离散系统的稳定性
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《离散系统的稳定性》课件
离散系统稳定性控制的方法
极点配置法
通过选择适当的系统参数， 使得系统的极点位于复平面 的某一区域，从而实现系统 的稳定性。
反馈控制
利用负反馈原理，通过将系 统输出信号的一部分或全部 反馈到输入端，对系统进行 调节，使其达到稳定状态。
状态反馈控制
根据系统当前状态变量反馈 信息，计算出控制输入信号 ，使得系统状态变量能够跟 踪设定的参考轨迹。
离散系统的应用领域
• 离散系统广泛应用于工程、科学 、经济和社会等领域。例如，数 字信号处理、控制系统、计算机 仿真、经济模型等领域中经常涉 及到离散系统的分析和设计。
02 离散系统的稳定性分析
离散系统的稳定性定义
离散系统
离散系统是指系统的状态变量只在离 散时刻发生变化，如数字电路、控制 系统等。
05 离散系统稳定性的未来研 究方向
离散系统稳定性的深入研究
深入研究离散系统的稳定性理论，包括离散系统的稳定性判据、离散系统的稳定性分析方法等，以提 高对离散系统稳定性的认识和理解。
深入研究离散系统的动态行为，包括离散系统的响应特性、离散系统的控制性能等，以揭示离散系统 稳定性的内在机制。
离散系统稳定性与其他领域的交叉研究
离散系统的稳定性分析方法
直接法
直接法是通过分析系统状态方程的解的性质，判断系统是否稳定。例如，通过 求解状态方程的解，观察其收敛性或发散性，判断系统的稳定性。
频域分析法
频域分析法是通过将离散系统转化为频域表示形式，分析系统的频率响应特性 ，判断系统的稳定性。例如，通过绘制系统的频率响应曲线，观察其穿越频率 和阻尼比等参数，判断系统的稳定性。
鲁棒控制
针对具有不确定性的离散系 统，设计一种控制策略，使 得系统在各种不确定性条件 下都能保持稳定。
3.1 离散系统的稳定性分析
在Z 平面上，当δ为某个定值时z=eTs随ω 由-∞ 变到∞的轨迹是一个圆，圆心位于原点，半径为 z=eTs ，而圆心角是随线性增大的。 当δ=0时，|z|=1，即S平面上的虚轴映射到Z平 面上的是以原点为圆心的单位圆。 当δ<0时，|z|<1，即S平面的左半面映射到Z平 面上的是以原点为圆心单位圆的内部。 当δ>0时，|z|>1，即S平面的右半面映射到Z平 面上的是以原点为圆心单位圆的外部。
k 0.158kz G( z ) s( s 4) ( z 1)(z 0.368) 该系统的闭环Z传递函数为：
W ( z) G( z ) 0.158kz 1 G( z ) ( z 1)(z 0.368) 0.158kz
求得该系统的闭环Z特征方程为：
例3.1 某离散系统的闭环Z传递函数为
3.16z 1 w( z ) 1 1.792z 1 0.368z 1
解：根据已知条件w(z)的极点为 ：z1=0.237， z2=1.556 由于| z2 |=1.556＞1，故该系统是不稳定 的。
3.1.3 Routh稳定性准则在离散系统的应用
S平面与Z平面的映射关系如图3.1所示
jω [S] jIm j [Z]
-1 0
1
0 -j Re
δ
图3.1
S平面与Z平面的映射关系
于是得到下面结论：
1．S平面的虚轴对应于Z平面的单位圆的圆周。 在S平面上，ω每变化一个ωs时，则对应在Z平面上重 复画出一个单位圆，在S平面中-ωs/2～ωs/2
的频率范围内称为主频区，其余为辅频区（有无限多 个）。S平面的主频区和辅频区映射到Z平面的重迭称
面的左半部分，或者说它的闭环特征方程的根的实部小 于零，则该系统是稳定的。由此可以想见，离散系统的 闭环Z传递函数的全部极点（特征方程的根）必须在Z平 面中的单位圆内时，系统是稳定的。
7-5离散系统的稳定性和稳态误差
(T − 1 + e − T ) z + (1 − e − T − Te − T ) = K ( z − 1)( z − e −T )
T =1
=
0.368 K ( z + 0.718 ) ( z − 1)( z − 0.368 )
Φ( z ) =
G( z ) 0.368 K ( z + 0.718 ) = 2 1 + G ( z ) z + ( 0.368 K − 1.368 ) z + ( 0.264 K + 0.368 )
