函数综合检测带解析(2019年中考数学一轮复习)
北京市2019年中考数学真题与模拟题分类汇编 专题09 函数之解答题(73道题)(解析版)
专题09 函数之解答题参考答案与试题解析一．解答题（共73小题）̂与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是AB̂上一动点，连接PC交弦AB 1．（2019•北京）如图，P是AB于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：̂上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：（1）对于点C在AB位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8 PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.360.96 1.13 2.00 2.83AD/cm0.000.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定AD的长度是自变量，PD的长度和PC的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为 2.3和4cm．【答案】解：（1）根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量故答案为：AD、PC、PD；（2）描点画出如图图象；（3）PC ＝2PD ，从图和表格可以看出位置4和位置6符合要求， 即AD 的长度为2.3和4.0．【点睛】本题考查的是动点的函数图象，此类问题主要是通过描点画出函数图象，根据函数关系，在图象上查出相应的近似数值．2．（2019•北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx −1a与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上． （1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P （12，−1a ），Q （2，2）．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【答案】解：（1）A （0，−1a ）点A 向右平移2个单位长度，得到点B （2，−1a ）； （2）A 与B 关于对称轴x ＝1对称， ∴抛物线对称轴x ＝1； （3）∵对称轴x ＝1， ∴b ＝﹣2a ， ∴y ＝ax 2﹣2ax −1a ， ①a ＞0时，当x ＝2时，y =−1a ＜2，当y =−1a时，x ＝0或x ＝2， ∴函数与AB 无交点； ②a ＜0时，当y ＝2时，ax 2﹣2ax −1a=2， x =a+|a+1|a 或x =a−|a+1|a 当a+|a+1|a≤2时，a ≤−12；∴当a ≤−12时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点；【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．3．（2019•北京）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝kx +1（k ≠0）与直线x ＝k ，直线y ＝﹣k 分别交于点A ，B ，直线x ＝k 与直线y ＝﹣k 交于点C ． （1）求直线l 与y 轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB ，BC ，CA 围成的区域（不含边界）为W ． ①当k ＝2时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数； ②若区域W 内没有整点，直接写出k 的取值范围． 【答案】解：（1）令x ＝0，y ＝1， ∴直线l 与y 轴的交点坐标（0，1）； （2）由题意，A （k ，k 2+1），B （−k−1k，﹣k ），C （k ，﹣k ），①当k ＝2时，A （2，5），B （−32，﹣2），C （2，﹣2），在W 区域内有6个整数点：（0，0），（0，﹣1），（1，0），（1，﹣1），（1，1），（1，2）； ②直线AB 的解析式为y ＝kx +1， 当x ＝k +1时，y ＝﹣k +1，则有k 2+2k ＝0， ∴k ＝﹣2，当0＞k ≥﹣1时，W 内没有整数点，∴当0＞k ≥﹣1或k ＝﹣2时W 内没有整数点；【点睛】本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据k 变化分析W 区域内整数点的情况是解题的关键．4．（2019•朝阳区校级一模）如图，半圆O的直径AB＝5cm，点M在AB上且AM＝1cm，点P是半圆O上的动点，过点B作BQ⊥PM交PM（或PM的延长线）于点Q．设PM＝xcm，BQ＝ycm．（当点P与点A 或点B重合时，y的值为0）小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表：x/cm1 1.52 2.53 3.54y/cm0 3.74 3.8 3.3 2.50（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PBM的面积为1时，PM的长度约为 1.1或3.7cm．【答案】解：（1）当x＝2时，PM⊥AB，此时Q与M重合，BQ＝BM＝4，当x＝4时，点P与B重合，此时BQ＝0．故答案为4；0．（2）函数图象如图所示：（3）如图，在Rt△BQM中，∵∠Q＝90°，∠MBQ＝60°，∴∠BMQ＝30°，∴BQ=12BM＝2，观察图象可知y＝2时，对应的x的值为1.1或3.7．故答案为1.1或3.7．【点睛】本题考查圆综合题，垂径定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质、坐标与函数图象问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．5．（2019•怀柔区二模）研究发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的．讲课开始时，学生的注意力激增，中间有一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）．当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分；当10≤x≤20和20≤x≤45时，图象是线段．根据图象回答问题：（1）课堂上，学生注意力保持平稳状态的时间段是10到20分钟．（2）结合函数图象回答，一道几何综合题如果需要讲25分钟，老师最好在上课后大约第4分钟到第29分钟讲这道题，能使学生处于注意力比较集中的听课状态．【答案】解：（1）由图象可知，学生注意力保持平稳状态的时间段为：10到20分钟时， 故答案为：10到20分钟．（2）当0≤x ≤10时，设抛物线的函数关系式为y ＝ax 2+bx +c ， ∵图象过点（0，20），（5，39），（10，48） ∴{c =2025a +5b +c =39100a +10b +c =48 解得a =−15，b =245，c ＝20 ∴y =−15x 2+245x +20，（0≤x ≤10）． 当20≤x ≤45，设其函数解析式为y ＝kx +b 将（20，48），（45，20）代入得 {48=20k +b 20=45k +b 解得{k =−1.12b =70.4∴y ＝﹣1.12x +70.4 令y ＝39得x =2812828128−5=23128∴老师最好在上课后大约第 4分钟到第 29分钟讲这道题，能使学生处于注意力比较集中的听课状态． 故答案为4，29．【点睛】本题是一次函数，二次函数结合函数图象在实际问题中的应用，理论联系实际是解决此类问题的关键．6．（2019•朝阳区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点A （2，0）的直线l ：y ＝mx ﹣3与y 轴交于点B ．（1）求直线l 的表达式；（2）若点C 是直线l 与双曲线y =n x的一个公共点，AB ＝3AC ，求n 的值．【答案】解：（1）∵直线l ：y ＝mx ﹣3过点A （2，0）， ∴0＝2m ﹣3． ∴m =32．∴直线l 的表达式为y =32x ﹣3；（2）当x ＝0时，y ＝﹣3， ∴点B （0，﹣3），如图1，当点C 在BA 延长线上时，作CD ⊥y 轴于点D ，则△BAO ∽△BCD ， ∴BA BC=OA CD=BO BD，即34=2CD=33+OD，解得：CD =83，OD ＝1， ∴点C （83，1），则n =83×1=83；如图2，当点C 在线段AB 上时，作CE ⊥y 轴于点E ，则△BAO ∽△BCE ， ∴BC BA=CE AO=BE BO，即23=CE 2=BE 3，解得：CE =43，BE ＝2， ∴OE ＝BO ﹣BE ＝1， ∴点C 的坐标为（43，﹣1），则n =43×（﹣1）=−43， 综上，n =83或−43．【点睛】本题主要考查直线和双曲线的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式和相似三角形的判定与性质是解题的关键．7．（2019•西城区二模）某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减．若一次服药后每毫升血液中的含药量y （单位：微克）与服药后的时间t （单位：小时）之间近似满足某种函数关系，如表是y 与t 的几组对应值，其部分图象如图所示． t 0 1 2 3 4 6 8 10 … y242.83210.50.25…（1）在所给平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值所对应的点（t ，y ），并补全该函数的图象； （2）结合函数图象，解决下列问题：①某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为 1.41 微克；若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约 7.75 小时；②若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药，第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为 4.25 微克．【答案】解：（1）如图所示：（2）①由函数图象得：某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为1.41微克；当y＝0.5时，t=14或8，8−14=7.75，∴则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约7.75小时；故答案为：1.41，7.75；②第一次服药8小时后2小时，即10小时含药量为0.25微克，第二次服药2小时含药量为4微克，所以第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为：4+0.25＝4.25微克；故答案为：4.25．【点睛】本题主要考查利用函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据坐标画出图象，解题的关键是要分析题意，并会根据图示得出所需要的信息．8．（2019•海淀区二模）有这样一个问题：探究函数y=18x2−1x的图象与性质．小宇从课本上研究函数的活动中获得启发，对函数y=18x2−1x的图象与性质进行了探究．下面是小宇的探究过程，请补充完整：（1）函数y=18x2−1x的自变量x的取值范围是；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，完成以下作图步骤：①画出函数y=14x2和y=−2x的图象；②在x轴上取一点P，过点P作x轴的垂线l，分别交函数y=14x2和y=−2x的图象于点M，N，记线段MN的中点为G；③在x轴正半轴上多次改变点P的位置，用②的方法得到相应的点G，把这些点用平滑的曲线连接起来，得到函数y=18x2−1x在y轴右侧的图象．继续在x轴负半轴上多次改变点P的位置，重复上述操作得到该函数在y轴左侧的图象．（3）结合函数y=18x2−1x的图象，发现：①该函数图象在第二象限内存在最低点，该点的横坐标约为（保留小数点后一位）；②该函数还具有的性质为：当x＞0时，y随x的增大而增大（一条即可）．【答案】解：（1）∵x在分母上，∴x≠0．故函数y=18x2−1x的自变量x的取值范围是x≠0；（2）画出该函数在y轴左侧的图象如图：（3）①点的横坐标约为﹣1.6；（在﹣1.9至﹣1.3之间即可）②该函数的其它性质：当x＞0时，y随x的增大而增大．故答案为：当x＞0时，y随x的增大而增大．【点睛】本题考查了分式有意义的条件、反比例函数的图象、二次函数的图象以及函数的最值，解题的关键是：（1）根据分母不为0，找出x的取值范围；（2）连点，画出函数图象；（3）根据函数图象，寻找函数的性质．9．（2019•丰台区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得点P在射线BC上，且∠APB=14∠ACB（0°＜∠ACB＜180°），则称P为⊙C的依附点．（1）当⊙O的半径为1时，①已知点D（﹣1，0），E（0，﹣2），F（2.5，0），在点D、E、F中，⊙O的依附点是E，F；②点T在直线y＝﹣x上，若T为⊙O的依附点，求点T的横坐标t的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点M、N，若线段MN上的所有点都是⊙C的依附点，直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．【答案】解：（1）①如图1中，根据P为⊙C的依附点，可知：当r＜OP＜3r（r为⊙C的半径）时，点P为⊙C的依附点．∵D （﹣1，0），E （0，﹣2），F （2.5，0）， ∴OD ＝1，OE ＝2，OF ＝2.5， ∴1＜OE ＜3，1＜OF ＜3， ∴点E ，F 是⊙C 的依附点， 故答案为：E 、F ；②如图2中，当点T 在第四象限，OT ′＝1时，作T ′N ⊥x 轴于N ，易知N （√22，0），OT ＝3时，作TM ⊥x 轴于M ，易知M （32√2，0）， ∴满足条件的点T 的横坐标t 的取值范围：√22＜t ＜3√22． 当点T 在第二象限时，同法可得满足条件的t 的取值范围为−3√22＜t ＜−√22， 综上所述，满足条件的t 的值的范围为：√22＜t ＜3√22或−3√22＜t ＜−√22．（2）如图3﹣1中，当点C 在点M 的右侧时，由题意M（2，0），N（0，2）当CN＝6时，OC=√CN2−ON2=4√2，此时C（4√2，0），当CM＝2时，此时C（4，0），∴满足条件的m的值的范围为4＜m＜4√2．如图3﹣2中，当点C在点M的右侧时，当⊙C与直线MN相切时，易知C′（2﹣2√2，0），当CM＝6时，C（﹣4，0），∴满足条件的m的值的范围为﹣4＜m＜2﹣2√2，综上所述，满足条件的m的值的范围为：4＜m＜4√2或﹣4＜m＜2﹣2√2．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，P为⊙C的依附点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．10．（2019•昌平区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（x＞0）的图象与直线y＝2x﹣2交于点为A（2，m）．（1）求k，m的值；（2）点B 为函数y =k x（x ＞0）的图象上的一点，直线AB 与y 轴交于点C ，当AC ＝2AB 时，求点C 的坐标．【答案】解：（1）∵直线y ＝2x ﹣2过点A （2，m ）， ∴m ＝2×2﹣2＝2 ∴A （2，2），∵y =kx （x ＞0）过点A （2，2）， ∴k ＝2×2＝4； （2）∵AC ＝2AB ， ∴B 点的横坐标为1或3，把x ＝1或3代入y =4x得，y ＝4或43，∴B （1，4），或（3，43），设直线AB 为y ＝ax +b ，把A 、B 的坐标代入求得解析式为y ＝﹣2x +6或y =−23x +103， 令x ＝0，则C （0，6）或C （0，103）．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出B 点的坐标．11．（2019•通州区三模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B （3，﹣3），C （5，0），以OC ，CB 为边作平行四边形OABC ，函数y =kx （x ＜0）的图象经过点A ． （1）求k 的值；（2）若过点A 的直线l 平行于直线OB ，且交函数y =kx （x ＜0）的图象于点D ． ①求直线l 的表达式；②定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数y =k x （x ＜0）的图象在点A ，D 之间的部分与线段AD围成的区域（含边界）为W．结合函数图象，直接写出区域W内（含边界）的整点个数．【答案】解：（1）∵B（3，﹣3），C（5，0），四边形OABC是平行四边形，∴AB＝OC＝5，∴点A的坐标为（﹣2，﹣3），∴k＝6；（2）①设直线OB的表达式为y＝mx，由B点坐标（3，﹣3），可求m＝﹣1，∵过点A的直线l平行于直线OB，∴设直线l的表达式为y＝﹣x+b，把点A的坐标（﹣2，﹣3）代入上式并解得：b＝﹣5，故：直线l的表达式为y＝﹣x﹣5；②将函数表达式：y=6x与直线表达式：y＝﹣x﹣5联立并整理得：x2+5x+6＝0，解得：x＝﹣2或﹣3，故点D的坐标为（﹣3，﹣2），而点A（﹣2，﹣3），由图象分析可见：在点A，D之间的部分与线段AD围成的区域（含边界）为W内，只有D、A两个整点．【点睛】本题考查的是反比例函数综合应用，涉及到一次函数、一元二次方程、平行四边形的知识，综合性强、难度适中．12．（2019•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（2，2），抛物线F：y＝x2﹣2mx+m2﹣2．（1）求抛物线F的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．【答案】解：（1）由函数解析式y＝x2﹣2mx+m2﹣2，可求顶点坐标为（m，﹣2）；（2）当m≤0时，抛物线F与线段AB有公共点时，令x＝0，则m2﹣2≤2，∴﹣2≤m≤2，∴﹣2≤m≤0；当0＜m＜2时，抛物线F与线段AB有公共点时，m2﹣2＞2或m2﹣4m+2＞2，∴m＞2或m＜﹣2或m＞4或m＜0，∴m不存在；当m≥2时，抛物线F与线段AB有公共点时，令x＝2，则m2﹣4m+2≤2，∴0≤m≤4，∴2≤m≤4；综上所述：﹣2≤m≤0，2≤m≤4；【点睛】本题考查二次函数图象及性质；分情况讨论函数图象与线段的交点的存在，并将问题转化为不等式求解是关键．13．（2019•通州区三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a≠0）与y轴交于点A．（1）求点A的坐标和抛物线的对称轴；（2）过点B（0，3）作y轴的垂线l，若抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a≠0）与直线l有两个交点，设其中靠近y轴的交点的横坐标为m，且|m|＜1，结合函数的图象，求a的取值范围．【答案】解：（1）y＝ax2﹣4ax+4＝a（x﹣2）2+4﹣4a．∴点A的坐标为（0，4），抛物线的对称轴为直线x＝2．（2）当a＞0时，临界位置如右图所示：将点（1，3）代入抛物线解析式得3＝a＝4a+4．a=1 3．当a＜0时，临界位置如右图所示：将点（﹣1，3）代入抛物线解析式得3＝a+4a+4．a =−15．∴a 的取值范围为a ＜−15或a ＞13．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与y 轴的交点． 14．（2019•房山区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在点A ，使得∠APC ＝30°，则称P 为⊙C 的半角关联点． 当⊙O 的半径为1时，（1）在点D （12，−12），E （2，0），F （0，2√3）中，⊙O 的半角关联点是 D ，E ；（2）直线l ：y =−√33x −2交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，若直线l 上的点P （m ，n ）是⊙O 的半角关联点，求m 的取值范围．【答案】解：（1）由题意可知在圆上存在点A 使∠ADO ＝30°和∠AEO ＝30°， ∴D ，E 是，⊙O 的半角关联点， 故答案为D ，E ；（2）由直线解析式可直接求得 M(−2√3，0)，N(0，2)，以O 为圆心，ON 长为半径画圆，交直线MN 于点G ， 可得m ≤0，设小圆⊙O 与y 轴负半轴的交点为H ， 连接OG ，HG ∵M （−2√3，0），N （0，2） ∴OM =2√3，ON ＝2， tan ∠OMN =√33∴∠OMN ＝30°，∠ONM ＝60° ∴△OGN 是等边三角形 ∴GH ⊥y 轴，∴点G 的纵坐标为﹣1，代入y =−√33x −2， 可得，横坐标为−√3， ∴m ≥−√3， ∴−√3≤m ≤0；【点睛】本题考查一次函数的综合，新定义，圆的基本概念；理解题意，结合图形，构造三角形求解；15．（2019•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+3a交于点A和点B，点A在x轴上．（1）点A的坐标为（﹣1，0）．（2）①用等式表示a与b之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；②当3√2≤AB≤5√2时，结合函数图象，求a的取值范围．【答案】解：（1）令y＝0，x+1＝0，则A点坐标为（﹣1，0）；故答案为（﹣1，0）；（2）①将（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3a，∴a﹣b+3a＝4a﹣b＝0，∴b＝4a，∵x=−b2a=−2；②设B（m，m+1），AB=√2(m+1)2=√2|m+1|，∵m+1＝am2+4am+3a，m+1＝a（m+1）（m+3），∵m≠﹣1，∴m=1a−3，∴AB=√2|1a−2|，∵3√2≤AB≤5√2，∴3√2≤√2|1a−2|≤5√2，∴−1≤a≤−13或17≤a≤15；【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握交点坐标的含义，不等式的解法是解题的关键．16．（2019•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx(x＞0)的图象G与直线l：y＝﹣x+7交于A（1，a），B两点．（1）求k的值；（2）记图象G在点A，B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W．点P在区域W内，若点P的横纵坐标都为整数，直接写出点P的坐标．【答案】解：（1）把A（1，a）代入y＝﹣x+7得，a＝﹣1+7＝6，∴A（1，6），把（1，6）代入y=kx中可得k＝6；（2）画出直线y＝﹣x+7和函数y=6x（x＞0）的图象如图：由图象可知：点P的坐标．