命 题 与 推 出 关 系
1.4 充分条件与必要条件知识梳理
1.4充分条件与必要条件知识梳理一.命题1.命题的定义：可判断真假的陈述句叫作命题。
2.命题的条件和结论：数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论。
二.充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒q p⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件【注意】（1）前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后；（2）p是q的充分条件或q是p的必要条件；（3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p；“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”。
三.充要条件一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q。
此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件。
显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件。
概括地说，(1)如果p⇔q，那么p与q互为充要条件；(2)若p⇒q，但q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件；(3)若q⇒p，但p⇒/q，则称p是q的必要不充分条件；(4)若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件。
四.充分必要条件与集合的关系若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件；①若A B，则p是q的充分不必要条件；②若A⊇B，则p是q的必要条件；③若A B，则p是q的必要不充分条件；④若A＝B，则p是q的充要条件；⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件。
从集合的角度判断充分必要条件精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；五.充分必要条件判断方法1.定义法2.集合法。
1.4命题的形式及等价关系Ⅰ、Ⅱ
否命题： 如果 ，那么
互逆
逆否命题： 如果 ，那么
例2． 写 出 命 题 ： “ 两 个 等 全三角 形 的 面积 相 等 的 逆 命 题 、 否 命 题 、否 逆命 题 ， 并 判 断 真 假 ．
ex.写出命题 “若 : x 3 x 4 0，则x 4或x 1”
2
的其它三种命题形式并 判断真假．
互逆否
互否
否命题： 如果两个数不都是整数 那么这两个数的和不为整数
互逆
逆否命题： 如果两个数的和不为整数 那么这两个数不都是整数
四种命题的相互关系
— 原命题的条件 — 原命题的结论
原命题： 如果，那么 互否 互逆
— 的否定 — 的否定
逆命题： 如果 ，那么 互否
互逆否
“正难则反”
小Hale Waihona Puke 结1、会判断命题的真假并证明： (1)真命题——推理证明 (2)假命题——举反例 2、四种命题形式及相互关系 3、等价命题
(1)互为逆否的两个命题等价命题，它们同真同假． (2)“正难则反” 4、几种否定形式
“且”
“是”
“都是”
“或”
“不是”
“不都是”
三、等价命题
一般地,原命题和它的逆否命题同真同假； 逆命题和否命题同真同假． 互为逆否的两个命题同真同假．
A B B A 1、若 Ａ、Ｂ 两个命 即：A B 题， 2、若两个命题互为逆否命题，则这两个命题是等价命题． ， ， ex1、命题：“若 a M , 则b则 M”的等价命题是 _______ A、B ex2、判断命题“若 ab 叫做等 0, 则a 0且b 0”的真假． 价命题
若 且 ，则记作 叫做α 与β 等价．
直言命题中的推出关系
直言命题中的推出关系在公职类考试行测直言命题的对当关系中有三组关系：矛盾关系、推出关系和上下反对关系。
每种关系都有其所对应的知识考点，那么在直言命题中的推出关系指的是什么，有几组，到底针对性地考点有哪些?下面给大家一一解答。
首先，我们必须先弄清楚这里的推出关系指的是什么推出关系，是可能推出还是一定必然性推出?大家都知道直言命题是必然性推理的一个重要知识板块，那么其中我们研究的直言命题之间的推出关系就是一定推出的关系，即知道A的存在就一定可以推出B的存在，记住是一定推出。
知道了直言命题中的推出关系是一定推出的关系，那么在里六种类型的直言命题中到底谁和谁之间存在这种一定推出的关系?又有几组这样的关系呢?大家不用着急，我通过例子来理解会简单很多。
例如，我们知道“所有学生都吃早饭了”，那么我们一定可以推出什么结论呢，大家都可以轻松的说出，一定可以推出“有些学生吃早饭了”，还可以一定推出“某某同学吃早饭了”。
结合直言命题的类型，我们很容易总结出来这样两条结论：“所有是→有些是”、“所有是→某个是”。
关键是请问大家是“有些是→某个是”?还是“某个是→有些是”?这个我们结合具体例子也不难理解，很明显我们知道“有些学生吃早饭了”不能一定推出“某某学生吃早饭了”，即如果说“有些学生吃早饭了”为真，我们是得不出“某某学生吃早饭了”是真是假的;但是如果我们知道“某某学生吃早饭了”就一定可以推出“有些学生吃早饭了”，即前者为真，后者就一定为真。
结合直言命题的类型，我们也不难得出这样一个结论“某个是→有些是”。
到此，我们就找出了三组推出关系。
如果我们把“是”换成“非”，那么就又可以得出另外三组推出关系，即“所有非→有些非”、“所有非→某个非”和“某个非→有些非”。
命题与推出关系
真命题
已知a、b、c、d为实数， 如果a+c≠b+d，那么a≠b或c≠d。
三、等价命题
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§1.5充分条件与必要条件
逆否命题：如果两个数的和不是偶数，那么这两个实数不都是偶数； 真命题
