中职数学21.1排列组合与二项式ppt课件
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排列、组合、二项式定理精选教学PPT课件
当我们爱自己的孩子的时候，可曾想过，我们把爱孩子的十分之一去爱母亲，她就足矣，往往这一点也做不到，说句心里话，我们欠母亲的无法补偿，更无法用语言表达。 我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师――戴尔·泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。 那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追不
数有多少？
5×5=25
练习2
1.某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普通客票？
P122
2.某段铁路上有12个车站，问有多少种不同的票价？
C122
3.用3，5，7，9四个数字，一共可组成多少个没有重 复数字的正整数
P41 P42 P43 P44
练习3
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 C150 ；
名称
排列
组合
一个~ ~~数
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
所有排列的个数
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有组合的个数
符号
种数 公式 关系
性质
Pnm
C
m n
Pnm
Pnm
n(n 1) (n m
n! (n m)! Pnn n!
1)
0!
1
排列、组合、二项式定理
知识结构网络图：
排列与组合
二项式定理
数有多少？
5×5=25
练习2
1.某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普通客票？
P122
2.某段铁路上有12个车站，问有多少种不同的票价？
C122
3.用3，5，7，9四个数字，一共可组成多少个没有重 复数字的正整数
P41 P42 P43 P44
练习3
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 C150 ；
名称
排列
组合
一个~ ~~数
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
所有排列的个数
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有组合的个数
符号
种数 公式 关系
性质
Pnm
C
m n
Pnm
Pnm
n(n 1) (n m
n! (n m)! Pnn n!
1)
0!
1
排列、组合、二项式定理
知识结构网络图：
排列与组合
二项式定理
排列、组合 和二项式定理幻灯片PPT
组合
组合数的概念和推导 组合数公式 组合数性质
CnmCnnm C n m 1C n mC n m 1
kCnk nCnk1
C k k C k k 1 C k k 2 C n k C n k 1 1
计数综合问题
先选后排
7.从3名男生和3名女生中，选出3名分别担 任语文、数学、英语的课代表，要求至少 有1名女生，则选派方案共有（ ）
其中能被5整除的四位数共有
个
二维：有5有0，有5无0，无5有0
主元：个位为0，个位为5（再根据需要细 分，选0与不选0）
在6名内科医生和4名外科医生中，内科主 任和外科主任各一名，现在要组成人医疗 小组送医下乡，依下列条件各有多少种方 法：
既有内科医生又有外科医生（间接考察）
既有主任又有外科医生
排列数应用
组合 组合数
组合数应用
二项式定理
教学内容
不仅有着许多直接应用，还是学习概率理 论的准备知识，而且由于其思维方法的新 颖性与独特性，因此它也是培养学生思维 能力的不可多得的好素材；作为初中多项 式乘法公式的推广——二项式定理，不仅 使前面组合等知识的学习得到强化，而且 与后面概率中的二项分布有着密切联系。
排列、组合 和二项式定理 幻灯片PPT
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知识结构
分类计数原理、分步计数原理
排列 排列数
3．展开式的每一项由若干个a和若干个b的乘积 构成，a和b的个数之和等于n，它可以表示为ankbk．
中职数学21.1排列组合与二项式ppt课件
解： ( 3x 3 2)100 的展开式的通项公式为：
Tr1
Cr 100
•
100r
3x •
32
r
100r
r
3 2
•
23
•
Cr 100
•
x100r
100 2
r
,
r 3
r 0，1，2， ，100
均为整数时,T为有理数. 有理项即
r为6的倍数,且0 r 100.
整数次幂项
即r为0, 6,12,,96,展开式中共有17项有理项.
五、二项式定理：
将(a+b)n展开 （a+b）n=(a b)( ab)(ab)
n个
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n
(a+b)n展开式的二项式系数
1 11
2 121
3 1331
4 14641
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
对称性
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
解:（1＋ 1 )4 x
1
C41
(
1 x
)
C42
(
1 x
)2
C43
(
1 x
)3
C44
(
1 x
)4
1
4 x
6 x2
4 x3
1 x4
.