（2，4），（3，3），（4，2）．【点睛】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，并利用数形结合的思想．17．（2019•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中．已知抛物线y＝ax2+bx+a﹣2的对称轴是直线x＝1．（1）用含a的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点A（0，﹣4），B（2，﹣3），若抛物线与线段AB没有公共点，结合函数图象，求a的取值范围；（3）若抛物线与x轴的一个交点为C（3，0），且当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m，n的值．【答案】解：（1）∵−b2a=1，∴b＝﹣2a．∴抛物线为y＝ax2﹣2ax+a﹣2，当x ＝1时，y ＝a ﹣2a +a ﹣2＝﹣2， ∴抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）．答：b ＝﹣2a ；抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）． （2）若a ＞0，抛物线与线段AB 没有公共点；若a ＜0，当抛物线经过点B （2，﹣3）时，它与线段Ab 恰有一个公共点， 此时﹣3＝4a ﹣4a +a ﹣2，解得a ＝﹣1． ∵抛物线与线段AB 没有公共点，∴结合函数图象可知，﹣1＜a ＜0或a ＞0．（3）抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），代入y ＝ax 2﹣2ax +a ﹣2得 0＝9a ﹣6a +a ﹣2， ∴a =12，∴抛物线为y =12x 2﹣x −32，∵当m ≤x ≤n 时，y 的取值范围是m ≤y ≤6， 令y ＝6得：6═12x 2﹣x −32，解得x ＝﹣3（舍）或x ＝5∴由自变量的最小值为m 与函数值的最小值也为m ，由{y =12x 2−x −32y =x得x 2﹣4x ﹣3＝0，∴x ＝2+√7或x ＝2−√7＞−2，此时顶点（1，﹣2）包含在范围内，不符合要求，故舍去； 故满足条件的m ，n 的值为：m ＝2+√7，n ＝5；或m ＝﹣2，n ＝5．【点睛】本题属于二次函数压轴题，综合性较强，需要数形结合来分析，并准确利用二次函数的性质来解题．18．（2019•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）的对称轴与x轴交于点P．（1）求点P的坐标（用含a的代数式表示）；（2）记函数y=−34x+94（﹣1≤x≤3）的图象为图形M，若抛物线与图形M恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．【答案】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2a2x的对称轴是直线x=−−2a22a=a，∴点P的坐标是（a，0）；（2）由题意可知图形M为线段AB，A（﹣1，3），B（3，0）．当抛物线经过点A时，解得a=−32或a＝1；当抛物线经过点B时，解得a=3 2．……………………………………………………（3分）如图1，当a=−32时，抛物线与图形M恰有一个公共点．如图2，当a＝1时，抛物线与图形M恰有两个公共点．如图3，当a=32时，抛物线与图形M恰有两个公共点．结合函数的图象可知，当a ≤−32或0＜a ＜1或a ＞32时，抛物线与图形M 恰有一个公共点． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，熟练掌二次函数图象性质是解题的关键． 19．（2019•怀柔区二模）阅读材料：1903年，英国物理学家卢瑟福通过实验证实，放射性物质放出射线后，这种物质的质量将减少，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．镭的质量由m 0缩减到12m 0需1620年，由12m 0缩减到14m 0需1620年，由14m 0缩减到18m 0需1620年，即镭的质量缩减为原来的一半所用的时间是一个不变的量﹣﹣1620年，一般把1620年称为镭的半衰期．实际上，所有放射性物质都有自己的半衰期．铀的半衰期为4.5×109年，蜕变后的铀最后成为铅．科学家们测出一块岩石中现在含铀和铅的质量，便可以利用半衰期算出从原来含铀量到现在含铀量经过了多少时间，从而推算出这块岩石的年龄． 根据以上材料回答问题：（1）设开始时岩石中含有铀的质量为m 0千克，经过n 个半衰期后，剩余的铀的质量为m 1千克，下表是m 1随n 的变化情况，请补充完整：半衰期n 0 1 2 3 45… 岩石中剩余 铀的质量m 1m 012m 014m 018m 0116m 0132m 0…（2）写出矿石中剩余的铀的质量m 1与半衰期n 之间的函数关系；（3）设铀衰变后完全变成铅，如图是岩石中铅的质量m 2与半衰期n 的函数关系图象，请在同一坐标系中，利用描点法画出岩石中含铀的质量m 1与半衰期n 的函数关系图象： （4）结合函数图象，估计经过个半衰期（精确到0.1），岩石中铀铅质量相等．【答案】解：（1）剩余的铀的质量为：(12)4m0=116m0．故答案为：116m0；（2）根据题意可知：m1=m0⋅(12)n；（3）如图所示：；（4）大约经过个1.1半衰期，岩石中铀铅质量相等．【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．20．（2019•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，该抛物线的顶点D的纵坐标是﹣4．（1）求点A、B的坐标；（2）设直线与直线AC 关于该抛物线的对称轴对称，求直线的表达式；（3）平行于x 轴的直线b 与抛物线交于点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），与直线交于点P （x 3，y 3）．若x 1＜x 3＜x 2，结合函数图象，求x 1+x 2+x 3的取值范围．【答案】解：（1）∵抛物线 y ＝mx 2+2mx ﹣3（m ＞0）的顶点D 的纵坐标是﹣4， ∴−12m−4m 24m=−4，解得m ＝1，∴y ＝x 2+2x ﹣3，令y ＝0，则 x ＝﹣3或1， ∴A （﹣3，0）B （1，0）；（2）∵y ＝x 2+2x ﹣3＝（x +1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴为x ＝﹣1，∵点C （0，﹣3）关于抛物线的对称轴的对称点坐标是E （﹣2，﹣3），点A （﹣3，0）关于该抛物线的对称轴的对称点坐标是B （1，0）， 设直线的表达式为y ＝kx +b ，∵点E （﹣2，﹣3）和点B （1，0）在直线上 ∴{−2k +b =−3k +b =0，解得{k =1b =−1， ∴直线的表达式为y ＝x ﹣1； （3）由对称性可知 x 1+x 22=−1，∴x 1+x 2＝﹣2， ∵x 1＜x 3＜x 2，∴﹣2＜x3＜1，∴﹣4＜x1+x2+x3＜﹣1．【点睛】本题考查了抛物线和x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．21．（2019•朝阳区二模）M（﹣1，−12），N（1，−12）是平面直角坐标系xOy中的两点，若平面内直线MN上方的点P满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点P为线段MN的可视点．（1）在点A1(0，12)，A2(12，0)，A3(0，√2)，A4（2，2）中，线段MN的可视点为A1，A3；（2）若点B是直线y＝x+12上线段MN的可视点，求点B的横坐标t的取值范围；（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围．【答案】解：（1）如图1，以MN为直径的半圆交y轴于点E，以E为圆心，EM长为半径的⊙E交y轴于点F ，∵MN 是⊙G 的直径， ∴∠MA 1N ＝90°，∵M （﹣1，−12），N （1，−12） ∴MN ⊥EG ，EG ＝1，MN ＝2 ∴EM ＝EF =√2，∴∠MFN =12∠MEN ＝45°， ∵45°≤∠MPN ≤90°，∴点P 应落在⊙E 内部，且落在⊙G 外部 ∴线段MN 的可视点为A 1，A 3； 故答案为A 1，A 3；（2）如图，以（0，−12）为圆心，1为半径作圆，以（0，12）为圆心，√2为半径作圆，两圆在直线MN上方的部分与直线y =x +12分别交于点E ，F ． 过点F 作FH ⊥x 轴，过点E 作EH ⊥FH 于点H ， ∵FH ⊥x 轴， ∴FH ∥y 轴，∴∠EFH ＝∠MEG ＝45°， ∵∠EHF ＝90°，EF =√2， ∴EH ＝FH ＝1，∴E （0，12），F （1，32）．只有当点B 在线段EF 上时，满足45°≤∠MBN ≤90°，点B 是线段MN 的可视点． ∴点B 的横坐标t 的取值范围是0≤t ≤1．（3）如图，⊙G 与x 轴交于H ，与y 轴交于E ，连接GH ，OG =12，GH ＝1， ∴OH =√GH 2−OG 2=√12−(12)2=√32， ∴H （√32，0）．E （0，12） 当直线y ＝x +b （b ≠0）与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，若线段CD 上存在线段MN 的可视点，①直线y ＝x +b 与y 轴交点在y 负半轴上 将H （√32，0）代入y ＝x +b 得√32+b ＝0，解得b 1=−√32，将N （1，−12）代入y ＝x +b 得1+b =−12，解得b 2=−32 ∴−32＜b ≤−√32②直线y ＝x +b 与y 轴交点在y 正半轴上 将 E （0，12）代入得b =12，当直线y ＝x +b 与⊙E 相切于T 时交y 轴于Q ，连接ET ，则ET ⊥TQ ， ∵∠EQT ＝45°， ∴TQ ＝ET ＝EM =√2，∴EQ =√ET 2+TQ 2=√(√2)2+(√2)2=2 ∴OQ ＝OE +EQ =12+2=52 ∴12≤b ≤52综上所述：12≤b ≤52或−32＜b ≤−√32．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，圆周角、圆心角的性质，解题关键要将可视点转化为圆内点、圆上点、圆外点分别对弦的视角问题．22．（2019•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）和点A（0，﹣3），将点A向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线C1的对称轴；（3）把抛物线C1沿x轴翻折，得到一条新抛物线C2，抛物线C2与抛物线C1组成的图象记为G，若图象G与线段AB恰有一个交点时，结合图象，求a的取值范围．【答案】解：（1）∵点A（0，﹣3），将点A向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到点B，∴点B的坐标为（2，2）；（2）∵抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴对称轴是直线x=−−2a2a=1；（3）当抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a过点A（0，﹣3）时，此时﹣3a＝﹣3，得a＝1，∵对称轴是直线x＝1，∴当x＝2时，y＜3，点B在抛物线C2下方，此时抛物线C1与线段AB一个交点，抛物线C2与线段AB 没有交点，当抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a过点（0，﹣2）时，﹣3a＝﹣2，得a=2 3，∵对称轴是直线x＝1，∴当x＝2时，y＝2，点B在抛物线C2上，此时抛物线C1与线段AB一个交点，抛物线C2与线段AB有一个交点，∴a 的取值范围是23＜x ≤1；同理可得，当抛物线C 2：y ＝﹣ax 2+2ax +3a 过点A （0，﹣3）或（0，﹣2）时，可以求得a ＝﹣1或a =−23， ∴a 的取值范围是﹣1≤a ＜−23，由上可得，a 的取值范围是﹣1≤a ＜−23或23＜x ≤1．【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．23．（2019•东城区二模）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx +2与双曲线y =6x的一个交点是A （m ，3）． （1）求m 和k 的值；（2）设点P 是双曲线y =6x上一点，直线AP 与x 轴交于点B ．若AB ＝3PB ，结合图象，直接写出点P 的坐标．【答案】解：（1）把点A （m ，3）的再把代入y =6x得到m ＝2， 再把A （2，3）的再把代入y ＝kx +2，3＝2k +2，解得k =12， 所以m ＝2，k =12．（2）①当点P 在第三象限时，如图1，作AE ⊥x 轴于E ，PF ⊥x 轴于F ，∵AE ∥PF ， ∴AE PF =AB PB=3，∴3PF=3，∴PF ＝1， ∴P （﹣6，﹣1）．②当点P 在第一象限时，如图2，作AE ⊥x 轴于E ，PF ⊥x 轴于F ，∵AE ∥PF ， ∴AE PF =AB PB=3，∴3PF=3，∴PF ＝1， ∴P （6，1），综上所述，满足条件的点P 坐标为（﹣6，﹣1）或（6，1）．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分类退了的思想思考问题，属于中考常考题型．24．（2019•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y =kx的图象经过点P （3，4）． （1）求k 的值； （2）求OP 的长；（3）直线y ＝mx （m ≠0）与反比例函数的图象有两个交点A ，B ，若AB ＞10，直接写出m 的取值范围． 【答案】解：（1）∵反比例函数y =kx 的图象经过点P （3，4）， ∴k ＝12，（2）过点P 作PE ⊥x 轴于点E ．∵点P （3，4）， ∴OE ＝3，PE ＝4．∴在Rt △EOP 中，由勾股定理可求OP ＝5；（3）由（2）可知，当A （﹣3，﹣4），B （3，4）或A （﹣4，﹣3），B （4，3）时，AB ＝10，m =43或m =34若AB ＞10，则m ＞43或0＜m ＜34．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，勾股定理的应用．25．（2019•东城区二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2﹣1与y 轴交于点C ． （1）试用含m 的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2﹣1沿直线y ＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y 轴交于点D ．若m ＞0，CD ＝8，求m 的值；（3）已知A （2k ，0），B （0，k ），在（2）的条件下，当线段AB 与抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2﹣1只有一个公共点时，直接写出k 的取值范围．【答案】解：（1）∵y ＝x 2﹣2mx +m 2﹣1＝（x ﹣m ）2﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为（m ，﹣1）；（2）由对称性可知，点C 到直线y ＝﹣1的距离为4， ∴OC ＝3， ∴m 2﹣1＝3， ∵m ＞0， ∴m ＝2； （3）∵m ＝2，∴抛物线为y ＝x 2﹣4x +3，当抛物线经过点A （2k ，0）时，k =12或k =32； 当抛物线经过点B （0，k ）时，k ＝3；∵线段AB 与抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2﹣1只有一个公共点， ∴12≤k ＜32或k ＞3．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，数形结合解题是解决本题的关键．26．（2019•西城区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+3k+6＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程有一个根大于﹣2且小于0，k为整数，求k的值．【答案】（1）证明：∵△＝[﹣（k﹣5）2]﹣4（3k+6）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴无论k为何值，方程总有两个实数根；（2）设方程的两个根分别是x1，x2，解方程得x=(k+5)±√(k−1)22，∴x1＝k+2，x2＝3．由题意可知﹣2＜k+2＜0，即﹣4＜k＜﹣2．∵k为整数．∴k＝﹣3．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根与系数的关系，综合性较强，难度适中．27．（2019•顺义区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+k与双曲线y=4x（x＞0）交于点A（1，a）．（1）求a，k的值；（2）已知直线l过点D（2，0）且平行于直线y＝kx+k，点P（m，n）（m＞3）是直线l上一动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交双曲线y=4x（x＞0）于点M、N，双曲线在点M、N之间的部分与线段PM、PN所围成的区域（不含边界）记为W．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m＝4时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内的整点个数不超过8个，结合图象，求m的取值范围．。
2019年深圳中考数学一轮复习《函数及其图象》单元测试卷及答案解析
2019年深圳中考数学一轮复习《函数及其图象》单元测试卷考试时间:90分钟试卷满分:100分一、选择题(本题共12小题,每小题3分,共36分)1.函数,自变量x 的取值范围是()A.x>-2 B.x≥-2C.x≠-2D.x≤-22.在平面直角坐标系中,将点P(-2,3)向下平移4个单位长度得到点P',则点P'所在的象限为()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在平面直角坐标系中,与点(2,-3)关于原点中心对称的点是()A.(-3,2) B.(3,-2)C.(-2,3) D.(2,3)4.一次函数y=2x+4的图象与y 轴的交点坐标是()A.(0,-4) B.(0,4)C.(2,0) D.(-2,0)5.如图D3-1,函数y=4x 和y=ax+8的图象相交于点A(m,6),则关于x 的不等式4x<ax+8的解集是()图D3-1A.x<32B.x<3C.x>32D.x>36.如图D3-2,在平面直角坐标系中,☉O 的半径为1,∠BOA=45°,则过点A 的双曲线的函数解析式是()图D3-2A.y=1xB.y=2xC.y=12xD.y=x 27.已知二次函数y=a(x-1)2-c 的图象如图D3-3所示,则一次函数y=ax+c 的图象可能是()图D3-3图D3-48.已知点A(-1,y1),B(2,y2)都在双曲线y=3+2m x 上,且y1>y2,则m 的取值范围是()A.m<0 B.m>0C.m>-32 D.m<-329.已知二次函数y=x2+(m-1)x+1,当x>1时,y 随x 的增大而增大,则m 的取值范围是()A.m=1 B.m=3C.m≤-1 D.m≥-110.抛物线y=ax2+bx+c 的顶点为D(-1,2),与x 轴的一个交点A 在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图D3-5,则以下结论:①b2-4ac<0;②a+b+c<0;③c-a=2;④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根.其中正确结论的个数为()图D3-5A.1个B.2个C.3个D.4个11.如图D3-6,在正方形ABCD中,AB=3cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动,同时动点N自D点出发沿折线DC-CB以每秒2cm的速度运动,到达B点时运动同时停止,设△AMN 的面积为y(cm2),运动时间为x(秒),则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是()图D3-6图D3-712.如图D3-8,P为反比例函数y=k(k>0)在第一象限内图象上的一点,过点P分别作x轴,y轴的垂线x交一次函数y=-x-4的图象于点A,B,若∠AOB=135°,则k的值是()图D3-8A.2B.4C.6D.8二、填空题(本题共4小题,每小题3分,共12分)13.若点(3-x,x-1)在第二象限,则x的取值范围是.14.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过(2,-1),(-3,4)两点,则它的图象不经过第象限.15.如图D3-9,反比例函数y=k的图象上有一点P,PA⊥x轴于点A,点B在y轴的负半轴上.若△PAB的x面积为3,则反比例函数的解析式为.图D3-9,0,有下列结论:16.如图D3-10,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-1,且过点12图D3-10①abc>0;②a-2b+4c=0;③25a-10b+4c=0;④3b+2c>0;⑤a-b≥m(am+b);⑥若(-2,y1)和,y2在该图象上,则y1<y2.-13其中所有正确的结论是.(填写正确结论的序号)三、解答题(共52分)17.(5分)已知两直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2.若l1⊥l2,则有k1·k2=-1.(1)应用:已知直线y=2x+1与直线y=kx-1垂直,求k的值;(2)已知某直线经过点A(2,3),且与直线y=-1x+3垂直,求该直线的解析式.318.(6分)如图D3-11,一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2=k(k为常数,且k≠0)的图象都经过x点A(m,2).(1)求点A的坐标及反比例函数的解析式;(2)设一次函数与反比例函数的图象的另一交点为B,连接OA,OB,求△AOB的面积;(3)结合图象直接比较,当x>0时,y1与y2的大小.图D3-1119.(7分)某市规定了每月用水18立方米以内(含18立方米)和用水18立方米以上两种不同的收费标准.该市的用户每月应交水费y(元)是用水量x(立方米)的函数,其图象如图D3-12所示.(1)若某月用水量为18立方米,则应交水费多少元?(2)求当x>18时,y关于x的函数表达式.若小敏家某月交水费81元,则这个月用水量为多少立方米?图D3-1220.(8分)如图D3-13,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m的图象在第一象限交于点A(4,2),x与y轴的负半轴交于点B,且OB=6.