初中数学奥林匹克竞赛题及答案

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初三数学奥林匹克竞赛题及答案

初三数学奥林匹克竞赛题及答案已知3a^2-10ab+8b^2+5a-10b=0，求……已知实数a、b满足3a^2-10ab+8b^2+5a-10b=0，求u=9a^2+72b+2的最小值答案：分解因式(a-2b)(3a-4b)+5a-10b=0即(a-2b)(3a-4b+5）=0从而a=2b或4b=3a+5带入u就可做了。

a=2b的u=-344b=3a+5的u=11即u最小为-34***从1，2，3，4……2010这2010个正整数中，最多有多少个数，可以在这些数中任选三个数的乘积都能被33整除？答案：33的倍数共有60个所以{3，11，33，66，99……1980,任意一个数}所以最多63个数***(1)五位数 abcde 满足下列条件它的各位数都不为0(2)它是一个完全平方数(3)它的万位上的数字 a 和 bc de 都是完全平方数求所有满足上诉条件的5位数***怎样的四个点可以共圆，初三奥数题这题奥数题的答案说。

∠APB=∠BQR=90°，∴BQRP四点共圆，这是为什么？？这是因数四边形BQRP的两个对角BRP和PBQ的和是90°依据是对角互补的四边形是圆内接四边形！***如图，圆O中，AB,AC为切线分别切圆与D,E且BC过O点，F为弧DE 上一点，过F作圆O的切线交AB,AC于M,N。

求证，△MBO∽OCN答案：少一个条件：AB=AC（△MBO∽△OCN 就意味着∠B=∠C，但是题目只说BC过O）1) 显然∠DOB=90°-∠B，∠EOC=90°-∠C，于是∠DOE=180°-(∠DOB+∠EOC)=∠B+∠C=2∠B2) 显然∠DOM=∠FOM，∠EON=∠FON，于是∠DOE=∠DOM+∠FOM+∠EON+∠FON=2(∠FOM+∠FON)=2∠MON3) 比较1)、2)的结论可知∠MON=∠B=∠C4) 根据3)的结论，以及∠BMO=∠OMN可知△MBO∽△MON5) 根据3)的结论，以及∠CNO=∠ONM可知△OCN∽△MON6) 由4)、5)的结论可知△MBO∽△OCN证毕***绝对值用（）表示。

初一数学奥林匹克竞赛题(含标准答案)

初一数学奥林匹克竞赛题（含答案）初一奥数题一甲多开支100元，三年后负债600元．求每人每年收入多少？S的末四位数字的和是多少？4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程．5．求和：6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数．8．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除．9．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半．解答：所以x=5000(元)．所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24．3．因为a-b≥0，即a≥b．即当b≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立．4．设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则有由②有2x+y=20，③由①有y=12-x．将之代入③得 2x+12-x=20．所以x=8(千米)，于是y=4(千米)．5．第n项为所以6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r 为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r 知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．所以，r一定不是合数．7．设由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)．可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q．(1)若m=1时，有解得p=1，q=1，与已知不符，舍去．(2)若m=2时，有因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解．(3)若m=3时，有解之得故 p＋q=8．8．因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由题设，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy ＋y2)，从而3｜(x-y)2．因为3是质数，故3｜(x-y)．进而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x．9．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以上述两式相加另一方面，S△PCD =S△CND＋S△CNP＋S△DNP．因此只需证明S△AND ＝S△CNP＋S△DNP．由于M，N分别为AC，BD的中点，所以S△CNP =S△CPM-S△CMN=S△APM-S△AMN=S△ANP．又S△DNP =S△BNP，所以S△CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND．初一奥数题二1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值．2．某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件．试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？3．如图1－96所示．已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°．求证：DA⊥AB．4．已知方程组的解应为一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为求a2＋b2＋c2的值．5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解．6．王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为5.22％)7．对k，m的哪些值，方程组至少有一组解？8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整数解．9．小王用5元钱买40个水果招待五位朋友．水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？解答：1．原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x×1＋3×1-2x+2000=2003．2．原来每天可获利4×100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4＋x)元，但每天卖出为(100-10x)件．如果设每天获利为y元，则y ＝(4＋x)(100-10x)=400＋100x-40x-10x2=-10(x2-6x＋9)＋90＋400=-10(x-3)2＋490．所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大，为490元．3．因为CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°(图1－104)，所以∠ADC＋∠BCD=180°，所以AD∥BC．①又因为 AB⊥BC，②由①，② AB⊥AD．4．依题意有所以a2+b2+c2=34．5．｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即｜x｜(｜y｜-2)+(｜y｜-2)=2，所以(｜x｜+1)(｜y｜-2)=2．因为｜x｜＋1＞0，且x，y都是整数，所以所以有6．设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则因为y=35000-x，所以 x(1＋0.0711×3)(1＋0.0522)2+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，所以 1.3433x＋48755-1.393x=47761，所以 0.0497x=994，所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)．7．因为 (k－1)x＝m-4，①m为一切实数时，方程组有唯一解．当k=1，m=4时，①的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解．当k=1，m≠4时，①无解．所以，k≠1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组至少有一组解．8．由题设方程得z＝3m-y．x=19-y-4(3m-y)-m =19+3y-13m．原方程的通解为其中n，m取任意整数值．9．设苹果、梨子、杏子分别买了x，y，z个，则消去y，得12x-5z=180．它的解是x=90-5t，z=180-12t．代入原方程，得y=-230＋17t．故x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t．x=20，y=8，z=12．因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有1＋2＋3+4＋5＋6=21＞20个．初一奥数题三1．解关于x的方程2．解方程其中a＋b＋c≠0．3．求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和．4．液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72％，求桶的容量．5．满足[-1.77x]=-2x的自然数x共有几个？这里[x]表示不超过x的最大整数，例如[-5.6]=-6，[3]=3．6．设P是△ABC内一点．求：P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围．7．甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过9小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离．8．黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这样继续下去，最后得到19，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2？9．设有n个实数x1，x2，…，xn，其中每一个不是+1就是-1，且求证：n是4的倍数．解答：1．化简得6(a-1)x=3-6b+4ab，当a≠1时，2．将原方程变形为由此可解得x=a＋b+c．3．当x=1时，(8-6+4-7)3(2-1)2=1．即所求展开式中各项系数之和为1．依题意得去分母、化简得7x2-300x+800=0，即7x-20)(x-40)=0，5．若n为整数，有[n＋x]=n＋[x]，所以[-1.77x]=[-2x＋0.23x]=-2x+[0.23x]．由已知[-1.77x]=-2x，所以-2x=-2x+[0.23x]，所以 [0.23x]=0．又因为x为自然数，所以0≤0.23x＜1，经试验，可知x可取1，2，3，4，共4个．6．如图1－105所示．在△PBC中有BC＜PB＋PC，①延长BP交AC于D．易证PB＋PC＜AB＋AC．②由①，② BC＜PB＋PC＜AB+AC，③同理 AC＜PA＋PC＜AC＋BC，④AB＜PA＋PB＜AC＋AB．⑤③＋④＋⑤得AB＋BC＋CA＜2(PA＋PB＋PC)＜2(AB＋BC＋CA)．所以7．设甲步行速度为x千米/小时，乙步行速度为y千米/小时，则所求距离为(9x+16y)千米．依题意得由①得16y2=9x2，③由②得16y=24＋9x，将之代入③得即 (24＋9x)2=(12x)2．解之得于是所以两站距离为9×8＋16×6=168(千米)．8．答案是否定的．对于2，2，2，首先变为2，2，3，其中两个偶数，一个奇数．以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数(数值可以改变，但奇偶性不变)，所以，不可能变为19，1997，1999这三个奇数．。

