2.2.1向量加法运算解析
向量的加法
2.2.1向量的加法
日常生活中遇到的向量加法: 1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方 向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？ 由此可得什么结论？
AB BC AC A
BC
2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方 向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表 示？由此可得什么结论？
AB BC AC
1.将向量平移使得它们首尾顺次相连 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾
向量和平行四边形作法:
1.将向量平移到同一起点 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的对角线
ab
三角形法则：首尾相接连端点； 平行四边形法则：起点相同连对角.
a
a
b
b
三角形法则
平行四边形法则
二：向量加法的代数运算性质
(2) MA BN AC CB ___M__N___
(3)AB BD CA DC ____0____
例２.根据图示填空
EeD
(1)a b
c
gf
d
(2)c d f
c
(3)a b d f
A
C
b
aB
(4)c d e g
例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常 常通过轮渡进行运输.一艘船从长江南 岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对 岸的方向行驶,同时江水的速度为向东 2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及 船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小和方向.
关系如何？
a
C
a
ｂ
a＋b ｂ
ｂ
A aB
a＋b
a＋b
|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b同向时取 等号；
|a＋b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b反向时取 等号.
2019-2020学年高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义
③当两个非零向量a与b反向且|a|<|b|时(如图2),则a+b与b方向相同 (与a方向相反),且|a+b|=||a|-|b||. ④当两个向量a与b中至少有一个为0时,则必有|a+b|=|a|+|b|=||a||b||. 综上可知任意两个向量a,b恒有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
uuur uuur 则飞机飞行的路程指的是| AB |+| BC |;
uuur uuur uuur 两次飞行的位移的和指的是 AB + BC = AC .
uuur uuur 依题意,有| AB |+| BC |=800+800=1 600(km), 又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°,
新知导学 课堂探究
新知导学·素养养成
1.向量加法的定义 定义:求两个向量 和 的运算,叫做向量的加法. 对于零向量与任一向量a,规定0+a=a+ 0 = a .
2.向量求和的法则
三角形 法则
法则
前提 作法
结论
已知非零向量a,b,在平面内任取一点A
uuur uuur
uuur
作 AB =a, BC =b,再作向量 AC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur (1)解析:a=( AB + CD )+( BC + DA )= AB + BC + CD + DA =0, 所以 0∥b,①正确;0+b=b,③正确;|0+b|=|0|+|b|,⑤正确.故选 C.
uuur uuur uuur (2)化简:① AB + CD + BC ;
高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件3新人教A必修4
【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？ 提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果 是向量. (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？ 提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相 加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.
答案：CF
知识点1 向量的加法
【知识探究】
观察图形，回答下列问题：
问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？ 问题2：共线向量怎样进行求和？ 问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？
【总结提升】 1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于 两个不共线的向量求和. (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的. (3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法 则时需要注意两个向量的起点相同.
3.如图，在正六边形ABCDEF中BuuAur
uuur CD
uur EF
=______.
【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到
uuur uuur uur uuur uuur uur uur uuur uur BA CD EF BA AF EF BF CB CF.
uur
【解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方
法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？ 提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则 或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或平行四 边形法则进行.
【解析】如图中(1)，(2)所示， 首先作OuuAu=r a，然后作 Auu=Burb，则 Ou=uBura+b.
