江西省南康中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题
江西省南康中学高二数学下学期第一次月考试题 理
江西省南康中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题 理一、选择题.本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}240,8M x x x N x m x =->=<<，若{}6M N x x n =<<，则m n +=（ ）A ．10B ．12C ．14D ．162．已知i 是虚数单位，复数z 满足(1)13z i i +=-，则z =（ ）A ．2i +B ．2i -C ．12i --D ．12i -+3．对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<. 则⌝p 为（ ） A ．x R ∃∈，使得210x x ++< B ．,x R ∀∉使得210x x ++<C ．x R ∃∈，使得210x x ++≥D ．x R ∀∈使得210x x ++≥4．在ABC ∆中，sin cos A B >是ABC ∆为锐角三角形的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是（ ）A ．15B ．31C ．63D ．1276．用数学归纳法证明不等式“11113(2)12224n n n n +++>>++”时的过程中,由n k =到1n k =+时,不等式的左边增加了（ ）A ．221121+-+k k B ．12(1)k +C ．11212(1)k k +++D ．11k + 7．若曲线ln y x x =在P 点处的切线平行于直线210x y -+=，则P 点的坐标为（ ）A ．（1，1）B ．（e ，1）C ．(,)e eD ．(1,0)8．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 018的末四位数字为（ ）A ．3125B ．5625C ．0625D ．81259．从图中所示的矩形OABC 区域内任取一点M(x,y),则点M 取自阴影部分的概率为（ ） A ．13B ．12 C ．14D ．2310．在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是等腰三角形，120BAC ∠=o，2BC =，PA ⊥平面ABC ，若三棱锥P ABC -的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为（ ）A ．9B ．9C ．3D ．911．已知圆221:(1)16C x y -+=及圆2222:(1)(01)C x y r r ++=<<，动圆M 与两圆相内切或外切，动圆M 的圆心M 的轨迹是两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为1212,()e e e e >，则122e e +的最小值为（ ）A ．34+ B ．32CD ．3812．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意x R ∈，都有2()()f x f x x +-=且(0,)x ∈+∞时，()f x x '>，若(2)()22f a f a a --≥-则实数a 的取值范围为（ ）A ．),1[+∞B ．]1,(-∞C ．),1()0,(+∞⋃-∞D ．))1,0(二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知i 是虚数单位，i 2018=_____14．()____1112=-+⎰-dx x x15．已知点12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，若双曲线左支上存在点P 与点2F 关于直线by x a=对称，则该双曲线的离心率为 16．对于函数()y f x =，若存在区间[,]a b ，当[,]x ab ∈时的值域为[,]ka kb (0)k >，则称()y f x =为k 倍值函数．若()ln f x x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c（1）若,,a b c 成等差数列，证明：sinA sinC 2sin(A C)+=+ （2）若,,a b c 成等比数列，且2c a =，求cos B 的值 .18．（本小题满分12分）如图，已知五面体CD AB E ，其中C ∆AB 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DC BE 为平行四边形，且DC ⊥平面C AB ．（1）证明：平面ADC ⊥平面DCBE ；（2）若4A B=，C 2B =，且二面角D C A-B -所成角θ的余弦值为5，试求该几何体CD AB E 的体积．19．（本小题满分12分）在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S 市的A 区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x 表示在各区开设分店的个数，y 表示这x 个分店的年收入之和.(1)来自同一区的概率(2)该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；(3)假设该公司在A 区获得的总年利润z (单位：百万元)与x ，y 之间的关系为z ＝y －0.05x2－1.4，请结合(1)中的线性回归方程，估算该公司应在A 区开设多少个分店，才能使A 区平均每个分店的年利润最大？参考公式：()()()^^^121,niii ni i x x y y b a y b x x x==--==--∑∑20．（本小题满分12分）已知函数1ln )1()(2+++=x x a x f . （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）对任意的),0(,21+∞∈x x ，若12x x >,有)(4)()(2121x x x f x f -≥-恒成立，求实数a 的取值范围.21．（本小题满分12分）已知椭圆 C: 离心率，短轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线l （与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．22. （本小题满分12分）已知函数ax xxx f -=ln )(。
江西省南康中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题
平面
，
，点 为
（1）求证： （2）点 在线段
； 上运动（包括两端点），若平面
与平面
所成的锐二面角为60°，试确定点 的位置．
21. 已知椭圆
的两焦点在 轴上，且短轴的两个顶点与其中一个焦点的连线构成斜边为2的等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)动直线
(
不全为零)交椭圆 于 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 ，使得以线段
江西省南康中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题
内，随机投入一个质点，则所投质点恰好落在 与 轴及抛物线
所围成的区域内的概率是___________
___．
15. 已知
，
，则 与 的值分别为______________．
16. 已知函数 的定义域为
，若
在
上为增函数，则称 为“一阶比增函数”；若
18. 等差数列 中， （1）求 与 ； （2）证明：
，前 项和为 ，等比数列 各项均为正数， .
，且
， 的公比
.
19.
的内角
（1）求 （2）若
； ，
的对边分别为
，已知
面积为2，求 ．
江西省南康中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题
．
20. 如图，在梯形 上任意一点.
中，
，
.
，且
在
上为增函数，
则称
为“二阶比增函数”。我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为 ，所有“二阶比增函数”组成的集合记为
，且
，则实数 的取值范围是______________．
．若函数
三、解答题
17. 已知函数
2016-2017年江西省赣州市南康中学高二(下)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年江西省赣州市南康中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）“二孩政策”的出台，给很多单位安排带来新的挑战，某单位为了更好安排下半年的工作，该单位领导想对本单位女职工做一个调研，已知该单位有女职工300人，其中年龄在40岁以上的有50人，年龄在[30，40]之间的有150人，30岁以下的有100人，现按照分层抽样取30人，则各年龄段抽取的人数分别为（）A．5，15，10B．5，10，15C．10，10，10D．5，5，20 2．（5分）现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a＝（）A．0B．2C．4D．145．（5分）已知抛物线y2＝2x上一点A到焦点F距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|＞2，则A点到原点的距离为（）A．B．2C．4D．86．（5分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：计算得K2的观测值k≈7.822：参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”7．（5分）若点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的最小距离为（）A．1B．C．D．8．（5分）设a∈R，函数f（x）＝e x+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y＝f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）A．ln2B．﹣ln2C．D．9．（5分）双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点F（c，0），虚轴的一个端点为B （0，b），如果直线FB与该双曲线的渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．11．（5分）若函数y＝cos x+ax在[﹣，]上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）12．（5分）若函数f（x）＝x+（b∈R）的导函数在区间（1，2）上有零点，则f（x）在下列区间单调递增的是（）A．（﹣2，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）设有关x的一元二次方程9x2+6ax﹣b2+4＝0，若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，则上述方程有实根的概率．14．（5分）若双曲线的离心率为3，其渐近线与圆x2+y2﹣6y+m ＝0相切，则m＝．15．（5分）函数f（x）＝x3+3ax2+3[（a+2）x+1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是．16．（5分）下列几个命题：①方程x2+（a﹣3）x+a＝0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；②函数y＝+是偶函数，但不是奇函数；③函数f（x）的值域是[﹣2，2]，则函数f（x+1）的值域为[﹣3，1]；④一条曲线y＝|3﹣x2|和直线y＝a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值不可能是1．其中正确的有．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）设命题p：函数g（x）＝是R上的减函数，命题q：函数的定义域为R，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．19．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x2+ax+b（I）当a＝﹣1时，求函数f（x）的单调区间：（Ⅱ）若函数f（x）的图象过点（1，1）且极小值点在区间（1，2）内，求实数b的取值范围．20．（12分）某市甲、乙两校高二级学生分别有1100人和1000人，为了解两校全体高二级学生期末统考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从这两所学校共抽取105名高二学生的数学成绩，并得到成绩频数分布表如下，规定考试成绩在[120，150]为优秀．甲校：乙校：（1）求表中x与y的值；（2）由以上统计数据完成下面2×2列联表，问是否有99%的把握认为学生数学成绩优秀与所在学校有关？