初中数学奥林匹克竞赛试卷答案0001

中数学奥林匹克竞赛试卷参考答案一、选择题1、 C解：因为0-(0-1999)=0-0+1999=1999，所以选（C ）．2、 D解：可用特殊值法．21是正有理数，而21<1，否定(A)．-21是负有理数，而-1<-21，否定(B)．0既不是正数，也不是负数，否定(C)．非正整数集是{…，-n ，…，-3，-2，-1，0}，其中最大元素是0，所以选(D )．3、 C解：有理数的偶次方得非负数．即可排除(A)(B)．a <0而a 的偶次方是正数，正数的奇次方是正数，所以排除(D)，因此应选(D)．事实上a <0，a 的奇次方是负数，负数的奇次方仍是负数，所以选(C)．4、 C解：最小的自然数是0，所以a =0．-1是最大的负整数，故b =-1．0是绝对值最小的有理数，c =0．因此，a -b+c =0- (-1)+0=1．选 (C)．5、 B解：将每个数都加1，大小次序不变．98119897,19981119981997=+-=+-． 99119998,19991119991998=+-=+-． ∵9819911999119991<<<． ∴989799981998199719991998-<-<-<-．6、 A解：用特殊值法．取a =0．易知C 、D 均不成立．而当a = -1，b =0，c =1时，(B)不成立，因此选(A)．事实上，a <b ，对任意整数c ，都有a+c <b+c ．7、 C解：因为|a+b+1|≥0，（a-b+1）2≥0 且|a+b +1|与（a -b +1）2互为相反数，所以只能是|a+b+1|=（a -b+1）2=0∴ ⎩⎨⎧=+-=++0101b a b a 即⎩⎨⎧=-=01b a 所以选(C)．8、 C解：根据相反数的定义，19991的相反数是19991-．选(C)．9、 A解：由绝对值定义|x -a|≥0，|y -b|≥0，|z -c |≥0．而已知|x -a|+|y -b|+|z -c|=0，则当且仅当|x -a|=0，|y -b|=０，|z -c|=0，时成立，所以x=a 且y=b 且z=c ，已知a ，b ，c 均为负数，则x ，y ，z 均为负数，因此xyz 是负数．选（A ）．10、 C解： ∵|a |2=1，∴a =±1，于是当a =1时，1=a a ．当a =-1时，||a a =±1．选(C)．11、 C解：易知(A)、(B)、(D)均正确．而21-是负有理数，其相反数是21，并不是正整数．所以(C)不正确．12、 C 解：19991的相反数是-19991．选(C)．13、 D解：由题意将A ，B ，C ，D 标在数轴上，易知c <d 1，则q 2>q ，若有理数0<q <1，则q 2<q ．若有理数为0，则02=0，若有理数为1，则12=1．若有理数q <0，而q 2>0，则q 2>q ．所以，一个有理数的平方比原数大，那么这个有理数是负数或大于1的正数．选(C)．15、 B解：2000)1(-=1．选（B ）．16、 C 解：因为200011+a 的分子不等于0，所以其值不可能为0．选（C ）．17、 A 解：11999199819981999)11998(1998)11999(1999199819981998199919991999-=⨯⨯-=+--=+⨯-⨯-=a ，同理可求得 1-==c b ．∴ 1)1)(1)(1(-=---=abc ，选（A ）．18、 C解：若a =0，则a --=0，排除（A ），（B ）．若0≠a ，a --0≠，排除（D ）．事实上对任意a ，0≥-a ，∴a --0≤，即a --为非正数，选（C ）．解：352)5()2(=+-=---，在数轴上对应的是点P ．选（C ）．20、 A 解：49914991+-----1331358-=--=，其负倒数为314313=．选(A)．21、 B解：原式=101)9891()8781()7671()6561()5451(43-++++++++++ 65.51.075.05=-+= 故选（B ）．22、 C解：原式=14436)12()12(36)34()34(94--=-⨯---=⨯-⨯⨯--⨯-180-=所以答案是(C)23、 B解：原式=7)7()7(71⨯-⨯-⨯=49 选(B)24、 B 解：722=3.142857, 113355=3.14159292, 85268=3.1529, 及3.1416中，最小的一个是113355，选（B ）． 25、 D解：由图可见，10,01<<<<<-c b a ，∴11<+<-a c ，又101=-<-b c ，∵1001<-<⇒<<-a a ，∴11>-a ，因此，a 1-，a -，bc -，a c +中最大的一个是a1-．选（D ）．26、 B 解：由图可见，b a b a >><,0,00,0,02,0<->->-<+∴a b b a a b b a ，选（B ）．27、 D解：设□的数是x ，则x -=+++50001998199619941992．即：x -=50007980．∴298079805000-=-=x ．选（D ）．28、 B解：原式=93)3(31)3(=⨯-⨯⨯-．(B)解：1994,5,52,31--的负倒数分别是19941,51,25,3--．最大为25，所以52-的负倒数最大．选(B)30、 C 解：125123412413111=--=--=n ，所以512=n ．(C)31、 B解：□=199419931993]199419931993[]199411994[199419941-=+-=--=-，选（B ）32、 C 解：91119100)310()313(22==-=-33、 A 解：原式=)95.345.1(61818718651897-⨯-⨯+⨯-⨯ 211571514)5.2(671514=++-=-⨯-+-=34、 C解：从绝对值看：001.100101.101.10101.11.1>>>>．所以最大的数是-1.00135、 D解：原式=7162864134)1(3)]1(3[33333==+=----选(D)36、 C解：当a >0，或a <0时,所给式小于0，当a=0时所给式为0,故该数是非正数所以选（C ）．37、 D解：由题意可知，不等式的两边都乘以所以又知,,;b a b c a c c b c a ->->-<--1，得a b c b -<-，综上所述，选（D ）．38、 A解：设A =19951995，B =19961996，C =19971997，D =19981998，则有B =A +10001，C =B +10001，D =C +10001，2210001)10001)(10001(-=-+B B B ，即：C ⨯A =B 2-1000120，可以确定在有理数中,答案是：（D ）解：绝对值的两边平方后，得，a 2+2ab +b 2<a 2-2ab +b 2，化简后得ab <0，选（C ）．41、 C解：|b |<3，就是-3，不能选（A ），由151353++<，不能选（B ）,由此也的排除（C ），所以选（D ）．45、 C解：当a =0，b=-1时，满足a >b ，但a 2b ，但a 2<b 2，排除（B ）．当a = -2，b = -2时，满足a ，但a 2=b 2，排除（D ），所以选（C ）．46、 B 解：由于，，其中最大值为，，，的负倒数分别是351997113521997,1,53,21----所以选（B ）．47、 D解：在数轴上分为三段，在小于或等于0的一段上的有理数都不满足题设条件，大于或等于1的有理数也都不满足题设条件，只有大于0小于1的有理数才满足平方后的值比原数小，选（D ）．