2.2.1向量加法运算及其几何意义
三 向量的加法满足 交换律 与 结合律
a b b a ( a b) c a (b c )
D
D
b A a a+b
a b B
C
a+b+c A
a B b+c a+b
c
C b
练习 根据图示填空: DA (1)a+d=____________ CB (2)c+b=____________
A （3）以OA,OB为邻边作平行四边形
o
B
（ )4）则 a+ b=OC
C
这种作法叫做 向量加 法的平行四边形法则
规律：起点相同
练习 已知向量a,b,分别用向量加法的 三角形法则与向量加法的平行四边形 法则作出a+b
a b
当向量a , b是共线向量时, a b又如何 作出来? (1) 同向
D
C
d c O b
a
A
B
例:如图，一艘船从 A点出发以 2 3km/h 的速 度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水以2km/h 的速度向东流求船实际行驶速度的大小与方向 C 解:如图,设用向量 AC D 表示船向垂直于对岸的速 度,用向量 AB 表示水流 B A 的速度
以AC,AB为邻边作平行四边形,则 实际行驶的速度
f
a
d
c f
f g
A
c
b
C
(3)a b d (4)c d e
B
课堂小结：
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算
小结 1.向量加法的三角形法则
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
2.2.1 向量加法运算及其几何意义●温故知新1.既有_______，又有_______的量叫做向量.向量可以用_____线段来表示，但起点字母必须放在终点字母的______，手写体上面的______ 不能漏写.2.____________或____________的非零向量叫做平行向量，零向量与任一向量______.3.___________且___________的向量叫做相等向量.4.平行向量也叫__________.表示两个非零平行向量的有向线段所在直线的位置关系是_______或_______.●教材新知1.求两个向量____的运算，叫做向量的加法.2.零向量与任一向量a，规定：0=0a++a=_____.3.当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个_____.两个向量相加，它们的和仍然是一个向量，对应于数轴上的一条_________.4.当向量a、b（1）三角形法则：两向量首尾相接，和向量为首向量的_______指向末向量的_______.（2）平行四边形法则：两向量共始点，以它们为邻边作平行四边形，和向量为平行四边形的_______________.向量加法的几何意义就是________和____________.任意两个向量相加，所得的和一定是一个_______.（3）任一向量都可以写成两个首尾相接向量的和，即AB=____+____.5.向量加法的运算律（1）交换律：=a+b____+____.（2）结合律：()=a+b+c a+_______.结论：（1）当a与b_______时，a+b与a、b同向，且=a+b a+b.（2）当a与b_______时，若a>b，则a+b与a同向，且-a+b a b；=若a<b，则a+b与b同向，且-a+b b a；=若a=b，则a+b=____.（3）当a、b不共线时，a+b____a+b.（4）任意两个向量的和，结果是_______.6.向量链：若干个向量首尾_________，且构成一个_________.组成向量链的所有向量的和为_______.●题组集训（1）若向量a表示向东走1km，向量b表示向南走1km，则向量a+b表示（）A.2B.向东南走2kmC.2D.向东北走2km （2）下列式子不能化简为AD的是（）A.()AD MB BC CM+++++ B.()()AB CD BCC.MB AD MB++++ D.OC AO CD（3）在四边形ABCD中，AC AB AD=+，则一定有（）A.四边形ABCD是矩形B.四边形ABCD是菱形C.四边形ABCD是正方形D.四边形ABCD是平行四边形（4）已知下列各式：①AB BC CA ++；②()AB MB BO OM +++；③OA OC BO ++；④AB + CA BD DC ++.其中结果为0的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4（5）在ABC ∆中，CB =a ，AC =b ，则AB =________.●课堂精讲【例1】（1）如图，已知a 、b ，用向量加法的三角形法则作出a +b .（2）如图，已知a 、b ，用向量加法的平行四边形法则作出a +b .【例2】四边形ABCD 是边长为1的正方形，设AB =a ，BC =b ，AC =c .求作向量++a b c ，并求++a b c .【例3】一条渔船距对岸4km ，以2km /h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的 实际航程为8km ，求河水的流速.●课后反馈（1）下列结论中，正确的是（ ）A.0+=00B.对于任意向量a 、b ，a+b =b+aC.对于任意向量a 、b ，0a +b >D.若向量AB ‖BC ，且1AB =，2014BC =，则2015AB BC +=（2）在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是（ ）A.AB CD =，BC AD =B.AD OD DA +=C.AO OD AC CD +=+D.AB BC CD DA ++=（3）设()()AB CD BC DA +++=a ，b 是一非零向量，则在下列结论中，正确的结论为（ ） ①a ‖b ；②a+b =a ；③a+b =b ；④a +b <a +b .A.