中科院岩土力学研究所博士入学考试数值分析真题2001
2013岩土工程——中科院武汉岩土力学研究所考博试题
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其角平 的两组结构面 ,且 在相互之间夹角为 2α 如图所示 ,一岩石试样 ,存 〓俏° ,岩石的强度参 ,结构面的强度参数 c=1KPa,田 分线与竖轴夹角为 汐
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中国科学院研究生 院 一 ⒛13年 招收攻读博 士学位研究生入学统 考试试卷 科 目名称 :岩土工程
考 生须知 ∶
钟。 ,全部考试时间总计 180分 本试卷满分为 100分 一 。 基 本概念 (每 ) 做 小题 5,选 2,共10分 l。 孔压系数 : 3.次 构面 : 生结 2.砂: 沸 4.岩: 爆
5.在 岩石力学实验 中 ,同样底面积和高度的圆柱体和六棱柱的抗压强度哪个更 大些 ? 为什 么 ? 6 . 为 么 在岩体脆 性显 著 的矿 山开采 中有 些矿柱 已经破坏但仍保持完整 的形 什 状? 一 7.在 设计地下厂房 时 ,一般应将厂房的纵向尽量平行f哪 个主应力轴 ?为什 么?
一 ⒈ 〓
钔 二。 简 述题 (每 做 小题 10选 4,共 分 )
1.以 下基本指标中 :密度 、含水量 、比重、孔隙比、空隙率 、饱和度 、干密度 什 和饱和密度 ,独立的指标有几个 ?,为 么 ? 钰 释 2.在 程中压实粗粒土时,一般情况下如何才能使其达到最大的干密度 ?解 工? 一 在道路设计中,为减小软基公路的不均匀沉降,常用 层 比较坚硬的路面覆 盖在软土层上,试从应力的角度来分析其道理 。
一 如图所示为变水头实验法测定渗透系数 的试验装置示意图,水流从 根直立 玻璃管充水至 的带有刻度的玻璃管和 U型管 白下而上流经土样。试验时,将 ,再 记录终 过时间 t后 需要的高度后 ,开动秒表并记录起始水头差△hl,经 璃管断面积为 a,求 ,试 样长度为 L,玻 了水头差△hz,设 样断面积为 A,试 )。 (30分 渗透系数 k。
2001中科院入学考试计算数学
2001年中国科学院地质与地球物理研究所博士学位研究生入学考题计算数学（考生按百分制选题，进行解答）一、已知)3()2()1()()(321-+-+-+=n x a n x a n x a n x n y和)}5(),4(),3(),2(),1(),0(),5(),4(),3({x x x x x x y y y 的值，试导出),,{321a a a 的最小二乘解。
（20分）二、试用切比雪夫多项式)arccos cos(x n T n =求4x 在)1,1(-∈x 之间的三次多项式逼近。
（20分）三、已知三次多项式)(3x f 在三个等间隔点),,(321x x x 上的值，求dx x f x x )(321⎰（三点Simpson 公式）。
（20分）四、设)(t h 为频带有限函数，Nyquist 频率为∆=21c f ，试证明取样定理())()(2sin )()(∆-∆-∆∆=∑∞-∞=n f n t f n h t h c n ππ 。
（20分）五、欲用4阶龙格库塔格式),(1n n y x hf k =)2,2(12k y h x hf k n n ++=)2,2(23k y h x hf k n n ++=),(34k y h x hf k n n ++=633643211k k k k y y n n ++++=+求解),(y x f dxdy =，试证其误差为)(5h O （20分）六、试给出消元法进行LU 分解的步骤。
（20分）七、试阐述波动方程求解的方法（包括解析方法、半解析方法、数值方法），介绍其原理、现状及发展趋势。
（20分）。
中科院南京土壤所历年博士考试试题及参考答案,自然地理学
中国科学院南京土壤研究所自然地理学一、1大气雾霾形成条件及机制（15,14）；答：雾霾是雾和霾的统称。
雾是当气温达到露点温度时（或接近露点），空气里的水蒸气凝结生成的，是一种常见的天气现象。
霾，是指原因不明的因大量烟、尘等微粒悬浮而形成的浑浊现象。
霾的核心物质是空气中悬浮的灰尘颗粒，气象学上称为气溶胶颗粒。
由于雾和霾外在表象比较相似，而且常常同时存在，中国不少地区将雾并入霾一起作为灾害性天气现象进行预警，所以统称“雾霾天气”。
所以形成雾霾现象无非两点：足够的颗粒污染物物、使空气污染物不易扩散的气象条件。
不同地域颗粒物的来源有所不同。
京津冀地区燃煤、机动车和扬尘是主要污染因素。
其它地区秸秆焚烧可能是某个时间段悬浮颗粒物增加的主要因素。
天气条件是一方面是水平方向的静风，另一方面是垂直方向的逆温现象。
水平方向和垂直方向空气流动性差导致污染物因无法扩散，污染物积聚形成雾霾。
雾霾的危害a雾霾影响人体健康雾霾首先危害到的是人体的健康。
可吸入颗粒物直接进入人体呼吸道和肺泡中，容易引起急性鼻炎和急性支气管炎等病症。
雾霾天气会使支气管炎、哮喘、肺气肿等慢性呼吸系统疾病患者病情急性发作或加重。
b雾霾天气另一个比较明显的负面效果是影响交通出行。
低能见度会导致飞机航班延误、高速公路封闭、交通堵塞。
c雾霾还会影响农业生产。
一方面植物会吸附空气污染物，当空气污染物过多，植物的呼吸作用就会受到影响；另一方面，雾霾天气时，空气流动性差，同时遮住了阳光，影响了植物的光合作用，不利于植物生长。
d雾霾等大气污染还会对我国周边地区造成负面影响，影响与周边国家的友好关系；糟糕的空气也会影响其它国家的对华投资和中国的国际形象。
二、喀斯特地貌形成条件及机制（14年）1. 喀斯特地貌，是具有溶蚀力的水对可溶性岩石（大多为石灰岩）进行溶蚀等作用所形成的地表和地下形态的总称，又称溶岩地貌。
除溶蚀作用以外，还包括流水的冲蚀、潜蚀，以及坍陷等机械侵蚀过程。
中国科学院地球环境研究所博士生入学历年试题
中国科学院地球环境研究所2001年春季博士研究生入学试题《普通地质学》一、简述化学风化作用及其类型。
（10分）二、什么是冰期间冰期？简述冰川的形成及其类型。
（15分）三、什么是黄土？其成因、分布及成分如何？（20分）四、简述湖泊的地质作用。
（10分）五、简述地磁场的基本特征、及古地磁的研究方法及其研究意义。
（15分）六、简述地质年代的类型及它们的基本原理。
（10分）七、谈谈你对全球变化研究的认识。
（20分）中国科学院地球环境研究所2001年春季博士研究生入学试题《第四纪地质学》一、简述第四纪地质历史的基本特点。
（10分）二、简述第四纪与人类的关系。
（10分）三、什么是河流阶地？简述阶地的成因、分类及其研究意义。
（15分）四、什么是石钟乳？简述岩溶地貌的发育条件？（15分）五、谈谈第四纪地质的研究方法。
（15分）六、简述第四纪年代学的方法种类。
（15分）七、简述第四纪气候变化的证据。
