断裂力学——3裂纹尖端应力场和位移场计算
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三维有限单元法计算裂纹应力强度因子的方法一 四分之一点位移法.
两种基于三维有限单元法计算裂纹应力强度因子的方法。
根据线弹性断裂理论，裂纹尖端的位移场可表示为
n u = (式
1.1) z u = (式1.2) 0t u = (式1.3)
式中，n 和t 分别为裂纹前沿的法线方向和切线方向；z 为垂直于裂纹平面方向；μ为材料剪切模量。
1/4点位移法
根据式(式 1.2)，若裂纹表面上(θ=180°)某一点的垂直于裂纹平面的位移已知，那么应力强度因子
K = (式1.4)
用从有限单元法求出的1/4点位移
()1/4z u 求应力强度因子的方法即为1/4点位
移法，即
K = (式1.5)
显然这一方法很简单，但要求裂纹尖端附近的应力应变场能较好地被模拟。
图1.1是典型的1/4点位移法的计算网格。
图1.1 典型的1/4点位移法的计算网格。
裂纹张开位移的计算
α的统计平均值为 7.644×10-6 K-1。 E的平均值 456GPa， Tm的平均值 2643℃， α·Tm· Tm的平均 值为9541MPa
LSGM结合很好：形成非晶了 熔点1700℃ 线膨胀系数略大于 YSZ
石英玻璃SiO2：CTE：0.5 Tm：1710℃ Tg：1194℃
Al2TiO5：CTE：0.8 Tm：1894℃
0.65
0.74
10-6
0.67
10-2
0.72
10-6
~0.5
103
0.75
10-5
0.67
10-6
0.58
10-1
0.3
108
0.3
107
SiO2
dT/dt(℃/s)
10-3
熔点时的粘度高，易形成玻璃，析晶阻力
结 论
较大， TM 时的璃。
Tg/TM 接近“ 2/3” 时，易形成玻璃，即三分 之二规则。
由Tg与TM作图知，易生成玻璃的组成在直线的上方。
此规则反映形成玻璃所需冷却速率大小。
熔点低的氧化物易于形成玻璃，易形成非晶的物质：键强高、 熔点低的离子共价混合物，如：SiO2、B2O3
B － O 键 能 4 9 8 kj/mol, 比 Si － O 键 能 444kj/mol 大，但因为 B2O3 玻璃的层状或链状 结构的特性，任何 [BO3]附近空间并不完全被 三角体所充填，而不同于[SiO4]。 B2O3玻璃的层之间是分子力，是一种弱键， 所以B2O3玻璃软化温度低(450℃)，表面张力小， 化学稳定性差 ( 易在空气中潮解 ) ，热膨胀系数 高。
Tm/℃ E/GPa α/10-6K-1 α·Tm/% α·E·Tm/MPa α·E/(MPa/K) 3225 3067 2950 3245 3445 2982 2747 2648 2177 3036 3613 2204 3037 3985 2188 1810 2140 2517 2365 2776 2450 2760 1900 1900 2250 2050 1894 1867 2677 3300 2550 2827 2300 2700 560 470 590 540 400 510 510 430 460 630 580 480 680 560 540 400 670 540 770 720 441 480 330 210 350 400 13 205 190 240 390 320 175 205 7.8 8.3 9.4 5.9 7.2 7.2 7.6 7.3 9.2 8.0 7.2 10.1 8.2 7.1 10.5 11.7 8.6 7.8 7.8 3.8 4.5 5.3 5.4 2.5 5.7 8.4 0.8 9.0 11 9.3 9.0 13.0 9.1 10-12.4 2.52 2.45 2.77 1.64 2.41 2.14 2.09 1.93 2.00 2.43 2.60 2.23 2.49 2.83 2.30 2.12 1.84 1.96 1.84 1.05 1.10 1.46 1.03 0.48 1.28 1.72 0.15 1.68 2.94 3.07 2.30 3.68 2.645 2.7 14087 11532 16360 10338 9646 10943 10647 8312 9213 15300 15088 10685 16934 15844 12406 8471 12330 10602 14204 7595 4862 7021 3386 997.5 4489 6888 19 3444 5594 7366 8950 11760 4629 5535 4.368 3.901 5.546 3.186 2.880 3.672 3.876 3.139 4.232 5.040 4.176 4.848 5.576 3.976 5.670 4.680 5.762 4.212 6.006 2.736 1.984 2.544 1.782 0.525 1.995 3.360 0.010 1.845 2.090 2.232 3.510 4.160 2.012 2.050
