高考数学试题-江苏省南通市2018届四星级高中数学高考押题卷(参考答案) 最新
江苏省南通基地2018年高考数学密卷4理含答案
xyy 0 11π24y 05π24O （第7题）江苏省南通基地2018年高考数学密卷（4）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．设复数满足（为虚数单位），则复数 ． 2．已知集合，，则共有 个子集．3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 ． 4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个 小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的，且第一组 数据的频数为25，则样本容量为 ．5．在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为，且它的一个焦点为，则双曲线的方程为 ． 6．函数的定义域为 ． 7．若函数的部分图象如图所示， 则的值为 ．8．现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为 ．9．在三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥的体积为， 三棱锥的体积为，则 ．10．设点是所在平面上的一点，点是的中点，且，设，则 ． 11．已知数列中，，，．若是等比数列，则 ． 12．已知，，若，则的最小值为 ．13．在平面直角坐标系中，动圆（其中）截轴所得的弦长恒为．若过点作圆的一条切线，切点为，则点到直线距离的最大值为 ．14．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．已知向量，，函数．（1）求函数的最小正周期； （2）若，且，求的值．16．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，， 交于，锐角所在平面⊥底面，，点在侧棱上，且． （1）求证：平面； （2）求证：．17．如图所示，圆是一块半径为米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多边形．其中为圆的直径，,,在圆上，， ,在上，且 ,．（1）设，试将多边形面积表示成的函数关系式； （2）多边形面积的最大值．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知分别为椭圆（）的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于另一点，点在直线上，且．若，求直线的斜率．(第16题图)PABCD QO19．已知函数，其中，e是自然对数的底数．（1）若，求函数的单调增区间；（2）若函数为上的单调增函数，求的值；（3）当时，函数有两个不同的零点，求证：．20．已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为．（1）若数列通项公式为，求证：；（2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；（3）设，数列的各项均为正数，且．问数列中是否存在无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由．2018年高考模拟试卷（4）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并．．．．．．．．．．．．．．．．．．在相应的答题区域内作答A．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．若DA = DC，求证：AB = 2BC．B ．[选修：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知，向量为是矩阵的属于特征值的一个特征向量． （1）求矩阵的另一个特征值； （2）求矩阵的逆矩阵． C ．[选修：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为为参数．以原点O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． 求直线被曲线所截得的弦长． D ．[选修：不等式选讲] （本小题满分10分）已知实数x ，y ，z 满足x + y + z = 2，求的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别 为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件，求事件发生的概率；（2）设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在各项均不相同的数列，，，…，中，任取,且项变动位置，其余项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为．（1）求的值；（2）求的值；（3）设，求证：．2018年高考模拟试卷（4）参考答案数学Ⅰ一、填空题：1．【解析】．2．【解析】由条件得，所以的子集有个．3．【解析】由题意可知．4．150【解析】设第一个小矩形面积为，由，得，从而样本容量为．5．【解析】设双曲线的方程为，因为双曲线的渐近线方程为，所以，又因为一个焦点为，所以，所以，所以双曲线的方程为6．【解析】由已知得，，所以7．4【解析】由图知函数的周期为，所以．8．【解析】从张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取张组成两位数，共有种情况，要使中的两个数组成两位奇数，有种情况，所以其概率为．9．【解析】因为，，所以．10．【解析】因为，所以，即，所以，所以，又点是的中点，所以，所以，所以．11．3049 【解析】，所以，所以．12．【解析】因为，，，所以．令，，，则，所以，当且仅当时取等号．所以的最小值为．13．【解析】因为动圆（其中）截轴所得的弦长恒为，所以，设，由已知条件得，，所以，即点在圆，所以点到直线距离的最大值为．14．【解析】，题意即为在上恒成立，即．由于，且，则．当时，恒成立，符合；当时，，所以在上单调递增，不符合；当时，，所以在上单调递减，此时，即．令（），不等式即为，由于，所以在上单调递增，而当时，，所以恒成立．综上所述，的取值范围是．15．解：（1），，…… 2分，…… 4分所以函数的最小正周期为．…… 6分（2），，且，，…… 8分，，…… 10分，…… 12分，．…… 14分16．证明：（1）如图，连接，因为，，所，………2分又，所以，…………4分又平面，平面，所以平面. ……… 6分（2）在平面内过作于，因为侧面底面，平面平面，平面，所以平面，…………………8分又平面，所以，…………………10分因为是锐角三角形，所以与不重合，即和是平面内的两条相交直线，又，所以平面，…………………12分又平面，所以．…………………14分17．解：连接，，，，，，………2分（1）在中，，，，，，………4分，．………8分（2）令，，则，且，………10分，，………12分当，即时，，即多边形面积的最大值为平方米．………14分18．解：（1）因为椭圆经过点和点，所以…… 2分解得，所以椭圆的方程为．…… 6分（2）解法一：由（1）可得，设直线的斜率为，则直线的方程为．由方程组消去，整理得，解得或，所以点坐标为．…… 8分由知，点在的中垂线上，又在直线上，所以点坐标为．…… 10分所以，．若，则．…… 14分解得，所以，即直线的斜率．…… 16分解法二：由（1）可得，设（），则①，…… 8分直线，由知，点在的中垂线上，又在直线上，所以点坐标为．…… 10分所以，，若，则，所以②，…… 12分由①②可得，即，所以或(舍)，．所以，即直线的斜率．…… 16分19．解：（1）当a=0时，，，令，得，所以的单调增区间为．…… 3分（2），因为函数为上的单调增函数，所以0在上恒成立．……5分当时，，0显然成立；当时，恒成立，则恒成立，此时；当时，恒成立，则恒成立，此时．综上，．…… 8分（3）不妨设，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增．因为，所以，，，…… 10分在上单调递减，所以要证，即证，即证，又因为，所以即证（*）．12分记，，，所以在上恒成立，所以函数在上为增函数，又因为，，所以，即，（*）式得证．所以，命题成立．…… 16分20．解:（1）因为，所以，…… 2分所以，所以，即．…… 4分（2）设的公差为，因为，所以（*），特别的当时，，即，…… 6分由（*）得，整理得，因为上述不等式对一切恒成立，所以必有，解得，又，所以，…… 8分于是，即，所以，即，所以，因此的取值范围是．…… 10分（3）由得，所以，即，所以，从而有，又，所以，即，又，，所以有，所以，…… 12分假设数列（其中）中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第项为(为常数)，则存在，，使得，即，…… 14分设，则，即，于是当时，，从而有：当时，即，于是当时，关于的不等式有无穷多个解，显然不成立，因此数列中是不存在无穷多项依次成等差数列．…… 16分数学Ⅱ（附加题）21．A．证明：连接OD因为DC为切线且点D为切点，所以因为OA=OD所以又因为AD=DC所以故所以BC=OD=R从而AB=2BC ……………10分B．解：（1）由条件得，，，解得………2分因为矩阵，所以特征多项式为，………4分令，解得．所以矩阵的另一个特征值为．………5分（2）因为，………7分所以．………10分C．解：把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为：，即，………2分曲线表示的是圆心，半径为的圆．………4分直线的参数方程为参数化为普通方程为，………6分圆心到直线的距离为，………8分直线被曲线所截得的弦长为．………10分（说明：也可以用直线参数方程的几何意义去完成）D．证明：由柯西不等式可知所以，当且仅当时取等号．………10分22．解：（1）由已知有，所以事件A的发生的概率为．…3分（2）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2．………4分；；．………6分所以随机变量X的分布列为X 0 1 2P………8分数学期望．………10分23．解：（1）．………2分（2）．………4分（3）证明：，，，．………10分。
江苏省南通基地高考数学密卷(6)理(最新整理)
江苏省南通基地2018年高考数学密卷(6）理第Ⅰ卷（必做题,共160分）一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共70分． 1．已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x >，则UA = ▲ ．2．已知复数z ＝错误!－i 3，其中i 虚数单位,则z 的模为 ▲ ．3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180,1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力，则全校共抽到测视力的人数为 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>纵坐标为1的一点到焦点的距离为4,焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如图所示的流程图,则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为4π3，则该三棱柱的体积是 ▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ▲ ．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么,两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中,已知圆22:810C x y x m ++-+=与直线10x +=相交于A ，B 两点．若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数．则｜错误!＋t 错误!｜的最小值为 ▲ ． 11．若函数()1()log 1a x f x ax=+-（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 ▲ ．12．数列｛a n ｝满足a 1＝错误!,a 2＝错误!,且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1对任何正整数n 成立，则错误!＋错误!＋…＋错误!的值为 ▲ ．13．已知函数2210()0xx mx x ef x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中,角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,已知sin sin sin sin 0A B A B λ++=,且2a b c +=，则实数λ的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题,共计90分． 15．（本小题满分14分)已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b ．（1）若3m =,1n =-，且()λ⊥+a a b ,求实数λ的值； （2）若5+=a b ，求⋅a b 的最大值．16．（本小题满分14分）在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB AC =，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点M 、F 分别是线段1AA 、BC 的中点．（1）求证：AF ⊥DD 1； （2）求证:AD //平面1MBC ．BA B 1A 1C 1MCFDD 117．（本小题满分16分)如图,设椭圆C ：错误!＋错误!＝1(a ＞b ＞0），离心率e ＝错误!，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点P 在x 轴的上方，且PF ⊥x 轴，线段PF ＝错误!． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ，B 两点,当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的方程．18．(本小题满分16分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A 沿AB ，AC 方向修建两条小路， 休息亭P与入口的距离为米(其中a 为正常数），过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步 行带，步行带交两条小路于E 、F 处，已知045BAP ∠=，12tan 5CAB ∠=． （1）设AE x =米,AF y =米，求y 关于x 的函数关系式及定义域; （2）试确定E ，F 的位置，使三条路围成的三角形AEF 地皮购价最低． C19．（本小题满分16分)已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈。