例.设有零阶保持器的离散系统如下图所示，试求： 设有零阶保持器的离散系统如下图所示，试求： 1)当采样周期 分别为1s 0.5s时 1s和 1)当采样周期 T 分别为1s和0.5s时，系统的临界开环增益 K c 2)当 2)当 r (t ) = 1( t ) ，K = 1 ，T 分别为 0.1s,1s,2 s,4 s 时，系 统的输出响应 c (kT ) 。
1 = (1 − z ) K ⋅ Z 2 s ( s + 1) ( z − 1) K 1 1 1 ( z − 1) K = ⋅ Z 2 − + = z s s + 1 z s
−1
Tz z z ⋅ − + ( z − 1) 2 z − 1 z − e −T
1 ( z − 1)( z − 0.368) Φ e ( z) = = 2 1 + G ( z ) z − 0.736 z + 0.368
z1 = 0.368 + j 0.482 z2 = 0.368 − j 0.382
系统稳定，应用终值定理 系统稳定， 求稳态误差
第七节 离散系统的稳定性分析
离散系统如上图所示，则
E(z) R(z) 1 Go (z)
若闭环系统稳定，则由终值定理
ess
lim e(k)
k
lim (z
z 1
1) E ( z )
lim (z
z 1
1) R(z) 1 Go (z)
将离散系统仿照连续系统分为0、1、2型：
若系统开环脉冲传递函数G0 (z)中含有 i(i=0,1,2)个|z|=1的极点，则系统称为i型
第七节 离散系统的稳定性分析
如上节所讲，采样会破坏系统的稳定性，所 以在设计采样系统时最先考虑的是稳定性。 对采样系统稳定性分析主要建立在Z变换的 基础上。
连续系统的稳定性
连续系统稳定
所有特征根均具有负实部
方法：劳斯判据,Hurwitz判据及奈氏判据。
在分析采样系统时，可以利用Z变换与拉氏变 换数学上的关系，找到Z平面与S平面之间的周 期映射关系，从而利用原有的各种判据来分析
0
2型
0
2 r(t)=t*1(t)时
静态速度误差系数
R(z)
Tz (z 1)2
, ess
lim [(z
z1
1) 1 1 Go(z)
Tz (z 1)2
]
T
lim z1 (z
1 1)Go ( z)
若定义KV
1 T
lim (z 1)Go (z)
z 1
，则ess
1 Kv
Kv
ess
0型
0
1型 2型
Bode Diagrams
50 40 30 20 10
Phase (deg); Magnitude (dB)
-100 -120 -140 -160
自动控制原理 第七章 第二讲 离散系统的稳定性分析
R(s)
—
1 − e −Ts s
K s( s + 1)
C(s)
解：系统的开环传递函数为 Tz 1 (1 − e−T )z G(z) = (1 − z −1 )Z 2 = (1 − z −1 ) − 2 s (s + 1) (z − 1) (z − 1)(z − e−T ) 把T=0.1代入化简得 代入化简得
整理后可得 Routh表为 表为 0.158Kω2+1.264ω+(2.736-0.158K)=0 w2 0.158K 2.736-0.158K w1 1.264 w0 2.736-0.158K
要使系统稳定, 必须使劳斯表中第一列各项大于零, 要使系统稳定 必须使劳斯表中第一列各项大于零 即 0.158K＞0 和 2.736-0.158K＞0 ＞ ＞ 所以使系统稳定的K值范围是 ＜ ＜ 所以使系统稳定的 值范围是0＜K＜17.3。 值范围是 。 结论2： 一定 一定， 越大 系统的稳定性就越差 越大, 稳定性就越差。 结论 ：T一定，K越大 系统的稳定性就越差。
(1) 单位阶跃输入时 r(t)=1(t) (2) 单位斜坡输入时 r(t)=t (3) 单位加速度输入时 r(t)=t2/2
z R( z ) = z −1
z →1
K p = lim[1 + G ( z )]
Tz R( z ) = ( z − 1) 2
K v = lim( z − 1)G ( z )
π T π ω =− 0 T
Im z平平
π j T
ω=
0
σ
π
－1
ω ＝0 1 Re
－jT
2 、离散系统稳定的充要条件： 离散系统稳定的充要条件 稳定的充要条件：