（2）若a是有理数，则a一定是分数。 原命题：如果a是有理数，那么a一定是分数。
真命题
逆命题：如果a是分数，那么a一定是有理数。
真命题
否命题：如果a不是有理数，那么a一定不是分数。
真命题
逆否命题：如果a不是分数，那么a一定不是有理数。
原命题：如果两个实数的积不是有理数，那么这两个数都不是有理数； 假命题
逆命题：如果两个实数都不是有理数，那么这两个数的积不是有理数； 假命题
否命题：如果两个实数的积是有理数，那么这两个数至少有一个有理数；
假命题
逆否命题：如果两个实数至少有一个有理数，那么这两个数的积是有理数；
假命题
真命题
假命题 假命题
真命题
真命题
假命题
假命题
真命题
（4）若ab=0，则a=0或b=0； 原命题：如果ab=0，那么a=0或b=0；
真命题
逆命题：如果a=0或b=0，那么ab=0；
真命题
否命题：如果ab≠0，那么a=0且b=0；
真命题
逆否命题：如果a=0且b=0，那么ab≠0；
真命题
（5）若两个实数的积不是有理数，则这两个数都不是有理数；
§1.4命题的形式 与等价关系
一、命题与推出关系：Fra bibliotek二、四种命题形式： 例1：写出命题“两个有理数 的和是有理数”的逆命题、否 命题、逆否命题，并判断这些 命题的真假。
（1）若两个实数都是偶数，则这两个数的和是偶数；
逻辑的推出关系
逻辑的推出关系
在逻辑学中，推出关系描述的是命题之间的一种关系，表明从一个或多个命题可以推导出另一个命题。
这种关系通常分为两种：直接推出和间接推出。
直接推出关系指的是从一个命题可以直接推导出另一个命题。
例如，如果所有的猫都是动物（命题A），那么所有的猫都是哺乳动物（命题B）。
在这里，命题A直接推出了命题B。
间接推出关系则涉及到更多的中间步骤或前提。
例如，如果所有的猫都是动物（命题A），所有的动物都是生物（命题B），那么所有的猫都是生物（命题C）。
在这里，要得出命题C，需要先从命题A和命题B推导出来。
在逻辑学中，推出关系的正确性是通过推理规则来确定的。
不同的推理规则对应于不同类型的推出关系。
例如，传递性规则对应于直接推出关系，而归纳和演绎规则对应于间接推出关系。
以上内容仅供参考，如需更专业的解释，可咨询逻辑学专家或查阅逻辑学专业书籍。
命题的形式及推出关系学案
命题的形式及推出关系学案学习目标：1、正确理解命题的概念，会判断命题的真假2、理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其它三种形式3、通过对四种命题之间关系的学习，让学生发现知识结论，培养学生 抽象概括能力和逻辑思维能力 学习重点：四种命题形式一、复习回顾1、什么叫做命题？什么叫做真命题和假命题？2、下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还 是假命题？为什么？（课本例题）（1）个位数是5的自然数能被5整除；（2）凡直角三角形都相似；（3）上课请不要讲话；（4）互为补角的两个角不相等；（5）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等；（6）你是高一学生吗？例1、指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式（1）若A B ⊆,B C ⊆,则A C ⊆；（2）对顶角相等；（3）和为0的两个数互为相反数。
二、推出关系1、定义：2、αβ与等价：3、传递性： 例2、用符号“⇒”或“⇐”或“⇔”把各小题的αβ、这两件事联系起来。
（1）α：实数x 满足29x =，β：33x x ==-或。
（2）α：=A B U ，β：A U B U ==或（U 为全集）。
（3）α： A B ⊆，β：A B A = 。
（4）α：0ab =，β：0a =。
（5）α：6x >，β：8x ≥。
三、四种命题1、概念引入：请同学们观察下列命题，指出命题（1）和（2）、（3）、（4） 中的条件和结论有什么关系？（1） 同位角相等，两直线平行；（2） 两直线平行，同位角相等；（3） 同位角不相等，两直线不平行；（4） 两直线不平行，同位角不相等。
（1）对任意实数x，都有20x≥；（2）若3x=，则27120x=且4-+=；x x（3）如果0a c<，那么20++=有实数根；ax bx c（4）若0+<，则00m n或；<<m n（5）一元二次方程20++=至少有一个实根。
高中数学常用逻辑用语：命题及其关系
常用逻辑用语：命题及其关系要求层次重难点 “若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题A 理解四种命题的相互关系；掌握充要条件的判定四种命题的相互关系B 充要条件C（一） 知识内容1．对于“如果p ，则q ”形式的命题，p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．定理：经过证明为真的命题．当命题“如果p ，则q ”经过推理证明断定是真命题时，我们就说则p 可以推出q ，记作p q ，读作“p 推出q ”．2．命题的四种形式：命题“如果p ，则q ”是由条件p 和结论q 组成的，对p q ，进行“换位”和“换质（否定）”后，可以构成四种不同形式的命题． ⑴原命题：如果p ，则q ； ⑵原命题的逆命题：如果q ，则p ； ⑶原命题的否命题：如果非p ，则非q ； ⑷原命题的逆否命题：如果非q ，则非p ．否逆为互逆为互否互否互逆互否互逆如果非q ,则非p如果非p ,则非q如果 q,则 p如果 p,则 q3．命题“如果p ，则q ”的四种形式之间有如下关系：⑴互为逆否命题的两个命题等价（同真或同假）．因此证明原命题，也可以改证它的逆否命题．例题精讲高考要求常用逻辑用语：命题及其关系板块一：命题的四种形式⑵互逆或互否的两个命题不等价．<教师备案>注意命题的否定与否命题之间的区别，前者是命题的反面，且与命题的真假恰好相反；后者是对条件与结论同时进行否定，它的真假与原命题的真假没有绝对的联系．（二）典例分析【例1】 判断下列语句是否是命题：⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷260x +>；⑸112+>；【例2】 判断下列命题的真假．