48、 B 解：正分数b a c +与a c 相比，a c b a c <+，而0>bc ，则b c a c b a c +<+，故选（B ）49、 B解：当a=-1，b=2时，ab<0排除（A ）、（C ）．当a =3，b = -2时，ab<0，排除(D)，应选（B ）．50、 B 解：20011-的负倒数是2001，选（B ）．51、 D解：8)2(3=-，（-3）2=9， 923232≠⨯，所以选（D ）．解：由|m |>m 知m 为非正数，所以选（D ）．53、 A解：设a 和b ，满足题目条件，首先一定有a <b ，如若不然，当b a ≥时， +-=≠2)(0b a ab0)()())((22=---=--b a b a b a a b ，矛盾．∴一定有a <b ，此时ab b a a b a b b a =-=--+-22)(2||)()(，2)(b a -≥0，且0≠ab ，则ab 肯定不小于0即(A )一定不成立，所以选(A )．54、 C解：-2001的相反数是2001，则（C ）．55、 C解：-132的负数是53，选（C ）．56、 C解：696000的科学记数法是51096.6⨯，选（C ）．57、A解：珠穆拉玛峰峰顶比吐鲁番盆地底部高8848-(-155)＝9003米．58、 A解：（Ａ）．当21=a 时，21212<）（，排除(B)．当2=a 时， 221<，所以排除(C )，当21-=a 时，排除(D )．所以选(A)．59、 C解：根据题意，对任意的正整数n ， a a n -=，如果0<a ，则0>-a ，所以a 不能是负数;如果0>a ，则0<-a ，所以a 不能是正数，只能0=a ．当0=a 时，0的相反数是0，成立00=n ，选(C )．60、 C解：1998)1(-= +1，排除（A ），由于最小的非负数是0，排除（B ），绝对值最小的整数也是0，排除（D ）．显然应选（C ）．事实上+1是最小的正整数．解：6076015121060)15()12()10()41()51()61(-=+--=---+-=---+-=a ，所以a 的相反数607，选（D ）．62、 D解：33b a +的意义是a 立方与b 立方之和．3b a +的意义是a 与b 立方之和．b a +3的意义是a 立方与b 之和．3)(b a +的意义是a 与b 的和的立方．选（D ）．63、 A解：由3-4=-1，知命题①不真;23ab 与25ab 是同类项，但数字系数不同，③不真;由于两条平行线被第三条直线所截，同旁内角之和为 180，但它们并不互为邻补角，命题④不真，易知，两个整式的和仍是整式是真命题，所以只有1个真命题，选（A ）．64、 D 解：当63,21==b a 时，126=ab ，这个值大于21，大于2，也大于12，所以选（D ）．65、 B 解：20001-的相反数是20001．选（B ）．66、 B解：7-的绝对值是它的相反数7．选（B ）．67、 C解：)]}19991998(1999[1998{1999----)]1(1999[19981999--+-=20001+=2001=．选（C ）．68、 D 解：241313241137⨯=-， 137********⨯=-，137********⨯-=-，137132121⨯=-，其实，要比较13241⨯，13151⨯，13111⨯，1321⨯的大小，易知，13241⨯最小，与137的差的绝对值最小的数是2413．选（D ）．69、 A解：1)1()2()1()1()1()1()1(-=---=-÷-⨯---+-．选（A ）．解：当0<a 时． ∴a a a -22-=-=--=aa a a a ．选（D ）．71、 D 解：由于532a a a =⋅，所以（A ）不正确．又933)(x x =，所以（B ）不正确．2733333=⨯⨯=，所以（C ）不正确．bc c b 933=⨯，D 是正确的．选（D ）．72、 B解：若5个数中有4个为0，设它们是a ，0，0，0，0，其中a ≠0，则当a <0时，a +0+0+0<0，不合题意．当a >0时，0+0+0+0<a ，也不合题意．∴不可能有4个数为0．若5个数中有3个数0，设它们分别是a ，b ，0，0，0，其中a ≠0，b ≠0，则当a >b 时， b +0+0+0<a ，不合题意．当a =b 时， b +0+0+0=a ，不合题意．当a a ;b 在原点左方，0b a 时，0>-b a 总成立．74、 C解：从第1根标杆到第6根标杆有5个间隔．因而，每个间隔行进32.156.6=÷（秒）．而从地1根标杆到第10根标杆共有9个间隔．所以行进9个间隔共用88.11932.1=⨯（秒）．选择（C ）．75、 C 解：125123464131)21()41()31()21(-=-+-=-+-=-+---，其绝对值为125．选(C) 76、 B解：=------)4)(4)(4)(4)(4)(4(6)4(-．77、 C解：令a =2，b = -2，满足2+(-2)=0，由此可以排除（A ）、（B ）、（D ）．选（C ）．78、 D解：令a =0，马上可以排除（A ）、（B ）、（C ），选（D ）．79、B 解：4.175.285.3-=-=a ， 4995.110231534-=-=b ， 49846.1325487-=-=c 51704.1176267-=-=d ∴d ˆ＜b ＜c ＜a 选（Ｂ）．80、Ｄ解：∵1，２，３，４，５，４，３，２，８个数字为一个循环．∴1990÷８＝248余6，则一个循环中第六个数为4．选D ．81、C解：假如2×(-3)=-6,则排除A ，B 若2×3=6，则排除D ．∴选Ｃ82、A解：a+b =0，a =-b ．n n n n n b b b a 22222)1()(=⋅-=-= 选A ．83、A解：因为0也是自然数．选A ．84、B解：若31=a ，21-=b 则2a ＜2b ，排除Ｄ．a 1＞b 1排除Ａ．a ＞b 排除Ｃ．选Ｂ 85、Ｂ解：若2-=a ，则a 7＜a 排除Ａ，a +7＜７排除Ｃ，a ＜７排除Ｄ．选Ｂ．86、Ｃ解：-13578+0.2468=-13578.7532，-13579+24681=-13578.99． -13579×24681=-5.502，-13579÷24681=-33512972 ∴选C ． 87、B解：原式=3.1416×(7.5944-5.5944)=3.1416×2=6.2832选B ．88、B解：由四个数之和的1/4是8知四个数之和为32，第四个数=32-（-6+11+12）=15，选（B ）89、D解：12431-=-，12341-=-排除A ，B ．163-＞164-＝41-排除Ｃ．故选Ｄ． 90、B 解：由题意知，01,11>>b C A a c 但））、（排除（所以必有(B ) b 1>c 1>a1，选（B ）． 91、 B解：在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个中最大的数是-0.01，对值最大的是-15，）选（B ,15.0)15()01.0(=-⨯-92、B解：若1-=a 则0)1(2=+a 排除A ，0)1(2=+-a 排除Ｃ，012=+-a 排除Ｄ，选Ｂ．93、 C解：显然b >0，a <0，c <0，所以必有b 2>ab ，ab <0，ba 11<成立，由于ac >0，bc <0，所以ac <bc 恒不成立，选（C ）．94、 D解：m =2，n = -2，|2|>-3，但|2|<|-3|，排除（B ）．