注：1）注意对二项式定理的灵活应用
2）注意区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为 Cnr ；
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
排列与组合、 二项式定理的应用PPT优秀课件
所以符合题意的不同取法种数为 C104(4C64+6+3)=141.
方法二, 在四面体中取定一个面,
记为, 那么取不同不共面的4个点, 可
分为四类：
第一类, 恰有3个点在 上, 这时该
3点必然不在同一条棱上, 因此, 4个点 的不同取法数为4(C633)=68.
第二类，恰有2个点在α上，可分两 种情况：①该2点在同一条棱上，这时4 个点的不同取法数为4C32(C42-3)=27; ② 该2点不在同一条棱上，这时4个点的不 同取法数为(C62-3C32)(C42-1)=30.
(4) 安排甲、乙和丙3人以外的其他4 人，有A44种排法；由于甲、乙要相邻, 故再把甲、乙排好, 有A22种排法, 最后把 甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原 先排好的4人的空档中有A52种排法, 这样, 总共有A44 A22 A52=960种不同排法.
(5) 从7个位置中选出4个位置把男 生排好, 则有A74种排法; 然后再在余下 的3个空位置中排女生, 由于女生要按 身体高矮排列, 故仅有一种排法, 这样 总共有A74 840种不同排法.
[评注] 排列问题中，部分元素 相邻的问题可用“视一法”解；部分 元素不相邻的问题可用“插入法”解， 部分元素定序的问题也可用“插入法” 解.
[例5] 按以下要求分配6本不同的书, 各有几种分法？
(1) 平均分给甲、乙、丙三人，每人 2本；
(2) 平均分成三份，每份2本； (3) 甲、乙、丙三人一人得1本，一 人得2本，一人得3本；
4×3×2×2×2=96种；若区域4与区域6
不栽同一种花，则区
域2、3两块中有1种栽
5
法，总共有4×3×2× 6 1 4
1×1=24，所以一共有
方法二, 在四面体中取定一个面,
记为, 那么取不同不共面的4个点, 可
分为四类：
第一类, 恰有3个点在 上, 这时该
3点必然不在同一条棱上, 因此, 4个点 的不同取法数为4(C633)=68.
第二类，恰有2个点在α上，可分两 种情况：①该2点在同一条棱上，这时4 个点的不同取法数为4C32(C42-3)=27; ② 该2点不在同一条棱上，这时4个点的不 同取法数为(C62-3C32)(C42-1)=30.
(4) 安排甲、乙和丙3人以外的其他4 人，有A44种排法；由于甲、乙要相邻, 故再把甲、乙排好, 有A22种排法, 最后把 甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原 先排好的4人的空档中有A52种排法, 这样, 总共有A44 A22 A52=960种不同排法.
(5) 从7个位置中选出4个位置把男 生排好, 则有A74种排法; 然后再在余下 的3个空位置中排女生, 由于女生要按 身体高矮排列, 故仅有一种排法, 这样 总共有A74 840种不同排法.
[评注] 排列问题中，部分元素 相邻的问题可用“视一法”解；部分 元素不相邻的问题可用“插入法”解， 部分元素定序的问题也可用“插入法” 解.