江苏省南通基地2018年高考数学密卷4理201902270172
▲
． ▲ ．
1 6．函数 f ( x) ( ) x 4 的定义域为 2
y y0 O y0
5π 24
11π 24
x
7．若函数 y sin( x )( 0) 的部分图象如图所示， 则 的值为 ▲ ．
（第 7 题）
8．现有 5 张分别标有数字 1，2，3，4，5 的卡片，它们的大小和颜色完全相同．从中随机抽 取 2 张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为 ▲ ．
B．[选修 42：矩阵与变换] （本小题满分 10 分）
2 a 2 已知 a, b R ，向量为 是矩阵 A 的属于特征值 3 的一个特征向量． 1 b 1
（1）求矩阵 A 的另一个特征值；
-4-
（2）求矩阵 A 的逆矩阵 A1 ．
D．[选修 45：不等式选讲] （本小题满分 10 分） 已知实数 x，y，z 满足 x + y + z = 2，求 2 x 3 y z 的最小值．
2 2 2
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答卷纸指定区域内作答． 22． （本小题满分 10 分） 某小组共 10 人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1，2，3 的人数分别 为 3，3，4．现从这 10 人中选出 2 人作为该组代表参加座谈会． （1）记“选出 2 人参加义工活动的次数之和为 4”为事件 A ，求事件 A 发生的概率； （2）设 X 为选出 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学 期望．
20．已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，把满足条件 an 1 Sn (n N* ) 的所有数列 an 构成的集合
高考数学试题江苏省南通市2018届四星级高中数学高考押题卷(二卷)
江苏省南通市2021届四星级高中数学高考押题卷附加题本大题共6小题，其中第21～24题为选做题，请考生在第21～24题中任选2个小题作答，如果多做，那么按所选做的前两题记分;第25和第26题为必做题．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．21.[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每题10分,计20分.A.〔选修4-l：几何证明选讲〕如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．⑴判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；EO⑵假设AE=6，BE=8，求EF的长．FBD CB．〔选修4—2：矩阵与变换〕矩阵A＝336的一个特征向量为11的一个特征向c，假设矩阵A属于特征值α＝1，属于特征值3d1量为α＝2．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．－2C．〔选修4—4：坐标系与参数方程〕曲线C的极坐标方程4sin，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐为标系，直x 1t线l的参数方程为2〔t为参数〕，求直线l被曲线C截得的线段长度.3ty12D．〔选修4－5：不等式选讲〕设x，y，z为正数，证明：2x3 y3z3≥x2 y z y2x z z2x y．[必做题] 第22、23题,每题22．〔本小题总分值10分〕10分,计20分.某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者效劳队〔简称“青志队〞〕，他们参加活动的次数统计如表所示．(Ⅰ)从“青志队〞中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率；(Ⅱ)从“青志队〞中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望 E ．活动次数123参加人数5152023．〔本小题总分值10分〕a n A n1An2An3A n n(nN)，当n≥2时，求证：⑴an11an；⑵(11)(11)(11)(11)≤31.精品文档强烈推荐na1a2a3a n n。
2018年江苏省高考原创押题卷数学试题及答案 精品
2018年高考押题卷（1）【江苏卷】数学试题一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）1．设集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2,3B =，则AB =【命题意图】本题考查集合交集的概念等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 【答案】{}0,1 【解析】A B {}1,0,1=-{}0,1,2,3={}0,1.2.已知23(,,ia bi ab R ii +=+∈为虚数单位)，则a b +=【命题意图】本题考查复数的运算，复数概念等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 【答案】1【解析】23323,2, 1.ia bi i a bi ab a b i +=+⇒-=+⇒==-+=3. 已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为【命题意图】本题考查圆锥体积、圆锥展开图等基础知识，意在考查基本运算能力．4. 袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为【命题意图】本题考查古典概型概率基础知识，意在考查学生的基本运算能力和逻辑推理能力.【答案】1 3【解析】从中4个球中任取两个球共有6种基本事件，其中两个球颜色相同包含两种基本事件，故概率为21 = 63.5. 下图是一个算法流程图，则输出的x的值是【命题意图】本题考查算法流程图、简单的不等式运算基础知识，意在考查基本概念，以及基本运算能力． 【答案】59.【解析】第一次循环：3,7x y ==，第二次循环：13,33x y ==，第三次循环：59,151x y ==，结束循环，输出59.x = 6.已知双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的一个焦点为(3,0)，直线10x y --=与双曲线右支有交点，则当双曲线离心率最小时双曲线方程为 【命题意图】本小题主要考查双曲线的离心率，双曲线标准方程等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力．【答案】22154x y -=7.若实数,x y 满足约束条件22,1,1,x y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+⎩≤≥≥则目标函数2z x y =+的最小值为【命题意图】本题考查线性规划求最值基础知识，意在考查学生的基本运算能力．【答案】1【解析】可行域为ABC ∆及其内部，其中(3,4),(1,0),(0,1),A B C 直线2z x y =+过点(0,1)C 时取最小值1.8. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,63,763==S S 则=++987a a a 【命题意图】本题考查等比数列的性质及求和等基础知识，意在考查分析能力及基本运算能力． 【答案】448.【解析】由题意得1237a a a ++=，45663756a a a ++=-=，所以789568448a a a ++=⨯=9. 将函数()sin y x x x =+?¡的图像向左平移()0m m >个单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是【命题意图】本题考查三角函数图像与性质等基础知识，意在考查基本运算能力.【答案】6π10.若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为【命题意图】本题考查基本不等式求最值基础知识，意在考查分析问题和解决问题能力以及运算求解能力． 【答案】4 【解析】因为22log log 12x y xy +=⇒=，所以222()24()4,x y x y xy x y x y x y x y+-+==-+≥---当且仅当时2,2x y xy -==，即11x y ==-22x y x y+-的最小值为4.11. 若函数()ln |31|f x x =-在定义域的某个子区间(1,1)k k -+上不具有单调性，则实数k 的取值范围为【命题意图】本题考查函数的图象和性质的综合运用等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力及推理能力．【答案】)35,34[]32,1( --. 【解析】函数()y f x =的图象如图，11013k k -<<+≤或121133k k ≤-<<+，解得213k -<≤-或4533k ≤<.12.已知实数,,a b c 满足222a b c +=，0c ≠，则2ba c -的取值范围为【命题意图】本题考查三角函数最值等基础知识，意在考查学生分析能力及基本运算能力．【答案】[13. 已知圆22:2C xy +=，直线:240l x y +-=，点00(,)P x y 在直线l 上．若存在圆C 上的点Q ，使得45OPQ ∠=（O 为坐标原点），则0x 的取值范围为【命题意图】本题考查正弦定理、直线与圆的位置关系基础知识，意在考查运用数形结合思想、分析问题和解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．【答案】8[0,]5【解析】在OPQ ∆中，设α=∠OQP ，由正弦定理，得αsin 45sin 0OPOQ =，即αsin 222OP =，得2sin 2≤=αOP ，即2)22(202≤-+x x ，解得5800≤≤x .14. 已知函数2()f x ax =，若存在两条过点(1,2)P -且相互垂直的直线与函数()f x 的图像都没有公共点，则实数a 的取值范围为【命题意图】本题考查函数与方程、函数图像与性质基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．【答案】1(,)8+∞二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. （本小题满分14分）已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==． （1）若67πβα=-，求a b ⋅的值； （2）若4,58a b πα⋅==，且⎪⎭⎫⎝⎛-∈-0,2πβα，求tan()αβ+的值．【命题意图】本题考查平面向量的数量积、两角和与差的三角函数、同角三角函数关系式等基础知识，意在考查分析问题和解决问题的能力、基本运算能力．16. （本小题满分14分）如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点.（1）求证：//BF 平面1A EC ；（2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .【命题意图】本题考查线面平行及面面垂直的判定定理等基础知识，意在考查空间想象能力、分析问题和解决问题的能力、推理论证能力.【解析】（1）连接1AC 交1AC 于点O ，连接OF ，F为AC 中点，∴111//=2OF CC OF CC 且，E 为1BB 中点，∴111//=2BE CC BE CC 且，∴//=BE OF BE OF且，∴四边形BEOF是平行四边形， ………4分∴//BF OE ，又BF ⊄平面1A EC ，OE ⊂平面1A EC ，∴//BF 平面1A EC (7)分17. （本小题满分14分）如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角45CAD ∠=． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P(点P 与点B ，C 不重合)，从点P 看这两座建筑物的张角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，tan()αβ+最小？【命题意图】本题考查解三角形、两角和的正切公式、基本不等式的应用等基础知识，意在考查学生转化与化归能力，分析问题和解决问题的能力，以及运算推理能力．【解析】(1)如图作AN CD ⊥ 于N ．因为m CD m AB CD AB 15,9,//==, 所以m NC m DN 9,6==. 设AN x DAN θ∠＝，＝ ，因为45=∠CAD ,所以θ-=∠45CAN .在Rt ANC∆和Rt AND∆ 中，因为069tan ,tan(45-)=x x θθ=，………………………4分所以()91tan 451tan tan xθθθ-∴︒+＝－＝,化简整理得215540x x －－＝ ，解之得12)183(x x ＝，＝－舍去 ．所以BC的长度是18 m． ………………………7分(2)设BP t ＝ ，所以915PC=18-t,tan =,tan =18t t αβ- (9)分 则BCADP(第17题图)tan tan 661tan t 9151(an 145277227827)18t t t tan t t t t t αβαβαβ++----+++--++＋＝＝＝-＝- ………14分63013502)27(1350)27(=≥+++t t,当且仅当1350t+27=27t +，即时，()tan αβ＋ 取最小值． ……15分 答：P在距离B点m)27615(- 时,()tan αβ＋ 最小． ………………………16分 18. （本小题满分16分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>, 经过点P(1,，离心率是.（1）求椭圆C 的方程；（2） 设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ，求证：直线l 恒过定点．【命题意图】本题考查椭圆的标准方程与简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，意在考查基本的运算能力、分析问题和解决问题的能力．将①②代入③，得 225161204m m k -+=+，解得65m =或2m =（舍）．综上，直线l 经过定点6(,0).5…………………14分19. （本小题满分16分）已知函数()xf x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.[学科网 ]（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？ （2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间；（3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合. 【命题意图】本小题主要考查利用导数求切线方程，利用导数求单调区间及最值，不等式恒成立等基础知识，考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力．