|2|<|-3|但2>-3，排除(C )．|-2|=2，但-2≠2，排除（A ）．所以选（D ）．95、 B解：13.1<14<15.9，13.1<15<15.9，答案为-14,-15选（B ）．96、D解：∵a 1-的分子为1,∴a1-不可能为0.97、 A解：由a+1<0，知a<-1，所以-a >1，于是由小到大的顺序应是a<-1<1<-a ，选（A ）．98、 B解：由题意a=0.1，b =-0.1，c=1.234- (-123.5)>123.4>a ，所以b <a <c ，选(B )．99、 A解：因为a +2b +3c =m =a +b +2c ，所以b +c =0，即b ，c 互为相反数，选（A ）．100、D解：前三个数总和为3×15=45，后两个数和为2×10=20,∴五个有理数平均值为(45+20) ÷5=13． 101、 C解：原来1991个数的平均数为m ，则这1991个数总和为1991⨯m ，当m 混入以后，那1992个数之和为m m +⨯1991，其平均数是1992，即：199219921991=+⨯m m ，1992=∴m ，选(C )． 102、B 解：令1===k d c b a ，则bc ad =，dk c =于是 ()()222222c b d a c b d a --+=+-+＝k d b d k b 22222--+＝)1()1(2222k d k b -+- ＝（12-k ）（22d b -）＞０（因为k >1,b >d >0）∴2)(d a +>()c b +2即有d a +>c b +.103、 D解：数-1是最大的负整数，选（D ）．104、 D解：（A ）明显不对，a =0.1时，a 2<a 排除（B ），a 取-1时|a|-1-a>0，排除（C ），选（D ）．105、 D解：），排除（），排除（B m a A m a ,3,1,3,1-=-===)(53,5C m a 排除-=-=．所以选(D )106、 C解：经计算得答案为1995，选（C ）．107、 D解：,0,<-∴0，a =2>0，ab =2>1=b ，排除（A ），a <0，b <0，ab >0>b ，排除（B ），a =0，b <0，ab =0>0，排除（D ），选（C ）．112、 C解：由题意，||||,0,,b a b a b a >∴<< 选（C ）．113、 C解：原式=10-100-1000-10000= -11090，所以选（C ）．114、 C 解：⋅⋅⋅-=-141592.3113355，由此可见只有-3.1416 比它小，选（C ）．115、 D解：原式=)1213()432(⨯⨯⨯-= -26，选（D ）．116、 D解：由|a |=1993，得a = -1993或a =1993，a = -1993时，|a |+a =0，排除（C ），当a =1993时， |a |- (a +0.1)<0，a -|a |=0，得（A ）、（B ）不对，所以选（D ）．117、 D解：根据乘法分配律和所提供的运算法则，应选（D ）．118、 B解：提示，在负数的比较中，其绝对值越大，其值越小．所以选（B ）．119、 B解：只有（3）、（5）正确，所以不正确的有3个，所以选（B ）．120、 D解：21993=24⨯498+1，71993=74⨯498+1，所以21993的末位数字是2，71993的末位数字是7，所以两者相加后的末位数字是9，所以选（D ）．121、 B解：由题意，得：4321x x x x ++=，4312x x x x ++=，4213x x x x ++=，3214x x x x ++=则4321x x x x ++=＝３)(4321x x x x ++=，则，4321x x x x ++=＝０，然后分别减去上式，得，04321====x x x x 选（B ）．122、 C解：显然，（A ）明显错误，对（B ），由a <-b ，将-b 移至左边得，a +b <0，所以（B ）不对，对（C ）a 2-ab =a (a -b )，因为a <0，a -b <0，所以其乘积大于0，所以选C ．123、 C解：1．当a =14时，-1995-a =19 排除（A ） 2．当a =24时，-1995-a = -19 排除（B ） 3．当a = -76时，-1995-a =1 排除（D ）因此，选（C ），事实上，对任意a ≠19，-1995-a 一定不是0．124、 B解：以特殊值a = -2代入检验，易知（-2）2=（-（-2））2、（-2）3≠（-（-2））3、（-2）2=22）（-、（-2）3= -3)2(-，所以选（B ）125、 D解：（-5）÷2-=（-5）÷2= -25= -2.5，对应的是数轴上的N 点，选（D ）．126、 A解：由于34.51，34.99，35.01四舍五入的近似值都可能是35，而只有34.49不可能是真值，选（A ）127、 C解：因为b <0，所以a +b <a <a -b ，选（C ）128、 D解：原式=5.45-=-910=-191，选（D ）．129、 C解：从图中可见，a 0，ab >0，ac <0所以ab -ac >0， b a b a ---c b c b --+a c a c --+acab ac ab --=（-1）-（-1）+1+1=2．选（C ）．130、 A解：因为 12344<12345<12346所以12344⨯12345<12344⨯12346<12345⨯12346 ∴12345123441⨯>12346123441⨯>12346123451⨯ 更有12345123441⨯-<12346123441⨯-<12346123451⨯- 即 R <Q <P 选（A ）．131、 D解：提示：(-1) - (-9) - (-9) - (-6)=23．选（D ）132、 C解：a 的相反数为-a ，所以a 与它的相反数得差的绝对值是｜a -（-a ）｜＝｜-2a ｜＝-2a （其中a ＜０，选（Ｃ）．133、 B解：由图可知，a ＜０，b ＞１，所以01<a． 110<<b ，因此111<<ba ，选(B )． 134、 D 解：易知,211261216141==++所以,1121614121=+++因此删去的两个加数为 81和101，选（D ）．135、 C解：65432)1()1()1()1()1(-+-+-+-+-=1-1+1-1+1=1，选择（C ）136、 D解：三个奇数之和是381，则中间那个奇数是127，这三个连续奇数是125，127，129，选（D ）137、 B解：读数应为 24+[])4.0(2.0)5.0(2.0)7.0(3.061-++-++-+ 15.024)9.0(6124-=-+= =23.85选(B )138、 C解：已知三个连续整数之和是45，则这三个连续整数是14，15，16，紧接其后的三个连续整数是17，18，19，它们之和是54，选（C ）139、 B解：因为(+3)+(+5)+(-8)=0，不是正数；(-3) - (-2) - (-2)=1，是正数；(-2) ×( -3) ×( -5)=-30，是负数；(-1996)÷(-4) ÷(-1)=-499，是负数；选（B ）．140、 D解：因为|x |＝a ，所以0≥a ，于是当0<x 时，0<-a x ，x a a x a x -=--=-∴)(当0≥x 时， a x = 0=-=-x a a x ，选（D ）141、 D 解：199611001,199511001,199610001001,199511001-=+=-=+=d c b a ∴b d c a >>>，选（D ）．。