清华大学断裂力学讲义第三章-线弹性断裂力学
ˆ ui u r 1 i x3 x3
ui ,3 ui ,
ui x1, x2
裂纹尖端的二维渐近分析 当无限靠近裂尖时，有以下量级关系
fi
,3 ,
, 1, 2
为什么？
ui Cui,
C具有模量的量纲
定解方程变成以下解耦的两组：
按照对称性分析I，II型裂纹场的对称性：应力、应变和位移？
基于渐近分析
ui ui x1, x2
1 1 u x , x u x , x 1 1 2 u1 x1 , x2 u1 x1 , x2 2 1 1 2 2 u1 x1 , x2 0 1 1 u x , x u x , x u x , x u x , x 0 u2 x1 , x2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 u x , x u x , x 3 1 2 3 1 2 0 0
Papkovich-Neuber 势函数
4 C f ,
Plane strain Plane stress
f , , f3 0
Airy应力函数
2 2 2 11 2 , 22 2 , 12 21 x2 x1 x1x2
u3 r C1 sin
1 2
2
1 C u3 1 3r r 2 sin r 2 2
3
1 C u3 1 r 2 cos r 2 2
u3 0
+ u3 C1r 3 1 2 1 2
at 0 at at -
断裂力学第二讲断裂力学理论Fracture Mechanics
(1913), pp.219–230.
5
C. E. Inglis
Sir Charles Edward Inglis (31 July 1875-19 April 1952) was a British civil engineer. Inglis spent much of his life as a lecturer and academic at King's College Cambridge and made several important studies into the effects of vibration and defects on the strength of plate steel. Inglis served in the Royal Engineers during the First World War and invented a lightweight, reusable steel bridge - the precursor and inspiration for the Bailey bridge of the Second World War . His military service was rewarded with an appointment as an Officer of the Order of the British Empire
12
Griffith理论
一、动机 两个矛盾的事实
The stress needed to fracture bulk glass is around 100 MPa.
The theoretical stress needed for breaking atomic bonds is approximately 10,000 MPa
5
C. E. Inglis
Sir Charles Edward Inglis (31 July 1875-19 April 1952) was a British civil engineer. Inglis spent much of his life as a lecturer and academic at King's College Cambridge and made several important studies into the effects of vibration and defects on the strength of plate steel. Inglis served in the Royal Engineers during the First World War and invented a lightweight, reusable steel bridge - the precursor and inspiration for the Bailey bridge of the Second World War . His military service was rewarded with an appointment as an Officer of the Order of the British Empire
12
Griffith理论
一、动机 两个矛盾的事实
The stress needed to fracture bulk glass is around 100 MPa.