（3）若以样本的频率作为概率，现从乙校总体中任取3人（每次抽取看作是独立重复的），求优秀学生人数ξ的分布列和数学期望．（K2＝，其中n＝a+b+c+d）（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．22．（12分）已知函数f（x）＝ax3+x，g（x）＝x2+px+q．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝1处取得极值，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，函数F（x）＝f'（x）g（x）（其中f'（x）为函数f（x）的导数）的图象关于直线x＝﹣1对称，求函数F（x）单调区间；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对任意的x≥1，都有g（x）≥（6+λ）x﹣λlnx+3恒成立，求实数λ的取值范围．2016-2017学年江西省赣州市南康中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）“二孩政策”的出台，给很多单位安排带来新的挑战，某单位为了更好安排下半年的工作，该单位领导想对本单位女职工做一个调研，已知该单位有女职工300人，其中年龄在40岁以上的有50人，年龄在[30，40]之间的有150人，30岁以下的有100人，现按照分层抽样取30人，则各年龄段抽取的人数分别为（）A．5，15，10B．5，10，15C．10，10，10D．5，5，20【解答】解：抽取人数与女职工总数的比是30：300＝1：10∵年龄在40岁以上的有50人，年龄在[30，40]之间的有150人，30岁以下的有100人，∴在分层抽样时，各年龄段抽取的人数分别为5人、15人和10人．故选：A．2．（5分）现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，基本事件总数n＝23＝8，设两道题分别为A，B题，所以抽取情况共有：AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB，其中第1个，第2个分别是两个男教师抽取的题目，第3个表示女教师抽取的题目，一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共4种，故其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为p＝．故选：C．3．（5分）“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由|x﹣1|＜2，得﹣1＜x＜3，由x（x﹣3）＜0，得0＜x＜3，若“|x﹣1|＜2”成立，则有“﹣1＜x＜3”，所以“x（x﹣3）＜0”不一定成立；反之，若“x（x﹣3）＜0”成立，即0＜x＜3，一定有“|x﹣1|＜2”成立，所以“|x﹣1|＜2”是“x（x﹣3）＜0”的必要不充分条件，故选：A．4．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a＝（）A．0B．2C．4D．14【解答】解：模拟执行程序框图，可得a＝14，b＝18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b＝4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b＝2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．5．（5分）已知抛物线y2＝2x上一点A到焦点F距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|＞2，则A点到原点的距离为（）A．B．2C．4D．8【解答】解：设点A的坐标为（x1，y1），抛物线y2＝2x的准线方程为x＝﹣，根据抛物线的定义，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，∵点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，∴，∵y12＝2x1，∴解得y1＝或y1＝2，∵|AF|＞2，∴y1＝2，A（2，2）．∴A点到原点的距离为：＝2，故选：B．6．（5分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：计算得K2的观测值k≈7.822：参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”【解答】解：∵由一个2×2列联表中的数据计算得K2的观测值k≈7.822，则7.822＞6.635，∴有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选：D．7．（5分）若点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的最小距离为（）A．1B．C．D．【解答】解：过点P作y＝x﹣2的平行直线，且与曲线y＝x2﹣lnx相切，设P（x0，x02﹣lnx0）则有k＝y′|x＝x0＝2x0﹣．∴2x0﹣＝1，∴x0＝1或x0＝﹣（舍去）．∴P（1，1），∴d＝＝．故选：B．8．（5分）设a∈R，函数f（x）＝e x+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y＝f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）A．ln2B．﹣ln2C．D．【解答】解：对f（x）＝e x+a•e﹣x求导得f′（x）＝e x﹣ae﹣x又f′（x）是奇函数，故f′（0）＝1﹣a＝0解得a＝1，故有f′（x）＝e x﹣e﹣x，设切点为（x0，y0），则，得或（舍去），得x0＝ln2．故选：A．9．（5分）双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点F（c，0），虚轴的一个端点为B （0，b），如果直线FB与该双曲线的渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点F（c，0），虚轴的一个端点为B（0，b），如果直线FB与该双曲线的渐近线垂直，可得：•＝﹣1，可得c2﹣a2＝ac，即e2﹣e﹣1＝0，可得e＝．故选：D．10．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：令函数＝0，则x＝0，或x＝，即函数有两个零点，故排除B；当0＜x＜时，函数值为负，图象出现在第四象限，故排除C；由＝0，可排除D，故选：A．11．（5分）若函数y＝cos x+ax在[﹣，]上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由函数y＝cos x+ax在[﹣，]上是增函数，可得y′＝﹣sin x+a≥0在[﹣，]上恒成立，即a≥sin x在[﹣，]上恒成立，故a≥1，故选：D．12．（5分）若函数f（x）＝x+（b∈R）的导函数在区间（1，2）上有零点，则f（x）在下列区间单调递增的是（）A．（﹣2，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【解答】解：∵函数∴∵函数的导函数在区间（1，2）上有零点∴当时，b＝x2，x∈（1，2）∴b∈（1，4）令f'（x）＞0 得到即f（x）的单调增区间为（﹣∞，），（）∵b∈（1，4）∴（﹣∞，﹣2）适合题意故选：D．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）设有关x的一元二次方程9x2+6ax﹣b2+4＝0，若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，则上述方程有实根的概率1﹣．【解答】解：由方程9x2+6ax﹣b2+4＝0有实根得△＝36a2﹣36（﹣b2+4）≥0，∴a2+b2≥4，a，b的取值所构成的区域如图所示，其中0≤a≤3，0≤b≤2，∴构成“9x2+6ax﹣b2+4＝0有实根”这一事件的区域为{（a，b）|a2+b2≥4，0≤a≤3，0≤b ≤2}（图中阴影部分）．∴此时所求概率为．故答案为：1﹣14．（5分）若双曲线的离心率为3，其渐近线与圆x2+y2﹣6y+m ＝0相切，则m＝8．【解答】解：∵双曲线的离心率为3，∴c＝3a，∴b＝2a，取双曲线的渐近线y＝2x．∵双曲线的渐近线与x2+y2﹣6y+m＝0相切，∴圆心（0，3）到渐近线的距离d＝r，∴，∴m＝8，故答案为：8．15．（5分）函数f（x）＝x3+3ax2+3[（a+2）x+1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是{a|a＜﹣1或a＞2}．【解答】解：∵f（x）＝x3+3ax2+3[（a+2）x+1]，∴f′（x）＝3x2+6ax+3（a+2），由题意知△＝36a2﹣36（a+2）＞0，解得a＜﹣1或a＞2．故答案为：{a|a＜﹣1或a＞2}．16．（5分）下列几个命题：①方程x2+（a﹣3）x+a＝0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；②函数y＝+是偶函数，但不是奇函数；③函数f（x）的值域是[﹣2，2]，则函数f（x+1）的值域为[﹣3，1]；④一条曲线y＝|3﹣x2|和直线y＝a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值不可能是1．其中正确的有①④．【解答】解：对于①，方程x2+（a﹣3）x+a＝0有一个正实根，一个负实根，由一元二次方程根与系数关系，得x1x2＝a＜0，故①正确；对于②，函数的定义域为{x|x＝±1}∴定义域中只有两个元素，并且f（1）＝f（﹣1）＝0，说明函数是既奇又偶函数，故②错；对于③，函数f（x+1）的图象可看作是由函数f（x）的图象向左平移一个单位而得，因此函数f（x+1）的值域与函数f（x）的值域相同，都是[﹣2，2]，故③错；对于④，对于曲线y＝|3﹣x2|，设函数F（x）＝|3﹣x2|因为F（x）满足F（﹣x）＝F（x）成立，所以函数F（x）是偶函数当x≠0时，若F（x）＝a成立，必有互为相反数的x值（至少两个x）都适合方程，又∵F（0）＝F（±）＝3，a＝3时，F（x）＝a的根除0外还有±，共3个根∴方程F（x）＝a的根的个数是2个或2个以上，不可能是1个，原命题“曲线y＝|3﹣x2|和直线y＝a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值不可能是1．”成立，故④正确．故答案为：①④三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）设命题p：函数g（x）＝是R上的减函数，命题q：函数的定义域为R，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：由命题p：函数g（x）＝是R上的减函数，∴0＜＜1，解得．由命题q：当a≤0时，函数的定义域不为R，应舍去；当a＞0时，要使函数的定义域为R，即对任意实数都满足，则必有△＜0，即1，又a＞0，解得a＞2．由已知“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，等价于或由得到；由得到a≥．综上可知：a的取值范围是：或．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5＝15；这是一个古典概型，∴P（A）＝；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3＝15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．19．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x2+ax+b（I）当a＝﹣1时，求函数f（x）的单调区间：（Ⅱ）若函数f（x）的图象过点（1，1）且极小值点在区间（1，2）内，求实数b的取值范围．【解答】解：（I）当a＝﹣1时，f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＝（3x+1）（x﹣1）令f'（x）＞0，解得x ＜﹣或x＞1，令f'（x）＜0，解得﹣＜x＜1∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣），（1，+∞），f（x）的单调递减区间为（﹣，1）（Ⅱ）∵函数f（x）的图象过点（1，1）∴a+b＝1即b＝1﹣a∴f（x）＝x3﹣x2+ax+1﹣a则f′（x）＝3x2﹣2x+a由题意知3x2﹣2x+a＝0有两个不等实根且大根在区间（1，2）内又∵f′（x）对称轴为x ＝＜1∴f（1）f（2）＜0即（a+1）（a+8）＜0∴﹣8＜a＜﹣1∴b的范围是（2，9）．20．（12分）某市甲、乙两校高二级学生分别有1100人和1000人，为了解两校全体高二级学生期末统考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从这两所学校共抽取105名高二学生的数学成绩，并得到成绩频数分布表如下，规定考试成绩在[120，150]为优秀．