①②B.③④C.②④D.①③（4）如图，已知ABC ∆是直角三角形且90A ∠=︒.则在下列各结论中， 正确的结论个数为（ ）①AB AC BC +=； ②AB BC CA +=；③AB CA BC +=； ④222AB AC BC +=.A.4个B.3个C.2个D.1个（5）已知ABC ∆是正三角形，则下列各等式中不成立的为（ ）A.AB BC BC CA +=+B.AC CB BA BC +=+C.AB AC CA CB +=+D.AB BC AC CB BA CA ++=++（6）若O 是ABC ∆内一点，且OA OB OC ++=0，则O 是ABC ∆的（ ）A.内心B.外心C.垂心D.重心（7）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=（ ）A.0B.BEC.ADD.CF（8）若O 是ABC ∆内一点，D 为BC 边上中点，2OA OB OC ++=0，则（ ）A.AO OD =B.2AO OD =C.3AO OD =D.2AO OD =（9）如图，已知梯形ABCD ，OA AB BC ++=______.（10）化简AB CD BC DB EF BF FA ++++++=______.（11）向量a 、b 满足6=a ，10=b ，则a +b 的最大值是______， 最小值是______.（12）如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、 Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点.在A 、P 、 M 、C 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为 F .设G 为满足向量OG OE OF =+的点，则在上述的点G 组成的 集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率是 ______.（13）如图，在重300N 的物体上栓两根绳子，这两根绳子在 铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30︒、60︒，当整个系 统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力.。
2.2.1向量加法运算及其几何意义
2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义【目标导学】重点：向量的加法运算（三角形法则、平行四边形法则）【自主预习】1.若C 是线段AB 中点，则AC BC →→+=（ ） A. AB B. BA C. 0 D. 不同于以上答案2. 设→a ，→b 为非零向量，若||||||→→→→+=+b a b a ，则→a 的方向与→b 的方向必是 .3. 设→a 表示“向东走3km ”，→b 表示“向北偏东o 30走3km ”，则→→+b a 表示 __________. 【课标基础】1.在四边形ABCD 中，下列各式中正确的是( )A. →→→→+=+DC AD BC ABB. →→→+=DA CD ACC. →→=BA ABD. →→→=+DC AC AD2. 下列各向量中，不表示零向量的一个式子是( )A.→→=BA ABB. →→→++CA BC ABC. 和任意向量都平行的向量aD. b a +(其中b a 、不共线)3. 若O 是ABC ∆内一点，满足→→→→=++O OC OB OA ，则O 是ABC ∆的（ ）A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心4.点D 、E 、F 分别是三角形ABC 的三边AB 、AC 、BC 的中点，则_______AF BE CD ++=5. 正六边形ABCDEF 中→→=a AB ，→→=b FA ，则=→EC .（用→a 与→b 表示）6.向量a 、b 满足8||=a ，12||=b ，则||b a +的最大值和最小值分别是 __________.7. 河水中水流自西向东速度为每小时20公里，小船自南岸沿正北方向行驶速度每小时【能力拓展】8. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.9. 已知OABCDE 是正六边形，→→=a OA ，→→=b OE ，试用→a ，→b 表示→OB ，→OC ，→OD .10. 已知任意四边形ABCD ，E 为AD 中点，F 为BC 中点.求证：2EF AB DC →→→=+.OE AA BC。
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
鸡西市第十九中学学案2015年（）月（）日班级姓名2.2.1 向量加法运算及其几何意义学习目标1．理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．重点难点1．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.2．向量的三角形法则可推广到n个向量求和——多边形法则，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是由第一个向量起点指向第n个向量的终点的向量．3．当两向量不共线时，向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的．而当两个向量共线时，三角形法则适用，平行四边形法则就不适用了.