（2）由1a =，21()xx bx h x e ++=，∴2(2)1()x x b x b h x e -+-+-'=， ∴2(2)1(1)((1))()x x x b x b x x b h x e e -+-+----'==-，………7分由()0h x '=，得11x =，21x b =-，∴当0b >时，函数()y h x =的减区间为(,1)b -∞-，(1,)+∞；当0b =时，函数()y h x =的减区间为(,)-∞+∞；当0b <时，函数()y h x =的减区间为(,1)-∞，(1,)b -+∞. ………10分 （3）由1a =，则()()()1xx f x g x ebx ϕ=-=--，∴()x x e b ϕ'=-，①当0b ≤时，()0x ϕ'≥，函数()x ϕ在R 上单调递增， 又(0)0ϕ=，∴ (,0)x ∈-∞时，()0x ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾， (12)分②当0b >时，()0x ϕ'>，ln x b >；()0x ϕ'<，ln x b <，∴函数()x ϕ在(,ln )b -∞单调递减；(ln ,)b +∞单调递增，20. （本小题满分16分）等差数列{}na 的前n 项和为nS ，已知12a=，622S =.（1）求nS ；（2）若从{}na 中抽取一个公比为q 的等比数列{}nk a ，其中11k=，且12n k k k <<<，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}nk 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值. 【命题意图】本题考查等差数列和等比数列综合应用，等差数列前n 项和公式，数列单调性等基础知识，意在考查学生灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力．【解析】（1）设等差数列的公差为d ，则611665222S a d =+⋅⋅=，解得23d =，……2分所以(5)3n n n S +=.………4分（2）①因为数列}{n a 是正项递增等差数列，所以数列}{nk a 的公比1>q ，若22=k ，则由382=a ，得3412==a a q ，此时932)34(223=⋅=k a ，由)2(32932+=n ，解得*310N n ∉=，所以22>k ，同理32>k ；……6分若42=k ，则由44=a ，得2=q ，此时122-⋅=n k n a ，另一方面，2(2)3n k n a k =+，所以2(2)23n n k +=，即1322n nk -=⨯-， ………8分所以对任何正整数n ，n k a 是数列}{n a 的第2231-⋅-n 项．所以最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ． ………10分附加题部分21.【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，△ABC 内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD与⊙O相切，割线DM 与⊙O相交于点M，N，若∠B=30°，AC=1，求DMDN【命题意图】本题主要考查切割线定理等基础知识，意在考查学生平面几何推理证明和逻辑思维能力.xy ，B．【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知曲线C：1若矩阵M ⎥=⎥⎥⎦对应的变换将曲线C变为曲线C '，求曲线C '的方程.【命题意图】本题考查矩阵与向量乘积、相关点法求轨迹方程等基础知识，意在考查运算求解能力．【解析】设曲线C 一点(,)x y ''对应于曲线C '上一点(,)x y ，∴22x x y y '⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎥=⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥'⎦⎣⎦⎣⎦，∴x y x ''=x y y ''+=， (5)分∴x '=，y '=，∴1x y ''==，∴曲线C '的方程为222y x -=.…10分C.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系下，已知圆O ：cos sin ρθθ=+和直线:sin()42l πρθ-=，（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 【命题意图】本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，直线与曲线位置关系等基本内容. 意在考查转化与化归能力、基本运算能力，方程思想与数形结合思想.D ．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知,,a b c 均为正数,证明：2222111()a b c a b c +++++≥【命题意图】本题考查利用均值不等式证明不等式等基础知识，意在考查综合分析问题解决问题以及运算求解能力，逻辑思维能力．【解析】因为a b c，，均为正数，由均值不等式得22223()a b c abc ++≥3，………………2分因为13111()abc a b c-++≥3，所以223111(()abc a b c -++)≥9．…………………………………5分故22222233111(()()a b c abc abc a b c -++++++)≥39． （当且仅当c b a ==时取等号）又32233()9()abc abc -+=≥（当且仅当433=abc 时取等号），所以原不等式成立．…………………………………10分【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22. 如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥的侧棱长与底边长都为，点M ，N 分别 在PA ，BD上，且13PM BN PA BD ==． （1）求证：MN ⊥AD ；（2）求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．【命题意图】本题考查向量数量积，向量垂直，直线与平面所成角等基础知识，意在考查运算求解能力，逻辑思维能力．（2）设平面PAD 的法向量为(,,),n x y z =(3,3,0),(3,0,3),AD AP =--=-由0,0,n AD n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得330,330.x y x z --=⎧⎨-+=⎩取1,z =得1, 1.x y ==-23. 设集合{}5,4,3,2,1=S ，从S 的所有非空子集中，等可能地取出一个.（1）设S A ⊆，若A x ∈，则A x ∈-6，就称子集A 满足性质p ，求所取出的非空子集满足性质p 的概率；（2）所取出的非空子集的最大元素为ξ，求ξ的分布列和数学期望()ξE .【命题意图】本题考查子集定义及性质、古典概型及离散型随机变量分布列和期望等基础知识，意在考查分析问题和解决问题能力，运算求解能力，逻辑思维能力． 【解析】可列举出集合S的非空子集的个数为：31125=-个.（2分）（1）满足性质p 的非空子集为：{}3，{}5,1，{}4,2，{}5,3,1，{}4,3,2，{}5,4,2,1，{}5,4,3,2,1共7个，所以所取出的非空子集满足性质p 的概率为： 317=p .（6分）（2）ξ的可能值为1，2，3，4，5.（9分）()31129311653184314331223111=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .（10分）。
江苏省南通基地2018年高考数学密卷(4)理
C．[选修 44：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
4 x 1 t 5 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数 ) ．以原点 O 为 3 y 1 t 5
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 cos( ) ． 4 求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长．
7．4【解析】由图知函数的周期为 11 5 2 ，所以 2 4 ． 24 24 2 2
3 8． 【解析】从 5 张分别标有数字 1，2，3，4，5 的卡片中随机抽取 2 张组成两位数，共有 20 5
种情况，要使 1, 2,3, 4,5 中的两个数组成两位奇数，有 12 种情况，所以其概率为 9．
（3）设
An kPn (n k )
k 1
n
，求证：
An 1 (n 1) Pn (n k )
k 0
n
．
2018 年高考模拟试卷（4）参考答案 数学Ⅰ 一、填空题：
1 3 1 i (1 i )(2 i ) 1 3i 1． + i 【解析】 z ． 2 i (2 i )(2 i ) 5 5 5
19．已知函数 f ( x) ( x 1)e x ax 2 ，其中 a R ，e 是自然对数的底数． （1）若 a 0 ，求函数 y f ( x) 的单调增区间； （2）若函数 f ( x) 为 R 上的单调增函数，求 a 的值； （3）当 a 0 时，函数 y f ( x) 有两个不同的零点 x1 ，x2 ，求证： x1 x2 0 ．
x2 y 2 1(a 0, b 0) ，因为双曲线 C 的渐近线 a 2 b2
高三数学-2018年南通高考数学密卷四 精品
2018年南通高考数学密卷四本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合A ＝{a ，b ，c}，集合B ＝{－1，0，1}，f 是A 到B 的映射，且满足条件f(a)+f(b)+f(c)=0，这样的映射共有 （ ） A 、6个 B 、7个 C 、8个 D 、9个2.函数1,(0,)1x x e y x e +=∈+∞-的反函数是 （ ） A ．)1,(,11ln-∞∈+-=x x x y B. )1,(,11ln -∞∈-+=x x x y C. ),1(,11ln+∞∈+-=x x x y D. ),1(,11ln +∞∈-+=x x x y 3.已知方程0)81)(81(22=+-+-nx x mx x 的四个根组成一个首项为81的等比数列,则n m -= ( )A.89B. 1C. 43 D. 834.已知函数m x x x f +-=23212)(（m 为常数）图象上A 处的切线与03=+-y x 的夹角为45 ，则A 点的横坐标为 （ ） A ．0 B ．1 C ．0或61 D ．1或61 5.以棱长为a 的正方体的8个顶点中的4个为顶点构造一个正四面体,此正四面体的体积是( ) A.321a B. 331a C ．3122a D ．3123a 6.等边三角形ABC 和等边三角形ABD 在两个相互垂直的平面内，则∠CAD= （ ）A ．1arccos()2- B ．1arccos4C ．7arccos()16-D ．2π7.直线143x y +=与椭圆221169x y +=相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得△APB 的面积等于3，这样的点P 共有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.有10件产品，其中4件为一等品，6件为二等品。
2018年江苏省高考数学压轴试卷
2018年江苏省高考数学压轴试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1. 若集合A={−1, 0, 1, 2}，B={x|x+1>0}，则A∩B=________．2. 若复数z满足z(1−i)=2i（i是虚数单位），z是z的共轭复数，则z=________．3. 某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在[100, 150]的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩在[120, 130)内的学生共有________人．4. 如图，该程序运行后输出的结果为________．5. 将函数y=3sin(2x−π6)的图象向左平移π4个单位后，所在图象对应的函数解析式为________．6. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则三棱锥A−B1D1D的体积为________cm3．则阴影部分的面积为________．8. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右端点分别为A 、B 两点，点C(0, √2b)，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为________．9. 设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3=−18，且a 2，a 4，a 3成等差数列，则数列{a n }的前4项和为________．10. 设定义在R 上的偶函数f(x)在区间(−∞, 0]上单调递减，若f(1−m)<f(m)，则实数m 的取值范围是________．11. 已知函数f(x)={lgx,0<x ≤10,|−12x +6|,x >10, 若a ，b ，c 互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则a +b +c 的取值范围是________．12. 如图，在△ABC 中，已知AN →=12AC →，P 是BN 上一点，若AP →=mAB →+14AC →，则实数m 的值是________．13. 已知非零向量a →，b →满足|a →|=|b →|=|a →+b →|，则a →与2a →−b →夹角的余弦值为________．14. 已知函数f(x)={sinx,x <1,x 3−9x 2+25x +a,x ≥1,若函数f(x)的图象与直线y =x 有三个不同的公共点，则实数a 的取值集合为________．二、解答题（共6小题，满分16分）如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AC ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上（均异于端点），且∠ABE =∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1．(1)求证：平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；(2)求证：BC // 平面AEF ．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2a−b)⋅cosC=c⋅cosB．(1)求角C的大小；(2)若c=2，△ABC的面积为√3，求该三角形的周长．已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率.为√53(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P在椭圆C上，且PF1=4，求点P到右准线的距离．