The theoretical stress needed for breaking atomic bonds is approximately 10,000 MPa
断裂力学——3裂纹尖端应力场和位移场计算
K I lim Z I 2 a
0
Z ( )
a
2a
K lim 2 Z ( ) a
0
l ( a) Z Ⅲ ( ) ( 2a)
KI lim 2 ZI ( ) l a
z
z 2 a2 a 2
2
z
z
z
0
只有实部且为一常数
z 0 Z II
lim Z ' ( z ) lim
z
z
z
a
2 3/2
x y 0
xy
在裂纹表面
y0
z
z a
2
x a 处
2
满足平板周围的边界条件 虚数
12
K lim 2 Z ( )
0
Ⅱ型裂纹求解
第三步：用 Z ( z) 求II型裂尖附近的应力场和位移场
应力强度因子是在裂尖时 0 存在极限，若考虑裂尖附近 的一个微小区域，则有：
K 2 Z ( )
Z ( ) K 2
若以极坐标表示复变量 则可得到
8
Ⅱ型裂纹求解
得到II型裂纹问题各应力分量表达式为
x 2 ImZ y Re Z ' y y Re Z '
‘ xy Re Z y Im Z
进而可得到位移分量
(1 ) u＝ 2(1 ) Im Z yReZ E (1 ) (1 2 )ReZ y Im Z v＝ E
断裂力学第三讲
Shanghai University
断裂力学 Fracture Mechanics
裂纹板尖端应力场
结构的几何参数、边界条件而变化）；r＜＜a。
。
Tianjin University
I型裂纹尖端的应力场
对于I型应力场中的给定点(r,θ) ，其应力场方程
一般式可写成通式:
结论：
ij
KI
(2r)1/ 2
fij ( )
（1） ij1 r ，故当r→0时，ij ，称为应力具有 1 r 的
对无限大板，中心有一长为2a的裂纹尖端位移场：
u KII 4G
r
2
2k
3
sin
2
sin 3
2
KII
4G
r
2
2k
3 cos
2
cos
3
2
w 0(平面应变)
w
E
(
x
y
)dz(平面应力)
KII a
E
(
x
y
)dz(平面应力)
3
其中：k 1
平面应力
3 4 平面应变
Tianjin University
I型裂纹尖端的应力场
2.有限尖端半径的裂纹端部区域的应力场:
x y xy
KI
2
r
cos
2
1
sin
2
sin
3
2
奇异性。只要是I型裂纹问题裂尖区域的应力场都具有 相同的奇异性，它远比其它附加项要大得多。
（2）应力分量由两部分组成：一部分是关于场分布的描 述，它随点的坐标而变化，通过的奇异性及角分布函fij 数 来体现；另一部分是关于场强度的描述，由应力强度因
断裂力学(2)
2 2 y 2 2 Re Z y Im Z x x
2 2
I xy (ReZ I y Im Z I ) xy xy
证明
满足必要条件：
2
2 0
证明： 先求
2 2 Re Z 2 ( y Im Z )
2 Im Z 2 Im Z Im Z Im Z y y 2 2 y y x y
Im Z y Im Z 2 y
2
2 因为 Z 解析，有 2
最后
2 2 2 2 Re Z 0
（2）几何方程
u x x v y y v u xy x y
1 x ( x y) E 1 y ( y x) E 2(1 ) xy xy E
（4）边界条件 应力边界条件 位移边界条件 混合边界条件
3). 应力函数(Airy function) :
（1）
Z Re Z Re Z x Re Z Re Z Re z z x z x
要求满足：
0
2 2
Re Z y Im Z
应力分量为：
2I 2 x 2 2 Re Z y Im Z y y
z 1, x z i y
Z f ( z)
z x iy
于是有：
Z Z z Z x z x z Z Z z Z i y z y z
Z 解析函数的导数 是唯一的，于是有： z
Z Z i y x
又：
Z f ( z ) Re Z i Im Z
裂纹板尖端应力场
E
( x y )dz (平面应力)
其中：
3 平面应力 k 1 3 4 平面应变
Tianjin University
K II a
III型裂纹尖端的应力场
由于裂纹面是 沿z方向错开，因 此平行于xy平面 的位移u=0， v=0，只有z方向 的位移w≠0，显 然这一问题不属 于平面问题，它 是反平面问题
ij
Tianjin University
I型裂纹尖端的应力场
KI u 4G KI 4G w r 3 2k 1 cos cos 2 2 2
Irwin推导出裂纹顶端附近（r，θ）处的位移为：
r 3 2k 1 sin sin 2 2 2 w 0(平面应变)
Tianjin University
II型裂纹尖端的应力场
对无限大板，中心有一长为2a的裂纹尖端位移场：
K II u 4G K II 4G w r 3 2k 3 sin sin 2 2 2
r 3 2k 3 cos cos 2 2 2 w 0(平面应变)
滑开型 （II型）
轮齿根部 裂纹
撕开型 （III型）
圆轴的环形 切槽裂纹
Tianjin University
I型裂纹尖端的应力场
1. 长为2a的“无限大”板的中心穿透裂纹
无限宽板的 中心裂纹
裂纹顶端附近的 应力场
Tianjin University
I型裂纹尖端的应力场
KI 3 cos 1 sin sin 2 2 2 2 r KI 3 y cos 1 sin sin 2 2 2 2 r KI 3 xy sin cos cos 2 2 2 2 r xz xz 0