甲校：乙校：（1）求表中x与y的值；（2）由以上统计数据完成下面2×2列联表，问是否有99%的把握认为学生数学成绩优秀与所在学校有关？（3）若以样本的频率作为概率，现从乙校总体中任取3人（每次抽取看作是独立重复的），求优秀学生人数ξ的分布列和数学期望．（K 2＝，其中n ＝a +b +c +d ）【解答】解：（1）由分层抽样可知：甲校抽取：105×＝55人，乙校抽取105﹣55＝50，∴2+3+10+15+15+x +3+1＝55，解得：x ＝6， 由1+2+9+8+10+10+y +3＝50，解得：y ＝7， （2）由表中数据完成2×2列联表：由K 2＝＝≈6.109＜6.635，∴没有99%的把握认为学生数学成绩优秀与所在学校有关；（3）由题意知，乙校优秀的概率为，优秀学生人数ξ可能取值为0，1，2，3． 又ξ～B （3，），且P （ξ＝k ）＝（）k（）3﹣k，（k ＝0，1，2，3）∴分布列为：∴随机变量ξ数学期望：E（ξ）＝np＝3×＝，优秀学生人数ξ的数学期望．21．（12分）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝，虚轴长为2．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由题设双曲线的标准方程为，由已知得：，2b＝2，又a2+b2＝c2，解得a＝2，b＝1，∴双曲线的标准方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1﹣4k2）x2﹣8mkx﹣4（m2+1）＝0，有，，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（﹣2，0），∴k AD k BD＝﹣1，即，∴y1y2+x1x2+2（x1+x2）+4＝0，∴，∴3m2﹣16mk+20k2＝0．解得m＝2k或m＝．当m＝2k时，l的方程为y＝k（x+2），直线过定点（﹣2，0），过双曲线的左顶点，与已知矛盾；当m＝时，l的方程为y＝k（x+），直线过定点（﹣，0），经检验符合已知条件．故直线l过定点，定点坐标为（﹣，0）．22．（12分）已知函数f（x）＝ax3+x，g（x）＝x2+px+q．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝1处取得极值，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，函数F（x）＝f'（x）g（x）（其中f'（x）为函数f（x）的导数）的图象关于直线x＝﹣1对称，求函数F（x）单调区间；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对任意的x≥1，都有g（x）≥（6+λ）x﹣λlnx+3恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝ax3+x有f'（x）＝3ax2+1因为f（x）在x＝1处取得极值，故f'（1）＝3a+1＝0∴经检验：当时，符合题意，故（Ⅱ）由（Ⅰ）知：F（x）＝（﹣x2+1）（x2+px+q）∵F（x）的图象关于直线x＝﹣1对称，故函数F（x﹣1）为偶函数又F（x﹣1）＝[﹣（x﹣1）2+1][（x﹣1）2+p（x﹣1）+q]＝﹣x4+（4﹣p）x3+（3p﹣q﹣5）x2+2（1﹣p+q）x∴，解得p＝4，q＝3∴F（x）＝（﹣x2+1）（x2+4x+3）∴F'（x）＝﹣2x（x2+4x+3）+（﹣x2+1）（2x+4）＝﹣4（x+1）（x2+2x﹣1）令F'（x）＞0有或令F'（x）＜0有或∴函数F（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的x≥1，都有g（x）≥（6+λ）x﹣λlnx+3恒成立，可转化为λ（x﹣lnx）≤x2﹣2x在x∈[1，+∞）上恒成立易知lnx＜x∴在x∈[1，+∞）上恒成立令，∴令h（x）＝x+2﹣2lnx（x≥1），∴∴h（x）在（1，2）上递减，（2，+∞）上递增∴h（x）min＝h（2）＝4﹣2ln2＞0∴φ'（x）≥0，即φ（x）在[1，+∞）上递增∴φ（x）min＝φ（1）＝﹣1∴λ≤﹣1．。
江西省赣州市南康中学2016-2017学年高一下学期期中数学试卷(理科)
2016-2017学年江西省赣州市南康中学高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|x＜﹣1或x＞2}，B={x|0≤x≤2}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x＜2}B．{x|x＜﹣1或x≥2}C．{x|x≥2}D．{x|x＜﹣1或x＞2} 2．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a9=10，则S12等于（）A．30 B．45 C．60 D．1203．设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．a3＞b3B．a2＞b2C．＜D．ac＞bc4．在△ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，若，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形5．已知=（﹣2，1），=（k，﹣3），=（1，2），若（﹣2）⊥，则||=（）A．B． C． D．6．已知均为锐角，则cos2β=（）A．B．﹣1 C．0 D．17．已知数列2008，2009，1，﹣2008，…若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2017项之和S2017等于（）A．0 B．2008 C．2017 D．40178．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S+a2=（b+c）2，则cosA等于（）A．B．﹣ C．D．﹣9．已知f（x）=sinxcosx﹣sin2x，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到y=g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（α﹣x）=g（α+x）成立，则g（α+）+g（）=（）A．4 B．3 C．2 D．10．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2，则+的最大值为（）A．2 B．1 C．D．11．甲船在岛B的正南方A处，AB=10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）A．分钟B．分钟C．21、5分钟D．2、15分钟12．设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）A．25 B．50 C．75 D．100二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C的对边，已知，，B=45°，则∠A=．14．已知数列{a n}满足：，a1=1，则a2017=．15．若x＞3，则当函数取得最小值时，x=．16．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=2，AD=1，BC=BDcosα+CDsinβ，则四边形ABCD周长的取值范围为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17．在等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求b1+b2+b3+…+b10的值．18．已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若f（α）=，且α是第二象限角，求cos（2α+）的值．19．（1）解不等式；（2）若不等式kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）的解集为R，求k的取值范围．20．已知函数，其中，，x∈R．（1）求函数y=f（x）的周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，，且sinB=2sinC，求△ABC的面积．21．已知钝角△ABC中，三条边长为连续正整数．（1）求最大角的余弦值；（2）求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．22．已知数列{a n}中，a1=1，a n=+1（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列{a2n﹣}是等比数列；（3）求数列{a n}的前n项和S n，并求满足S n＞0的所有正整数n的值．2016-2017学年江西省赣州市南康中学高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|x＜﹣1或x＞2}，B={x|0≤x≤2}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x＜2}B．{x|x＜﹣1或x≥2}C．{x|x≥2}D．{x|x＜﹣1或x＞2}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】求出B的补集，根据交集的定义即可求出．【解答】解：∵全集为R，B={x|0≤x≤2}，∴∁R B={x|x＜0或x＞2}，∵A={x|x＜﹣1或x＞2}，∴A∩∁R B={x|x＜﹣1或x＞2}．故选：D．2．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a9=10，则S12等于（）A．30 B．45 C．60 D．120【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出．【解答】解：由等差数列的性质可得：．故选：C．3．设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．a3＞b3B．a2＞b2C．＜D．ac＞bc【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用不等式的基本性质，逐一分析四个答案的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b，∴a3＞b3，故A正确；当a=1，b=﹣1时，a＞b成立，但a2=b2，故B错误；当a=1，b=﹣1时，a＞b成立，但＜，故C错误；当c≤0时，ac≤bc，故D错误；故选：A4．在△ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，若，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【考点】GZ：三角形的形状判断．【分析】利用正弦定理以及条件可得sinB=cosB，sinC=cosC，B=C=，A=，从而得到△ABC的形状是等腰直角三角形．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理可得，再由可得sinB=cosB，sinC=cosC，∴B=C=，A=，故△ABC的形状是等腰直角三角形，故选D．5．已知=（﹣2，1），=（k，﹣3），=（1，2），若（﹣2）⊥，则||=（）A．B． C． D．【考点】9R：平面向量数量积的运算；9J：平面向量的坐标运算．【分析】求出向量﹣2，利用向量的垂直，数量积为0，列出方程求解向量，然后求解向量的模即可．【解答】解：=（﹣2，1），=（k，﹣3），=（1，2），﹣2=（﹣2﹣2k，7），（﹣2）⊥，可得：﹣2﹣2k+14=0．解得k=6，=（6，﹣3），所以||==3．故选：A．6．已知均为锐角，则cos2β=（）A．B．﹣1 C．0 D．1【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，利用两角差的正弦函数公式化简可得cosβ﹣2sinβ=﹣，两边平方，整理可得：10sin2β﹣4sinβ﹣1=0，从而解得sinβ，利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵均为锐角，∴cosα==，∴sinαcosβ﹣cosαsinβ=cosβ﹣sinβ=﹣，整理可得：cosβ﹣2sinβ=﹣，∴两边平方，整理可得：10sin2β﹣4sinβ﹣1=0，∴解得：sinβ=或﹣（舍去），∴cos2β=1﹣2sin2β=1﹣2×（）2=0．故选：C．7．已知数列2008，2009，1，﹣2008，…若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2017项之和S2017等于（）A．0 B．2008 C．2017 D．4017【考点】8E：数列的求和．【分析】由题意a n+1=a n+a n+2，从而a n+3=﹣a n，进而得到该数列的周期为6，由此能求出结果．