—
1 − e −Ts s
K s( s + 1)
C(s)
解：系统的开环传递函数为 Tz 1 (1 − e−T )z G(z) = (1 − z −1 )Z 2 = (1 − z −1 ) − 2 s (s + 1) (z − 1) (z − 1)(z − e−T ) 把T=0.1代入化简得 代入化简得
整理后可得 Routh表为 表为 0.158Kω2+1.264ω+(2.736-0.158K)=0 w2 0.158K 2.736-0.158K w1 1.264 w0 2.736-0.158K
要使系统稳定, 必须使劳斯表中第一列各项大于零, 要使系统稳定 必须使劳斯表中第一列各项大于零 即 0.158K＞0 和 2.736-0.158K＞0 ＞ ＞ 所以使系统稳定的K值范围是 ＜ ＜ 所以使系统稳定的 值范围是0＜K＜17.3。 值范围是 。 结论2： 一定 一定， 越大 系统的稳定性就越差 越大, 稳定性就越差。 结论 ：T一定，K越大 系统的稳定性就越差。
(1) 单位阶跃输入时 r(t)=1(t) (2) 单位斜坡输入时 r(t)=t (3) 单位加速度输入时 r(t)=t2/2
z R( z ) = z −1
z →1
K p = lim[1 + G ( z )]
Tz R( z ) = ( z − 1) 2
K v = lim( z − 1)G ( z )
π T π ω =− 0 T
Im z平平
π j T
ω=
0
σ
π
－1
ω ＝0 1 Re
－jT
2 、离散系统稳定的充要条件： 离散系统稳定的充要条件 稳定的充要条件：
离散时间系统稳定的充要条件
离散时间系统稳定的充要条件离散时间系统是指系统的输入和输出在时间上是离散的情况下进行的系统分析和设计。
而离散时间系统的稳定性是一个重要的性质，它决定了系统是否能够在一定范围内保持稳定的输出。
本文将介绍离散时间系统稳定性的充要条件。
一、离散时间系统的稳定性概念稳定性是指系统在有限时间内是否能够保持有限的幅值，而不会出现无限增长或发散的情况。
对于离散时间系统而言，其稳定性可以分为两类：绝对稳定和相对稳定。
绝对稳定是指系统的输出在有限时间内始终保持有限的幅值，不会发散或无限增长。
相对稳定是指系统的输出在有限时间内保持有限的幅值，但可能会在无穷时间后发散或无限增长。
二、离散时间系统的稳定性充要条件1. 线性时不变系统对于线性时不变系统而言，其稳定性充要条件是系统的传递函数的极点都位于单位圆内。
也就是说，系统的所有极点的模长都小于1。
2. 有限冲激响应系统对于有限冲激响应系统而言，其稳定性充要条件是系统的冲激响应是绝对可和的。
也就是说，系统的冲激响应的绝对和是有限的。
3. 时变系统对于时变系统而言，其稳定性充要条件是系统的输入和输出序列都是绝对可和的，并且系统的输入和输出序列的绝对和都是有界的。
4. 有限差分方程系统对于有限差分方程系统而言，其稳定性充要条件是系统的差分方程的根都位于单位圆内。
也就是说，系统的所有根的模长都小于1。
5. 正态系统对于正态系统而言，其稳定性充要条件是系统的所有特征值的实部都小于等于零。
6. 离散时间系统的Lyapunov稳定性对于离散时间系统而言，其稳定性充要条件是系统的状态方程存在一个正定矩阵，使得系统的状态的Lyapunov函数是递减的。
三、离散时间系统的稳定性判定方法除了以上充要条件外，还可以通过以下方法判断离散时间系统的稳定性：1. 构造系统的Lyapunov函数。
通过构造系统的Lyapunov函数来判断系统的稳定性。
如果系统的状态的Lyapunov函数是递减的，则系统是稳定的。
2-d 连续-离散系统的稳定性、可控性与可观测性判据
2-d 连续-离散系统的稳定性、可控性与可观测性判据
一、稳定性
连续离散系统稳定性是指系统状态值不断变化，但随着时间的推移，系统的解不会离开某一区域或范围，满足系统的平衡。
可以用Lyapunov准则来判断一个系统的稳定性，即找出一个函数V，系统的长期行为是满足V的进行，且由此可以确定系统的长期行为的变化趋势。
此外，系统稳定性还可以通过极点分析方法来判断，即系统极值处被定义为极点，并从中探索该系统在极点上是否稳定，以及该极点处系统解是否存在漂移和消失。