第2章 裂尖应力场
2 2 2
断裂力学电子教案
§2-2
数的一种。 数的一种。
Westergard应力函数 应力函数
Westergard应力函数（WSF) 是Airy应力函 应力函数（ 应力函数 应力函
WSF是用一个解析复变函数的实部和虚部的 WSF是用一个解析复变函数的实部和虚部的 线性组合构成的Airy应力函数。例如： 线性组合构成的Airy应力函数。例如： Airy应力函数
断裂力学电子教案
如Z是解析函数，则 Re Z 和 Im Z 必是调和函数。 它们的线性组合，例如：
Re Z + x Re Z + y Im Z
必然是一个双调和函数。 证明： x ReZ 是双调和函数
( x Re Z ) = ( 2 + 2 )( x Re Z ) = x y
2 2 2 2 2
断裂力学电子教案
∴ZI =
σ r
r1 r2
2
e
1 i θ (θ 1 +θ 2 ) 2
σ a Z I′ = e 3/ 2 (r1r2 )
1 ∴ ReZI = cosθ (θ1 +θ2 ) r1r2 2
Im Z I′ =
3 i (θ1 +θ 2 ) 2
σr
σ a2 3 ReZI′ = cos (θ1 +θ2 ) 3/ 2 (r1r2 ) 2
Re Z + x Re Z ′ + y Re Z ′ =
Re Z + x Im Z + y Re Z = 注意：式左每一项的量纲要相同， 注意：式左每一项的量纲要相同，不然函数无
物理意义。 物理意义。
断裂力学电子教案
WSF主要解决以 轴对称或反对称的问题， WSF主要解决以 x 轴对称或反对称的问题，用 来解带奇异性的问题有特殊的好处。 来解带奇异性的问题有特殊的好处。I型裂纹正好是 这种问题，今加下标I 这种问题，今加下标I。 设 Z I 是WSF，它和ASF的关系是 WSF，它和ASF ASF的关系是
断裂力学电子教案
§2-2
数的一种。 数的一种。
Westergard应力函数 应力函数
Westergard应力函数（WSF) 是Airy应力函 应力函数（ 应力函数 应力函
WSF是用一个解析复变函数的实部和虚部的 WSF是用一个解析复变函数的实部和虚部的 线性组合构成的Airy应力函数。例如： 线性组合构成的Airy应力函数。例如： Airy应力函数
断裂力学电子教案
如Z是解析函数，则 Re Z 和 Im Z 必是调和函数。 它们的线性组合，例如：
Re Z + x Re Z + y Im Z
必然是一个双调和函数。 证明： x ReZ 是双调和函数
( x Re Z ) = ( 2 + 2 )( x Re Z ) = x y
2 2 2 2 2
断裂力学电子教案
∴ZI =
σ r
r1 r2
2
e
1 i θ (θ 1 +θ 2 ) 2
σ a Z I′ = e 3/ 2 (r1r2 )
1 ∴ ReZI = cosθ (θ1 +θ2 ) r1r2 2
Im Z I′ =
3 i (θ1 +θ 2 ) 2
σr
σ a2 3 ReZI′ = cos (θ1 +θ2 ) 3/ 2 (r1r2 ) 2
Re Z + x Re Z ′ + y Re Z ′ =
Re Z + x Im Z + y Re Z = 注意：式左每一项的量纲要相同， 注意：式左每一项的量纲要相同，不然函数无
物理意义。 物理意义。
断裂力学电子教案
WSF主要解决以 轴对称或反对称的问题， WSF主要解决以 x 轴对称或反对称的问题，用 来解带奇异性的问题有特殊的好处。 来解带奇异性的问题有特殊的好处。I型裂纹正好是 这种问题，今加下标I 这种问题，今加下标I。 设 Z I 是WSF，它和ASF的关系是 WSF，它和ASF ASF的关系是
断裂力学讲义
目录
第一章 绪论................................................................................................................................................. 2 §1.1 断裂力学的概念..................................................................................................................... 2 §1.2 断裂力学的基本组成.............................................................................................................. 2 线弹性断裂力学概述 .......................................................................................................................... 4 §2.1 裂纹及其对强度的影响 .......................................................................................................... 4 § 2.2 断裂理论.................................................................................................................................. 6 第三章 裂纹尖端区域的应力场及应力强度因子 .............................................................................. 