【解答】解：设该数列为{a n}，从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，即a n+1=a n+a n+2，则a n+2=a n+1+a n+3，两式相加，得a n+3+a n=0，即a n+3=﹣a n，∴a n+6=﹣a n+3=﹣（﹣a n）=a n，∴该数列的周期为6，∵a1+a2+a3+a4+a5+a6=2008+2009+1﹣2008﹣2009﹣1=0，∴S2017=336×（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+a1=0+2008=2008．故选：B．8．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S+a2=（b+c）2，则cosA等于（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】HR：余弦定理．【分析】由S+a2=（b+c）2，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：=2bccosA+2bc，化为sinA﹣4cosA=4，与sin2A+cos2A=1．解出即可．【解答】解：∵S+a2=（b+c）2，∴S=b2+c2﹣a2+2bc，∴=2bccosA+2bc，化为sinA﹣4cosA=4，与sin2A+cos2A=1．解得cosA=﹣或cosA=﹣1．cosA=﹣1舍去．∴cosA=．故选：D．9．已知f（x）=sinxcosx﹣sin2x，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到y=g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（α﹣x）=g（α+x）成立，则g（α+）+g（）=（）A ．4B ．3C ．2D ．【考点】HJ ：函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换；GL ：三角函数中的恒等变换应用．【分析】由条件利用三角函数的恒等变换求得g （x ）的解析式，再根据题意可得g （x ）的图象关于直线x=α对称，再根据正弦函数的图象的对称性求得α的值，可得g （α+）+g （）的值．【解答】解：∵f （x ）=sinxcosx ﹣sin 2x=sin2x ﹣=sin （2x +）﹣，把f （x ）的图象向右平移个单位，可得函数y=sin [2（x ﹣）+]﹣=sin2x﹣的图象；再把所得图象向上平移2个单位，得到y=g （x ）=sin2x ﹣+2=sin2x +的图象． 若对任意实数x ，都有g （α﹣x ）=g （α+x ）成立，则g （x ）的图象关于直线x=α对称，∴2α=kπ+，求得α=+，k ∈z ，故可取α=，∴g （α+）+g （）=sin （+）++sin+=4，故选：A ．10．设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x =b y =3，a +b=2，则+的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．D ．【考点】7F ：基本不等式．【分析】由x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，a x =b y =3，可得，y=．+==，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，a x =b y =3，∴，y=．又a +b=2，则+==≤==1．当且仅当a=b=时取等号．∴+的最大值为1．故选：B．11．甲船在岛B的正南方A处，AB=10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）A．分钟B．分钟C．21、5分钟D．2、15分钟【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】设经过x小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案．【解答】解：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D如图示可知BC=10﹣4x，BD=6X，∠CBD=120°CD2=BC2+BD2﹣2BC×BD×cosCBD=（10﹣4x）2+36x2+2×（10﹣4x）×6x×=28x2﹣20x+100当x=小时即分钟时距离最小故选A．12．设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）A．25 B．50 C．75 D．100【考点】8E：数列的求和；H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】由于f（n）=sin的周期T=50，由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a26，a27，…，a49＜0，f（n）=单调递减，a25=0，a26…a50都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24，从而可判断【解答】解：由于f（n）=sin的周期T=50由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25=0，a26，a27，…，a49＜0，a50=0且sin，sin…但是f（n）=单调递减a26…a49都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24∴S1，S2，…，S25中都为正，而S26，S27，…，S50都为正同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正，故选D二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C的对边，已知，，B=45°，则∠A=．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】直接利用正弦定理化简计算可得答案．【解答】解：，，B=45°，由正弦定理：可得：得：sinA=．∵0＜A＜π∴A=．故答案为：．14．已知数列{a n}满足：，a1=1，则a2017=．【考点】8H：数列递推式．【分析】关系式的倒数，得到新数列是等差数列，然后求解通项公式，求解即可．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=2，满足：，则⇒可得数列{}是以1为首项，公差为1的等差数列，∴，即∴．故答案为：15．若x＞3，则当函数取得最小值时，x=5．【考点】7F：基本不等式．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞3，则函数=x﹣3++3≥2+3=7，当且仅当x=5时取等号，即函数f（x）取得最小值7．故答案为：5．16．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=2，AD=1，BC=BDcosα+CDsinβ，则四边形ABCD周长的取值范围为（3+，3+2）．【考点】HR：余弦定理．【分析】由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得cosβsinα=sinαsinβ，进而可求tan，结合范围β∈（0，π），可求，根据题意，∠BAD=，由余弦定理，基本不等式可求CB+CD≤2，利用两边之和大于第三边可求CB+CD＞，即可得解四边形ABCD的周长的取值范围．【解答】解：∵BC=BDcosα+CDsinβ，∴sin∠BDC=sinβcosα+sinαsinβ，∴sin（α+β）=sinβcosα+sinαsinβ，∴（cosβsinα+cosαsinβ）=sinβcosα+sinαsinβ，∴cosβsinα=sinαsinβ，∴tan，又∵β∈（0，π），∴，根据题意，∠BAD=，由余弦定理，BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcos∠BAD=4+1﹣2×2×1×cos=7，又∵BD2=CB2+CD2﹣2CB•CDcosβ=（CB+CD）2﹣3CB•CD≥（CB+CD）2﹣=，∴CB+CD≤2，又∵CB+CD＞，∴四边形ABCD的周长AB+CB+CD+DA的取值范围为：（3+，3+2）．故答案为：（3+，3+2）．三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17．在等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求b1+b2+b3+…+b10的值．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出．（2）利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知得，解得…∴a n=3+（n﹣1）×1，即a n=n+2．…（2）由（1）知，∴b1+b2+b3+…+b10=21+22+…+210==2046．…18．已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若f（α）=，且α是第二象限角，求cos（2α+）的值．【考点】GP：两角和与差的余弦函数；GO：运用诱导公式化简求值；GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】（1）运用诱导公式，同角三角函数的基本关系式，即可化简；（2）运用二倍角的正弦和余弦公式和两角和的余弦公式，即可得到．【解答】解：（1），（2），又∵α为第二象限角，∴，∴，∴，∴．19．（1）解不等式；（2）若不等式kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）的解集为R，求k的取值范围．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】（1）将原不等式化简变形可得2x2﹣5x﹣3＜0，且x﹣1≠0，再由二次不等式的解法，即可得到所求解集；（2）讨论二次项的系数和判别式的符号，结合二次函数的图象和不等式的解法，计算即可得到所求范围．【解答】解：（1）不等式，等价为﹣2＞0，即为＜0，可得2x2﹣5x﹣3＜0，且x﹣1≠0，解得﹣＜x＜3且x≠1，则原不等式的解集为{x|﹣＜x＜3且x≠1}；（2）不等式kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）的解集为R，当k＜0时，判别式△＜0，即有4﹣24k2＜0，即为k＞或k＜﹣，则k＜﹣，当k＞0时，原不等式的解集不为R．综上可得k的取值范围为（﹣∞，﹣）．20．已知函数，其中，，x∈R．（1）求函数y=f（x）的周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，，且sinB=2sinC，求△ABC的面积．【考点】9R：平面向量数量积的运算；HQ：正弦定理的应用．【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差化简函数的解析式，通过正弦函数的单调区间求解即可．（2）利用（1）函数的解析式求出A，然后利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：（1）=，解得，k∈Z，函数y=f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．（2）∵f（A）=2，∴，即，又∵0＜A＜π，∴，∵，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7，①∵sinB=2sinC，∴b=2c，②由①②得，∴．21．已知钝角△ABC中，三条边长为连续正整数．（1）求最大角的余弦值；（2）求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据三角形的性质，大边对大角，利用余弦定理即可求解．（2）由题意，设出最大角为C，其两边分别为a，b，则a+b=4，由平行四边形的面积S=absinC，利用基本不等式求解最大值即可．【解答】解：（1）由题意，三角形的三条边长为连续正整数，设中间为m，最大边则为：m+1，最小边为m﹣1．（m＞1，m∈Z）设最大角为C，由余弦定理可得：cosC==．又∵△ABC是钝角三角形，∴＜0，即（m﹣4）（2m﹣2）＜0，解得：1＜m＜4．∴m=2或3．当m=2时，cosC=﹣1，此时三角形不存在．故得m=3．∴cosC=．（2）由（1）可知最大角为C ，其两边分别为a ，b ，则a +b=4，cosC=，则sinC=∴平行四边形的面积S=absinC∵a +b，（当且仅当a=b 时取等号）可得：ab ≤．故得平行四边形的面积S=absinC ．22．已知数列{a n }中，a 1=1，a n +1=（1）求a 2，a 3，a 4的值；（2）求证：数列{a 2n ﹣}是等比数列；（3）求数列{a n }的前n 项和S n ，并求满足S n ＞0的所有正整数n 的值． 【考点】8K ：数列与不等式的综合；88：等比数列的通项公式． 【分析】（1）直接由数列递推式求得a 2，a 3，a 4的值；（2）设，由结合数列递推式证得数列{}是以，即为首项，以为公比的等比数列；（3）由（2）求出a 2n ，并进一步得到a 2n ﹣1，从而得到a 2n ﹣1+a 2n ，求得S 2n ，再由S 2n ﹣1=S 2n ﹣a 2n 求得S 2n ﹣1，得到满足S n ＞0的所有正整数n 的值．【解答】（1）解：由a 1=1，a n +1=，得，，；（2）证明：设，∵==，∴数列{}是以，即为首项，以为公比的等比数列；（3）解：由（2）得，即，由，得，∴，∴S2n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）===．显然当n∈N*时，{S2n}单调递减，又当n=1时，＞0，当n=2时，＜0，∴当n≥2时，S2n＜0；，同理，当且仅当n=1时，S2n＞0，﹣1综上，满足S n＞0的所有正整数n为1和2．2017年6月26日。