（20分）2002年秋季博士研究生入学试题《普通地质学》一、名词解释（32分，每题4分）1．大气圈2．火山灰3．风化作用4．纹泥5．新构造运动6．断层7．新生代8．大陆漂移二、简答题（32分，每题8分）1. 简述板块演化对大气和海洋的影响。
2. 简述沉积岩形成过程中的搬运和沉积作用3. 简述岩石地层单位以及群、组、段的含义。
4．比较风力搬运和河水搬运的异同。
三、论述题（36分）1. 解释什么是环境和环境地质？探讨环境地质学的主要研究内容有那些？（16分）2.试述湖泊与沼泽的地质作用。
（20分）2002年秋季博士研究生入学试题《第四纪地质学》一、名词解释（32分，每题4分）1. 全新世适宜期2. 14C测年3. 树木年轮4. 冰期5. 直立人6. 东亚季风和印度季风7. 古地磁8. 古气候模拟二、简答题（32分，每题8分）1. 简述米兰科维奇理论。
2. 简述第四纪气候不稳定的可能原因。
3.简述微体化石在第四纪古环境重建中的作用和意义。
中国地质大学(北京)2001年土力学期末试卷及答案
中国地质大学（北京）2001-2002学年度第一学期期末考试土力学试卷及标准答案（适用于1999级土木工程专业学生）一、名词解释(每题3分共18分)1.塑限答:粘性土从可塑状态转变为半固体状态的界限含水率，也就是可塑状态的下限含水率。
2.不均匀系数答：定义为Cu=d60/d10,d10,d60分别为粒径分布曲线上小于某粒径土的土颗粒含量分别为10％和60％。
3.有效应力原理答：由外荷在研究平面上引起的法向总应力为σ，那么它必由该面上的孔隙力u和颗粒间的接触面共同分担，即该面上的总法向力等于孔隙力和颗粒间所承担的力之和，即σ=σ＇＋u。
4.被动土压力答：当挡土墙向沿着填土方向转动或移动时，随着位移的增加墙后受到挤压而引起土压力增加，当墙后填土达到极限平衡状态时增加到最大值，作用在墙上的土压力称为被动土压力。
5.代替法答：代替法就是在土坡稳定分析重用浸润线以下，坡外水位以上所包围的同体积的水重对滑动圆心的力矩来代替渗流力对圆心的滑动力矩。
6.容许承载力答：地基所能承受的最大的基底压力称为极限承载力，记为f u．将f除以安全系数f s后得到的值称为地基容许承载力值f a,即f a＝f u／f s二、问答题（共35分）1.何谓正常固结粘土和超固结粘土，两者的压缩特性和强度特性有何区别？(１2分)答：把土在历史上曾经受到的最大有效应力称为前期固结应力，以p c表示；而把前期固结应力与现有应力p o＇之比称为超固结比OCR，对天然土，OCR>1时，该土是超固结；（3分）当OCR＝1时，则为正常固结土。
（3分）压缩特性区别：当压力增量相同时，正常固结土压缩量比超固结土大。
（3分）强度特性区别：超固结土较正常固结土强度高。
（3分）2.简述影响土压实性的因素？（8分）答：土压实性的影响因素主要有含水率、击实功能、土的种类和级配以及粗粒含量等。
（1分）对粘性土，含水率的影响主要表现为当含水率较低时，相同击实功能下所获得的干密度较低，随着含水率的增大，所得到的干密度会逐渐提高；当达到某含水率时，对应击实功能下会得到最大干密度，对应含水率称为最优含水率；随着含水率的提高，最大干密度反而会减小。
博士2001年入学考题
注：所有答案写在答题本上2001年博士学位研究生入学考试试题(A)考试科目：高等渗流力学适用专业：油气田开发工程共 1 页第 1 页一、写出双重介质单相流的基本渗流微分方程式（考虑成“双孔单渗”模型），并说明方程中各项的物理意义。
（10分）二、写出一维理想扩散渗流微分方程式，并说明方程中各项的物理意义。
（10分）三、应用积分法推导水平均质地层单相不可压液体渗流微分方程。
（15分）四、利用保角变换方法推导圆形供给边界地层一口偏心井产量的计算公式。
（15分）五、水平均质等厚无限大地层中有一口水动力学完善井，井半径Rw，在t=0时刻开始以定产量Q生产，设原始地层压力为P，地层渗透率和孔隙度为K和Φ，液体和岩石压缩i系数为Cl和Cr，液体粘度为μ：（1）写出综合压缩系数和导压系数的计算公式；（2）建立描述这一问题的数学模型；（3）推导地层压力分布的计算公式。
（25分）六、一维非活塞式水驱油，当考虑重力和毛管力时：（1）建立渗流微分方程；（2）推导任一过水断面含水率的计算公式；（3）画出油水两相区含水饱和度分布的示意图。
(25分）注：所有答案写在答题本上2001年博士学位研究生入学考试试题(B) 考试科目：高等渗流力学适用专业：油气田开发工程共 1 页第 1 页一、写出双重介质（考虑成“双孔双渗”模型）单相流的基本渗流微分方程式，并说明方程中各项的物理意义。
（10分）二、一维理想扩散渗流微分方程式为：∂∂∂∂∂∂C tDCxVCx =--'22写出方程中各项的物理意义。
（10分）三、写出利用毛管压力曲线计算油水相渗曲线的计算公式及步骤。
（20分）四、利用保角变换方法推导圆形供给边界地层偏心井产量计算公式。
（20分）五、一维无限大排油坑道（水平、均质、等厚地层），以定压Pw生产，设原始地层压力为Pi，导压系数为χ，排油坑道渗流面积为A：（1）建立渗流微分方程；（2）推导地层压力分布公式；（3）画出地层压力分布变化曲线。
2001考研数学三真题及超详细答案解析
2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 (1)【答案】αβ-【使用概念】设()y f x =在x 处可导，且()0f x ≠，则函数y 关于x 的弹性在x 处的值为()()Ey x x y f x Ex y f x ''== 【详解】由Q AL K αβ=，当1Q =时，即1AL K αβ=，有1,K A L αββ--=于是K 关于L 的弹性为：EK EL LK K'=11d A L L dLA Lαββαββ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=111A L L A Lαββαββααββ------=⋅=-(2)【答案】 11.22t W -+【详解】t W 表示第t 年的工资总额，则1t W -表示第1t -年的工资总额，再根据每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2百万，所以由差分的定义可得t W 满足的差分方程是：11(120)2 1.22t t t W W W --=+%+=+(3)【答案】-3【详解】方法1：由初等变换(既可作初等行变换，也可作初等列变换).