13 §3.1 Ⅰ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 ................................................................................... 13 §3.2 Ⅱ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 ................................................................................... 18 §3.3 Ⅲ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 ................................................................................... 20 §3.4 应力强度因子的确定 .............................................................................................................. 22
第一章 绪论................................................................................................................................................. 2 §1.1 断裂力学的概念..................................................................................................................... 2 §1.2 断裂力学的基本组成.............................................................................................................. 2 线弹性断裂力学概述 .......................................................................................................................... 4 §2.1 裂纹及其对强度的影响 .......................................................................................................... 4 § 2.2 断裂理论.................................................................................................................................. 6 第三章 裂纹尖端区域的应力场及应力强度因子 .............................................................................. 13 §3.1 Ⅰ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 ................................................................................... 13 §3.2 Ⅱ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 ................................................................................... 18 §3.3 Ⅲ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 ................................................................................... 20 §3.4 应力强度因子的确定 .............................................................................................................. 22
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10
Ⅱ型裂纹求解
z
lim
z
Z
(z)
lim
z
z
z2 a2
只有实部且为一常数
ZII z 0
lim z
Z' (z)
lim
z
a2
z2 a2
3/ 2
0
x y 0
xy
满足平板周围的边界条件
在裂纹表面 y 0 x a 处
z
x
Z (z)
z2 a2
x2 a2
虚数
Re Z (z) 0