2016-2017年江西省赣州市南康中学高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年江西省赣州市南康中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）不等式≥0的解集为（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|x＞﹣1}D．R2．（5分）用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+1＝2n+2﹣1（n∈N*）的过程中，在验证n＝1时，左端计算所得的项为（）A．1B．1+2C．1+2+22D．1+2+22+23 3．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（）D．（）4．（5分）在等比数列{a n}中，若a4a5a6＝27，则a1a9＝（）A．3B．6C．27D．95．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知双曲线M：（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．7．（5分）如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为（）A．ln2B．1﹣ln2C．2﹣ln2D．1+ln28．（5分）若（2x+）dx＝3+ln2，则a的值是（）A．6B．4C．3D．29．（5分）曲线y＝ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3＝0的最短距离是（）A．B．2C．3D．010．（5分）函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递减区间是（）A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）11．（5分）某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图所示，在区域{（x，y）|x≥0，y≥0}内植树，第1棵树在点A1（0，1）处，第2棵树在点B1（1，1）处，第3棵树在点C1（1，0）处，第4棵树在点C2（2，0）处，接着按图中箭头方向每隔1个单位种1棵树．第n棵树所在点的坐标是（46，0），则n＝（）A．1936B．2016C．2017D．220812．（5分）已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf'（x），则不等式的解集为（）A．（0，4）B．（0，3）C．（0，2）D．（0，1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）．14．（5分）曲线y＝﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为．15．（5分）命题“存在x∈R，x2+2ax+1＜0”为假命题，则a的取值范围是．16．（5分）设函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx在x＝1及x＝2时取得极值，则b的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）设命题p：实数a满足不等式3a≤9，命题q：x2+3（3﹣a）x+9≥0的解集为R．已知“p∧q”为真命题，并记为条件r，且条件t：实数a满足a＜m或．（1）求条件r的等价条件（用a的取值范围表示）；（2）若r是￢t的必要不充分条件，求正整数m的值．18．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）一个周期的图象如图所示．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若f（α）+f（α﹣）＝，且α为△ABC的一个内角，求sinα+cosα的值．19．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣kx+1．（1）当k＝2时，求函数的单调增区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．20．（12分）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+x2﹣（a+1）x（a∈R）．（I）a＝1时，求函数y＝f（x）的零点个数；（Ⅱ）当a＞0时，若函数y＝f（x）在区间[1．e]上的最小值为﹣2，求a的值．22．（12分）已知椭圆C的中心为坐标原点，其离心率为，椭圆C的一个焦点和抛物线x2＝4y的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）过点的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，说出点T的坐标，若不存在，说明理由．2016-2017学年江西省赣州市南康中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）不等式≥0的解集为（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|x＞﹣1}D．R【解答】解：由得，即，解得﹣1＜x≤2，所以不等式的解集是{x|﹣1＜x≤2}，故选：B．2．（5分）用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+1＝2n+2﹣1（n∈N*）的过程中，在验证n＝1时，左端计算所得的项为（）A．1B．1+2C．1+2+22D．1+2+22+23【解答】解：用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+1＝2n+2﹣1（n∈N*）的过程中，左侧的特点是，由1一直加到2n+1项结束．所以在验证n＝1时，左端计算所得的项为：1+2+22．故选：C．3．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（）D．（）【解答】解：∵抛物线的方程为y＝4x2，即x2＝y∴2p＝，解得因此抛物线y＝4x2的焦点坐标是（0，）．故选：D．4．（5分）在等比数列{a n}中，若a4a5a6＝27，则a1a9＝（）A．3B．6C．27D．9【解答】解：在等比数列{a n}中，a4a5a6＝27，∵a4a6＝a5•a5，∴（a5）3＝27，∴a5＝3，∴a1a9＝a5•a5＝9，故选：D．5．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即∠O1OD1，直角三角形OO1D1中，cos∠O1OD1＝＝＝，故选：D．6．（5分）已知双曲线M：（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线双曲线M：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay＝0，焦点坐标为（±c，0），其中c＝∴一个焦点到一条渐近线的距离为d＝＝，即7b2＝2a2，由此可得双曲线的离心率为e＝＝．故选：C．7．（5分）如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为（）A．ln2B．1﹣ln2C．2﹣ln2D．1+ln2【解答】解：由题意，阴影部分E由两部分组成因为函数，当y＝2时，x＝，所以阴影部分E的面积为+＝1+＝1+ln2故选：D．8．（5分）若（2x+）dx＝3+ln2，则a的值是（）A．6B．4C．3D．2【解答】解：因为（2x+）dx＝3+ln2，所以（x2+lnx）＝a2﹣1+lna＝3+ln2，所以a＝2；故选：D．9．（5分）曲线y＝ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3＝0的最短距离是（）A．B．2C．3D．0【解答】解：y＝ln（2x﹣1）的导函数为y′＝，设与曲线y＝ln（2x﹣1）相切且与直线2x﹣y+3＝0平行的直线方程为：2x﹣y+m＝0，设切点为（x0，y0）∴＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln（2x0﹣1）＝ln1＝0，∴切点为（1，0）∴切点（1，0）到直线2x﹣y+3＝0的距离为＝．即曲线y＝ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3＝0的最短距离是．故选：A．10．（5分）函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递减区间是（）A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）【解答】解：∵数f（x）＝（x﹣3）e x∴f′（x）＝（x﹣2）e x，根据单调性与不等式的关系可得：（x﹣2）e x＜0，即x＜2所以函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递减区间是（﹣∞，2）故选：A．11．（5分）某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图所示，在区域{（x，y）|x≥0，y≥0}内植树，第1棵树在点A1（0，1）处，第2棵树在点B1（1，1）处，第3棵树在点C1（1，0）处，第4棵树在点C2（2，0）处，接着按图中箭头方向每隔1个单位种1棵树．第n棵树所在点的坐标是（46，0），则n＝（）A．1936B．2016C．2017D．2208【解答】解：OA1B1C1设为第一个正方形，种植3棵树，依次下去，第二个正方形种植5棵树，第三个正方形种植7棵树，构成等差数列，由第n棵树所在点坐标是（46，0），则n＝46×3+×2＝2208棵树．故选：D．12．（5分）已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf'（x），则不等式的解集为（）A．（0，4）B．（0，3）C．（0，2）D．（0，1）【解答】解：令F（x）＝，则F′（x）＝，∵f（x）＞xf′（x），∴F′（x）＜0，∴F（x）＝为定义域上的减函数，由不等式x2f（）﹣f（x）＜0，得：＞＜，∴＞x，∴0＜x＜1，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）．【解答】解：由＝x2dx+dx，由x2dx＝x3＝，由定积分的几何意义可知：dx表示以（1，0）为圆心以1为半径的圆的一半，则dx＝，＝x2dx+dx＝，故答案为：．14．（5分）曲线y＝﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为5x+y+2＝0．．【解答】解：y′＝﹣5e x，∴y′|x＝0＝﹣5．因此所求的切线方程为：y+2＝﹣5x，即5x+y+2＝0．故答案为：5x+y+2＝0．15．（5分）命题“存在x∈R，x2+2ax+1＜0”为假命题，则a的取值范围是[﹣1，1]．【解答】解：命题“存在x∈R，x2+2ax+1＜0”为假命题⇔命题“∀x∈R，x2+2ax+1≥0”为真命题．△＝4a2﹣4≤0⇒﹣1≤a≤1故答案为：[﹣1，1]16．（5分）设函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx在x＝1及x＝2时取得极值，则b的值为4．【解答】解：∵函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx，∴f′（x）＝6x2+6ax+3b，∵函数f（x）在x＝1及x＝2取得极值，∴f′（1）＝0，f′（2）＝0．即，解得a＝﹣3，b＝4．故答案为：4．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）设命题p：实数a满足不等式3a≤9，命题q：x2+3（3﹣a）x+9≥0的解集为R．已知“p∧q”为真命题，并记为条件r，且条件t：实数a满足a＜m或．（1）求条件r的等价条件（用a的取值范围表示）；（2）若r是￢t的必要不充分条件，求正整数m的值．【解答】解：（1）由3a≤9，得a≤2，即p：a≤2．由△＝9（3﹣a）2﹣4×9≤0，解得1≤a≤5，即q：1≤a≤5．∵“p∧q”为真命题，∴，解得1≤a≤2．（2）又t：a＜m或，从而．∵r是¬t的必要不充分条件，即¬t是r的充分不必要条件，∴，解得，∵m∈N*，∴m＝118．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）一个周期的图象如图所示．