数学一轮第三章 3.1导数的概念-学生版
高考数学(理科)一轮复习：单元三 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算
1 f'(x)= ������
第三章
知识梳理 考点自测
3.1
导数的概念及运算
关键能力
必备知识
-6-
4.导数的运算法则 若f'(x),g'(x)存在,则有 f'(x)±g'(x) (1)[f(x)±g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) (2)[f(x)· g(x)]'=
原函数 f (x)=c(c 为常数) f (x)=xα(α∈Q, α≠0) f (x)=sin x f (x)=cos x f (x)=ax(a>0, 且 a≠1) f (x)=ex f (x)=loga x(a>0, 且 a≠1) f (x)=ln x 导函数 f'(x)=0 f'(x)=αxα-1 f'(x)=cos x f'(x)=-sin x f'(x)= axln a f'(x)= ex
处的切线方程为 y-2=1×(x-1),即 y=x+1.
关闭
y=x+1
解析 答案
第三章
知识梳理 考点自测
3.1
导数的概念及运算
关键能力
必备知识
-12-
1
2
3
4
5
5.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,3)处的切线方程是 .
=
������(������1 )-������(������0) ������1 -������0
������(������0 +������)-������(������0) = . ������
高考数学一轮总复习第三章导数及应用1导数的概念及运算课件理
(2)求过点 P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标 P′(x1，f(x1))； 第二步，写出过 P′(x1，f(x1))的切线方程为 y－f(x1)＝f′ (x1)(x－x1)； 第三步，将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出 x1； 第四步，将 x1 的值代入方程 y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过 点 P(x0，y0)的切线方程．
第二十五页，共46页。
(5)y＝－lnx＋e－2x,∴y′＝－1x＋e－2x·(－2x)′＝－1x－2e－2x. 【答案】 (1)y′＝24x3＋9x2－16x－4 (2)y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2 (3)y′＝x2＋x（1－x2＋2x12·）l2nx (4)y′＝2sin(4x＋23π) (5)y′＝－1x－2e－2x
第十二页，共46页。
2．计算： (1)(x4－3x3＋1)′＝________； (2)(ln1x)′＝________； (3)(xex)′＝______； (4)(sinx·cosx)′＝______． 答案 (1)4x3－9x2 (2)－xln12x (3)ex＋xex (4)cos2x
第十三页，共46页。
为 k1，k2，则 k1，k2 的大小关系为( )
A．k1>k2
B．k1<k2
C．k1＝k2
D．不确定
答案 A
解析 ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.
π k1＝cos0＝1，k2＝cos 2 ＝0，∴k1>k2.
第十五页，共46页。
5．(2018·陕西检测)已知直线 y＝－x＋m 是曲线 y＝x2－3lnx
第二十二页，共46页。
题型二 导数的基本运算
求下列函数的导数： (1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (3)y＝x2ln＋x1； (5)y＝ln1x＋e－2x.
高中数学-3.1导数的概念
斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
即: k切线
tan
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f (x0)
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一
种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.
要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限, 则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点 处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个.
x
x
y lim 1;
x0 x
y
1 1
x0 .
x0
4.导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ( x0 ).
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
s OA1 OA0 s(t0 t) s(t0 )
在时间段( t0+t)－ t0 = t 内，物体的平均速度为:
__
v
s(t0
t)
s(t0 )
s
(t0 t) t0 t
平均速度反映了物体运动时的快慢程度程度,但要 精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻 运动的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
5.例题选讲
例1:判断下列各命题的真假: (1)已知函数y=f(x)的图象上的点列P1,P2,P3,…Pn…, 当n 时, Pn P0, 则过P0与Pn两点的直线的 斜率就是函数在点P0处的导数. 答:由函数在点P0处的导数的几何意义知:函数在点 P0处的导数是过P0点曲线(即函数y=f(x)的图象) 的切线的斜率,而不是割线P0Pn的斜率,故它是一 个假命题. (2)若物体的运动规律是S=f(t),则物体在时刻t0的瞬 时速度V等于 f (t ) |tt0 . 答:由于它完全符合瞬时速度的定义,故它是一个真 命题. (3)若函数y=f(x)的定义域为A,则对任一 x0 A,只要 函数在x0处连续,则 f ( x0 )就必存在.
导数的概念及其意义、导数的运算课件-高三数学一轮复习
y′
⋅
u′
u
x
间具有关系′ =__________,这个关系用语言表达就是“对的
导数等于对的导数与对的导数的乘积”
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］
已知函数f x =
[解析] f 6 = 108,f 2 =
2
3x ，则y
=f x
24
在[2,6]上的平均变化率为____.
