数学与统计学院命题）。
科目三：业务课（笔试，数学专业课程，每位考生根据拟报考导师的要求任选如下7门课程中的1门参加考试，由数学与统计学院命题）。
李代数，黎曼几何，数学物理方程，算子代数，模糊数学，随机过程，图论。
2、综合复试：综合复试包括外语听力、口语测试和专业综合测试三个部分。
综合复试成绩为上述各部分成绩之和，复试成绩实行百分制，成绩低于60分不予录取。
四、申请材料（1）《北京理工大学2019年报考攻读博士学位研究生登记表》，打印出纸质版，考生本人签字。
（2）两封具有副教授（或相当职称）及以上职称的专家推荐信。
（附件2）（3）本科、硕士阶段课程成绩单原件或加盖人事档案公章的原件。
（4）硕士学位论文摘要及评议材料、答辩决议复印件(往届生)；论文摘要（应届生）。
（5）本科、硕士学历、学位证书复印件。
（6）各类获奖证书、国家大学英语四（六）级证书或其它外语水平证明材料复印件。
（7）能证明科研水平和能力的材料的复印件，包括发表论文、专利、科研获奖、其它学习经历等。
北京理工大学法学院考博参考书-考博分数线-专业课真题
资料来源：
考博就找育明教育考博分校
考专题的讲解，是对一一轮和深化和凝练，第三轮是针对真题的难度深度广度灵
活度和缜密度以及出题老师的特点，就出题老师的学科背景，研究重点，上课的
笔记讲稿，论文，研究课题成果等进行深度讲解，第四轮是就最新的理论前沿和
学科热点结合现实的热点进行拔高应用性讲解，最后一轮是模拟练习，教会考生
曲三强，北京理工大学法学院院长、教授、博士生导师；北京大学法学院教
授、博士生导师；中关村知识产权法律保护研究院院长；中国知识产权法学研究
会副会长。曲三强教授在刑法学和知识产权法学两个领域均颇有建树，被誉为法
学界难得的“复合型人才”。在刑法学领域，其具有代表性的论著有《经济犯罪
学》、《犯罪与刑罚新论》等。
4
杨成铭 韩君玲 曲三强 张艳丽 徐昕 李寿平 罗丽
张景瑞
2031 法学 3082 法学 1001 英语
基础理论 前沿问题
2031 法学 3082 法学 1001 英语
基础理论 前沿问题
2031 法学 3082 法学 1、专业英语；2、法学
1001 英语 基础理论
前沿问题
基础理论；3、经济学基
2031 法学 3082 法学 础知识。 1001 英语
资料来源：
考博就找育明教育考博分校
北京理工大学法学院考博参考书-考博分数线-专业课真题
一、专业的设置
北京理工大学法学院招收博士生 4 名，下设法律经济学、空间活动与法律专
业。
其中法律经济学专业下设 4 个方向，分别是杨成铭、韩君玲的法律经济学理
论；曲三强的民商法经济学；张艳丽、徐昕的诉讼法经济学；李寿平、罗丽的国
基础理论 前沿问题
1001 英语 2031 法学 3082 法学
北京理工大学数值分析总复习
考试时带计算器
• 上机题请在11月30日晚9:30之前交，交 打印稿。
• 答疑时间：11月28，29, 30（即星期3, 4， 5）晚上7:30—9:30，上机作业也在答疑 时间交。
• 答疑地点：中教816。
2
第一章 误差
绝对（相对）误差 ( 限 ) 有效数字
(2) H H '((xx ii)) yyii,', (i0,1, ,n).
24
➢ H ( x ) y 0 h 0 ( x ) y 1 h 1 ( x ) y n h n ( x ) y 0 ' H 0 ( x ) y 1 ' H 1 ( x ) y n ' H n ( x )
(i 1 ,2 , ,n )
12
➢ 迭代法收敛的充分必要条件
x(k1) Mx(k) g,
x(0) 任意
收敛
(M)1.
➢ 迭代法收敛的充分条件
若i迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛.