如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD // BC，∠BAD=∠CBA=90∘，PA=AB=BC=1，AD=2，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点．(1)求EF与DG所成角的余弦值；(2)若M为EF上一点，N为DG上一点，是否存在MN，使得MN⊥平面PBC？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q≠1，d≠0．记c i=a i+b i(i=1, 2, 3, 4)．(1)求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；(2)设a1=1，q=2．若数列c1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；(3)数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由．已知f(x)=x2+mx+1(m∈R)，g(x)=e x．(1)当x∈[0, 2]时，F(x)=f(x)−g(x)为增函数，求实数m的取值范围；f(x)15[1, 1−m]，G(x 1)<H(x 2)恒成立．【选做题】本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【几何选讲】如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的角平分线，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为点M ．(1)求证：DC 是⊙O 的切线；(2)求证：AM ⋅MB =DF ⋅DA ．【矩阵与变换】已知变换T 将平面上的点(1, 12)，(0, 1)分别变换为点 (94, −2)，(−32, 4)．设变换T 对应的矩阵为M ．(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的特征值．【参数方程与极坐标】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1+√22t,y =√22t,（其中t 为参数），在以原点O 为极点，以x 轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ．(1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)设M 是曲线C 上的一动点，OM 的中点为P ，求点P 到直线l 的最小值．参考答案与试题解析2018年江苏省高考数学压轴试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.【答案】{0, 1, 2}【考点】交集及其运算【解析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={−1, 0, 1, 2}，B={x|x+1>0}={x|x>−1}，∴A∩B={0, 1, 2}．故答案为：{0,1,2}.2.【答案】−1−i【考点】共轭复数复数代数形式的混合运算【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z，进一步求得z．【解答】解：∵z(1−i)=2i，∴z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−2+2i2=−1+i，∴z=−1−i．故答案为：−1−i.3.【答案】300【考点】频率分布直方图【解析】根据频率和为1，求出成绩在[120, 130)内的频率与频数即可．【解答】解：根据频率和为1，得成绩在[120, 130)内的频率为1−(0.010+0.020+0.025+0.015)×10=0.3，所以成绩在[120, 130)内的学生共有1000×0.3=300人．4.【答案】45【考点】程序框图【解析】经过观察为当型循环结构，按照循环结构进行执行，当不满足执行条件时跳出循环，输出结果即可．【解答】解：经过分析，本题为当型循环结构，执行如下：S=0，A=1;S=1，A=2;S=3，A=3;S=6，A=4;S=10，A=5;S=15，A=6;S=21，A=7;S=28，A=8;S=36，A=9;S=45，A=10;当S=45不满足循环条件，输出．故答案为：45.5.【答案】y=3sin(2x+π3 )【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律即可求得所得图象的解析式．【解答】解：把函数y=3sin(2x−π6)的图象向左平移π4个单位，所得图象的解析式是y=3sin[2(x+π4)−π6]=3sin(2x+π3).故答案为：y=3sin(2x+π3).6.【答案】3【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】连接AC交BD于O，根据此长方体的结构特征，得出AO为A到面B1D1D的垂线段．△B1D1D为直角三角形，面积易求．所以利用体积公式计算即可．【解答】连接AC交BD于O，如图：则AC⊥BD，又D1D⊥AC，所以AC⊥面B1D1D，因为AB=AD=3cm，AA1=2cm，所以AC=√AB2+AD2=3√2(cm)=B1D1，又因为AO为A到面B1D1D的垂线段，且AO=12AC=3√22．又S△B1D1D =12D1D×D1B1=12×2×3√2=3√2，所以所求的体积V=13×3√22×3√2=3(cm3)．故答案为：3.7.【答案】2【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知阴影部分面积为矩形面积的14，由此能求出该阴影部分的面积．【解答】解：设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知，则x8=14，解得x=2．故答案为：2.8.【答案】√102【考点】双曲线的离心率【解析】运用平面几何的性质可得△ABC为等边三角形，则√2b=√32⋅2a，由a，b，c的关系和【解答】解：由线段AC 的垂直平分线过点B ，结合对称性可得△ABC 为等边三角形， 则√2b =√32⋅2a ， 即b =√62a ， c =√a 2+b 2=√a 2+32a 2=√102a ， 则e =c a =√102. 故答案为：√102. 9.【答案】58【考点】等差中项数列递推式等比数列的前n 项和【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，根据a 2，a 4，a 3成等差数列，可得2a 2q 2=a 2+a 2q ，q ≠1，解得q ．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵ a 2，a 4，a 3成等差数列，∴ 2a 4=a 2+a 3，∴ 2a 2q 2=a 2+a 2q ，化为：2q 2−q −1=0，q ≠1，解得q =−12．∵ a 1a 2a 3=−18，∴ a 13⋅q 3=−18，解得a 1=1． 则数列{a n }的前4项和=1−(−12)41−(−12)=58． 故答案为：58.10.【答案】(12, +∞) 【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质函数单调性的性质根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得其在区间[0, +∞)上单调递增，进而可以将f(1−m)<f(m)转化为|1−m|<|m|，解可得m 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)为偶函数且在区间(−∞, 0]上单调递减，则函数f(x)在区间[0, +∞)上单调递增，若f(1−m)<f(m)，由函数为偶函数，可得f(|1−m|)<f(|m|)，又由函数f(x)在区间[0, +∞)上单调递增，则|1−m|<|m|，解可得：m >12，则实数m 的取值范围为：(12, +∞).故答案为：(12, +∞).11.【答案】(25, 34)【考点】分段函数的应用【解析】画出函数的图象，根据f(a)=f(b)=f(c)，不妨设a <b <c ，求出a +b +c 的范围即可．【解答】解：作出函数f(x)的图象如图，不妨设a <b <c ，则：b +c =2×12=24，a ∈(1, 10)，则a +b +c =24+a ∈(25, 34).故答案为：(25, 34).12.【答案】12【考点】平面向量的基本定理向量的共线定理【解析】由于B ，P ，N 三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数λ使得AP →=λAB →+(1−λ)AN →=λAB →+1−λ2AC →，又AP →=mAB →+14AC →，利用共面向量基本定理即可得出．解：∵ B ，P ，N 三点共线， ∴ 存在实数λ使得：AP →=λAB →+(1−λ)AN →=λAB →+1−λ2AC →，又AP →=mAB →+14AC →， ∴ {m =λ,14=1−λ2, 解得m =12． 故答案为：12.13.【答案】5√714【考点】数量积表示两个向量的夹角 向量的模【解析】用|a →|表示出a →∗(2a →−b →)，|2a →−b →|，代入夹角公式计算． 【解答】解：∵ |a →|=|b →|=|a →+b →|，∴ a →2=b →2=a →2+b →2+2a →⋅b →， ∴ a →⋅b →=−12a →2=−12b →2， ∴ (2a →−b →)2=4a →2+b →2−4a →⋅b →=7a →2， ∴ |2a →−b →|=√7|a →|， 又a →⋅(2a →−b →)=2a →2−a →⋅b →=52a →2， ∴ cos <a →，2a →−b →>=a →⋅(2a →−b →)|a →||2a →−b →| =52a →2|a →||√7a →|=5√714． 故答案为：5√714. 14.【答案】{−20, −16}【考点】利用导数研究函数的单调性 分段函数的应用根的存在性及根的个数判断因为y=sinx (x<1)与y=x有1个交点，故只需函数f(x)=x3−9x2+25x+a(x≥1)的图象与直线y=x有2个不同的公共点即可，只需g(x)=x3−9x2+24x+a(x≥1)与x轴有2个交点即可，【解答】解：因为y=sinx (x<1)与y=x有1个交点，故只需函数f(x)=x3−9x2+25x+a(x≥1)的图象与直线y=x有2个不同的公共点即可，令g(x)=x3−9x2+24x+a(x≥1)，g′(x)=3x2−18x+24=3(x2−6x+8)=3(x−2)(x−4)，当x∈(1, 2)，(4, +∞)时，g(x)单调递增；当x∈(2, 4)时，g(x)单调递减，依题意只需g(x)=x3−9x2+24x+a(x≥1)与x轴有2个交点即可，∵g(4)=16+a，g(1)=16+a，∴只需g(1)=16+a=0或g(2)=20+a=0，∴a=−20或a=−16．故答案为：{−20, −16}.二、解答题（共6小题，满分16分）【答案】证明：(1)在三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1 // CC1，因为AF⊥CC1，所以AF⊥BB1．又AE⊥BB1，AE∩AF=A，AE，AF⊂平面AEF，所以BB1⊥平面AEF．又因为BB1⊂平面BB1C1C，所以平面AEF⊥平面BB1C1C．(2)因为AE⊥BB1，AF⊥CC1，∠ABE=∠ACF，AB=AC，所以Rt△AEB≅Rt△AFC，所以BE=CF．又由(1)知，BE // CF，所以四边形BEFC是平行四边形，故BC // EF．又BC平面AEF，EF⊂平面AEF，所以BC // 平面AEF．【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）证明AF⊥BB1．结合AE⊥BB1，证明BB1⊥平面AEF．然后证明平面AEF⊥平面BB1C1C．（2）证明Rt△AEB≅Rt△AFC．所推出BE=CF．证明BC // EF．然后证明BC // 平面AEF．【解答】证明：(1)在三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1 // CC1，因为AF⊥CC1，所以AF⊥BB1．又AE⊥BB1，AE∩AF=A，AE，AF⊂平面AEF，所以BB1⊥平面AEF．又因为BB1⊂平面BB1C1C，所以平面AEF⊥平面BB1C1C．(2)因为AE⊥BB1，AF⊥CC1，∠ABE=∠ACF，AB=AC，所以Rt△AEB≅Rt△AFC，所以BE=CF．又由(1)知，BE // CF，所以四边形BEFC是平行四边形，故BC // EF．又BC平面AEF，EF⊂平面AEF，所以BC // 平面AEF．【答案】解：(1)在△ABC中，由正弦定理知asinA =bsinB=csinC=2R，又因为(2a−b)⋅cosC=c⋅cosB，所以2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC，即2sinAcosC=sinA，∵0<A<π，∴sinA>0，∴cosC=12，又0<C<π，∴C=π3.(2)∵S△ABC =12absinC=√34ab=√3，∴ab=4，又c2=a2+b2−2abcosC=(a+b)2−3ab=4，∴(a+b)2=16，∴a+b=4，∴周长为6．【考点】两角和与差的正弦公式解三角形余弦定理正弦定理三角函数值的符号【解析】（1）由正弦定理和三角恒等变换求得cosC与C的值；（2）利用三角形的面积公式和余弦定理求得a+b的值，再求周长．【解答】解：(1)在△ABC中，由正弦定理知asinA =bsinB=csinC=2R，又因为(2a−b)⋅cosC=c⋅cosB，所以2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC，即2sinAcosC=sinA，∵0<A<π，∴sinA>0，∴cosC=12，又0<C<π，∴C=π3.(2)∵ S △ABC =12absinC =√34ab =√3， ∴ ab =4 ，又c 2=a 2+b 2−2abcosC =(a +b)2−3ab =4，∴ (a +b)2=16，∴ a +b =4，∴ 周长为6．【答案】解：(1)根据题意：{2a =6,c a=√53, 解得a =3,c =√5，∴ b 2=a 2−c 2=4，∴ 椭圆C 的标准方程为x 29+y 24=1.(2)由椭圆的定义得：PF 1+PF 2=6，可得PF 2=2，设点P 到右准线的距离为d ，根据第二定义，得2d =√53， 解得：d =65√5．【考点】椭圆的标准方程椭圆的定义【解析】（1）由已知可得a ，再由离心率求得c ，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求； （2）由题意定义结合已知求得PF 2，再由椭圆的第二定义可得点P 到右准线的距离．【解答】解：(1)根据题意：{2a =6,c a =√53, 解得a =3,c =√5，∴ b 2=a 2−c 2=4，∴ 椭圆C 的标准方程为x 29+y 24=1.(2)由椭圆的定义得：PF 1+PF 2=6，可得PF 2=2，设点P 到右准线的距离为d ，根据第二定义，得2d =√53， 解得：d =65√5．