(1)求函数y=m和y=kx+b的解析式.x(2)已知直线AB与x轴相交于点C.在第一象限内,求反比例函数y=m的图象上一点P,使得S△POC=9.x图D3-1321.(8分)某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(单位:个)与销售单价x(单位:元)有如下关系:y=-x+60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元.(1)求w与x之间的函数关系式;(2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少元?22.(9分)如图D3-14,以原点O为圆心,3为半径的圆与x轴分别交于A,B两点(点B在点A的右边),P 是半径OB上一点,过P且垂直于AB的直线与☉O分别交于C,D两点(点C在点D的上方),直线AC,DB 交于点E.若AC∶CE=1∶2.(1)求点P的坐标;(2)求过点A和点E,且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式.图D3-1423.(9分)如图D3-15,直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=a(x-2)2+k经过点A,B,并与x轴交于另一点C,其顶点为P.(1)求a,k的值;(2)抛物线的对称轴上有一点Q,使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形,求Q点的坐标;(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M,N,使以A,C,M,N为顶点的四边形为正方形,求此正方形的边长.图D3-15参考答案1.A2.C3.C4.B5.A6.C7.A8.D9.D 10.C 11.A12.D [解析]如图,设直线AB 与x 轴交于点G,与y 轴交于点K,则G(-4,0),K(0,-4).所以OG=OK=4,在Rt△GOK 中,∠OGK=∠OKG=45°,∴∠OBG+∠BOG=45°,∠OGB=∠OKA=135°,又∵∠BOA=135°,∠GOK=90°,∴∠BOG+∠AOK=45°,∴∠OBG=∠AOK,∴△BOG ∽△OAK,∴BG OK =OG AK ,过点B 作BM ⊥x 轴于M,过点A 作AN ⊥y 轴于N,设P 点坐标为(x,y),则BM=y,AN=x,∴BG=2y,AK=2x,故2y 4=∴2xy=16,xy=8,∴k=xy=8.13.x>314.三15.y=-6x16.①③⑤⑥17.解:(1)∵l1⊥l2,∴k1·k2=-1,∴2k=-1,解得k=-12.(2)∵过点A 的直线与直线y=-13x+3垂直,∴设过点A 的直线的解析式为y=3x+b.把A(2,3)代入,得3=3×2+b,解得b=-3,∴该直线的解析式为y=3x-3.18.解:(1)∵一次函数y1=x+1的图象经过点A(m,2),∴2=m+1,解得m=1,∴点A 的坐标为(1,2).∵反比例函数y2=k x 的图象经过点A(1,2),∴2=k 1.解得k=2,∴反比例函数的解析式为y2=2x .(2)解方程组y =2x ,y =x +1,得x 1=1,y 1=2,x 2=−2,y 2=−1.∴点B 的坐标为(-2,-1).易得直线y1=x+1与x 轴的交点坐标为(-1,0),∴S△AOB=12×1×(2+1)=32.∴△AOB 的面积为32.(3)由图象,得当0<x<1时,y1<y2;当x=1时,y1=y2;当x>1时,y1>y2.19.[解析](1)观察图象可直接得到用水量为18立方米时的水费;(2)确定直线上两点的坐标,用待定系数法求出y 关于x 的函数表达式.再令y=81求出用水量.解:(1)由图象看出,某月用水量为18立方米,则应交水费45元.(2)设函数表达式为y=kx+b(x>18),∵直线y=kx+b 过点(18,45),(28,75),∴18k +b =45,28k +b =75.解得k =3,b =−9.∴y=3x-9(x>18).由81元>45元,得用水量超过18立方米,∴当y=81时,3x-9=81,解得x=30.答:这个月用水量为30立方米.20.解:(1)∵点A(4,2)在反比例函数y=m x 的图象上,∴m=4×2=8,∴反比例函数的解析式为:y=8x .∵点B 在y 轴的负半轴上,且OB=6,∴点B 的坐标为(0,-6),把A(4,2)和B(0,-6)代入y=kx+b 中,得:4k +b =2,b =−6.解得k =2,b =−6.∴一次函数的解析式为:y=2x-6.(2)设点P 的坐标为n,8n (n>0).在直线y=2x-6上,当y=0时,x=3,∴点C 的坐标为(3,0),即OC=3,∴S△POC=12OC·yP=12×3×8n =9,解得n=43,∴点P 的坐标为43,6,故当S△POC=9时,在第一象限内,反比例函数y=8x 的图象上点P 的坐标为43,6.21.[解析](1)根据利润=(售价-成本)×销量得出w 与x 之间的函数关系式为w=-x2+90x-1800(30≤x≤60);(2)根据二次函数性质确定w 的最大值,w 最大值为225;(3)由w=200,可得方程-(x-45)2+225=200,解一元二次方程,根据实际要求得出符合问题的解,销售单价应定为40元.解:(1)w=(x-30)·y=(x-30)·(-x+60)=-x2+90x-1800,所以w与x的函数关系式为:w=-x2+90x-1800(30≤x≤60).(2)w=-x2+90x-1800=-(x-45)2+225.∵-1<0,∴当x=45时,w有最大值,w的最大值为225.答:销售单价定为45元时,每天销售利润最大,最大销售利润为225元.(3)当w=200时,可得方程-(x-45)2+225=200.解得x1=40,x2=50.∵50>48,∴x2=50不符合题意,应舍去.答:该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为40元.22.[解析](1)过点E作EF⊥x轴于F,设P(m,0).①由相似三角形的判定与性质证得AF=3AP,BF=3PB;②由关系式AF-BF=AB,可得m=1.∴点P的坐标为(1,0).(2)①由已知得A(-3,0),E(9,62),抛物线过点(5,0);②用待定系数法可得抛物线的函数表达式.解:(1)过点E作EF⊥x轴于F,∵CD⊥AB,∴CD∥EF,PC=PD.∴△ACP ∽△AEF,△BPD ∽△BFE.∵AC ∶CE=1∶2,∴AC ∶AE=1∶3.∴AP AF =CP EF =13,DP EF =PB BF =13.∴AF=3AP,BF=3PB.∵AF-BF=AB,∴3AP-3PB=AB.又∵☉O 的半径为3,设P(m,0),∴3(3+m)-3(3-m)=6,∴m=1.∴P(1,0).(2)∵P(1,0),∴OP=1,∵A(-3,0),∴OA=3,∴AP=4,BP=2.∴AF=12.连接BC.∵AB 是直径,∴∠ACB=90°.∵CD ⊥AB,∴△ACP ∽△CBP.∴AP CP =CP BP .∴CP2=AP·BP=4×2=8.∴CP=22.∴EF=3CP=62.∴E(9,62).∵抛物线的顶点在直线CD 上,∴CD 是抛物线的对称轴,∴抛物线过点(5,0).设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+c.根据题意得0=9a −3b +c,0=25a +5b +c,62=81a +9b +c,解得a =28,b =−24,c =−1528,∴抛物线的函数表达式为y=28x2-24x-1528.23.解:(1)∵直线y=-3x+3与x 轴、y 轴分别交于点A,B,∴A(1,0),B(0,3).又∵抛物线y=a(x-2)2+k 经过点A(1,0),B(0,3),∴a +k =0,4a +k =3.解得a =1,k =−1.故a,k 的值分别为1,-1.(2)设Q 点的坐标为(2,m),如图,对称轴x=2交x 轴于点F,过点B 作BE 垂直于直线x=2于点E,在Rt△AQF中,AQ2=AF2+QF2=1+m2,在Rt△BQE中,BQ2=BE2+EQ2=4+(3-m)2,∵AQ=BQ,∴1+m2=4+(3-m)2,∴m=2.∴Q点的坐标为(2,2). (3)当点N在对称轴上时,NC与AC不垂直,∴AC应为正方形的对角线.又∵对称轴x=2是AC的中垂线,∴M点与顶点P(2,-1)重合,N点为点P关于x轴的对称点,其坐标为(2,1).此时,MF=NF=AF=CF=1,且AC⊥MN,∴四边形AMCN为正方形.在Rt△AFN中,AN=AF2+NF2=2,即正方形的边长为2.。
【中考复习】2019年 中考数学 一轮复习 一次函数与反比例函数 (含答案)
2019年中考数学一轮复习一次函数与反比例函数一、选择题1.某复印店复印收费y（元）与复印面数x（面）的函数图象如图所示，从图象中可以看出，复印超过100面的部分，每面收费（）A.0.2元B.0.4元C.0.45元D.0.5元2.下列图形中，表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m，n为常数，且mn≠0)的图象的是( )3.已知P（﹣2，y1），P2（3，y2）是一次函数y=﹣x+b（b为常数）的图象上的两个点，则y1，y2的大小关1系是（）A.y1＜y2B.y1＞y2C.y1=y2D.不能确定4.一次函数y=kx+k的图象可能是（）5.关于函数y=-2x+1，下列结论正确的是（）A.图象必经过点（﹣2，1）B.图象经过第一、二、三象限C.图象与直线y=-2x+3平行D.y随x的增大而增大6.已知点P(a,b)是反比例函数图像上异于点(-2,-2)的一个动点，则的值为( )A.0.5B.1C.1.5D.47.一次函数y=ax+b 和反比例函数y=在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象可能是（ ）8.如图，在正方形ABCD 中，AB=3㎝.动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1㎝的速度运动，同时动点N 自A 点出发沿折线AD —DC —CB 以每秒3㎝的速度运动，到达B 点时运动同时停止.设△AMN 的面积为y(㎝2)，运动时间为x(秒)，则下列图象中能大致反映y 与x 之间函数关系的是( )9.在平面直角坐标系中，已知A(﹣1，﹣1)、B(2，3)，若要在x 轴上找一点P ，使AP+BP 最短，则点P 的坐标为( )A.(0，0)B.(﹣2.5，0)C.(﹣1，0)D.(﹣0.25，0) 10.如图，在Rt △AOB 中，两直角边OA,OB 分别为x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A/O/B ，若反比例函数y=kx -1的图象恰好经过斜边A /B 的中点，S △ABO =4，tan ∠BAO=2.则k 的值为 .A.3B.4C.6D.8 二、填空题11.已知反比例函数y=x2，当x ＜-1时，y 的取值范围为________. 12.如图，点A 是反比例函数y 1=x 1(x ＞0)图象上一点，过点A 作x 轴的平行线，交反比例函数y 2=xk(x ＞0)的图象于点B ，连接OA 、OB.若△OAB 的面积为2，则k 的值为________.13.如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（﹣3，4），顶点C 在x 轴的负半轴上，函数y=（x ＜0）的图象经过顶点B ，则k 的值为 .14.设函数y=x 3与y=-2x-6的图象的交点坐标为(a ，b)，则ba 21 的值是________. 15.如图,反比例函数y=(k ≠0)的图象经过A ，B 两点,过点A 作AC ⊥x 轴,垂足为C,过点B 作BD ⊥x 轴,垂足为D,连接AO,连接BO 交AC 于点E,若OC=CD,四边形BDCE 的面积为2，则k 的值为 ．16.定义:数x 、y 、z 中较大的数称为max{x,y,z}．例如max{﹣3,1,﹣2}=1,函数y=max{﹣t+4，t, }表示对于给定的t 的值,代数式﹣t+4,t,中值最大的数,如当t=1时y=3,当t=0.5时,y=6.则当t= 时函数y 的值最小． 三、解答题17.如图，直线AB 与x 轴交于点A(1，0)，与y 轴交于点B(0，﹣2).(1)求直线AB 的解析式；(2)若直线AB 上的点C 在第一象限，且S △BOC =2，求点C 的坐标.18.某城市电业局为鼓励居民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，居民应交电费y(元)与用电量x(度)的函数关系如图所示．(1)分别求出当0≤x<50和x≥50时，y与x的函数关系式(2)若某居民该月用电65度，则应交电费多少元?19.某果园苹果丰收，首批采摘46吨，计划租用A，B两种型号的汽车共10辆，一次性运往外地销售．A、（1）求y与x之间的函数关系式；（2）总租车费用最少是多少元？并说明此时的租车方案．20.如图,在平面直径坐标系中,反比例函数y=（x＞0）的图象上有一点A（m,4）,过点A作AB⊥x轴于点B,将点B向右平移2个单位长度得到点C,过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D,CD=.（1）点D的横坐标为（用含m的式子表示）；（2）求反比例函数的解析式．21.如图，一次函数y=﹣x+2的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于D点，且C、D两点关于y轴对称．（1）求A、B两点的坐标；（2）求△ABC的面积．22.近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4 mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46 mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降.如图，根据题中相关信息回答下列问题：（1）求爆炸前后．．空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；（2）当空气中的CO浓度达到34 mg/L时，井下3 km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h 的速度撤离才能在爆炸前逃生？（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4 mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?23.如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（4，6）．双曲线y=（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是边上一点，且△BCF∽△EBD，求直线FB的解析式．参考答案1.B.2.A.3.C.4.B.5.C6.A7.A8.B.9.D10.C11.答案为：-2<y<0；12.答案为：5；13.答案为：﹣32.14.答案为：-2；15.答案为：﹣16.答案为：2．17.解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，∵直线AB过点A(1，0)、点B(0，﹣2)，∴，解得，∴直线AB的解析式为y=2x﹣2.(2)设点C的坐标为(x，y)，∵S△BOC=2，∴•2•x=2，解得x=2，∴y=2×2﹣2=2，∴点C的坐标是(2，2).18.19.解：（1）y与x之间的函数关系式为：y=800x+600（10﹣x）=200x+6000；（2）由题意可得：5x+4（10﹣x ）≥46，∴x ≥6，∵y=200x+6000，∴当x=6时，y 有最小值=7200（元）， 此时租车的方案为：A 型车6辆，B 型车4辆．20.解：（1）∵A （m ，4），AB ⊥x 轴于点B ，∴B 的坐标为（m ，0），∵将点B 向右平移2个单位长度得到点C ，∴点C 的坐标为：（m+2，0），∵CD ∥y 轴，∴点D 的横坐标为：m+2；故答案为：m+2； （2）∵CD ∥y 轴，CD=，∴点D 的坐标为：（m+2，），∵A ，D 在反比例函数y=（x ＞0）的图象上，∴4m=（m+2），解得：m=1， ∴点a 的横坐标为（1，4），∴k=4m=4，∴反比例函数的解析式为：y=．21.22.（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，所以可设y 与x 的函数关系式为1y k x b =+由图象知1y k x b =+过点（0，4）与（7，46）∴14746b k b =⎧⎨+=⎩.解得164k b =⎧⎨=⎩,∴64y x =+,此时自变量x的取值范围是0≤x ≤7. (不取x =0不扣分，x =7可放在第二段函数中)因为爆炸后浓度成反比例下降，所以可设y 与x 的函数关系式为2k y x=.[ 由图象知2k y x =过点（7,46），∴2467k =. ∴2322k =, ∴322y x=，此时自变量x 的取值范围是x ＞7. （2）当y =34时，由64y x =+得,6x +4=34，x=5 .∴撤离的最长时间为7-5=2(小时).∴撤离的最小速度为3÷2=1.5(km/h). (3)当y =4时，由322y x=得, x =80.5，80.5-7=73.5(小时). ∴矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井.23.解：（1）在矩形OABC 中，∵B （4，6），∴BC 边中点D 的坐标为（2，6），∵又曲线y=的图象经过点（2，6），∴k=12，∵E 点在AB 上，∴E 点的横坐标为4，∵y=经过点E，∴E点纵坐标为3，∴E点坐标为（4，3）；（2）由（1）得，BD=2，BE=3，BC=4，∵△FBC∽△DEB，∴=，即=，∴CF=，∴OF=，即点F的坐标为（0，），设直线FB的解析式为y=kx+b，而直线FB经过B（4，6），F（0，），∴，解得，∴直线BF的解析式为y=x+．。
2019年中考数学专题《函数基础知识》复习试卷含答案解析
2019年中考数学专题复习卷: 函数基础知识一、选择题1.函数y=的自变量x的取值范围是（ )A. x＞－1B. x≠-1 C. x≠1D. x＜－12.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温是随时间的变化而变化的，在这一问题中，因变量是（）A. 沙漠B. 骆驼C. 时间 D. 体温3.在下列四个图形中，能作为y是x的函数的图象的是（）A. B.C. D.4. 若函数y= 有意义，则（）A. x＞1B. x＜1 C. x=1D. x≠15.今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用的时间为t(分钟)，所走的路程为s(米)，s与t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是( )A. 小明中途休息用了20分钟 B. 小明休息前爬上的速度为每分钟70米C. 小明在上述过程中所走的路程为6600米D. 小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度6.如图，李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，路途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（）A.B.C.D.7.如图，点E为菱形ABCD边上的一个动点，并沿的路径移动，设点E经过的路径长为x，△ADE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A.B.C.D.8.如图，一个函数的图象由射线、线段、射线组成，其中点，，，，则此函数( )A. 当时，随的增大而增大B. 当时，随的增大而减小C. 当时，随的增大而增大D. 当时，随的增大而减小9.如图，一个函数的图像由射线BA，线段BC，射线CD，其中点A（-1，2），B（1，3），C（2，1），D （6，5），则此函数（）A. 当x＜1，y随x的增大而增大 B. 当x＜1，y随x的增大而减小C. 当x＞1，y随x的增大而增大 D. 当x＞1，y随x的增大而减小10. 函数y= 中，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.11.甲、乙两车沿同一平直公路由A地匀速行驶（中途不停留），前往终点B地，甲、乙两车之间的距离S（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．下列说法：①甲、乙两地相距210千米；②甲速度为60千米/小时；③乙速度为120千米/小时；④乙车共行驶3 小时，其中正确的个数为（）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个12.（2019•邵阳）如图所示的函数图象反映的过程是：小徐从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家，其中x表示时间，y表示小徐离他家的距离．读图可知菜地离小徐家的距离为（）A. 1.1千米B. 2千米 C. 15千米 D. 37千米二、填空题13.函数中,自变量x的取值范围是________.14.在女子3000米的长跑中，运动员的平均速度v= ，则这个关系式中自变量是________．15.在下列函数①y=2x+1；②y=x2+2x；③y= ；④y=﹣3x中，与众不同的一个是________（填序号），你的理由是________．16.某型号汽油的数量与相应金额的关系如图，那么这种汽油的单价为每升________元.17.如图，长方形ABCD中，AB=5，AD=3，点P从点A出发，沿长方形ABCD的边逆时针运动，设点P运动的距离为x；△APC的面积为y，如果5＜x＜8，那么y关于x的函数关系式为________．18.小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是________分钟．19.从﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4这七个数中随机抽取一个数记为a，a的值既是不等式组的解，又在函数y= 的自变量取值范围内的概率是________．20.已知f（x）= ，则f（1）= = ，f（2）= = …若f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）= ，则n的值为________．21. 已知函数f（x）= ，那么f（﹣1）=________．22.甲、乙两人从A地出发前往B地，甲先出发1分钟后，乙再出发，乙出发一段时间后返回A地取物品，甲、乙两人同时达到B地和A地，并立即掉头相向而行直至相遇，甲、乙两人之间相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则甲、乙两人最后相遇时，乙距B地的路程是________米．三、解答题23.已知y=y1+y2， y1与x成正比例，y2与x成反比例，并且当x=1时y=4；当x=3时，y=5．求当x=4时，y的值．解：∵y1与x成正比例，y2与x成反比例，可以设y1=kx，y2= ．又∵y=y1+y2，∴y=kx+ ．把x=1，y=4代入上式，解得k=2．∴y=2x+ ．∴当x=4时，y=2×4+ =8 ．阅读上述解答过程，其过程是否正确？若不正确，请说明理由，并给出正确的解题过程．24.某旅游团上午6时从旅馆出发，乘汽车到距离210km的某著名旅游景点游玩，该汽车离旅馆的距离S （km）与时间t（h）的关系可以用如图的折线表示．根据图象提供的有关信息，解答下列问题：（1）求该团去景点时的平均速度是多少？（2）该团在旅游景点游玩了多少小时？（3）求返回到宾馆的时刻是几时几分？25.小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第回到家中.设小明出发第时的速度为，离家的距离为. 与之间的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）.（1）小明出发第时离家的距离为________ ；（2）当时，求与之间的函数表达式；（3）画出与之间的函数图像.26.我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y（万件）与月份x（月）的关系为：，每件产品的利润z（元）与月份x（月）的关系如下表：（1）请你根据表格求出每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式；（2）若月利润w（万元）=当月销售量y（万件）×当月每件产品的利润z（元），求月利润w（万元）与月份x（月）的关系式；（3）当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？答案解析一、选择题1.【答案】B【解析】：根据题意得：x+1≠0解之：x≠-1故答案为：B【分析】观察函数解析式可知，含自变量的式子是分式，因此分母不等于0，建立不等式求解即可。