初一数学奥林匹克竞赛题含答案

初一数学奥林匹克竞赛题含答案初一奥数题一甲多开支100元,三年后负债600元．求每人每年收入多少S的末四位数字的和是多少4．一个人以3千米/小时的速度上坡,以6千米/小时的速度下坡,行程12千米共用了3小时20分钟,试求上坡与下坡的路程．5．求和：6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数．8．若两个整数x,y使x2+xy+y2能被9整除,证明：x和y能被3整除．9．如图1－95所示．在四边形ABCD中,对角线AC,BD的中点为M,N,MN的延长线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半．解答：所以x=5000元．所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24．3．因为a-b≥0,即a≥b．即当b≥a＞0或b≤a＜0时,等式成立．4．设上坡路程为x千米,下坡路程为y千米．依题意则有由②有2x+y=20, ③由①有y=12-x．将之代入③得 2x+12-x=20．所以x=8千米,于是y=4千米．5．第n项为所以6．设p=30q＋r,0≤r＜30．因为p为质数,故r≠0,即0＜r＜30．假设r为合数,由于r＜30,所以r的最小质约数只可能为2,3,5．再由p=30q＋r知,当r的最小质约数为2,3,5时,p不是质数,矛盾．所以,r一定不是合数．7．设由①式得2p-12q-1=mpq,即4-mpq+1=2p+q．可知m＜4．由①,m＞0,且为整数,所以m=1,2,3．下面分别研究p,q．1若m=1时,有解得p=1,q=1,与已知不符,舍去．2若m=2时,有因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的,故m=2时无解．3若m=3时,有解之得故 p＋q=8．8．因为x2+xy+y2=x-y2+3xy．由题设,9｜x2+xy＋y2,所以3｜x2＋xy＋y2,从而3｜x-y2．因为3是质数,故3｜x-y．进而9｜x-y2．由上式又可知,9｜3xy,故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x,结合3x-y,便得3｜y；若3｜y,同理可得,3｜x．9．连结AN,CN,如图1－103所示．因为N是BD的中点,所以上述两式相加另一方面,S△PCD =S△CND＋S△CNP＋S△DNP．因此只需证明S△AND ＝S△CNP＋S△DNP．由于M,N分别为AC,BD的中点,所以S△CNP =S△CPM-S△CMN=S△APM-S△AMN=S△ANP．又S△DNP =S△BNP,所以S△CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND．初一奥数题二1．已知3x2-x=1,求6x3+7x2-5x＋2000的值．2．某商店出售的一种商品,每天卖出100件,每件可获利4元,现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润,根据经验,这种商品每涨价1元,每天就少卖出10件．试问将每件商品提价多少元,才能获得最大利润最大利润是多少元3．如图1－96所示．已知CB⊥AB,CE平分∠BCD,DE平分∠CDA,∠1＋∠2=90°．求证：DA⊥AB．4．已知方程组的解应为一个学生解题时把c抄错了,因此得到的解为求a2＋b2＋c2的值．5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解．6．王平买了年利率％的三年期和年利率为％的五年期国库券共35000元,若三年期国库券到期后,把本息再连续存两个一年期的定期储蓄,五年后与五年期国库券的本息总和为47761元,问王平买三年期与五年期国库券各多少一年期定期储蓄年利率为％7．对k,m的哪些值,方程组至少有一组解8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整数解．9．小王用5元钱买40个水果招待五位朋友．水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果,并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望解答：1．原式=2x3x2-x+33x2-x-2x+2000 =2x×1＋3×1-2x+2000=2003．2．原来每天可获利4×100元,若每件提价x元,则每件商品获利4＋x元,但每天卖出为100-10x件．如果设每天获利为y元,则y ＝4＋x100-10x=400＋100x-40x-10x2=-10x2-6x＋9＋90＋400=-10x-32＋490．所以当x=3时,y最大=490元,即每件提价3元,每天获利最大,为490元．3．因为CE平分∠BCD,DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°图1－104,所以∠ADC＋∠BCD=180°,所以AD∥BC．①又因为 AB⊥BC,②由①,② AB⊥AD．4．依题意有所以a2+b2+c2=34．5．｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4,即｜x｜｜y｜-2+｜y｜-2=2,所以｜x｜+1｜y｜-2=2．因为｜x｜＋1＞0,且x,y都是整数,所以所以有6．设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元,则因为y=35000-x,所以 x1＋×31＋2+35000-x1+×5=47761,所以＋=47761,所以 =994,所以 x=20000元,y=35000-20000=15000元．7．因为 k－1x＝m-4, ①m为一切实数时,方程组有唯一解．当k=1,m=4时,①的解为一切实数,所以方程组有无穷多组解．当k=1,m≠4时,①无解．所以,k≠1,m为任何实数,或k=1,m=4时,方程组至少有一组解．8．由题设方程得z＝3m-y．x=19-y-43m-y-m =19+3y-13m．原方程的通解为其中n,m取任意整数值．9．设苹果、梨子、杏子分别买了x,y,z个,则消去y,得12x-5z=180．它的解是x=90-5t,z=180-12t．代入原方程,得y=-230＋17t．故x=90-5t,y=-230+17t,z=180-12t．x=20,y=8,z=12．因此,小王的愿望不能实现,因为按他的要求,苹果至少要有1＋2＋3+4＋5＋6=21＞20个．初一奥数题三1．解关于x的方程2．解方程其中a＋b＋c≠0．3．求8x3-6x2+4x-732x5-32的展开式中各项系数之和．4．液态农药一桶,倒出8升后用水灌满,再倒出混合溶液4升,再用水灌满,这时农药的浓度为72％,求桶的容量．5．满足=-2x的自然数x共有几个这里x表示不超过x的最大整数,例如=-6,3=3．6．设P是△ABC内一点．求：P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围．7．甲乙两人同时从东西两站相向步行,相会时,甲比乙多行24千米,甲经过9小时到东站,乙经过16小时到西站,求两站距离．8．黑板上写着三个数,任意擦去其中一个,将它改写成其他两数的和减1,这样继续下去,最后得到19,1997,1999,问原来的三个数能否是2,2,29．设有n个实数x1,x2,…,xn,其中每一个不是+1就是-1,且求证：n是4的倍数．解答：1．化简得6a-1x=3-6b+4ab,当a≠1时,2．