【答案】解：(1)以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图：则A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, 1)，∵ E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点，∴ E(1,12,0)，F(0, 1, 12)，G(12,12,12)，∴ EF →=(−1, 12,12)， DG →=(12,−32,12)， 设EF 与DG 所成角为θ，则cosθ=|EF →⋅DG →||EF →|⋅|DG →|=233√66．∴ EF 与DG 所成角的余弦值为233√66．(2)设平面PBC 的法向量为n →=(x, y, z)，∵ BC →=(0, 1, 0)，PB →=(1, 0, −1)，∴ {n →⋅BC →=y =0,n →⋅PB →=x −z =0,取x =1，得n →=(1, 0, 1)，M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，若存在MN ，使得MN ⊥平面PBC ，则MN → // n →， 设M(x 1,y 1,z 1)，N(x 2, y 2, z 2)，则{x 2−x 1=z 2−z 1,y 2−y 1=0, ① ∵ 点M ，N 分别是线段EF 与DG 上的点，∴ EM →=λEF →,DN →=tDG →，∵ EM →=(x 1−1,y 1−12,z 1)，DN →=(x 2, y 2−2, z 2)， ∴ {x 1−1=−λ,y 1−12=12λ,z 1=12λ, 且{x 2=12t,y 2−2=−32t,z 2=12t, ② 把②代入①，得{−32t −12λ+32=0,12t +λ−1=12t −12λ, 解得{λ=23,t =79,∴ M(13,56,13)，N(718,56,718)． 【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离向量语言表述线面的垂直、平行关系【解析】（1）以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EF 与DG 所成角的余弦值．（2）求出平面PBC 的法向量，若存在MN ，使得MN ⊥平面PBC ，则MN → // n →，由此利用向量法能求出结果．【解答】解：(1)以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图：则A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, 1)，∵ E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点，∴ E(1,12,0)，F(0, 1, 12)，G(12,12,12)，∴ EF →=(−1, 12,12)， DG →=(12,−32,12)，设EF 与DG 所成角为θ，则cosθ=|EF →⋅DG →||EF →|⋅|DG →|=233√66．∴ EF 与DG 所成角的余弦值为233√66．(2)设平面PBC 的法向量为n →=(x, y, z)，∵ BC →=(0, 1, 0)，PB →=(1, 0, −1)，∴ {n →⋅BC →=y =0,n →⋅PB →=x −z =0,取x =1，得n →=(1, 0, 1)，M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，若存在MN ，使得MN ⊥平面PBC ，则MN → // n →，设M(x 1,y 1,z 1)，N(x 2, y 2, z 2)，则{x 2−x 1=z 2−z 1,y 2−y 1=0, ① ∵ 点M ，N 分别是线段EF 与DG 上的点，∴ EM →=λEF →,DN →=tDG →，∵ EM →=(x 1−1,y 1−12,z 1)，DN →=(x 2, y 2−2, z 2)， ∴ {x 1−1=−λ,y 1−12=12λ,z 1=12λ, 且{ x 2=12t,y 2−2=−32t,z 2=12t, ② 把②代入①，得{−32t −12λ+32=0,12t +λ−1=12t −12λ, 解得{λ=23,t =79, ∴ M(13,56,13)，N(718,56,718)． 【答案】(1)证明：假设数列c 1，c 2，c 3是等差数列，则2c 2=c 1+c 3，即2(a 2+b 2)=(a 1+b 1)+(a 3+b 3)．因为b 1，b 2，b 3是等差数列，所以2b 2=b 1+b 3．从而2a 2=a 1+a 3．又因为a 1，a 2，a 3是等比数列，所以a 22=a 1a 3．所以a 1=a 2=a 3，这与q ≠1矛盾，从而假设不成立．所以数列c 1，c 2，c 3不是等差数列．(2)解：因为a 1=1，q =2，所以a n =2n−1．因为c 22=c 1c 3，所以(2+b 2)2=(1+b 2−d)(4+b 2+d)，即b 2=d 2+3d ， 由c 2=2+b 2≠0，得d 2+3d +2≠0，所以d ≠−1且d ≠−2．又d ≠0，所以b 2=d 2+3d ，定义域为{d ∈R|d ≠−1, d ≠−2, d ≠0}．(3)解：假设数列c 1，c 2，c 3，c 4是等比数列，则c 2c 1=c 3c 2=c4c 3． 所以c 3−c 2c 2−c 1=c 4−c 3c 3−c 2，即a 3−a 2+d a2−a 1+d =a 4−a 3+d a 3−a 2+d ． 两边同时减1得，a 3−2a 2+a 1a 2−a 1+d =a 4−2a 3+a 2a 3−a 2+d ．因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q(q ≠1)，所以a 3−2a 2+a 1a 2−a 1+d =q(a 3−2a 2+a 1)a 3−a 2+d ．又a 3−2a 2+a 1=a 1(q −1)2≠0，所以q(a 2−a 1+d)=a 3−a 2+d ，即(q −1)d =0．这与q ≠1，且d ≠0矛盾，所以假设不成立．所以数列c 1，c 2，c 3，c 4不能为等比数列．【考点】等比数列的性质等比关系的确定等差关系的确定【解析】（1）运用反证法证明，假设数列c 1，c 2，c 3是等差数列，由中项性质，结合条件，推得a 1，a 2，a 3是等比数列也是等差数列，即可得证；（2）运用等比数列的通项公式、等差数列的通项公式，化简整理，可得所求解析式和定义域；（3）方法一、设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1，由条件可得首项与公比的方程组，化简变形可得b 1=0，d =0，即可判断结论；方法二、假设数列c 1，c 2，c 3，c 4是等比数列，推理论证，即可得到结论．【解答】(1)证明：假设数列c 1，c 2，c 3是等差数列，则2c 2=c 1+c 3，即2(a 2+b 2)=(a 1+b 1)+(a 3+b 3)．因为b 1，b 2，b 3是等差数列，所以2b 2=b 1+b 3．从而2a 2=a 1+a 3．又因为a 1，a 2，a 3是等比数列，所以a 22=a 1a 3．所以a 1=a 2=a 3，这与q ≠1矛盾，从而假设不成立．所以数列c 1，c 2，c 3不是等差数列．(2)解：因为a 1=1，q =2，所以a n =2n−1．因为c 22=c 1c 3，所以(2+b 2)2=(1+b 2−d)(4+b 2+d)，即b 2=d 2+3d ， 由c 2=2+b 2≠0，得d 2+3d +2≠0，所以d ≠−1且d ≠−2．又d ≠0，所以b 2=d 2+3d ，定义域为{d ∈R|d ≠−1, d ≠−2, d ≠0}．(3)解：假设数列c 1，c 2，c 3，c 4是等比数列，则c 2c 1=c 3c 2=c4c 3． 所以c 3−c 2c 2−c 1=c 4−c 3c 3−c 2，即a 3−a 2+d a2−a 1+d =a 4−a 3+d a 3−a 2+d ． 两边同时减1得，a 3−2a 2+a 1a 2−a 1+d =a 4−2a 3+a 2a 3−a 2+d ．因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q(q ≠1)，所以a 3−2a 2+a 1a 2−a 1+d =q(a 3−2a 2+a 1)a 3−a 2+d ．又a 3−2a 2+a 1=a 1(q −1)2≠0，所以q(a 2−a 1+d)=a 3−a 2+d ，即(q −1)d =0．这与q ≠1，且d ≠0矛盾，所以假设不成立．所以数列c 1，c 2，c 3，c 4不能为等比数列．【答案】解：(1)∵ F(x)=x 2+mx +1−e x ，∴ F′(x)=2x +m −e x ，∵ x ∈[0, 2]时，F(x)是增函数，∴ F′(x)≥0即2x +m −e x ≥0在[0, 2]上恒成立，即m ≥e x −2x 在[0, 2]恒成立，令ℎ(x)=e x −2x ，x ∈[0, 2]，则ℎ′(x)=e x −2，令ℎ′(x)=0，解得：x =ln2，∴ ℎ(x)在[0, ln2]递减，在[ln2, 2]递增，∵ ℎ(0)=1，ℎ(2)=e 2−4>1，∴ ℎ(x)max =ℎ(2)=e 2−4；(2)G(x)=x 2+mx+1e x ，则G′(x)=−(x−1)[x−(1−m)]e x， 对任意x 1，x 2∈[1, 1−m]，G(x 1)<H(x 2)恒成立，即证G(x)max ≤H(x)min ，∵ x ∈[1, 1−m]，∴G(x)在[1, 1−m]递增，G(x)max=G(1−m)=2−me1−m，∵H(x)在[1, 1−m]递减，H(x)min=H(1−m)=−14(1−m)+54，要证G(x)max≤H(x)min，即证2−me1−m ≤−14(1−m)+54，即证4(2−m)≤e1−m[5−(1−m)]，令1−m=t，则t∈(1, 2)，设r(x)=e x(5−x)−4(x+1)，x∈[1, 2]，即r(x)=5e x−xe x−4x−4，r′(x)=(4−x)e x−4≥2e x−4>0，∴r(x)在[1, 2]递增，∵r(1)=4e−8>0，∴e x(5−x)≥4(x+1)，从而有−14(1−m)+54≥2−me1−m，即当x∈[1, 1−m]，G(x1)<H(x2)恒成立．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用导数求函数的最值利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性函数的单调性与导数的关系【解析】（1）求出函数F(x)的导数，分离参数，问题转化为m≥e x−2x在[0, 2]恒成立，令ℎ(x)=e x−2x，x∈[0, 2]，根据函数的单调性求出m的范围即可；（2）问题转化为证G(x)max≤H(x)min，根据函数的单调性分别求出G(x)的最大值和H(x)的最小值，从而证出结论．【解答】解：(1)∵F(x)=x2+mx+1−e x，∴F′(x)=2x+m−e x，∵x∈[0, 2]时，F(x)是增函数，∴F′(x)≥0即2x+m−e x≥0在[0, 2]上恒成立，即m≥e x−2x在[0, 2]恒成立，令ℎ(x)=e x−2x，x∈[0, 2]，则ℎ′(x)=e x−2，令ℎ′(x)=0，解得：x=ln2，∴ℎ(x)在[0, ln2]递减，在[ln2, 2]递增，∵ℎ(0)=1，ℎ(2)=e2−4>1，∴ℎ(x)max=ℎ(2)=e2−4；(2)G(x)=x2+mx+1e x，则G′(x)=−(x−1)[x−(1−m)]e，对任意x1，x2∈[1, 1−m]，G(x1)<H(x2)恒成立，即证G(x)max≤H(x)min，∵x∈[1, 1−m]，∴G(x)在[1, 1−m]递增，G(x)max=G(1−m)=2−me1−m，∵H(x)在[1, 1−m]递减，H(x)min=H(1−m)=−14(1−m)+54，要证G(x)max≤H(x)min，即证2−me1−m ≤−14(1−m)+54，即证4(2−m)≤e1−m[5−(1−m)]，令1−m=t，则t∈(1, 2)，设r(x)=e x(5−x)−4(x+1)，x∈[1, 2]，即r(x)=5e x−xe x−4x−4，r′(x)=(4−x)e x−4≥2e x−4>0，∴r(x)在[1, 2]递增，∵r(1)=4e−8>0，∴e x(5−x)≥4(x+1)，从而有−14(1−m)+54≥2−me1−m，即当x∈[1, 1−m]，G(x1)<H(x2)恒成立．【选做题】本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【几何选讲】【答案】证明：(1)连接OC，如图，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵CA是∠BAF的角平分线，∴∠OAC=∠FAC，∴∠FAC=∠OCA，∴OC // AD．∵CD⊥AF，∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．(2)连接BC，如图：在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2=AM⋅MB，又∵DC是⊙O的切线，∴DC2=DF⋅DA．∵∠MAC=∠DAC，∠D=∠AMC，AC=AC，∴△AMC≅△ADC，∴DC=CM，∴ AM ⋅MB =DF ⋅DA .【考点】与圆有关的比例线段圆的切线的性质定理的证明圆的切线的判定定理的证明直线与圆的位置关系【解析】（1）证明DC 是⊙O 的切线，就是要证明CD ⊥OC ，根据CD ⊥AF ，我们只要证明OC // AD ；（2）首先，我们可以利用射影定理得到CM 2＝AM ⋅MB ，再利用切割线定理得到DC 2＝DF ⋅DA ，根据证明的结论，只要证明DC ＝CM ．【解答】证明：(1)连接OC ，如图，∵ OA =OC ，∴ ∠OAC =∠OCA ，∵ CA 是∠BAF 的角平分线，∴ ∠OAC =∠FAC ，∴ ∠FAC =∠OCA ，∴ OC // AD ．∵ CD ⊥AF ，∴ CD ⊥OC ，即DC 是⊙O 的切线．(2)连接BC ，如图：在Rt △ACB 中，CM ⊥AB ，∴ CM 2=AM ⋅MB ，又∵ DC 是⊙O 的切线，∴ DC 2=DF ⋅DA ．∵ ∠MAC =∠DAC ，∠D =∠AMC ，AC =AC ，∴ △AMC ≅△ADC ，∴ DC =CM ，∴ AM ⋅MB =DF ⋅DA .【矩阵与变换】【答案】解：(1)设M =[a b c d]， 则[a b c d ][112]=[94−2]， [a b c d ][01]=[−324]， 所以：{ a +12b =94,c +12d =−2,b =−32,d =4,解得：a =3，b =−32，c =−4，d =4．则M =[3−32−44]. (2)设矩阵M 的特征多项式为f(λ)，可得f(λ)=|λ−3324λ−4| =(λ−3)(λ−4)−6=λ2−7λ+6，令f(λ)=0，可得λ=1或λ=6,即矩阵M 的特征值为1或6.【考点】特征值与特征向量的计算矩阵的应用矩阵变换的性质【解析】（1）利用矩阵的对应运算关系求出结果．（2）利用矩阵的运算求出特征值．【解答】解：(1)设M =[a b c d]， 则[a b c d ][112]=[94−2]， [a b c d ][01]=[−324]， 所以：{ a +1b =9,c +12d =−2,b =−32,d =4,解得：a =3，b =−32，c =−4，d =4．则M =[3−32−44]. (2)设矩阵M 的特征多项式为f(λ)，可得f(λ)=|λ−3324λ−4|=(λ−3)(λ−4)−6=λ2−7λ+6，令f(λ)=0，可得λ=1或λ=6,即矩阵M 的特征值为1或6.