苏科版2019中考数学一轮复习专项测试(一次函数A 含答案)
苏科版2019中考数学一轮复习专项测试（一次函数A 含答案）1．梅梅以每件6元的价格购进某商品若干件到市场去销售，销售金额y （元）与销售 量x （件）的函数关系的图象如图所示，则降价后每件商品销售的价格为( )A ．5元B ．15元C ．12.5元D ．10元2．对于一次函数2y k x k =-（k 是常数， 0k ≠）的图象，下列说法正确的是（ ）．A ．是一条抛物线B ．过点1,0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．经过一、二象限D ．y 随着x 增大而减小 3．下列式子中，表示y 是x 的正比例函数是（ ）A ．B ．C ．D ．4．将正方形AOCB 和111ACC B 按如图所示方式放置，点()0,1A 和点1A 在直线1y x =+上点C ，1C 在x 轴上，若平移直线1y x =+使之经过点1B ，则直线1y x =+向右平移的距离为（ ）．A ．4 B ．3 C ．2 D ．15．函数y=中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x≥1B ．x ＞1C ．x≥1且x≠2D ．x≠26．一次函数y=mx+n 的图象如图所示，则方程mx+n =0的解为（ ）A ．x=2B ．y=2C ．x=-3D ．y=-37．甲乙两人同时登西山，甲、乙两人距地面的高度y （米）与登山时间x （分）之间的函数图象如图11所示，乙在A 处提速后的速度是甲登山速度的3.根据图象所提供的信息解答下列问题中正确的个数为（ ）(1)甲登山的速度是每分钟10 米．(2)乙在A 地提速时距地面的高度b 为30 米． (3)登山9分钟时，乙追上了甲．(4)乙在距地面的高度为165米时追上甲．A ．1B ．2C ．3D ．48．已知一次函数. 若随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．9．下列的点在函数y ＝13x －2上的是（ ） A ．(0，2) B ．(3，－2) C ．（－3，3） D ．（6，0）10．一次函数y=mx+n 与正比例函数y=mnx （m ，n 是常数，且mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．当k ＞0时，一次函数y =kx +3k 的图象上不经过第_______象限．12．直线y=kx+b 经过点B （﹣2，0）与直线y=4x+2相交于点A ，与y 轴交于C(0，﹣4)，则不等式4x+2＜kx+b 的解集为____.13．在函数中，自变量x 的取值范围是______ ．14．甲、乙两人同时从A 、B 两地出发相向而行，甲先到达B 地后原地休息，甲、乙两人的距离y （km ）与乙步行的时间x （h ）之间的函数关系的图象如图，则a ＝________15．已知点（3， 5）在直线y ax b =+（a ，b 为常数，且0a ≠）上，则5b a -=_____． 16．函数y =（k +2）x + k 2-4中，当k ＝ ______ 时，它是一个正比例函数．17．若直线y=-x+a 和直线y=x+b 的交点坐标为(m ，8)，则a+b=_________．18．一次函数24y x =-+的图像经过的象限是 ____，它与x 轴的交点坐标是____，与y 轴的交点坐标是______， y 随x 的增大而______．19．一次函数4y x =-与2y x =-+的图象交点的坐标是________，这个交点到原点的距离是________．20．等腰三角形的周长为20cm ，设腰长为xcm ，底边长为ycm ，那么y 与x 之间的函数解析式是_______，其中自变量x 的取值范围是_______。
2019年中考山东省各地市数学试题“二次函数综合题”专题汇编和解析
2019年中考山东省各地市数学试题“二次函数综合题”专题汇编与解析一．解答题（共14小题）1．（2019•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B （4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．2．（2019•菏泽）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在第二象限内，且PE ＝14OD ，求△PBE 的面积． （3）在（2）的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的上方，是否存在点M ，使△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2019•枣庄）已知抛物线y ＝ax 2+32x +4的对称轴是直线x ＝3，与x 轴相交于A ，B 两点（点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式和A ，B 两点的坐标；（2）如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN ＝3时，求点M 的坐标．4．（2019•滨州）如图①，抛物线211482y x x =-++与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ． （1）求直线AD 的函数解析式；（2）如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点 ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离； ②当点P 到直线AD 的距离为524时，求sin ∠PAD 的值．5．（2019•德州）如图，抛物线y＝mx2﹣52mx﹣4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2﹣x1＝11 2．（1）求抛物线的解析式；（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a+2，x2≥92时，均有y1≤y2，求a的取值范围；（3）抛物线上一点D（1，﹣5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC＝∠MCE时，求点M的坐标．6．（2019•济南）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：y＝kx﹣125经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．7．（2019•莱芜区）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△P AC面积为3，求点P的坐标；（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2019•日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+12 PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．9．（2019•烟台）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y＝6x （x＞0）经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t 为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）10．（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2019•淄博）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△P AM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG 的内心为I，试求CI的最小值．12．（2019•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．13．（2019•临沂）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y ＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△P AB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2019•潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝5P的坐标．2019年中考山东省各地市数学试题“二次函数综合题”专题汇编参考解析一．解答题（共14小题）1．（2019•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B （4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．【解】：（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8；（2）∵点A（﹣2，0）、C（0，8），∴OA＝2，OC＝8，∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，∵∠P AE≠∠CAO，∴只有当∠PEA＝∠AOC时，PEA△∽AOC，此时，即：，∴AE＝4PE，设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k，∴OE＝4k﹣2，将点P坐标（4k﹣2，k）代入二次函数表达式并解得：k＝0或2316（舍去0），则点P（154，2316）；（3）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，∵l∥y轴，∴∠PDF＝∠COB，∴Rt△PFD∽Rt△BOC，∴，∴S△PDF＝•S△BOC，而S△BOC＝12OB•OC＝＝16，BC＝＝45，∴S△PDF＝•S△BOC＝15PD2，即当PD取得最大值时，S△PDF最大，将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8，设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8），则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，当m＝2时，PD的最大值为4，故当PD＝4时，∴S△PDF＝15PD2＝165．2．（2019•菏泽）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE＝14OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解】：（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，则点B（﹣4，0），则函数的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8），即：﹣8a＝﹣2，解得：a＝14，故抛物线的表达式为：y＝14x2+12x﹣2；（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣12x﹣2，则tan∠ABC＝12，则sin∠ABC5，设点D（x，0），则点P（x，14x2+12x﹣2），点E（x，﹣12x﹣2），∵PE＝14OD，OD＝﹣x，∴PE＝（14x2+12x﹣2+12x+2）＝14x2+x，解得：x＝0或﹣5（舍去x＝0），即点D（﹣5，0）S△PBE＝12×PE×BD＝12（14x2+12x﹣2﹣12x+2）（﹣4﹣x）＝58；（3）由题意得：△BDM是以BD为腰的等腰三角形，①当BD＝BM时，过点M作MH⊥x轴于点H，BD＝1＝BM，则MH＝y M＝BM sin∠ABC＝1×15＝55，则x M＝﹣，故点M（﹣，55）；②当BD＝DM（M′）时，同理可得：点M′（﹣285，45）；故点M坐标为（﹣，5）或（﹣285，45）．3．（2019•枣庄）已知抛物线y＝ax2+32x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN ＝3时，求点M 的坐标．【解】：（1）∵抛物线的对称轴是直线x ＝3，∴﹣＝3，解得a ＝﹣14， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣14x 2+32x +4．当y ＝0时，﹣14x 2+32x +4＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝8，∴点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（8，0）．答：抛物线的解析式为：y ＝﹣14x 2+32x +4；点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（8，0）． （2）当x ＝0时，y ＝﹣14x 2+32x +4＝4，∴点C 的坐标为（0，4）．设直线BC 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将B （8，0），C （0，4）代入y ＝kx +b 得804k b b +=⎧⎨=⎩，解得124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣12x +4． 假设存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大， 设点P 的坐标为（x ，﹣14x 2+32x +4），如图所示，过点P 作PD ∥y 轴，交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为（x ，﹣12x +4）， 则PD ＝﹣14x 2+32x +4﹣（﹣12x +4）＝﹣14x 2+2x ， ∴S 四边形PBOC ＝S △BOC +S △PBC＝12×8×4+12PD •OB ＝16+12×8（﹣14x 2+2x ）＝﹣x 2+8x +16＝﹣（x ﹣4）2+32∴当x ＝4时，四边形PBOC 的面积最大，最大值是32 ∵0＜x ＜8，∴存在点P （4，6），使得四边形PBOC 的面积最大．答：存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大；点P 的坐标为（4，6），四边形PBOC 面积的最大值为32．（3）设点M 的坐标为（m ，﹣+32m +4）则点N 的坐标为（m ，﹣），∴MN ＝|﹣+32m +4﹣（﹣）|＝|﹣214m +2m |，又∵MN ＝3，∴|﹣214m +2m |＝3， 当0＜m ＜8时，﹣214m +2m ﹣3＝0，解得m 1＝2，m 2＝6，∴点M 的坐标为（2，6）或（6，4）； 当m ＜0或m ＞8时，﹣214m +2m +3＝0，解得m 3＝4﹣27，m 4＝4+27， ∴点M 的坐标为（4﹣27，7﹣1）或（4+27，﹣7﹣1）．答：点M 的坐标为（2，6）、（6，4）、（4﹣27，7﹣1）或 （4+27，﹣7﹣1）．4．（2019•滨州）如图①，抛物线211482y x x =-++与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ． （1）求直线AD 的函数解析式；（2）如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点 ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离； ②当点P 到直线AD 的距离为524时，求sin ∠PAD 的值．【解】：（1）当x ＝0时，y ＝4，则点A 的坐标为（0，4）， 当y ＝0时，0＝﹣18x 2+12x +4，解得，x 1＝﹣4，x 2＝8，则点B 的坐标为（﹣4，0），点C 的坐标为（8，0）， ∴OA ＝OB ＝4，∴∠OBA ＝∠OAB ＝45°，∵将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°得到直线AD ， ∴∠BAD ＝90°， ∴OAD ＝45°， ∴∠ODA ＝45°， ∴OA ＝OD ，∴点D 的坐标为（4，0），设直线AD 的函数解析式为y ＝kx +b ，，得14kb=-⎧⎨=⎩，即直线AD的函数解析式为y＝﹣x+4；（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，设点P的坐标为（t，﹣18t2+12t+4），则点N的坐标为（t，﹣t+4），∴PN＝（﹣18t2+12t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣18t2+32t，∵PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠OAD＝∠PNH＝45°，作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，∴PH＝22PN＝22（﹣18t2+32t）＝t＝﹣216（t﹣6）2+924，∴当t＝6时，PH取得最大值24，此时点P的坐标为（6，52），即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，52），最大距离是24；②当点P到直线AD 52时，如右图②所示，则t＝524，解得，t1＝2，t2＝10，则P1的坐标为（2，92），P2的坐标为（10，﹣72），当P1的坐标为（2，92），则P1A＝＝17，∴sin∠P1AD＝534；当P2的坐标为（10，﹣72），则P2A227(100)(4)2-+--＝252，∴sin∠P2AD＝524252＝210；由上可得，sin∠P AD 534或210．5．（2019•德州）如图，抛物线y＝mx2﹣52mx﹣4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2﹣x1＝11 2．（1）求抛物线的解析式；（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a+2，x2≥92时，均有y1≤y2，求a的取值范围；（3）抛物线上一点D（1，﹣5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC＝∠MCE时，求点M的坐标．【解】：（1）函数的对称轴为：x＝﹣＝54＝，而且x2﹣x1＝112，将上述两式联立并解得：x1＝﹣32，x2＝4，则函数的表达式为：y＝m（x+32）（x﹣4）＝m（x2﹣4x+32x﹣6），即：﹣6m＝﹣4，解得：m＝23，故抛物线的表达式为：y＝23x2﹣53x﹣4；（2）由（1）知，函数的对称轴为：x＝54，则x＝92和x＝﹣2关于对称轴对称，故其函数值相等，又a≤x1≤a+2，x2≥92时，均有y1≤y2，结合函数图象可得：2922aa≥-⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得：﹣2≤a≤52；（3）如图，连接BC、CM，过点D作DG⊥OE于点G，而点B、C、D的坐标分别为：（4，0）、（0，﹣4）、（1，﹣5），则OB＝OC＝4，CG＝GD＝1，BC＝42，CD＝2，故△BOC、△CDG均为等腰直角三角形，∴∠BCD＝180°﹣∠OCB﹣∠GCD＝90°，在Rt△BCD中，tan∠BDC＝＝4，∠BDC＝∠MCE，则tan∠MCE＝4，将点B、D坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线BD的表达式为：y＝53x﹣203，故点E（0，﹣203），设点M（n，53n﹣203），过点M作MF⊥CE于点F，则MF＝n，CF＝OF﹣OC＝83﹣53n，tan∠MCE＝＝＝4，解得：n＝32 23，故点M（3223，﹣10023）．6．（2019•济南）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：y＝kx﹣125经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【解】：（1）将A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx中，得解得∴抛物线C解析式为：y＝﹣x2﹣4x，配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴顶点为：G（﹣2，4）；（2）∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．