将原方程变形为由此可解得x=a＋b+c．3．当x=1时,8-6+4-732-12=1．即所求展开式中各项系数之和为1．依题意得去分母、化简得7x2-300x+800=0,即7x-20x-40=0,5．若n为整数,有n＋x=n＋x,所以=-2x＋=-2x+．由已知=-2x,所以-2x=-2x+, 所以 =0．又因为x为自然数,所以0≤＜1,经试验,可知x可取1,2,3,4,共4个．6．如图1－105所示．在△PBC中有BC＜PB＋PC, ①延长BP交AC于D．易证PB＋PC＜AB＋AC．②由①,② BC＜PB＋PC＜AB+AC, ③同理 AC＜PA＋PC＜AC＋BC, ④AB＜PA＋PB＜AC＋AB．⑤③＋④＋⑤得AB＋BC＋CA＜2PA＋PB＋PC＜2AB＋BC＋CA．所以7．设甲步行速度为x千米/小时,乙步行速度为y千米/小时,则所求距离为9x+16y千米．依题意得由①得16y2=9x2, ③由②得16y=24＋9x,将之代入③得即 24＋9x2=12x2．解之得于是所以两站距离为9×8＋16×6=168千米．8．答案是否定的．对于2,2,2,首先变为2,2,3,其中两个偶数,一个奇数．以后无论改变多少次,总是两个偶数,一个奇数数值可以改变,但奇偶性不变,所以,不可能变为19,1997,1999这三个奇数．;又因为所以,k是偶数,从而n是4的倍数．初一奥数题四1．已知a,b,c,d都是正数,并且a＋d＜a,c＋d＜b．求证：ac＋bd＜ab．2．已知甲种商品的原价是乙种商品原价的倍．因市场变化,乙种商品提价的百分数是甲种商品降价的百分数的2倍．调价后,甲乙两种商品单价之和比原单价之和提高了2％,求乙种商品提价的百分数．3．在锐角三角形ABC中,三个内角都是质数．求三角形的三个内角．4．某工厂三年计划中,每年产量递增相同,若第三年比原计划多生产1000台,那么每年比上一年增长的百分数就相同,而且第三年的产量恰为原计划三年总产量的一半,求原计划每年各生产多少台z=｜x+y｜+｜y+1｜+｜x-2y+4｜,求z的最大值与最小值．8．从1到500的自然数中,有多少个数出现1或59．从19,20,21,…,98这80个数中,选取两个不同的数,使它们的和为偶数的选法有多少种解答：1．由对称性,不妨设b≤a,则ac＋bd≤ac＋ad=ac＋d＜ab．2．设乙种商品原单价为x元,则甲种商品的原单价为元．设甲商品降价y％,则乙商品提价2y％．依题意有1-y％+x1＋2y％=＋x1＋2％,化简得所以y==10％,所以甲种商品降价10％,乙种商品提价20％．3．因为∠A+∠B＋∠C=180°,所以∠A,∠B,∠C中必有偶数．唯一的偶质数为2,所以∠C=2°．所以∠A+∠B=178°．由于需∠A,∠B为奇质数,这样的解不唯一,如4．设每年增产d千台,则这三年的每一年计划的千台数分别为a-d,a,a＋d 依题意有解之得所以三年产量分别是4千台、6千台、8千台．不等式组：所以 x＞2；无解．6．设原式为S,则所以又＜因为所以 =．7．由｜x｜≤1,｜y｜≤1得 -1≤x≤1,-1≤y≤1．所以y＋1≥0,x-2y+4≥-1-2×1+4=1＞0．所以z=｜x+y｜+y+1+x-2y+4=｜x+y｜＋x-y＋5．1当x+y+≤0时,z=-x+y＋x-y+5=5-2y．由-1≤y≤1可推得3≤5-2y≤7,所以这时,z的最小值为3、最大值为7．2当x+y＞0时,z=x＋y+x-y+5=2x+5．由-1≤x≤1及可推得3≤2x+5≤7,所以这时z的最小值为3、最大值为7．由1,2知,z的最小值为3,最大值为7．8．百位上数字只是1的数有100,101,…,199共100个数；十位上数字是1或5的其百位上不为1有2×3×10=60个．个位上出现1或5的其百位和十位上都不是1或5有2×3×8=48个．再加上500这个数,所以,满足题意的数共有100+60+48+1=209个．9．从19到98共计80个不同的整数,其中有40个奇数,40个偶数．第一个数可以任选,有80种选法．第一个数如果是偶数,第二个数只能在其他的39个偶数中选取,有39种选法．同理,第一个数如果是奇数,第二个数也有39种选法,但第一个数为a,第二个为b与第一个为b,第二个为a是同一种选法,所以总的选法应该折半,即共有种选法．初一奥数题五1．一项任务,若每天超额2件,可提前计划3天完工,若每天超额4件,可提前5天完工,试求工作的件数和原计划完工所用的时间．2．已知两列数2,5,8,11,14,17,…,2＋200-1×3,5,9,13,17,21,25,…,5＋200-1×4,它们都有200项,问这两列数中相同的项数有多少项3．求x3-3px＋2q能被x2＋2ax＋a2整除的条件．4．证明不等式5．若两个三角形有一个角对应相等．求证：这两个三角形的面积之比等于夹此角的两边乘积之比．6．已知x-12除多项式x4＋ax3-3x2＋bx＋3所得的余式是x+1,试求a,b的值．7．今有长度分别为1,2,3,…,9的线段各一条,可用多少种不同方法,从中选用若干条,使它们能围成一个正方形8．平面上有10条直线,其中4条是互相平行的．问：这10条直线最多能把平面分成多少部分9．边长为整数,周长为15的三角形有多少个解答：1．设每天计划完成x件,计划完工用的时间为y天,则总件数为xy件．依题意得解之得总件数xy=8×15=120件,即计划用15天完工,工作的件数为120件．2．第一列数中第n项表示为2＋n-1×3,第二列数中第m项表示为5＋m-1×4．要使2＋n-1×3＝5+m-1×4．所以因为1≤n≤200,所以所以m=1,4,7,10,…,148共50项．3．x3-3px+2q被x2＋2ax＋a2除的余式为3a2-px＋2q＋a3,所以所求的条件应为4．令因为所以5．如图1-106a,b所示．△ABC与△FDE中,∠A=∠D．现将△DEF移至△ABC中,使∠A与∠D重合,DE=AE＇,DF=AF＇,连结F＇B．此时,△AE＇F＇的面积等于三角形DEF的面积．①×②得6．不妨设商式为x2+α·x＋β．由已知有x4＋ax3-3x2＋bx＋3=x-12x2+α·x＋β+x＋1=x2-2x＋1x2＋α· x＋β＋x＋1=x4+α-2x3+1-2α＋βx2＋1＋α-2βx＋β+1．比较等号两端同次项的系数,应该有只须解出所以a=1,b=0即为所求．7．因为所以正方形的边长≤11．下面按正方形边的长度分类枚举：1边长为11：9＋2=8+3=7＋4=6+5,可得1种选法．2边长为10：9＋1=8＋2=7＋3=6+4,可得1种选法．3边长为9：9=8+1=7+2=6+3=5+4,可得5种选法．4边长为8：8=7+1=6+2=5+3,可得1种选法．5边长为7：7=6+1=5＋2=4＋3,可得1种选法．6边长≤6时,无法选择．综上所述,共有1+1+5+1+1=9种选法组成正方形．8．先看6条不平行的直线,它们最多将平面分成2+2＋3+4+5＋6=22个部分．现在加入平行线．加入第1条平行线,它与前面的6条直线最多有6个交点,它被分成7段,每一段将原来的部分一分为二,故增加了7个部分．加入第2,第3和第4条平行线也是如此,即每加入一条平行线,最多增加7个部分．因此,这些直最多将平面分成22+7×4=50个部分．9．不妨设三角形的三边长a,b,c满足a≥b≥c．由b＋c＞a,a＋b＋c=15,a ≥b≥c可得,15=a＋b＋c＞2a,所以a≤7．又15=a+b＋c≤3a,故a≥5．于是a=5,6,7．当a=5时,b＋c=10,故b=c=5；当a=b时,b＋c=9．于是b=6,c=3,或b=5,c=4；当a=7时,b+c=8,于是b=7,c=1,或b=6,c=2,或b=5,c=3,或b=4,c=4．所以,满足题意的三角形共有7个．。