⑴空间中两条不平行的直线一定相交； ⑵垂直于同一个平面的两个平面互相垂直； ⑶每一个周期函数都有最小正周期； ⑷两个无理数的乘积一定是无理数； ⑸若A B ，则A B B ≠；⑹若1m >，则方程220x x m -+=无实数根． ⑺已知a b c d ∈R ，，，，若a c ≠或b d ≠，则a b c d +≠+； ⑻已知a b c d ∈R ，，，，a b c d +≠+，则a c ≠或b d ≠．【例3】 设语句()p x ：πcos()sin 2x x +=-，写出π()3p ，并判断它是不是真命题；【例4】 下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11，．其中真命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【例5】 如果两个三角形全等，那么它们的面积相等； ①如果两个三角形的面积相等，那么它们全等； ② 如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等； ③ 如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等； ④ 命题②、③、④与命题①有何关系？【例6】 写出下列命题的否命题，并判断否命题的真假．⑴命题p ：“若0,ac ≥则二次方程20ax bx c ++=没有实根”； ⑵命题q ：“若x a ≠且x b ≠，则2()0x a b x ab -++≠”； ⑶命题r ：“若(1)(2)0x x --=，则1x =或2x =”．⑷命题l ：“ABC ∆中，若90C ︒∠=，则A ∠、B ∠都是锐角”； ⑸命题s ：“若0abc =，则a b c ，，中至少有一个为零”．【例7】 下列命题中正确的是（ ）①“若220x y +≠，则x y ，不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题③“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题④“若x x 是无理数”的逆否命题A ．①②③④B ．①③④C ．②③④D ．①④【例8】 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．⑴“负数的平方是正数”；⑵“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”； ⑶“当0c >时，若a b >，则ac bc >”； ⑷“若5x y +=，则3x =且2y =”；【例9】 ⑴命题：“若220()，a b a b +=∈R ，则“0a b ==”的逆否命题是（ ） A ．若0()，a b a b ≠≠∈R ，则220a b +≠ B ．若0a ≠且0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠ C ．若0()，a b a b =≠∈R ，则220a b +≠ D ．若0a ≠或0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠ ⑵有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题．其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．【例10】 ⑴ “在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则A ∠、B ∠都是锐角”的否命题为；⑵（2007重庆）命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） A ．若21≥x ，则1≥x 或1≤x - B ．若11x -<<，则21x < C ．若1x >或1x <-，则21x > D ．若1≥x 或1≤x -，则21≥x【例11】 下列命题中_________为真命题．①“A B A =”成立的必要条件是“A B ”；②“若220x y +=，则x ，y 全为0”的否命题； ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．【例12】 已知命题“如果1≤a ，那么关于x 的不等式22(4)(2)10≥a x a x -++-的解集为∅”．它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（ ）A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个【例13】 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．⑴若m S ，2m S +，1m S +成等差数列，证明m a ，2m a +，1m a +成等差数列； ⑵写出⑴的逆命题，判断它的真伪，并给出证明．【例14】 ⑴命题p ：奇函数一定有(0)0f =；命题q ：函数1y x x=+的单调递减区间是[10)(01]，，-．则下列四个判断中正确的是（ ）A ．p 真q 真B ． p 真q 假C ． p 假q 真D ． p 假q 假 ⑵设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号是 ____ ．（写出所有真命题的序号）【例15】 设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:，f V V a V →∈，记a 的象为()f a ．若映射:f V V →满足：对所有，a b V ∈及任意实数，λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则f 称为平面M 上的线性变换．现有下列命题： ①设f 是平面M 上的线性变换，则(0)0f =；②对a V ∈，设()2f a a =，则f 是平面M 上的线性变换； ③若e 是平面M 上的单位向量，对a V ∈设()f a a e =-，则f 是平面M 上的线性变换；④设f 是平面M 上的线性变换，，a b V ∈，若，a b 共线，则()()，f a f b 也共线． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）【例16】 对于四面体ABCD ，下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．①相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD ∆的三条高线的交点；③若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面； ④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．【例17】 设直线系:cos (2)sin 1(02π)M x y θθθ+-=≤≤，对于下列四个命题：A ．M 中所有直线均经过一个定点B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上C ．对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．【例18】 关于x 的方程()222110x x k ---+=，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假．命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【例19】 命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假【例20】 有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例21】 原命题：“设a b c ∈R ，，，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．4【例22】 下面有五个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π． ②终边在y 轴上的角的集合是π|2k a a k ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ，． ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点．④把函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6得到3sin 2y x =的图象．⑤函数πsin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0π，上是减函数． 其中真命题的序号是 ．【例23】 设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ）A ．a α⊥，b β∥，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，αβ∥C ．a α⊂，b β⊥，αβ∥D ．a α⊂，b β∥，αβ⊥【例24】 命题“若ABC ∆不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 ．【例25】 给出以下四个命题：①“若0x y +=，则x y ，互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q -≤，则20x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．其中真命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【例26】 对于直角坐标平面内的任意两点11()，A x y 、22()，B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 1212AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=； ②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222AC CB AB +=； ③在ABC ∆中，AC CB AB +>． 其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例27】 有下列四个命题：①“若0x y +=，则，x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1≤q ，则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题．其中真命题为（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【例28】 已知三个不等式：000，，c dab bc ad a b>->->（其中，，，a b c d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【例29】 命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥【例30】 已知m n ，是两条不同直线，αβγ，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若m n αα∥，∥，则m n ∥ B ．若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥ C ．若m m αβ∥，∥，则αβ∥D ．若m n αα⊥⊥，，则m n ∥【例31】 已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m α∥，n α∥，则m n ∥；②若m α∥，n α⊥，则n m ⊥；③若m α⊥，m β∥，则αβ⊥． 其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3。