[例5] 按以下要求分配6本不同的书, 各有几种分法？
(1) 平均分给甲、乙、丙三人，每人 2本；
(2) 平均分成三份，每份2本； (3) 甲、乙、丙三人一人得1本，一 人得2本，一人得3本；
4×3×2×2×2=96种；若区域4与区域6
不栽同一种花，则区
域2、3两块中有1种栽
5
法，总共有4×3×2× 6 1 4
1×1=24，所以一共有
排列组合的ppt课件免费
题目2：从7个不同元素 中取出4个元素的组合数 ，其中某特定元素可以 不被取出。
答案1：$A_{7}^{4} A_{6}^{3} = 7 times 6 times 5 times 4 - 6 times 5 times 4 = 336$
答案2：$C_{7}^{4} C_{6}^{3} = frac{7 times 6 times 5 times 4}{4 times 3 times 2 times 1} - frac{6 times 5 times 4}{3 times 2 times 1} = 28$
排列组合问题的变种与拓展
排列组合问题的变种
如“带限制的不同元素的排列组合” 、“重复元素的排列组合”等，需要 进一步拓展学生的思路。
拓展方法
通过变种问题的解析，引导学生深入 思考排列组合问题，并掌握其变化规 律，为解决更复杂的问题打下基础。
04
CATALOGUE
排列组合的数学原理
排列组合的数学原理简介
数学教育的核心
排列组合是数学教育中的 重要内容，对于培养学生 的数学素养和解决问题的 能力具有重要意义。
解决排列组合问题的方法与技能
乘法原理
加法原理
乘法原理是解决排列组合问题的基础，通 过将各个独立事件的产生概率相乘，可以 计算出复合事件的产生概率。
加法原理用于计算具有互斥性的事件的概 率，通过将各个互斥事件的产生概率相加 ，可以得到总的产生概率。
解析方法
通过实例演示和讲授，帮助学生理解排列组合的基本概念和计算方法，同时引导 学生思考如何解决实际问题。
实际问题的排列组合解决方案
实际问题的排列组合
如“安排会议”、“排定演出节目单”、“安排生产计划” 等，需要结合具体情境进行分析。
组合与二项式23页PPT
m n
m
nmn(n1)(nm 2)L! (nm1)
m
C
m n
n-m n!!m!，Cnn Cn0 1
组合数的性质：
C C 性质1：
m
nm
n
n
C C C 性质2：
m m m1
n1
n
n
解决排列组合问题的方法有：
优限法： 有特殊位置、元素 捆绑法： 相邻 插入法 ： 不相邻 先取后排： 有组合又有排列
N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤 ，做第一步有m1种不同的方法，做 第二步有m2种不同的方法，……， 做第n步有mn种不同的方法，那么 完成这件事有
N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。
排列定义：
从 n 个不同元素中，任取 m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序 排成一列，叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个排列。
例4. 1-90C110+902C210-903C310+… +(-1)k90kCk10+…+9010C1010 除以88的余数是( B )
(A)-1 (B)1 (C)-87 (D)87
9，（ 05江苏）设 k1,2,3,4,5，
则( x 2 ) 5 的展开式中 x k 的系
数不可能是
（C ）
目的要求： 1、分类计数原理与分步计数原理。 2、排列、排列数。 3、组合、组合数、组合数的性质。 4、解决排列组合问题的方法有那 些？
分类计数原理
完成一件事，有n类办法,在第一 类办法中有m1种不同的方法,在第二 类办法中有m2种不同的方法，…… ，在第n类办法中有mn种不同的方法 。那么完成这件事共有
排列组合与二项式定理PPT课件
(1)C0n＋Cn1
＋
…＋
Crn＋…
＋
Cnn＝ 2n；
C0n＋
Cn2
＋
…＝
Cn1
＋
C
3 n
＋…＝2n－1.
(2) 应 用 “ 赋 值 法 ” 可 求 得 二 项 展 开 式 中 各项 系 数 和 为
f(1)．“奇数(偶次)项”系数和为12[f(1)＋f(－1)]，“偶数(奇次)
项”系数和为12[f(1)－f(－1)]．
第18讲 │ 要点热点探究
要点热点探究
► 探究点一 计数原理及其应用
例1(1)在任意两个正整数m和n间定义某种运算，用⊗表 示运算符号，并规定，当m和n都为奇数或都为偶数时，m⊗n ＝m＋n；当m和n中有一个为奇数，另一个为偶数时，m⊗n ＝mn，设集合M＝{(a，b)|a⊗b＝36，a、b∈N＋}，则集合M 中共有________个元素；
第18讲 │ 要点热点探究
41 【解析】 一类：当 m、n 都为奇数时，由 m＋n＝36， 可知 m＝1,3,5，…，35，相应的 n 随之确定，共有 18 个不同 数对(a，b)；
二类：当 m 和 n 都为偶数时，由 m＋n＝36，可知 m＝ 2,4,6，…，34，相应的 n 随之确定，共有 17与D”看成一个整体，故有2A
3 4
＝
48种涂法．
故不同的涂法共有24＋48＝72种，选A.