x
KⅡ sin (2 cos cos 3 )
2 r 2
22
y
KⅡ cos sin cos 3 2 r 2 2 2
xy
KⅡ cos (1 sin sin 3 )
2 r 2
22
xz yz 0
z ( x y ) 平面应变
z 0
平面应力
u KⅡ r [(2k 3) sin sin 3 ]
前面得到的应力场和位移场公式只适用于裂纹尖端附近区域，即要
r = a 求
。对于稍远处，应该用 ZⅠ()
所示的 Z （ +a） f ( )
( 2a)
I
来确定应力分量和位移分量。
6
Ⅱ型裂纹求解
设无限大板含长2a的中心裂纹，无穷远受剪应力作用
7
Ⅱ型裂纹求解
第一步：解II型Westergaard应力函数
4G 2
2
2
v KⅡ r [(2k 2) cos cos 3 ]
4G 2
2
2
3
k
1
平面应力
3 4 平面应变
14
Ⅲ型裂纹求解
对于I型和II型裂纹来说，是属于平面问题。但对于III型裂纹， 由于裂纹面是沿z方向错开，因此平行于xy平面的位移为零， 只有z方向的位移不等于零 对于此类反平面问题，前面给出的平面问题的基本方程已不 适用，因此不能沿用Airy应力函数求解，需要从弹性力学的 一般（空间）问题出发，推导公式。弹性力学一般问题的基 本方程，可以仿照平面问题的方法导出
Z ( )
K
2
右裂尖附近, 在很小范围内时
K
lim
0
2 Z ( )
用解析函数求解II型裂纹尖端 应力强度因子的定义式
12
Ⅱ型裂纹求解
第三步：用 Z (z)求II型裂尖附近的应力场和位移场
应力强度因子是在裂尖时 0存在极限，若考虑裂尖附近 的一个微小区域，则有：
K 2 Z ( )
Z ( )
y Re ZII z
2 II y 2
2 Im ZII z y Re ZII z
2 II xy
Re ZII z y Im ZII z
8
Ⅱ型裂纹求解
得到II型裂纹问题各应力分量表达式为
x
2 ImZ
y
Re
Z
'
y
y
Re
Z
'
xy Re Z y ImZ‘
进而可得到位移分量
2 r 2
22
xy
KⅠ cos sin cos 3 2 r 2 2 2
xz yz 0
用张量标记可缩写成
ij
KI
2 r
fij
4
Ⅰ型裂纹求解
u
1 E
[(1
) Re ZⅠ (1
) y Im ZⅠ]
v
1 E
[2 Im
ZⅠ
(1
)y
Re
ZⅠ]
平面应力
u
1 E
[(1
2
)
Re
ZⅠ
y
K
2
若以极坐标表示复变量
rei r(cos i sin )
则可得到
Z ( )
K
(cos
i sin
)
2 r 2
2
y r sin 2r sin cos
22
ZII
K II
2
K II
3
2
2
2
K II
2 r
3
r2
cos
3
2
i sin
3
2
13
Ⅱ型裂纹求解
把上面两式代入前面应力表达式中，应力和位移场得表达式
15
Ⅲ型裂纹求解
问题描述:无限大板,中心裂纹
z (穿透) 2a ,无限远处受与 方向平行的 作用.
反平面(纵向剪切)问题, 其位移
w w(x, y),u v 0
根据几何方程和物理方程:
rxz
w x
1 G
xz
ryz
w y
1 G
yz
x y xy z 0
16
Ⅲ型裂纹求解
单元体的平衡方程:
断裂力学第三讲 Shanghai University
断裂力学 Fracture Mechanics
郭战胜 davidzsguo@ 办公地点：延长校区力学所317室 平时答疑：每周一：5-6节 晚修答疑:每周一：18：00-20：30
地点：HE108或HE104b
1
裂纹尖端附近的应力场和位移计算
求解方法与I型基本相同，主要差别是无穷远处边界上受力条件不
同。选取应力函数
＝ yReZII
II x
y Re ZII z
II y
Re ZII
z y Im ZII z
因为
Re Z z Re Z z
x
Re Z z Im Z z
y
Im Z z Re Z z
y
所以
2 II x2
u＝(1 ) E
2(1 ) ImZ
yReZ
v＝ (1
E
)
(1
2
)ReZ
y
ImZ
平面应变
9
Ⅱ型裂纹求解
第二步：选II型裂纹的 Z (z)
边界条件：
y xy 0
在 y ，0 x a 处
z y 0 xy 在 z 处
选取
Z (z)
z
z2 a2
能够满足全部边界条件。
Im
ZⅠ]
v
1
E
[2(1
)
Im
ZⅠ
y
Re
ZⅠ]
平面应变
u KⅠ r [(2k 1) cos cos 3 ]
4G 2
2
2
v KⅠ r [(2k 1) sin sin 3 ]
4G 2
2
2
3 4
k
3
1
w 0 平面应变
w
E
(
x
y
)dz
平面应变 平面应力
平面应力
5
Ⅰ型裂纹求解
需要注意的是，推导过程中，使用了 0 这个条件，所以
y xy 0
满足裂纹表面处的边界条件
x2 ImZ y来自ReZ'
y
y
Re
Z
'
xy Re Z y ImZ‘
11
将坐标原点移到右裂尖，采用新坐标
Ⅱ型裂纹求解
za
Z ( )
a f ( ) 2a
当 0 ，f ( ) 趋于常数,设:
lim f ( ) lim
0
0
xz yz 0
x y
2w x2
2w y 2
2w
0
位移函数满足Laplace方程,所以为调和函数.
2
3
Ⅰ型裂纹求解
x Re ZⅠ y Im ZⅠ y Re ZⅠ y Im ZⅠ xy y Re ZⅠ
z 0 (平面应力) z ( x y ) 2 Re ZⅠ (平面应变)
x
KⅠ cos (1 sin sin 3 )
2 r 2
22
y
KⅠ cos (1 sin sin 3 )