【向量加法的三角形法则】如图所示，是上海到台北的航线示意图：一是经香港转停到台北；二是由上海直接飞往台北．通过上面地图中客机的位移，我们得到向量加法的三角形法则：OA＋AB＝OB.使用向量加法的三角形法则具体做法是：先把两个向量首尾顺次相接，然后连接第一个向量的始点和后一个向量的终点，并指向后一个向量的终点，就得到两个向量的和向量．问题1当向量a，b是共线向量时，a＋b又如何作出？问题2想一想，|a＋b|与|a|和|b|之间的大小关系如何？当a与b同向共线时，a＋b与____同向，且|a＋b|＝_______.当a与b反向共线时，若|a|>|b|，则a＋b与__的方向相同，且|a＋b|＝_______；若|a|<|b|，则a＋b与__的方向相同，且|a＋b|＝_______.【向量加法的平行四边形法则】向量加法还可以用平行四边形法则：先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和．以点A 为起点作向量AB ＝a ，AD ＝b ，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则以A 为起点的对角线AC 就是a 与b 的和，记作a ＋b ＝AC ，如图．对于零向量与任一向量a ，我们规定：a ＋0＝0＋a ＝a .① 根据下图中的平行四边形ABCD 验证向量加法的交换律：a ＋b ＝b ＋a .(注：AB ＝a ，AD ＝b )．②根据下图中的四边形，验证向量加法的结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．【向量加法的多边形法则】向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．即：12A A ＋23A A ＋34A A ＋… ＋1n n A A -＝1n A A .或12A A ＋23A A ＋… ＋1n n A A -＋1n A A ＝__ .这是一个极其简单却非常有用的结论(如图)．利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效． 例如，在正六边形ABCDEF 中，AC ＋BD ＋CE ＋DF ＋EA ＋FB ＝________. 例1 已知向量a ，b 如图所示，试用三角形法则和平行四边形法则作出向量a ＋b .小结已知向量a与b，要作出和向量a＋b，关键是准确规范地依据三角形法则或平行四边形法则作图．训练1如图，已知向量a，b，c，利用三角形法则作出向量a＋b＋c.例2化简：(1)BC＋AB；(2)DB＋CD＋BC；(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA.小结解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序．训练2如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．(1)AB＋AD＝________；(2)AC＋CD＋DO＝________；(3) AB＋AD＋CD＝________；(4) AC＋BA＋DA＝________.例3在水流速度为4 3 km/h的河中，如果要船以12 km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．小结速度、位移等物理量均为向量，因此此类问题可以通过建模，转化为数学中的向量问题解决．训练3某人在静止的水中的游泳速度为2 3 km/h，如果他以这个速度径直游向河对岸，已知水流的速度为2 km/h，那么他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？1．向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量____叫做a与b的和(或和向量)，记作_____，即a＋b＝AB＋BC＝_____.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝__＋__＝__.(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作OA＝a，OB＝b，则O、A、B三点不共线，以，为邻边作，则对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝. (2)结合律：(a＋b)＋c＝.【当堂训练】1．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是() A.FD＋DA＋DE＝0 B.AD＋BE＋CF＝0C.FD＋DE＋AD＝ABD.AD＋EC＋FD＝BD2．设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：(1)DE＋EA＝________；(2)BE＋AB＋EA＝______；(3)DE＋CB＋EC＝________；(4) BA＋DB＋EC＋AE＝________.3．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：AB＋AC＝AP＋AQ.。
2.2.1向量加法运算及其几何意义
(1) 当a、b共线，且同向时， |a＋b|＝|a|＋|b|．
(2) 当a、b共线，且反向时， |a＋b|＝|a|－|b|（或|b|－|a| ）．
7．(3)是否存在a，b，使|a＋b|＝|a|＝|b|?
角来表示）。
解：(2)在RtVABC中，| uAuBur
|
2,|
uuur BC
|
2
3
uuur uuur uuur
| AC | | AB |2 | BC |2
D
C
22 (2 3)2
4 Q tan CAB 2 3 3
2
A
B
CAB 60o.