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若f（α）+f（α﹣）＝，且α为△ABC的一个内角，求sinα+cosα的值．【解答】解：（1）从图知，函数的最大值为1，则A＝1．函数f（x）的周期为T＝4×（+）＝π．而T＝，则ω＝2．又x＝﹣时，y＝0，∴sin[2×（﹣）+φ]＝0．而﹣＜φ＜，则φ＝，∴函数f（x）的表达式为f（x）＝sin（2x+）．（2）由f（α）+f（α﹣）＝，得sin（2α+）+sin（2α﹣）＝，即2sin2αcos＝，∴2sinαcosα＝．∴（sinα+cosα）2＝1+＝．∵2sinαcosα＝＞0，α为△ABC的内角，∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα+cosα＞0．∴sinα+cosα＝．19．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣kx+1．（1）当k＝2时，求函数的单调增区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．【解答】解：函数y＝f（x）的定义域为（0，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）（1）当k＝2时，f（x）＝lnx﹣2x+1，则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由，所以函数的单调增区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由f（x）≤0得kx≥lnx+1，即在（0，+∞）上恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）令，则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以g（x）在（0，1）为增区间，在（1，+∞）为减区间，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以当x＝1时，g（x）max＝g（1）＝1．故k≥1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．【解答】证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，∴AO⊥EF，∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB∴AO⊥BE．（Ⅱ）取BC的中点G，连接OG，∵EFCB是等腰梯形，∴OG⊥EF，由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，∵OG⊂平面EFCB，∴OA⊥OG，建立如图的空间坐标系，则OE＝a，BG＝2，GH＝a，（a≠2），BH＝2﹣a，EH＝BH tan60°＝，则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，，0），＝（﹣a，0，a），＝（a﹣2，﹣，0），设平面AEB的法向量为＝（x，y，z），则，即，令z＝1，则x＝，y＝﹣1，即＝（，﹣1，1），平面AEF的法向量为，则cos＜＞＝＝即二面角F﹣AE﹣B的余弦值为；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，则BE⊥OC，即＝0，∵＝（a﹣2，﹣，0），＝（﹣2，，0），∴＝﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2＝0，解得a＝．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+x2﹣（a+1）x（a∈R）．（I）a＝1时，求函数y＝f（x）的零点个数；（Ⅱ）当a＞0时，若函数y＝f（x）在区间[1．e]上的最小值为﹣2，求a的值．【解答】解：（I）a＝1时，函数f（x）＝lnx+x2﹣2x，（x＞0）则f′（x）＝+x﹣2＝＝≥0恒成立，故函数f（x）在（0，+∞）为增函数，∵f（1）＝﹣＜0，f（4）＝ln4＞0，故函数y＝f（x）有且只有一个零点；（Ⅱ）∵f（x）＝lnx+x2﹣（a+1）x（a＞0），∴f′（x）＝+ax﹣（a+1）＝，令f′（x）＝0，则x＝1，或x＝，当≤1，即a≥1时，f′（x）≥0在区间[1．e]上恒成立，函数y＝f（x）为增函数，此时当x＝1时，函数取最小值﹣（a+1）＝﹣2，解得：a＝2；当1＜＜e，即＜a＜1时，f′（x）＜0在区间[1.]上恒成立，函数y＝f（x）为减函数，f′（x）≥0在区间[．e]上恒成立，函数y＝f（x）为增函数，此时当x＝时，函数取最小值﹣lna+﹣＝﹣2，不存在满足条件的a值；当≥e，即0＜a≤时，f′（x）≤0在区间[1．e]上恒成立，函数y＝f（x）为减函数，此时当x＝e时，函数取最小值1+e2﹣e（a+1）＝﹣2，解得：a＝（舍去）；综上可得：a＝222．（12分）已知椭圆C的中心为坐标原点，其离心率为，椭圆C的一个焦点和抛物线x2＝4y的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）过点的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，说出点T的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）抛物线焦点的坐标为（0，1），则椭圆C的焦点在y轴上设椭圆方程为由题意可得c＝1，，，∴椭圆方程为…（3分）（2）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2＝1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是由即两圆相切于点（1，0）…（5分）因此所求的点T如果存在，只能是（1，0），事实上，点T（1，0）就是所求的点．…（6分）证明：当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0），若直线l不垂直于x轴，可设直线l：设点A（x1，y1），B（x2，y2）由，∴…（9分）又∵＝（x1﹣1，y1），＝（x2﹣1，y2），∴＝（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）＝＝＝＝0…（11分）∴即：TA⊥TB，故以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．综上可知：在坐标平面上存在一个定点T（1，0）满足条件．…（12分）。
江西省赣州市2016-2017学年高二下学期期中联考理数试题Word版含答案
江西省赣州市2016-2017学年高二下学期期中联考理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，则复数313i12iz -=-的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．用反证法证明命题“若自然数a ，b ，c 的积为偶数，则a ，b ，c 中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（ ）A ．a ，b ，c 中至多有一个偶数B ．a ，b ，c 都是奇数C ．a ，b ，c 至多有一个奇数D ．a ，b ，c 都是偶数3．若22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数之和为64，则n 等于（ ）A ．5B ．7C ．8D ．64．若曲线()32f x x a x b =-+在点()()1,1f 处切线的倾斜角为34π，则a 等于（ ）A ．2B ．2-C ．3D ．1-5．把2名新生分别到甲、乙、丙、丁四个班，甲班必须且只能分配1名新生，则不同的分配方法有（ ） A ．3种 B ．4种 C ．6种 D ．8种6．已知复数()()32i i z a b =+-的实部为4，其中a 、b 为正实数，则2a b +的最小值为（ ）A ．2B ．4C 3D 37．观察下列各式：11123=+，111121232+=+++，1112123+++++1312345=+++，…，则1112123+++++11212++++L L 等于（ ） A ．56 B ．1112C ．1113D ．12138．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在4x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是（ ）A B C D9．已知圆M ：()2224x y -+=，则过点()1,1的直线中被圆M 截得的最短弦长为类比上述方法：设球O 是棱长为3的正方体1111A B C D A B C D -的外接球,过1A C 的一个三等分点作球的O 的截面，则最小截面的面积为（ ）A ．πB ．4πC ．5πD ．6π10．设()602x a -=+()()21211a x a x ++++()661a x ++L ，则012a a a ++356a a a +++等于（ ） A ．4 B ．71- C ．64 D ．19911．“603c o sa d πθθ≥⎰”是“直线l ：2220a x y a-+=（0a >）与双曲线C ：22214x ya-=的右支无交点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知函数()()2e x f x x b x =-（R b ∈）在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是（ ） A ．8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．5,6⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．35,26⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．复数z 满足()2i i 3i z +=-，则z = ．14．函数()4c o s 5f x x x =--在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为 ． 15．3男3女共6名同学排成一排合影，要求女同学不站两头且不全相邻，则不同的排法种数为 ． 16．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（2n ≥）从左向右的第3个数为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（1）从0，1，2，3，4，5这六个数字任取3个，问能组成多少个没有重复数字的三位数？（2）若()5523a x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含10x 项的系数为43，求实数a 的值.18．已知函数()3213f x x x x =-+.（1）求函数()f x 在[]1,2-上的最大值和最小值；（2）若函数()()4g x f x x =-，[]3,2x ∈-，求()g x 的单调区间.19．已知三棱柱111A B C A B C -中，1A A ⊥平面A B C ，5A B =，4A C =，3B C =，14A A =，点D 在A B 上.（1）若D 是A B 的中点.求证：1A C ∥平面1B C D ； （2）当15B D A B=时，求二面角1B C D B --的余弦值.20．在数列{}n a 中，113a =，且1221na a a n +++-L n n a =（n +∈N ）.（1）写出此数列的前4项；（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.21．已知椭圆G ：222213xy bb+=（0b >）的上、下顶点和右焦点分别为M 、N 和F ，且M FN V 的面积为（1）求椭圆G 的方程；（2）若斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以A B 为底作等腰三角形，顶点为()3,2P -，求P A B ∆的面积.22．已知函数()ln f x x a x =-，()R a ∈. （1）讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数； （2）设()1a g x x+=-，若不等式()()f x g x >对任意[]1,e x ∈恒成立，求a 的取值范围.江西省赣州市2016-2017学年高二下学期期中联考理数试题参考答案一、选择题1-5:CBDAC 6-10:DCCDB 11、12：AA二、填空题13．1- 15．72 16．224n n -+三、解答题17．解：（1）若选数字0，则可组成122540C A =个没有重复数字的三位数；若不选数字0，则可组成3560A =个没有重复数字的三位数；故共可组成6040100+=个没有重复数字的三位数.