二、可控性
可控性是指系统的响应是通过控制器实现的，系统可以通过增加输入电压或输出力量来改变系统的输出响应，从而达到预期的解决方案。
可控性分析要求系统具有足够的响应能力，可以通过增加输入电压来改变系统的行为，但它的响应有限制，不能随意增加，而且可能受外界环境约束。
三、可观测性
可观测性是指系统的特性是可以通过测量来获取的，即可以观察系统的特性，推断出它是如何变化的，并且根据以往所观察到的特征来推测它在将来的变化趋势。
可观测性分析可以使用状态空间方程，用于获得关于系统的当前及未来设计状态的量化描述，从而确定系统的特征及其变化趋势。
离散系统的稳定性条件和瞬态响应课件
非线性离散系统的稳定性条件
局部稳定性
对于非线性离散系统，局部稳定性是其重要的稳定性条件。 这意味着在系统的小扰动下，其状态轨迹应能逐渐恢复到原 始状态。
全局稳定性
全局稳定性是指无论系统受到多大的扰动，其状态轨迹都能 逐渐恢复到原始状态。对于非线性离散系统，全局稳定性的 条件通常更为严格。
稳定性条件的分析和计算方法
控制器优化
在满足稳定性条件的前提下，通 过优化控制算法，提高控制器的
性能和效率。
仿真实验
通过仿真实验，验证基于稳定性 条件和瞬态响应的综合控制方案
的有效性和优越性。
06
总结与展望
研究成果与贡献
建立了离散系统稳定性判据，证明了系统稳定的充分必要条件，为离散系统稳定性 分析提供了新的理论依据。
针对离散系统的瞬态响应问题，提出了新的优化算法，有效提高了系统的瞬态性能 ，为离散系统优化设计提供了新的思路。
稳定性的性质
稳定性具有等价性、传递性和不变性三个基本性质。
稳定性在离散系统中的重要性
01
02
03
保证系统正常运行
在离散系统中，稳定性是 保证系统正常运行的基础 ，只有稳定的系统才能避 免出现故障或崩溃。
优化系统性能
稳定性是优化系统性能的 前提，只有稳定的系统才 能发挥出其最佳性能。
保障安全
稳定性也是保障系统安全 的重要因素，不稳定的系 统容易遭受攻击或崩溃。
基于模型的方法
一种常用的协同优化方法是基于模型的方法。该方法通过 建立离散系统的数学模型，并采用优化算法来同时满足稳 定性和瞬态响应的约束条件。
实验设计法
另一种协同优化方法是实验设计法。该方法通过实验来探 索离散系统在不同参数下的稳定性和瞬态响应性能，并据 此选择合适的参数以实现协同优化。
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用MATLAB画bode图
G(z) 0.393 , T 0.5s (z 0.606)
画bode图程序S6
nz1=[0,0.369]; dz1=[1,-0.606]; ts=0.5; w=[0:0.01:6*pi]; dbode(nz1,dz1,ts,w);
周期重复，只画主频带 -22
用MATLAB画bode图 G(z) 0.393 , T 0.5s
例：系统开环脉冲传递函数如下
D(z) 0.368(z 0.722) (z 1)(z 0.368)
T 1s
试绘制开环幅相特性曲线
解： 频率特性
D(e
jT
)
0.368(e jT (e jT 1)(e jT
0.722) 0.368)
用MATLAB画Nyquist曲线
Nyqusit曲线程序S5 w=[pi/6:0.01:pi]; z=[-.722];p=[1,0.368]; k=0.368; sys=zpk(z,p,k,1)； Nyquist(sys,w);
（1）离散系统频率特性定义
连续系统
sint
Asin(t )
G(s)
频率特性 G( j) G(s) s j G() G()
离散系统
sinkT
Asin(kT )
G(z)
频率特性
G(e jT ) G(z) zejT G() G()
G(e jT )不是的有理函数
jω S平面
Im Z平面
0
σ
0
Re
离散系统频率特性：
(z 0.606)
画bode图程序S6
nz1=[0,0.369]; dz1=[1,-0.606]; ts=0.5; w=[0:0.01:6*pi]; dbode(nz1,dz1,ts,w); [mz1,gz1]=dbode(nz1, dz1,ts,w); subplot(2,1,1); plot(w,mz1); subplot(2,1,2); plot(w,gz1);