不改变矩阵的秩，故对A 进行初等变换111111111111k k A k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11111001(1)2,3,410101001kk k k k k k ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⨯-⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦行分别加到行311101002,3,400100001k k k k +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦列分别加到1列 可见只有当k =−3时，r (A )=3.故k =−3.方法2：由题设r (A )=3，故应有四阶矩阵行列式0A =.由111111111111k kA kk=11111001(1)2,3,41010101k k k k k kk --⨯-----行分别加到行311101002,3,4001001k k k k +---列分别加到1列3(3)(1)0,k k =+-=解得 k =1或k = −3. 当k =1时，1111111*********A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦111100001(1)23400000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行分别加到，，行 可知，此时r (A )=1，不符合题意，因此一定有k =−3. (4)【答案】112【所用概念性质】切比雪夫不等式为：{}2()()D X P X E X εε-≥≤期望和方差的性质：()E X Y EX EY +=+；()2cov(,)D X Y DX X Y DY +=++ 【详解】 把X Y +看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差. 故 ()220E X Y EX EY +=+=-+=又相关系数的定义：(,)X Y ρ=则cov(,)(,(0.5)1X Y X Y ρ==-=-()2cov(,)12(1)43D X Y DX X Y DY +=++=+⨯-+=所以由切比雪夫不等式：{}{}2()316()663612D X Y P X Y P X YE X Y ++≥=+-+≥≤==(5)【答案】F ；(10,5)【所用概念】1. F 分布的定义：12Xn F Yn =其中21~()X n χ 22~()Y n χ2. 2χ分布的定义：若1,,n Z Z 相互独立，且都服从标准正态分布(0,1)N ，则221~()ni i Z n χ=∑3. 正态分布标准化的定义：若2~(,)Z N u σ，则~(0,1)Z uN σ- 【详解】因为2(0,2)1,2,,15i X N i =，将其标准化有0(0,1)22i iX X N -=，从而根据卡方分布的定义2222221015111(10),(5),2222X X X X χχ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由样本的独立性可知，2210122X X ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与22151122X X ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭相互独立. 故，根据F 分布的定义()22101221102222111515112210(10,5).2225X X X X Y F X X X X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦++==⎡⎤++⎛⎫⎛⎫++⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故Y 服从第一个自由度为10，第二个自由度为5的F 分布.二、选择题(1)【答案】 [ B] 【详解】 方法1：由'()lim1,x af x x a→=--知 lim '()x af x →()'()limx af x x a x a →=⋅--()'()lim lim x a x af x x a x a →→=⋅--10=-⋅0=又函数()f x 的导数在x a =处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极限等于函数在这一点的值，所以()0f a '=，于是有'()'()'()"()limlim 1,x ax a f x f a f x f a x ax a →→-===--- 即()0f a '=，()10f a ''=-<，根据判定极值的第二充分条件：设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且0()0f x '=，0()0f x ''≠，当0()0f x ''<时，函数()f x 在0x 处取得极大值. 知x a =是()f x 的极大值点，因此，正确选项为(B). 方法2：由'()lim1,x af x x a→=--及极限保号性定理：如果()0lim x x f x A →=，且0A >(或0A <)，那么存在常数0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()0f x >(或()0f x <)，知存在x a =的去心邻域，在此去心邻域内'()0f x x a<-.于是推知，在此去心邻域内当x a <时()0f x '>；当x a >时()0.f x '<又由条件知()f x 在x a =处连续，由判定极值的第一充分条件：设函数()f x 在0x 处连续，且在0x 的某去心δ领域内可导，若()00,x x x δ∈- 时，()0f x '>，而()00,x x x δ∈ +时，()0f x '<，则()f x 在0x 处取得极大值，知()f a 为()f x 的极大值. 因此，选 (B).(2)【答案】(D)【详解】应先写出g (x )的表达式.当01x ≤<时， 21()(1)2f x x =+，有 ()g x ()0x f u du =⎰201(1)2x u du =+⎰3001162x x u u =+311,62x x =+当12x ≤≤时， 1()(1)3f x x =-，有0()()x g x f u du =⎰101()()x f u du f u du =+⎰⎰120111(1)(1)23x u du u du =++-⎰⎰1132010111116263x x u u u u =++-()221136x =+- 即 ()3211,0162()211,1236x x x g x x x ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪+-≤≤⎪⎩因为 311112lim ()lim 623x x g x x x --→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()211212lim ()lim 1363x x g x x ++→→⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，且 ()2212(1)11363g =+-=， 所以由函数连续的定义，知()g x 在点1x =处连续，所以()g x 在区间[0,2]内连续，选(D).