【点评】 本题的涂色问题是一类典型应用两个计数原理解决的 计数问题，在高考中多次出现这类问题，解决的基本思路有两条：一 是按照颜色的种类进行分类；二是按区域一个一个地涂色．在具体填 涂的过程中应用计数原理，找到问题的解决方案．
第18讲 │ 要点热点探究
【点评】 分清是分类还是分步，是决定用分类计算原理 还是分步计算原理的必要条件；分类时标准统一，做到不重不 漏．分步时程序清晰，做到独立、完整．如果题目中既要用到 分类计数原理，又要用到分步计数原理，一般应遵循“先分 类，再分步”的原则．
中职数学排列与组合ppt课件详细
创
这个问题就是从北京、重庆、上海3个民航站中，每次取出2个站，按照起
设 点在前，终点在后的顺序排列，求不同的排列方法的总数．
情
境
首先确定机票的起点，从3个民航站中任意选取1个，有3种不同的方法；然
兴 后确定机票的终点，从剩余的2个民航站中任意选取1个，有2种不同的方法． 趣 根据分步计数原理，有3×2=6种不同的方法，即需要准备6种不同的飞机票：
（1）三位数？
自
（2）没有重复数字三位数？
我 反
解 ： （ 1 ） 4 4 4 6 4
444
思
（ 2） A1 443224
目
标
检
测
训练2： 现有5名学生排成一排照相，问： （1）某名学生不能排在最左侧的不同排队方法有多少种？ （2）某两名学生必须相邻的不同排队方法有多少种？
某学 生
A 某学生除外
5
本节完
： 课后任务
1、整理本课知识有解题思路 2、复习迎接期末考试。
谢谢！
长各一个，选法的种数是多少？
运
用 知
解：A42 4312
识
强 化 练 习
排列数计算公式的内容是什么？
理
A n m n • n 1 • n 2 n m 1
论
升 华
A
m n
（ n
n! m)!
整 体 建 构
想一想：用1，2，3，4，5这五个数字，组成没 有重复数字的三位数， 其中偶数有多少个？
巩
固 知
分析 首先任取1个元
识
一
二
三
素放在左边，然后
在剩余的元素中任
典
取1个元素放在右边
型
．
例
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
要点： （1）分类； （2）相互独立； （3） N=m1+m2+…+mn（各类方法之和）
分步计数原理（乘法原理）：
完成一件事，需要分成n个步骤， 做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法，…，
做第n步有mn种不同的方法. 那么完成这件事共有N = m1×m2×…×mn种不同的
方法.
练习1、若 (1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7 练习2、求 a0+ a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值 若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7
求 a0+ a2+a4+a6的值
.
例1：展开（1＋1)4 x
（ 1 x ） n 1 C n 1 x C n 2 x 2 C n r x r C n n x n
3、令a=1，b=1
CC C(1 0 1L n
n
n
n
1)
n
2n
证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数 的和等于偶数项的二项式系数的和。
证明： (a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn
C n mm !(nn !m )(!n,m N,mn)
组合数性质1：
Cnm Cnnm
说明： （1）规定： C0n 1
(2)等式两边下标相同边 ，上 两标之和等于下标 (3)当m n时,用此性质可以简化运算
2
组合数性质2：
CnmCnm1Cnm 1
排列和组合的区别和联系：
名称 定义
符号 公式
排列
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
规定0！ ：1
三、组合的概念：
一般地，从n个不同元素中取出m （m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个组合.