∴新抛物线C′的顶点为：G′（2，﹣4），二次项系数为：a′＝1∴新抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x将A（﹣4，0）代入y＝kx﹣125中，得0＝﹣4k﹣125，解得k＝35-，∴直线l解析式为y＝35-x﹣125，∵D（m，﹣m2﹣4m），∴直线DO的解析式为y＝﹣（m+4）x，由抛物线C与抛物线C′关于原点对称，可得点D、E关于原点对称，∴E（﹣m，m2+4m）如图2，过点D作DH∥y轴交直线l于H，过E作EK∥y轴交直线l于K，则H（m，35-m﹣125），K（﹣m，35m﹣125），∴DH＝﹣m2﹣4m﹣（35-m﹣125）＝﹣m2175-m+125，EK＝m2+4m﹣（35m﹣125）＝m2+175m+125，∵DE＝2EM∴＝13，∵DH∥y轴，EK∥y轴∴DH∥EK∴△MEK∽△MDH∴＝＝13，即DH＝3EK∴﹣m2175-m+125＝3（m2+175m+125）解得：m1＝﹣3，m2＝25 -，∵m＜﹣2∴m的值为：﹣3；（3）由（2）知：m＝﹣3，∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝2如图3，连接BG ，在△ABG 中，∵AB 2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG 2＝2，AG 2＝20∴AB 2+BG 2＝AG 2∴△ABG 是Rt △，∠ABG ＝90°，∴tan ∠GAB ＝＝＝13， ∵∠DEP ＝∠GAB∴tan ∠DEP ＝tan ∠GAB ＝13， 在x 轴下方过点O 作OH ⊥OE ，在OH 上截取OH ＝13OE ＝2， 过点E 作ET ⊥y 轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点；∵E （3，﹣3），∴∠EOT ＝45°∵∠EOH ＝90°∴∠HOT ＝45°∴H （﹣1，﹣1），设直线EH 解析式为y ＝px +q ，则，解得∴直线EH 解析式为y ＝﹣12x 32-， 解方程组213224y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，得11773735x y ⎧--=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，11773735x y ⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴点P的横坐标为：或．7．（2019•莱芜区）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△P AC面积为3，求点P的坐标；（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解】：（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c得：，解得，所以抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）如解（2）图1，过P点作PQ平行y轴，交AC于Q点，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC解析式为y＝x+3，设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3．），则Q点坐标为（x，x+3），∴PQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．∴S△P AC＝，∴，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．当x＝﹣1时，P点坐标为（﹣1，4），当x＝﹣2时，P点坐标为（﹣2，3），综上所述：若△P AC面积为3，点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），（3）如解（3）图1，过D点作DF垂直x轴于F点，过A点作AE垂直BC于E点，∵D为抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的顶点，∴D点坐标为（﹣1，4），又∵A（﹣3，0），∴直线AD为y＝2x+6，AF＝2，DF＝4，tan∠DAB＝2，∵B（1，0），C（0，3）∴tan∠ABC＝3，BC＝10，sin∠ABC＝，直线BC解析式为y＝﹣3x+3．∵AB＝4，∴AE＝AB•sin∠ABC＝＝，BE＝，∴CE＝，∴tan∠ACB＝，∴tan∠ACB＝tan∠P AB＝2，∴∠ACB＝∠P AB，∴使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，如解（3）图2Ⅰ．当∠AOM＝∠CAB＝45°时，△ABC∽△OMA，即OM为y＝﹣x，设OM与AD的交点M（x，y）依题意得：，解得，即M点为（﹣2，2）．Ⅱ．若∠AOM＝∠CBA，即OM∥BC，∵直线BC解析式为y＝﹣3x+3．∴直线OM为y＝﹣3x，设直线OM与AD的交点M（x，y）．则依题意得：，解得，即M点为（65，185），综上所述：存在使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似的点M，其坐标为（﹣2，2）或（65，185），8．（2019•日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+12P A的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．【解】：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5∴C（0，5）y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1∴A（1，0）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点∴解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5∴B（5，0）（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5∴S△ABC＝12AB•OC＝12×4×5＝10∵点M为x轴下方抛物线上的点∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5∴S△ABM＝12AB•MH＝12×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD∴BD＝5﹣4＝1∵AB＝4，BP＝2∴∵∠PBD＝∠ABP∴△PBD∽△ABP∴∴PD＝12 AP∴PC+12P A＝PC+PD∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+12P A＝PC+PD＝CD最小∵CD＝∴PC+12P A419．（2019•烟台）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y＝6x （x＞0）经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t 为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）【解】：（1）C（0，3）∵CD⊥y，∴D点纵坐标是3，∵D在y＝6x上，∴D（2，3），将点A（﹣1，0）和D（2，3）代入y＝ax2+bx+3，∴a＝﹣1，b＝2，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）M（1，4），B（3，0），作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小即为M 'D '+MD 的长；∴M '（﹣1，4），D '（2，﹣3），∴M 'D '直线的解析式为y ＝﹣73x +53 ∴N （57，0），F （0，53）； （3）设P （0，t ），N （r ，t ），作△PBD 的外接圆N ，当⊙N 与y 轴相切时此时圆心N 到BD 的距离最小，圆心角∠DNB 最大，则，∠BPD 的度数最大；∴PN ＝ND ，∴r 22(2)(3)r t -+-∴t 2﹣6t ﹣4r +13＝0，易求BD 的中点为（52，32）， 直线BD 的解析式为y ＝﹣3x +9，∴BD的中垂线解析式y＝13x+23，N在中垂线上，∴t＝13r+23，∴t2﹣18t+21＝0，∴t＝9+215或t＝9﹣215，∵圆N与y轴相切，∴圆心N在D点下方，∴0＜t＜3，∴t＝9﹣215．10．（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE 上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【解】：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（2，0），B（﹣4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝12x2+x﹣4；（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，﹣4），∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP＝+，＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8，＝﹣x2﹣4x+12，＝﹣（x+2）2+16．∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值，∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．（3），∴顶点M（﹣1，﹣92）．如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣92），∴，∴直线AM的解析式为y＝﹣3．在Rt△AOC中，＝25．∵D为AC的中点，∴，∵△ADE∽△AOC，∴，∴，∴AE＝5，∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，∴E（﹣3，0），由图可知D（1，﹣2）设直线DE的函数解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线DE的解析式为y＝﹣﹣32．∴，解得：34158xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴G（）．11．（2019•淄博）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△P AM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG 的内心为I，试求CI的最小值．【解】：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0）∴解得：∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3（2）在y轴上存在点P，使得△P AM为直角三角形．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4∴顶点M（1，4）∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20设点P坐标为（0，p）∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2①若∠PAM＝90°，则AM2+AP2＝MP2∴20+9+p2＝17﹣8p+p2解得：p＝﹣3 2∴P（0，﹣32）②若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2 ∴9+p2+17﹣8p+p2＝20解得：p1＝1，p2＝3∴P（0，1）或（0，3）③若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2 ∴20+17﹣8p+p2＝9+p2解得：p＝72∴P（0，72）综上所述，点P坐标为（0，﹣32）或（0，1）或（0，3）或（0，72）时，△P AM为直角三角形．（3）如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H ∵DG⊥x轴于点G∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°∴四边形IEGH是矩形∵点I为△ADG的内心∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG∴矩形IEGH是正方形设点I坐标为（m，n）∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m∵DA＝OA＝3∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m∴DG＝DH+HG＝m+n∵DG2+AG2＝DA2∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32∴化简得：m2﹣3m+n2+3n＝0配方得：（m﹣32）2+（n+32）2＝92∴点I（m，n）与定点Q（32，﹣32）的距离为∴点I在以点Q（32，﹣32）为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动∴当点I在线段CQ上时，CI最小∵CQ＝∴CI＝CQ﹣IQ＝∴CI最小值为．12．（2019•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．【解】：（1）∵二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）∴9302422a b cca b c++=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩解得：∴二次函数表达式为y＝23x2﹣43x﹣2（2）如图1，记直线BP交x轴于点N，过点P作PD⊥x轴于点D设P（t，23t2﹣43t﹣2）（t＞3）∴OD＝t，PD＝23t2﹣43t﹣2设直线BP解析式为y＝kx﹣2把点P代入得：kt﹣2＝23t2﹣43t﹣2∴k＝23t﹣43∴直线BP：y＝（23t﹣43）x﹣2当y＝0时，（23t﹣43）x﹣2＝0，解得：x＝∴N（，0）∵t＞3∴t﹣2＞1∴，即点N一定在点A左侧∴AN＝3﹣∵S△PBA＝S△ABN+S△ANP＝12AN•OB+12AN•PD＝12AN（OB+PD）＝4∴12＝4解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去）∴23t2﹣43t﹣2＝∴点P的坐标为（4，103）（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使∠ABO＝∠ABM．如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EF⊥y轴于点F∴AB垂直平分OE∴BE＝OB，OG＝GE∴∠ABO＝∠ABM∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90°∴OA＝3，OB＝2，AB＝∴sin∠OAB＝，cos∠OAB＝∵S△AOB＝12OA•OB＝12AB•OG∴OG＝∴OE＝2OG＝∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°∴∠OAB＝∠BOG∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝，cos∠BOG＝∴EF＝OE＝2413，OF＝OE＝3613∴E（2413，﹣3613）设直线BE解析式为y＝ex﹣2把点E代入得：2413e﹣2＝﹣3613，解得：e＝﹣512∴直线BE：y＝﹣512x﹣2当﹣512x﹣2＝23x2﹣43x﹣2，解得：x1＝0（舍去），x2＝118∴点M横坐标为118，即点M到y轴的距离为118．13．（2019•临沂）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y ＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△P AB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解】：（1）y＝x+2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2，故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2），则c＝2，则函数表达式为：y＝ax2+bx+2，将点A坐标代入上式并整理得：b＝2a+1；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴x＝﹣≥0，而b＝2a+1，即：﹣≥0，解得：a，故：a的取值范围为：﹣12≤a＜0；（3）当a＝﹣1时，二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠PQH＝45°，S△P AB＝12×AB×PH＝1222PQ×2＝1，则PQ＝y P﹣y Q＝1，在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，故：|y P﹣y Q|＝1，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点Q（x，x+2），即：﹣x2﹣x+2﹣x﹣2＝±1，解得：x＝﹣1或﹣1，故点P（﹣1，2）或（﹣1，2）或（﹣1﹣2，﹣2）．14．（2019•潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝45时，求点P的坐标．【解】：（1）点B（0，4），则点C（0，2），∵点A（4，0），则点M（2，1）；（2）∵⊙P与直线AD，则∠CAD＝90°，设：∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，tan∠CAO＝＝12＝tanα，则sinα＝5，cosα＝5，AC＝20，则CD＝＝10，则点D（0，﹣8），将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线AD的表达式为：y＝2x﹣8；（3）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+1，将点B坐标代入上式并解得：a＝34，故抛物线的表达式为：y＝34x2﹣3x+4，过点P作PH⊥EF，则EH＝12EF＝25，cos∠PEH＝，解得：PE＝5，设点P（x，34x2﹣3x+4），则点E（x，2x﹣8），则PE＝34x2﹣3x+4﹣2x+8＝5，解得x＝143或2，则点P（143，193）或（2，1）．。
重庆市2019届中考一轮复习《3.3一次函数的应用》讲解含答案.doc
第三节 一次函数的应用课标呈现 指引方向能用一次函数解决简单实际问题． 考点梳理 夯实基础1．利用一次函数性质解决实际问题的步骤： （1）确定实际问题中的自变量和因变量．（2）根据条件中的等量关系确定一次函数表达式及自变量的取值范围． （3）利用函数性质解决实际问题．2．结合一次函数的图象解决实际问题：（1）通过函数图象获取信息时，要分清楚是一个一次函数问题还是几个一次函数问题；要读懂横纵坐标表示的实际意义，要注意平面直角坐标系中点的特征与意义，还需学会将图象中的点的坐标转化为数学语言，建立一次函数模型．（2）数形结合是解决与一次函数应用题的关键方法，能起到事半功倍的作用． 考点精析 专项突破考点一 利用一次函数解析式解决实际问题【例1】（2019洛阳）如图，某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情况进行跟踪记录，根据所记录的数据绘制的函数图象，其中日销售量y(千克)与销售时间x(天)之间的函数关系如图甲所示，销售单价p(元/千克)与销售时间x(天)之间的函数关系如图乙所示． （1）直接写出y 与x 之间的函数关系；（2）分别求出第10天和第15天的销售金额；（3）若日销售量不低于24千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元？x x y p 8O 图乙101020(元/千克)(天)(天)(千克)201530图甲O解题点拨：（1）用待定系数法分别求出0≤x ≤15、15＜x ≤20时销售量y 关于销售时间x 的函数关系式；（2）由图乙先求出0≤x ＜10、10≤x ≤20时销售单价p 关于销售时间x 的函数关系式，再求出x ＝10和x ＝15时的销售单价，最后根据销售额＝销售单价×销售量分别求之；（3）分别求出0≤x ≤15、15＜x ≤20时销售量y ≥24时x 的范围。