同样，可以验证(A)、(B)不正确，01x <<时，321111()06222g x x x x '⎛⎫'=+=+> ⎪⎝⎭，单调增，所以(B)递减错；同理可以验证当12x <<时，()()2211()110363g x x x '⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，单调增，所以()()()02g g x g ≤≤，即()506g x ≤≤与选项(A)无界矛盾.(3)【答案】 (C)【详解】由所给矩阵,A B 观察，将A 的2,3列互换，再将A 的1,4列互换，可得B . 根据初等矩阵变换的性质，知将A 的2,3列互换相当于在矩阵A 的右侧乘以23E ，将A 的1,4列互换相当于在矩阵A 的右侧乘以14E ，即2314AE E B =，其中2310000010********E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，140001010000101000E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由题设条件知114223,P E P E ==，因此21B AP P =.由于对初等矩阵ij E 有，1ij ij E E -=，故111122,P P P P --==.因此，由21B AP P =，及逆矩阵的运算规律，有()111111211212B AP P P P A PP A ------===.(4)【答案】 ()D【详解】由题设，A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量，即Tα是一维行向量，可知0TAαα⎛⎫⎪⎝⎭是1n +阶矩阵. 显然有秩0TA αα⎛⎫=⎪⎝⎭秩()A 1,n n ≤≤+ 即系数矩阵0TAαα⎛⎫⎪⎝⎭非列满秩，由齐次线性方程组有非零解的充要条件：系数矩阵非列或行满秩，可知齐次线性方程组00TA X y αα⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭必有非零解.(5) 【答案】A【详解】 掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X Y n +=，从而Y n X =-， 故 ()DY D n X DX =-=由方差的定义：22()DX EX EX =-， 所以[]22()()()DY D n X E n X E n X =-=---222(2)()E n nX X n EX =-+--222222()n nEX EX n nEX EX =-+-+-22()EX EX DX =-=)由协方差的性质：cov(,)0X c = (c 为常数)；cov(,)cov(,)aX bY ab X Y =1212cov(,)cov(,)cov(,)X X Y X Y X Y +=+)所以 cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)0X Y X n X X n X X DX DX =-=-=-=- 由相关系数的定义，得 (,)1X Yρ===-三【变限积分求导公式】()[()][()]()f x x ag t dt g f x f x ''=⎰【详解】 根据复合函数求导公式，有.du f f dy f dz dx x y dx z dx∂∂∂=++∂∂∂ (*) 在2xye xy -=两边分别对x 求导，得()()0,xy dy dye y xy x dx dx+-+= 即.dy y dx x =- 在0sin x z xt e dt t-=⎰两边分别对x 求导，得 sin()(1),xx z dze x z dx-=⋅-- 即()1.sin()x dz e x z dx x z -=-- 将其代入(*)式，得du dx f f dy f dz x y dx z dx ∂∂∂=++∂∂∂()1.sin()x f y f e x z f x x y x z z⎛⎫∂∂-∂=-+- ⎪∂∂-∂⎝⎭四 【详解】因为1lim(1)xx e x→∞+=lim()x x x c x c →∞+-2lim()xx x c c x c→∞-+=- (把x c +写成2x c c -+)222lim()x c cx c x cx x c c x c-⋅-→∞-+=- (把x 写成22x c cx c x c -⋅-) 222lim (1)cx x cx ccx c x c --→∞⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦(利用幂函数的性质()mnm n aa =)222ln (1)lim cxx c x cc c x c x e--⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦→∞= (利用对数性质ln ()()f x ef x =)222ln (1)lim x c c cx c x c x c x e-⎡⎤⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦→∞= (利用对数性质()ln ()()ln ()g x f x g x f x =)222limln (1)x cc x cx c x c x c e-→∞⎡⎤⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦= (利用x y e =函数的连续性，lim ()()lim x f x f x x ee →∞→∞=)222lim lim ln (1)x c c x x cx c x c x c e-→∞→∞⎡⎤⎢⎥⋅+--⎢⎥⎣⎦=(当各部分极限均存在时，lim ()()lim ()lim ()x x x f x g x f x g x →∞→∞→∞⋅=⋅)222lim ln lim (1)x c c x x cx c x c x c e-→∞→∞⎡⎤⎢⎥⋅+--⎢⎥⎣⎦= (利用ln y x =函数的连续性，lim[ln ()]ln[lim ()]x x f x f x →∞→∞=)2ln c e e ⋅= (利用1lim(1)x x e x→∞+=)2c e = (ln 1e =)又因为()f x 在(),-∞+∞内可导，故在闭区间[1,]x x -上连续，在开区间(1,)x x -内可导，那么又由拉格朗日中值定理，有()(1)()[(1)](),1f x f x f x x f x x ξξξ''--=--=-<<左右两边同时求极限，于是lim[()(1)]lim '()x x f x f x f e ξ→∞→∞--==，因为1x x ξ-<<，x 趋于无穷大时，ξ也趋向于无穷大由题意，lim()lim[()(1)],x x x x c f x f x x c →∞→∞+=--- 从而2c e e =，故12c =五 【详解】 积分区域如图所示，可以写成11,1y y x -≤≤≤≤222211()()22[1],x y x y DDDy xedxdy ydxdy xyedxdy +++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中，111112(1);3y Dydxdy dy ydx y y dy --==-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 221()2x y Dxyedxdy +⎰⎰22111()21x y yydy xedx +-=⎰⎰22111()2211()2x y yydy ed x +-=⎰⎰ 22111()22211[()]2x y yydy ed x y +-=+⎰⎰2211(1)21()y ye e dy +-=-⎰ 2211(1)2211()2y y e e dy +-=-⎰22111(1)222111122y y e dy e dy +--=-⎰⎰ 22111(1)2221111[(1)]22y y ed ye dy +--=+-⎰⎰22111(1)21112y y e e +--=-0=于是221()22[1]3x y Dy xedxdy ++=-⎰⎰六【详解】方法1：依题意知，抛物线如图所示，令2()0y px qx x px q =+=+=，求得它与x 轴交点的横坐标为：120,.q x x p==- 根据定积分的定义，面积S 为()3232203260q p q p q q p S px qx dx x x p --⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭⎰(注：111n n x dx x C n +=++⎰) 因直线5x y +=与抛物线2y px qx =+相切，故它们有唯一公共点. 由方程组25x y y px qx +=⎧⎨=+⎩求其公共解，消去y ，得2(1)50px q x ++-=，因为其公共解唯一，则该一元二次方程只有唯一解，故其判别式必为零，即22(1)4(5)(1)200,q p q p ∆=+-⨯⨯-=++=解得 21(1).20p q =-+ 将p 代入S 中，得()S q 326q p =32216[(1)]20q q =-+34200.3(1)q q =+ 根据函数除法的求导公式，()S q '344342(200)[3(1)][3(1)](200)[3(1)]q q q q q ''⨯+-+⨯=+25200(3)3(1)q q q -=+ 根据驻点的定义，令()0S q '=，已知有0q >，得唯一驻点3q =.当13q <<时，()0S q '>；3q >时，()0S q '<. 故根据极值判定的第一充分条件知，3q =时，()S q 取唯一极大值，即最大值.从而最大值为225(3).32S S ==方法2：设抛物线2y px qx =+与直线5x y +=相切的切点坐标为00(,)x y ，切点既在抛物线上，也在直线上，于是满足方程有2000y px qx =+和005x y +=.抛物线与直线在切点处的切线斜率是相等的，即一阶导数值相等. 在2y px qx =+左右两边关于x 求导，得2y px q '=+，在5x y +=左右两边关于x 求导，得1y '=-，把切点坐标00(,)x y 代入，得021x x y px q ='=+=-⇒012q x p+=-由005x y +=⇒005y x =-，将两结果代入2000y px qx =+得22000011155()()()222q q q y x px qx p q p p p+++=-=--=+=-+- 整理得21(1).20p q =-+ 将p 代入S 中，得34200().3(1)q S q q =+根据函数除法的求导公式，()S q '344342(200)[3(1)][3(1)](200)[3(1)]q q q q q ''⨯+-+⨯=+25200(3)3(1)q q q -=+ 根据驻点(即使得一阶导数为零的点)的定义，令()0S q '=，已知有0q >，得唯一驻点3q =.当13q <<时，()0;S q '>3q >时，()0;S q '<故根据极值判定的第一充分条件知，3q =时， ()S q 取唯一极大值，即最大值.从而最大值为225(3).32S S ==七【详解】将要证的等式中的ξ换成x ，移项，并命1()()()x x f x f x xϕ-'=-问题转化为证在区间(0,1)内()x ϕ存在零点. 将1()()0x f x f x x-'-= 看成一个微分方程，用分离变量法求解. 由()1()df x x dx f x x-= 两边积分得()11(1)()df x x dx dx f x x x -==-⎰⎰⎰利用1ln dx x C x =+⎰及111nn x dx x C n +=++⎰，得 1ln ()ln f x x x C =-+⇒ln ()ln xCe f x x=⇒()x Ce f x x =， 即 ()xxef x C -=，命()()x F x xe f x -=. 由110(1)(),(1)x k f k xe f x dx k -=>⎰及积分中值定理(如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在积分区间[,]a b 上至少存在一个点ξ，使得()()()()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰)，知至少存在一点1(0,)[0,1]kη∈⊂，使1110(1)()()x k f k xe f x dx e f ηηη--==⎰且()()F ef ηηηη-=，1(1)(1)F e f -=. 