答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º。
O
a
A
如图，以同一点O为起点的两个已知向量a
和b为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点
的对角线OC就是a与b的和，我们把这种作两
个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法
则．
9
位移的合成可以看作向量加法三角形法 则的物理模型．
力的合成可以看作向量加法平行四边形 法则的物理模型．
对于零向量与任一向量 a ．我们规定
故四边形AECF为平行四边形．
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
角来表示）。
F1
图1 G 图2 G
高中数学人教A必修四同步辅导与检测：2.2.1向量加法、减法运算及其几何意义
(2)A→B＋O→A－O→B＝________；
( ) (3)A→B＋ B→D＋C→A ＋D→C＝________；
(4)O→B－O→A－O→C－C→O＝________.
解析：(1)A→B＋C→D＋B→C＝A→B＋B→C＋C→D＝A→D.
(2)A→B＋O→A－O→B＝A→B＋B→A＝0.
( ) (3)A→B＋ B→D＋C→A ＋D→C＝(A→B＋B→D)＋(D→C＋C→A)＝0.
4．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A
A．a与b方向相同
B．a＝b
C．a＝－b
D．a与b方向相反
5．如图，在平行四边形ABCD中，
等于( )
B→C＋D→C＋B→A
A
→ A.AD
→ B.BD C.B→A
→ D.AC
有关向量的化简
化简：
(1)A→B＋C→D＋B→C＝________；
▱ 以__同__一__点__O为起点的两个已知向量为a，b为邻边作 OACB，则以O为
起平点行的四对边角形线法则，如就图是：向量的和．这种作两O个→C向量和的方法叫做向量加法的
特殊情况：
4．运算律 (1)向量加法的交换律：a＋b＝b＋a. (2)向量加法的结合律：__________________. 练习1：三角形法则、平行四边(形a＋法b则)＋是c＝否a对＋所(b有＋向c)量a，b求和都适用？
的实际航行的速度的大小为4 km/h，求水流的速度．
解析：如图， 表示水流速度，
表示渡船速度， 表示→船的实际速度． AB⊥AD，在Rt△ABACB中，
(2)A→B＋A→D＝A→C
思考应用 2．前面讨论的是向量运算，我们还学过那些运算？体会它们的异同．
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
③A→B＋A→D＋C→D＝________； ④A→C＋B→A＋D→A＝________. [思路探索] 首先观察各向量字母的排列顺序，再进行恰当的组 合，利用向量加法法则运算求解． 解 (1)C→D＋B→C＋A→B＝(A→B＋B→C)＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝(A→B＋B→C)＋(C→D＋D→F)＋FA ＝A→C＋C→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0.
(3)①A→D＋A→B＝A→C，
②C→D＋A→C＋D→O＝C→O＋A→C＝A→O，
③A→B＋A→D＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D，
④A→C＋B→A＋D→A＝D→C＋B→A＝0.
答案
→ (1)AD
(2)0
(3)①A→C
②A→O
③A→D
④0
[规律方法] (1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各 向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0 写成0. (2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量 是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
类型一 向量的加法运算 【例 1】 化简或计算：(1)C→D＋B→C＋A→B＝________. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝________.
