最新例谈均值不等式的运用条件和技巧

例谈均值不等式的运用条件和技巧
例谈均值不等式的运用条件和技巧
运用均值不等式“121212
,,
,,n
n n n a a a a a a R a a a n
+++
+∈≥若则
当且仅当
n a a a === 21(2)n n N ≥∈且时等号成立”求最值是中学数学求最值的基本方法之一，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值.且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容，因此必须熟练掌握他的运用条件和运用技巧.
一、重视运用过程中的三个条件：“一正、二定、三相等”，三者缺一不可。

（1） 注意“正数”
例1、求函数1
y x x
=+的值域 .
误解：12x x +
≥=（当且仅当1x =时取等号），所以值域为[)2,+∞.
这里错误在于使用均值定理ab b a 2≥+时忽略了条件：+∈R b a ,
正确解法：1()0,2(1)a x x x x >+
≥=当时仅当时取等号；
11
()0,0()()2(1)2
b x x x x x x x <->-+-≥==-∴+≤-当时而仅当时取等号所以函数的值域是{}22y y y ≤-≥或. （2） 注意“相等”
例2、设+∈R x ，求函数21
3x
x y +
=的最小值. 误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有
3min 3322232312312,=∴=⋅⋅≥+
+=∈+y x
x x x x x y R x .
这里的错误是没有考虑等号成立的条件.显然要2
1
2x x x =
=，这样的x 不存在，故导致错误.此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数.
正确解法：时取等号）
233221
23(182312323312323x
x x x x x x x y ==⋅⋅≥++=
. 所以2
18
3,3183min 3
=
=y x . 例3、的最大值求且有设by ax y x b a R y x b a +=+=+∈,6,3,,,,2222.
误解：2222222219
,()(1)2222
a x
b y ax by ax by a b x y ++≤≤∴+≤+++=
所以by ax +的最大值为
2
9
. 这里（1）取等号的条件是仅当b y a x ==,；由条件知这是不可能的，所
以不可能取到上述的最大值.
正确解法：22222222
22,()()
()a x b y axby a b x y ax by +≥∴++≥+仅当
ax by =时取等，所以222236ax by ax by a b x y =⎧⎪
+≤=+=⎨⎪+=⎩
时取等号.
如取23)(,3,2
6
max =+===
=by ax y x b a （3）注意“定值”
例4、已知的最大值求y x R y x y x 2,,,12+∈=+.
误解：12),(27
)2()3(
3
32
=+=+=++≤y x y x y x y x x y x 又时取等当， 27
1
,312≤==∴y x y x 时.
以上过程只能说明当27
1
312===y x y x 时.但没有任何理由说明,2712≤y x 这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果.
正确解法：
27
2
)322(41)34(41441,,332=+⨯=++≤⋅⋅⋅=
∴∈+y x y x x y x x y x R y x ， 所以仅当24212
,,,213627x y x y x y x y =⎧==∴⎨+=⎩即时取等号最大值为.
二、常用的处理方法和技巧
（1） 拆项：为了创设使用不等式的条件，有时需将一些项作适当的变形，拆
为多项之积，从而达到凑积或和为定值的目的。

为了使等号成立，常遵循“平均分拆”的原则. 例5、求函数)0(3
22>+=x x
x y 的最小值. 解： x
x x y 23
2322+
+
=时取等号）x x x x x 232(36232323232332==⋅⋅≥，
所以仅当min x y =
=（目标求和的最值，所以凑积为定值，因此拆x
3
为相同两项，同时使得含变量的因子x 的次数和为零）
（2） 裂项：常用于分式形式，且分子所含变量因子的次数比分母的含变量因
子的次数大或相等时用此方法。

例6、设1->x ，求函数1
)
2)(5(+++=
x x x y 的最小值.
[(1)4][(1)1]
14
15
1
4
59(11
x x y x x x x x ++++=
+=++++≥=+=+解：取等号）
所以仅当9,1min ==y x 时.
（先尽可能的让分子变量项和分母相同，然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。

即使得含变量的因子1+x 的次数和为零，同时取到等号） （3） 添项：求和的最小值时，为了使积为定值，需添加某个项. 例7、求函数2
2216
3x
x y ++
=的最小值.
2222
163(2)66216
3(2)2y x x x x =++-≥=++=+解：当且仅当取等号
所以当638,233
4
min -=-±
=y x （求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子22x +的次数和为零，同时取到等号）.
例8、若y x y
x y x +=+>>则且,19
1,0,0.的最小值.
解：
1999()()191016(y x y x
x y x y x y x y x y +=++=+++≥+==时取等号）
所以仅当⎩⎨
⎧==⇒⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=+=1241919y x y
x y x
x y 时y x +的最小值为16.
[所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘
y
x 9
1+），变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子x y 的次数
和为零，同时取到等号]
注意：例8这种解法也叫用“1”的技巧.
4、凑系数：为了求积的最大值，常将因式放入根号内，同乘或同除以某个正数，使含变量的各因子之和为常数.
例9、求函数)10(122<<-=x x x y 的最大值. 解:
9
32)3122(4)1(224)1(1322
222
22422
=-++≤-⋅⋅=-=-=x x x x x x x x x x y （仅当2212x x -=时取等号）因此仅当9
3
2,36max ==y x . （把变量都放在同一条件下的根号里，求积的最值，凑和为定值，因此配变量x 次数相同且系数和为零，且取到等号）
例10、已知,20<<x 求函数)4(62x x y -=的最大值.
解：)4)(4(218)4(360,20222222x x x x x y y x --⋅⋅=-=∴>∴<<
,+
∈R
x 224x x ≤==-取等号）
因此仅当.3
3
32,332max ==
y x （求积的最值，凑和为定值，因此首先配变量x 次数相同,故把变量放到根号内使次数升高，再配次数相同和系数和为零，且取到等号）
5、分子变量常数化：常用于分式形式，且分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数小时用此方法.
例、11设求函数4332
+=x x y 的最大值.
解：由题2
2
3
2
4223434
3x x x x
x x x y ++=
+=+=
而,+∈R x 取等号）23224
2(34223422x x x x x x x x ==⋅⋅≥++∴
所以仅当1,2max ==y x .
（分子变量因子次数比分母的小且变量因子不为零，可同时除以分子所含变量因子化为前面形式解）
6、取倒数：已知变量出现在分母，所求为变量积且出现在分子，可取倒数再如前面一样求解.
例12、已知13
4,,=+∈+y
x R y x ，求y x 2的最大值.
解：32223112231123
()(12123324x x y x y x x y x y
++
=⋅⋅⋅≤==时取等号）
因此仅当324)(,961343
2max 2=⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=+=y x y x y
x y x。