初二数学奥林匹克竞赛题及答案

F EA DC B 初二数学奥林匹克竞赛题及答案1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,DE ＝EC ，EF ∥AB 交BC 于点F,EF ＝EC ，连结DF 。

（1)试说明梯形ABCD 是等腰梯形；（2）若AD ＝1，BC ＝3，DC 2DCF 的形状；（3）在条件（2)下,射线BC 上是否存在一点P ，使△PCD 是等腰三角形,若存在，请直接写出PB 的长；若不存在,请说明理由。

2、在边长为6的菱形ABCD 中，动点M 从点A 出发,沿A →B →C 向终点C 运动，连接DM 交AC 于点N .(1）如图25－1,当点M 在AB 边上时，连接BN 。

①求证：△ABN ≌△ADN ； ②若∠ABC = 60°,AM = 4，求点M 到AD 的距离； (2)如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M 运动所经过的路程为x （6≤x ≤12）试问：x 为何值时，△ADN 为等腰三角形。

3、对于点O 、M ,点M 沿MO 的方向运动到O 左转弯继续运动到N ，使OM ＝ON ，且OM ⊥ON ，这一过程称为M 点关于O 点完成一次“左转弯运动”．正方形ABCD 和点P ，P 点关于A 左转弯运动到P 1,P 1关于B 左转弯运动到P 2,P 2关于C 左转弯运动到P 3，P 3关于D 左转弯运动到P 4，P 4关于A 左转弯运动到P 5，……．（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P 1的位置；（2)连接P 1A 、P 1B ，判断 △ABP 1与△ADP 之间有怎样的关系？并说明理由。

(3）以D 为原点、直线AD 为y 轴建立直角坐标系,并且已知点B 在第二象限，A 、P 两点的坐标为（0,4）、(1，1),请你推断：P 4、P 2009、P 2010三点的坐标．4、如图1和2，在20×20的等PBAON距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中,Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时,继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时,Rt△ABC停止移动。

初二数学奥林匹克竞赛题及答案

初二数学奥林匹克竞赛题及答案1、如图,梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ＝EC ，EF ∥AB 交BC 于点F ，EF ＝EC ，连结DF 。

(1）试说明梯形ABCD 是等腰梯形；（2）若AD ＝1，BC ＝3，DC DCF 的形状；(3）在条件(2）下，射线BC 上是否存在一点P ，使△PCD 是等腰三角形，若存在，请直接写出PB 的长；若不存在，请说明理由.2、在边长为6的菱形ABCD 中，动点M 从点A 出发,沿A →B →C 向终点C 运动，连接DM 交AC 于点N 。

（1）如图25－1，当点M 在AB 边上时，连接BN .①求证：△ABN ≌△ADN ； ②若∠ABC = 60°，AM = 4，求点M 到AD 的距离； (2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M 运动所经过的路程为x （6≤x ≤12)试问：x 为何值时，△ADN 为等腰三角形.3、对于点O 、M ，点M 沿MO 的方向运动到O 左转弯继续运动到N ，使OM ＝ON ,且OM ⊥ON ,这一过程称为M 点关于O 点完成一次“左转弯运动"．正方形ABCD 和点P ，P 点关于A 左转弯运动到P 1，P 1关于B 左转弯运动到P 2，P 2关于C 左转弯运动到P 3，P 3关于D 左转弯运动到P 4，P 4关于A 左转弯运动到P 5，……．（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P 1的位置;（2）连接P 1A 、P 1B ，判断 △ABP 1与△ADP 之间有怎样的关系？并说明理由。

（3)以D 为原点、直线AD 为y 轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限,A 、P 两点的坐标为（0，4）、（1，1)，请你推断：P 4、P 2009、P 2010三点的坐标．BA4、如图1和2,在20×20的等距网格(每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停止移动.设运动时间为x秒，△QAC的面积为y.（1）如图1,当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，请你在网格中画出Rt △A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形;（2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式,并说明当x分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？5、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC 交AB、AC于E、F．（1)图中有几个等腰三角形?猜想： EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．（2）如图②，若AB≠AC,其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有,分别指出它们．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？(3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由。

数学奥林匹克初中训练题(6)(含解答)