可知共有多少天，再结合上述x 的范围根据一次函数性质求p 的最大值即可．解：（1）分两种情况：①当0≤x ≤15时，设日销售量y 与销售时间x 的函数解析式为y ＝k 1x ，∵y ＝k 1x 过点(15，30)，∴15k 1＝30，解得k 1＝2，∴y ＝2x(0≤x ≤15)；②当15＜x ≤20时，设日销售量y 与销售时间x 的函数解析式为y ＝k 2x ＋b ，∵点(15，30)，(20，0)在y ＝k 2x ＋b 的图象上，∴221530200k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得26120k b =-⎧⎨=⎩，∴y ＝－6x ＋120(15＜x ≤20)；综上，可知y 与x 之间函数关系式为：y ＝2(015)6120(1520)x x x x ⎧⎨-+⎩≤≤＜≤．（2）∵第10天和第15天在第10天和第20天之间，∴当10≤x ≤20时，设销售单价p(元/千克)与销售时间x(天)之间的函数解析式为p ＝mx ＋n ，∵点(10，10)，(20，8)在p ＝mx ＋n 的图象上，∴1010208m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得1512m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴p ＝－15x ＋12(10≤x ≤20)，当x ＝10时，p ＝10，y ＝2×10＝20，销售金额为：10×20＝200(元)， 当x ＝15时，p ＝－15×15＋12＝9，y ＝30，销售金额为：9×30＝270(元)．故第10天和第15天的销售金额分别为200元，270元． （3）若日销售量不低于24千克，则y ≥24．当0≤x ≤15时，y ＝2x ，解不等式2x ≥24，得x ≥12；当15＜x ≤20时，y ＝－6x ＋120，解不等式－6x ＋120≥24，得x ≤16， ∴12≤x ≤16，∴“最佳销售期”共有：16－12＋1＝5(天)；∵p ＝－15x ＋12(10≤x ≤20)，－15＜0，∴p 随x 的增大而减小，∴当12≤x ≤16时，x 取12时，p 有最大值，此时p ＝－15×12＋12＝9.6(元/千克)．故此次销售过程中“最佳销售期”共有5天，在此期间销售单价最高为9.6元． 考点二 综合一次函数解析式和图象解决实际问题【例2】（2019无锡）某公司今年如果用原线下销售方式销售一产品，每月的销售额可达100万元．由于该产品供不应求，公司计划于3月份开始全部改为线上销售，这样，预计今年每月的销售额y(万元)与月份x(月)之间的函数关系的图象如图1中的点状图所示(5月及以后每月的销售额都相同)，而经销成本p(万元)与销售额y(万元)之间函数关系的图象如图2中线段AB 所示．y x y p B10020060110(万元)(万元)图2图1(万元)(月)2001751501006542310A（1）求经销成本p(万元)与销售额y(万元)之间的函数关系式； （2）分别求该公司3月，4月的利润；（3）问：把3月作为第一个月开始往后算，最早到第几个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出 200万元？（利润＝销售额－经销成本） 解题点拨：（1）设p ＝ky ＋b ，A(100，60)，B( 200，110)，代入即可解决问题． （2）根据利润＝销售额－经销成本，即可解决问题．（3）设最早到第x 个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元，列出不等式即可解决问题．解：（1）设p ＝ky ＋b ，A(100，60)，B(200，110)，代入得10060200110k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1210k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴p ＝12y ＋10．（2）∵y ＝150时，p ＝85，∴三月份利润为150－85＝65万元． ∵y ＝175时，p ＝97.5，∴四月份利润为175－97.5＝77.5万元．（3）设最早到第x 个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元．∵5月份以后的每月利润为90万元，∴65＋77.5＋90(x －2)－40x ≥200，∴x ≥4.75， ∴最早到第5个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元． 课堂训练 当堂检测1．从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即返回甲地，途中休息了一段时间．假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进，已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km ．下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km ．设小明出发xh 后，到达离甲地ykm 的地方，图中的折线OABCDE 表示y 与x 之间的函数关系，则下列说法正确的有（ ）个①小明骑车在平路上的速度为15km/h ； ②小明途中休息了0.1h ；③如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h ，那么该地点离甲地5.75km ． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3x y EDC B 6.54.510.3/hOA/km【答案】C2．（2019连云港）如图是某地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y(单位：件)与时间t(单位：天)的函数关系，图②是一件产品的销售利润z(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是（ ） A ．第24天的销售量为200件B ．第10天销售一件产品的利润是15元C ．第12天与第30天这两天的日销售利润相等D ．第30天的日销售利润是750元t t y z 253020(天)O(元)5图②图①150(件)O(天)2430100200【答案】C3．（2019重庆）为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程S(米)与所用的时间t(秒)之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第________秒．t S 小茜小静80060(米)(秒)5403602001500【答案】1204．（2019武汉）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x 件．已知产销两种产品的有关信息如下表： 产品 每件售价 （万元）每件成本 （万元）每年其他费用 （万元）每年最大产 销量（件）甲 6 a 20 200 乙201040＋0.05x280其中a 为常数，且3≤a ≤5．（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y 1万元、y 2万元，直接写出y 1、y 2与x 的函数关系式； （2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．解：（1）y 1＝(6－a)x －20(0＜x ≤200)，y 2＝－0.05x 2＋10x －40(0＜x ≤80)； （2）甲产品：∵3≤a ≤5，∴6－a ＞0，∴y 1随x 的增大而增大， ∴当x ＝200时，y 1max ＝1180－200a(3≤a ≤5)．乙产品：y 2＝－0.05x 2＋10x －40(0＜x ≤80) ∴当0＜x ≤80时，y 2随x 的增大而增大， ∴当x ＝80时，y 2max ＝440(万元)．∴产销甲种产品的最大年利润为(1180－200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元； （3）1180－200a ＞440，解得3≤a ＜3.7时，此时选择甲产品； 1180－200a ＝440，解得a ＝3.7时，此时选择甲乙产品； 1180－200a ＜440，解得3.7＜a ≤5时，此时选择乙产品．∴当3≤a ＜3.7时，生产甲产品的利润高；当a ＝3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同；3.7＜a ≤5时，生产乙产品的利润高． 中考达标 模拟自测A 组 基础训练一、选择题1．（2019宜宾）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（ ）A ．乙前4秒行驶的路程为48米B ．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米／秒C ．两车到第3秒时行驶的路程相等D ．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度 【答案】C2．小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程中离家的距离s(米)与散步所用时间t(分)之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（ ） A ．小明看报用时8分钟B ．公共阅报栏距小明家200米C ．小明离家最远的距离为400米D ．小明从出发到回家共用时16分钟 【答案】A3．（2019安徽）一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发，甲以15千米／时的速度匀速跑至点B．原地休息半小时后，再以10千米／时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米／时的速度匀速跑至终点C．下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y（千米）与时间x（小时）函数关系的图象是( )【答案】A4．（2019荆门）如图，正方形ABCD的边长为2cm．动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x( cm)，在下列图象中，能表示△ADP的面积y(2cm)关于x( cm)的函数关系的图象是（）【答案】A二、填空题5．（2019重庆）甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是米．【答案】1756．（2019沈阳）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲，乙两车分别从A、B两地出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止．从甲车出发至甲车到达C地的过程，甲、乙两车各自与C 地的距离y( km)与甲车行驶时间t(h)之间的函数关系如图表示，当甲车出发 h时，两车相距350km．【答案】3 27．（2019苏州）某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各组单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款元．【答案】830或910三、解答题8．某政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力，积极完善城镇居民医疗保险制度，纳入医疗保险的居民的大病住院医疗费用的报销比例标准如下表：医疗费用范围报销比例标准不超过8000元不予报销超过8000元且不超过30000元的部分50%超过30000元且不超过50000元的部分60%超过50000元的部分70%设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为x元，按上述标准报销的金额为y元．（1）直接写出x≤50000时，y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）若某居民大病住院医疗费用按标准报销了20000元，问他住院医疗费用是多少元？解：（1）由题意得：①当x≤8000时，y＝0；②当8000<x≤30000时，y＝(x－8000) ×50% ＝0.5x－4000；③当30000<x≤50000时．y＝(30000-8000)×50%＋(x－30000)× 60%＝ 0.6x－7000：（2）当花费30000元时，报销钱数为：y＝0.5×30000－4000＝11000，∵20000>11000．∴他的住院医疗费用超过30000元，把y＝20000代入y＝0.6x－7000中得：20000＝0.6x－7000，解得：x＝ 45000．答：他住院医疗费用是45000元．9．（2019荆门）A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台．D乡需要农机36台，从A城往C．D两乡运送农机的费用分别为250元／台和200元／台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元／台和240元／台．（1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；（3）现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元(a≤200)作为优惠，其它费用不变，如何调运，使总费用最少？解：(1)W=250x+200( 30-x) +150( 34-x) +240( 6+x)= 140x+12540(0＜x≤30)；(2)根据题意得140x+12540≥16460，∴x≥28．∵x≤30．∴28≤x≤30．∴有3种不同的调运方案，第一种调运方案：从A城调往C城28台，调往D城2台，从B城调往C城6台，调往D城34台；第二种调运方案：从A城调往C城29台，调往D城1台，从B城调往C城5台，调往D城35台；第三种调运方案：从A城调往C城30台，调往D城0台，从B城调往C城4台，调往D城36台．(3)W=(250－a)x+200( 30－x) +150( 34－x) +240( 6+x)=(140一a)x+12540．所以当a= 200时，y最小=－ 60x +12540，此时x=30时y最小=10740元．此时的方案为：从A城调往C城30台，调往D城0台，从B城调往 C城4台，调往D城36台．B组提高练习10．（2019衢州）如图，在△ABC中，AC＝ BC＝25，AB＝ 30，D是AB上的一点（不与A、B重合），DE ⊥BC，垂足是点E，设BD ＝x，四边形ACED的周长为y．则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（）（提示：如图，作CM ⊥AB于M．∵CA＝CB，AB＝30，CM⊥AB，∴AM＝BM＝15，CM ＝22AC BM-＝20，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠CMB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△DEB∽△CMB，∴BD DE EBBC CM BM==，∴252015x DE EB==，∴DE＝45x，EB＝35x，∴四边形ACED的周长为y＝25＋（25－35x）＋45x＋30－x＝－45x＋80．∵0＜x ＜30，∴图象是D【答案】D11．（2019重庆巴蜀）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝32x与双曲线y＝6x相于A、B两点，C 是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP，BC．若△PBC的面积是24，则点C 的坐标为．【答案】（6，1）提示：设BC交y轴于D，如图，设C点坐标为（a，6a），解方程组326y xyx⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得23xy=⎧⎨=⎩或23xy=-⎧⎨=-⎩，∴A点坐标为（2，3），B点坐标为（―2，―3），设直线BC的解析式为y＝kx＋b，把B（―2，―3）、C（a，6a）代入得236k bak ba-+=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得363kaba⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线BC的解析式为y＝3xa＋6a―3，当x＝0时，y＝3xa＋6a―3＝6a―3，∴D点坐标为（0，6a―3），设直线AC的解析式为y＝mx＋n，把A （2，3），C （a ，6a ），代入得236m n am n a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得363m an a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴直线AC 的解析式为y ＝―3x a ＋6a ＋3，当x ＝0时，y ＝―3x a ＋6a ＋3＝6a ＋3，∴P 点坐标为（0，6a ＋3），PD ＝（6a ＋3）―（6a―3）＝6，∵PBC PBD CPDSSS=+，∴12×2×6＋12×a×6＝24，解得a ＝6，∴C 点坐标为（6，1）． 12．（2019扬州）某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y （件）与销售价x （元／件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示，该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不包含债务）．2·1·c ·n ·j ·y(1)求日销售量y （件）与销售价x （元／件）之间的函数关系式：(2)若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元／件时，当天正好收支平衡（收人=支出），求该店员工的人数：www-2-1-cnjy- (3)若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？ 解：（1）当40≤x ≤58时，设y 与x 的函数解析式为y ＝1k x ＋1b ，由图象可得 111140605824k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得112140k b =-⎧⎨=⎩．∴y ＝－2x ＋140． 当58＜x ≤71时，设y 与x 的函数解析式为y ＝2k x ＋2b ，由图象可得 222258247111k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得22182k b =-⎧⎨=⎩，∴y ＝－x ＋82． 综上所述：y ＝()()21404058825871x x x x ⎧-+⎪⎨-+⎪⎩≤≤＜≤．（2）设人数为a ，当x ＝48时，y ＝－2×48＋140＝44，∴（48－40）×44＝106＋82a ，解得a ＝3； 答：该店员工人数为3人．（3）设需要b 天，该店还清所有债务，则：b ［（x －40）·y －82×2－106］≥68400，∴b ≥()6840040822106x y -⋅-⨯-，当40≤x ≤58时，∴b ≥()()68400402140270x x --+-＝26840022205870x x -+-，x ＝()22022-⨯-＝55时，－22x ＋220 x －5870的最大值为180，∴b ≥68400180-，即b ≥380；2-1-c-n-j-y当58＜x ≤71时，b ≥()()684004082270x x --+-＝2684001223550x x -+-，当x ＝()12221-⨯-＝61时，－2x ＋122 x－3550的最大值为171，∴b ≥68400171，即b ≥400． 综合两种情形得b ≥380，即该店最早需要380天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为55元．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．已知m=4+3，则以下对m的估算正确的（）A.2＜m＜3B.3＜m＜4C.4＜m＜5D.5＜m＜62．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①a﹣3b+2c ＞0；②3a﹣2b﹣c＝0；③若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，在直角坐标系中，直线AB：y＝﹣2x+b，直线y＝x与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y＝kx的图象过点C．当S△CDE＝32时，k的值是（）A.18B.12C.9D.34．统计局信息显示，2018年嘉兴市农家乐旅游营业收入达到27.49亿元，若2020年全市农家乐旅游营业收入要达到38亿元，设平均每年比上一年增长的百分率是x，则下列方程正确的是（）A．27.49+27.49x2＝38 B．27.49（1+2x）＝38C．38（1﹣x）2＝27.49 D．27.49（1+x）2＝385．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=45°，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC，BD=DE=2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→D→E→C匀速运动，运动到点C时停止．过点P作PQ ⊥BC于点Q，设△BPQ的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为( )A．B．C．D．6．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC，垂足为点E，则AE的长是（）A．532cm B．25cm C．485cm D．245cm7．方程22111x xx x-=-+的解是（）A．x＝12B．x＝15C．x＝14D．x＝148．下列运算不正确的是（）A．a2·a3=a5B．a6÷a3=a3C．(-3a2)2=9a4D．2m·3n=6m+n9．已知x=2﹣，则代数式（7+4）x2+（2+）x+ 的值是（）A.0B.C.2+D.2﹣10．如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数和众数分别是（）A．中位数31，众数是22 B．中位数是22，众数是31C．中位数是26，众数是22 D．中位数是22，众数是2611．给出四个实数3，13，0，-3，其中无理数是（）A．3B．13C．0 D．-312．﹣π的绝对值是( )A．﹣πB．3.14 C．πD．1π二、填空题13．计算：2142-⎛⎫--=⎪⎝⎭________________。
2019年全国各地中考数学压轴题汇编：函数(山东专版)(解析卷)