2−x
e
= 3−
2
x
2−x
e .
探究点二 导数的几何意义
角度1 求切线方程
例2（1）
[2023·南京模拟] 函数f x =
方程为(
)
B
A.y = −2x − 1
4
x
B.y = −2x + 1
−
3
2x 的图象在点
C.y = 2x − 3
1, f 1 处的切线
D.y = 2x + 1
［思路点拨］（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，从而求切线的方程.
e .故选C.
=
m
e
m
e
+m=
m
e
− 1)(x − m .
− 1)(e − m ，
e+1
e
− 1)(x − e − 1 − e − 1，
角度2 求切点坐标
例3
已知f x =
3
x
−
2
3x
+ ax − 1，若曲线y = f x 在点 x0 , f x0 处的切线经
1
1或−
过坐标原点，则x0 =_________.
2
［思路点拨］ 根据导数的几何意义及切线过原点写出切线方程，由切线过切点
2025年高考数学一轮复习课件第三章一元函数的导数及其应用-阶段集训3
−1，最大值为1，则符合条件的一组，的值为___________________________.
3
解：′ = 6 2 − 2 = 2 3 − .不妨令 > 1，则′ < 0在区间[0,1]上恒成
0 = = 1,
立， 在区间[0,1]上单调递减，此时要满足题意则ቊ
恒成立.而 ∈ [e, +∞)时，易知′
min
= ′ e = 2 − ，只需2 − ≥ 0，即 ≤ 2.故
6
7
选B.
1
2
3
4
5
8
9
10
11
12
13
14
7.过原点的直线与函数 = cos 在[0, π]上的图象切于点 0 , 0 ，则0 tan 0 =
(
)
B.−1
√
则−2 + = 3 > 0 .又− 2 + − 6 = 3 − 2，
所以− 2 + 3 + 2 − 6 = 3 − 2.
又 > 0，所以 = 2， = 7.故选AD.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知 = sin 2 + cos 2，则′
2 + 2 − 3 = + 3)( − 1 < 0，解得−3 < < 1.故0 < < 1.所以 的单调递
减区间是 0,1 .故选B.
1
2
高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算
3.(2018课标全国Ⅰ,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的 切线方程为 ( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x
2
ln
x
.
当0<x<1时,x2-1<0,ln x<0,所以g'(x)<0,故g(x)单调递减;
当x>1时,x2-1>0,ln x>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增.
所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.
思路分析 (1)先求导,再求切线斜率,进而得出切线方程; (2)令g(x)=x-1-f(x),待证等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1),再利用函数单调性和最值解决问题.
又g(e)=0,∴ln x= ex 有唯一解x=e.∴x0=e.
∴点A的坐标为(e,1).
方法总结 求曲线y=f(x)过点(x1,y1)的切线问题的一般步骤: ①设切点为(x0, f(x0)); ②求k=f '(x0); ③得出切线的方程为y-f(x0)=f '(x0)(x-x0); ④由切线经过已知点(x1,y1)求得x0,进而得出切线方程.
= 2
.
(2)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),
则y0=2 x03 -3x0,且切线斜率为k=6 x02-3,所以切线方程为y-y0=(6 -3)(x-x0), 因此t-y0=(6 x02 -3)(1-x0).整x理02 得4 x03 -6 x02 +t+3=0. 设g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”.
2015高考数学一轮课件：第3章 3.1 导数的概念及其运算
题型二
导数的运算
思维启迪 解析 思维升华
【例 2】 求下列函数的导数：
(1)y＝ex·ln x；
(2)y＝xx2＋x1＋x13；
(3)y＝sin22x＋π3
；
(4)y＝ln(2x＋5).
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十四页，编辑于星期五：十三点 四十四分。
题型分类·深度剖析
题型二
导数的运算
思维启迪 解析 思维升华
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第五页，编辑于星期五：十三点 四十四分。
基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
(1)× (2) × (3) √ (4) ×(5) × (6) ×
2 ±1
2
1 3
解析
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第六页，编辑于星期五：十三点 四十四分。
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
(2)几何意义
函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x) 上点 (x0，f(x0)) 处的 切线的斜率 .相应地，切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) . 3.函数 f(x)的导函数 若 f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则 f(x)在各点的导数
题型三
导数的几何意义
思维启迪
解析 思维升华
【例 3】 已知函数 f(x)＝x3－
4x2＋5x－4.