(z 0.606)
解：频率特性
G(e jT )
0.393 (e jT 0.606)
(cosT
0.393 0.606
j sinT )
G(e jT )
0.393
[cos(0.5) 0.606]2 sin2(0.5)
G(e jT ) tan1 sin(0.5) cos(0.5) 0.607
ts 6T
3.6.2 极点位置与动态响应的关系(定性分析）
（1） 极点位置位于实轴
G(z)
ci
z
z pi
R(z) 1 脉冲响应 c(k ) Z 1[G(z)R(z)] ci pik
① pi>1 ② pi=1 ③ 0<pi<1 ④ -1<pi<0 ⑤ pi=-1 ⑥ pi<-1
（2）极点为复数
3.7 离散系统根轨迹法和频域法
3.7.1 根轨迹法 根轨迹的画法（与连续系统相同）
G(z) K
z 0.5
(z 0.7)( z 0.9)
%画根轨迹程序S4 z=tf('z',-1); g=(z+0.5)/((z-0.7)*(z-0.9)); axis('square'); rlocus(g),grid
注意1： 闭环零点位置与动态响应的关系
(z z2 ) (z2 a1 z a2 )
假设：复数极点位于=0.5的等阻尼线上，与正实轴 夹角=18
▪ 闭环零点使超调量增加。 ▪ 闭环零点越靠近＋1，超调量越大。 ▪ 闭环极点角度越大，受零点影响越大。
注意2： 非主导极点与动态响应的关系
1 b0 z 2 b1z b2
1 z 2 a1z a2
如何确定主导极点和非主导极点？
距离原点最远的极点——主导极点； 模≤(主导极点的模)5——非主导极点可忽略； 非主导极点位于实轴——超调减小
Z1.2 = 0.523? 0.63导极点为复数极点
主导极点
考虑非主导极点
考虑非主导极点
3.7.2 离散系统频率特性
Imaginary Axis
Nyquist Diagram 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Real Axis
（3）幅频特性、相频特性
A() G(e jT ) () G(e jT )
例5： G(z) 0.393 , T 0.5s 画幅频曲线和相频曲线。
（2） 由时域响应计算动态性能
(z)
z2
1.264z 0.104z
0.368
输入
R(
z)
1
1 z
1
C(z) (z) R(z)
1.264z1 1.396z2 0.945z3 0.851z4 1.008z5
1.05z6 1.008z7 0.976z8 L
进入5%的误差带
最大超调点
％ 40％
（1）Z沿单位圆变化；
（2）重复性； 主频区 s s
2
2
(3) G(e jT ) 是ω的偶函数，G(e jT )是的奇函数
（2）幅相特性（Nyquist)曲线
G(e jT ) G(z) zejT G() G()
Im
Im
Z平面
0
Re -1
0
G()
Re
G()
Nyquist稳定性判据：Z=P+N Z——闭环不稳定的极点数； P——开环不稳定的极点数： N——Nyquist顺时针包围-1的圈数；
G(z) ci1z ci z z pi z pi1
pi,i1 pi e ji ci,i1 ci e ji
脉冲响应:
c(k) Z 1[G(z)R(z)] ci
p (e e ) k j(ki i ) i
j (ki i )
2 ci pi k cos(ki i ) 2 ci pi k cos(ikT i )
幅值 2 ci pi k
振荡角频率 i
T
① pi>1 ② pi=1 ③ 0<pi<1
i
i
T
例9：在z平面上有4对共扼复数， 试分析他们的脉冲响应。
极点位置与动态响应的关系（稳定状态）
▪ 极点位于单位园内正实轴上 单调衰减 极点离原点越近 衰减越快 极点位于原点衰减最快
▪ 复数极点位于单位园内 振荡衰减 极点与正实轴的角度越大振荡频率越高 极点位于负实轴上振荡频率最高
例1：连续控制系统 G(s) 1 s(s 1)
超前校正 D(s) 70 s 2
s 10
分析采样周期与系统的性能。
例2：伺服控制系统。 PID控制器，参数为：K=5, Ti=0.003,Td=0.0008。 选择采样周期T。