把1(1)()f e f ηηη-=代入，则111(1)(1)()()()F e f e e f e f F ηηηηηηη----====那么()F x 在[,1]η上连续，在(,1)η内可导，由罗尔中值定理知，至少存在一点(,1)[0,1]ξη∈⊂，使得()()()0F e f e f ξξξξξξ--''=+=即 1() (1)().f f ξξξ-'=-八【详解】由已知条件可见1()()n x n n f x f x x e -'-=，这是以()n f x 为未知函数的一阶线性非齐次微分方程，其中1()1,()n xp x q x xe -=-=，代入通解公式()()()(())p x dx p x dxf x e q x e dx C -⎰⎰=+⎰得其通解为1(),ndx dx n x x n x f x e x e e dx C e C n --⎛⎫⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰由条件(1),n e f n =又1(1)n f e C n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得0C =， 故(),n x n x e f x n =111()n x n xn n n n x e x f x e n n∞∞∞=====∑∑∑记1(),nn x S x n ∞==∑则1na n =，111lim lim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===，则其收敛半径为11R ρ==，收敛区间为(1,1)-. 当(1,1)x ∈-时，根据幂级数的性质，可以逐项求导，11111()1n n n n n n x x S x x n n x ∞∞∞-===''⎛⎫⎛⎫'====⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑∑，其中2111n x x x x =+++++-故根据函数积分和求导的关系()()f x dx f x C '=+⎰，得00()()()(0)xxS x dx S x S x S '==-⎰又由于21000(0)012n n S n ∞===++=∑，所以01()(0)()0ln(1)1xxS x S S x dx dx x x'=+=+=---⎰⎰， 即有 1ln(1),(1,1)nn x x x n ∞==--∈-∑ 当1x =-时， 1(1)ln 2nn n ∞=-=-∑. 级数在此点处收敛，而右边函数连续，因此成立的范围可扩大到1x =-处，即1ln(1),[1,1)nn x x x n ∞==--∈-∑ 于是 1()ln(1),[1,1)x nn fx e x x ∞==--∈-∑九【详解】(1) 线性方程组AX β=有解但不唯一，即有无穷多解()()3r A r A n ⇔=<=，将增广矩阵作初等行变换，得111111112a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦21112131()01100112a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦行行，行行倍 11123011000(1)(2)2a a a a a a ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦行加到行（）因为方程组AX β=有解但不唯一，所以()()3r A r A =<，故a =−2.(2) 由(1)，有112121211A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦由112121211E A λλλλ---=-+---122,312111λλλλλ-+---列加到列 1121121111λλλ-+---提出列公因子1121(1)2,303303λλλ-⨯-+--行分别加到行(3)(3)0λλλ=+-=故A 的特征值为1230,3,3λλλ==-=.当10λ=时，112(0)121211E A --⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1121(1),20332,3033--⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行的倍分别加到行1122033000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行加到3行于是得方程组(0)0E A x -=的同解方程组为1232320330x x x x x +-=⎧⎨-=⎩ 可见，(0)2r E A -=，可知基础解系的个数为(0)321n r E A --=-=，故有1个自由未知量，选2x 为自由未知量，取21x =，解得对应的特征向量为1(1,1,1)Tξ=.当13λ=时，()2123151212E A -⎛⎫ ⎪-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭1511,2212212--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行互换 151212000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3行-2行151********--⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦1行加到行 于是得方程组(3)0E A x -=的同解方程组为12325090x x x x -+-=⎧⎨=⎩ 可见，(3)2r E A -=，可知基础解系的个数为(3)321n r E A --=-=，故有1个自由未知量，选1x 为自由未知量，取11x =，解得对应的特征向量为2(1,0,1)Tξ=-.当13λ=-时，()4123111214E A --⎛⎫ ⎪--=--- ⎪ ⎪--⎝⎭11112412214---⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，行互换 1111(4),2036036---⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭行倍倍分别加到2,3行1112036000---⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭行加到3行 于是得方程组(3)0E A x --=的同解方程组为123230360x x x x x ---=⎧⎨+=⎩ 可见，(3)2r E A --=，可知基础解系的个数为(3)321n r E A ---=-=，故有1个自由未知量，选2x 为自由未知量，取22x =，解得对应的特征向量为3(1,2,1)Tξ=--.