（2）52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Q 的展开式含10x 项的系数为05C ，52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式含4x 项的系数为225a C ，2255343C a C ∴+=，解得2a =±.18．解：（1）()221f x x x '=-+Q ()210x =-≥，∴函数()f x 在[]1,2-上单调递增.()()m in1fx f∴=-73=-，()()m a x 223f x f ==.（2）()313g x x =Q 23x x --，()223g x x x '∴=--，由()223g x x x '=--0>，得1x <-或3x >， 由()223g x x x '=--0<，得13x -<<，[]3,2x ∈-Q ，()g x ∴的增区间为[)3,1--，减区间为(]1,2-.19．解：（1）证明：连结1B C ，交1B C 于E ，连结D E .Q侧面11B B C C 为平行四边形，E 为1B C 中点，D 是A B 的中点，D E ∴为1A B C V 的中位线， 1D E A C ∴∥，D E ⊂Q 平面1B C D ，1A C ⊄平面1B C D ， 1A C ∥平面1B C D ，（2）A C B C ⊥Q ，∴如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C x y z -.则()3,0,0B ，()0,4,0A ，()10,0,4C ，()13,0,4B . 设(),,0D a b （0a >，0b >），Q 点D 在线段A B 上，且15B DA B =，即15B D B A =uuu r uur，125a ∴=，45b =.()13,0,4B C ∴=--uuu r ，()3,4,0B A =-uur ，124,,055C D ⎛⎫=⎪⎝⎭uuu r . 平面B C D 的一个法向量为()10,0,1n =u r， 设平面1B C D 的法向量为()2,,1n x y =u u r，由120B C n ⋅=uuu r u u r ，20C D n ⋅=uuu r u u r ，得340,1240.55x x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 43x ∴=-，4y =，24,4,13n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u r . 设二面角1B C D B --的大小为θ，1212c o s n n n n θ⋅==u ru u r u ru u r 313. ∴二面角1B C D B --的余弦值为313.20．解：（1）由已知113a =，123na a a a n++++L ()21n n a =-，分别取2,3,4n =，得2115a a ==113515=⨯，()312114a a a =+=115735=⨯，()4123127a a a a =++=117963=⨯.所以数列的前4项是：113a =,2115a =,3135a =,4163a =. （2）证明：由（1）中的计算可以猜想()()12121n a n n =-+.下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，猜想显然成立.②假设当n k =时猜想成立，即()()12121k a k k =-+.那么由已知，得12311k k a a a a a k +++++++L ()123k k a +=+， 即123k a a a a ++++L ()2123k k k a +=+，又12ka a a k+++L ()21k k a =-，所以()21k k a -()2123k k k a +=+， 即()21k k a -=()123k k a ++， 又由归纳假设，得()()()1212121k k k --+()123k k a +=+，所以()()112123k a k k +=++，即当1n k =+时，公式也成立.由①和②可知，对一切N n +∈都有()()12121n a n n =-+成立.21．解：（1）设椭圆的焦距为2c ，长轴长为2a ，则223a b =，222232cb bb ∴=-=，则c =，M F N Q V的面积为122b ∴⋅⋅=则24b =，212a =，∴椭圆G 的方程为221124xy+=.（2）设直线l 的方程为y x m =+.由221124y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22463x m x m ++120-=.① 设A 、B 的坐标别为()11,x y ，()22,x y （12x x <），A B 的中点为()00,E x y ，则120324x x m x +==-，004m y x m =+=，A B Q 是等腰P A B V 的底边，P E A B ∴⊥.所以P E 的斜率241334mk m -==--+，解得2m =. 此时方程①为24120x x +=，解得13x =-，20x =，11y ∴=-，22y =，则A B =.Q点()3,2P -到直线A B ：20x y -+=的距离2d ==，P A B ∴V 的面积1922S A B d =⋅=.22．解：（1）()1a x a f x xx-'=-=（0x >），当0a ≤时，()0f x '>在()0,+∞上恒成立，函数()f x 在()0,+∞单调递增，()f x ∴在()0,+∞上没有极值点. 当0a >时，()0f x '<得0x a <<，()0f x '>得x a >，()f x ∴在()0,a 上递减，在(),a +∞上递增，即()f x 在xa=处有极小值，无极大值.∴当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上没有极值点，当0a >时，()f x 在()0,+∞上有一个极值点. （2）设()()()h x f x g x =-1ln a x a x x+=+-（0x >）， ()211a a h x xx+'=--()221x a x a x--+=()()211xx a x+-+⎡⎤⎣⎦=，不等式()()f x g x >对任意[]1,e x ∈恒成立，即函数()1a h x x x+=+ln a x -在[]1,e 上的最小值大于零.①当1e a +≥，即e 1a ≥-时，()h x 在[]1,e 上单调递减. 所以()h x 的最小值为()e h ，由()1e e ea h +=+0a ->可得2e 1e 1a +<-，因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1e 1a +-≤<-.②当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++>可得2a >-，即20a -<≤. ③当11e a <+≤，即0e 1a <≤-时，可得()h x 最小值为()1h a +， 因为()0ln 11a <+<，所以()0ln 1a a a <+<， 故()12h a a +=+()ln 12a a -+>， 即0e 1a <<-.综上所述，a 的取值范围是：2e 12,e 1⎛⎫+- ⎪-⎝⎭.。
江西省赣州市四所高中2016-2017学年高二下学期期中联考数学(理)试题
赣州市四所高中2016—2017学年第二学期期中联考高二数学试卷（理）命题学校： 南康区唐江中学 命题教师： 王家飞考试时间：2017年4月20日 试卷满分：150分一、 选择题（每小题5分，共60分）1．集合{A y y ==，{}220B x x x =--≤，则A B ⋂=（ ） A.[)2,+∞ B.[]0,1 C.[]1,2 D.[]0,22.已知复数3,1i z z i+==-则 （ ）A ．1 B.253.在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线方程是（ ）A.sin 1ρθ=B.sin ρθ=cos 1ρθ= D.cos ρθ= 4.若直线的参数方程为12()24x t t y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．12 B. 2- C.2 D.12- 5.若110a b<<，则下列结论不正确．．．的是（ ） A ．22a b < B.2ab b < C.0a b +< D.a b a b +>+6.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ） A. 12 B. 13 C. 43 D. 657. 由曲线22y x x =+与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．23 B ．13 C ．56 D ．168.若实数[),,0,1a b c ∈且1099,1a b a b c +=++=，则当1019a b+最取小值时,c 的值为（ ） A ．511B.211C.111D.0 9.已知直线1y x =+ 与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为（ ）A ．1 B.1- C.2 D.2-10．已知函数f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m 在 上的最小值为13，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．311.若关于x 的不等式220x ax +->在闭区间[]1,5上有解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B.23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.(1,)+∞D.(),1-∞- 12. 已知()f x 的定义域为(0,),()f x '+∞为()f x 的导函数，且满足()(),f x xf x '<-则不等式 2(1)(1)(1)f x x f x +>--的解集为（ ）A ．(0,1) B.(1,)+∞ C.(1,2) D.(2,)+∞二、填空题(每小题5分，共20分)13、a 为正实数，i 为虚数单位，2,a i i+=则a = . 14.若存在实数x ，使13x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围 .15.在极轴系中，设P 是直线:(cos sin )4l ρθθ+=上任一点，Q 是圆2:4cos 3C ρρθ=-上任一点，则PQ 的最小值是 .16.设函数()()02x f x x x =>+观察：121()(),()(()),234x x f x f x f x f f x x x ====++ 3243()(()),()(())781516x x f x f f x f x f f x x x ====++，⋅⋅⋅根据以上事实，由归纳推理可得： 当n N *∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -==三. 解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题12分)已知复数()()2131z i i =++-（1）求z ；（2）若()z z a b i +=+，求实数,a b 的值．18（本小题满分12分）设()x f y =是二次函数，方程()0=x f 有两个相等的实根，且'()22f x x =+ （1）求()y f x =的表达式；（2）求()y f x =的图像与两坐标轴所围成图形的面积19.（本小题满分12分））已知函数),()(23R b a bx ax x x f ∈++=，若函数)(x f 在1=x 处有极值4-.(1)求)(x f 的单调递增区间；(2)求函数)(x f 在[]2,1-上的最大值和最小值.20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，曲线a a y a x C (,sin 2,cos 33:1⎩⎨⎧=+=为参数）经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='23yy x x 后的曲线为2C ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。
江西省南康中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题
(1)求椭圆的方程；
(2)动直线 ( 不全为零)交椭圆 于 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 ，使得以线段 为直径的圆恒过点 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由。
22．已知函数 ．
【解析】
【分析】
Ⅰ.根据余弦定理，求得AC长度，再根据勾股定理逆定理判定 ；根据线面垂直的性质，得到 ；进而通过判定线面垂直得到线线垂直。
12．B
【解析】
【分析】
设函数 上任意一点 ，得到切线方程为 .再根据图像过点 ，所以 ，令 ，等价于函数g(x)有三个零点，分析即得解.
【详解】
设函数 上任意一点 ，
在点 处的切线方程为 ，
即 .
若过点 ，则
依题意，方程 有三个不等实根.
令 ，
，得 ， .
当 时， ，函数 在 上单调递减；
当 时， ，函数 在 上单调递增.
19．（1） ；（2）b=2.