若A为对称正定阵, 则求解Ax=b的Gauss-Seidel迭代 法收敛.
复化梯形公式 复化Simpson公式 Romberg算法 Gauss型求积公式 代数精确度 截断误差
33
代数精确度
设有求积公式
b
n
f(x)dx
a
Akf(xk)
k0
若它对 f (x)=1, x, x2,…, xm 都能精确成立(即上式等
号成立), 但对 f (x)=xm+1 上式等号不成立, 则称该求
hi (x)
xi x0
(2n+1)次多项式
x i x n 1
h i ( x ) 1 2 l i ' ( x ) x ( x i ) l i 2 ( x ),
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
99取6位有效数字得9.94987, 分析以下两种 算法具有几位有效数字; (1)10 99 10 9.94987 0.05013 1 1 (2) 0.0501256399 10 99 10 9, 94987
解: e(10 9.94987) e(10) e(9.94987)
1 n x n1e x 1dx 1 nI n1
1 0
递推公式
I n 1
1 In n n
n k , k 1,1
1 1 e 1 1 k 1 k x e dx I k x dx 0 k 1 0 k 1 1 e 1 1 记做 * Ik ( ) Ik , 则 2 k 1 k 1
0 0 1 1 0 2 L 1 2 1 3 1 2 3
(2)平方根方法
1 0 1 0 D 9 0 1 1
A LDLT
0 0 1 0 解Ly b 2 1 1 2 1 3 1 2 3
例:
解:
(1)
1 2 3 x1 14 用三角分解法解 2 5 2 x2 18 3 1 5 x 20 3
1
( 2) 2 (5) 5 2 2 1 (1) 1 3 2 5 1
( 3)
3
( 2) 2 2 1 ( 3) 3 3 1
( 2 ) 2 2 3 4 (5) 5 3 3 ( 5) ( 4)
1 0 0 1 2 3 A 2 1 0 0 1 4 LU 3 5 1 0 0 24
e( f ( x1 , x2 )) d ( f ( x1 , f 2 )) f1( x1 , x2 )e( x1 ) f 2( x1 , x2 )e( x2 )
例: 给出计算I n x ne x 1dx的递推公式,使得算法稳定
1 0
解:
I n x de
1 n 0
x 1
3 x1 y1 14 1 2 1 4 x2 y2 10 24 x3 y3 72
2 1 3 1 1 2 2 5 0 5 例:用(改进)平方根方法解Ax b，其中A 1 0 14 1 ，b 16 3 5 1 15 8
第一章 基本概念, 误差的传播, 算法的稳定性, 计算中注意的问题
例: 已知下列各数由四舍五入得到
* * * x1 4.8675，x2 4.08675，x3 0.08675 * x1 * * * * * 求x1 x2 x3，x1 x2和 * 的绝对误差限 x2
* 1
解:
1 1 1 4 * 5 * | e( x ) | 10 ，e( x2 ) | 10 ，|e( x3 ) | 105 | 2 2 2 * * * * * * e( x1 x2 x3 ) e( x1 ) e( x2 ) e( x3 )
1 2
1 3 ) e( x ) x 2 e( x ) 解: e( 2 x 1 1 3 er ( ) x 2 e( x ) 1 e( x ) 1 1 x 2 er ( x ) er ( ) 1 1 2 x 2 x 2 x x e( x n ) nx n1e( x) x 2的相对误差是x相对误差的2倍 1 x的相对误差是x相对误差的 倍 2 e( f ( x )) d ( f ( x )) f ( x )e( x )
0 0 1 1 0 2 L 1 2 1 3 1 2 3
解LT x D1 y
1 0 0 0
1 y1 1 0 1 0 y2 0 D 得 y 15 9 0 3 1 y4 1 1
* * * * * x1 e( x1 ) x2 x1 e( x2 ) e( * ) * x2 ( x2 )2 * * x1 x1 1 * * | e( * ) | * | e( x1 ) | * 2 | e( x2 ) | 1.3692 105 x2 x2 ( x2 )
例:
T 4.改 进 的 平 方 根 法 LDL A
Ax b Ly b
LT x D 1 y
5.追 赶 法 系 数 矩 阵 为 三 对 角 矩 阵 ( A )
1和2 3和4 5
A的 各 阶 顺 序 主 子 式 不 于 零 等 系数矩阵 对称正定 A
系数矩阵 为三对角矩阵 A
矩阵和向量的范数 矩阵的条件数 病态方程组 矩阵的谱半径
24
先求Ly=b 得 y
1 y1 14 2 1 y2 18 3 5 1 y 20 3
再求 Ux=y 得x
y1 14 y2 10 y 72 3 x1 1 x2 2 x 3 3
3 x1 1 x 1 2 1 2 0 0 1 2 3 x3 5 3 0 0 1 x4 1 2 1
x1 1 x2 1 得 x3 1 x4 1
1 0 1 0 D 9 0 1 1
0 1 1 2 1 2 3 1 0 0 3 2 0 0 0 1
L LD
1 2
A LLT
解Ly b
0 1 2 1 1 2 3 1
解:用紧凑格式得
0 0 1 1 0 2 L 1 2 1 3 1 2 3
1 0 1 0 D 9 0 1 1
0 0 1 1 0 2 L 1 2 1 3 1 2 3
(1)平方根方法
0 0 y1 1 y1 1 y 0 0 2 2 y2 0 得 y3 5 3 0 y3 16 2 1 y4 8 y4 1
I k 1 I
* k 1
1 * ( I k I k )， k
I k 1 I
* k 1
1 In 1 * ( I k I k )，I n1 n n k
n k , k 1,1
Ik 2 I
* k 2
1 1 * * ( I k 1 I k 1 ) ( Ik Ik ) k 1 k (k 1)
0 y1 1 y1 1 y 0 2 2 y2 0 得 y3 16 0 y3 15 y4 8 1 y4 1
第二章
Jacobi 迭代法的计算公式 (方程组形式 ) ：
a a b ( k 1) ( ( x1 12 x 2k ) 1n x nk ) 1 a11 a11 a11 ( k 1) a 2 n ( k ) b2 a 21 ( k ) x1 xn x2 a 22 a 22 a 22 a n1 ( k ) a n 2 ( k ) a nn 1 ( k ) ( k 1) x1 x2 x n 1 xn a nn a nn a nn
* * * * * * | e( x1 x2 x3 ) || e( x1 ) | | e( x2 ) | | e( x3 ) |
0.6 104
* * * x1 4.8675，x2 4.08675，x3 0.08675
1 1 1 4 * 5 * | e( x ) | 10 ，e( x2 ) | 10 ，|e( x3 ) | 105 | 2 2 2
* 1
* * * * * * e( x1 x2 ) e( x1 ) x2 x1 e( x2 ) * * * * * * | e( x1 x2 ) || e( x1 ) || x2 | | x1 || e( x2 ) | 1 1 4 4.08675 10 +4.8675 10 5 2.28675 104 2 2
* 误差In In可以控制，算法稳定
第二章
求解Ax b的直接方法
1.Gauss消 元 法 列 主 元 素 法 ( ) 2. LU分 解( Doolittle 解) 分 Ax b Ly b Ux y ~ ~T 3.Cholesky分 解 法 平 方 根 法 A L L ( ) ~ ~T Ax b L y b L x y
1 0.5 105 | e( ) | 2 10 9.94987 (10 9.94987)
1 0.25 10 107 2
7
1 0.0501256399 10 99 10 9, 94987
1
有6位有效数字 .
例: 求
1 x 1
的相对误差和x的相对误差之间的关系
1 | e(10 9.94987) || e(10) | | e(9.94987) | 105 2
0.05013 精确到小数点后第 , 有4为有效数字 5位 .
1 e(10 9.94987) e(9.94987) e( ) 2 2 10 9.94987 (10 9.94987) (10 9.94987)
k n
I n I ( 1)
* n
* 0 n
n! * ( I k I k ) , n k , k 1,,1 ,0 k!
1 * I 0 I ( 1) ( Ik Ik ) k!