(3)在平行四边形 ABCD 中(如图)，对角线 AC、BD 交于点 O. 则①A→D＋A→B＝________； ②C→D＋A→C＋D→O＝________；
类型二 利用向量证明几何问题 【例 2】 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的延长线及反向延长线上，取点 F、E，使 BE＝DF(如图)．用向量的方法证明：四边 形 AECF 也是平行四边形．
[思路探索] 本题主要考查利用向量方法证明几何问题，只需证明 一组对边对应的向量相等即可．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
b
三角形的两边之和大于第三边
当向量a、不共线时有 b | a b || a | | b |
综合以上探究我们可得结论：
a
| a b || a | | b |
2018/10/7 高一、一科数学专用课件
引入2： 图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向 伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同 方向伸长了相同长度EO。从力学的观点分析，力F与F1、 F2之间的关系如何？
D
解：
A
B
（1）如图所示， AD表示船速， AB表示水速， 以AD、AB为邻边作 ABCD, 则 AC表示
2018/10/7
F1 M 图1 M
2018/10/7
EO
C F2 F
F1
F
F2
E O 图2
F=F1+F2
高一、一科数学专用课件
向量加法的平行四边形法则：
z· · · xxk
B
C
b
O
ab
A
起 点 相 同
a
以同一点O为起点的两个已知向量 a、 b为邻边作 OACB, 则以O为起点的对角线OC就是a与 b 的和a b, 即 a b OA OB OC 这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则。
若a， b方向相反，则 | a b || a | | b（或 | | b | | a |）
规定： 0a a0 a
2018/10/7 高一、一科数学专用课件
当向量 a、 b 不共线时，和向量的长度 | a b | 与向量
a、 b的长度和 | a | | b |之间的大小关系如何？
作法1：在平面内任取一点O， 作 OA a ，AB b ， 则 OB a b
a b。
b
a
A
b a
O
B
ab
三角形法则
思考1：如图，当在数轴上两个向量共线时，加法的三角形
法 则是否还适用？如何作出两个向量的和？
a
b
A （ 1） B C
a
b
（ 2）
ab
C
ab
A
B
若a， b方向相同，则 | a b || a | | b |
向量加法及其几何意义
zxx· · · k·
2018/10/7
高一、一科数学专用课件
知识回顾
1. 向量与数量有何区别 ? 数量只有大小没有方向 ,如:长度,质量,面积等
向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等
2. 怎样来表示向量?
1)用有向线段来表示,线段的长度表示线段的大小，箭头所 A B 指方向表示向量的方向。 2）用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终 如 a , AB 点字母表示.
(3) AB BD CA DC ________ 0
２.
根据图示填空
E
e
D
(1)a b ( 2) c d
g
A
f
a
d
c f
c
B
C
(3)a b d ( 4) c d e
b
f g
2018/10/7
高一、一科数学专用课件
例3.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。 C
3. 什么叫相等向量?
长度相等,方向相同的向量相等. (正因为如此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向 量可以在不改变它的大小和方向的前提下 ,移到任何位置.) 2018/10/7 高一、一科数学专用课件
由于大陆和台湾没有直航，因此2006年春 节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，则飞机 的位移是多少?
那么对任意向量 a, b 的加法是否也满足交换律和结合律？ D 请画图进行探索。
B
a
C
abc
bc
c
C
b
O
ab
b
A A
a
ab
a
b
a b ba
2018/10/7
高一、一科数学专用课件
(a b) c a (b c).
补充练习
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量 （） 1 OA OC (2) BC FE (3) OA FE
a b。
b
a，
连结OC，则 OC OA OB a b.
A
a
O
ab
C
b
平行四边形法则
B
尝试练习二：
(2)已知向量 a、 b，用向量加法的三角形法则和平行四边形 法则作出 a b
①
②
b
a
b
a
思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意a, b R ，
有
a b b a, (a b) c a (b c).
向量加法的平行四边形法则：
B C
b
O
ab
A
起 点 相 同
a
文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平行 四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是 和向量。
例题讲解：
例2.如图，已知向量 a, b ，求作向量
作法2：在平面内任取一点O， OB b ， 作 OA a ， 以 OA、OB为邻边作 OACB
E
D
解：（1 ） OA OC OB;
（2） BC FE AD; （3） OA FE 0.
F A
Oห้องสมุดไป่ตู้
B
C
2018/10/7
高一、一科数学专用课件
巩固练习:
AD 例2.化简 (1) AB CD BC ________
(2) MA BN AC CB ________ MN
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
尝试练习一：
（1）根据图示填空：
E
D
AC AB BC _____
BC CD _____ BD
C
A
AD AB BC CD _____ AE AB BC CD DE _____
B
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b ，求作向量
探究新课
上海 香港
台北
引入1：
上海
台北
香港
上海 O
台北
B
A 香港
O OA+AB=OB
B
A
向量加法的三角形法则：
a
C
ab
b
A
首 首 尾 尾 相 连 接
b
a
则向量 AC叫做 a与b的和，记作 a b, 即 a b AB BC AC
B
已知非零向量 a 、 b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b,