(1)求曲线 f(x)在点(2，f(2))处
的切线方程；
(2)求经过点 A(2，－2)的曲线
高考数学一轮复习 3-1 导数的概念及其运算 理
的导数的乘积．
诊断自测
1．思考辨析(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同． ×
()
√
(2) 曲 线 的 切 线 不 一 定 与 曲 线 只 有 一 个×公 共
点． ( )
×
(3)若f(x)＝a3＋2ax－x2，则f′(x)＝3a2＋2x.
()
(4)[f(ax＋b)]′＝f′(ax＋b)．
ΔΔyx＝Δlixm→0
[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.
规律方法 定义法求函数的导数的三个步骤 一差：求函数的改变量 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)． 二比：求平均变化率ΔΔxy＝fx＋ΔΔxx－fx. 三极限：取极限，得导数 y′＝f′(x)＝Δlixm→0ΔΔxy.
【训练 1】 函数 y＝x＋1x在[x，x＋Δx]上的平均变化率ΔΔyx＝ ________；该函数在 x＝1 处的导数是________． 答案 1－xx＋1 Δx 0
考点一 利用定义求函数的导数
【例1】 利用导数的定义求函数f(x)＝x3的导 数解．Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)3－x3
＝x3＋3x·(Δx)2＋3x2·Δx＋(Δx)3－x3
＝Δx[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]，
∴ΔΔxy＝3x2＋3x·Δx＋(Δx)2，
∴f′(x)＝ lim Δx→0
考点二 导数的计算 【例2】 分别求下列函数的导数：
(1)y＝ex·cos x；(2)y＝xx2＋1x＋x13； (3)y＝x－sin 2xcos 2x；(4)y＝ln 1＋x2.
解 (1)y′＝(ex)′cos x＋ex(cos x)′＝excos x－exsin x.
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第1课时
进门测
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．()
(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．()
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．()
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()
(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．()
作业检查
无
第2课时
阶段训练
题型一导数的计算
例1 求下列函数的导数．
(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x
e x ；
(4)y ＝sin(2x ＋π
3)；(5)y ＝ln(2x －5)．
(1)f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0等于( )
A ．e 2
B ．1
C ．ln 2
D ．e
(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2
D ．0
题型二 导数的几何意义 命题点1 求切线方程
例2 (1)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．
(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －1＝0
B ．x －y －1＝0
C ．x ＋y ＋1＝0
D ．x －y ＋1＝0
命题点2 求参数的值
例3 函数y ＝e x 的切线方程为y ＝mx ，则m ＝________.
(2)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋7
2(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切
点为(1，f (1))，则m 等于( ) A ．－1 B ．－3 C ．－4 D ．－2 命题点3 导数与函数图象的关系
例4 如图，点A (2,1)，B (3,0)，E (x,0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为下图中的( )
(1)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为1
2
，则切点的横坐标为( )
A ．3
B ．2
C ．1 D.1
2
(2)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点(π
2
，1)处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )
A ．－1 B.1
2 C ．－ 2 D ．2
1．导数与导函数的概念
(1)一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0
Δy
Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0
Δy
Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
. (2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数．记作f ′(x )或y ′. 2．导数的几何意义
函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－
1 f (x )＝sin x
f ′(x )＝cos_x
第3课时
阶段重难点梳理
f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)
f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝ln x
f ′(x )＝1
x
f (x )＝lo
g a x (a >0，a ≠1)
f ′(x )＝1
x ln a
4.导数的运算法则
若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；
(3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 5．复合函数的导数
复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【知识拓展】
(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． (2)[1
f (x )]′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)． (3)[af (x )＋b
g (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．
(4)函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
重点题型训练
典例 若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值．
1．若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)等于( ) A ．0 B ．e C ．2e D ．e 2
2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )
3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π
4)＝________.
4．曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程是________________．
作业布置
1．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－4
2．若曲线f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(－1,2) B ．(1，－3) C ．(1,0)
D ．(1,5)
3．若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋px 的切线，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.134 D ．1或13
4
4．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1
e
5.已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )
A ．－1
B ．0
C ．2
D ．4
6．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝1
4处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的
值为( )
A.14
B.1
2
C ．1
D ．4
7．已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －
1－f (0)x ＋12x 2.那么f (x )的解析式为________．
8．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________． 9．若函数f (x )＝1
2x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．
*10.已知曲线f (x )＝x n ＋
1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015的值为________． 11．已知曲线y ＝13x 3＋4
3
.
(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．
12．已知函数f (x )＝1
3x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .
(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．
*13.设函数f (x )＝ax －b
x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.
(1)求f (x )的解析式；
(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．。