说明： ⑴不同元素； ⑵“只取不排”——无序性； ⑶相同组合：元素相同
组合数的概念：
从n个不同元素中取出m(m≤n)个 元素的所有组合的个数，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的组合数．
全排列数：
Ann n(n1)(n2)321 n!(叫做 n的阶)乘
排列数公式阶乘表示：
A n m n (n 1 )n ( 2 ) (n m 1 )
n (n 1 )n ( 2 ) (n m 1 )n ( m ) 3 2 1 (n m )n ( m 1 ) 3 2 1
n! (n m)!
Anm
Anm n(n 1) (n m 1)
Anm
(n
n! m)!
组合
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
C
m n
C
m n
n(n 1) (n m m!
1)
C
m n
n! m!(n
m)!
C
0 n
1
关系 性质
Ann n!
Anm Cnm Amm
0! 1
， C C m n
中间一项是第5,6项,T41C94x94(1x)4 70x
T51C95x95(1x)5
70 x
例4(1)：试判断在 x
1
8
的展开式中有
2 3 x
无常数项？如果有，求出此常数项；如果
没有，说明理由.
解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：
T r 1 C 8 r• 2 x 8 r• 3 1 x r 1rC 8 r• 1 2 8 r• x 2 4 3 4 r
C 0 C 2 C 4 C 1 C 3 C 5
nnn
nn n
赋值法
求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设 二项式中的字母为1或-1，得到一个或几个等 式，再根据结果求值
.
相关练习题
.
若(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7 求 a0+ a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值 求 a0+ a2+a4+a6的值 求 a1+ a3+a5+a7的值
每类办法相互独立， 各步骤中的方法相互依
区别2 每类方法都能独立地 存，只有各个步骤都完
完成这件事情
成才算完成这件事
二、排列的概念：
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素（这里的被 取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.
说明： （1）排列的定义包括两个方面：
= 6 4 x 3 1 9 2 x 2 2 4 0 x 1 6 0 6 x 0 1 x 2 2 x 1 3
第三项的二项式系数为
C
2 6
15
第六项的系数为 C65•2(1)512
例 3 : ( 1 ) 求 （ 1 + 2 x ) 7 的 展 开 式 的 第 4 项 的 系 数
( 2 ) 求 （ x 1 )9 的 展 开 式 中 x 3 的 系 数 和 中 间 项 x
解: T r 1C 9 r(3 x)9r(3 x)rC 9 r(1 3)9r3rx9r1 2r
由9-r-12r0得r6.
T7 C96(13)9636 2268
2、求 ( x 3 ) 9 的展开式的中间项 3x
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项
T5T41C9 4(3 x)94(3x)442x3
由题意可知， 244r 0r6 常数项即
x 3
故存在常数项且为第7项，
0项.
常数项T716•C86•1286•x07
(2)：由 ( 3x3 2)100展开式所得的x的
多项式中，系数为有理数的共有多少项？
解： ( 3x3 2)100的展开式的通项公式为：
T r 1 C 1 r 0 0 •3 x 1 0 0 r•3 2 r 3 1 0 0 2 r• 2 3 r• C 1 r 0 0 • x 1 0 0 r
nm n
Cm n1
Cnm
C m1 n
全排列：n个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式：所
有全排列的个数，即： Ann n (n 1) (n 2) 21
五、二项式定理：
将(a+b)n展开 （a+b）n=(ab)(ab)(ab)
n个
.
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n
(a+b)n展开式的二项式系数
1 11
2 121
3 1331
4 14641
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
对称性
.
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：
①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同； （3）当m=n时，称为n个元素的全排列.
排列数的定义：
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的 所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素 的排列数.