【参数方程与极坐标】【答案】解：(1)∵ 直线l 的参数方程为{x =1+√22t,y =√22t （其中t 为参数），∴ 消去参数t ，得l 的普通方程x −y −1=0．∵ 曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，∴ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0，即x 2+(y −2)2=4．(2)设P(x, y)，M(x 0, y 0)，则x 02+(y 0−2)2=4，由于P 是OM 的中点，则x 0=2x ，y 0=2y ，所以(2x)2+(2y −2)2=4，得点P 的轨迹方程为x 2+(y −1)2=1，轨迹为以(0, 1)为圆心，1为半径的圆．圆心(0, 1)到直线l 的距离：d =√2=√2．所以点P 到直线l 的最小值为√2−1．【考点】直线一般参数方程化为标准参数方程圆的极坐标方程轨迹方程点到直线的距离公式【解析】（1）直线l 的参数方程消去参数t ，能求出l 的普通方程，由ρ=4sinθ，能求出曲线C 的直角坐标方程．（2）设P(x, y)，M(x 0, y 0)，则x 02+(y 0−2)2=4，P 是OM 的中点，从而点P 的轨迹方程为x 2+(y −1)2=1，圆心(0, 1)到直线l 的距离d =√2=√2．由此能求出点P 到直线l 的最小值．【解答】解：(1)∵ 直线l 的参数方程为{x =1+√22t,y =√22t （其中t 为参数），∴ 消去参数t ，得l 的普通方程x −y −1=0．∵ 曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，∴ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0，即x 2+(y −2)2=4．(2)设P(x, y)，M(x 0, y 0)，则x 02+(y 0−2)2=4，由于P 是OM 的中点，则x 0=2x ，y 0=2y ，所以(2x)2+(2y −2)2=4，得点P 的轨迹方程为x 2+(y −1)2=1，轨迹为以(0, 1)为圆心，1为半径的圆．圆心(0, 1)到直线l 的距离：d =√2=√2．所以点P到直线l的最小值为√2−1．。
南通市达标名校2018年高考四月大联考数学试卷含解析
南通市达标名校2018年高考四月大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（ ）．A ．15±B ．15-C ．15D ．75-2．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．123．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 4．已知函数()ln 2f x x ax =-，()242ln ax g x x x=-，若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根，则a的取值范围为（ ） A ．(]0,eB ．10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),e +∞D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ）A ．84-B ．84C ．280-D ．2806．已知平面α和直线a ，b ，则下列命题正确的是（ ）A ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αB ．若a b ⊥，b α⊥，则a ∥αC ．若a ∥b ，b α⊥，则a α⊥D ．若a b ⊥，b ∥α，则a α⊥7．若复数12z i =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为( ) A ．51-B ．51- C ．51+D ．51+ 8．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．324B ．522C ．535D ．5789．已知抛物线C ：()220y px p =>，直线()02p y k x k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭与C 分别相交于点A ，M 与C 的准线相交于点N ，若AM MN =，则k =（ ）A ．3B 22C ．22D ．1310．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 和2C 的离心率之32C 的渐近线方程为（ ） A ．20x y =B 20x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()11,P x y ，()11,Q x y --在椭圆C 上，其中1>0x ，10y >，若22PQ OF =，113QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A ．61⎡-⎢⎣⎭ B ．(62⎤⎦C ．2312⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．(31⎤⎦12．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年江苏省高考数学押题试卷Word版含解析
2018年江苏省高考数学押题试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上）1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B={x|1＜x≤3}，则A∪B= ．2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=1﹣bi，则（a+bi）8= ．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差s2= ．4．若双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），则该双曲线的虚轴长为．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．7．已知函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则该函数的解析式是．8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E﹣A1B1C1D1的体积为V1，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V2，则的值是．9．已知实数x ，y 满足，则的取值范围是 ．10．已知{a n }，{b n }均为等比数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，总有=，则= ．11．已知平行四边形ABCD 中．∠BAD=120°，AB=1，AD=2，点P 是线段BC 上的一个动点，则•的取值范围是 ．12．如图，已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）上有一个点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF ⊥BF ，当∠ABF=时，椭圆的离心率为 ．13．在斜三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若+=，则的最大值为 ．14．对于实数a ，b ，定义运算“□”：a□b=设f （x ）=（x ﹣4）□（x ﹣4），若关于x 的方程|f （x ）﹣m|=1（m ∈R ）恰有四个互不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．设α为锐角，且cos （α+）=．（1）求cos （）的值；（2）求cos （2α﹣）的值．16．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA=CB ，AA 1=AB ，D 是AB 的中点（1）求证：BC 1∥平面A 1CD ；（2）若点P 在线段BB 1上，且BP=BB 1，求证：AP ⊥平面A 1CD ．17．如图，直线l 是湖岸线，O 是l 上一点，弧是以O 为圆心的半圆形栈桥，C 为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D ，同时沿线段CD 和DP （点P 在半圆形栈桥上且不与点A ，B 重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为DP=DC ，∠CDP=60°且圆弧栈桥BP 在∠CDP 的内部，已知BC=2OB=2（km ），设湖岸BC 与直线栈桥CD ，DP 是圆弧栈桥BP 围成的区域（图中阴影部分）的面积为S （km 2），∠BOP=θ （1）求S 关于θ的函数关系式；（2）试判断S 是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值，若不存在，说明理由．18．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆（a＞b＞0）的离心率是e，定义直线y=为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为y=，长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：x2+y2=3的切线l，过点O且垂直于OP的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论．19．已知数列{an }满足2an+1=an+an+2+k（n∈N*，k∈R），且a1=2，a3+a5=﹣4．（1）若k=0，求数列{an }的前n项和Sn；（2）若a4=﹣1，求数列{an}的通项公式an．20．已知函数f（x）=e x（x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣4），其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）关于x的不等式f（x）＜﹣e x在（﹣∞，2）上恒成立，求a的取值范围；（2）讨论函数f（x）极值点的个数．2018年江苏省高考数学押题试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上）1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B={x|1＜x≤3}，则A∪B= {x|﹣1≤x≤3} ．【考点】1D：并集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用并集运算得答案．【解答】解：由x2﹣x﹣2≤0，解得﹣1≤x≤2．∴A={x|﹣1≤x≤2}，又集合B={x|1＜x≤3}，∴A∪B={x|﹣1≤x≤3}，故答案为：{x|﹣1≤x≤3}，2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=1﹣bi，则（a+bi）8= 16 ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数相等求得a，b的值，代入（a+bi）8，再由复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：由a+i=1﹣bi，得a=1，b=﹣1，从而（a+bi）8=（1﹣i）8=（﹣2i）4=16．故答案为：16．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差s2= ．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】求出数据的平均数，从而求出方差即可．【解答】解：数据160，162，159，160，159的平均数是：160，则该组数据的方差s2=（02+22+12+02+12）=，故答案为：．4．若双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），则该双曲线的虚轴长为 4 ．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据条件求出双曲线的标准方程即可得到结论．【解答】解：∵双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），∴2+4m=1，即4m=﹣1，m=﹣，则双曲线的标准范围为x2﹣=1，则b=2，即双曲线的虚轴长2b=4，故答案为：4．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为205 ．【考点】E5：顺序结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值，∵i+2=101时，满足条件，∴输出的S值为S=2×101+3=205．故答案为：205．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】利用列举法求出甲、乙两人各抽取1张的基本事件的个数和两人都中奖包含的基本事件的个数，由此能求出两人都中奖的概率．【解答】解：设一、二等奖各用A，B表示，另1张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB，AC，BA，BC，CA，CB共6个，其中两人都中奖的有AB，BA共2个，故所求的概率P=．故答案为：．7．已知函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则该函数的解析式是y=2sin（x+）．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图可知，A=2，由点（0，1）在函数的图象上，可得sinφ=，利用五点作图法可解得φ，又点（﹣，0）在函数的图象上，可得﹣ω+=kπ，k∈Z，进而解得ω，从而得解该函数的解析式．【解答】解：∵由图知A=2，y=2sin（ωx+φ），∵点（0，1），在函数的图象上，∴2sinφ=1，解得：sinφ=，∴利用五点作图法可得：φ=，∵点（﹣，0），在函数的图象上，可得：2sin（﹣ω+）=0，∴可得：﹣ω+=kπ，k∈Z，解得：ω=﹣，k∈Z，∵ω＞0，∴当k=0时，ω=，∴y=2sin（x+）．故答案为：y=2sin（x+）．8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E﹣A1B1C1D1的体积为V1，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V2，则的值是．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】连接B1D1∩A1C1=F，证明以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的，利用体积公式，即可得出结论．