3.命题及其关系(教师版) WPS文字 文档
命题及其关系 学习目标：① 理解命题的概念② 了解“若p ，则q ”形式命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系 ③ 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义一、基础知识1.命题的定义：用_____、_____或_____表达的可以判断________的______句,叫做命题。
其中判定为真的语句叫做________，判定为假的语句叫做________。
2.四种命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题叫做____________，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的_________；如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做____________，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的_________；如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做_____________，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的_________；3．四种命题的表示：若p 为原命题条件，q 为原命题结论。
则：原命题表示为：___________________; 逆命题表示为：____________________;否命题表示为：___________________; 逆否命题表示为：___________________;：4. 四种命题的相互关系（如右图所示）：四种命题的真假性之间的关系为：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
5．反正法：由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个命题为真命题有困难时，可以通过证明_____________为真命题，来间接地证明原命题为真命题，这种证明方法就叫做反正法。
6.充分条件与必要条件：如果“若p ，则q ”为真命题,就说由p 可推出q ，记作___________，并且说p 是q 的___________条件, q 是p 的___________条件.7. 充要条件：如果既有q p ⇒，又有p q ⇒，就记作________，此时，我们就说p 是q 的____________条件，简称_______条件.显然，此时q 也是p 的______条件 .概括的说， 如果q p ⇔，那么p 与q 互为__________条件 二、题型归类（一）命题与推出关系真假命题与推出关系的判断1. 下列语句是否为命题？如果是，指明它的真假.1)请起立； 2)()2110x -+>； 3) 如果2560x x ++=，则1x =. 4）语文和数学 5）sin45°=1 6)你吃饭了吗？ 7）3X+2<02. 在下列各题中，用符号""⇒⇐⇔、、把这αβ、两件事联系起来. 1)α：实数x 满足2560,x x -+=β：3x =或2x =；2) α：3x =-，β：3x =； 3) α：A B ⊆，β：A B B =；4) α：集合M N =，β：M A N A =.（二）四种命题形式四种命题形式1. 命题“若b a >，则c b c a +>+”的逆否命题为（ ）A ．若b a <，则c b c a +<+B ．若b a ≤，则c b c a +≤+C ．若c b c a +<+，则b a <D ．若c b c a +≤+，则b a ≤2. 命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是（ ）A.不存在01,23≤+-∈x x R xB.存在01,23≥+-∈x x R xC.存在01,23>+-∈x x R xD. 对任意的01,23>+-∈x x R x3. 写出下列各命题的逆命题、否命题、逆否命题，并指出它的真假：1)如果a b 、都是奇数，那么a b +是偶数；2)如果2340x x +-=，那么4 1.x x =-=或（三）等价命题等价命题及反证法1. 命题“若x x =-，则0x <”的等价命题是 .2. 已知BD 、CE 分别是ABC ∆的B ∠、C ∠的角平分线，BD CE ≠求证：AB AC ≠（四）充分条件与必要条件判断充要条件1. 在空格内填入“充分非必要条件”、“必要非充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”。
命题与推出关系
你是否能够用恰当的数学语言例举一 些数学命题?
命题：逻辑学指表达判断的语言形式。
问题1：数学命题具有什么样的结构？ 寻找命题的“共同的结构特征”
数学命题的结构：条件+结论
其中条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.
问题2：数学命题的一般表达形式？
命题的表达形式：如果……，那么…… 若……，则……
ab 0
F 否命题：如果 a b 0，那么a,b都为正数。 T 逆否命题：如果a,b都为正数，那么 a b 0
请你说说看今天的收获？
正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题
确定一个命题是真命题，必须给出证明 举反例是判断假命题的重要方法
一个不辨真伪的命题．
“每一个大于4的偶数都可以表示成两个 质数之和”．(即著名的哥德巴赫猜想)
我们可以举出很多数字，说明这个结论是 正确的，而且至今没有人举出一个反例，但也 没有一个人能证明它对一切大于4的偶数正 确．我国著名的数学家陈景润，已证明了“每 一个大于4的偶数都可以表示成一个质数与两 个质数之积的和”．即已经证明了“1+2”，离 “1+1”只差“一步之遥”．所以这个命题的真 假还不能做最好的判定．
原命题 :如果，那么 . 逆命题 :如果，那么 .