由于A 是实对称矩阵，其不同特征值的特征向量相互正交，故这三个不同特征值的特征向量相互正交，之需将123,,ξξξ单位化，3121231231111,0,2.111ξξξβββξξξ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎥⎥======-⎢⎥⎥⎥⎢⎥⎥⎥-⎣⎦⎦⎦其中，123ξξξ=====令[]123,,0Q βββ==则有 1300030.000T Q AQ Q AQ -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦十【详解】(1)由题设条件，1211(,,)||n nijn i j i j A f x x x x x A ===∑∑111111n nn nij i j iijji j i j A x x x A xA A ======∑∑∑∑112211()nii i in n i x A x Ax A x A==+++∑121211(,,,)nii i in i n x x x A AA Ax =⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑121211(,,,)n i i i in i n x x x A A A A x =⎛⎫ ⎪⎡⎤ ⎪=⎢⎥⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭∑ []12111121221222121(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n nn n x x x A A A x A A A x A A A Ax ⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭11121121222212121(,,,)n n n n n nn n A A A x A A A x x x x AA A A x ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥=⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭1212(,,,)T n n x x A x x x Ax *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭TT A X X A *= 1()T X A X -*其中()*的理由：A 是可逆的实对称矩阵，故111()()TT A A A ---==，因此由实对称的定义知，1A -也是实对称矩阵，又由伴随矩阵的性质A A A E *=，知1A A A *-=，因此A *也是实对称矩阵，TAA **=，故()*成立.(2) 因为()()1111TTAAA A E A ----==，所以由合同的定义知A 与1A -合同.由实对称矩阵A B 与合同的充要条件：二次型Tx Ax 与Tx Bx 有相同的正、负惯性指数.可知，()Tg X X AX =与()f X 有相同的正、负惯性指数，故它们有相同的规范形.十一【应用定理】(i) 期望的性质：()E X Y EX EY +=+；独立随机变量方差的性质：若随机变量X Y 和独立，则()D X Y DX DY +=+(ii)列维-林德伯格中心极限定理：设随机变量12,,,,n X X X 相互独立同分布，方差存在，记22(0)u σσ<<+∞与分别是它们共同的期望与方差，则对任意实数x ，恒有1lim )()ni n i P X nu x x →∞=⎫-≤=Φ⎬⎭∑ (通俗的说：独立同分布的随机变量，其期望方差存在，则只要随机变量足够的多，这些随机变量的和以正态分布为极限分布)(iii) 正态分布标准化：若2~(,)Z N u σ，则~(0,1)Z uN σ-【详解】设(1,2,)i X i n =是装运的第i 箱的重量(单位:千克)， n 是所求箱数. 由题设可以将1,,i n X X X 视为独立同分布的随机变量，而n 箱的总重量12n n S X X X =+++是独立同分布随机变量之和.由题设，有()5i E X ==(单位:千克) 所以 1212()()50n n n E S E X X X EX EX EX n =+++=+++= 1212()()25n n n D S D X X X DX DX DX n =+++=+++=则根据列维—林德柏格中心极限定理，知n S 近似服从正态分布(50,25)N n n ，箱数n 根据下述条件确定{}5000n P S P ≤=≤ (将n S 标准化)0.977(2)≈Φ>=Φ由此得2,> 从而98.0199n <， 即最多可以装98箱.十二【详解】由题设条件X 和Y 是正方形{}(,):13,13G x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布，则X 和Y 的联合密度为：1,13,13,(,)40,x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 (二维均匀分布的概率密度为1面积) 由分布函数的定义：{}{}()F u P U u P X Y u =≤=-≤(1)当0u <时，()0F u =(因为X Y -是非负的，所以小于0是不可能事件)(2)当2u ≥时，()1F u =(因为X 和Y 最大为3，X 和Y 最小为1，所以X Y -最大也就只能为2，所以2X Y -≤是必然事件，概率为1)(3)当02u ≤<时，{}()F u P U u =≤相当于 阴影部分所占的概率大小. 如图所示：{}{}()F u P U u P X Y u =≤=-≤214(2)4S u S ⎡⎤==--⎣⎦阴影面积总面积 211(2)4u =--(二维均匀分布中各部分所占的概率，相当于用这部分的面积除以总面积，这里阴影部分面积是用总面积减去两个三角形的面积)于是随机变量U 的概率密度为：1(2),02,()'()20, u u p u F u ⎧-<<⎪==⎨⎪⎩其他1O32123。
2001-数一真题、标准答案及解析
【】 【答】应选（D）
【详解】 从题设图形可见，在 y 轴的左侧，曲线 y = f ( x) 是严格单调增加的，因此当 x < 0
时，一定有 f ' ( x) > 0 对应 y = f ' ( x) 图形必在 x 轴的上方，由此可排除（A），（C）；
又 y = f ( x) 的图形在 y 轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理知，其导函数 y = f ' ( x) 图
（A）合同且相似
（B）合同但不相似
（C）不合同但相似
（D）不合同且不相似
【答】 应选(A) 【详解】 因为
【】
A 是实对称矩阵，且其特征值为： λ1 = 4, λ2 = λ3 = λ4 = 0, 故存在正交矩阵 Q, 使得
⎡4 0 0 0⎤ Q−1AQ = QT AQ = ⎢⎢0 0 0 0⎥⎥
⎢0 0 0 0⎥ ⎢⎣0 0 0 0⎥⎦ 可见，则 A 与 B 既合同又相似.