数学奥林匹克初中训练题(6)第一试一. 选择题:(每小题7分,共42分)1.若,a b 均为质数,且22003a b +=,则a b +的值为( )(A)1999 (B)2000 (C)2001 (D)20022.设0,1,a b c a b c >>>++=,,,b c a c a b M N P a b c+++===,则,,M N P 之间的关系是( )(A)M N P >> (B)N P M >>(C)P M N >> (D)M P N >>3.设ΔABC 的三边长为,,a b c 满足28,1252b c bc a a +==-+,则ΔABC 的周长是( )(A)10 (B)14 (C)16 (D)不能确定4.下面四个命题:①直角三角形的两边长为3,4,则第三边长为5;②=,③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形;④若四边形ABCD 中,AD ∥BC,且 AB+BC=AD+DC,则四边形ABCD 是平行四边形.其中正确的命题的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)35.一个四位数aabb 为平方数,则a b +的值为( )(A)11 (B)10 (C)9 (D)86.如果满足60,12,O ABC AC BC k ∠===的ΔABC 恰有一个,那么k 的取值范围是( )(A)k = (B)012k ≤ (C)12k ≥ (D)012k ≤或k =二. 填空题:(每小题7分,共28分)1.已知,,a b c 为实数,且多项式32x ax bx c +++能被234x x +-整除,则22a b c --的值是 .2.设正整数,,a b c 满足518,360ab bc ab ac +=-=,则abc 的最大值是 . 3,若abc =1,2003111x x x a ab b bc c ac ++=++++++,则x = .4.如图1,AB是半圆O的直径,四边形CDMN和DEFG都是正方形,其中C,D,E在AB 上,F,N在半圆上.若AB=10,则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是 .第二试一.(20分)若AD是ΔABC角平分线,I是线段AD上的点,且1902OBIC BAC ∠=+∠.求证:I是ΔABC的内心.二.(25分)用汽船拖载重量相等满载货物的小船若干只,在两港之间来回送货物.已知每次拖4只小船,一日能来回16次;每次拖7只小船,一日能来回10次.每日来回次数是拖小船只数的一次函数(一天中每次拖小船只数不变).问每日来回多少次,每次拖多少只小船,才能使运货问题达到最大?三.(25分)设,,a b c 是从1到9的互不相同的整数,求a b c abc++的最大的可能值.。

初二数学奥林匹克竞赛题及答案

F EA DC B 初二数学奥林匹克竞赛题及答案1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,DE ＝EC ，EF ∥AB 交BC 于点F,EF ＝EC ，连结DF 。

2、在边长为6的菱形ABCD 中，动点M 从点A 出发,沿A →B →C 向终点C 运动，连接DM 交AC 于点N .(1）如图25－1,当点M 在AB 边上时，连接BN 。

初三数学奥林匹克竞赛题及答案

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初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么()A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。

2．下面的说法中正确的是()A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。

两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。

两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。

3．下面说法中不正确的是()A.有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：最大的负整数是-1，故C错误。

4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么()A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有()A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C。

6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。

这四种说法中，不正确的说法的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。

7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是()A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。

8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边()A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。

我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。

同理应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D．9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是()A．一样多B．多了C．少了D．多少都可能答案：C解析：设杯中原有水量为a，依题意可得，第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a；第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1，所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。

10．轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将()A．增多B．减少C．不变D．增多、减少都有可能答案：A二、填空题（每题1分，共10分）122=______。

答案：22。

解析：利用公式a2-b2=（a+b）(a-b)计算。

2．1－2＋3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=______。

答案：1－2+3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+…+(4999－5000)=－2500。

解析：本题运用了运算当中的结合律。

3．当a=－0.2，b=0.04时，代数式a2-b的值是______。

答案：0解析：原式==(－0.2)2－0.04=0。

把已知条件代入代数式计算即可。

4．含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是______克。

答案：45000（克）解析：食盐30%的盐水60千克中含盐60×30%（千克），设蒸发变成含盐为40%的水重x克，即0.001x千克，此时，60×30%=(0.001x)×40%解得：x=45000（克）。

遇到这一类问题，我们要找不变量，本题中盐的含量是一个不变量，通过它列出等式进行计算。

三、解答题1.甲乙两人每年收入相等，甲每年储蓄全年收入的15，乙每月比甲多开支100元，三年后负债600元，求每人每年收入多少？答案：：解得，x=5000答：每人每年收入5000元。

所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24。

4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程。

答案：设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则：由②有2x+y=20，③由①有y=12-x，将之代入③得2x+12-x=20。

所以x=8(千米)，于是y=4(千米)。

答：上坡路程为8千米，下坡路程为4千米。

5．求和：。

答案：第n项为所以。

6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数。

证明：设p=30q＋r，0≤r＜30，因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30。

假设r为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5。

再由p=30q＋r知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾。

所以，r一定不是合数。

解：设由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)。

可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q。

(1)若m=1时，有解得p=1，q=1，与已知不符，舍去．(2)若m=2时，有因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解．(3)若m=3时，有解之得故p＋q=8。

奥数题二一、选择题1．数1是()A．最小整数B．最小正数C．最小自然数D．最小有理数答案：C解析：整数无最小数，排除A；正数无最小数，排除B；有理数无最小数，排除D。

1是最小自然数，正确，故选C。

2.a为有理数，则一定成立的关系式是()A．7a＞aB．7+a＞aC．7+a＞7D．|a|≥7答案：B解析：若a=0，7×0=0排除A；7+0=7排除C；|0|＜7排除D，事实上因为7＞0，必有7+a＞0+a=a．选B。

3.3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是()A．6.1632B．6.2832C．6.5132D．5.3692答案：B解析：3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)=3.1416(7.5944-5.5944)=2×3.1416=6.2832，选B。

4.在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是() A．225B．0.15C．0.0001D．1答案：B解析：-4，-1，-2.5，-0.01与-15中最大的数是-0.01，绝对值最大的数是-15，(-0.01)×(-15)=0.15，选B。

二、填空题1．计算：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______。

答案：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=(-2)-(-1)=-1。

2.求值：(-1991)-|3-|-31||=______。

答案：(-1991)-|3-|-31||=-1991-28=-2019。

3.n为正整数，1990n-1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009。

则n的最小值等于______。

答案：4解析：1990n的末四位数字应为1991+8009的末四位数字．即为0000，即1990n末位至少要4个0，所以n的最小值为4。

4.不超过(-1.7)2的最大整数是______。

答案：2解析：(-1.7)2=2.89，不超过2.89的最大整数为2。

5.一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是______。

答案：29解析：个位数比十位数大7的两位数有18，29，其中只有29是质数。

三、解答题1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值。

答案：原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000=2x×1＋3×1-2x+2000=2003。

2．某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件。

试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？答案：原来每天可获利4×100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4＋x)元，但每天卖出为(100-10x)件。

如果设每天获利为y元，则y＝(4＋x)(100-10x)=400＋100x-40x-10x2=-10(x2-6x＋9)＋90＋400=-10(x-3)2＋490。

所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大为490元。

3．如图1－96所示，已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°。

求证：DA⊥AB。

证明：∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°，∴∠ADC＋∠BCD=180°，∴AD∥BC。

又∵AB⊥BC，∴AB⊥AD。

4.求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解。

答案：｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即｜x｜(｜y｜-2)+(｜y｜-2)=2，所以(｜x｜+1)(｜y｜-2)=2。

因为｜x｜＋1＞0，且x，y都是整数，所以5.王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为5.22％)答案：设设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则因为y=35000-x，所以x(1＋0.0711×3)(1＋0.0522)2+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，所以1.3433x＋48755-1.393x=47761，所以0.0497x=994，所以x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)。

6.对k，m的哪些值，方程组至少有一组解？答案：因为(k－1)x＝m-4，①m为一切实数时，方程组有唯一解．当k=1，m=4时，①的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解。

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