用符号表示:
A
m n
区别排列和排列数的不同： “一个排列”是指：从n个不同元素中，任取
第二十一章 排列 组合 二项式定理
知识结构网络图：
排列与组合
基本原理 排列 排列数公式 组合 组合数公式 组合数的两个性质
二项式定理
二项式定理 二项式系数的性质
复习《第十一章概率与统计初步》
一、分类计数原理（加法原理）：
完成一件事情，有n类方式,
在第1类方式中有m1种不同的方法, 在第2类方式中有m2种不同的方法，……， 在第n类方式中有mn种不同的方法。 那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
例 2： 展 开 (2 x1)6， 并 求 第 3项 的 x
二 项 式 系 数 和 第 6项 的 系 数 .
解: (2 x 1)6=1(2x1)6
x x3
= x 1 3 [ ( 2 x )6 C 6 1 (2 x )5 C 6 2 (2 x )4 C 6 3 (2 x )3
C 6 4(2x)2C 6 5(2x)C 6 6]
A n m n (n 1 )n ( 2 ) (n m 1 )
种填法 .
A n m n (n 1 )n ( 2 ) (n m 1 )
说明：
（1）公式特征：第一个因数是n，后面每 一个因数比它前面一个少1，最后一个因数 是n-m+1，共有m个因数；
（2）全排列：当m=n时,即n个不同元素 全部取出的一个排列.
.
早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解 九章算法》二项式系数表.在书中说明了表里“一”以 外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个方 法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公 元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚 于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯 卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕 斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百 年左右.
在二项式定理中，令 a 1, b 1 ，则：
11 n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 (1)nCnn
0 (Cn0 Cn2 ) (Cn1 Cn3 )
分步计数原理（乘法原理）：
完成一件事，需要分成n个步骤， 做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法，…，
做第n步有mn种不同的方法. 那么完成这件事共有N = m1×m2×…×mn种不同的
方法.
练习1、若 (1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7 练习2、求 a0+ a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值 若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7
求 a0+ a2+a4+a6的值
.
例1：展开（1＋1)4 x
（ 1 x ） n 1 C n 1 x C n 2 x 2 C n r x r C n n x n
3、令a=1，b=1
CC C(1 0 1L n
n
n
n
1)
n
2n
证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数 的和等于偶数项的二项式系数的和。
证明： (a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn
C n mm !(nn !m )(!n,m N,mn)
组合数性质1：
Cnm Cnnm
说明： （1）规定： C0n 1
(2)等式两边下标相同边 ，上 两标之和等于下标 (3)当m n时,用此性质可以简化运算
2
组合数性质2：
CnmCnm1Cnm 1
排列和组合的区别和联系：
名称 定义
符号 公式
排列
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
规定0！ ：1
三、组合的概念：
一般地，从n个不同元素中取出m （m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个组合.
说明： ⑴不同元素； ⑵“只取不排”——无序性； ⑶相同组合：元素相同
组合数的概念：
从n个不同元素中取出m(m≤n)个 元素的所有组合的个数，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的组合数．
全排列数：
Ann n(n1)(n2)321 n!(叫做 n的阶)乘
排列数公式阶乘表示：
A n m n (n 1 )n ( 2 ) (n m 1 )
n (n 1 )n ( 2 ) (n m 1 )n ( m ) 3 2 1 (n m )n ( m 1 ) 3 2 1
n! (n m)!
Anm
Anm n(n 1) (n m 1)
Anm
(n
n! m)!
组合
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
C
m n
C
m n
n(n 1) (n m m!
1)
C
m n
n! m!(n
m)!
C
0 n
1
关系 性质
Ann n!
Anm Cnm Amm
0! 1
， C C m n
中间一项是第5,6项,T41C94x94(1x)4 70x
T51C95x95(1x)5
70 x
例4(1)：试判断在 x
1
8
的展开式中有
2 3 x
无常数项？如果有，求出此常数项；如果
没有，说明理由.
解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：
T r 1 C 8 r• 2 x 8 r• 3 1 x r 1rC 8 r• 1 2 8 r• x 2 4 3 4 r
C 0 C 2 C 4 C 1 C 3 C 5
nnn
nn n
赋值法
求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设 二项式中的字母为1或-1，得到一个或几个等 式，再根据结果求值
.