2019年全国各地中考数学压轴题汇编（山东专版）函数参照答案与试题分析1．（ 2019?青岛）某商铺购进一批成本为每件30 元的商品，经检查发现，该商品每日的销售量y（件）与销售单价x（元）之间知足一次函数关系，其图象以下图．（1）求该商品每日的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；（2）若商铺按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每日获取的收益 w（元）最大？最大收益是多少？（ 3）若商铺要使销售该商品每日获取的收益不低于800 元，则每日的销售量最少应为多少件？解：（ 1）设 y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y＝ kx+b，将点（ 30， 100）、（ 45， 70）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣ 2x+160；2（ 2）由题意得： w＝（ x﹣ 30）（﹣ 2x+160）＝﹣ 2（x﹣ 55） +1250，∵﹣ 2＜ 0，故当 x＜ 55 时， w 随 x 的增大而增大，而30≤ x≤ 50，∴当 x＝ 50 时， w 由最大值，此时，w＝ 1200，故销售单价定为50 元时，该商场每日的收益最大，最大收益1200 元；（ 3）由题意得：（x﹣ 30）（﹣ 2x+160）≥ 800，x 70∴每日的销售量y＝﹣ 2x+160≥ 20，∴每日的销售量最少应为20 件．2．（ 2019?潍坊）扶贫工作小组对果农进行精确扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与昨年对比，今年这类水果的产量增添了1000 千克，每千克的均匀批发价比昨年降低了 1 元，批发销售总数比昨年增添了20%．（ 1）已知昨年这类水果批发销售总数为10 万元，求这类水果今年每千克的均匀批发价是多少元？（ 2）某水果店从果农处直接批发，专营这类水果．检查发现，若每千克的均匀销售价为41 元，则每日可售出 300 千克；若每千克的均匀销售价每降低3 元，每日可多卖出 180 千克，设水果店一天的收益为 w 元，当每千克的均匀销售价为多少元时，该水果店一天的收益最大，最大收益是多少？（收益计算时，其余花费忽视不计．）解：（ 1）由题意，设这类水果今年每千克的均匀批发价是 x 元，则昨年的批发价为（ x+1）元今年的批发销售总数为 10（ 1+20% ）＝ 12 万元∴整理得 x 2﹣ 19x ﹣ 120＝ 0解得 x ＝ 24 或 x ＝﹣ 5（不合题意，舍去）故这类水果今年每千克的均匀批发价是24 元．（ 2）设每千克的均匀售价为 m 元，依题意 由（ 1）知均匀批发价为 24 元，则有w ＝（ m ﹣ 24）（× 180+300）＝﹣ 260m +4200m ﹣ 66240整理得 w ＝﹣ 60（ m ﹣ 35）2+7260∵ a ＝﹣ 60＜ 0 ∴抛物线张口向下∴当 m ＝ 35 元时， w 取最大值即每千克的均匀销售价为35元时，该水果店一天的收益最大，最大收益是 7260 元3．（ 2019?淄博）如图，极点为M 的抛物线 2y ＝ ax +bx+3 与 x 轴交于 A （ 3，0）， B （﹣ 1， 0）两点， 与 y 轴交于点 C ．（ 1）求这条抛物线对应的函数表达式；（ 2）问在 y 轴上能否存在一点 P ，使得△ PAM 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明原因．（ 3）若在第一象限的抛物线下方有一动点 D ，知足 DA ＝OA ，过 D 作 DG ⊥ x 轴于点 G ，设△ ADG的心里为 I ，试求 CI 的最小值．2解：（ 1）∵抛物线 y ＝ ax +bx+3 过点 A （ 3， 0）， B （﹣ 1， 0）∴解得：∴这条抛物线对应的函数表达式为y ＝﹣ x2+2x+3（ 2）在y 轴上存在点P ，使得△PAM为直角三角形．22∵ y ＝﹣ x +2 x+3＝﹣（ x ﹣ 1） +4∴极点 M （1，4）∴ AM 2＝（ 3﹣ 1）2+42＝ 20设点 P 坐标为（ 0， p ）2 2 22 2 ＝ 1 2 2 2∴AP ＝3+p ＝ 9+ p ， MP +（ 4﹣ p ） ＝ 17﹣ 8p+p22＝ MP 2① 若∠ PAM ＝ 90°，则 AM +AP∴ 20+9+p 2＝ 17﹣8p+p 2解得： p ＝﹣∴ P （ 0，﹣ ）② 若∠ APM ＝ 90°，则 22 2 AP +MP ＝ AM22 ＝ 20∴ 9+p +17 ﹣ 8p+p解得： p 1＝ 1， p 2＝ 3∴ P （ 0， 1）或（ 0， 3）③ 若∠ AMP ＝ 90°，则 AM 2+MP 2＝ AP2∴ 20+17﹣ 8p+p 2 ＝9+p 2解得： p ＝∴ P （0， ）综上所述，点 P 坐标为（ 0，﹣ ）或（ 0， 1）或（ 0， 3）或（ 0， ）时，△（ 3）如图，过点 I 作 IE ⊥ x 轴于点 E ， IF ⊥ AD 于点 F ， IH ⊥ DG 于点 HPAM为直角三角形．∵ DG ⊥x 轴于点 G∴∠ HGE ＝∠ IEG ＝∠ IHG ＝ 90°∴四边形 IEGH 是矩形∵点 I 为△ ADG 的心里∴ IE ＝ IF ＝ IH ，AE ＝AF ，DF ＝ DH ， EG ＝HG∴矩形 IEGH 是正方形设点 I 坐标为（ m ， n ）∴ OE ＝ m ， HG ＝ GE ＝ IE ＝ n∴ AF ＝ AE ＝ OA ﹣ OE ＝3﹣ m∴ AG ＝ GE+AE ＝ n+3﹣ m∵ DA ＝ OA ＝3∴ DH ＝DF ＝ DA ﹣ AF ＝ 3﹣（ 3﹣ m ）＝ m∴ DG ＝DH +HG ＝m+n∵ DG 2+AG 2＝ DA 2∴（ m+n ）2+（ n+3﹣ m ） 2＝32∴化简得： m 2﹣ 3m+n 2+3n ＝ 0配方得：（ m ﹣ ） 2+（ n+ ） 2＝∴点 I （ m ， n ）与定点 Q （ ，﹣ ）的距离为∴点 I 在以点 Q （ ，﹣）为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动∴当点 I 在线段 CQ 上时， CI 最小∵ CQ ＝∴ CI ＝CQ ﹣ IQ ＝∴ CI 最小值为．4．（ 2019?枣庄）已知抛物线 2x+4 的对称轴是直线 x ＝ 3，与 x 轴订交于 A ， B 两点（点 By ＝ax +在点 A 右边），与 y 轴交于点 C ．（ 1）求抛物线的分析式和A ，B 两点的坐标；（ 2）如图 1，若点 P 是抛物线上 B 、 C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），能否存在点 P ，使四边形 PBOC 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形 PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明原因；（ 3）如图 2，若点 M 是抛物线上随意一点，过点M 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 N ，当 MN＝ 3 时，求点 M 的坐标．解：（ 1）∵抛物线的对称轴是直线x ＝ 3，∴﹣＝ 3，解得 a ＝﹣ ，∴抛物线的分析式为： y ＝﹣ x 2 + x+4． 当 y ＝ 0 时，﹣ x 2+x+4＝ 0，解得 x 1＝﹣ 2， x 2 ＝8， ∴点 A 的坐标为（﹣2，0），点 B 的坐标为（ 8，0）．答：抛物线的分析式为： y ＝﹣x 2 + x+4；点 A 的坐标为（﹣ 2， 0），点 B 的坐标为（ 8， 0）． （ 2）当 x ＝ 0 时， y ＝﹣ 2x+4＝4， x + ∴点 C 的坐标为（ 0， 4）．设直线 BC 的分析式为 y ＝ kx+b （k ≠ 0），将 B （ 8， 0）， C （ 0， 4）代入 y ＝ kx+b 得，解得，∴直线 BC假定存在点的分析式为 y ＝﹣x+4 ．P ，使四边形 PBOC 的面积最大，设点P 的坐标为（x ，﹣x 2+x+4），以下图，过点 P 作 PD ∥ y 轴，交直线BC于点D ，则点D 的坐标为（ x ，﹣x+4），则 PD ＝﹣2﹣（﹣ x+4）＝﹣ 2x + x+4 x +2x ，∴ S 四边形 PBOC ＝ S △BOC +S △ PBC＝ × 8× 4+ PD?OB＝ 16+ × 8（﹣ x 2+2x ）＝﹣ x 2+8x+16＝﹣（ x ﹣ 4） 2+32∴当 x ＝ 4 时，四边形 PBOC 的面积最大，最大值是32∵ 0＜ x ＜ 8，∴存在点 P （ 4， 6），使得四边形 PBOC 的面积最大．答：存在点 P ，使四边形 PBOC 的面积最大；点P 的坐标为（ 4， 6），四边形 PBOC 面积的最大值为 32．（ 3）设点 M 的坐标为（ m ，﹣+ +4）则点 N 的坐标为（ m ，﹣），∴ MN ＝ |﹣+ +4﹣（﹣ ）|＝ |﹣+2 m|，又∵ MN ＝ 3，∴ |﹣+2m|＝ 3，当 0＜ m ＜ 8 时，﹣+2 m ﹣3＝ 0，解得 m 1＝ 2， m 2＝ 6，∴点 M 的坐标为（ 2， 6）或（ 6， 4）；当 m ＜ 0 或 m ＞8 时，﹣+2m+3＝ 0，解得 m 3＝4﹣ 2 ， m 4＝ 4+2 ，∴点 M 的坐标为（ 4﹣ 2，﹣ 1）或（ 4+2 ，﹣﹣ 1）．答：点 M 的坐标为（ 2， 6）、（ 6， 4）、（ 4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．5．（ 2019?济宁）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速行进．图中的折线表示两人之间的距离y（ km）与小王的行驶时间 x（ h）之间的函数关系．请你依据图象进行研究：（ 1）小王和小李的速度分别是多少？（ 2）求线段BC 所表示的y 与 x 之间的函数分析式，并写出自变量x 的取值范围．解：（ 1）由图可得，小王的速度为：30÷ 3＝ 10km/h，小李的速度为：（30﹣ 10× 1）÷ 1＝20km/h，答：小王和小李的速度分别是10km/h、 20km/h；（ 2）小李从乙地到甲地用的时间为：30÷20＝，当小李抵达甲地时，两人之间的距离为：10×＝ 15km，∴点 C 的坐标为（，15），设线段 BC 所表示的y 与 x 之间的函数分析式为y＝ kx+b，，得，即线段 BC 所表示的y 与 x 之间的函数分析式是y＝ 30x﹣ 30（1≤ x≤）．B（0， 4），6．（ 2019?潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy 中， O 为坐标原点，点A（ 4， 0），点△ ABO 的中线 AC 与 y 轴交于点C，且⊙ M 经过 O， A， C 三点．（ 1）求圆心 M 的坐标；（ 2）若直线 AD 与⊙ M 相切于点 A ，交 y 轴于点 D ，求直线 AD 的函数表达式；（ 3）在过点 B 且以圆心 M 为极点的抛物线上有一动点P ，过点 P 作 PE ∥ y 轴，交直线 AD 于点 E ．若以 PE 为半径的 ⊙ P 与直线 AD 订交于另一点F ．当 EF ＝ 4 时，求点 P 的坐标．解：（ 1）点 B （ 0， 4），则点 C （ 0，2），∵点 A （ 4， 0），则点 M （ 2， 1）；（ 2）∵ ⊙ P 与直线 AD ，则∠ CAD ＝ 90°，设：∠ CAO ＝ α，则∠ CAO ＝∠ ODA ＝∠ PEH ＝ α，tan ∠ CAO ＝ ＝ ＝ tan α，则 sin α＝ ， cos α＝ ，AC ＝，则 CD ＝＝ 10，则点 D （ 0，﹣ 8），将点 A 、 D 的坐标代入一次函数表达式：y ＝ mx+n 并解得：直线 AD 的表达式为： y ＝ 2x ﹣8；（ 3）抛物线的表达式为： y ＝ a （ x ﹣2） 2+1，将点 B 坐标代入上式并解得： a ＝ ，故抛物线的表达式为：y ＝ x 2﹣ 3x+4，过点 P 作 PH ⊥EF ，则 EH ＝ EF ＝2 ，cos ∠ PEH ＝ ，解得： PE ＝5，设点 P （ x ，x 2﹣ 3x+4），则点 E （ x ， 2x ﹣ 8），则 PE ＝ x 2﹣ 3x+4﹣2x+8＝ 5，解得 x ＝或 2，则点 P （， ）或（ 2， 1）．7．（ 2019?泰安）已知一次函数 y ＝kx+b 的图象与反比率函数y ＝ 的图象交于点 A ，与 x 轴交于点 B（ 5， 0），若 OB ＝AB ，且 S △ OAB ＝．（ 1）求反比率函数与一次函数的表达式；（ 2）若点 P 为 x 轴上一点，△ ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标．解：（ 1）如图 1，过点 A 作 AD ⊥ x 轴于 D ，∵ B （ 5， 0）， ∴ OB ＝ 5，∵ S △ OAB ＝，∴ ×5× AD ＝，∴ AD ＝ 3，∵ OB ＝ AB ，∴ AB ＝ 5，在 Rt △ADB 中， BD ＝＝ 4，∴ OD ＝OB+BD ＝ 9，∴ A （ 9， 3），将点 A 坐标代入反比率函数y ＝ 中得， m ＝ 9× 3＝ 27，∴反比率函数的分析式为y ＝，将点 A （ 9， 3）， B （5， 0）代入直线 y ＝kx+b 中，，∴，∴直线 AB 的分析式为 y ＝ x ﹣；（ 2）由（ 1）知， AB ＝ 5， ∵△ ABP 是等腰三角形， ∴ ① 当 AB ＝PB 时，∴ PB ＝ 5，∴ P （ 0， 0）或（ 10， 0），② 当 AB ＝ AP 时，如图 2，由（ 1）知， BD ＝4，易知，点 P 与点 B 对于 AD 对称，∴ DP ＝ BD ＝4，∴ OP ＝ 5+4+4＝ 13，∴ P （13， 0），③ 当 PB ＝ AP 时，设 P （ a ， 0），∵ A （ 9， 3）， B （ 5，0），∴ AP 2＝（ 9﹣ a ） 2+9，BP 2＝（ 5﹣ a ） 2，∴（ 9﹣ a ） 2+9＝（ 5﹣ a ）2∴ a＝，∴ P（，0），即：知足条件的点 P 的坐标为（ 0， 0）或（ 10， 0）或（ 13， 0）或（， 0）．8．（ 2019?济宁）阅读下边的资料：假如函数y＝ f（ x）知足：对于自变量x 的取值范围内的随意x1， x2，（1）若 x1＜ x2，都有 f（ x1）＜ f（ x2），则称 f（ x）是增函数；（2）若 x1＜ x2，都有 f（ x1）＞ f（ x2），则称 f（ x）是减函数．例题：证明函数 f（x）＝（ x＞ 0）是减函数．证明：设 0＜ x1＜ x2，f（ x1）﹣ f（ x2）＝﹣＝＝．∵0＜ x1＜ x2，∴x2﹣ x1＞0， x1x2＞ 0．∴＞0．即 f（ x1）﹣ f（x2）＞ 0．∴ f（ x1）＞ f（ x2）．∴函数 f （x）═（x＞0）是减函数．依据以上资料，解答下边的问题：已知函数f（ x）＝+x（ x＜ 0），f（﹣ 1）＝+（﹣ 1）＝ 0， f（﹣ 2）＝+（﹣ 2）＝﹣（ 1）计算： f（﹣ 3）＝﹣，f（﹣4）＝﹣；（ 2）猜想：函数 f （x）＝+x（ x＜ 0）是增函数（填“增”或“减”）；（ 3）请模仿例题证明你的猜想．解：（ 1）∵ f（ x）＝+x（ x＜ 0），∴ f（﹣ 3）＝﹣3＝﹣，f（﹣4）＝﹣4＝﹣故答案为：﹣，﹣（2）∵﹣ 4＜﹣ 3， f（﹣ 4）＞ f（﹣ 3）∴函数 f （x）＝+x（ x＜ 0）是增函数故答案为：增（ 3）设 x1＜ x2＜ 0，∵ f（ x1）﹣ f（ x2）＝+x1﹣﹣x2＝（x1﹣x2）（1﹣）∵x1＜ x2＜0，∴x1﹣ x2＜0， x1+x2＜0，∴f（ x1）﹣ f（ x2）＜ 0∴f（ x1）＜ f（ x2）∴函数 f （x）＝+x（ x＜ 0）是增函数9．（ 2019?威海）（ 1）阅读理解如图，点 A，B 在反比率函数y＝的图象上，连结AB，取线段 AB 的中点 C．分别过点A， C，B 作 x 轴的垂线，垂足为E，F ，G， CF 交反比率函数y＝的图象于点D．点 E，F ，G 的横坐标分别为 n﹣ 1， n，n+1（ n＞ 1）．小红经过察看反比率函数y＝的图象，并运用几何知识得出结论：AE+BG＝ 2CF， CF ＞ DF由此得出一个对于，，，之间数目关系的命题：若 n＞ 1，则+＞．（ 2）证明命题小东以为：能够经过“若小晴以为：能够经过“若请你选择一种方法证明（a﹣ b≥ 0，则 a≥b”的思路证明上述命题．a＞ 0， b＞ 0，且 a÷ b≥ 1，则 a≥ b”的思路证明上述命题．1）中的命题．解：（ 1）∵ AE+BG＝ 2CF ，CF ＞DF ， AE＝∴+＞．故答案为：+＞．（ 2）方法一：∵+﹣＝， BG＝＝，DF ＝，，∵n＞ 1，∴n（ n﹣ 1）（ n+1 ）＞ 0，∴+﹣＞0，∴+＞．方法二：∵＝＞1，∴+＞．10．（ 2019?泰安）若二次函数2y＝ ax +bx+c 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于点 A（3，0）、B（ 0，﹣ 2），且过点 C（ 2，﹣ 2）．（ 1）求二次函数表达式；（ 2）若点 P 为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝ 4，求点 P 的坐标；（ 3）在抛物线上（ AB 下方）能否存在点M，使∠ ABO＝∠ ABM ？若存在，求出点M 到 y 轴的距离；若不存在，请说明原因．解：（ 1）∵二次函数的图象经过点A （ 3， 0）、B （ 0，﹣ 2）、C （ 2，﹣ 2）∴解得：∴二次函数表达式为y ＝ x 2﹣ x ﹣ 2（ 2）如图 1，设直线 BP 交 x 轴于点 C ，过点 P 作 PD ⊥ x 轴于点 D设 P （ t ， t 2﹣ t ﹣ 2）（ t ＞3）∴ OD ＝t ， PD ＝ t 2﹣ t ﹣ 2设直线 BP 分析式为 y ＝ kx ﹣ 2把点 P 代入得： kt ﹣ 2＝t 2﹣ t ﹣2∴ k ＝ t ﹣∴直线 BP ：y ＝（ t ﹣） x ﹣2当 y ＝ 0 时，（t ﹣ ） x ﹣2＝ 0，解得： x ＝∴ C （，0）∵ t ＞ 3∴ t ﹣ 2＞ 1∴，即点 C 必定在点 A 左边∴ AC ＝ 3﹣∵ S △ PBA ＝ S △ ABC +S △ACP ＝ A C?OB+ AC ?PD ＝AC （OB+PD ）＝ 4∴＝ 4解得： t 1＝4， t 2＝﹣ 1（舍去）∴ t 2﹣ t ﹣ 2＝∴点 P 的坐标为（ 4，）（ 3）在抛物线上（ AB 下方）存在点 M ，使∠ ABO ＝∠ ABM ．如图 2，作点 O 对于直线AB 的对称点 E ，连结 OE 交 AB 于点 G ，连结 BE 交抛物线于点 M ，过点 E 作 EF ⊥ y 轴于点 F∴ AB 垂直均分 OE∴ BE ＝ OB ，OG ＝ GE∴∠ ABO ＝∠ ABM∵ A （ 3， 0）、 B （ 0，﹣ 2），∠ AOB ＝ 90°∴ OA ＝ 3， OB ＝ 2， AB ＝∴ sin ∠ OAB ＝， cos ∠ OAB ＝∵ S △ AOB ＝ OA?OB ＝ AB?OG∴ OG ＝∴ OE ＝ 2OG ＝∵∠ OAB+∠ AOG ＝∠ AOG+∠ BOG ＝ 90°∴∠ OAB ＝∠ BOG∴ Rt △OEF 中， sin ∠ BOG ＝，cos ∠ BOG ＝∴ EF ＝OE ＝，OF ＝ OE ＝∴E （，﹣）设直线 BE 分析式为 y ＝ ex ﹣ 2把点 E 代入得：e ﹣ 2＝﹣，解得： e ＝﹣∴直线 BE ：y ＝﹣x ﹣ 2当﹣x ﹣ 2＝ x 2﹣ x ﹣ 2，解得： x 1＝ 0（舍去）， x 2＝∴点 M 横坐标为，即点 M 到 y 轴的距离为．11．（ 2019?临沂）汛期到来，山洪暴发．下表记录了某水库20h 内水位的变化状况，此中x 表示时间（单位： h）， y 表示水位高度（单位：m），当 x＝ 8（ h）时，达到戒备水位，开始开闸放水．x/h 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20y/m 14 15 16 17 18 12 9 8（1）在给出的平面直角坐标系中，依据表格中的数据描出相应的点．（2）请分别求出开闸放水前和放水后最切合表中数据的函数分析式．（ 3）据估计，开闸放水后，水位的这类变化规律还会连续一段时间，展望何时水位达到6m．解：（ 1）在平面直角坐标系中，依据表格中的数据描出相应的点，以下图．（ 2）察看图象当 0＜ x＜ 8 时， y 与 x 可能是一次函数关系：设 y＝ kx+b，把（ 0， 14），（ 8， 18）代入得解得： k＝，b＝14，y与x的关系式为：y＝x+14，经考证（ 2， 15），（ 4，16），（6， 17）都知足 y＝ x+14所以放水前y 与 x 的关系式为： y＝x+14（0＜x＜8）察看图象当x＞ 8 时， y 与 x 就不是一次函数关系：经过察看数据发现：8× 18＝ 10×＝ 12× 12＝16× 9＝ 18× 8＝ 144．所以放水后y 与 x 的关系最切合反比率函数，关系式为：所以开闸放水前和放水后最切合表中数据的函数分析式为：＞ 8）（ 3）当 y＝6 时， 6＝，解得：x＝24，y＝．（ x＞ 8）x+14 （0＜ x＜ 8）和．（ x所以估计 24h 水位达到6m．212．（ 2019?威海）在画二次函数y＝ ax +bx+c（ a≠ 0）的图象时，甲写错了一次项的系数，列表以下x ﹣ 1 0 1 2 3y 甲 6 3 2 3 6乙写错了常数项，列表以下：x ﹣ 1 0 1 2 3y 乙﹣ 2 ﹣ 1 2 7 14经过上述信息，解决以下问题：（ 1）求原二次函数2y＝ ax +bx+c（ a≠ 0）的表达式；（ 2）对于二次函数2≥﹣ 1 时， y 的值随 x 的值增大而增大；y＝ ax +bx+c（ a≠ 0），当 x2k 的取值范围．（ 3）若对于 x 的方程 ax +bx+c＝ k（ a≠ 0）有两个不相等的实数根，求解：（ 1）由甲同学的错误可知c＝3，由甲同学供给的数据选x＝﹣ 1， y＝6； x＝ 1，y＝ 2，有，∴，∴a＝ 1，由甲同学给的数据a＝ 1，c＝ 3 是正确的；由乙同学供给的数据，可知c＝﹣ 1，选 x＝﹣ 1， y＝﹣ 2； x＝ 1，y＝2，有，∴，∴ a ＝ 1， b ＝ 2，2 ；∴ y ＝ x +2x+3（ 2） y ＝ x 2+2x+3 的对称轴为直线 x ＝﹣ 1，∴抛物线张口向上，∴当 x ≥﹣ 1 时， y 的值随 x 的值增大而增大；故答案为≥﹣ 1；2（ 3）方程 ax +bx+c ＝ k （ a ≠ 0）有两个不相等的实数根， 即 x 2+2x+3﹣ k ＝ 0 有两个不相等的实数根，∴△＝ 4﹣ 4（ 3﹣ k ）＞ 0，∴ k ＞ 2；13．（ 2019?临沂）在平面直角坐标系中，直线y ＝ x+2 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，抛物线 y2＝ ax +bx+c （ a ＜ 0）经过点 A 、 B ． （ 1）求 a 、 b 知足的关系式及 c 的值．（ 2）当 x ＜ 0 时，若 y ＝ ax 2+bx+c （ a ＜ 0）的函数值随 x 的增大而增大，求 a 的取值范围．（ 3）如图，当 a ＝﹣ 1 时，在抛物线上能否存在点 P ，使△ PAB 的面积为 1？若存在，恳求出切合条件的全部点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1） y ＝ x+2，令 x ＝ 0，则 y ＝ 2，令 y ＝ 0，则 x ＝﹣ 2，故点 A 、 B 的坐标分别为（﹣ 2， 0）、（ 0， 2），则 c ＝ 2，则函数表达式为： y ＝ ax 2+bx+2，将点 A 坐标代入上式并整理得： b ＝ 2a+1；（ 2）当 x ＜ 0 时，若 y ＝ ax 2+bx+c （ a ＜ 0）的函数值随 x 的增大而增大，则函数对称轴 x ＝﹣ ≥ 0，而 b ＝ 2a+1，即：﹣≥ 0，解得： a，故： a 的取值范围为：﹣≤ a ＜ 0；（ 3）当 a ＝﹣ 1 时，二次函数表达式为：y ＝﹣ x 2﹣ x+2，过点 P 作直线 l ∥AB ，作 PQ ∥ y 轴交 BA 于点 Q ，作 PH ⊥ AB 于点 H ，∵ OA ＝ OB ，∴∠ BAO ＝∠ PQH ＝ 45°，S △PAB ＝ × AB ×PH ＝2 × PQ ×＝ 1，则 y P ﹣ y Q ＝1，在直线 AB 下方作直线 m ，使直线 m 和 l 与直线 AB 等距离，则直线 m 与抛物线两个交点坐标，分别与点AB 构成的三角形的面积也为 1，故： |y P ﹣ y Q |＝ 1，设点 P （ x ，﹣ x 2﹣ x+2 ），则点 Q （ x ， x+2），即：﹣ x 2﹣ x+2 ﹣ x ﹣ 2＝± 1，解得： x ＝﹣ 1 或﹣ 1，故点 P （﹣ 1，2）或（﹣ 1， 1）或（﹣ 1﹣，﹣）．14．（ 2019?德州）下表中给出A ，B ，C 三种手机通话的收费方式．收费方式月通话费 /元包时通话时间 /h超时费 /（元 /min ）A 30 25B 50 50C100不限时（ 1）设月通话时间为 x 小时，则方案 A ，B ，C 的收费金额y 1，y 2，y 3 都是 x 的函数，请分别求出这三个函数分析式．（ 2）填空：若选择方式 A 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为 0≤ x ≤；若选择方式 B 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为 ≤ x ≤ ；若选择方式 C 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为x ＞；（ 3）小王、小张今年 5 月份通话费均为 80 元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话时间．解：（ 1）∵ 0.1 元 /min＝ 6 元 /h，∴由题意可得，y1＝，y2＝，y3＝ 100（ x≥ 0）；（ 2）作出函数图象如图：联合图象可得：若选择方式 A 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为：0≤ x＜，若选择方式 B 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为：＜ x＜，若选择方式 C 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为： x＞．故答案为： 0≤ x＜，＜ x＜， x＞．