∑ 五、设
f
(x)
=
⎧⎪1+ x2 ⎨x ⎪⎩
arctan x, x 1, x = 0
≠
0 ，试将
f
( x) 展开成
x
的幂级数，并求级数
∞ (−1)n
n=1 1 − 4n2
的和.
∑ 【详解】
因1 1+ x2
=
∞
( −1)n
n=1
x2n , x ∈ (−1,1)
-6-
∫ ∑ 故 ar(−1)n x2n+1, x ∈[−1,1]
0
n=1 2n +1
于是
∑ ∑ f ( x) = 1+ ∞ ( ) −1 n x2n+1 + ∞ ( ) −1 n x2n+2
中科院岩土力学研究所博士入学考试数值分析真题2000
7.对方程组
(1)建立收敛的Gauss-Seidel迭代格式，并证明收敛性
(2)取初值 ，计算 、 。
8.证明左矩形求积公式
的误差为
2000年中科院岩土力学研究所博士入学考试数值分析真题
1.用三角分解法求解下列方程
2.在 上给出 的等距节点函数表，若采用线性插值求 的近似值，要求误差不超过10-6，则使用的函数表步长不超过多少？
3.求a、b使得下式为最小
4.用Newton迭代法求解 的近似值（要求有四位有效数字）
5.确定参数 、 、 使下列求积公式具有尽可能高的代数精度
石油大学(北京)2001年博士生入学考试《盆地分析》试卷
2001年博士研究生入学考试试题考试科目：含油气盆地分析原理和方法适用专业：矿产普查与勘探（必须在答卷纸上答题）一、翻译给出的英文地质名词，并解释其含意（每题6分，共36分，必要时可画图辅助说明）1、Continental Embankment2、Retroarc Foreland Basin3、Piggy Basin4、Transtensional Basin5、Tectonic Subsidence6、Intracratonic Basin二、论述题（选作4题，每题14分，共64分，论述中，必要时可画图辅助说明）1、简述拗拉槽的形成演化过程（提示：说明形成过程中的板块构造运动、拗拉槽与其它构造单元的大地构造位置关系）。
2、试论全球海平面变化的主要原因。
3、试论引起盆地沉降的主要机制。
4、简述周缘前陆盆地沉积层序（包括前陆盆地基底层序）的基本特点及其垂向、横向变化特征。
5、述拉分盆地形成的地质背景和构造演化过程。
6、述被动大陆边缘演化早期指示沉积物饥俄的特征沉积相，并分析导致饥饿相产生的原因。
7、简述影响区域盖层有效性的主要因素。
8、简述与B型俯冲有关的盆地类型《含油气盆地分析原理和方法》参考答案适用专业：矿产普查与勘探（必须在答卷纸上答题）一、区分和解释名词概念（参照给出的英文名词。
每题7分，共35分，必要时可画图辅助说明）1、大陆隆与大陆堤(Continental Rise and Continental Embankment)：被动大陆边缘上的两种盆地构造单元，前者是板内的大陆与大洋之间发育成熟的裂陷大陆边缘，后者是裂陷大陆边缘进积的沉积楔状体2、弧后前陆盆地与弧后盆地(Retroarc Foreland Basin and BackarcBasin)：前者是陆缘弧后（位于大陆一侧）的前陆盆地，成因上与俯冲派生的挤压和（或）碰撞作用有关，后者是岛弧后的洋盆（包括活动弧和残留弧之间的弧间盆地）和陆缘弧后没有发育前陆褶皱逆冲带的陆盆。
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2001年中科院岩土力学研究所博士入学考试数值分析真题
1. 试由系数矩阵A 直接判定Gauss-Seidel 迭代法求解方程组AX=b 必收敛，其中
110122025A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
2. 在02x π≤≤ 上给出sinx 的等距节点函数表，若采用线性插值求sinx 的近似值，要求截断误差不超过10-6，问使用的函数表的步长应不超过多少。
3.设()7551f x x x =++，求差商0172,2,...,2f ⎡⎤⎣⎦
4. 求函数()3f x x =在区间[0，1]上的最佳平方逼近
5. 用Newton 迭代法求方程x=tanx 的最小正根，当(
)()1510n n x x +--<时停止迭代
6. 试确定求积节点x 0和x 1，使求积公式 ()()()1
011f x dx f x f x -≈+⎰ 具有尽可能高的代数精度。
7. 设
111a a A a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(1) a 取何值时，用Jacobi 迭代法求解AX=b 收敛
(2) a 取何值时，用Jacobi 迭代收敛速度最快
8. 用复化梯形公式计算积分
2
1
0x e dx -⎰ 问积分区间要等分为多少份才能确保计算结果具有四位有效数字（不考虑舍入误差）。