相关练习题
.
若(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7 求 a0+ a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值 求 a0+ a2+a4+a6的值 求 a1+ a3+a5+a7的值
每类办法相互独立， 各步骤中的方法相互依
区别2 每类方法都能独立地 存，只有各个步骤都完
完成这件事情
成才算完成这件事
二、排列的概念：
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素（这里的被 取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.
说明： （1）排列的定义包括两个方面：
= 6 4 x 3 1 9 2 x 2 2 4 0 x 1 6 0 6 x 0 1 x 2 2 x 1 3
第三项的二项式系数为
C
2 6
15
第六项的系数为 C65•2(1)512
例 3 : ( 1 ) 求 （ 1 + 2 x ) 7 的 展 开 式 的 第 4 项 的 系 数
( 2 ) 求 （ x 1 )9 的 展 开 式 中 x 3 的 系 数 和 中 间 项 x
解: T r 1C 9 r(3 x)9r(3 x)rC 9 r(1 3)9r3rx9r1 2r
由9-r-12r0得r6.
T7 C96(13)9636 2268
2、求 ( x 3 ) 9 的展开式的中间项 3x
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项
T5T41C9 4(3 x)94(3x)442x3
由题意可知， 244r 0r6 常数项即
x 3
故存在常数项且为第7项，
0项.
常数项T716•C86•1286•x07
(2)：由 ( 3x3 2)100展开式所得的x的
多项式中，系数为有理数的共有多少项？
解： ( 3x3 2)100的展开式的通项公式为：
T r 1 C 1 r 0 0 •3 x 1 0 0 r•3 2 r 3 1 0 0 2 r• 2 3 r• C 1 r 0 0 • x 1 0 0 r
nm n
Cm n1
Cnm
C m1 n
全排列：n个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式：所
有全排列的个数，即： Ann n (n 1) (n 2) 21
五、二项式定理：
将(a+b)n展开 （a+b）n=(ab)(ab)(ab)
n个
.
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n
(a+b)n展开式的二项式系数
1 11
2 121
3 1331
4 14641
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
对称性
.
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：
①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同； （3）当m=n时，称为n个元素的全排列.
排列数的定义：
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的 所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素 的排列数.
用符号表示:
A
m n
区别排列和排列数的不同： “一个排列”是指：从n个不同元素中，任取
第二十一章 排列 组合 二项式定理
知识结构网络图：
排列与组合
基本原理 排列 排列数公式 组合 组合数公式 组合数的两个性质
二项式定理
二项式定理 二项式系数的性质
复习《第十一章概率与统计初步》
一、分类计数原理（加法原理）：
完成一件事情，有n类方式,
在第1类方式中有m1种不同的方法, 在第2类方式中有m2种不同的方法，……， 在第n类方式中有mn种不同的方法。 那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
例 2： 展 开 (2 x1)6， 并 求 第 3项 的 x
二 项 式 系 数 和 第 6项 的 系 数 .
解: (2 x 1)6=1(2x1)6
x x3
= x 1 3 [ ( 2 x )6 C 6 1 (2 x )5 C 6 2 (2 x )4 C 6 3 (2 x )3
C 6 4(2x)2C 6 5(2x)C 6 6]
A n m n (n 1 )n ( 2 ) (n m 1 )
种填法 .
A n m n (n 1 )n ( 2 ) (n m 1 )
说明：
（1）公式特征：第一个因数是n，后面每 一个因数比它前面一个少1，最后一个因数 是n-m+1，共有m个因数；
（2）全排列：当m=n时,即n个不同元素 全部取出的一个排列.
.
早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解 九章算法》二项式系数表.在书中说明了表里“一”以 外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个方 法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公 元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚 于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯 卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕 斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百 年左右.
在二项式定理中，令 a 1, b 1 ，则：
11 n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 (1)nCnn
0 (Cn0 Cn2 ) (Cn1 Cn3 )