否命题：如果
,那么
逆否命题：如果 ,那么
原命题 逆否命题 逆命题 否命题 原命题
互否 互逆 互逆否
逆命题
互否
否命题
互逆
逆否命题
等价命题：如果 ，是两个命题，若
且 那么 ，叫做等价 命题。记作
两直线平行 k除以4余1 x2+5x+6=0 自然数n的数字和 是3的倍数
直言命题中的推出关系
直言命题中的推出关系在公职类考试行测直言命题的对当关系中有三组关系：矛盾关系、推出关系和上下反对关系。
每种关系都有其所对应的知识考点，那么在直言命题中的推出关系指的是什么，有几组，到底针对性地考点有哪些?下面给大家一一解答。
首先，我们必须先弄清楚这里的推出关系指的是什么推出关系，是可能推出还是一定必然性推出?大家都知道直言命题是必然性推理的一个重要知识板块，那么其中我们研究的直言命题之间的推出关系就是一定推出的关系，即知道A的存在就一定可以推出B的存在，记住是一定推出。
知道了直言命题中的推出关系是一定推出的关系，那么在里六种类型的直言命题中到底谁和谁之间存在这种一定推出的关系?又有几组这样的关系呢?大家不用着急，我通过例子来理解会简单很多。
例如，我们知道“所有学生都吃早饭了”，那么我们一定可以推出什么结论呢，大家都可以轻松的说出，一定可以推出“有些学生吃早饭了”，还可以一定推出“某某同学吃早饭了”。
结合直言命题的类型，我们很容易总结出来这样两条结论：“所有是→有些是”、“所有是→某个是”。
关键是请问大家是“有些是→某个是”?还是“某个是→有些是”?这个我们结合具体例子也不难理解，很明显我们知道“有些学生吃早饭了”不能一定推出“某某学生吃早饭了”，即如果说“有些学生吃早饭了”为真，我们是得不出“某某学生吃早饭了”是真是假的;但是如果我们知道“某某学生吃早饭了”就一定可以推出“有些学生吃早饭了”，即前者为真，后者就一定为真。
结合直言命题的类型，我们也不难得出这样一个结论“某个是→有些是”。
到此，我们就找出了三组推出关系。
如果我们把“是”换成“非”，那么就又可以得出另外三组推出关系，即“所有非→有些非”、“所有非→某个非”和“某个非→有些非”。
最后，我们在知道以上知识点后，关键是如何运用这些知识点来解题呢。
下面我们结合一个具体的题目来看一下：例题：有人说：“中国运动员也有人获得法国网球公开赛(简称法网)的冠军。
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命题与推出关系
教学目的：
（1）理解命题的概念，能判断出一个命题的条件和结论
（2）掌握确定一个命题真假的方法
（3）理解“ ”的意义，理解证明一个命题正确的基本方法
教学重点：
（1）命题的条件和结论的判断
（2）确定命题真假的判断方法
教学难点：
确定命题真假的方法
教学过程：
一、命题的概念：
所谓命题，是指判断真假的语句，常用陈述句表述。
命题由条件和结论两部分组成。
例题1、写出下列命题的条件和结论：
（1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等；
（2）对顶角相等
（3）互为补角的两个角不相等
说明：在有些命题不能很清楚的判断出条件和结论时，我们常把它们改成“如果，，，，，那么，，，，”的形式
真假命题的确定方法：
真命题：证明―――――证明若满足条件就一定能推出命题的结论；
假命题：举反例――――举一个满足条件，不满足结论的例子。
例题：判断命题的真假，并说明理由：
（4）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等；
（5）对顶角相等
（6）互为补角的两个角不相等
练习：课本P16 1
二、“⇒”的意义
1、αβ⇒：αβ成立可以推出也成立。
读作“α推出β”
意义：表示以αβ为条件，为结论的命题是正确的。
2、αβ⇒：αβ成立不能推出成立。
读作“α推不出β”
意义：表示以αβ为条件，为结论的命题是错误的。
3、如果αββα⇒⇒，并且，那么可以记作：αβ⇔
例题：（1）:4x α> :2x β>
（2）2:4x α> :2x β>
练习：课本P16 2
练习册：P5 3
4、推出关系满足传递性：______________________________________。
我们学过很多数学符合，有概念符合，有运算符合，有关系符合，有顺序符号。
推出关系“⇒”是一种关系符合，这种关系具有传递性，请再找出一些具有传递性的关系符合：_______________________________________。
5、通过推出关系我们来研究课本例题一的证明，可以发现，要证明命题“如果α，那么β”正确，我们可以_________________________________________________________________。