【解答】解：连接B1D1∩A1C1=F，平面A1BC1∩平面BDD1B1=BF，因为E∈平面A1BC1，E∈平面BDD1B1，所以E∈BF，连接BD，因为F是A1C1的中点，所以BF是中线，又根据B1F平行且等于BD，所以=，所以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的，所以V1=×BB1，而V2=×BB1，所以=．故答案为：．9．已知实数x，y满足，则的取值范围是[1，] ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到定点D（0，﹣1）的斜率，由图象知，AD的斜率最大，BD的斜率最小，此时最小值为1，由得，即A（1，），此时AD的斜率k==，即1≤≤，故的取值范围是[1，]故答案为：[1，]10．已知{a n }，{b n }均为等比数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，总有=，则= 9 ．【考点】8E ：数列的求和．【分析】设{a n }，{b n }的公比分别为q ，q′，利用=，求出q=9，q′=3，可得=3，即可求得结论．【解答】解：设{a n }，{b n }的公比分别为q ，q′，∵=，∴n=1时，a 1=b 1．n=2时，．n=3时，．∴2q ﹣5q′=3，7q′2+7q′﹣q 2﹣q+6=0， 解得：q=9，q′=3，∴．故答案为：9．11．已知平行四边形ABCD中．∠BAD=120°，AB=1，AD=2，点P是线段BC上的一个动点，则•的取值范围是[﹣，2] ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】以为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所述的直角坐标系，作AE⊥BC，垂足为E，求出A（，），D（，），设点P（x，0），0≤x≤2，根据向量的坐标运算以及向量的数量积的运算得到•=（x﹣）2﹣，根据二次函数的性质即可求出答案．【解答】解：以B为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所述的直角坐标系，作AE ⊥BC，垂足为E，∵∠BAD=120°，AB=1，AD=2，∴∠ABC=60°，∴AE=，BE=，∴A（，），D（，），∵点P是线段BC上的一个动点，设点P（x，0），0≤x≤2，∴=（x﹣，﹣），=（x﹣，﹣），∴•=（x﹣）（x﹣）+=（x﹣）2﹣，∴当x=时，有最小值，最小值为﹣，当x=0时，有最大值，最大值为2，则•的取值范围为[﹣，2]，故答案为：[﹣，2]．12．如图，已知椭圆+=1（a＞b＞0）上有一个点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足AF⊥BF，当∠ABF=时，椭圆的离心率为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的左焦点为F1，连结AF1，BF1，通过|AB|=|F1F|=2c，所以在Rt△ABF中，|AF|=2csin，|BF|=2ccos，由椭圆定义，转化求解离心率即可．【解答】解：设椭圆的左焦点为F1，连结AF1，BF1，由对称性及AF⊥BF可知，四边形AFBF1是矩形，所以|AB|=|F1F|=2c，所以在Rt△ABF中，|AF|=2csin，|BF|=2ccos，由椭圆定义得：2c（cos+sin）=2a，即：e====．故答案为：．13．在斜三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若+=，则的最大值为．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由+=可得， +=，通分化简，根据正弦定理及余弦定理在化简，利用基本不等式的性质求解．【解答】解：由+=可得， +=，即=，∴=，即=，∴sin2C=sinAsinBcosC．根据正弦定理及余弦定理可得，c2=ab•，整理得a2+b2=3c2，∴=≤=，当且仅当a=b时等号成立．故答案为．14．对于实数a，b，定义运算“□”：a□b=设f（x）=（x﹣4）□（x﹣4），若关于x的方程|f（x）﹣m|=1（m∈R）恰有四个互不相等的实数根，则实数m的取值范围是（﹣1，1）∪（2，4）．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】根据新定义得出f（x）的解析式，作出f（x）的函数图象，则f（x）与y=m±1共有4个交点，根据图象列出不等式组解出．【解答】解：解不等式x﹣4≤﹣4得x≥0，f（x）=，画出函数f（x）的大致图象如图所示．因为关于x的方程|f（x）﹣m|=1（m∈R），即f（x）=m±1（m∈R）恰有四个互不相等的实数根，所以两直线y=m±1（m∈R）与曲线y=f（x）共有四个不同的交点，∴或或，解得2＜m＜4或﹣1＜m＜1．故答案为（﹣1，1）∪（2，4）．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．设α为锐角，且cos（α+）=．（1）求cos（）的值；（2）求cos（2α﹣）的值．【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】（1）由已知及同角三角函数基本关系式可求sin（α+），利用诱导公式即可得解cos（）的值．（2）利用诱导公式可求sin（），由2α=（α+）﹣（），利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵α为锐角，∴α+∈（，）．又cos（α+）=，故sin（α+）=，…4分∴cos（）=cos[﹣（α+）]=sin（α+）=，…6分（2）又sin（）=﹣sin[﹣（α+）]=﹣cos（α+）=﹣，…8分故cos（2α）=cos[（α+）﹣（）]=cos（α+）cos（）﹣sin（α+）sin（）=×﹣×（﹣）=…14分16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：AP⊥平面A1CD．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD，由O为AC1的中点，D是AB的中点，可得OD∥BC1，即可证明BC1∥平面A1CD．（2）法一：设AB=x，则证明△ABP∽△ADA1，可得AP⊥A1D，又由线面垂直的性质可得CD⊥AP，从而可证AP⊥平面A1CD；法二：由题意，取A1B1的中点O，连接OC1，OD，分别以OC1，OA1，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA1=a，OC1=b，由题意可得各点坐标，可求=（b，﹣a，2），=（0．﹣a，2），=（0，﹣2a，﹣），由•=0，•=0，即可证明AP⊥平面A1CD．【解答】证明：（1）如图，连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O为AC1的中点，∵D是AB的中点，∴△ABC1中，OD∥BC1，又∵OD⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．（2）法一：由题意，设AB=x，则BP=x，AD=x，A1A=x，由于=，∴△ABP∽△ADA1，可得∠BAP=∠AA1D，∵∠DA1A+∠ADA1=90°，可得：AP⊥A1D，又∵CD⊥AB，CD⊥BB1，可得CD⊥平面ABA1B1，∴CD⊥AP，∴AP⊥平面A1CD．法二：由题意，取A1B1的中点O，连接OC1，OD，分别以OC1，OA1，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA1=a，OC1=b，则：由题意可得各点坐标为：A1（0，a，0），C（b，0，2a），D（0，0，2），P（0，﹣a，），A（0，a，2），可得： =（b，﹣a，2），=（0．﹣a，2），=（0，﹣2a，﹣），所以：由•=0，可得：AP⊥A1C，由•=0，可得：AP⊥A1D，又：A1 C∩A1D=A1，所以：AP⊥平面A1CD17．如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l 上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP（点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为DP=DC，∠CDP=60°且圆弧栈桥BP在∠CDP 的内部，已知BC=2OB=2（km），设湖岸BC与直线栈桥CD，DP是圆弧栈桥BP围成的区域（图中阴影部分）的面积为S（km2），∠BOP=θ（1）求S关于θ的函数关系式；（2）试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值，若不存在，说明理由．【考点】HN ：在实际问题中建立三角函数模型．【分析】（1）根据余弦定理和和三角形的面积公式，即可表示函数关系式，（2）存在，存在，S′=（3cosθ+3sinθ﹣1），根据两角和差的余弦公式即可求出．【解答】解：（1）在△COP 中，CP 2=CO 2+OP 2﹣2OC •OPcosθ=10﹣6cosθ，从而△CDP 得面积S △CDP =CP 2=（5﹣3cosθ），又因为△COP 得面积S △COP =OC •OP=sinθ，所以S=S △CDP +S △COP ﹣S 扇形OBP=（3sinθ﹣3cosθ﹣θ）+，0＜θ＜θ0＜π，cosθ0=，当DP 所在的直线与半圆相切时，设θ取的最大值为θ0，此时在△COP 中，OP=1，OC=3，∠CPO=30°，CP==6sinθ0，cosθ0=，（2）存在，S′=（3cosθ+3sinθ﹣1），令S′=0，得sin （θ+）=，当0＜θ＜θ0＜π，S′＞0，所以当θ=θ0时，S 取得最大值，此时cos （θ0+）=﹣，∴cosθ0=cos[（θ0+）﹣]=cos （θ0+）cos+sin （θ0+）sin=18．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆（a ＞b ＞0）的离心率是e ，定义直线y=为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y=，长轴长为4．（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 在椭圆C 的“类准线”上（但不在y 轴上），过点P 作圆O ：x 2+y 2=3的切线l ，过点O 且垂直于OP 的直线l 交于点A ，问点A 是否在椭圆C 上？证明你的结论． 【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意列关于a ，b ，c 的方程，联立方程组求得a 2=4，b 2=3，c 2=1，则椭圆方程可求；（2）设P （x 0，2）（x 0≠0），当x 0=时和x 0=﹣时，求出A 的坐标，代入椭圆方程验证知，A 在椭圆上，当x 0≠±时，求出过点O 且垂直于0P 的直线与椭圆的交点，写出该交点与P 点的连线所在直线方程，由原点到直线的距离等于圆的半径说明直线是圆的切线，从而说明点A 在椭圆C 上．【解答】解：（1）由题意得： ==2，2a=4，又a 2=b 2+c 2，联立以上可得： a 2=4，b 2=3，c 2=1．∴椭圆C 的方程为+y 2=1；（2）如图，由（1）可知，椭圆的类准线方程为y=±2，不妨取y=2，设P （x 0，2）（x 0≠0），则k OP =，∴过原点且与OP 垂直的直线方程为y=﹣x ，当x 0=时，过P 点的圆的切线方程为x=，过原点且与OP 垂直的直线方程为y=﹣x ，联立，解得：A （，﹣），代入椭圆方程成立；同理可得，当x 0=﹣时，点A 在椭圆上；当x 0≠±时，联立，解得A 1（，﹣），A 2（﹣，），PA 1所在直线方程为（2+x 0）x ﹣（x 0﹣6）y ﹣x 02﹣12=0．此时原点O到该直线的距离d==，∴说明A点在椭圆C上；同理说明另一种情况的A也在椭圆C上．综上可得，点A在椭圆C上．19．已知数列{an }满足2an+1=an+an+2+k（n∈N*，k∈R），且a1=2，a3+a5=﹣4．（1）若k=0，求数列{an }的前n项和Sn；（2）若a4=﹣1，求数列{an}的通项公式an．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）若k=0，则数列{an }满足2an+1=an+an+2（n∈N*，k∈R），则数列{an}是等差数列，利用等差数列的前n项和公式即可得出．（2）2an+1=an+an+2+k（n∈N*，k∈R），a3+a5=﹣4，a4=﹣1，可得2a4=a3+a5+k，k=2．数列{an}满足2an+1=an+an+2+2，利用递推关系可得：2（an+1﹣an）=（an﹣an﹣1）+（an+2﹣an+1），令bn=an+1﹣an，则2bn =bn﹣1+bn+1．数列{bn}是等差数列，即可得出．【解答】解：（1）若k=0，则数列{an }满足2an+1=an+an+2（n∈N*，k∈R），∴数列{an}是等差数列，设公差为d，∵a1=2，a3+a5=﹣4．∴2×2+6d=﹣4，解得d=．∴Sn=2n×=．（2）2an+1=an+an+2+k（n∈N*，k∈R），a3+a5=﹣4，a4=﹣1，则2a4=a3+a5+k，﹣2=﹣4+k，解得k=2．数列{a n }满足2a n+1=a n +a n+2+2， 当n ≥2时，2a n =a n ﹣1+a n+1+2，相减可得：2（a n+1﹣a n ）=（a n ﹣a n ﹣1）+（a n+2﹣a n+1）， 令b n =a n+1﹣a n ， 则2b n =b n ﹣1+b n+1．∴数列{b n }是等差数列，公差=b 4﹣b 3=（a 5﹣a 4）﹣（a 4﹣a 3）=﹣2． 首项为b 1=a 2﹣a 1，b 2=a 3﹣a 2，b 3=a 4﹣a 3， 由2b 2=b 1+b 3，可得2（a 3﹣a 2）=a 2﹣2﹣1﹣a 3， 解得3（a 3﹣a 2）=﹣3，b 2=a 3﹣a 2=﹣1． ∴b n =b 2+（n ﹣2）（﹣2）=﹣2n+3． ∴a n+1﹣a n =﹣2n+3．∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1 =[﹣2（n ﹣1）+3]+[﹣2（n ﹣2）+3]+…+（﹣2+3）+2=+2=﹣n 2+4n ﹣1．20．已知函数f （x ）=e x （x 3﹣2x 2+（a+4）x ﹣2a ﹣4），其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．（1）关于x 的不等式f （x ）＜﹣e x 在（﹣∞，2）上恒成立，求a 的取值范围； （2）讨论函数f （x ）极值点的个数．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；3R ：函数恒成立问题．【分析】（1）原不等式转化为所以a ＞﹣（x ﹣2）2，根据函数的单调性即可求出a 的范围， （2）先求导，再构造函数，进行分类讨论，利用导数和函数的极值的关系即可判断．【解答】解：（1）由f （x ）＜﹣e x ，得e x （x 3﹣2x 2+（a+4）x ﹣2a ﹣4）＜﹣e x ， 即x 3﹣6x 2+（3a+12）x ﹣6a ﹣8＜0对任意x ∈（﹣∞，2）恒成立， 即（6﹣3x ）a ＞x 3﹣6x 2+12x ﹣8对任意x ∈（﹣∞，2）恒成立，因为x ＜2，所以a ＞=﹣（x ﹣2）2，记g（x）=﹣（x﹣2）2，因为g（x）在（﹣∞，2）上单调递增，且g（2）=0，所以a≥0，即a的取值范围为[0，+∞）；（2）由题意，可得f′（x）=e x（x3﹣x2+ax﹣a），可知f（x）只有一个极值点或有三个极值点．令g（x）=x3﹣x2+ax﹣a，①若f（x）有且仅有一个极值点，则函数g（x）的图象必穿过x轴且只穿过一次，即g（x）为单调递增函数或者g（x）极值同号．（ⅰ）当g（x）为单调递增函数时，g′（x）=x2﹣2x+a≥0在R上恒成立，得a≥1．（ⅱ）当g（x）极值同号时，设x1，x2为极值点，则g（x1）•g（x2）≥0，由g′（x）=x2﹣2x+a=0有解，得a＜1，且x12﹣2x1+a=0，x22﹣2x2+a=0，所以x1+x2=2，x1x2=a，所以g（x1）=x13﹣2x12﹣2+ax1﹣a=x1（2x1﹣a）﹣x1+ax1﹣a=﹣（2x1﹣a）﹣ax1+ax1﹣a= [（a﹣1）x1﹣a]，同理，g（x2）= [（a﹣1）x2﹣a]，所以g（x1）g（x2）= [（a﹣1）x1﹣a]• [（a﹣1）x2﹣a]≥0，化简得（a﹣1）2x1x2﹣a（a﹣1）（x1+x2）+a2≥0，所以（a﹣1）2a﹣2a（a﹣1）+a2≥0，即a≥0，所以0≤a＜1．所以，当a≥0时，f（x）有且仅有一个极值点；②若f（x）有三个极值点，则函数g（x）的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得a＜0．综上，当a≥0时，f（x）有且仅有一个极值点，当a＜0时，f（x）有三个极值点．。