【解析】试题分析：（1）利用三角形内角和定理可知 ，再利用诱导公式化简 ，利用降幂公式化简 ，结合 即可求出 ；（2）利用（1）中结论 ，结合三角形面积公式可求出 的值，根据 ，进而利用余弦定理可求出 的值．
试题解析：（1）由题设及 ，故
上式两边平方，整理得
解得
（2）由 ，故
二活动，则至少选中一名男生的选法种数是_____．
15．如图所示，在正方形 内，随机投入一个质点，则所投质点恰好落在 与 轴及抛物线 所围成的区域内的概率是______________．
16．已知 ， ，则 与 的值分别为______________．
（1）若 ，求 的单调区间；
高二数学下学期期中复习试题 理(1)(2021年整理)
江西省赣州市信丰县2016-2017学年高二数学下学期期中复习试题理(1) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江西省赣州市信丰县2016-2017学年高二数学下学期期中复习试题理(1)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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2016-2017学年第二学期高二理科数学期中复习卷（三)一、选择题1、已知自由下落物体的速度为V=gt,则物体从t=0到t 0所走过的路程为（ ）A ． 2012gtB ．20gtC ． 2013gtD ．2014gt2、曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是( ）A.4 B 。
52C.3 D 。
23、定积分错误! (－错误!)d x 等于( )A ．4B ．2πC ．－2πD ．－4π4、如图:A,B ，C ，D,E 五个区域可用红、蓝、黄、白、绿五种颜色中的某一种着色.要求相邻的区域着不同的颜色，则不同的着色方式种数有（ ） A ．16 B ．120 C ．360 D ．540AB C D E5、将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名,最多2名，则不同的分配方案有 （ ） A ．30种 B ．90种 C ．180种 D ．270种6、某文艺小分队到一个敬老院演出,原定6个节目，后应老人们的要求决定增加3个节目，但原来六个节目的顺序不变，新增的3个节目既不在开头也不在结尾，则这台演出共有( ）种不同的演出顺序。
A ． 200B ．210C ．220D ．2887、设(2x-3)4=44332210x a x a x a x a a ++++,则0123a a a a +++的值为( ）A.1B.16 C 。
江西省南康中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学(理)试题含答案
南康中学2016～2017学年度第二学期高一期中考试数学(理科）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合}20|{},21|{≤≤=>-<=x x B x x x A 或，则()R A B =( )A ．}2|{<x xB ．}21|{≥-<x x x 或C ．}2|{≥x xD ．}21|{>-<x x x 或2．已知nS 为等差数列{}na 的前n 项和，若4910aa +=，则12S 等于（ ）A ．30B ．45 C. 60 D ．120 3．设a ，b ，c∈R，且a ＞b ，则( ）A ．a 3＞b 3B ．a 2＞b 2C ．D ．ac＞bc4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B,C 的对边,若c Cb B aA cos cos sin ==，则△ABC 的形状是（ ）A 。
锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D 。
等腰直角三角形5．已知),2,1(),3,(),1,2(=-=-=c k b a 若)2(b a -⊥c，则｜b ｜=()A ．53B ．23C ．52D ．106．已知()510sin ,510ααβαβ=-=-均为锐角,则cos 2β=（ ）A ． 0B ．1-C ． 23- D ．17．已知数列2008,2009，1，－2008，…若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2017项之和2017S 等于（ ）A ．0B ．2008C ．2017D ．40178．在△ABC 中，三内角A,B ，C 的对边分别为a ，b,c ，面积为S ，若S+a 2=（b+c ）2，则cosA 等于（ )A ．54 B ．54-C ．1715 D ．1715-9．已知x x x x f 2sin cos sin 3)(-=,把)(x f 的图象向右平移12π个单位，再向上平移2个单位，得到)(x g y =的图象；若对任意实数x ，都有)()(x g x g +=-αα成立，则=++)4()4(ππαg g （）A 。
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南康中学2016～2017学年度第二学期高二期中考试
数学（理）试卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1、若复数z 满足(3－4i)z ＝5，则z 的虚部为( )
A.45
B.－45
C.4
D.－4
2、已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
p 1：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫0，2π3 p 2：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎝
⎛⎦⎥
⎤2π3，π
p 3：|a －b |＞1⇔θ∈⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫
0，π3
p 4：|a －b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤π3
，π
其中的真命题是( ) A.p 1，p 4
B.p 1，p 3
C.p 2，p 3
D.p 2，p 4
3、已知当x ＜0时，2x 2
－mx ＋1＞0恒成立，则m 的取值范围为( )
A.
C.(－22，＋∞)
D.(－∞，－22)
4、已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x
3－2，
y ≤2x ＋4，2x ＋3y －12≤0，
则5
7y z x -=-的取值范围为( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤15，7
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤17，5 C.⎝
⎛⎦
⎥⎤－∞，15∩
B.(－∞，－1]
C.时，f (x )
最大值
＝f (－2)＝4
e
2.
因为当x ∈(－∞，－2]时，f (x )＞0，f (0)＝0， 所以当x ∈(－∞，0]时，f (x )最小值＝f (0)＝0. 所以f (x )最大值－f (x )最小值＝4
e
2.
所以对∀x 1，x 2∈(－∞，0]，都有f (x 1)－f (x 2)≤f (x )最大值－f (x )最小值＝4
e
2.…………12分
21、解 (1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，
则原点O 到该直线的距离d ＝
bc b 2＋c 2＝bc
a
， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2
，解得离心率c a ＝32.……………………5分
(2)法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2
＋4y 2
＝4b 2
.① 依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.
易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2
)x 2
＋8k (2k ＋1) x ＋4(2k ＋1)2
－4b 2
＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2
，
x 1x 2＝4（2k ＋1）2
－4b 2
1＋4k
2
， 由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2
＝－4，解得k ＝1
2， 从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
|x 1－x 2| ＝
52
（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2
－2）， 由|AB |＝10，得10（b 2
－2）＝10，解得b 2
＝3，
故椭圆E 的方程为x 212＋y 2
3＝1.…………………………………………12分
法二 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2
＋4y 2
＝4b 2
，②
依题意，点A ，B 关于圆心M (－2，1)对称，且|AB |＝10，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2
1＋4y 2
1＝4b 2
，x 2
2＋4y 2
2＝4b 2
，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2， 得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0，
易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1
2
， 因此直线AB 的方程为y ＝1
2(x ＋2)＋1，
代入②得x 2
＋4x ＋8－2b 2
＝0， 所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2
， 于是|AB |＝ 1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
|x 1－x 2| ＝
52
（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2
－2）.
由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2
＝3， 故椭圆E 的方程为x 212＋y 2
3
＝1.
22、(1)解 f ′(x )＝a －b x
，则有⎩⎪⎨
⎪
⎧f （1）＝a ＋b ＋c ＝0，f ′（1）＝a －b ＝1，
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧b ＝a －1，c ＝1－2a .
………………3分
(2)解 由(1)知，f (x )＝ax ＋a －1
x
＋1－2a . 令g (x )＝f (x )－ln x ＝ax ＋
a －1
x
＋1－2a －ln x ，x ∈[1，＋∞)， 则g (1)＝0，g ′(x )＝a －a －1x 2－1x ＝ax 2
－x －（a －1）
x 2
＝
a （x －1）⎝
⎛
⎭
⎪⎫
x －
1－a a x 2
，
(ⅰ)当0＜a ＜12时，1－a
a
＞1.
若1＜x ＜1－a
a
，则g ′(x )＜0，g (x )是减函数，所以g (x )＜g (1)＝0，即f (x )＜ln x .
故f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上不成立.
(ⅱ)当a ≥12时，1－a a ≤1. 若x ＞1，则g ′(x )＞0，g (x )是增函数，所以g (x )＞g (1)＝0，
即f (x )＞ln x ，故当x ≥1时，f (x )≥ln x .
综上所述，所求a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞.……………………7分
(3)证明 法一 由(2)知：当a ≥1
2
时，有f (x )≥ln x (x ≥1).
令a ＝12，有f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ≥ln x (x ≥1)， 且当x ＞1时，12⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －1x ＞ln x .
令x ＝
k ＋1k ，有ln k ＋1k ＜12⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1
k －k k ＋1＝12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋1， 即ln(k ＋1)－ln k ＜12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
k ＋1k ＋1，k ＝1，2，3，…，n .
将上述n 个不等式依次相加得ln(n ＋1)＜12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋…＋1n ＋1
2（n ＋1），
整理得1＋12＋13＋…＋1n ＞ln(n ＋1)＋n
2（n ＋1）.…………………………12分
法二 用数学归纳法证明.
①当n ＝1时，左边＝1，右边＝ln 2＋1
4＜1，不等式成立.
②假设n ＝k 时，不等式成立，即 1＋12＋13＋…＋1k ＞ln(k ＋1)＋k 2（k ＋1）
.
那么1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞ln(k ＋1)＋k 2（k ＋1）＋1k ＋1＝ln(k ＋1)＋k ＋2
2（k ＋1）.
由(2)知：当a ≥1
2时，有f (x )≥ln x (x ≥1).
令a ＝12，有f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －1x ≥ln x (x ≥1).
令x ＝
k ＋2k ＋1，得：12⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2k ＋1－k ＋1k ＋2≥ln k ＋2
k ＋1
＝ln(k ＋2)－ln(k ＋1). ∴ln(k ＋1)＋k ＋22（k ＋1）≥ln(k ＋2)＋k ＋1
2（k ＋2）
.
∴1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞ln(k ＋2)＋k ＋1
2（k ＋2）.
这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式也成立.。