（3）∵小王、小张今年 5 月份通话费均为 80 元，但小王比小张通话时间长，∴联合图象可得：小张选择的是方式A，小王选择的是方式 B，将 y＝ 80 分别代入y2＝，可得6x﹣ 250＝ 80，解得： x＝ 55，∴小王该月的通话时间为55 小时．15．（ 2019?聊城）如图，点A（，4），B（3，m）是直线两个交点， AC⊥ x 轴，垂足为点C，已知 D（ 0， 1），连结AB 与反比率函数AD，BD，BC．y＝（ x＞ 0）图象的（1）求直线 AB 的表达式；（2）△ ABC 和△ ABD 的面积分别为 S1， S2．求 S2﹣ S1．解：（ 1）由点 A（，4），B（3，m）在反比率函数y＝（x＞0）图象上∴4＝∴n＝ 6∴反比率函数的分析式为y＝（x＞0）将点 B（ 3， m）代入 y＝（x＞0）得m＝2∴B（ 3， 2）设直线 AB 的表达式为y＝ kx+b∴解得∴直线 AB 的表达式为y＝﹣；（ 2）由点 A、B 坐标得AC＝ 4，点 B 到AC 的距离为3﹣＝∴ S1＝×4×＝3设 AB 与 y 轴的交点为 E ，可得 E （ 0， 6），如图：∴ DE ＝ 6﹣ 1＝ 5由点 A （ ， 4）， B （ 3， 2）知点 A ， B 到 DE 的距离分别为， 3∴ S 2＝ S △BDE ﹣ S △AED ＝ × 5×3﹣ ×5× ＝∴ S 2﹣ S 1＝﹣ 3＝ ．16．（ 2019?德州）如图，抛物线y ＝ mx 2﹣ mx ﹣ 4 与 x 轴交于 A （x 1， 0）， B （ x 2， 0）两点，与 y轴交于点 C ，且 x 2﹣ x 1＝．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）若 P （ x 1， y 1）， Q （ x 2， y 2）是抛物线上的两点，当a ≤ x 1≤ a+2， x 2≥ 时，均有 y 1≤ y 2，求 a 的取值范围；（ 3）抛物线上一点 D （ 1，﹣ 5），直线 BD 与 y 轴交于点 E ，动点 M 在线段 BD 上，当∠ BDC ＝∠ MCE 时，求点 M 的坐标．解：（ 1）函数的对称轴为： x ＝﹣ ＝ ＝ ，并且 x 2﹣ x 1＝ ，将上述两式联立并解得：x1＝﹣， x2＝ 4，则函数的表达式为：y＝ m（ x+ ）（ x﹣ 4）＝ m（ x2﹣ 4x+ x﹣ 6），即：﹣6m＝﹣ 4，解得：m＝，x2﹣x﹣ 4；故抛物线的表达式为：y＝（ 2）由（1）知，函数的对称轴为：x＝，则 x＝和 x＝﹣ 2 对于对称轴对称，故其函数值相等，又 a≤ x1≤ a+2 ， x2≥时，均有 y1≤ y2，联合函数图象可得：，解得：﹣ 2≤ a≤；（ 3）如图，连结BC、 CM ，过点 D 作 DG ⊥OE 于点 G，而点 B、 C、 D 的坐标分别为：（4， 0）、（ 0，﹣ 4）、（ 1，﹣ 5），则 OB＝ OC＝ 4， CG＝GC＝ 1， BC＝ 4 ， CD ＝，故△BOC、△ CDG 均为等腰直角三角形，∴∠ BCD＝ 180°﹣∠ OCB﹣∠ GCD ＝ 90°，在 Rt△BCD 中， tan∠ BDC ＝＝ 4，∠BDC＝∠ MCE ，则 tan∠ MCE ＝ 4，将点 B、 D 坐标代入一次函数表达式：y＝ mx+n 并解得：直线 BD 的表达式为：y＝x﹣，故点E（0，﹣），设点 M（n，n﹣），过点M 作 MF ⊥CE 于点 F ，则 MF ＝ n ， CF ＝ OF ﹣OC ＝ ﹣ ，tan ∠ MCE ＝ ＝ ＝ 4，解得： n ＝ ，故点 M （，﹣）．17．（ 2019?聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ＝ax +bx+c 与 x 轴交于点 A （﹣ 2， 0），点B （ 4， 0），与 y 轴交于点C （0， 8），连结 BC ，又已知位于 y 轴右边且垂直于 x 轴的动直线 l ，沿 x 轴正方向从 O 运动到 B （不含 O 点和 B 点），且分别交抛物线、 线段 BC 以及 x 轴于点 P ，D ，E ．（ 1）求抛物线的表达式；（ 2）连结 AC ， AP ，当直线 l 运动时，求使得△ PEA 和△ AOC 相像的点 P 的坐标；（ 3）作 PF ⊥ BC ，垂足为 F ，当直线 l 运动时，求 Rt △ PFD 面积的最大值．解：（ 1）将点 A 、 B 、 C 的坐标代入二次函数表达式得：，解得： ，故抛物线的表达式为：y ＝﹣ x 2+2x+8 ；（ 2）∵点 A （﹣ 2， 0）、 C （0， 8），∴ OA ＝ 2，OC ＝ 8， ∵ l ⊥ x 轴，∴∠ PEA ＝∠ AOC ＝ 90°，∵∠ PAE ≠∠ CAO ，∴只有当∠ PEA ＝∠ AOC 时， PEA △∽ AOC ，此时，即：，∴ AE ＝ 4PE ，设点 P 的纵坐标为k ，则 PE ＝k ， AE ＝ 4k ，∴ OE ＝ 4k ﹣2，将点 P 坐标（ 4k﹣ 2， k）代入二次函数表达式并解得：k＝ 0 或（舍去0），则点P（，）；（3）在 Rt△ PFD 中，∠ PFD ＝∠ COB＝ 90°，∵l∥ y 轴，∴∠ PDF ＝∠ COB，∴ Rt△ PFD ∽ Rt△ BOC，∴，∴ S△PDF＝?S△BOC，△ BOC＝OB?OC＝＝ 16， BC＝＝ 4 ，而 S∴S△PDF＝?S△BOC＝ PD2，即当 PD 获得最大值时，S△PDF最大，将 B、 C 坐标代入一次函数表达式并解得：直线 BC 的表达式为： y＝﹣ 2x+8，2设点 P（ m，﹣ m +2 m+8 ），则点 D（ m，﹣ 2m+8），2 2则 PD＝﹣ m +2m+8+2m﹣8＝﹣（ m﹣ 2） +4，当 m＝ 2 时， PD 的最大值为4，故当 PD ＝4 时，∴ S△PDF＝PD 2＝．18．（ 2019?菏泽）如图， ? ABCD 中，极点 A 的坐标是（0， 2）， AD ∥ x 轴， BC 交 y 轴于点 E，顶点 C 的纵坐标是﹣ 4， ? ABCD 的面积是24．反比率函数 y＝的图象经过点 B 和 D，求：（1）反比率函数的表达式；（2）AB 所在直线的函数表达式．解：（ 1）∵极点 A 的坐标是（ 0， 2），极点 C 的纵坐标是﹣4，∴AE＝ 6，又 ?ABCD 的面积是24，∴ AD ＝ BC ＝ 4，则 D （4， 2）∴ k ＝ 4× 2＝ 8，∴反比率函数分析式为 y ＝ ；（ 2）由题意知 B 的纵坐标为﹣ 4，∴其横坐标为﹣ 2，则 B （﹣ 2，﹣ 4），设 AB 所在直线分析式为 y ＝ kx+b ，将 A （ 0， 2）、 B （﹣ 2，﹣ 4）代入，得： ，解得：，所以 AB 所在直线分析式为 y ＝3x+2．19．（ 2019?滨州）如图 ① ，抛物线 y ＝﹣ 2与 y 轴交于点 A ，与 x 轴交于点 B ，C ，将直线 x + x+4 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°，所得直线与x 轴交于点 D ．（ 1）求直线 AD 的函数分析式；（ 2）如图 ② ，若点 P 是直线 AD 上方抛物线上的一个动点① 当点 P 到直线 AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离；② 当点 P 到直线 AD 的距离为时，求 sin ∠PAD 的值．解：（ 1）当 x ＝0 时， y ＝ 4，则点 A 的坐标为（ 0， 4），当 y ＝ 0 时， 0＝﹣ x 2+ x+4，解得， x 1＝﹣ 4，x 2＝ 8，则点 B 的坐标为（﹣ 4，0），点 C 的坐标为（ 8， 0），∴ OA ＝ OB ＝4，∴∠ OBA ＝∠ OAB ＝ 45°，∵将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°获取直线 AD ，∴∠ BAD＝ 90°，∴OAD＝ 45°，∴∠ ODA＝ 45°，∴OA＝ OD，∴点 D 的坐标为（ 4，0），设直线 AD 的函数分析式为y＝kx+b，，得，即直线 AD 的函数分析式为y＝﹣ x+4；（ 2）作 PN⊥ x 轴交直线 AD 于点 N，如右图①所示，设点 P 的坐标为（ t，﹣2t + t+4），则点 N 的坐标为（ t，﹣ t+4），2t+4 ）﹣（﹣ t+4 ）＝﹣2∴ PN＝（﹣ t + t + t，∵PN⊥ x 轴，∴ PN∥ y 轴，∴∠ OAD＝∠ PNH ＝ 45°，作 PH⊥ AD 于点 H，则∠ PHN ＝ 90°，∴ PH＝＝（﹣t 2+ t ）＝t＝﹣（t﹣6）2+，则 P1的坐标为（ 2，），P2的坐标为（10，﹣），当 P1的坐标为（ 2，），则P1A＝＝，∴ sin∠ P1AD ＝＝；当 P2的坐标为（ 10，﹣），则P2A＝＝，∴ sin∠ P2AD ＝＝；由上可得， sin∠ PAD 的值是或．20．（ 2019?菏泽）如图，抛物线与x 轴交于 A， B 两点，与y 轴交于点C（ 0，﹣ 2），点 A 的坐标是（ 2， 0）， P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作 PD ⊥ x 轴于点 D，交直线 BC 于点 E，抛物线的对称轴是直线 x＝﹣ 1．（ 1）求抛物线的函数表达式；（ 2）若点 P 在第二象限内，且PE ＝OD ，求△ PBE 的面积．（ 3）在（ 2）的条件下，若M 为直线 BC 上一点，在 x 轴的上方，能否存在点M，使△ BDM 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）点 A 的坐标是（ 2， 0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣ 1，则点 B（﹣ 4， 0），2则函数的表达式为： y＝ a（ x﹣ 2）（ x+4）＝ a（x +2 x﹣ 8），即：﹣ 8a＝﹣ 2，解得： a＝，故抛物线的表达式为： y＝x 2+ x﹣ 2；（ 2）将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n 并解得：直线 BC 的表达式为： y＝﹣x﹣ 2，则 tan∠ABC＝，则 sin∠ ABC ＝，设点 D （ x， 0），则点 P（ x，x 2+ x﹣ 2），点 E（ x，x﹣ 2），∵ PE＝OD ，∴ PE＝（2（﹣ x），x + x﹣2﹣ x+2）＝解得： x＝ 0 或﹣ 5（舍去 x＝0），即点 D（﹣ 5，0）△＝× PE×BD＝（ x2）（﹣ 4﹣ x）＝；S PBE + x﹣ 2﹣ x+2（ 3）由题意得：△BDM 是以 BD 为腰的等腰三角形，①当 BD ＝BM 时，过点M 作 MH ⊥ x 轴于点 H ，BD ＝ 1＝BM，则 MH ＝ y M＝ BM sin∠ ABC＝ 1×＝，则 x M＝，故点 M（﹣，﹣）；②当 BD ＝DM （M′）时，同理可得：点M′（﹣，）；故点 M 坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）．。
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函数综合检测带解析（2019年中考数学一轮复习）单元综合检测三函数(80分钟120分)一、选择题(每小题4分,满分32分)1.在平面直角坐标系中,点(1,5)所在的象限是(A)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】点(1,5)所在的象限是第一象限.2.函数y= 的自变量x的取值范围是(B)A.x>-1且x≠0B.x≥-1且x≠0C.x≥0且x≠-1D.x>0且x≠-1【解析】根据题意得x+1≥0且x≠0,解得x≥-1且x ≠0.3.若一次函数y=kx+b的图象如图所示,则一次函数y=bx+k2的图象不经过(D)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】由函数图象知k<0,b>0,所以k2>0,所以一次函数y=bx+k2的图象与y轴交于正半轴,且y随x的增大而增大,所以不经过第四象限.4.反比例函数y= 图象的每条曲线上y都随x的增大而增大,则k的取值范围是(A)A.k>1B.k>0C.k<1D.k<0【解析】根据题意,得1-k<0,解得k>1.5.如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A(3,2)和B(-1,-6).则不等式<ax+b的解集是(C)A.-1<x<0B.x>3C.-1<x<0或x>3D.0<x<3或x<-1【解析】由图象可知,不等式<ax+b的解集是-1<x<0或x>3.6.在A,B两地之间有汽车站C,甲车由A地驶往C,乙车由B地驶往A地.两车同时出发,匀速行驶.甲、乙两车离C站的路程y1,y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象如图所示.则下列结论中,不正确的是(D)A.甲车的速度是60千米/小时B.A,B两地相距440千米C.乙车行驶11小时后到达A地D.两车行驶4小时相遇【解析】由函数图象结合题意知甲车速度是360÷6=60(千米/小时),选项A正确;A,B两地相距360+80=440(千米),选项B正确;乙车的速度是80÷2=40(千米/小时),行驶440÷40=11(小时)到达A地,选项C正确;设两车行驶x小时相遇,则40x+60x=440,解得x=4.4,即两车行驶4.4小时相遇,选项D错误.7.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=8,点E在边AD上,sin ∠ABE= ,连接BD,点P在线段DE上,过点P作PQ∥BD 交BE于点Q,连接QD.设PD=x,△PQD的面积为y,则能表示y与x的函数关系的图象大致是(C)【解析】在Rt△ABE中,∠A=90°,sin ∠ABE= ,设AE=3k,BE=5k.由勾股定理得AB=4k,∴4k=4,k=1.∴AE=3,BE=5,DE=8-3=5,PE=5-x.设点Q到AD的距离为h,由PQ∥BD,得△EQP∽△EBD,∴,即,解得h= ,∴△PQD的面积y= x×=- x2+2x=- .在各选项中,只有C选项符合.8.已知一次函数y= x+c的图象如图,则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是(A)【解析】观察函数图象可知<0,c>0,∴二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴x=- >0,与y轴的交点在y 轴正半轴.观察知A项正确.二、填空题(每小题5分,满分15分)9.若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)可由抛物线y=-2x2平移得到,其顶点坐标为(-2,3),则该抛物线的表达式是y=-2x2-8x-5.【解析】由于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)可由抛物线y=-2x2平移得到,所以a=-2,又顶点坐标为(-2,3),则该抛物线的表达式为y=-2(x+2)2+3,即y=-2x2-8x-5.10.对一个实数x按如图所示的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于88?”为一次操作,如果只进行一次就停止,则x的取值范围是x>49.【解析】当输入一个实数x时,一次操作就停止,可得不等式2x-10>88,解得x>49.11.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象经过点B(0,-2),它与反比例函数y=- 的图象交于点A(m,4),则这个二次函数的表达式为y=x2-x-2.【解析】把A(m,4)代入y=- ,得4m=-8,解得m=-2,把A(-2,4),B(0,-2)代入y=x2+bx+c,得解得所以二次函数的表达式为y=x2-x-2.三、解答题(满分73分)12.(9分)已知水银体温计的读数y(℃)与水银柱的长度x(cm)之间是一次函数关系.现有一支水银体温计,其部分刻度线不清晰(如图),表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度.水银柱的长度x(cm) 4.2 …8.2 9.8体温计的读数y(℃) 35.0 …40.0 42.0(1)求y关于x的函数关系式;(2)用该体温计测体温时,水银柱的长度为6.2 cm,求此时体温计的读数.解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,由题意得解得∴y= x+ .(2)将x=6.2代入y= x+ ,得y= ×6.2+ =37.5.答:此时体温计的读数为37.5 ℃.13.(10分)实验数据显示,一般成人喝半斤白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用正比例函数y=100x刻画;1.5小时后(包括1.5小时)y与x的关系可近似地用反比例函数y= (x>0)刻画(如图).(1)求k的值.(2)当y≥75时肝功能会受到损伤,请问肝功能持续受损的时间多长?(3)按国家规定,驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路,假设某驾驶员晚上20:00喝完半斤白酒,第二天早上7:00能否驾车?请说明理由.解:(1)由题意可得当x=1.5时,y=150,且满足y= (k>0),∴k=xy=150×1.5=225.(2)把y=75代入y= ,解得x=3.把y=75代入y=100x,得x=0.75.∵3-0.75=2.25小时,∴肝功能持续受损的时间为2.25小时.(3)第二天早上7:00不能驾车,理由如下:∵晚上20:00到第二天早上7:00,一共有11小时,将x=11代入y= ,得y= >20,∴第二天早上7:00不能驾车.14.(12分)已知A,B两地公路长300 km,甲、乙两车同时从A地出发沿同一公路驶往B地,2小时后,甲车接到通知需返回这条公路上与A地相距105 km的C处取回货物,于是甲车立即原路返回C地,取了货物又立即赶往B地(取货物的时间忽略不计),结果两车同时到达B 地.两车的速度始终保持不变,设两车出发x h后,甲、乙两车距离A地的路程分别为y1(km)和y2(km),它们的函数图象分别是折线OPQR和线段OR.(1)求乙车从A地到B地所用的时间;(2)求图中线段PQ的函数解析式;(不要求写自变量的取值范围)(3)在甲车返回取货的过程中,当x=h时,两车相距25 km.(本小题直接写出结果即可)解:(1)由图知,甲车2小时行驶了180千米,其速度为180÷2=90(km/h),甲车行驶的总路程为2×(180-105)+300=450(km),甲车从A地到B地所花时间为450÷90=5(h),又∵两车同时到达B地,∴乙车从A地到B地所用的时间为5 h.(2)由题意可知,甲返回的路程为180-105=75(km),所需时间为75÷90= (h),2+ (h),∴Q点的坐标为.设线段PQ的函数解析式为y=kx+b,把(2,180)和代入,得解得k=-90,b=360,∴线段PQ的函数解析式为y=-90x+360.(3) .15.(14分)在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=x m.(1)若花园的面积为192 m2,求x的值;(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15 m 和6 m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值.解:(1)∵AB=x m,∴BC=(28-x) m,∴x(28-x)=192,解得x1=12,x2=16,答:x的值为12或16.(2)由题意可得S=x(28-x)=-x2+28x=-(x-14)2+196.∵在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15 m和6 m,∴6≤x≤13,∴当x=13时,S取到最大值,最大值为-(13-14)2+196=195.答:花园面积S的最大值为195 m2.16.(14分)某公司开发两种新产品,A型产品600件,B型产品400件,分配到甲、乙两地试销,其中甲地销售700件,乙地销售300件.两地销售这两种产品每件的利润(元)如下表:A型利润B型利润甲地20 17乙地16 15设分配到甲地A型产品x件,公司售完这1000件产品的总利润为W(元).(1)求W关于x的函数关系式,并求出最大利润是多少?(2)为了加快A型产品的销售,公司决定对A型产品加强广告宣传,由于销售成本增加,A型产品的每件销售利润有所降低,甲地的每件销售利润降低元,乙地的每件销售利润降低2元,那么该公司售完这1000件产品最少可以获得多少利润?解:(1)依题意,甲地A型产品有x件,B型产品有(700-x)件,乙地A型产品有(600-x)件,B型产品有(x-300)件,则W=20x+17×(700-x)+16×(600-x)+15×(x-300)=2x+17000.由解得300≤x≤600,∵W随x的增大而增大,∴当x=600时,W取得最大值18200.答:最大利润为18200元.(2)由题意得W=2x+17000- •x-2×(600-x)=- x2+4x+15800=- (x-200)2+16200,∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=200,∴x>200时,W随x的增大而减小,又300≤x≤600,∴当x=600时,W最小=- ×(600-200)2+16200=14600. 答:该公司售完这1000件产品最少可以获得利润14600元.17.(14分)如图,已知抛物线y=-x2+bx+c经过A(4,0),B(0,4)两点.(1)求此抛物线的解析式.(2)如图1,动点E从点O出发,沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动,同时,动点F从点A出发,沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动,当E,F中任意一点到达终点时,另一点也随之停止运动.连接EF,设运动时间为t秒,当t为何值时,△AEF是等腰三角形?(3)如图2,点P是抛物线在第一象限部分上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,交直线AB于点N,线段PN 是否存在最大值?如果存在,求出PN的最大值,并指出此时点P的坐标;如果不存在,请简要说明理由.解:(1)把A(4,0),B(0,4)代入y=-x2+bx+c中,得解得∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.(2)根据题意得∠BAO=45°,OE=t,AF= t,所以AE=4-t,由勾股定理得AB=4 .分三种情况:①AE=AF,即4-t= t,解得t= .②AF=EF,如答图1,过点F作FC⊥AE于点C,AC= AE=2- t,∵cos 45°= ,即,解得t= .③EF=AE,如答图2,过点E作ED⊥AF于点D,AD= AF= t,cos 45°= ,解得t=2.综上所述,当t= 或2或时,△AEF是等腰三角形.(3)存在.易得直线AB的解析式为y=-x+4.设点P的横坐标为a,则点M的坐标为(a,0),∵点N在直线AB上,∴点N的坐标为(a,-a+4),∵点P在抛物线上,∴点P的坐标为(a,-a2+3a+4),又∵点P在第一象限,∴PN=PM-MN=-a2+3a+4-(-a+4)=-a2+4a=-(a-2)2+4(0<a<4), ∴当a=2时,PN取最大值,最大值为4,此时点P的坐标为(2,6)。