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江苏省南通市2018届四星级高中数学高考押题卷参考答案一、填空题1．3； 2.1-； 3.3200; 4.3; 5.3441≤≤m ; 6.3π或32π; 7.35; 8.（4,8）;9.21; 10. 6π; 11.（0,2）; 123312a a <-<<或.; 13. 15; 14.2.二、解答题15. 解：（1）由正弦定理有：12sin sin sin()33BC ABx x ππ==-；…………………………2分 ∴1sin 2sin3BC x π=，sin()32sin 3x AB ππ-=…………………………………………4分 ∴41()sin sin()332f x AB BC x x π=∙=⋅-⋅21sin )sin 32x x x =-11sin(2)(0)3663x x ππ=+-<< ……………………………………… 6分 （2）()6()1g x mf x =+=2sin(2)1(0)63m x m x ππ+-+<<假设存在实数m 符合题意，(0,)3x π∈∴512sin(2)(,1]66662x x ππππ<+<+∈，则 ……………………9分 当0m >时， ()2sin(2)16g x m x m π=+-+的值域为(1,1]m +又()g x 的值域为3(1,]2，解得 12m = ………………11分当0m <时，()2sin(2)16g x m x m π=+-+ 的值域为[1,1)m +又∵()g x 的值域为3(1,]2 解得m 无解………………………13分∴存在实数12m =，使函数)(x f 的值域恰为3(1,]2……………14分16．解：（1）1111111111ABCD AC D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-1111110402222,3233AA AA AA =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯==14AA ∴=.…………………5分（2）在平面11CC D D 中作11D Q C D ⊥交1CC 于Q ，过Q 作//QP CB 交1BC 于点P ，则11A P C D ⊥ (7)分 因为1111111111,,A D CC D D C D CC D D C D A D ⊥⊂∴⊥平面平面，而1111//,//,//QP CB CB A D QP A D ∴， 又1111111,A D D Q D C D A PQC =∴⊥平面， 且11111,A P A PQC A P C D ⊂∴⊥平面.………………………………………10分 11D C Q ∆∽11111111,,1,//,42C QD C Rt C CD C Q PQ BC PQ BC CD C C∆∴=∴=∴==又.11A PQD 四边形为直角梯形，且高112D Q A P =∴==.……14分17. 解：（1）10cos EH θ=，10sin FH θ=…………2分θθcos sin 10=EF ………………………………4分由于10tan BE θ=⋅≤，10tan AF θ=≤tan θ≤≤[,]63ππθ∈…………………………5分 101010cos sin sin cos L θθθθ=++⋅ ， [,]63ππθ∈.………………6分(2) 2cos sin =+θθ时，21cos sin ==θθ,…………………………8分)12(20+=L ;…………………………………………10分（3）101010cos sin sin cos L θθθθ=++⋅=sin cos 110()sin cos θθθθ++⋅A 1DD 1C 1 ACPQ B设sin cos t θθ+= 则21sin cos 2t θθ-⋅=………………………………12分 由于[,]63ππθ∈，所以sin cos )4t πθθθ=+=+∈ …14分201L t =-在1[2内单调递减，于是当12t =时,63ππθθ==时 L的最大值1)米. ………………………………………………15分答：当6πθ=或3πθ=时所铺设的管道最短，为1)米.……………16分18.（1）设圆方程为022=++++F Ey Dx y x ，则圆心)2,2(ED C --，且PC 的斜率为-1……………………2分 所以⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=----+=-=++=++120222202401m D E m D F D F E ……………………6分解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-===3651m F E D ，所以圆方程为06522=-+++y x y x ……………………8分（2）①CP CA CP CB ⋅=⋅AB CP AB CP CB CA CP ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔00)(，所以AB 斜率为1…………………12分②设直线AB 方程为t x y +=，代入圆C 方程得065)62(222=-++++t t x t x设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=--=+<<-⇔>∆265337022121t t x x t x x t原点O 在以AB 为直径的圆的内部，即002121<+⇔<⋅y y x x ………………14分 整理得，17170622-<<--⇔<-+t t t …………………16分19． 解：（1）53(1)(1)22n x n n =-+-⨯-=--1353533,(,3)4424n n n y x n P n n ∴=⋅+=--∴---- ……………4分（2）n c 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为n P ．∴设n c 的方程为223125(),24n n y a x ++=+- 把)1,0(2+n D n 代入上式，得1=a ，n c ∴的方程为：22(23)1y x n x n =++++．32|0'+===n y k x n ，111111()(21)(23)22123n nk k n n n n -∴==-++++12231111n n k k k k k k -∴+++1111111[()()()]257792123n n =-+-++-++ =111111()252310461015n n n n --=-=+++. ……………10分 （3）{|(23),,1}N S x x n n n ==-+∈≥，{|(125),,1}N T y y n n n ==-+∈≥{|2(61)3,,1}N y y n n n ==-+-∈≥ ,S T T ∴=T 中最大数117a =-．设}{n a 公差为d ，则10179(265,125)a d =-+∈--，由此得：*24812,12()9N n d a T d m m -<<-∈∴=-∈又 *24,724()N n d a n n ∴=-∴=-∈ …………………………16分20．解：（1）设()2g x ax bx c =++，于是()()()()2211212212g x g x a x c x -+-=-+=--，所以11.a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，又()11g =-，则12b =-．所以()211122g x x x =--. ……………………4分（2）()2191()ln ln (0).282f x g x m x x m x m x =+++=+∈>R ，当m >0时，由对数函数性质，f （x ）的值域为R ；当m =0时，2()02x f x =>对0x ∀>，()0f x >恒成立； ……………………6分 当m <0时，由()0mf xx x x'=+=⇒[]min ()2mf x f m ==-+这时， []min 0()0e<0.20mm f x m m ⎧-+⎪>⇔⇒-<⎨⎪<⎩，……………………8分 所以若0x ∀>，()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是(e 0]-，. 故0x ∃>使()0f x ≤成立，实数m 的取值范围()(,e]0-∞-+∞，．……………… 10分（3）因为对[1]x m ∀∈，，(1)()()0x x m H x x--'=≤，所以()H x 在[1,]m 内单调递减.于是21211|()()|(1)()ln .22H x H x H H m m m m -≤-=--2121113|()()|1ln 1ln 0.2222H x H x m m m m m m -<⇐--<⇔--< ………………… 12分记13()ln (1e)22h m m m m m=--<≤，则()221133111()022332h'm m m m =-+=-+>，所以函数13()ln 22h m m m m =--在(1e]，是单调增函数， ………………… 14分所以()()e 3e 1e 3()(e)1022e 2eh m h -+≤=--=<，故命题成立.………………… 16分附加题参考答案21 A.⑴BE 平分∠ABC . ………1分 ∵CD ＝AC ，∴∠D=∠CAD . ∵AB ＝AC ，∴∠ABC=∠ACB∵∠EBC=∠CAD ，∴∠EBC=∠D=∠CAD . ……………………4分 ∵∠ABC=∠ABE+∠EBC ，∠ACB=∠D+∠CAD ，∴∠ABE=∠EBC ，即BE 平分∠ABC . ……………………6分 ⑵由⑴知∠CAD=∠EBC =∠ABE .∵∠AEF=∠AEB ，∴△AEF ∽△BEA . ……………………8分∴AEEFBE AE =，∵AE =6， BE=8. ∴EF=298362==BE AE . ……………………10分 21B 、解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c ＋d ＝6； ………………………………………3分由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，即3c －2d ＝－2， …………………………………………6分解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 4， …………………………8分 A 逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 23 －12－13 1221C ．解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y y +-=，即22(2)4x y +-=，它表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆，…………………………4分直线方程l 的普通方程为1y +，………………………………6分圆C 的圆心到直线l 的距离21=d ，…………………………………………………8分 故直线l 被曲线C 截得的线段长度为15)21(2222=-． …………………10分21D ．因为2220x y xy +≥≥所以()()()3322x y x y x xy y xy x y +=+-+≥+ …………………4分 同理()33y z yz y z +≥+,()33z x zx z x +≥+ …………………6分 三式相加即可得()()()()3332x y z xy x y yz y z zx z x ++≥+++++ 又因为()()()()()()222xy x y yz y z zx z x x y z y x z z x y +++++=+++++ 所以()()()()3332222x y z x y z y x z z x y ++≥+++++ …………10分22、(Ⅰ)这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率为111515203401C C C P C =- …………………………………………4分 419494=…………………………………………5分 (Ⅱ)由题意知0,1,2ξ=22251520024061156C C C P C ++==……………………………………6分 11115151520124075156C C C C P C +==……………………………………7分 115202240539C C P C ==……………………………………8分ξ的分布列：ξ的数学期望:6175511501215615639156E ξ=⨯+⨯+⨯= …………12分 23.（1）因为)2(A )]!1()1[()!1()!(!A 11n k n k n n n k n n k n k n ≤≤=----⋅=-=--，所以当2≥n 时，n n a n 1=)A A A (21n n n n +++ =)]A A ([11111---+++n n n n n n n111111)A A (1----+=+++=n n n n a .所以na a nn =+-11． ………………………………………………………………4分 （2）由（1）得1111---=+n n n n na a a a ，即1111--=+n n n na a a ， 所以3241231231111(1)(1)(1)(1)234n a a a a a a a a a a +⋅+⋅+⋅⋅+=⋅⋅…nn a n a )1(1++11(1)!(1)!n a n n +==++)A A A (112111+++++++n n n n+-+=)!1(1!1n n …1112!1!+++11(1)(1)(2)n n n n ≤++--- (2211)+⨯++-+-+--=)2111()111(n n n n …2)211(+-+ n13-=． ………………………………………………………………10分［另法：可用数学归纳法来证明+-+)!1(1!1n n …111132!1n +++≤-！］。